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CAPÍTULO 8

CARACTERIZAÇÃO DOS SINAIS ALEATÓRIOS

PROCESSOS ALEATÓRIOS

Um processo aleatório (ou estocástico) é uma família

de variáveis aleatórias X(t), t ∈ I, onde t é um parâmetro

pertencente a um intervalo I. O intervalo I pode ser

contínuo ou discreto, no conjunto dos Reais ou dos Inteiros.

No estudo dos processos aleatórios voltados para

telecomunicações, X(t) é um sinal aleatório e t é a

variável tempo.

Exemplo:

Tem-se um processo aleatório tal que a v.a. assume 4

valores equiprováveis, sendo x1(t) = sen(t); x2(t) = sen(2t);

x3(t) = sen(3t); x4(t) = sen(4t).

Esses sinais formam em sistema em comunicações digitais,

um tipo de transmissão chamado de FSK (Frequency Shift

257

Keying) com 4 possibilidades (2 bits) ou também

chamado de 4-FSK.

Assume-se que p(x1) = p(x2) = p(x3) = p(x4) = 0,25.

Podemos também definir este processo como:

X(t,k) = sen(k t) com p(X=k) = 0,25

k=1,2,3 e 4

As formas de onda sen(k t) são conhecidas como

funções amostras, cada uma correspondendo a um ponto

amostra X = k.

O conjunto total de formas de onda é chamado de

“Ensemble” (todas as partes consideradas como um todo –

efeito total).

Outro exemplo:

Seja um sinal (ruído) na saída de um receptor de um

sistema de comunicações, onde não se transmite nenhum

sinal (do transmissor) apenas deseja-se observar o ruído

externo que entra no receptor. A experiência aleatória

258

consiste na observação da forma de onda quando o sistema

é ligado. A primeira vez que o sistema é ligado

corresponde ao ponto amostra x1, a 2a vez corresponde ao

ponto amostra x2, etc. Podemos representar graficamente

o processo como na Figura1:

Pelo exemplo anterior pode-se notar que a descrição

detalhada do processo, isto é, definir suas formas de onda e

seu conjunto de probabilidades, pode ser bastante difícil, já

que não temos esses parâmetros em forma fechada

t = 0

x(0)

x2(t)

t

t

t

t = t1 t = t2 t = t3

x(t2) x(t1) x(t3)

x1(t)

xn(t)

.

.

.

Figura 1 Representação de um processo aleatório

259

(definição das equações das formas de ondas e as equações

que definem o modelo probabilístico).

Outros exemplos:

1) X(t)= A cos(2 π f0 t + θ) conforme Figura 2 onde A e

f0 são constante e θ é uma v.a. uniformemente distribuída

em (0, 2π).

Nesse caso, se θ for também uma função do tempo ( θ(t) )

poderíamos estar representando uma modulação PM ou

FM.

Nesse caso específico temos as seguintes médias

estatísticas:

E(X) = E [A cos(2 π f0 t + θ) ] = A E [cos(2 π f0 t + θ)] =

θ

- A

A

2 π

f(θ)

Figura 2 Função de cossenoidal de θ(t)

260

A ∫ cos(2 π f0 t + θ) dθ = 0.

E(X2) = E [A2 cos2(2 π f0 t + θ) ] =

= A2 /2 E [1 + cos(2 π 2f0 t + 2θ)] = A2 / 2.

A função densidade de x(t) é obtida como:

1

X0

H (x)

1f ( ) 2f (x)dx A sen(w t )d −

θ

θ=

θ π= =+ θ

θ

02 2

A x A

X

22 2

A x A

1

2 A x

f (x)1

2 A x

<θ<π

− < <

π<θ< π

− < <

π −

= π −

2 2X

1x ( A, A)

f (x) A x0 x ( A, A)

∈ −= π − ∉ −

Outro exemplo:

2) X(t) = a t + b t > 0.

261

onde b é uma constante e a é uma v.a. N(0,1)

E(X) = E [ a t + b ] = t E[ a ] + b = b

( E [ a ] = 0.)

E(X2) =E [ ( a t + b )2 ] = E[ a2 t2 + b2 + 2 a t b ] =

= t2 E[ a2 ] + b2 + 2 t b E[a] = t2 + b2

onde E[ a2 ] = Var(a) + E(a) 2 = 1 + 02 = 1.

2

2

2

a

(x b)2

2 tX

x ba

t

1e

12f (x) e xt t 2

−−

−

−=

π= = ∈π

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 40

0 . 0 5

0 . 1

0 . 1 5

0 . 2

0 . 2 5

0 . 3

0 . 3 5

0 . 4

t = 1 fX(x,1) X é Normal(0;1)

Figura 3 Função densidade para t = 1 é uma normal de σ2=1

262

Descrição de um “Ensemble”

Um processo estocástico é descrito pelo seu

“ensemble” e as probabilidades medidas no mesmo, ou

seja, é necessário o conhecimento da n-ésima ordem da

distribuição conjunta de x1 x2 ... xn. Sabendo-se a

distribuição da n-ésima ordem, sabe-se a distribuição das

ordens inferiores através de integrações sucessivas da

função densidade de probabilidade conjunta.

Estatísticas de 1a ordem

As estatísticas de 1a ordem nos dão as estatísticas a

respeito da amplitude das funções amostras para qualquer

valor do parâmetro t (tempo).

t = 10 fX(x,10) X é Normal(0;100)

Figura 4 Função densidade para t = 10 é uma normal de σ2=100

- 4 0 - 3 0 - 2 0 - 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 00

0 . 0 0 5

0 . 0 1

0 . 0 1 5

0 . 0 2

0 . 0 2 5

0 . 0 3

0 . 0 3 5

0 . 0 4

263

É importante então, o conhecimento da distribuição de

X, isto é, f(x,t). Dessa maneira podemos obter E[x(t)],

E[ x2(t)], etc. E[x(t)] = x(t) x(t) f (x, t) dx= ∫

E[x2(t)] = 2 2x (t) x (t) f (x, t) dx= ∫

Estatísticas de 2a ordem

É importante porém sabermos qual o relacionamento,

ou melhor, qual o grau de dependência entre as amplitudes

de uma função amostra em instantes distintos. Isto é obtido

através da correlação entre as variáveis e dessa forma

fazemos uso da função densidade de probabilidade

conjunta entre x(t1) e x(t2), amplitudes de x(t) em dois

instantes de tempo quaisquer.

x2(t)

t

t

t

x1(t)

xn(t)

.

.

.

Figura 5 Gráfico dos ensembles de dois diferentes processos aleatórios. O da esquerda é sinal de alta freqüência e o da direita é um sinal de baixa freqüência.

t1 t2 t1 t2

264

Na figura 5 nota-se que o gráfico da direita, o sinal

varia lentamente e dessa forma, existe uma dependência da

amplitude do sinal no instante t1 [ x(t1) ] e uma outra

amplitude no instante t2 [ x(t2) ], onde a diferença de

tempo entre t1 e t2 não é muito grande (intervalo

relativamente pequeno entre t1 e t2). Já na figura da

esquerda, a dependência é quase que nenhuma para os

mesmos instantes de tempo (mantendo o mesmo intervalo

de tempo), pois o sinal varia muito mais rapidamente.

Dessa forma podemos notar que para um intervalo (t1,t2)

fixo, a dependência será maior ou menor dependendo do

conteúdo de freqüência (Hertz) do sinal em estudo. Essa

dependência está no sentido de se poder predizer (estimar)

o valor de x(t2) com um certo grau de precisão,

conhecendo-se o valor de x(t1).

265

Função autocorrelação

Quando se definiu o coeficiente de correlação como

2 2X Y

E[(x x)(y y)]− −ρ =

σ σ

A expressão E[(x x)(y y)]− − foi denominada de covariância

entre x e y por causa da analogia com a variância de X que

é obtida como 2 2X E[(x x) ]σ = − e a de Y como

2 2Y E[(y y) ]σ = − .

Pode-se deduzir a seguinte expressão:

E[(x-x)(y-y)] = E[(xy)] - x y

onde a função E[xy] é chamada de correlação entre X e Y.

Quando as variáveis aleatórias são independentes, temos:

E[xy] = E[x] E[y] =x y , fazendo com que ρ seja igual a

zero.

266

Vale ressaltar que este princípio de correlação entre

duas funções é bastante utilizado na deteção de sinais

transmitidos através de um sistema de comunicações

digitais, como por exemplo, sinais de telefonia celular.

Também deve-se mencionar aqui que a função de

autocorrelação é bastante usada para transmissões usando-

se DPCM (Differencial Pulse Code Modulation); em

filtragem adaptativa, etc.

Pode-se calcular a correlação de x(t) em dois instantes

de tempo diferentes t1 e t2 para se obter um “grau” de

relacionamento entre as amplitudes de x(t) nesses instantes.

Nesse caso essa função é denominada de função

autocorrelação, pois se trata do mesmo sinal x(t) obtido em

dois instantes distintos.

Com isso, pode-se tentar predizer o valor de x(t2), com

um certo grau de precisão, dados o valor da autocorrelação

e o valor de x(t1). Por esse motivo, é importante então

calcularmos a função de autocorrelação entre dois instantes

quaisquer de x(t).

267

A função de correlação entre dois instantes quaisquer

de x(t), isto é, a função de autocorrelação de x(t) é

simbolizada por RX(t1,t2) = E[x(t1)x(t2)].

Exemplo:

1. Achar a autocorrelação do processo aleatório x(t):

x(t) = a t + b com b constante e sendo a, uma

variável aleatória N(0,1).

RX(t1,t2) = E[(a t1 + b a t2 + b] =

E[a2 t1 t2 + t1 b a + t2 b a + b2]

RX(t1,t2) = t1 t2 + b2

já que E[a] = 0 e E[a2] = 1.

2. Achar a autocorrelação do processo aleatório x(t):

x(t) = A cos(2 π f0 t + θ) onde A e f0 são constante

e θ é uma v.a. uniformemente distribuída em (0, 2π).

RX(t1,t2) =E[ A cos(2 π f0 t1 + θ) A cos(2 π f0 t2 + θ) ]

268

RX(t1,t2) = E[A2 cos(2 π f0 [t2-t1] ) / 2 ] +

E[A2 cos(2 π f0 [t1+t2]+ 2θ) / 2 ]

RX(t1,t2) = A2 cos(2 π f0 [t2-t1] ) / 2

Sendo que foram usadas as seguintes igualdades:

E[A2 cos(2 π f0 [t1-t2] ) / 2] = A2 cos(2 π f0 [t1-t2] ) / 2

e

E[A2 cos(2 π f0 [t1+t2]+ 2θ) / 2] = 0.

Definições:

1) Processo aleatório estacionário:

Um processo aleatório é dito estacionário se as

estatísticas de todas as distribuições de probabilidade

conjuntas de qualquer ordem, são invariantes no tempo, isto

é, são invariantes com o deslocamento no tempo. Quando

o processo é estacionário para todas as ordens, dizemos que

ele é estacionário no sentido estrito (rigoroso ou rígido, da

definição).

269

Implicação da estacionaridade para as Estatísticas de 1a

ordem:

Para a 1a ordem, a função densidade de probabilidade

contínua (ou a função de probabilidade discreta) de um

processo tem que ter suas estatísticas independentes do

tempo, isto significa que:

f( x(t) ) = f( x(t+ta) )

para qualquer valor de t e da constante ta.

Logo, para isso ocorrer, f( x(t) ) não pode depender do

tempo

As estatísticas mais comuns de 1a ordem são:

E[x(t)] = constante 1 (média de x)

E[x2(t)] = constante 2 (média quadrática)

VAR[x(t)] = constante 3 (variância de x(t))

Sendo estes valores constantes, eles serão independentes do

tempo.

270

E de modo geral (menos comum), teríamos:

E[gx(t)] = constante

onde g . é uma função qualquer de x(t).

Implicação da estacionaridade para as Estatísticas de 2a

ordem:

Para a 2a ordem, a função densidade de probabilidade

conjunta contínua (ou a função de probabilidade conjunta

discreta) de um processo em dois instantes quaisquer de

tempo tem que ter suas estatísticas independentes do

deslocamento com o tempo, isso significa dizer que:

f( x(t1), x(t2) ) = f( x(t1+ta), x(t2+ta) )

ou seja, a função conjunta em dois instantes de tempo só

depende do intervalo de tempo (t2-t1) e não, onde se

encontra esse intervalo de tempo (onde começa e onde

termina o intervalo). Isso porque dessa forma, não irá

depender do deslocamento com o tempo.

271

A estatística de 2a ordem mais usada é a função

autocorrelação RX(t1,t2). No caso de se ter um processo

estacionário, a autocorrelação seria função só de (t2-t1). É

comum então usar RX(τ) como notação para a função

autocorrelação de um processo estacionário, onde τ =(t2-t1).

No exemplo 1 anterior, o processo X(t) = a t + b não é

estacionário, pois a sua função de autocorrelação é igual a

RX(t1,t2) = t1 t2 + b2 que é função de t1 t2 e não de (t2-t1).

Já no exemplo 2 acima, o processo

X(t) = A cos(2 π f0 t + θ) pode ser estacionário no sentido

estrito pois ele é estacionário até a 2a ordem. A

estacionaridade de 2a ordem vem do fato que a sua função

autocorrelação é igual a

2

X 1 2 0 2 1AR (t ,t ) = cos[2 f (t -t ) ]2

π

que pode ser colocada da seguinte forma:

2

X 0AR ( ) = cos(2 f )2

τ π τ

já que essa autocorrelação só depende da diferença dos

instantes de tempo, simbolizada como a variável τ.

272

Implicação da estacionaridade para as Estatísticas de n-

ésima ordem:

Para a na ordem, a função densidade de probabilidade

conjunta contínua (ou a função de probabilidade conjunta

discreta) de um processo em n instantes quaisquer de

tempo tem que ter suas estatísticas independentes do

deslocamento com o tempo, isso significa dizer que:

f( x(t1), x(t2), x(t3), … , x(tn) ) =

f( x(t1+ta), x(t2+ta), x(t3+ta), ... , x(tn+ta) )

ou seja, a função conjunta em n instantes de tempo

deverá depender dos intervalos de tempo (t2-t1 ), (t3-t1 ), ...

(tn-t1 ), …, (t3-t2 ), (t4-t2 ) ... , ... (tn-tn-1), etc.

De modo geral, não se trabalha com estatísticas de

ordem maior que 2, até porque são de pouco interesse.

Uma observação importante é que nos sistemas fisicamente

realizáveis, não existe Processo Estatístico Estacionário

porque essses sistemas têm tempo de duração finito,

fazendo com que haja uma dependência no tempo. Porém

o estado estacionário (steady state) de alguns sistemas pode

ser aproximado por um Processo Estatístico Estacionário.

273

2) Processo aleatório estacionário de ordem finita:

Quando o processo é independente do deslocamento

no tempo até a k-ésima ordem, diz-se que ele é

estacionário de ordem k. Se a k-ésima ordem é

independente do deslocamento no tempo então, todas as

ordens inferiores também serão.

3) Processo aleatório estacionário no sentido amplo:

Diz-se que um processo é estacionário no sentido

amplo (fracamente estacionário) se o valor esperado

E[x(t)] do processo é constante e a função de

autocorrelação só depende da diferença t2-t1 = τ ou seja,

E[x(t)] = x(t) = constante = x(t) e

E[x(t1) x(t2)] = RX(t2-t1) = RX(τ)

274

Observações:

a) Quando duas variáveis aleatórias têm distribuição

conjuntamente Normal, prova-se que: se o coeficiente de

correlação é zero, então estas distribuições são

independentes;

b) Mostra-se também que se um processo estocástico

Normal é estacionário no sentido amplo, ele é também

estacionário no sentido estrito.

4) Processo aleatório Ergótico

A ergoticidade do processo vem da necessidade de se

obter estatísticas do processo a partir de uma única

observação temporal, isto é, de um único sinal amostra x(t).

Dessa forma, um processo estocástico é dito ergótico (ou

ergódigo) se as suas médias no tempo são iguais às suas

médias obtidas pelo ensemble estatístico.

Assim poderíamos por exemplo, obter a distribuição

de probabilidade do processo e estatísticas de interesse

através de um único sinal amostra. Por exemplo, na figura

275

a seguir temos uma função amostra de um sinal aleatório

ergótico, a qual foi amostrada (discretizada no tempo) em

intervalos iguais a T (intervalo de observações). O valor de

T deve respeitar à taxa de Nyquist para amostragem de

sinais (T deve ser menor ou igual ao inverso do dobro da

máxima freqüência em Hertz do sinal).

Podemos obter a probabilidade de intervalos através

de: N

fProb x(t) X(t) x(t) dx(t) limN

→∞

< < + =

onde f é o número de vezes (freqüência) com que as

amostras de X(t) apareceram no intervalo dado e N é o

número de observações realizadas.

T

t

Figura 6 Representação de x(t)

276

Podemos obter também outras estatísticas do processo

ergótico a partir do sinal amostra dado. O interesse usual é

que a média do processo e a função de autocorrelação do

processo ergótico. Dessa forma, sendo X(t) um processo

ergótico, teremos:

x x(t) ; R( ) x(t) x(t ) >= < > τ = < +τ onde,

L/2

L L/2

L/2

L L/2

x E[ x(t) ] x f (x) dx

1x(t) lim x(t) dtL

R( ) E[ x(t) x(t ) ] x(t) x(t ) f (x(t),x(t )) dx(t) dx(t )

1x(t) x(t ) lim x(t) x(t ) dtL

+∞

−∞

→∞ −+∞ +∞

−∞ −∞

→∞ −

= =

< > =

τ = +τ = +τ +τ +τ

< +τ >= +τ

∫

∫

∫ ∫

∫

Conclui-se da definição que um processo ergótico é

necessariamente estacionário no sentido estrito já que as

médias estatísticas não são funções da escala de tempo, isto

é, não se modificam com o deslocamento no tempo. O

contrário não é verdade, isto é, se o processo é estacionário,

êle pode ou não ser ergótico. É comum também se

referenciar a processos ergóticos àqueles processos em que

somente as médias estatísticas de 1a e de 2a ordens são

iguais às correspondentes médias no tempo, não se dando

277

importância às estatísticas de ordem superior a dois. Nesse

caso, se o processo é ergótico, ele também será estacionário

no sentido amplo, podendo ou não ser estacionário no

sentido estrito.

Como exemplo de processo estacionário mas não

ergótico, podemos ter uma fonte de tensão DC de 12 Volts.

Diariamente, ela é acionada e se mantém constante durante

todo o período em que está ativa. Assim obtemos várias

funções-amostra do processo, definido como a saída da

fonte de tensão. Seguem-se na Figura 7, algumas amostras

da saída.

Volts 12,2 0

t

X1(t) Volts 11,9 0

t

X2(t)

Volts 12,1 0

t

X3(t) Volts 12,15 0

t

X4(t)

278

Pode-se notar que as médias estatísticas não dependem

do tempo. Da mesma forma, qualquer outra estatística

utilizando as funções-amostra, independerá do tempo.

Conclusão: o processo é estacionário. As médias temporais

serão diferentes. Logo o processo não é ergótico.

Podemos observar que x(t)< > corresponde ao valor

médio do sinal (valor DC) e que

L/22 2L/2L

1x (t) lim x (t)d(t)L −→∞

< >= ∫

corresponde à potência média total do sinal x(t). Dessa

forma, para sinais ergóticos, o valor médio do processo é o

valor DC do sinal e a autocorrelação do processo para o

deslocamento τ igual a zero, ou seja, R(τ = 0) é a potência

média total do sinal. Além disso, a variância do processo é

obtida por: 2 2 2 2E[x (t)] E[x(t)] R(0) [x]σ = − = −

Volts 11,95 0

t

X5(t) Volts 12,02 0

t

X6(t)

Figura 7 Algumas funções-amostra do exemplo

279

que corresponde, para sinais ergóticos, à potência média

AC do sinal.

Para melhor visualização dos processos aleatórios,

podemos colocar uma Figura 8 ilustrativa das várias classes

de processos, conforme mostrado a seguir.

Processos aleatórios (genéricos)

Processos estacionários no sentido amplo

Processos estacionários no sentido estrito

Processos Ergóticos

Figura 8 Representação dos vários tipos de processos aleatóros

280

Na prática é difícil saber se um processo é ou não

estacionário ou ergótico. Pode-se calcular várias médias

estatísticas (nos ensembles) em instantes distintos então,

utilizando-se testes estatísticos (paramétricos ou não-

paramétricos) sobre as médias observadas, aplicam-se

testes de hipóteses.

Correlação cruzada

Para dois processos x(t) e y(t) define-se a correlação

cruzada como XY 1 2 1 2R (t , t ) E[x(t ) y(t )]= .

Os processos x(t) e y(t) são ditos conjuntamente

estacionários no sentido estrito, se a função de distribuição

conjunta de ' ' ' '1 2 3 1 2 3k kx(t ) x(t ) x(t ) ... x(t ) y(t ) y(t ) y(t ) ... y(t )

é invariante com o deslocamento no tempo.

Os processos x(t) e y(t) são ditos estacionários no

sentido amplo se seus valores médios e a correlação

cruzada são invariantes com o deslocamento no tempo.

Nesse caso XY XY XY1 2 2 1R (t ,t ) R (t t ) R ( )− τ= = .

281

Os processos x(t) e y(t) são ditos ergóticos se o valor

médio de qualquer função de x e de y (média estatística) é

igual ao correspondente valor médio no tempo.

Para a correlação cruzada tem-se que:

L

L/2

XYL/2

1lim

Lx(t) y(t ) dt x(t) y(t ) p (x,y, ) dx dy

→∞

+∞ +∞

− −∞ −∞+τ = +τ τ∫ ∫ ∫

Densidade espectral de potência

Para sinais determinísticos sabe-se que a função de

correlação R(τ), calculada como a média no tempo e a

densidade espectral de potência G(f) formam um par de

Fourier.

Como sempre estamos interessados em saber as

amplitudes significativas das componentes do sinal na

freqüência, o problema que aparece agora é saber se um

sinal aleatório pode ser descrito em termos de componentes

no domínio da freqüência. Embora o sinal estocástico

282

tenha diversas formas de onda (formas de onda aleatória)

que podem ser de número infinito, êle pode ser descrito em

termos de valores médios, um dos quais é a autocorrelação.

No caso de sinais ergóticos como as médias das

distribuições são iguais às médias no domínio do tempo, a

autocorrelação será uma função independente da escala de

tempo, ou seja, será constante para um mesmo

deslocamento de tempo. Dessa forma, o espectro de

potência do sinal também independe da escala de tempo, ou

melhor, independe das funções amostras (formas de onda).

Conclui-se que o processo ergótico tem um espectro

de potência médio único, característico do mesmo, ou seja,

todas as funções amostras terão um espectro de de potência

médio representativo das suas componentes em freqüência.

Fica claro que o espectro de potência do sinal aleatório não

pode determinar um uma única forma de onda. Menciona-

se também espectro de potência, porque supõe-se que o

sinal aleatório exista durante o tempo todo pois caso

contrário êle não seria estacionário e dependeria da escala

de tempo.

283

Definição da densidade espectral de potência de sinais

aleatórios:

Seja uma função amostra x(t). Definimos uma

função truncada a partir de x(t) e sua correspondente

transformada de Fourier:

T

T/2j t j tT T T/2

x

Tx(t) t2(t) X (f ) x (t) e dt x(t) e dtTo t2

+∞ +− ω − ω−∞ −

≤= = =

>∫ ∫

Para sinais determinísticos, G(f) é definido como 2

TT

1lim X (f )T→∞

Porém para sinais aleatórios afim de se

incluir todas as estatísticas do sinal, ou seja, as funções

amostras, define-se a densidade espectral de potência

como:

X

2

TTEG (f ) 1lim X (f )

T

→∞=

onde as ordens de limite e média estatística não podem ser

trocadas. Pode-se escrever GX(f) também da forma:

T T

X

jX

R ( )

x (t) x (t ) dtT

G (f ) E e d1limT

+∞

−∞

+∞ − ωτ−∞

τ

+τ→∞

= τ∫∫ 1444442444443

284

e nesse caso, GX(f) e RX(τ) formam um par de Fourier.

Mostração:

Seja uma função amostra qualquer. Pode-se calcular

2

T1 E[ X (f ) ]T

e depois fazer o limite quando T → ∞. A

expressão 2

TX (f ) é conhecida como periodograma e é

utilizada, utilizando-se uma “janela” apropriada para a

estimativa da densidade espectral de sinais aleatórios.

Pode-se fazer *T T

2

T X (f )X (f )1 1E[ X (f ) ] E[ ]T T

= onde o *

significa o complexo conjugado. Temos então que:

1 21 2

T/2 T/2j2 f t j2 f t1 2T/2 T/2

dt dt2

T x(t ) e x(t ) e1 1E[ X (f ) ] E[ ]T T

+ +− π π

− −= ∫ ∫

1 21 2

T/2 T/2 j2 f t j2 f t1 2T/2 T/2

dt dtx(t )e x(t )e1 E[ ]T

+ + − π π

− −= ∫ ∫

1 21 2

T/2 T/2 j2 f t j2 f t1 2T/2 T/2

dt dtE[ x(t ) x(t ) ] e e1T

+ + − π π

− −= ∫ ∫

X 1 2, 1 2T/2 T/2 j2 ft j2 ft

1 2T/2 T/2dt dtR (t t ) e e1

T+ + − π π

− −= ∫ ∫

285

Como estamos supondo que o processo x(t) é estacionário,

R(t1,t2) = R(t2-t1) = R(τ) fazendo-se t2-t1 igual a τ, a

integral dupla pode ser calculada no plano t1 t2 como:

X 1 2

T/2 T/2 j2 fT/2 T/2

dt dtR ( ) e1T

+ + − π τ− −

τ= ∫ ∫

Deve ficar claro que o termo t2-t1 na exponencial e no

argumento da função de autocorrelação foi substituído por

τ e a integral no plano t1 t2 é obtida para o valor de τ igual

a uma constante, ou seja, em retas de τ igual a uma

constante. A figura 9 mostra os limites da integração.

Estamos fazendo t2-t1 = τ = constante. No plano t1 t2 a

reta t2-t1 = τ ou t2 = t1 + τ é uma reta de inclinação de

45 graus, conforme mostrado na figura, onde também é

mostrado para cada reta, o valor de τ.

286

Como na integral dupla acima aparece o termo t2-t1 = τ,

pode-se fazer uma mudança de variável, para que a integral

τ = -T/4

τ = T

τ = 0

τ = T/4

τ = -T

t2 – t1= τ

t2 – t1= τ + dτ

T+ τ T/2

t2

-T/2

T/2 - T/2 t1

T- τ

Figura 9 Limites de integração da função autocorrelação

287

seja calculada no plano t2 x τ. Então teremos a expressão

X

X

2

2

1 2

2

2 1T/2 T/2 j2 f (t t )

2 1T/2 T/2

T t j2 f0 t T

dt dt

d dt

R (t t ) e

R ( ) e

1T1T

−+ + − π

− −

− π τ−

=−

τ τ

∫ ∫

∫ ∫

calculada no plano t2 x τ, conforme mostrado na figura

A integral no plano t2 x τ também pode ser calculada como

T T

2 2X XT T

2 2

2 2

0 Tj2 f j2 fT 0

dt d dt dR ( ) e R ( ) e1 1T T

τ+ − π τ − π τ− − τ−

+τ τ τ τ∫ ∫ ∫ ∫

Integrando-se em t2 , obtém-se:

0 Tj2 f j2 fX XT 0

(T ) R ( ) e d (T ) R ( ) e d1 1T T

− π τ − π τ−

+τ τ τ+ −τ τ τ∫ ∫

-T/2

T/2

τ

T/2

-T/2

t2

Figura 10 Representação da integral de RX(τ) no plano (τ, t2)

288

ou ainda, como T

T j2 fXT

(1 ) R ( ) e dτ+ − π τ−

− τ τ∫

A função T

(1 )τ− no domínio de τ é um triângulo,

centrado em τ = 0 e indo de τ = -T a τ = T.

Passando-se para o limite quando T → ∞, nota-se que a

função T

(1 )τ− tende para uma reta constante igual a 1,

que multiplicada por RX(τ) dá como resultado o próprio

valor de RX(τ). Logo a integral anterior se transforma em:

2

X TTj2 f

X1G (f ) lim EX (f ) T

R ( ) e d=→∞

+∞ − π τ−∞

= τ τ∫

ou seja, GX(f) e RX(τ) formam um par de Fourier

X XR ( ) G (f )⇔τ ou seja:

Xj2 f

XG (f ) R ( ) e d

+∞ − π τ−∞

= τ τ∫

289

Xj2 f

XR ( ) G (f ) e df

+∞ π τ−∞

=τ ∫

Dessa forma, a definição de GX(f) como sendo dada pela

expressão X

2

TTEG (f ) 1lim X (f )

T

→∞= , está de acordo

com as definições feitas para o caso de sinais

determinísticos, onde GX(f) e RX(τ) formam um par de

Fourier.

A potência média total do sinal é calculada então

como:

X XP G (f )df R ( 0)∞

−∞= = τ=∫ Watts,

dissipado num resistor de 1 Ω.

Para dois processos x(t) e y(t) analogamente chega-se a:

T TXY ET

X (f )Y (f )G (f ) 1T

lim →∞

=

onde RXY(τ) e GXY(f) formam um par de Fourier,

XY XYR ( ) G (f )⇔τ

A correlação cruzada entre x(t) e y(t) é calculada como:

290

XYR ( ) x(t) y(t )p(x,y, )dxdy

+∞

−∞τ = +τ τ∫

Significado da autocorrelação

A autocorrelação de um sinal x(t) dá o grau de

dependência das amplitudes do sinal aleatório em instantes

distintos. Então é claro que, quando as amplitudes estão

muito afastadas (distantes na escala de tempo), elas serão

independentes, ou seja, não é possível nesse caso tentar

predizer uma amplitude dada a anterior. Essa

independência faz com que a autocorrelação para essa

distância entre as amplitudes seja igual ao quadrado do

valor médio (para processos estacionários), isto é,

X2

( )Rlim lim E[ x(t) x(t ) ] E[ x(t) ] E[ x(t ) ]

E[ x ] E[ x ] x

τ→∞ τ→∞=τ +τ = +τ =

= =

Se x = 0 então, lim R( ) x 0τ→∞ τ = =

Se o sinal varia lentamente ao longo do tempo, a

dependência entre as amplitudes terá um valor significativo

durante um longo tempo, isto é, para um valor de τ

291

relativamente grande; se o sinal varia rapidamente a

dependência será significante durante um curto espaço de

tempo ou seja, para um valor de τ relativamente pequeno.

Como a GX(f) e RX(τ) formam um par de Fourier, uma

determinada variação de τ implicará numa variação oposta

de f, ou seja, se RX(τ) for expandido na escala de τ, GX(f)

será comprimida na escala de freqüência (f); caso RX(τ) for

comprimido na escala de τ, GX(f) será expandida na escala

de freqüência, conforme mostrado na Figura 11.

RX(τ)

τ

0

f

GX(f)

0 fmax1

⇔

Figura: Sinal varia lentamente ⇒ valor de τ grande ⇒ freqüências baixas

RX(τ)

τ

0

f

GX(f)

0 fmax2

⇔

Figura 11 Sinal varia rapidamente ⇒ valor de τ pequeno ⇒ freqüências altas

292

Onde, nesse caso nas figuras temos fmax2 > fmax1

Outras definições:

Covariância cruzada - Kxy

É definida para processos estacionários como:

XYK E[x(t) x][y(t) y]= − −

Pode também ser escrita como:

XYXYK Ex(t) y(t ) x y R ( ) x y= − +τ − = τ −

onde RXY(τ) é a correlação cruzada entre x(t) e y(t).

Quando se trata do mesmo processo, isto é, y(t) = x(t),

chamamos de autocovariância: 2XXK R ( ) x = τ −

Processos ortogonais e processos independentes:

• Se KXY = 0, os processos x(t) e y(t) são ditos

descorrelatados;

• Se RXY = 0, os processos x(t) e y(t) são ditos

ortogonais;

293

• Os processos x(t) e y(t) são ditos independentes se a

função densidade conjunta de

' ' 'n n1 2 1 2x(t )x(t )...x(t )y(t )y(t )...y(t ) é o produto das

funções densidades conjuntas de n1 2x(t )x(t )...x(t ) e

de ' ' 'n1 2y(t )y(t )...y(t ) . Então se os processos são

independentes e estacionários, KXY = 0; porém o

contrário não se aplica, ou seja, se KXY = 0, não

implica que os processos sejam independentes.

Propriedades de RX(ττττ) e de GX(f)

1) Superposição:

Se pX

pzR (τ) = R (τ)∑ então,

pXp

zG (f) = G (f)∑

onde p pX XR ( ) G (f )⇔τ

294

pXp

zP = P∑ (Potência total é igual a soma das

potências individuais de cada sinal, pois os sinais são

no mínimo ortogonais, podendo ser independentes)

p p

+

X X-P = G (f ) df

∞

∞∫

2) Modulação:

Se x(t) é limidado em freqüência em B Hertz, e

y(t) = x(t) cos ( 2 π fc t + φ )

e sendo B < fc com φ uma variável aleatória

uniforme em (0, 2 π) independente do processo x(t),

tem-se: cY1

R (τ) = R(τ) cos( 2 π f τ)2

levando a: Y X X1 1 4 4c cG (f ) = G (f f ) G (f f )− ++

e como X cG (f f )− não intercepta em freqüência

X cG (f f )+ , tem-se também que

+

Y Y X-

1P = G (f ) df = P

2

∞

∞∫

295

3) Se dy(t) = x(t)dt

e ' 't

-z(t) = x(t ) dt

∞∫

então tem-se que:

2Y X G (f ) = (2 f) G (f )π

2X

ZG (f )

G (f ) = (2 f)π

4) RX(τ) é função par, ou seja: RX(τ) = RX(-τ)

5) RX(0) = 2x → valor médio quadrático de x(t)

6) Se z(t) = x(t) + y(t)

então RZ(τ) = RX(τ) + RY(τ) + RXY(τ) + RYX(τ)

7) Se x(t) tem uma componente periódica então RX(τ)

também será periódica de mesmo período, pois:

sendo x(t) = x(t + n T), com T o período e n

um inteiro qualquer, tem-se:

= = R( = x(t) x(t + ) x(t) x(t + + T) R( )) + Tτ ττ τ

8) 2

X R ( ) = xlim

τ → ∞τ → quadrado da componente

DC do sinal (x) se x(t) é estacionário.

Se o DC é zero, X R ( ) = 0lim

τ → ∞τ

9) X XR (0) R ( ) 0≥ τ τ≠

296

10) G(f) é função par G(f) = G(-f )

11) RXY(τ) = RYX(- τ)

12) 1/2

X Y XYR (0) R (0) R ( ) 0≥ τ τ≠

13) Se x(t) e y(t) são independentes,

RXY(τ) = RYX(τ) = x y

Observações para um sinal x(t) ergótico:

1. O valor médio do sinal x(t) , ou seja, x é a

componente DC do sinal

2. O quadrado do valor médio x é a potência DC

3. O valor médio quadrático de x(t) , ou seja, 2x é a

potência média total do sinal.

4. A variância do sinal x(t) , ou seja, 2X

22x - x

=σ

é a potência média AC do sinal.

5. O desvio padrão σX é a raiz quadrada do valor médio

quadrático (da potência média AC do sinal), ou seja, é

o valor rms do sinal x(t).

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