Rede recRede recííprocaproca

Cap 2 KITTELCap 5 ASHCROFT- MERMINCap 4 IVAN

�� DefiniDefiniçção rede recão rede recííprocaproca

�� Planos de BraggPlanos de Bragg

�� Zonas de Zonas de BrillouinBrillouin

�� Planos de rede; Planos de rede; ííndices de Millerndices de Miller

Algumas definições

Rede recíproca

difração em cristaiscálculo de estruturas de bandas de energialeis de conservação de momentumFunções com periodicidade da redeetc...

O conjunto de todos os vetores de onda que dão origem à ondas planas

Definição

Considere um conjunto de pontos constituindo uma rede de Bravais.

Rr

Kr

rKierr.

( ) rKiRrKi eerrrrr.. =+

Re RKirrr

∀= ,1.

com a periodicidade da respectiva rede de Bravais éconhecido como a rede recíproca (da rede de Bravais).

( )

( )

( )321

213

321

132

321

321

.2

.2

.2

aaa

aab

aaa

aab

aaa

aab

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

××

=

××

=

××

=

π

π

π

{ }321 ,, aaarrr

Rede de Bravais(rede direta)

Rede recíproca

{ }321 ,, bbbrrr

332211 bkbkbkKrrrr

++=

ijji ab πδ2. =rr

=

≠=

ji

jiij

1

0δonde

(delta de Kronecker)

332211 anananRrrrr

++=

1. =RKierr

, ∀∀∀∀ R def. rede recíproca

RnnknknkRKrrr

∀=++= ,2)(2. 332211 ππ

=321 ,, kkk inteiros quaisquerinteiro

A rede recíproca é uma rede de Bravais!

332211 bnbnbnGrrrr

++=

{ }321 ,, bbbrrr

: vetores primitivos da rede recíproca

A rede recíproca da rede recíproca é a rede direta original

1

321

32

).(2 a

bbb

bb rrrr

rr

=×

×π , etc...

{ } { }RKGe KGirrrrr

=⇒∀= ´,1´.

Mostrar ⇒ Cap5 Problema 1

Exemplos

Rede recíproca para a rede cúbica simples (SC)

zaayaaxaa ˆ,ˆ,ˆ321 ===rrr

( )z

aby

abx

aaaa

aab ˆ

2,ˆ

2,ˆ

2

.2 32

321

321

ππππ ===

××

=rr

rrr

rrr

SC

Rede recíproca é cúbica simples com parâmetro de redea

π2

( ) 333 /2 aVeav π== ( ) vV /23π=

Mostrar ⇒ Cap5 Problema 1

( ) ( ) ( )zyxa

ayxza

axzya

a ˆˆˆ2

,ˆˆˆ2

,ˆˆˆ2

321 −+=−+=−+=rrr

a

( ) ( ) ( )yxa

bzxa

bzya

b ˆˆ2

,ˆˆ2

,ˆˆ2

321 +=+=+=πππ rrr Célula cúbica :

FCC a

π4

( )2

.3

321

aaaav =×=rrr

( )3

321

4

4

1.

=×=a

bbbVπrrr

( )32

vV

π=

Rede recíproca para a rede BCC

Célula cúbica :BCC

Rede recíproca para a rede BCC é a rede FCC

( ) ( ) ( )yxa

azxa

azya

a ˆˆ2

,ˆˆ2

,ˆˆ2

321 +=+=+=rrr Célula cúbica :

FCC

( ) ( ) ( )zyxa

byxza

bxzya

b ˆˆˆ2

,ˆˆˆ2

,ˆˆˆ2

321 −+=−+=−+=πππ rrr Célula cúbica :

BCC a

π4

( )32

vV

π=

Rede recíproca para a rede FCC

a

( )4

.3

321

aaaav =×=rrr

( )3

321

4

2

1.

=×=a

bbbVπrrr

Rede recíproca para a rede FCC é a rede BCC

yaaxaa ˆ,ˆ21 ==rr

ya

bxa

b ˆ2

,ˆ2

21

ππ==

rr

rede quadrada,

rede quadrada, a

π2

xaa ˆ=r

xa

b ˆ2π

=r

Rede recíproca para a rede 2D quadrada

a

Rede recíproca para a rede 1D

zcaya

xa

axaa ˆ,ˆ2

3ˆ

2,ˆ

321 =+==rrr

zc

bya

byxa

b ˆ2

,ˆ3

4,ˆ

3

3ˆ

2321

πππ==

−=

rrr

rede hexagonal,

ca

ππ 2,

3

4

Rede recíproca para a rede hexagonal

a, c

Mostrar ⇒ Cap5 Problema 2

rede hexagonal com eixo x girado de 30º

PLANO DE BRAGG

Plano perpendicular a linha bissetriz que liga a origem a um ponto da rede recíproca K

K

espaço recíproco

ZONAS DE BRILLOUINZONAS DE BRILLOUIN

A célula primitiva de Wigner-Seitz da rede recíproca é chamada de PRIMEIRA ZONA DE BRILLOUIN

PRIMEIRA ZONA DE BRILLOUINde uma rede de Bravais no espaço direto

1ª Zona de Brillouin : conjunto de pontos no espaço recíproco que pode seralcançado da origem sem cruzar nenhum plano de Bragg.

célula de Wigner-Seitzda rede recíprocarespectiva

Rede unidimensional

a

π2

a

Rede direta

Rede recíproca

ak

π=

ak

π−=

1ª zona de Brillouin

0

ab

π2=

Rede quadrada

Rede cúbica: 1ª zona de Brillouin também é cúbica, de lado a

bπ2

=

Rede BCC

Rede direta: BCC Rede recíproca: FCC

a

π4

1ª zona de Brilloun: rhombic dodecaehedron

( ) ( ) ( )zya

zxa

yxa

ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ ±±±±±±πππVetores que ligam a origem ao

centro das faces:(12 vetores)

Rede FCC

Rede direta: FCC Rede recíproca: BCC

a

π4

1ª zona de Brilloun: octaedro truncado

( ) ( ) ( ) ( )zyxa

za

ya

xa

ˆˆˆ2,ˆ2

2,ˆ2

2,ˆ2

2±±±±±±

ππππVetores que ligam a origem ao centro das faces:

Espaço recíproco: dinâmica dos elétrons na rede tratada no espaço dos momentos

Zonas de Zonas de BrillouinBrillouin

Kkrr

+

kr

Kr

Um vetor de onda na 1ª ZB

É equivalente a todos os vetores onde

É um vetor da rede recíproca

De maneira equivalente: um vetor de onda

kr

fora da 1ª ZB

Pode ser “rebatido” para a 1ªZB subtraindo-se o K

rapropriado

Esfera de Fermi e 1Esfera de Fermi e 1ªª zona de zona de BrillouinBrillouin

Zonas de Zonas de BrillouinBrillouin para uma rede para uma rede quadrada e esfera de Fermiquadrada e esfera de Fermi

11ªª zona de zona de BrillouinBrillouin e superfe superfíície cie de Fermi no esquema reduzido de Fermi no esquema reduzido

( )31

23 nkF π=r

DependeDepende apenas de apenas de nn

DependeDepende apenas da geometriaapenas da geometriaZBV1

Esfera de Fermi e 1Esfera de Fermi e 1ªª zona de zona de BrillouinBrillouin

PLANOS DE REDEPLANOS DE REDE

FamFamíília de planos de redelia de planos de rede: conjunto de planos de rede, paralelos, igualmente espaçados que contém todos os pontos da rede de Bravais.

“Para cada família de planos de rede, separados pela distância d, existem vetores da rede recíproca perpendiculares aos planos, sendo o de menor tamanho de comprimento .”

“Para cada vetor da rede recíproca, existe uma família de planos de rede normais à K e separados pela distância d, onde

é o comprimento do menor vetor da rede recíproca // a K .”d

π2

d

π2

ÍÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS DE REDENDICES DE MILLER PARA PLANOS DE REDE

Um plano com índices de Miller (h k l) é normal ao vetor da rederecíproca

Note que os índices de Miller dependem da escolha particular dos vetores primitivos.

Índices de Miller : conjunto de inteiros sem fatores comuns, inversamente proporcionais às intersecções do plano cristalino com os eixosdo cristal.

321 blbkbhrrr

++

321 ,, aaarrr

321

1:

1:

1::

xxxlkh =

Na prática, somente na descrição de cristais não cúbicos é que se deve lembrar que os índices de Miller são as coordenadas da normal no sistema dado pela rede recíproca e não pela rede direta.

Faces do cubo para um cristal cúbico :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }100100,010,001,001,010,100 ⇔rrr

(equivalentes por simetria)

DIREÇÃO NO ESPAÇO REAL : [ ]321 nnn332211 anananRrrrr

++=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 100100,010,001,001,010,100 ⇔rrr

Em cristais cúbicos a direção é ⊥⊥⊥⊥ ao plano

tendo os mesmos índices; isto não é, em geral, verdade para outrossistemas.

[ ]lkh ( )lkh

DeverDever de casa:de casa:

Ashcroft – capítulo 5

Problemas 1, 2 e 3

LER TODO!!

DeterminaDeterminaçção da estrutura ão da estrutura cristalina por difracristalina por difraçção de raiosão de raios--XX

Cap 4- MARDERCap 6 ASHCROFT- MERMINApêndice A- IVAN

Seminário: difração de raios-X, difração de neutrons, difração de elétrons

(LEED - low energy electron diffraction)

(RHEED- reflection high energy electron diffraction)