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Rede de Rede de BravaisBravais
Cap 1 KITTELCap 4 ASHCROFT- MERMIN (todo)Cap 7 ASHCROFT- MERMIN (parte)Cap 4 IVAN
�� Rede de Rede de BravaisBravais. Vetores primitivos. Vetores primitivos
�� Redes 2D e 3DRedes 2D e 3D
�� CCéélula unitlula unitáária primitivaria primitivaccéélula primitiva de WIGNERlula primitiva de WIGNER--SEITZSEITZccéélula unitlula unitáária convencionalria convencional
�� Estrutura cristalina: rede + baseEstrutura cristalina: rede + base
�� Alguns exemplosAlguns exemplos
�� SimetriasSimetrias
Veremos hoje
Em 3D
Rede de Bravais
VETORES PRIMITIVOS DA REDE (linearmente independentes)
332211 anananRrrrr
++=
321 ,, aaarrr
321 ,, nnn
1) Arranjo infinito e discreto de pontos tal que a disposição e
orientação dos pontos é EXATAMENTE idêntica a partir de
qualquer ponto da rede.
2) Conjunto de pontos R definidos por
Em 2D2211 ananRrrr
+=
varrem todos os valores inteiros
Para uma dada rede de Bravais o conjunto de vetores primitivos não é único – na realidade, existem infinitas escolhas.
Auguste Auguste BravaisBravais
Em 1845 enumerou todas as possíveis redes fundamentais
2D
3D
5 redes
14 redes
Redes de Redes de BravaisBravais 2D2D
retangularretangularobloblííquaqua
quadradaquadrada
retangularretangular centradacentrada
hexagonalhexagonal
Redes de Redes de BravaisBravais 2D2D
quadradaquadrada a = b a = b ϕϕ = 90= 90ºº
hexagonalhexagonal
retangularretangular
Retangular centradaRetangular centrada
obloblííquaqua
a = b a = b ϕϕ = 120= 120ºº
a a ≠≠ b b ϕϕ = 90= 90ºº
a a ≠≠ b b ϕϕ = 90= 90ºº
a a ≠≠ b b ϕϕ ≠≠ 9090ºº
Redes de Redes de BravaisBravais 3D3D
Centrada em uma única face (A, B ou C): um ponto adicional no centro de um tipo de face
P
I
F
C
Primitive centering: pontos de rede nos apenas nos cantos da célula
Corpo centrado: um ponto adicional no centro da célula
Face centrada: um ponto adicional no centro de cada face da célula
CCúúbicabica
P I F
BCCBCC FCCFCC
hexagonalhexagonal
ortorrômbicaortorrômbica
C
tetragonaltetragonal
tricltriclíínicanica
monoclmonoclíínicanica
RhomboRhomboéédricadrica((trigonaltrigonal))
SCSC
____________________________________________________________CUBIC (3) a1 =a2 = a3 α = β = γ = 90°TETRAGONAL (2) a1 =a2 ≠ a3 α = β = γ = 90°ORTHORHOMBIC (4) a1 ≠a2 ≠ a3 α = β = γ = 90°MONOCLINIC (2) a1 ≠a2 ≠ a3 α = γ = 90° ≠ β
TRICLINIC (1) a1 ≠a2 ≠ a3 α ≠ β ≠ γ
TRIGONAL (1) a1 =a2 = a3 α = β = γ <120°, ≠ 90°HEXAGONAL (1) a1 =a2 ≠ a3 α = β = 90° γ =120°_______________________________________________________________
3ar
1ar
2ar
α
γβ
CÉLULA UNITÁRIA ou CÉLULA UNITÁRIA CONVENCIONAL
Qualquer volume (área) finito que preenche completamente o espaço mediante translações convenientes sem superposições ou faltas
convenientes = subconjunto de todas as possíveis { t }
t
1
23
1 e 3 ⇒ o subconjunto é todo conjunto { t }
2 ⇒ o subconjunto é um subconjunto de { t }
4 ⇒ não é célula unitária
4
t
A célula unitária primitiva é uma célula unitária de área mínima.
Não há maneira única de se escolher uma célula primitiva para uma dada rede de Bravais.
O volume da célula primitiva é independente da escolha da célula.
Uma célula primitiva deve conter somente um ponto da rede.
CÉLULA UNITÁRIA PRIMITIVA
( ) 3210 aaaVrrr
•×=
210 aaArr
×=2D
3D
n : densidade de pontos na redenv = 1 ⇒⇒⇒⇒ v = 1/n
célula unitária convencional(cúbica)
volume da célula primitiva
)1,1,0(2
1
aa =r
( )4
3
3210
aaaaV =•×=rrr
)1,0,1(2
2
aa =r
Rede FCC )0,1,1(2
3
aa =r
Rede BCC
04VV = 4 átomos/célula
02VV = 2 átomos/célula
CÉLULA PRIMITIVA DE WIGNER-SEITZ
A célula de Wigner-Seitz tem a mesma simetria da rede de Bravais.
A célula de Wigner-Seitz em torno de um ponto da rede é a região do espaço que é mais perto deste ponto do que de qualquer outro ponto da rede.
A célula de Wigner-Seitz em torno de um ponto da rede pode ser construída ligando o ponto a todos os outros da rede, passando planos ⊥⊥⊥⊥s ao ponto médio de cada linha e tomando o menor poliedro contendo o ponto e limitado por estes planos.
A rede A rede honeycombhoneycombnão não éé uma rede uma rede fundamentalfundamental
A orientaA orientaçção ão éé idêntica a idêntica a partir de partir de AA e e CC, mas , mas não de não de AA e e BB ou ou CC e e BB
AA
CC
BB
Rede Rede honeycombhoneycomb
1) Arranjo infinito e discreto de pontos tal que a disposição e
orientação dos pontos é EXATAMENTE idêntica a partir de
qualquer ponto da rede.
z = 3
)ˆˆˆ(2,0 zyxa
++r
ESTRUTURA CRISTALINA: REDE + BASE
BCC
rede SC + base com 4 pontos)ˆˆ(2
),ˆˆ(2
),ˆˆ(2,0 xz
azy
ayx
a+++
r
base com 2 pontos
Para enfatizar a simetria cúbica das redes BCC e FCC
rede SC +
FCC
or
Átomos de Zn e S em uma rede diamante
)ˆˆˆ(4
zyxa
++
Zn
S
Estrutura Zincblende
Não é uma rede de Bravais
FCC + BASE
z = 4
0r
233
321 aaarrr
++“ideal” 63.1
3
8≅=
a
c
Estrutura HCP (hexagonal closed packed) Não é uma rede de Bravais
rede de Bravais hexagonal simples + base
Simetrias do estado cristalinoSimetrias do estado cristalino
Cap 7 ASHCROFT- MERMIN (parte)Cap 4 IVAN
Operações que deixam um dado ponto da rede fixo
OperaOperaçções de simetria ões de simetria pontuaispontuais
Reflexão em um plano vertical
E
I
Cn
σh
Identidade: Leva todas as coordenadas nelas mesmas
I(x,y,z)=(-x,-y,z)
eixo z C4(x,y,z)=(y,-x,z)
σv
Reflexão em um plano horizontal
σd Reflexão em um plano diagonal
Sn Sn= σhCn
E(x,y,z)=(x,y,z)
Inversão: Todas as coordenadas são invertidas em relação a um ponto
Rotação: Rotação de 360º/n em torno de um eixo
Rotação imprópria: Rotação de 360º/n seguida por uma reflexão em um plano horizontal
ExemploExemplo
Possui os elementos de simetriaC4, , C4
2, C43 e C4
4=E
Possui os elementos de simetriaC4
2 e C44=E
Não possui os elementos de simetria C4, e C4
3
(1) Translações por vetores da rede de Bravais
(2) Operações de simetria pontuais
Grupo de simetria de uma rede de Bravais
(3) Operações construídas pela aplicação sucessiva de (1) e (2)
____________________________________________________________Point Groups 7 (seven crystal systems)Space Groups 14 ( 14 Bravais lattices)_______________________________________________________________CUBIC (3) a1 =a2 = a3 α = β = γ = 90°TETRAGONAL (2) a1 =a2 ≠ a3 α = β = γ = 90°ORTHORHOMBIC (4) a1 ≠a2 ≠ a3 α = β = γ = 90°MONOCLINIC (2) a1 ≠a2 ≠ a3 α = γ = 90° ≠ β
TRICLINIC (1) a1 ≠a2 ≠ a3 α ≠ β ≠ γ
TRIGONAL (1) a1 =a2 = a3 α = β = γ <120°, ≠ 90°HEXAGONAL (1) a1 =a2 ≠ a3 α = β = 90° γ =120°_______________________________________________________________
3ar
1ar
2ar
α
γβ
Grupo de simetria pontual (subconjunto do grupo de simetria da rede de Bravais)
Grupo de simetria de uma rede de Bravais: grupo espacial
COLCOLÓÓQUIO DO IFQUIO DO IF--UFRJUFRJ5a5a--FEIRA, 27 de FEIRA, 27 de agostoagosto
11H 11H -- SALA 343ASALA 343A
Anderson localization of ultraAnderson localization of ultra--cold atomscold atoms
Prof. Alain AspectProf. Alain Aspect
InstitutInstitut d'Optiqued'OptiquePalaiseauPalaiseau, , FranFranççaa..
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