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Pontes de Esparguete

Sumário 1- Introdução. 2- Princípios de funcionamento estrutural. 3 - Determinação de Esforços. Exemplo. 4 – Programa Ftool. 5- Regras do concurso de pontes 6- Como construir? (adaptação da U.B.I.) 7- Ensaio

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Nota: Pioneiro deste tipo de concursos no Instituto Superior de Engenharia (I.S.E) da Universidade do Algarve – Prof. Doutor Alfredo Braga Apresentação : Vítor Barreto e Elson Almeida

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Pontes de Esparguete

Sumário 1- Introdução. 2- Princípios de funcionamento estrutural. 3 - Determinação de Esforços. Exemplo. 4 – Programa Ftool. 5- Regras do concurso de pontes 6- Como construir? (adaptação da U.B.I.) 7- Ensaio

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Keshwa Chaca Ponte de corda Inca (Império Inca, Peru)

Pontes suspensas Incas

- Exige boa ancoragem nos apoios; - Corda superior e inferior em tracção; - Muito oscilantes ! ⇒ perigoso !

1- Introdução

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Ponte de Carrick-a-Rede (Irlanda)

Corda superior

Corda inferior

Alma da ponte , Rede (WEB)

Tabuleiro

banzo superior

banzo inferior

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1- Introdução

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INVERSÃO do FUNCIONAMENTO

- O arco funciona à compressão ⇒ peças têm que ser resistentes à compressão; - Os apoios têm de suportar fortes impulsos ⇒ rochas, maciços de betão, etc, - O tabuleiro é horizontal ⇒ Fácil de atravessar ⇒ mais seguro !

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1- Introdução

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Pontes de Esparguete

Sumário 1- Introdução. 2- Princípios de funcionamento estrutural. 3 - Determinação de Esforços. Exemplo. 4 – Programa Ftool. 5- Regras do concurso de pontes 6- Como construir? (adaptação da U.B.I.) 7- Ensaio

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2- Princípios de funcionamento

estrutural

- O equilíbrio da cargas aplicadas tem que ser garantido pelas (fortes) reacções de apoio

Corda em tracção

Equilíbrio GLOBAL

𝐹𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑖𝑠 = 0

Resultante de reacções

𝐹ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠 = 0

Resultante de cargas

Equações de Equilíbrio GLOBAL

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-Invertendo a posição- Continua a haver fortes reacções de apoio mas em compressão

Equilíbrio GLOBAL

Resultante de cargas

Resultante de reacções

𝐹𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑖𝑠 = 0

𝐹ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠 = 0

Equações de Equilíbrio GLOBAL

Corda em Compressão embora se designe de “corda” – é

uma barra com rigidez de compressão

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2- Princípios de funcionamento

estrutural

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- Colocando uma corda inferior as fortes reacções reduzem-se

- são necessários : - Pendurais – ou tirantes - para suportar o tabuleiro - se necessário usar barras diagonais que estabilizam o arco a deformações longitudinais

Corda superior em compressão

Corda inferior em tracção

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2- Princípios de funcionamento

estrutural

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- as barras transversais entre treliças evitam o fenómeno de bambeamento (encurvadura lateral)- são barras secundárias mas importantes

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2- Princípios de funcionamento

estrutural

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- as pontes em arco embora sejam eficazes são mais caras por causa da sua geometria, que é variável, e por isso usam-se para grandes vãos ou quando as cargas são pesadas . - Sempre que possível usam-se geometrias com barras rectilíneas . - As soluções dependem também dos processos construtivos , facilidade de transporte, equipamentos de elevação e sequência de colocação em obra (“in situ”)

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2- Princípios de funcionamento

estrutural

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Resumo: 1- Treliças são estruturas constituídas por barras teoricamente articuladas nas ligações (nós) e que “trabalham” à tracção ou compressão.

2- Mesmo que sejam coladas, soldadas , aparafusadas, se esbelteza geométrica λg= L / d é elevada, comportam-se como se fossem articuladas (as tensões σM << σN)

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2- Princípios de funcionamento

estrutural

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3- As cargas devem ser aplicadas nos nós

4- Nas barras à compressão ⇒ ⇒ modo de rotura – varejamento / encurvadura

5- Nas barras à tracção ⇒ modo de rotura – falta de resistência /esgotamento

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2- Princípios de funcionamento

estrutural

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Pontes de Esparguete

Sumário 1- Introdução. 2- Princípios de funcionamento estrutural. 3 - Determinação de Esforços. Exemplo. 4 – Programa Ftool. 5- Regras do concurso de pontes 6- Como construir? (adaptação da U.B.I.) 7- Ensaio

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3- Determinação de Esforços

Estruturas Isostáticas

Determinação de esforços pelo Método dos Nós:

3.1- A estrutura tem que ser isostática :

- externamente – modelos de apoios

- internamente – constituída por triângulos mas

nenhum NÓ poderá ser comum a mais de três

triângulos, caso contrário será internamente

hiperestática ….

(…. e terá que recorrer a outro(s) método(s)…)

3.2- As cargas só podem ser aplicadas nos nós.

Não

Sim

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3.3- Calcular as reações de apoio, considerando a estrutura como corpo rígido sujeita às “cargas

aplicadas” e aplicando Equações de Equilíbrio da Estática:

Da 1ª Lei de Newton: para que um corpo se mantenha em repouso a soma vetorial de todas as forças (cargas e reacções) tem que ser nula , de onde resultam as

3 “Equações de Equilíbrio da Estática”:

(i) Soma vetorial de todas as Forças Horizontais = 0 (ii) Soma vetorial de todas as Forças Verticais =0 (iii) Soma de Momentos (Força x distância) em relação a um ponto = 0

3- Determinação de Esforços

Estruturas Isostáticas

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3.3- Calcular as reações de apoio, (continuação):

Equações de Equilíbrio da Estática:

(i) Soma de Forças Horizontais [→(+)] =0 ⟹ 𝐻𝐴 − 𝑃𝐹 = 0 (ii) Soma de Forças Verticais [↑(+)] ⟹ 𝑉𝐴 + 𝑉𝐸 − 𝑃𝐶 = 0 (iii) Soma de Momentos em relação ao Ponto A [↶(+)]= 0 ⟹

⟹ 𝑉𝐸 ∗ 𝑑𝐴𝐸 + 𝑃𝐹 ∗ 𝑑𝐹𝐵 − 𝑃𝐶 ∗ 𝑑𝐴𝐶 = 0

3- Determinação de Esforços

Estruturas Isostáticas

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3.3- Calcular as reações de apoio, (continuação)

(i) 𝐻𝐴 − 10 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 =10 kN (ii) 𝑉𝐴 + 𝑉𝐸 − 500 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 = 252 kN (iii) 𝑉𝐸 ∗ 20 + 10 ∗ 4 − 500 ∗ 10 = 0 ⟹ 𝑉𝐸 = 248 kN

3- Determinação de Esforços

Estruturas Isostáticas

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3.4 – Calcular os esforços nas barras

(“esforços” = forças internas nas barras)

Faz-se sucessivamente o equilíbrio, nó a nó,

com recurso às 2 equações da estática seguintes:

(i) 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠 = 0 ⟺ 𝐹𝑥 = 0

(ii) 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑖𝑠 = 0 ⟺ 𝐹𝑦 = 0

Nota Importante:

- Por cada nó só temos 2 equações, logo, apenas podemos ter 2 incógnitas, que são os esforços

das barras que convergem nesse nó.

- É assim conveniente começar pelos nós em que convirjam apenas duas barras.

- Se assim não for, o 3º esforço “mantem-se como incógnita”, que será determinada mais tarde ao

realizar o equilíbrio noutro nó, que por vezes não é o imediatamente a seguir !...

- Deve começar-se por um dos nós de apoio.

3- Determinação de Esforços

Estruturas Isostáticas

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3.4 – Calcular os esforços nas barras (continuação)

Equilíbrio no nó A:

(i) 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠 = 0 ⟺ 𝐻𝐴 + 𝑁𝐴𝐵 +𝑁𝐴𝐹 ∗ cos 38.65 = 0

(ii) 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑖𝑠 = 0 ⟺ 𝑉𝐴 + 𝑁𝐴𝐹 ∗ sen 38.65 = 0

10 + 𝑁𝐴𝐵 +𝑁𝐴𝐹 ∗ cos 38.65 = 0 𝑁𝐴𝐵 = 305 𝑘𝑁 + 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 252 + 𝑁𝐴𝐹 ∗ sen 38.65 = 0 𝑁𝐴𝐹 = −403 𝑘𝑁 [ − 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜)]

HA=10 kN

a=38.65

VA =252 kN

NAB

NAE

NAE*cos(38.65)

NAE*sen(38.65)

3- Determinação de Esforços

Estruturas Isostáticas

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NAF

NAF*cos(38.65)

NAF*sen(38.65)

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3.4 – Calcular os esforços nas barras (continuação)

Equilíbrio no nó F

(não esquecer que este nó tem uma

força externa diretamente aplicada de 10 kN)

(i) 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠 = 0 ⟺

−𝑁𝐴𝐹 ∗ cos 38.65 + 𝑁𝐹𝐺 − 10 𝑘𝑁 = 0

(ii) 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑖𝑠 = 0 ⟺ −𝑁𝐴𝐹 ∗ sen 38.65 − 𝑁𝐹𝐵 = 0

−(−403𝑘𝑁) ∗ cos 38.65 + 𝑁𝐹𝐺 − 10 𝑘𝑁 = 0 𝑁𝐹𝐺 = −305 𝑘N + 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜

−(−403𝑘𝑁) ∗ sen 38.65 + 𝑁𝐹𝐵 ∗ sen −90 = 0 𝑁𝐹𝐵 = +252 𝑘𝑁 + 𝑡𝑟𝑎çã𝑜

3- Determinação de Esforços

Estruturas Isostáticas

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3.4 – Calcular os esforços nas barras (continuação)

- Repetindo o procedimento nó a nó irá obter os esforços de compressão e tracção de cada barra:

(-) Compressão (+) Tracção

3- Determinação de Esforços

Estruturas Isostáticas

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Pontes de Esparguete

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5- Programa FTOOL

Activar a grelha de trabalho

1-Activar a GRID e o SNAP e colocar a dimensão de grelha de 5 em 5 cm (0,05m) 2- clicar no sinal (+) repetidamente até visualizar os pontos da grelha.

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1- Activar o botão “desenho de barra” 2- clicar num ponto da grelha (inicio da barra) e noutro (fim da barra)

3- Repetir até desenhar a geometria completa.

5- Programa FTOOL

Geometria da estrutura

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5- Programa FTOOL Colocação de apoios

1- clicar no botão “apoios” 2- selecionar o apoio arrastando o rato sobre o nó

3-definir as características do apoio 4- carregar no botão “atribuir a propriedade a ESTE nó”

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5- Programa FTOOL Definir o material

Done Selecionar Escrever

Selecionar

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5- Programa FTOOL Definir o material

1- Escrever o módulo de elasticidade (Young) do esparguete 3600 N/mm2 2- atribuir a todas as barras (botão “all”)

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5- Programa FTOOL

Definir as secções das barras

Selecionar

Selecionar

Escrever o nome da secção

Done

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5- Programa FTOOL

Definir as secções das barras

1- Preencher as propriedades da secção Area = 2.5 mm2x nº fios de esparguete ( se a estrutura for isostática é indiferente o seu valor desde que não nulo)

2- As = 1, I=1

3- Selecionar uma barra e atribuir esta propriedade a essa barra clicando aqui 4- Em alternativa pode atribuir esta propriedade a todas as barras (botão “all”)

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5- Programa FTOOL

Definir cargas

Selecionar Selecionar

Nomear a carga

Done

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5- Programa FTOOL

Definir cargas

1- selecionar o nó (arrastando o rato sobre ele) 2- Atribuir valores às cargas 3- transferir a carga para o nó em causa clicando aqui

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5- Programa FTOOL

Definir cargas

1- repetir o processo anterior até definir todas as cargas

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5- Programa FTOOL Calculo de Esforços

1- carregar no botão – serão calculados os esforços axiais 2- mover o cursor para escalar os diagramas de esforços

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Esforços finais

Pontes de Esparguete

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5- Regras do concurso de pontes

40 cm REGRAS: - Vão > 40 cm porque as mesas distam 40 cm; - Peso máximo = 350 gramas; - comprimento mínimo das barras = 5 cm; - espaço central para placa de aço 5x56x105, (lado 105 perpendicular ao vão); - a ponte tem de suportar carga mínima de = 20 N - realizam-se incrementos de o mais monotónico possível.

> 400 mm 50mm no mínimo 105 mm, máximo

50mm no mínimo 220 mm no máximo

56 mm

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MATERIAL DE CONSTRUÇÃO: - esparguete comercial - cola a quente - comprimento da cola nos extremos = 10 mm FERRAMENTAS: - Papel A3 para esboço da treliça, lápis, régua, esquadro, etc, - Máquina de cola a quente - X-acto - Tesoura ou alicate pequeno - Quadro em cortiça, e alfinetes caso queiram prender a folha A3 e as barras

enquanto constroem!... OUTROS REQUISITOS: - Boa disposição, paciência e espírito de equipa!... … e “fair play” se as coisas

não correram de acordo com as espectativas iniciais …

Consultar o regulamento!

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5- Regras do concurso de pontes

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EQUIPAS: - 2 elementos PRÉMIOS 1º PRÉMIO: 2 Tablets 2º PRÉMIO 2 Vales de 50€ (FNAC) 3º PRÉMIO 2 Vales de 25€ (FNAC) Todos os participantes terão direito a um diploma de participação. Datas Inscrição até 8 de Maio Entrega das pontes e ensaio 13 de Maio

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5- Regras do concurso de pontes

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Pontes de Esparguete

Sumário 1- Introdução. 2- Princípios de funcionamento estrutural. 3 - Determinação de Esforços. Exemplo. 4 – Programa Ftool. 5- Regras do concurso de pontes 6- Como construir? (adaptação da U.B.I.) 7- Ensaio

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6- Como construir?

Texto: Paulo Fael U.B.I.- Universidade da Beira Interior Fotos: Humberto Santos

1- Desenhar numa página A3 o alçado da treliça (à escala)

2- Tentar perceber quais as barras que ficam em compressão e as que ficam em tracção, tendo em conta a carga aplicada

3- As barras em tracção podem ter comprimento moderado

4- As barras em compressão podem encurvar (varejar) e por isso :

(i) ou são mais espessas que as de tracção

(ii) ou são mais curtas (mas >= 50 mm, regra do jogo)

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Adaptação : Vítor Barreto Universidade do Algarve Inst. Sup. Engenharia

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5- Tensão de rotura à tracção de um fio = 𝜎𝑟𝑡 = 2.79𝑁

𝑚𝑚2 ≥

𝐹𝑡

𝐴

Com A= área do fio ( diâmetro do fio, d ≈ 1,8 mm) Frt = força de tracção resistente de cada fibra = 𝜎𝑟𝑡* A = 7 (Newton)

6- Tensão de rotura por encurvadura à compressão 𝜎𝑟𝑐 =𝜋2𝐸∗𝑑2

16∗𝐿2≥ 𝐹𝑐

𝐴

Com E= 3600 𝑁

𝑚𝑚2 (módulo de elasticidade do esparguete)

d= diâmetro do fio, ou do conjunto de fios

L = comprimento da barra = 50 mm

Frc = força de compressão resistente de cada fibra com 50 mm = 7.32 (N)

NOTA: Repare que a resistência à compressão é inversamente proporcional ao quadrado

do comprimento da barra, e que, a resistência à tracção não depende de L !...

7 – Regra de boa prática : para o mesma intensidade de força axial, usar o dobro

dos fios no caso de compressão face ao caso de tracção.

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6- Como construir?

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8- A cola tem de estar bem fluida para impregnar os esparguetes do interior da barra, e no topo da mesma.

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6- Como construir?

9- Repara nas marcas sobre a mesa para medição das barras. Já foi aplicado um pingo de cola no sítio que vai unir ao topo da outra barra.

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10- A cola espalha-se melhor no interior da barra se a abrirmos em leque

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6- Como construir?

11- Com pouca cola unimos as barras horizontais sobrepondo-as

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12- Depois da barra horizontal, começamos com as inclinadas que vão estar à compressão. Depois de coladas numa extremidade colocamo-las na posição.

13- Colocamos a barra de suporte já colada numa das extremidades sobre o conjunto para determinar o local do corte.

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6- Como construir?

14- Com muito cuidado e com a ferramenta adequada (um alicate de corte, um alicate de cortar unhas ou até mesmo um corta-unhas) cortamos os esparguetes um a um ou dois a dois. Nunca tentar cortá-los todos ao mesmo tempo

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15- As barras iguais em comprimento são sempre cortadas por comparação com a primeira. Se começamos a compará-las com outras o erro vai-se propagando e na montagem nada fica direito.

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6- Como construir?

16- Depois de todas as barras construídas e antes de as colarmos umas às outras devemos colocá-las na posição em que vão ficar para ver se os comprimentos são os adequados (e se não nos esquecemos de nada.).

17- Fazendo o mesmo com a outra treliça verificamos se ficaram iguais

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18 - Com muito pouca cola, eventualmente apenas aquecendo a cola que já está na barra, começa a montagem.

19- Na montagem a cola apenas é colocada no topo da barra.

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6- Como construir?

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20 - É na montagem final que se fazem os acertos nos comprimentos das barras de modo que o desenho inicial seja seguido. Atenção à simetria do desenho!

21 - As uniões (nós) vão-se fazendo sempre com muito pouca cola parra que as correcções se possam fazer.

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6- Como construir?

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22- Para deslocar um nó basta encostar o bico quente da pistola e forçar a separação com muito cuidado.

23- A treliça está montada. Verifica-se a geometria.

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6- Como construir?

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24- As duas treliças estão montadas; falta apenas a sua união. Repara que no nós foi deixado espaço para se montarem as barras transversais que as vão unir.

25- Sempre com pouca cola, fazem-se as uniões das barras transversais.

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6- Como construir?

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26- A ponte está montada. Faltam os travamentos que lhe vão dar estabilidade

27- Os travamentos são barras relativamente finas já que teoricamente não sofrem esforços e unem as duas treliças segundo diagonais dos quadriláteros já formados

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6- Como construir?

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28- Finalmente podem-se acabar os nós aplicando-lhes mais cola para unir bem todas as barras. Lembra-te que não podes ter mais de 1cm de cola ao longo da barra.

29- A ponte está pronta a ser testada!

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6- Como construir?

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DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA CIVIL

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O Departamento de Engenharia Civil do Instituto Superior de

Engenharia da Universidade do Algarve, situa-se em Faro no

Campus da Penha.

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• Laboratório de Construção

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Civil agradece a vossa atenção

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