Resolução de Sistemas Lineares

Resolução de Sistemas LinearesGuilherme Costa De OliveiraJonathas Luis Groetares FerreiraRenan Pereira Da Costa

Sumário Introdução Definição e desenvolvimento do

problema Resultados numéricos Conclusões Referências

Introdução 2 problemas a serem resolvidos

1. Encontrar os coeficientes de um polinômio que melhor se aproxima à função e resolver o sistema linear correspondente

2. Resolver um sistema linear 36x36

Introdução Para os dois problemas:

Calcular a matriz inversa Determinar o condicionamento das

matrizes Testar o desempenho dos métodos

aplicados

Definição e desenvolvimento do problema

Problema 1𝑓 (𝑥 )≈𝑝 (𝑥 )=𝑐𝑛 𝑥

𝑛− 1+⋯+𝑐2𝑥1+𝑐1 𝑥

0=∑𝑖=1

𝑛

𝑐 𝑖 𝑥𝑖 −1

𝑒𝑎 (𝑐1 ,𝑐2 ,⋯ ,𝑐𝑛 )=√∫01 [∑𝑖=1

𝑛

𝑐𝑖 𝑥𝑖 −1− 𝑓 (𝑥)]

2

𝑑𝑥

𝜕𝑒𝑎 (𝑐1 ,𝑐2 ,⋯ ,𝑐𝑛)𝜕𝑐𝑖

=0com 𝑖=1,2 ,…,𝑐𝑛

∑𝑗=1

𝑛

𝑐 𝑗∫0

1

𝑥 𝑗+ 𝑖−2𝑑𝑥=∫0

1

𝑓 (𝑥 )𝑥 𝑗− 1𝑑𝑥

Problema 1Sistema a ser resolvido:

A=[ 1 1/2 1/3 1/ 41/2 1 /3 1/4 1/51/3 1/ 4 1/5 1/61 /4 1 /5 1/6 1/7

] B=[ 17/1247 /6011 /20179 /420

]𝑝 (𝑥 )=𝑥3−𝑥2+𝑥1+1

Solução:

Problema 2Sistema a ser resolvido:

A36 x36×C36x1=B36x 1

Método de GaussEste método consiste em eliminar sucessivamente as incógnitas do sistema para, então, fazer a substituição dessas incógnitas no sentido .

Método do Elemento Principal𝑎11 𝑥1+¿𝑎12𝑥2+¿…+¿𝑎1𝑛𝑥𝑛=¿𝑎1𝑛+1

𝑎21𝑥1+¿𝑎22𝑥2+¿…+¿ 𝑎2𝑛 𝑥𝑛=¿ 𝑎2𝑛+1

¿……….¿…… ..…¿……… ..…¿……¿𝑎𝑛1𝑥1+¿𝑎𝑛2𝑥2+¿…+¿𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=¿ 𝑎𝑛𝑛+1¿ }

Considerar a matriz retangular aumentada e escolher o elemento diferente de zero que contém o maior valor absoluto , que não pertença ao vetor resposta, este elemento será chamado de Elemento Principal. Calcule o novo valor dos outros elementos em função do elemento principal com a fórmula:  , onde i ≠ q.

Método de Iteração

𝐴=[ 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛… … … …𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛

] , 𝑥=[𝑥1𝑥2…𝑥𝑛] ,𝑏=[𝑏1𝑏2…𝑏𝑛

]𝛼=[𝛼11 𝛼12 … 𝛼1𝑛

𝛼21 𝛼22 … 𝛼2𝑛… … … …𝛼𝑛1 𝛼𝑛2 … 𝛼𝑛𝑛

]𝑒 𝛽=[ 𝛽1𝛽2…𝛽𝑛 ]lim𝑘→∞

𝑥(𝑘+1 )=𝛽+𝛼 lim𝑘→∞

𝑥 (𝑘 )

Método de Seidel

𝑥𝑛(𝑘+1 )=𝛽𝑛+∑

𝑗=1

𝑛−1

𝛼𝑛𝑗 𝑥 𝑗(𝑘+1)+𝛼𝑛𝑛𝑥𝑛

(𝑘) ,(𝑘=0 ,1 ,2…)

Método de Relaxamento

∑𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗 𝑥 𝑗=𝑏𝑖com 𝑖=1 ,⋯ ,𝑛

∑𝑗=1

𝑛

𝑏𝑖𝑗 𝑥 𝑗+𝑐𝑖=0com 𝑖=1 ,⋯ ,𝑛

𝑏𝑖𝑗=−𝑎𝑖𝑗𝑎𝑖𝑖 e 𝑐𝑖=−

𝑏𝑖

𝑎𝑖𝑖

  com 𝑖 , 𝑗=1 ,⋯ ,𝑛

𝑅𝑖(0)=∑

𝑗=1

𝑛

𝑏𝑖𝑗 𝑥 𝑗+𝑐 𝑖com 𝑖=1 ,⋯ ,𝑛

Resultados

Condicionamento Problema 1

m-norma: 4,3156 l-norma: 4,9161 k-norma: 3,8745

Problema 2 m-norma: 0,1000 l-norma: 0,1000 k-norma: 0,1446

Gauss Problema 1

73 somas, 66 multiplicações

t = 0,002408 s Erro = 0

Problema 2 47321 somas,

25938 multiplicações

t = 0,013239 s Erro = 0

⌊

𝐶4

𝐶3

𝐶2

𝐶1

⌋=⌊

1,0000−1,00001,00001,0000

⌋

Elemento Principal Problema 1

61 somas, 88 multiplicações

t = 0,055537 s Erro = 0

Problema 2 47916 somas,

47916multiplicações

t = 0,252705 s Erro = 0

⌊

𝐶4

𝐶3

𝐶2

𝐶1

⌋=⌊

1,0000−1,00001,00001,0000

⌋

Iteração Problema 1

Não converge

Problema 2 38 somas, 1297

multiplicações Iterações = 2 t = 0,0936 s Erro = 0

Seidel Problema 1

45712 somas, 45712 multiplicações

Iterações = 2857 t = 0,027468 s Erro = 4,9e-06

Problema 2 7776 somas, 7776

multiplicações Iterações = 2 t = 0,000933 s Erro = 0

𝐶4

𝐶3

𝐶2

𝐶1

=

0,9157−0,86830,94401,0052

Relaxamento Problema 1

29815 somas, 23880 multiplicações

Iterações = 5963 t = 1,149258 s Erro = 4,9e-06

Problema 2 518 somas, 3060

multiplicações Iterações = 38 t = 0,157202 s Erro = 0

𝐶4

𝐶3

𝐶2

𝐶1

=

0,8412−0,75070,89271,0103

ComparativoTempo de Execução (tic toc)

GaussElement

o Principal

Iteração Seidel Relaxamento

Problema 1 0,002408 0,055537 - 0,027468 1,149258

Problema 2 0,013239 0,252705 0,0936 0,000933 0,157202

Número de Iterações

Iteração Seidel Relaxamento

Problema 1 - 2857 5963

Problema 2 2 2 38

Comparativo

Gauss

Elem

ento

Prin

cipal

Itera

ção

Seid

el

Relax

amen

to0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Problema 1Problema 2

Tem

po (

s)

Conclusões

Conclusões Justificação do uso de métodos devido à

ampla aplicação do problema 1 e do grande porte do problema 2

Métodos diretos com maior exatidão, porém maior tempo de execução

O MatLab se mostrou mais uma vez um excelente software para aplicação de métodos numéricos

Obrigado!