Embed Size (px)
Citation preview
1- Resolução de Sistemas Lineares.
1.1- Matrizes e Vetores.1.2- Resolução de Sistemas Lineares de Equações Algébricas por Métodos Exatos (Diretos).1.3- Resolução de Sistemas Lineares de Equações Algébricas por Métodos Iterativos.1.4- Convergência dos Métodos Iterativos.
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
1.2- Sistemas Lineares de Equações Algébricas
Solução de um sistema linear de m equações algébricas com n incógnitas via métodos exatos (diretos).
n n
n n
m m m n n m
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
+ + =+ + =
+ + =
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n
n
m m mn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
ou Ax = b
1.2.1- Quando existe solução?
Se (mais incógnitas que equações) o sistema tem mais de uma solução. Se (matriz quadrada) segue.
Lema: Se é solução do sistema , então qualquer outra solução deste sistema tem a forma , onde é solução do sistema homogêneo .
Ou seja, se e segue que:
n
n
m m mn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
ou Ax = b
n m>n m=
x1 Ax =b= +x x y2 1 y
Ay = 0
Ax =b1 Ax =b2
( )= − − = − =Ay A x x = Ax Ax b b 02 1 2 1
12 xxy −=
1.2.1- Quando existe solução?O Lema anterior implica no seguinte teorema.
Teorema: O sistema linear tem uma única solução (se existir) se e somente se o correspondente sistema homogêneo tem somente a solução .
Pode ser mostrado que tem somente a solução se .
Nesta disciplina estamos interessados em resolver sistema de equações lineares representados por uma matriz quadrada com determinante diferente de zero (não singular).
x = 0
Ax =b
Ax = 0
Ax = 0 x = 0d e t ≠A 0
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
+ + =
+ + =
+ + =
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n
n
n n nn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
1.2.1- Tipos de Métodos para resolverMétodos Diretos: Produzem a solução exata do sistema após um número finito de operações aritméticas (algoritmo finito) e livre de erro. Na prática, devido a Aritmética com Precisão Finita do computador estes métodos não produzem a solução exata. Quando a ordem da matriz é muito grande o erro devido a precisão finita do computador pode tornar a solução destes métodos sem utilidade prática. Alguns métodos: Regra de Cramer, Eliminação de Gauss, Eliminação pelo Elemento Principal.
Métodos Iterativos: Produzem a solução exata do sistema após um número infinito de operações aritméticas (algoritmo infinito). Como isto é impossível de ser feito, o algoritmo infinito é transformado em finito e conseqüentemente a solução é sempre aproximada. Alguns métodos: Método da Iteração, Método de Seidel, Método do Relaxamento.
Ax =b
1.2.2- Regra de Cramer (Inversão de matriz)Seja . Se (matriz não singular), então o sistema tem uma única solução. A matriz possui inversa .
Logo e .
Usando este resultado podemos obter as formulas de Cramer. Entretanto, este resultado tem pouca utilidade prática para matrizes de ordem superior a 4. Resolver um sistema linear de n incógnitas pela Regra de Cramer requer calcular n+1determinantes de ordem n. Calcular determinantes para ngrande pode ser muito trabalhoso (demorado).
Isto motivou o desenvolvimento de outros métodos para resolver sistemas lineares.
Ax =bA −A 1
det ≠A 0
− −A Ax = A b1 1 −x = A b1
1.2.3- Método de GaussMétodo mais usado que consiste em eliminação sucessiva das incógnitas.
Seja com uma matriz triangular superior. bxU =×nn nn×U
nnnnn
nnnnnnn
nnnn
nnnn
bxuxxxbxuxuxx
bxuxuxuxbxuxuxuxu
=++++
=++++
=++++
=++++
−
−−−−−
−−
−−
0 0 0 0 0
0
121
1111121
221122221
11111212111
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−
−
n
n
n
n
nn
nnnn
nn
nn
bb
bb
xx
xx
uuu
uuuuuuu
1
2
1
1
2
1
111
21222
1111211
00000
0
Se a solução do sistema pode ser obtida fazendo sucessivas substituição no sentido
kk
n
kjjkjk
k u
xubx
∑+=
−= 1
11 xxx nn →→→ −
Back-substitution
kukk ∀≠ 0
Teorema: Uma matriz triangular superior tem inversa se e somente se todos os elementos da diagonal são diferente de zero.
1.2.3- Método de GaussSeja com uma matriz não triangular. bxA =×nn nn×A
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−−−−−
−
−
n
n
n
n
nnnnnn
nnnnnn
nn
nn
bb
bb
xx
xx
aaaaaaaa
aaaaaaaa
1
2
1
1
2
1
121
1111211
2122221
1111211 Se multiplique a linha 1 por e elimine da linha j multiplicando a nova linha 1 por e subtraindo da linha j>1.
011≠a11/1 a 1x
1ja
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−−−−
−
−
1
11
12
11
1
2
1
111
12
11
111
112
12
112
122
11
111
112
00
01
n
n
n
n
nnnnn
nnnnn
nn
nn
bb
bb
xx
xx
aaaaaa
aaauuu
A matriz obtida é equivalente à inicial e ambos sistema possuem a mesma solução.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥∀−=
≥∀=
njiuaaa
njaa
u
jiijij
jj
,2,
,2 )1(
111
111
111
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥∀−=
==
+
++
niuabb
baub
niii
nn
,2
com )2(
1111
1
1111
1111
Note que (2)=(1) se em (2) , ou seja, se usamos a matriz ampliada em lugar da matriz original j>1,n+1.
iin ba =+1
1.2.3- Método de GaussSe multiplique a linha 2 por e elimine da linha j multiplicando a nova linha 2 por e subtraindo de linha j>2.
0122≠a
122/1 a 2x
12ja
Se podemos repetir este algoritmo sucessivamente até i=n-1 e obtemos:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≥∀−=
+≥∀=
1,3,
1,3
22
12
12
122
122
2
njiuaaa
njaa
u
jiijij
jj
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+−
+
+
−
−
−−−−
−
−
11
111
112
111
1
2
1
111
12
11
111
112
12
112
122
11
111
112
00
01
nn
nn
n
n
n
n
nnnnn
nnnnn
nn
nn
aa
aa
xx
xx
aaaaaa
aaauuu
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+−
+
+
−
−
−−−
−
−
21
211
212
111
1
2
1
221
21
211
22
212
11
111
112
0000
101
nn
nn
n
n
n
n
nnnn
nnnn
nn
nn
aa
aa
xx
xx
aaaa
uuuuu
3 01 >≠− ia iii
1.2.3- Método de Gauss
Se multiplique a linha n por e
01 ≠−nnna
1/1 −nnna n
nnnnn
nnn
n aaax 11
11
+−
−+ ==
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≥∀−=
+≥∀=
−−
−−
−−
−−−
−−−
−
1,
1,
11
21
21
211
211
1
nnjuaaa
nnjaa
u
njn
nnn
nnj
nnj
nnn
njnn
jn
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
−+−
+
+
−−
−−
−
−
11
111
212
111
1
2
1
1
11
22
212
11
111
112
000100
101
nnn
nnn
n
n
n
nnnn
nnn
nn
nn
aa
aa
xx
xx
au
uuuuu
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−+−
+
+
−−−
−
−
nnn
nnn
n
n
n
nn
nn
nn
nn
aa
aa
xx
xx
u
uuuuu
1
111
212
111
1
2
1
11
22
212
11
111
112
1000100
101
Logo, a eliminação de Gauss resulta numa matriz triangular superior com elementos da diagonal 1. Este sistema pode ser resolvido realizando o processo de Back-Substitution.
1 e 1
111
11 ≥>−=== ∑
+=++−
−+ jnxuaxa
aax
n
kjj
kkj
kknk
nnnn
nn
nnn
n
1.2.3- Método de Gauss
Se algum destes coeficientes é zero o processo pode ser feito trocando este coeficiente por algum . Isto se chama pivotar e é essencial para reduzir erros de round-off.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
1000100
101
11
22
212
11
111
112
nnn
nn
nn
u
uuuuu
Note que a matriz triangular superior obtida com a eliminação de Gauss tem todos os elementos da diagonal diferente de zero. Logo, pode ser realizado o processo de Back-Substitution. Entretanto, a condição necessária e suficiente para obter esta matriz triangular foi:
00
00
00
0
21
21
2211
1
123
132
133
122
233
12212211122
11
≠−⇔≠
≠−⇔≠
≠−⇔≠
≠
−−
−−
−−−−
− nnn
nnn
nnn
nnn
nnn aaaaa
aaaaa
aaaaa
a
01 =−kkka
01 ≠−kkja
1.2.3- Método de Gauss
Considerando o mesmo número de soma e subtração em cada processo segue:
Podemos estimar o número de operações aritméticas Nnecessárias para obter a solução de um sistema de ordem npelo Método de Gauss (sem considerar pivoteamento).
Forward-Substitution(multiplicação e divisão)
Back-Substitution(multiplicação e divisão)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
++≥∀−=
++≥∀=
−−
−
−
1,1,
1,1
11
1
1
nkjiuaaa
nkjaa
u
kkj
kik
kij
kij
kkk
kkjk
kj
div. mult.
1 2
( 1)( 2)( 1) ( 1) ( ( 1))( ) 1 23
n n n
Passo Passo Passo k
n n nn n n n n k n k= + ∗
+ ++ + − + + − − − + ⋅ =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥>−=
==
∑+=
+
+−
−+
1 1
1
11
11
jnxuax
aaax
n
kjj
kkj
kknk
nnnn
nn
nnn
n
2)1(1
1
−=∑
−
=
nnkn
k
7 2
)1(23
)2)(1(2 3 >∀<−
+++
= nnnnnnnN
1.2.3- Método de Gauss
Consequentemente, para resolver um sistema com 10000 incógnitas num computador capaz de realizar 106 operações por segundo serão necessário no mínimo T=(104)3 /106=106s.
Este esforço computacional pode ser otimizado para casos particulares de matrizes simétricas e esparsas.
Matriz Esparsa: são aquelas com muitos elementos zeros (método de diferença finita e método de elemento finito).
Matriz Densa: são aquelas com poucos elementos zeros.
Ou seja, o número de operações aritméticas N necessárias para obter a solução de um sistema de ordem n pelo Método de Gauss (sem considerar pivoteamento) é proporcional ao cubo do número de incógnitas.
7 2
)1(23
)2)(1(2 3 >∀<−
+++
= nnnnnnnN
1.2.3- Método do Elemento Principal (Estratégia do Pivô)Considere a matriz ampliada e escolha o elemento não zero com maior valor absoluto (elemento principal) que não pertença ao termo independente. Calcule o fator
Adicione a cada linha, diferente da linha p, a linha pmultiplicada pelo fator . Isto produz uma nova matriz com a coluna q formada por zeros e mantendo a linha p inalterada.
iqi
pq
au i p
a= − ∀ ≠
j q n n
j q n n
i i ij iq in in i
p p pj pq pn pn p
nn nn n nj nq nn
a a a a a a ba a a a a a b
a a a a a a b
a a a a a a b
a ba a a a a
+
+
+
+
+
⎡ = ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ = ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎦⎣
U
11 12 1 1 1 1 1 1
21 22 2 2 2 2 1 2
1 2 1
1 2 1
11 2
pqa
iu
1.2.3- Método do Elemento Principal (Estratégia do Pivô)Descartando a coluna q e a linha p obtemos uma nova matriz de ordem (n-1)x(n-1). Repetimos o procedimento para obtemos , e assim sucessivamente até , onde chegamos a uma matriz linha com dois elementos.
descartar esta linha p
j n n
j n n
i i ij in in i
pq
nn nn n nj nn
a a a a a ba a a a a b
a a a a a b
a
a ba a a a
+
+
+
+
⎡ = ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ = ⎥⎦⎣
U
11 12 1 1 1 1 1
21 22 2 2 2 1 2
1 2 11
11 2
U1
U 2 n−U 1
n−→ →U U1 1
1.2.3- Método do Elemento Principal (Estratégia do Pivô)Para determinar as incógnitas combine num sistema todas as linhas descartadas em ordem inversa . A primeira vista não parece ser uma matriz triangular, mas basta reordenar o número das incógnitas para obter um sistema com matriz triangular. Esta matriz será triangular superior ou inferior dependendo de como é feito o reordenamento.
ixn− → →U U1 1
passo n-1 (último) chega a uma linha com 2 elementos
passo n-2 (penúltimo) elimina coluna n descartando a linha p
sucessiv
n njp j pn
n n nj np j pn pn
a x a
a x a x a
− − ⎧⎨⎩+
⎧− − −⎨
+ ⎩
+ + + + + + =
+ + + + + + =
2 21
3 3 31
amente até chegar no penúltimo passo
passo 3, elimina outra coluna descartando a linha p
j np p j pn pn
j np p p j pn pn
a x a x a x a
a x a x a x a x a
⎧⎪⎨
+ ⎪⎩
+
+ + + + + + =
+ + + + + + =
2 2 2 211 1
1 1 1 11 21 2 1
passo 2, elimina coluna 2 descartando a linha p
passo 1, elimina coluna q descartando a linha pp p pj j pq q pn n pna x a x a x a x a x a
⎧⎨⎩
⎧⎨+ ⎩
+ + + + + + =
1
1 1 2 2 1
1.2.3- Método do Elemento Principal (Estratégia do Pivô)Reordenando o sistema anterior obtemos:
{
{
2 passo n-1 sem reordenação
1
reordenando j n e p n a linha acima se transforma em
2 passo n-1 reordenado 1
2
2
nj
npp j
nnn n
n
nnn
a x
a x
a
a
−
+
−
−
→ →
−+
+ + + + + + =
+ + + + + + =
sucessivamente até chegar no passo 1 {
3 passo n-2 sem reordenação 1
reordenando j n, n n-1 e p n-1 a linha acima se transforma em
3 passo n-1 reord
3
3
3
31 enado1 1 1 11
njp j
nn
npn
nnpn
nn
nn nn n n n
a x
a a
a
a
x
xx
a − − ⎧⎨
+ ⎩
→ → →
−−− −− − +
−
−−
+ + + + + + =
+ + + + + + =
{ passo 1 sem reordenação1 1 1
reordenando j n, n n-1, 1 3, 2 2, q 1 e p 1 a linha acima se transforma em
passo 1 reo1 rden13 3 11 1 1
2 2
12 1 1 1 12
p pj j pn n
n n
pq q
n n n
p pna x a
a x
a x
a x
a x
a x
a x a x
ax axa
+
→ → → → → →
+− −
+ + + + + + =
+ + + + + + = { ado
Note que invertendo a ordem das linhas obtemos uma matriz triangular superior.
1.2.3- Método do Elemento Principal (Estratégia do Pivô)Este método pode ser aplicado sempre que .
Exemplo 4.4 (Conte) Suponha uma precisão de 4 casas decimais.
det ≠A 0
Note que o método de Gauss é um caso particular deste método, que pode ser obtido sempre que escolhermos o elemento esquerdo superior da matriz correspondente em cada passo.
. . .
. . .xx⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦1
2
0 0003 1 566 1 5690 3454 2 436 1 018
Como tarefa resolver este sistema usando:
-Método de Gauss sem pivoteamento,
-Método do Elemento Principal.
. . .
. . .⎡ ⎤⎢ ⎥− ⎦⎣
0 0003 1 566 1 5690 3454 2 436 1 018
1.2.4- Método de Gauss para calcular a inversaSuponha que queremos calcular a matriz inversa de uma matriz não singular ( ).
Este é um sistema de n2 incógnitas .
det ≠A 0EAA 1 =−
×× nnnn
nn×A
),,1,( njixij =
⎩⎨⎧
≠=
===∑= ji
jinjixa ij
n
kijkjik se 0
se 1 e ),,1,(
1δδ
( ) ( , )
( , ) ( , )
n n
n n
n n nn n
n n
n n n nn
a x a x a x i ja x a x a x i j
a x a x a x i n ja x a x a x i j
a x a x a x
+ + + = = =+ + + = = =
+ + + = = =+ + + = = =
+ + + =
11 11 12 21 1 1
21 11 22 21 2 1
1 11 2 21 1
11 12 12 22 1 2
11 1 12 2 1
1 10 2 1
0 10 1 2
1 ( , )i j n= =1
Os n sistemas resultantes tem a mesma matriz e vetor b distintos e podem ser resolvidos simultaneamente pelo método de Gauss.
1.2.4- Método de Gauss para calcular a inversaExemplo: Encontre a inversa de : det ≠A 0−
× × =A A E12 2 2 2×A2 2
Os 2 sistemas tem a mesma matriz e vetor b distintos e podem ser resolvidos simultaneamente pelo método de Gauss.
a a x xa a x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
E11 12 11 12
21 22 21 22
1 00 1
a aa a×
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦A 11 12
2 221 22
2 11 2
( , )( )
( , )
( , )( )
( , )
a x a x i ja x a x i j
a x a x i ja x a x i j
+ = = =⎧⎨ + = = =⎩
+ = = =⎧⎨ + = = =⎩
11 11 12 21
21 11 22 21
11 12 12 22
21 12 22 22
1 1 11
0 2 1
0 1 22
1 2 2
u⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
1121
0 1
A matriz triangular superior é a mesma e o procedimento para obter ela é o mesmo. Logo, só precisa ser feito uma única vez. O processo de Back-Substitution deve ser feito por separado porque os termos independentes são diferentes.
axa
axa
=
=
123
21 122123
22 122
x a u x
x a u x
= −
= −
1 111 13 12 21
1 11312 12 22
Matriz Triangular
1.2.5- Erro da Solução e Condicionamento da matriz
Seja um sistema descrito por uma matriz não singular
( ). Como o sistema é resolvido com aritmética de precisão finita a solução pelo método de Gauss terá erro do tipo round-off. Também, nosso sistema pode ter incertezas devido a incertezas no termo independente e nos elementos da matriz. Queremos estimar como estas incertezas ou a aritmética de precisão finita pode influenciar a solução do sistema .
Primeiro consideramos a matriz exata e incertezas no termo independente: logo estimaremos quão grande pode ser esta incerteza.
multiplicando ambas
det ≠A 0nn×A
+ Δb b
=Ax b
( )+ Δ = + ΔA x x b b ou −Δ = Δ Δ = ΔA x b x A b1
−Δ ≤ Δx A b1 ≤b A x
se segue − −Δ ΔΔ ≤ Δ ≠ ≤
x bx b A A b x x 0 A A
x b1 1
1.2.5- Erro da Solução e Condicionamento da matriz
Para toda matriz não singular definimos um número chamado Condicionamento da Matriz como: logo
b
b
cond( ) −=A A A 1
cond( )Δ Δ
≤x b
Ax b
Note que é uma medida do erro
relativo do dado .
Δbb
é uma medida do erro relativo em devido á incerteza em . Note que quanto mais próximo de 1 for o cond(A) as incertezas em b terão menor influenza no erro da solução (matriz bem condicionada). Se cond(A)>>1 (muito grande) consequentemente o erro da solução será grande (mal condicionamento). Agora consideramos a matriz com incertezas e o termo independente exato: estimaremos quão grande pode ser esta incerteza.
Δxx
+ ΔA A
( )( )+ Δ + Δ =A A x x b ( ) ( )−+ Δ = + Δx x A A b1
x
1.2.5- Erro da Solução e Condicionamento da matriz
Denotando e usando a identidade abaixo segue
Novamente quanto mais próximo de 1 for o cond(A) as incertezas na matriz terão menor influenza no erro da solução (matriz bem condicionada). Se cond(A)>>1 (muito grande) consequentemente o erro da solução será grande (mal condicionamento).
[( ) ]− −Δ = + Δ −x A A A b1 1
= + ΔB A A
( )− − − −− = −B A A A B B1 1 1 1
( )( ) ( )( )− − −Δ = − Δ + Δ = − Δ + Δx A A A A b A A x x1 1 1
ou cond( )− Δ ΔΔ ≤ Δ + Δ ≤
+ Δx A
x A A x x Ax x A
1
Frase do Dia“As long as algebra and geometry proceed
along separate paths, their advance was slow and their applications were limited. But when these sciences joined company, they drew from each other fresh vitality and hence forward marched on at a rapid pace towards perfection.”
Joseph Louis Lagrange
