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TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
A
B
C
a
b
c
a2 = b2 + c2
⍺
=sen ⍺ca
=cos ⍺ ba
=tg ⍺ cb
⍺ + + = 90° = 90°
cateto oposto hipotenusa
sen =
cateto adjacentehipotenusa
cos =
cateto oposto tg =
cateto adjacente
=sen ba
=cos ca
=tg b
c
Se ⍺ + + = 90° = 90°
sen sen ⍺ = cos
EXEMPLOS: EXEMPLOS:
sen 30°sen 30° = cos 60°sen 10° = cos 80°
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
A
B
C
a
b
c
⍺
=sen ⍺ca
=cos ⍺ ba
=tg ⍺ cb
cateto oposto hipotenusa
sen =
cateto adjacentehipotenusa
cos =
cateto oposto tg =
cateto adjacente
=sen ba
=cos ca
=tg b
c
a2 = b2 + c2
⍺ + + = 90° = 90°
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUERTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER
A
C
Bcc
aabb
aa
sen Asen A== 2R2R
LEI DOS SENOSLEI DOS SENOS
bb
sen Bsen B==
cc
sen Csen C==
O
A B
R
C
R
LEI DOS COSSENOSLEI DOS COSSENOS
aa22 = b = b22 + c + c2 2 – 2.b.c. (cos Â)– 2.b.c. (cos Â)
SENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICOSENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
B’
A’O
A
BP()
M
Q sen ⍺ =1
OQ
cos ⍺ = 0Mcos
sen
SENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICOSENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
sen 0º = sen 0 =
cos 0º = cos 0 =
(–1, 0)A’ A(1,0)
B(0, 1)/2
0 ou 2O
3/2 B’(0, –1)
A(1, 0)0
1
sen 90º = sen /2 =
cos 90º = cos /2 =B(0, 1)
1
0
sen 180º = sen =
cos 180º = cos =A’(–1, 0)
0
–1
SENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICOSENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
(–1, 0)A’ A(1,0)
B(0, 1)/2
0 ou 2O
3/2 B’(0, –1)
sen 270º = sen 3/2 =
cos 270º = cos 3/2 =B’(0,–1)
–1
0
sen 360º = sen 2 =
cos 360º = cos 2 =A(1, 0)
0
1
SENO E COSSENO - SINAISSENO E COSSENO - SINAIS
SENO+ 1
– 1
+ +__
COSSENO
+ 1– 1
+
+
_
_O
BP()
M
Q
cos
sen
O
P
M
1
cos
sen
sensen22 +cos +cos22 = 1 = 1
B’
A’O A
BP()
1
Ttg ⍺ = ATtg
TANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICOTANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
SENO+ 1
+ +__
COSSENO
+ 1– 1
+
+
_
_
TANGENTE
+
+
_
_
1) sen2 x + cos2 x = 1 Relação fundamental
2) tg x =sen x
cos x (cos x ≠ 0)
3) cotg x =cos x
sen x (sen x ≠ 0)=
1
tg x
4) sec x =1
cos x (cos x ≠ 0)
5) cosec x =1
sen x (sen x ≠ 0)
Adição e Subtração de Arcos
sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a
cos (a b) = cos a . cos b sen a . sen b
sen 75º =
sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30ºsen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a
2
3.
2
2
2
2.
2
1
sen 75º =4
62
cos 15º =
cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30ºcos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b
cos 15º =4
62
2
1.
2
2
2
3.
2
2
O valor de cos 10o cos 35o – sen 10o. sen 35º, é:
cos (a + b) = cos a . cos b - sen a. sen b
cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º cos (10º + 35o) =
cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º cos 45o =
= cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º
2
2
sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a
cos (a b) = cos a . cos b sen a . sen b
Seno e Cosseno do arco duplo
sen (2x) = 2sen x . cos x
cos (2x) = cos2 x - sen2 x
sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos xcos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x
sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a
cos (a b) = cos a . cos b sen a . sen b
O 0
B
A’
B’
/2
A
sen
1
O
B
A’
B’
/2
A
sen
1
O
B
A’
B’3/2
A
sen
–1
O A
B
A’
B’3/2
2
sen
–1
C D
D C
y = f(x) = sen x
0
0–110y = sen x
23/2/20x
x
y = sen x
0/2
1
–1
3/2 2
IMAGEM:
DOMÍNIO:
[-1, 1]
CRESCENTE:
DECRESCENTE:
1º. e 4º. q
2º. e 3º. q
PERÍODO: 2
Construir o gráfico da função y = 1 + sen x:
1
0
1021y = 1 + sen x
0–110sen x
23/2/20x
x
y
0/2
1
–1
3/2 2
2
–2
y = sen x y = 1 + sen x
p = 2
Im = [–1, 1]
p = 2
Im = [0, 2]
Construir o gráfico da função y = 2 sen x:
0
0
0–220y = 2 sen x
0–110sen x
23/2/20x
x
y
0/2
1
–1
3/2
2
2
–2
y = sen x y = 2sen x
p = 2
Im = [–1, 1]
p = 2
Im = [–2, 2]
O0
B
A’
B’
/2
A
cos
1 O
B
A’
B’
/2
A
cos
–1
O
B
A’
B’3/2
A
cos–1 O
A
B
A’
B’3/2
2
cos
1
D D
C C
y = f(x) = cos x
–1
1001y = cos x
23/2/20x
x
y = cos x
0/2
1
–1
3/2 2
IMAGEM:
DOMÍNIO:
[-1, 1]
CRESCENTE:
DECRESCENTE:
3º. e 4º. q
1º. e 2º. q
PERÍODO: 2
Construir o gráfico da função y = sen 2x:
0
/2
0–110y = sen 2x
23/4/40x
23/2/202x
x
y = sen x
0
/2
1
–1
3/2 2/4
3/4
[–2, 0]4ℝy = - 1 + sen (x/2)
[-1, 3]2/3ℝy = 1 + 2cos (3x + /2)
[–3, 1]2ℝy = –1 + 2sen (x + /2)
[–2, 4]ℝy = 1 + 3sen (2x)
2
2
2
2
2
Período
[2, 4]ℝy = 3 + cos (x)
[–1, 1]ℝy = cos (x)
[4, 8]ℝy = 6 + 2 sen (x)
[1, 7]ℝy = 4 + 3sen (x)
[–1, 1]ℝy = sen (x)
ImagemDomínioFunção
f(x) = a + b sen m xf(x) = a + b cos m x
O0
B
A’
B’
/2
A
tg
O
B
A’
B’
/2
A
tg
0
O
B
A’
B’3/2
A
tg
0O
A
B
A’
B’3/2
2
tg
0
C C
C C
0
0∄∄0y = tg x
23/2/20x
x
y = tg x
0/2
3/2 2
y = f(x) = tg x
x
IMAGEM:
DOMÍNIO:
CRESCENTE:
SEMPRE
PERÍODO:
{x |x 2
+ k}
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