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UNIVERSIDADE DE LISBOA
FACULDADE DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Utilização Pedagógica do Jogo Um Estudo de Caso
Patrícia Resende Santos Marques
MESTRADO EM MATEMÁTICA PARA PROFESSORES
2009
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
3
UNIVERSIDADE DE LISBOA
FACULDADE DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Utilização Pedagógica do Jogo Um Estudo de Caso
Tese submetida à Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa para obtenção do grau de Mestre em Matemática para Professores
Orientada pelo Professor Doutor
Jorge Nuno Silva
Patrícia Resende Santos Marques
MESTRADO EM MATEMÁTICA PARA PROFESSORES
2009
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
6
Resumo
A professora Patrícia Resende Santos Marques, licenciada em Matemática
(ensino de) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, encontra-se
a frequentar o Mestrado em Matemática para Professores na Faculdade de
Ciências da Universidade de Lisboa e propõe-se defender a tese intitulada
“Utilização Pedagógica do Jogo – Um Estudo de Caso” sob a orientação do
Professor Doutor Jorge Nuno Silva.
Este trabalho decorreu ao longo do ano lectivo 2008/2009, no contexto
de uma experiência pedagógica numa turma do 9º ano de escolaridade, no
desenvolvimento de uma área curricular não disciplinar: Área de Projecto.
Esta turma é também da mesma professora na área curricular disciplinar
de Matemática e ainda nas áreas curriculares não disciplinares de Estudo
Acompanhado e Formação Cívica.
Utilizou-se uma metodologia qualitativa de investigação com análise
quantitativa de resultados na avaliação da área curricular de Matemática. Os
instrumentos utilizados para a recolha de dados foram:
- inquéritos inicial e final aplicados aos alunos da turma;
- registos escritos feitos pela investigadora com base na observação
directa das aulas;
- registos em vídeo, áudio e fotográficos das aulas;
- documentos escritos elaborados pelos alunos com conclusões e registo
de opiniões sobre o trabalho desenvolvido e sobre os Jogos.
Os alunos trabalharam individualmente, maioritariamente em pequenos
grupos, rotativos, e em grande grupo/turma. Cada situação é descrita na
apresentação de cada Jogo.
Desta forma, sempre em carácter lúdico, os alunos foram trabalhando
em ambiente de sala de aula, promovendo actividades de exploração, de
investigação, resolvendo problemas, desenvolvendo competências
matemáticas e de sociabilização.
É importante referir que existem outros aspectos a ter em conta, como o
papel da professora como reguladora de todo este processo de aprendizagem
pelo Jogo, nomeadamente como promotora dos Jogos e incentivadora no
cumprimento de regras em sala de aula, regras de trabalho de grupo e regras
de Jogo.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Numa fase inicial a investigadora promoveu os Jogos do Campeonato
Nacional de Jogos Matemáticos – CNJM5 – como motivação e para que,
através da turma, todo o Agrupamento de Escolas, do 1º ao 9º ano, se
envolvesse na realização do mesmo em fase de treino e selecção a nível de
Escola e depois a nível nacional, após serem apurados os primeiros
classificados em cada Jogo.
Numa fase posterior a investigadora promoveu Jogos com carácter
pedagógico, tendo por base os conteúdos programáticos do 9º ano de
escolaridade.
Os alunos foram aderindo com entusiasmo ao longo de todo o ano
lectivo, como se verá nos relatos e conclusões/reflexões de cada Jogo,
chegando mesmo a fazer propostas de Jogos.
Palavras-Chave:
Jogo
Matemática
Aprendizagem
Utilização Pedagógica
Jogos Pedagógicos
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
8
Abstract
Teacher Patrícia Resende Santos Marques, with a university degree in
Mathematics(teaching), by the Science Faculty of Oporto University, attending
the Mathematics for Teachers Master Course at the Science Faculty of Lisbon
University and pretends to defend the thesis entitled “Pedagogical Use of
Games – A Case Study” under the guidance of (Professor) Jorge Nuno Silva.
This study took place in the school year 2008/2009, in a pedagogical
experiment conducted in a 9th grade class, in the subject “Área de Projecto”
(project work class).
The researcher also teaches Mathematics, “Estudo Acompanhado”
(academic development class) and “Formação Cívica” (personal/social
development class) to the same group of students.
A qualitative investigation methodology was used as well as a
quantitative analysis of the Mathematics assessment results.
The data collection instruments used were:
- questionnaires answered by the students
- written notes taken by the researcher based on class observation
- photographic, audio and video recordings of classes
- written documents produced by the students which contain their
conclusions and opinions on the work developed and games
The students worked individually, mainly in small rotating groups, and
also in whole-class activities. Each situation is described in the games
presentation.
There are other aspects to consider, such as the teacher´s role as
regulator of the whole process of learning through the use of games, namely by
acting as the games promoter and by stimulating the students to abide by the
rules of the classroom, group work and games.
In a early stage, the researcher promoted the Games of “Campeonato
Nacional de Jogos Matemáticos – CNJM5” (National Maths Games
Championship) as a motivation activity and so that, through the researcher’s
class, the school, from the first to the ninth grades, got involved in this
championship both in the training and selection periods at school and,
afterwards, in the national championship, after selecting the highest- ranked
players in each game.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
9
In a subsequent stage, the researcher promoted pedagogical games
according to the 9th grade Mathematics programme of study.
The students responded enthusiastically to the games throughout the
year, as it will be possible to verify in the conclusions/reflections of each one,
and they even suggested games to be played by them.
The students worked in a game-based learning environment in the
classroom, promoting exploration and research activities, solving problems, and
developing mathematical and social skills.
Key words:
Game
Mathematics
Learning
Pedagogical use
Pedagogical games
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Ao Professor Doutor Jorge Nuno Silva pelo interesse pelo meu estudo e
apoio na minha orientação, bem como na disponibilidade que sempre
demonstrou ao longo destes dois anos lectivos do Mestrado em Matemática
para Professores.
Ao Conselho Executivo da Escola E.B. 2,3 do Bairro Padre que
proporcionou todas as condições para que pudesse realizar este projecto.
Aos alunos da turma onde fiz a investigação, pelo carinho demonstrado e
pelo empenho na concretização dos Jogos.
À minha família que sempre me tem apoiado e a todos os colegas e amigos
que de alguma forma o fizeram.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
13
página Apresentação…………………………………………………………………. 5 Agradecimentos………………………………………………………………. 10 Índice…………………………………………………………………...……… 12 Capítulo I – Introdução………………………………………………………. 14 Formulação do Problema…………………………………………………… 15 Carta ao Conselho Pedagógico do Agrupamento de Escolas………….. 16 Caracterização do Bairro Padre Cruz……………………………………… 17 Caracterização da Turma…………………………………………………… 19 Ficha socioeconómica……………………………………………………….. 28 Metodologia de Trabalho……………………………………………………. 30 Inquérito Inicial de Área de Projecto……………………………………….. 32 Tratamento do Inquérito Inicial de Área de Projecto……………………... 34 Autorização Encarregados de Educação………………………………….. 39 Projecto Curricular de Turma……………………………………………….. 40 Capítulo II – Revisão de Literatura…………………………………………. 42 O Jogo…………………………………………………………………………. 43 A Matemática e o Jogo……………………………………………………… 51 Capítulo III – Jogos do Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos… 56 CNJM5………………………………………………………………………… 57 Hex…………………………………………………………………………….. 60 Rastros………………………………………………………………………… 82 Ouri…………………………………………………………………………….. 89 Semáforo……………………………………………………………………… 100 Konane………………………………………………………………………… 106 Capítulo IV – Jogos Pedagógicos………………………………………….. 110 Planificação Anual a Longo Prazo do Programa do 9º ano……………... 112 Planificação Anual a Médio Prazo do Programa do 9º ano……………... 113 Jogo dos 4 Dados – Probabilidades……………………………………….. 121 Jogo dos Casos Notáveis da Multiplicação de Binómios………………... 125 Outra Aplicação do Jogo dos Casos Notáveis da Multiplicação de Binómios……………………………………………………………………….
127
Intersecções…………………………………………………………………... 134 Dominó de Inequações……………………………………………………… 171 Loto de Números Reais……………………………………………………... 192 DirectInv……………………………………………………………………….. 204 Tio Papel de Trigonometria…………………………………………………. 222 Capítulo V – Análise de Resultados……………………………………….. 231 Critérios de Avaliação do Agrupamento de Matemática e Ciências Experimentais…………………………………………………………………
232
Análise comparativa com outros anos lectivos…………………………… 233 Capítulo VI – Conclusões…………………………………………………… 234 Inquérito Final de Área de Projecto………………………………………… 235 Conclusão Final 245 Bibliografia…………………………………………………………………….. 248 Anexos………………………………………………………………………… 250 Manual do Programa Swiss Perfect 98 (SP98)…………………………… 251
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Formulação do Problema
Este estudo resulta da implementação em sala de aula de uma
experiência acerca da Utilização Pedagógica do Jogo. Trata-se apenas de um
estudo de caso.
No final do ano lectivo anterior propus-me ao Conselho Pedagógico do
Agrupamento de Escolas do Bairro Padre Cruz para desenvolver este projecto
com duas turmas do 9º ano de escolaridade, para que tomassem isso em conta
na distribuição de serviço na Escola e na elaboração dos horários dos
professores e dos alunos.
Tal não foi possível e foi-me atribuída apenas uma turma com a área
curricular não disciplinar de Área de Projecto para que pudesse proceder à
investigação solicitada.
Conforme se pode ver no documento que se segue, originalmente este
trabalho intitulava-se “A Aprendizagem pelo Jogo – Uma experiência em Sala
de Aula”, mas logo no início deste ano lectivo foi alterado, por sugestão do meu
orientador para “Utilização Pedagógica do Jogo – Um Estudo de Caso”.
Com este estudo pretende-se obter um maior conhecimento acerca da
aprendizagem da Matemática utilizando a pedagogia do Jogo em sala de aula.
Como linha de orientação de trabalho de investigação, defini duas
questões:
- Que competências são desenvolvidas através da implementação do
Jogo em sala de aula em contexto turma?
- Que resultados reflecte a implementação do Jogo com temáticas
programáticas do Currículo Nacional de Matemática para o 9º ano de
escolaridade, em termos de avaliação dos alunos?
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Carta dirigida ao Conselho Pedagógico do Agrupamento de Escolas do
Bairro Padre Cruz para implementação do Estudo de Caso desta tese.
Ao Conselho Pedagógico
Agrupamento de Escolas do Bairro Padre Cruz
Eu, Patrícia Resende Santos Marques, PQND desta Escola, venho por este
meio solicitar a atribuição da Área Curricular Não Disciplinar de Área de
Projecto em duas turmas do 9º Ano de Escolaridade, a fim de desenvolver a
investigação da Tese de Mestrado em “Matemática para Professores” do
Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de
Lisboa, subordinada ao tema “A Aprendizagem pelo Jogo – Uma experiência
em Sala de Aula”, sob a orientação do Professor Doutor Jorge Nuno Silva.
Atenciosamente,
_______________
15/07/2008
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Sou Professora do Quadro de Nomeação Definitiva na Escola Básica dos 2º e
3º Ciclos do Bairro Padre Cruz , localizada no Bairro Padre Cruz, freguesia de
Carnide, Concelho de Lisboa, escola que pertence ao Agrupamento de Escolas do
Bairro Padre Cruz, ao qual pertencem ainda uma escola do 1º Ciclo , com localização
em dois espaços distintos do Bairro, e um jardim-de-infância .
CARACTERIZAÇÃO DO BAIRRO PADRE CRUZ
1. BREVE CARACTERIZAÇÃO DA COMUNIDADE Ainda que de forma sucinta, justifica-se uma ligeira caracterização do
Bairro Padre Cruz. Este Bairro dos arredores de Lisboa iniciou a sua história há
cerca de 50 anos, quando se realojaram pessoas vindas da Quinta da Calçada,
pela construção da Ponte 25 de Abril. Os sucessivos realojamentos em
situações precárias de mais de 80 famílias de etnia cigana oriundas da zona da
Expo 98 e de 400 novas famílias, também elas provenientes de diversos
bairros degradados de Lisboa, constituem um dos factores que, associado à
forte precarização do emprego/desemprego levam à desistência e ao
abandono escolar, a que se aliam, entre outros, baixas expectativas de
sucesso e precoce inserção na vida activa por parte das crianças e jovens.
Para que a Comunidade do Bairro Padre Cruz possa progredir, é necessário
que os seus habitantes encontrem a sua verdadeira identidade cultural e um
“amor muito especial” pelo seu bairro.
As infra-estruturas que servem os residentes do Bairro são a Junta de
Freguesia de Carnide, a Biblioteca Municipal Natáli a Correia, um Salão de
Festas com Auditório e Centro de Exposições, um Cen tro de Dia, que
oferece apoio domiciliário a idosos, um Centro de Saúde e Acolhimento
Social, três Clubes Desportivos cuja actividade principal é o futebol e um
Agrupamento de Escuteiros que proporciona actividades a crianças e jovens
aos fins-de-semana e férias.
2. CARACTERIZAÇÃO SÓCIOECONOMICA DO BAIRRO PADRE CR UZ
A população do Bairro Padre Cruz é, na sua maioria, de nacionalidade
portuguesa, nascida no perímetro urbano de Lisboa. No entanto, existem
alguns estrangeiros e naturalizados, oriundos, com maior incidência dos
PALOP.
A principal característica que se denota da análise sociocultural desta
população diz respeito aos baixos índices de escolaridade. Cerca de 44% da
população não possui qualquer nível de escolaridade e somente 1% da
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Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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população é detentor de um curso profissional médio ou superior. Tal como
seria de esperar, o índice de escolaridade repercute-se, principalmente, na
inserção laboral da população activa ao condicionar o seu acesso a empregos
qualificados, constatando-se assim, que 2% da população trabalha em
actividades do sector primário e cerca de 69% no sector terciário, mas em
tarefas de baixa qualificação. Existe, ainda, a negativa particularidade do
permanente elevado número de pessoas sem ocupação. A iliteracia constitui
uma forte condicionante, quer em termos de acessibilidade à actividade
económica, quer ao nível do acompanhamento dos filhos em idade escolar.
Existem, ainda, outras limitações que podem provocar um distanciamento e
uma desvalorização da educação escolar das crianças e dos jovens deste
Bairro, tais como a existência de famílias monoparentais e desorganizadas que
deixam aos avós o cuidado e educação dessas mesmas crianças. Este
contexto constitui um dos factores responsáveis pelo absentismo e pelo
abandono escolar.
O nível socioeconómico da generalidade da população é
maioritariamente baixo, verificando-se, inclusivamente, a existência de bolsas
de pobreza, pontualmente apoiadas por projectos dinamizados por estruturas
de solidariedade social implantadas na região. Uma parte substancial da
população subsiste do Rendimento de Inserção Social (RIS), o que provoca um
distanciamento e uma desvalorização da educação escolar a que se alia uma
precoce inserção na vida activa (nomeadamente venda ambulante) ou mesmo
em actividades marginais (furto, comércio de estupefacientes, etc.) por parte
das crianças e jovens. Esta é, portanto, uma população profundamente
carenciada, situação que tende a perpetuar-se de geração em geração. Num
meio com estas características, os problemas de alcoolismo,
toxicodependência e comportamentos marginais apresentam necessariamente
uma densidade elevada, com reflexos fortemente visíveis na escola,
nomeadamente no que concerne ao elevado número de alunos com
Necessidades Educativas Especiais, a distúrbios de comportamento,
indisciplina, violência e deficiente adaptação ao quotidiano escolar.
Constatamos, portanto, que grande parte das dificuldades com que a
escola se debate tem a sua raiz em questões de carácter social e de
mentalidade que só serão resolúveis a longo prazo e com uma intervenção
directa e eficazmente persistente junto da população.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Caracterização da Turma do 9º Ano de Escolaridade
Para esta caracterização baseei-me num inquérito socioeconómico
aplicado a cada um dos alunos.
Identificação
Esta turma é composta por vinte e dois alunos, sendo 12 rapazes e 10
raparigas.
A média de idades é de 14 anos, com a distribuição por idades como
segue no quadro. Existem dez alunos fora da escolaridade obrigatória.
Idade Sexo Total Feminino Masculino
12 1 0 1 13 2 1 3 14 5 3 8 15 1 5 6 16 1 2 3 17 0 1 1
Total 10 12 22
Existe um aluno repetente no 9º ano de escolaridade, sendo a primeira
vez que fica retido; três alunos repetiram o 8º ano de escolaridade; um aluno
repetiu o 7º ano uma vez e outro repetiu o 7º ano duas vezes; um aluno repetiu
o 4º ano; outro repetiu o 3º e o 4º ano; um aluno repetiu o 5º ano e o 6º por
duas vezes; outro repetiu o 5º e o 7º e ainda um aluno repetiu o 5º ano uma
vez. Podemos sintetizar as retenções por ano na tabela:
Ano de escolaridade Nº de Retenções 3º Ano 1 4º Ano 2 5º Ano 3 6º Ano 2 7º Ano 4 8º Ano 3 9º Ano 1 Total 16
Metade da turma, isto é, onze alunos nunca repetiu nenhum ano lectivo.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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No ano lectivo anterior um aluno obteve dez níveis inferiores a três;
quatro alunos obtiveram três níveis a três; dois alunos obtiveram dois níveis
inferiores a três e três alunos obtiveram um nível inferior as três.
A distribuição dos níveis inferiores a três por disciplina está sintetizada
na tabela seguinte:
Disciplinas c om níveis inferiores a três no ano anterior Nº de Alunos Língua Portuguesa 6 Língua Est. I - Inglês 2 Língua Est. II - Francês 2 História 4 Geografia 1 Matemática 1 Físico - Química 3 Ciências Naturais 4 Educação Visual 1 Educação Tecnológica 1 Educação Física 2 TIC 1 Área de Projecto 1 Estudo Acompanhado 1 Formação Cívica 1 E.M.R.C. 0
Quatro alunos tiveram Apoio Pedagógico Acrescido no ano anterior a
Língua Portuguesa e Matemática; cinco alunos tiveram Reforço de
Aprendizagens a Matemática e quatro a Língua Portuguesa.
Neste ano lectivo, existem apenas dois alunos com Necessidades
Educativas Especiais, ao abrigo do Decreto-Lei 3/2008.
Numa Escola tão carente como esta, conforme referido na sua
caracterização, existem muitos alunos subsidiados com Apoio Escolar. Nesta
turma, dezassete alunos têm Escalão A, um tem Escalão B e apenas quatro
não têm Apoio Social Escolar.
Os pais são na sua maioria adultos com maioria incidente entre os 35 e
os 50 anos, distribuindo-se da seguinte forma:
Idade Sexo Total Pai Mãe
[30;35[ 1 1 2 [35;40[ 2 8 10 [40;45[ 8 5 13 [45;50[ 5 6 11 [50;55[ 4 2 6 [55;60[ 1 0 1 [60;65[ 1 0 1
Total 22 22 44
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Quanto à escolaridade dos pais, temos:
Grau de Escolaridade Sexo Total Pai Mãe
Não estudou 0 1 1 3º 1 2 3 4º 15 8 23 6º 2 2 4 7º 1 3 4 9º 1 2 3
10º 0 1 1 11º 2 0 2 12º 0 1 1
1º Ano Faculdade 0 1 1 Licenciatura em História 0 1 1
Total 22 22 44 Verifica-se, por análise do quadro que a maioria dos pais frequentou
apenas até ao 4º ano de escolaridade. Existe um pequeno número de mães
que concluiu licenciatura, uma apenas, bem com uma que se encontra a tirar
um curso superior, uma que estudou até ao 12º ano e uma que nunca andou
na escola. Os restantes distribuem-se entre o 3º ano e o 11º, sendo a maior
percentagem para os pais que frequentaram apenas até ao 4º ano de
escolaridade, a saber, 52%.
O quadro seguinte revela a qualificação profissional dos pais.
Qualificação Profissional Sexo Total Pai Mãe
Profissionais qualificados 1 2 3 Profissionais semi-qualificados 16 11 27
Doméstica 0 5 5 Comerciantes 1 0 1
Reformado 2 0 2 Desempregado 2 4 6
Total 22 22 44
A grande maioria dos pais é profissional com alguma qualificação como:
Pintor; Motorista; Segurança; Electricista; Ladrilhador; Pedreiro; Cortador de
carnes; Almeida; Marcador de via; Armador de ferro; Ajudante de topógrafo;
Carpinteiro; Empregado de construção civil. O mesmo acontece com as mães
dividindo-se em Auxiliar de Acção Educativa; Auxiliar num Lar; Empregada de
limpeza hospitalar; Cozinheira; Empregada de refeitório; Recepcionista;
Empregada de limpeza; Ajudante de economato; Porteira. Como profissionais
qualificados temos três administrativos.
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Em relação à constituição do agregado familiar, nomeadamente pessoas com quem habitam, temos:
Pessoas com quem habitam Nº de Alunos Mãe e Avós 2
Pais 4 Pais e irmãos 6 Mãe e irmãos 1
Pais, irmão e filho 1 Mãe 1
Mãe, irmãos e sobrinhos 2 Mãe, padrasto e irmãos 2 Mãe, Avós, Tia e primas 1
Pai e avó 1 Pais, irmãos, tia e primo 1
Total 22
Apenas doze alunos, correspondendo a 55%, habitam com os dois pais,
muitas vezes em conjunto com outros familiares. Existem várias famílias
monoparentais.
São famílias com dois ou três filhos, na sua maioria, 77%, e apenas uma
família tem quatro filhos, uma família tem cinco filhos, uma família tem seis
filhos e uma família tem 8 filhos. Considera-se família numerosa quando
existem 4 ou mais filhos, o que nesta turma corresponde a 18%,
contrariamente ao que seria de esperar. Número de irmãos:
Número de irmãos Nº de Alunos 0 1 1 8 2 9 3 1 4 1 5 1 6 0 7 0 8 1
Total 22
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Habitação
Vinte e um alunos habitam no Bairro Padre Cruz e um aluno habita no
Bairro da Horta Nova, situado entre Telheiras e o Lumiar, sendo um bairro em
tudo semelhante ao Bairro Padre Cruz. Habitam maioritariamente em
apartamentos de inserção social, geridos pela “Gerbalis” e são famílias muito
apoiadas pela Junta de Freguesia de Carnide.
Tipo de Habitação Nº de Alunos Apartamento 16
Moradia 6 Total 22
Os encarregados de educação são maioritariamente mães, havendo a
distribuição seguinte:
Encarregado de Educação Nº de Alunos Mãe 17 Pai 4 Avó 1
Total 22
A maioria dos alunos estuda no quarto.
Local de estudo Nº de Alunos Quarto 13 Sala 5
Quarto/sala 2 Quarto/sala/cozinha 1
Não respondeu 1 Total 22
É de referir que treze alunos dormem sozinhos no seu quarto, nove dos
quais refere que estuda no quarto.
Dezasseis alunos referem ter televisão no seu quarto.
Existem dezanove alunos com computador em casa, dos quais doze têm
Internet, e doze têm impressora, não coincidindo um aspecto com outro em dez
alunos.
Julho 2009
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Saúde
Quanto a problemas de saúde não há casos graves e significativos, no
entanto há a registar três alunos que referem sofrer de asma, um que diz sofrer
de falta de ar, e um ter um sopro no coração e anorexia, sendo o único que
entregou um relatório médico. Cinco alunos referem não ver bem, mas todos os
alunos referem ouvir bem. No entanto, onze alunos, isto é, metade da turma diz
ter frequentemente dores de cabeça. Sete alunos sofrem de alergias
diagnosticadas a alimentos ou medicamentos, mas controladas.
Alimentação
Hábitos alimentares: apenas uma aluna refere tomar o pequeno-almoço
somente às vezes; dezassete alunos tomam o pequeno-almoço em casa; dois
tomam na Escola; um em casa ou na escola; um em casa ou no café, e um no
café.
Número de refeições diárias: 77% dos alunos fazem entre três a cinco
refeições por dia.
Número de refeições diárias Nº de Alunos 2 ou 3 1
3 2 3 ou 4 3
4 9 5 5 6 1
6 a 8 1 Total 22
Apenas uma aluna não lancha porque diz não ter fome e outra refere
lanchar apenas às vezes. De modo geral, os hábitos alimentares são bons.
Educação
No ano lectivo anterior apenas um aluno não frequentou o oitavo ano de
escolaridade, tendo frequentado o nono e estando a repeti-lo.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Disciplinas preferidas Nº de Alunos Tecnologias de Informação e Comunicação 6 Francês 1 Inglês 5 Educação tecnológica 3 Educação Física 11 Matemática 5 Educação Visual 2 Ciências Naturais 3 Formação Cívica 1
A disciplina mais referida como preferida é Educação Física, por 50%
dos alunos.
Disciplinas com mais dificuldades Nº de Alunos Francês 7 Matemática 6 História 6 Ciências Naturais 3 Língua Portuguesa 2 Educação Física 1 Ciências Físico-Químicas 1 Inglês 1
Os alunos consideram ter mais dificuldades nas disciplinas de Francês
com 32%; Matemática com 27%; História com 27%; Ciências Naturais, com
14%; Língua Portuguesa com 9%; Educação Física, Ciências Físico-Químicas
e Inglês, ambas com 5% dos alunos.
Na sala de aula os alunos desta turma consideram que aprendem mais
quando:
Na sala de aula aprendo mais quando Nº de O professor lê o livro adoptado e explica a matéria. 10 O professor faz sínteses no quadro ou elabora mapas de 4 São apresentados filmes, transparências ou diapositivos. 2 Trabalhas em grupo. 8 As aulas são orientadas por fichas de trabalho. 8 Participas em projectos e comunicas o resultado das tuas 0 Realizas jogos educativos. 4 Realizas actividades de investigação em sala de aula. 6
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Quando têm dificuldade em compreender um assunto ou fazer um
trabalho recorrem a:
Quando tens dificuldade em compreender um assunto o u fazer um trabalho a quem recorres:
Nº de Alunos
Aos teus professores. 9 Aos teus colegas. 5 Aos teus familiares. 10 A um “explicador” pago pelo teu Encarregado de Educação. 0 A ninguém. Tentas informar-te pesquisando sozinho, por exemplo na biblioteca.
7
A outra pessoa. Quem? Namorado 1
Quando acabarem o 9º ano de escolaridade vão:
Quando acabares o 9º ano vais: Nº de Alunos Trabalhar. 1 Prosseguir os teus estudos. 15 Trabalhar e estudar. 2 Não sabes. 3 Não responde 1
Quanto às novas áreas curriculares, Estudo Acompanhado, Área de
Projecto e Formação Cívica, vinte alunos têm muito boa opinião, considerando
que ajudam as outras disciplinas, aprendem coisas novas, aprende-se a ter
mais respeito, ajudam a estudar, dão boas hipóteses aos que não conseguiram
acabar o ano, para os ocupar em mais tempo e aprender melhor; um aluno
refere não ter nenhuma opinião e outro diz ter má opinião porque o horário fica
muito grande.
Quanto aos interesses dos alunos, registo as profissões futuras desejadas:
Quando fores adulto gostavas de ser: Nº de Alunos Educadora de Infância 1 Cantora, actriz ou veterinária 1 Arquitecta 1 Medicina ou Computadores 1 Jogador de ténis 1 Educadora de Infância ou trabalhar numa loja de roupa 1 Cortador de carne ou informático 1 Médica ou Engenheira Técnica 1 Futebolista 4 Pasteleiro 1 Economia ou gestão 1 Cozinheiro 2 Cabeleireira ou Técnica de Informática 1 Não sabe 5 Total 22
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Verifica-se que não são alunos com grandes aspirações, alguns até sem
grandes objectivos para o futuro - influência do meio social que integram.
Transporte
Apenas um aluno se desloca de autocarro para a escola, sendo o aluno
que mora no Bairro da Horta Nova, um ainda refere que por vezes se desloca
de carro, todos os outros deslocam-se sempre a pé demorando entre 3 a 15
minutos cada viagem. O aluno que se desloca de autocarro refere demorar 2
minutos cada viagem.
Hora de chegada a casa. Os alunos maioritariamente deslocam-se a
casa depois das aulas, não tendo ocupações extra-aulas.
Ocupação dos Tempos Livres
Depois de saíres da Escola ocupas o teu tempo livre com: Nº de Alunos Televisão 19 Livros 0 Colecções 0 Futebol 7 Música 13 Computador 15 Ballet/Patinagem artística 0 Jornais e revistas 2 Natação 1 Consola 9 Outros: com o meu filho 1 Outros: voleibol 1 Outros: playstation 2
O que sobressai mais como aspecto negativo é a falta de bons hábitos
de leitura. Nenhum aluno refere preencher os seus tempos livres com livros e
apenas dois dizem consultar jornais ou revistas.
Trabalho
Vinte alunos ajudam os pais, um diz ajudar mais ou menos e outro
afirma não o fazer. Quanto aos trabalhos em que ajudam os pais relacionam-se
com as lides domésticas. Apenas dois alunos trabalham em férias. Um trabalha
com o pai na construção civil porque refere gostar de o fazer e a outra aluna
porque a “tia” é a presidente da Fundação da Criança e sempre que pode vai
ajudá-la.
Julho 2009
28
FICHA SOCIOECONÓMICAEscola E.B. 2,3 do Bairro Padre Cruz Ano:
Nome: ___________________________________Idade: _________ Data de nascimento: ___________Nome do teu pai: _____________________________Idade: _______ Profissão: _____Grau de escolaridade do pai: ___________________Nome da tua mãe: ____________________________Idade: _______ Profissão: ____Grau de escolaridade da mãe: ______Residência: ___________________________________________________________________Número de irmãos: _____ Nome do teu encarregado ____________________________________Parentesco: ____________________
A tua casa é: Moradia Apartamento Quantos quartos e salas tem a tua casa? Tem Qual é a divisão da casa onde habitualmente estudas? ________Dormes num quarto sozinho? ___Tens computador? ___ E impressora? __________
Vês bem? __ Ouves bem? __Sofres de alguma doença? _És alérgico a algum alimento? __És alérgico a algum medicamento? ___ Qual? _________________Assinala com uma cruz as doenças que os teus familiares mais próximos têm (se não souberes preencher o quadro pede ajuda aos teus pais
Doenças Familiares
Diabetes
Pai Mãe Irmãos Avós Coabitantes
Qual é o teu número de utente? __________ Médico de Família: __________N.º de telefone em caso de emergência:
Costumas tomar o pequenoO que costumas comer? _____O que costumas beber às refeiçNormalmente quantas refeições fazes por dia? __________ Costumas lanchar?
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
FICHA SOCIOECONÓMICA Escola E.B. 2,3 do Bairro Padre Cruz Ano Lectivo: 2008/2009
Turma: Número:
IDENTIFICAÇÃO _______________________________
e nascimento: ___________ _____________________________
: _______ Profissão: _____________________ ai: ___________________
________________________ Idade: _______ Profissão: _____________________ Grau de escolaridade da mãe: __________________
_______________________ ________________________________
Número de irmãos: _____ Idades: _______________ Nome do teu encarregado de educação: __________
___________________ _______________
HABITAÇÃO A tua casa é: Moradia Apartamento
e salas tem a tua casa? Tem ___ quartos e ___ salas.Qual é a divisão da casa onde habitualmente estudas? _____________
quarto sozinho? ___ Tens televisão no teu quarto? ____ ___ E impressora? __________ E internet?_______
SAÚDE Vês bem? __ Ouves bem? __ Costumas ter dores de cabeça? __
a doença? ___ Qual? ________________________ alérgico a algum alimento? ___ Qual? _____________________
érgico a algum medicamento? ___ Qual? _________________ Assinala com uma cruz as doenças que os teus familiares mais
se não souberes preencher o quadro pede ajuda aos teus pais). Asma Hipertensão Tuberculose Outras
(quais?)
Qual é o teu número de utente? __________ Médico de Família: __________N.º de telefone em caso de emergência: ______________________________
ALIMENTAÇÃO mar o pequeno-almoço? ___ Em casa, no café ou na Escola
O que costumas comer? ____________________________________ O que costumas beber às refeições? __________________________ Normalmente quantas refeições fazes por dia? __________________ Sim O quê? ___________________
Não Porquê? __________________
Um estudo de caso
Ano Lectivo: 2008/2009
_ quartos e ___ salas. _____
E internet?_______
Qual é o teu número de utente? __________ Médico de Família: __________ ______________________________
_ Em casa, no café ou na Escola? _________
Sim O quê? ___________________
_
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
29
EDUCAÇÃO No ano passado frequentaste o ______________________ Quais são as tuas disciplinas preferidas? ______________ Qual é a disciplina em que tens mais dificuldades? ______ Na sala de aula aprendes mais quando: O professor lê o livro adoptado e explica a matéria. O professor faz sínteses no quadro ou elabora mapas de conceitos. São apresentados filmes, transparências ou diapositivos. Trabalhas em grupo. As aulas são orientadas por fichas de trabalho. Participas em projectos e comunicas o resultado das tuas pesquisas à turma. Realizas jogos educativos. Realizas actividades de investigação em sala de aula _____________________________________________________ Quando tens dificuldade em compreender um assunto ou fazer um trabalho a quem recorres? Aos teus professores. Aos teus colegas. Aos teus familiares. A um “explicador” pago pelo teu Encarregado de Educação. A ninguém. Tentas informar-te pesquisando sozinho, por exemplo na biblioteca. A outra pessoa. Quem? __________________________________ Quando acabares o 9º ano vais: Trabalhar. Prosseguir os teus estudos. Trabalhar e estudar. Não sabes. Qual a tua opinião sobre as novas áreas curriculares? _________________________ _____________________________________________________________________ Quando fores adulto gostavas de ser: ________________________________________________
TRANSPORTE Que meio de transporte utilizas para vires para a escola? ______ Se vens de autocarro paras: Perto de casa. À porta de casa. Longe de casa. Quanto tempo demora cada viagem? ______________________ A que horas costumas chegar a casa, quando tens aulas de tarde? ________
OCUPAÇÃO DOS TEMPOS LIVRES Depois de saíres da Escola ocupas o teu tempo livre com: Televisão Ballet/Patinagem artística Livros Jornais e revistas Colecções Natação Futebol Consola Música Judo/karaté Computador Outros: __________________
TRABALHO FORA DA ESCOLA Costumas ajudar os teus pais? ___ Em que trabalhos? _________________ Nas férias, trabalhas em algum sítio especial? ___ Onde? _______________ Porquê? ______________________________________________________
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
30
Metodologia de Trabalho
Este trabalho decorreu ao longo do ano lectivo 2008/2009, no contexto
de uma experiência pedagógica numa turma do 9º ano de escolaridade, no
desenvolvimento de uma área curricular não disciplinar: Área de Projecto.
Esta turma é também da mesma professora na área curricular disciplinar
de Matemática e ainda nas áreas curriculares não disciplinares de Estudo
Acompanhado e Formação Cívica.
Utilizou-se uma metodologia qualitativa de investigação com análise
quantitativa de resultados na avaliação da área curricular de Matemática. Os
instrumentos utilizados para a recolha de dados foram:
- inquéritos inicial e final aplicados aos alunos da turma;
- registos escritos feitos pela investigadora com base na observação
directa das aulas;
- registos em vídeo, áudio e fotográficos das aulas;
- documentos escritos elaborados pelos alunos com conclusões e registo
de opiniões sobre o trabalho desenvolvido e sobre os Jogos.
Os alunos trabalharam individualmente, maioritariamente em pequenos
grupos, rotativos, e em grande grupo/turma. Cada situação é descrita na
apresentação de cada Jogo.
Desta forma, sempre em carácter lúdico, os alunos foram trabalhando
em ambiente de sala de aula, promovendo actividades de exploração, de
investigação, resolvendo problemas, desenvolvendo competências
matemáticas e de sociabilização.
Não devo deixar de referir que existem outros aspectos a ter em conta,
como o papel da professora como reguladora de todo este processo de
aprendizagem pelo Jogo, nomeadamente como promotora dos Jogos e
incentivadora no cumprimento de regras em sala de aula, regras de trabalho de
grupo e regras de Jogo.
Numa fase inicial a investigadora promoveu os jogos do Campeonato
Nacional de Jogos Matemáticos – CNJM5 – como motivação e para que,
através da turma, todo o Agrupamento de Escolas, do 1º ao 9º ano, se
envolvesse na realização do mesmo em fase de treino e selecção ao nível de
Escola e depois a nível nacional, após serem apurados os primeiros
classificados em cada Jogo.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
31
Numa fase posterior a investigadora promoveu jogos com carácter
pedagógico, tendo por base os conteúdos programáticos do 9º ano de
escolaridade.
Os alunos foram aderindo com entusiasmo ao longo de todo o ano
lectivo, como se verá nos relatos e conclusões/reflexões de cada Jogo,
chegando mesmo a fazer propostas de jogos.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
32
Inquérito Inicial de Área de Projecto - 9º Ano
Nome:
Número: Turma: Data:
Professora: Patrícia Marques
1) O que mais gostas de fazer nas aulas de Matemática?
Resposta: ______________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
2) Gostas de Jogar?
Resposta: ______________________________________________
Que tipo de jogos preferes?
Resposta: ______________________________________________
______________________________________________________
3) Na tua opinião, o que aprendes ao jogar um Jogo?
Resposta: ______________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
4) Que jogos de tabuleiro conheces?
Resposta: ______________________________________________
______________________________________________________
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
33
5) Que jogos tens em casa?
Resposta: ______________________________________________
______________________________________________________
6) Costumas jogá-los em família? Caso não, com quem costumas jogar?
Resposta: ______________________________________________
______________________________________________________
7) Conta uma história em que um Jogo te tenha marcado positivamente ou que te tenha marcado de forma negativa.
Resposta: ______________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
8) Sugere um nome para o Projecto da Turma
Resposta: ______________________________________________
Bom Trabalho!
Patrícia Marques
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
34
Tratamento do Inquérito Inicial de Área de Projecto
1)
O que mais gostas de fazer nas aulas de Matemática ? N.º alunos Jogos 10 Resolver exercícios 9 Trabalhos de Grupo 6 Preencher inquéritos 1 Actividades ao ar livre 1 Fichas em Conjunto 1 Desenhos geométricos 1 Trabalhar com Datashow 1 Não respondeu 1
2)
Gostas de Jogar? N.º alunos Sim 18 Às vezes 1 Computador, Playstation 1 Futebol e computador 1 Monopólio 1
33%
29%
20%
3%
3%3%
3% 3% 3%
O que mais gostas de fazer nas aulas de Matemática?
Jogos
Resolver exercícios
Trabalhos de Grupo
Preencher inquéritos
Actividades ao ar livre
Fichas em Conjunto
Desenhos geométricos
Trabalhar com Datashow
Não respondeu
82%
4%
4% 5%5%
Gostas de Jogar?Sim
Às vezes
Computador, Playstation
Futebol e computador
Monopólio
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
35
3)
Que tipo de jogos preferes? N.º alunos Jogos de computador 12 Jogos de tabuleiro 7 Jogos de playstation/consola 7 Jogos de cartas 5 Mikado 1 Loto 1 Dominó 1 Desporto (ténis, futebol) 1 Perguntas 1 Todos 1
4)
Na tua opinião, o que aprendes ao jogar um Jogo ? N.º alunos Jogar melhor 8 Não responde 4 Estratégia 3 Várias coisas 3 Saber perder 2 Conviver 1 Jogar em conjunto 1 Raciocinar 1 Fazer contas com mais facilidade 1 Ler e falar outras línguas 1 O que não souber 1 Regras 1 Pensar 1
32%
19%
19%
13%
2%3%
3%3%3%3%
Que tipo de jogos preferes? Jogos de computadorJogos de tabuleiroJogos de playstation/consolaJogos de cartasMikadoLotoDominóDesporto (ténis, futebol)PerguntasTodos
29%
11%11%
7%3%3%
3%3%
4%
4% 4%
4% 14%
Na tua opinião, o que aprendes ao jogar um jogo?Jogar melhor
Estratégia
Várias coisas
Saber perder
Conviver
Jogar em conjunto
Raciocinar
Fazer contas com mais facilidade
Ler e falar outras línguas
O que não souber
Regras
Pensar
Não responde
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
36
5)
Que jogos de tabuleiro conheces? N.º alunos Damas 16 Monopólio 13 Xadrez 13 Trivial Pursuit 4 Muitos 3 Party e Go 2 Batalha Naval 2 Quem é quem? 2 Gamão 2 Cartas 2 Euro Superpoly 1
6)
Que jogos tens em casa? N.º alunos Jogos de Computador 9 Cartas 9 Damas 8 Monopólio 7 Playstation/Consola 6 Uno 4 Dominó 4 Jogos de Tabuleiro 2 Party e Co 2 Não tem 2 Xadrez 2 Trivial Pursuit 1 Quatro em Linha 1 Mikado 1 Batalha Naval 1 Risco 1 Bingo 1 Loto 1 Gamão 1
27%
22%22%
7%
5%
3%3%
3% 3% 3% 2%
Que jogos de tabuleiro conheces?Damas
Monopólio
Xadrez
Trivial Pursuit
Muitos
Party e Go
Batalha Naval
Quem é quem?
Gamão
Cartas
Euro Superpoly
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
37
7)
Costumas jogá -los em família? Caso não, com quem costumas jogar? N.º alunos Família 15 Amigos 11 Sozinho 2 Não responde 1
14%
14%
13%
11%10%
6%
6%
3%
3%
3%
3%
2%2%
2%
2%
2%2%
2% 2%
Que jogos tens em casa?
Jogos de Computador
Cartas
Damas
Monopólio
Playstation/Consola
Uno
Dominó
Jogos de Tabuleiro
Party e Co
52%38%
7%
3%
Costumas jogá-los em família?Caso não, com quem costumas jogar?
Família
Amigos
Sozinho
Não responde
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
38
8) Conta uma história em que um Jogo te tenha marcado
positivamente ou que te tenha marcado de forma nega tiva.
Onze alunos, 50%, não contam história alguma.
Nas histórias relatadas podemos encontrar experiências como vivências
positivas de momentos bem passados com os amigos. Um Jogo marcou
negativamente dois alunos porque as personagens do Jogo que mais
gostavam morreram no fim. Um aluno refere que os jogos são uma boa
companhia para as férias, altura em que passa muito tempo sozinho. Uma
história marcante para um aluno foi quando estava quase certo ganhar e de
repente perdeu, concluindo que ficou muito zangado mas que aprendeu que o
importante é jogar e não ganhar. Muitos alunos referem experiências boas
porque ganham os jogos e alguns relatam experiências más porque perdem
logo à primeira vez que experimentam um Jogo. Um aluno refere que nunca
teve experiências negativas com jogos porque escolhe sempre os jogos que
gosta. Dois alunos contam episódios em que os jogos de computador foram
muito positivos porque eram parecidos com a realidade ou porque mais tarde
aconteceram na realidade.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
39
Escola E.B. 2,3 do Bairro Padre Cruz
AUTORIZAÇÃO
A Professora licenciada Patrícia Resende Santos Marques está a
desenvolver a investigação conducente à realização da dissertação a
apresentar na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, para
obtenção do grau de Mestre em Educação, na especialidade de Matemática
para Professores.
Esta investigação, na área da Utilização Pedagógica do Jogo, tem como
objectivo principal esclarecer quais as relações existentes entre a competência
lúdica que é o Jogo em contexto de sala de aula e a aprendizagem de outras
competências da Matemática. A professora propõe-se fazer um estudo de
caso. Com este estudo pretende-se privilegiar a observação da sala de aula
aquando da implementação de actividades concebidas, e consideradas
promotoras e motivadoras da aprendizagem das competências gerais da
Matemática.
Ao nível do trabalho de campo, a investigação implica a realização de
entrevistas a alunos e a observação, e gravação em áudio e vídeo, de aulas
implementadas pela professora no âmbito da disciplina de Matemática e Área
de Projecto do 9º ano de escolaridade.
Os dados recolhidos são confidenciais e serão usado s
exclusivamente com fins académicos.
Lisboa, 13 de Outubro de 2008
(Patrícia Resende Santos Marques)
Eu, ___________________________________Encarregado de
educação do aluno _______________________________nº : ___ da Turma
A, do 9º ano de escolaridade, autorizo/não autorizo (riscar o que não
interessa) o meu educando a participar neste estudo .
___ / ___ /____ __________________________________
(assinatura legível do Encarregado de Educação)
Agrupamento de Escolas do Bairro Padre Cruz Estabelecimento de Ensino
Escola E.B. 2,3 do Bairro Padre Cruz
Projecto Curricular de Turma Ano Lectivo 2008/2009
Ano/Turma 9º A
ACTIVIDADES CURRICULARES DISCIPLINARES/NÃO DISCIPLINARES
DISCIPLINA/ÁREA: Área de Projecto
OPERACIONALIZAÇÃO
TRANSVERSAL
COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DA
DISCIPLINA CONTEÚDOS
PROGRAMÁTICOS Data
(mês)
SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM /
ESTRATÉGIAS
AVALIAÇÃO
(TIPOS E INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO)
2-Usar correctamente linguagens das diferentes áreas do saber cultural, científico e tecnológico para se expressar: b) Utilizar formas de comunicação diversificadas, adequando linguagens e técnicas aos contextos e às necessidades; c) Comunicar, discutir e defender ideias próprias mobilizando adequadamente diferentes linguagens; d) Traduzir ideias e informações expressas numa linguagem para outras linguagens. 3-Usar correctamente a língua portuguesa para comunicar de forma adequada e para estruturar pensamento próprio: b) Usar a língua portuguesa de forma adequada às situações de comunicação criadas nas diversas áreas do saber, numa perspectiva de construção pessoal do conhecimento; c) Usar a língua portuguesa no respeito de regras do seu funcionamento. 4-Usar línguas estrangeiras para comunicar adequadamente em situações do quotidiano e para apropriação de informação: a) Compreender textos orais e escritos em línguas estrangeiras para diversificação das fontes dos saberes culturais, científicos e tecnológicos; b) Interagir, oralmente e por escrito, em línguas estrangeiras, para alargar e consolidar
Conceber e desenvolver
experiências concretas, de
qualidade, relacionadas com as
suas áreas de interesse pessoal
e/ou vocacional;
Utilizar a metodologia do
trabalho de projecto –
recolhendo, analisando,
seleccionando informação,
resolvendo problemas,
tomando decisões adequadas,
justificando essas decisões e
comunicando-as, por escrito e
oralmente, utilizando suportes
diversificados, nomeadamente
as novas tecnologias da
informação/comunicação -,
articulando, numa dimensão
inter e transdisciplinar, os
saberes teóricos e práticos.
Jogos Matemáticos do
Campeonato Nacional
de Jogos Matemáticos;
Jogos Pedagógicos, de
acordo com o programa
de Matemática do 9º
Ano;
Jogos de Tabuleiro;
Jogos Investigativos;
Jogos Individuais;
Jogos de pares;
---
Ao
longo
de todo
o ano
lectivo.
Os discentes adquirem as competências essenciais
para esta Área Curricular não disciplinar realizando
estratégias e situações de aprendizagem de acordo
com a metodologia de Trabalho de Projecto.
A Professora licenciada Patrícia Resende Santos
Marques está a desenvolver a investigação
conducente à realização da dissertação a apresentar
na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa,
para obtenção do grau de Mestre em Educação, na
especialidade de Matemática para Professores.
Esta investigação, na área da Utilização Pedagógica
do Jogo, tem como objectivo principal esclarecer
quais as relações existentes entre a competência
lúdica que é o Jogo em contexto de sala de aula e a
aprendizagem de outras competências da
Matemática. A professora propõe-se fazer um
estudo de caso com esta turma. Com este estudo
pretende-se privilegiar a observação da sala de aula
aquando da implementação de actividades
concebidas, e consideradas promotoras e
motivadoras da aprendizagem das competências
- Observação directa da docente com
preenchimento de uma grelha por
aula;
- Preenchimento por sessão de uma
grelha pelos alunos de autoavaliação
do desempenho do grupo;
- Avaliação final feita por todos os
intervenientes do projecto tendo em
conta três aspectos fundamentais:
O decorrer do processo – em
avaliação contínua, voltando atrás,
procurando novas respostas,
reajustando e refazendo a
planificação inicial sempre que
necessário;
A avaliação do trabalho – a forma
como os intervenientes se
empenharam no desenvolvimento do
projecto e no produto final;
A resposta ao problema inicial – a
tentativa de resolução do problema
identificado. O decorrer do processo,
“A Jogar se Aprende a Pensar”
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso 41
relacionamentos com interlocutores/parceiros estrangeiros. 4-Usar línguas estrangeiras para comunicar adequadamente em situações do quotidiano e para apropriação de informação: a) Compreender textos orais e escritos em línguas estrangeiras para diversificação das fontes dos saberes culturais, científicos e tecnológicos; b) Interagir, oralmente e por escrito, em línguas estrangeiras, para alargar e consolidar relacionamentos com interlocutores. 7-Adoptar estratégias adequadas à resolução de problemas e à tomada de decisões: a) Identificar situações problemáticas em termos de levantamento de questões; b) Seleccionar informação e organizar estratégias criativas face às questões colocadas por um problema; d) Confrontar diferentes perspectivas face a um problema, de modo a tomar decisões adequadas. 10-Relacionar harmoniosamente o corpo com o espaço, numa perspectiva pessoal e interpessoal promotora da saúde e da qualidade de vida: a) Mobilizar e coordenar os aspectos psicomotores necessários ao desempenho de tarefas; d) Manifestar respeito por normas de segurança pessoal e colectiva.
gerais da Matemática. o que resultou e o que seria
necessário alterar.
Duração de:
12 de Setembro de 2008 até:09 de Junho de 2009
Observações:__________________________________________________________ ____________________________________________________________________
Professor: Patrícia Resende Santos Marques
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
43
O Jogo
“O Jogo é uma actividade que agrada e entusiasma quase toda a gente.
Há uma ligação muito grande entre o Jogo e a Matemática […]. Sendo assim
parece-nos importante que se jogue inclusive nas aulas. Uma aula onde se
joga é uma aula animada, divertida e participada. Mas não se pode ficar por
aqui. É fundamental pôr os alunos a discutir a forma como jogaram e a
descobrir as melhores estratégias do Jogo. É nesta fase que o Jogo é mais rico
do ponto de vista educativo […]” (José Paulo Viana, Paula Teixeira e Rita Vieira
em Educação e Matemática, Revista da Associação de Professores de
Matemática, n.º 11, 3º Trimestre de 1989).
Podemos ler nesta revista um artigo sobre Teoria de Jogos:
Apresentação e Representação, da autoria de Maria Cristina Peixoto Matos e
Manuel Alberto Martins Ferreira, que refere que quando perguntamos a alguém
o que é um Jogo geralmente respondem-nos que é qualquer passatempo ou
diversão. Se pedirmos que nos dêem exemplos de jogos, a resposta é, com
muita frequência: xadrez, damas, monopólio, póquer, futebol, andebol,
basquetebol, vídeo jogos, etc. Se analisarmos as respostas com o mínimo de
atenção verificamos que a maior parte das pessoas define um Jogo de forma
pouco rigorosa, no entanto, os exemplos de jogos que sugerem não deixam
dúvidas sobre o que é, de facto, um Jogo. Também das respostas dadas
podemos constatar, que dos vários exemplos de jogos sugeridos, estes podem
ser classificados em categorias diferentes: jogos de mesa, jogos de cartas,
jogos desportivos, jogos electrónicos; jogos com vários jogadores e jogos com
apenas um jogador.
Pelo facto de estarmos perante situações tão diferenciadas que recebem
o mesmo nome, Jogo, elas devem possuir alguma característica ou um
conjunto de características comuns. Fazendo uma análise simples podemos
identificar de imediato que em todo o Jogo existem regras que indicam ao
jogador o que pode ou não fazer. Por outro lado, o jogador procura uma
estratégia que resulte na obtenção de determinado objectivo em oposição com
os outros jogadores que também tentam optimizar o seu ponto de vista. O
resultado final depende do conjunto das estratégias adoptadas por todos os
participantes, fenómeno que se denomina por interdependência estratégica.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
44
Então, “um Jogo é qualquer situação governada por regras com um resultado
bem definido caracterizado por uma interdependência estratégica”.
Atendendo à sua generalidade, podemos encontrar jogos em
abundância na vida real: política internacional (como obter vantagens numa
negociação de paz), economia (como aumentar a nossa participação em
relação aos nossos concorrentes), vida familiar (como manobrar os pais para
que eles comprem uma moto para o filho), uma batalha, campanhas eleitorais,
uma partida de xadrez, uma partida de futebol são disto exemplo.
Para reforçar esta ideia pode ler-se ainda em The Study of Games que o
estudo dos jogos resulta da relação existente entre duas áreas do Jogo, a
vertente recreativa e a vertente psicológica que, para surpresa mútua,
compreendem-se e desenvolvem-se pelo contacto interdisciplinar. Os autores
consideram que outros campos tão divergentes como o negócio, a
antropologia, a educação, a psiquiatria, o folclore, a ciência militar, interferem
no estudo dos jogos com experiências disciplinares cruzadas e beneficiam
igualmente com isso.
Outro livro que me agradou foi A Aprendizagem da Matemática e o Jogo,
de António Júlio César de Sá e onde podemos ler afirmações bem
interessantes, como:
O Jogo faz parte da nossa vida.
Existem coisas “simples” na nossa vida e uma delas é jogar ou brincar.
Parecem-nos simples, mas depois de nos debruçarmos um pouco sobre elas
verificamos, por exemplo, que a actividade lúdica está no centro de muitas
ideias sobre o desenvolvimento psicológico, intelectual, emocional ou social do
ser humano.
…o Jogo, o brincar ou o brinquedo desempenham um papel fundamental na
nossa aprendizagem. E negar o seu papel na Escola é talvez renegarmos o
nosso percurso individual, a nossa própria história pessoal de aprendizagem
desde que nascemos.
A este propósito cito de Brincar: Brincadeira ou coisa séria:
“Contudo, pode-se resumir esta tentativa de definir o brincar, dizendo
que o brinquedo é o processo educacional mais completo da mente, é um
artifício da mente, é um artifício engenhoso da natureza para assegurar que
cada indivíduo adquira conhecimento e sabedoria. O brincar é espontâneo, é
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
45
criativo, é uma actividade de pesquisa desejada e realizada por si mesma. E
uma vez que é inteiramente natural, não é necessariamente moral quando é
julgado pela ética social ou cultural de determinadas épocas (Scarfe, 1962)”.
Voltando ao autor António Júlio César de Sá, ele retoma:
Imaginemo-nos numa situação qualquer. Perante um assalto, um Jogo
de futebol num estádio ou numa televisão a ver um filme de terror ou uma festa
surpresa. À nossa volta cria-se uma atmosfera interior e exterior que nos faz
pensar ou agir de determinado modo. Talvez fiquemos admirados com as
nossas ideias ou as nossas reacções. Mas a nossa experiência vivida em
múltiplas situações complexas com os outros, com o que nos rodeia, com a
natureza ou com nós próprios constituem indicadores prováveis das nossas
atitudes e reacções. Assim, a criança perante uma actividade que terá que
realizar identifica-a como Jogo se desencadear em si determinadas atitudes,
emoções e comportamentos. Se é um Jogo sabê-lo-á identificar e de um modo
geral sentir-se-á motivada. O Jogo é visto pelo autor mais como um processo
interno do ser humano do que uma simples actividade. Bastaria então só a
imaginação para jogar? Em determinadas situações sim, mas o objecto
brinquedo, puzzles, jogos de tabuleiro, o lego, etc., facilita o desencadear no
ser humano desse processo. O Jogo também deve ser considerado um meio. A
criança utiliza-o para construir o seu próprio conhecimento.
As regras fazem parte do nosso quotidiano e estão implícitas na nossa
conduta desde muito cedo. Existem as nossas próprias regras, as regras dos
outros e um processo de evolução de desenvolvimento e compreensão dessas
regras. Estão ligadas tanto ao desenvolvimento intelectual como emocional,
afectivo e social.
As regras são entendidas, por nós, de um modo diferente à medida que
crescemos.
Como se pode ler em Teoria do Jogo, de António Cabral:
“Todo o Jogo, mesmo o do bebé, obedece a um regulamento implícito
ou explícito. A partir dos seis/sete anos a enunciação de regras e o seu
respeito impõem-se como fenómeno natural do desenvolvimento. Durante os
primeiros anos de vida, as regras, está visto, são desconhecidas e nenhuma
criança tem, antes de agir, a mínima consciência de que sem uma conduta
adequada não pode alcançar o objectivo lúdico. O que ela, porém, adopta são
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
46
os meios adequados, como sucede por volta dos doze meses, ao atirar para o
chão um objecto para lhe ouvir o ruído da queda e lhe observar o movimento. A
regra existe, embora implícita, para alcançar um objectivo, que o mesmo é
dizer: para ter prazer de uma vitória (ouvir o ruído, observar o movimento), o
bebé adopta um modo de agir, ou por outras palavras cumpre a regra (lança o
objecto ao chão).” (pág. 99/100, António Cabral, 1990).
António Júlio César de Sá continua:
O Jogo é reconhecido fora da escola como um meio e um processo
fundamental para o desenvolvimento social, emocional e intelectual da criança.
E dentro dela? Existem divergências quanto à sua utilização por diversos
motivos. Euza Maria e Vera Maria resumem no seu livro de um modo sucinto
as posições de vários autores sobre este assunto. Dessas posições poderei
realçar em primeiro lugar, que o Jogo é mais contestado ou porque é
adulterado ou pervertido quando transposto para o contexto escolar, ou porque
existem outras actividades escolares que o podem substituir, ou porque Jogo e
trabalho não ligam muito bem, ou porque a noção de Jogo educativo é muito
restritiva, ou porque ainda não existem experiências suficientes que o possam
confirmar como importante para a aprendizagem. Em relação às posições
favoráveis realço as seguintes: “forma natural de aprender e de se
desenvolver”; “despende-se nela (actividade) mais esforço e trabalho”; “a
criança diferencia muito bem os jogos que domina e os que lhe são propostos
no contexto educativo”; “o papel do professor é assistir a criança no Jogo sem
ter uma função preponderante ou uma atitude de controlo”; “(os jogos
educativos) propiciam o descobrimento, a organização, a capacidade de
combinar e a criatividade”; “a sua característica psicológica principal (do Jogo)
é a liberdade de opção, que tem na criança carácter de necessidade por que
toda a actividade que ela percebe como livremente escolhida lhe proporciona
prazer e alegria”.
“não está tanto na explicação exaustiva de um problema ou na
exposição completa da informação sobre um assunto, mas nas ocasiões que
cria e orienta para que o aluno observe, evoque, recolha nova informação,
formule hipóteses, experimente alternativas, avalie respostas e reelabore os
seus conhecimentos anteriores” (pág. 67. Leandro S. Almeida “Capacitar a
escola para o sucesso”).
Como dizem também A. Duval e G. Letourneur (pág. 18, 1994):
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
47
“Para que o Jogo exista é necessário que duas condições sejam
preenchidas: a autonomia do sujeito em relação ao real ou ao adulto, e uma
certa incerteza no desenvolvimento ou resultado da acção. Isso significa que
na classe, se queremos favorecer o desenvolvimento da criança, é preciso
equilibrar no tempo as duas formas de estar no meio envolvente: a
aprendizagem não dirigida e a aprendizagem dirigida. É a lei da alternância,
considerando que numa ou noutra forma é sempre a criança que aprende.”.
O Jogo educativo é definido por Georges Bright, John Harvey e Margariete
Wheeler (1985) como uma actividade para a qual foram definidos um conjunto
de objectivos educacionais, cognitivos ou afectivos, e são determinados pelas
pessoas que planeiam o ensino, antes de eles serem jogados pelos
estudantes, e deve ser baseado nos seguintes critérios:
1. O Jogo pressupõe participação livre
2. O Jogo é um desafio perante uma tarefa ou um adversário.
3. O Jogo é regulado por um conjunto finito de regras. As regras
descrevem todos os procedimentos para jogar o Jogo, incluindo os
objectivos a atingir; as regras estão estruturadas de tal modo que
quando um jogador acaba de jogar, não pode voltar atrás na decisão
tomada.
4. Psicologicamente, o Jogo é uma situação arbitrária claramente
delimitada no tempo e no espaço de uma situação da vida real.
5. Socialmente, os acontecimentos que ocorrem no Jogo são
considerados, em si mesmo, de importância mínima.
6. O Jogo tem uma situação-espaço finita. As situações exactas que se
alcançam não são conhecidas antes de se começar a jogar.
7. O Jogo acaba depois de um número finito de jogadas dentro de uma
situação-espaço.
No livro Jogos Matemáticos, Jogos Abstractos, de João Pedro Neto e Jorge
Nuno Silva, podemos encontrar escrito:
O acto de jogar desde muito cedo acompanhou a civilização. Normalmente,
este termo é usado para descrever duas actividades distintas: a brincadeira,
desenvolvida a partir de um conjunto de acções sem regras fixas, e o Jogo
propriamente dito, onde as regras são essenciais na sua definição.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
48
Existem jogos há dezenas de séculos, sendo provavelmente responsáveis
pelas primeiras actividades estritamente mentais que o Homem inventou (ou
descobriu). Alguns deles contêm noções de Matemática recreativa, como os
Mancala, cujos tabuleiros se assemelham a ábacos, instrumentos usados na
contabilidade antiga para executar operações aritméticas.
Como em tudo o resto, tendemos a classificar os jogos a partir das suas
regras. Uma dessas classificações analisa se um Jogo: (a) possui algum factor
de sorte (por exemplo, se utiliza dados); (b) tem informação escondida, ou seja,
se cada jogador possui informação que o adversário não sabe (por exemplo, o
Jogo da batalha naval tem informação escondida).
Como Escuteira que sou, não poderia deixar de fazer referência ao
Escutismo que utiliza o Jogo como método pedagógico por excelência.
Vou fazer referência ao que está escrito em Baden Powell Hoje.
A Pedagogia do Escutismo é baseada num fenómeno espontâneo de
intermediação que se observa na criança e no adolescente: O Jogo.
Detenhamo-nos um pouco sobre esta palavra. É necessário explicar em
que sentido a entendemos porque, para o mundo adulto em geral, ela é
sinónimo de futilidade, de divertimento; é qualquer coisa que não se leva a
sério.
Todo o indivíduo é portador de «dinamismo», de forças, de aspirações,
que o pressionam a ir mais além, a crescer. Nós sabemo-lo bem, é como que
um apelo que existe no coração de cada homem; desde a nossa primeira
infância, antes mesmo do nosso nascimento, ele está presente: o apelo da
vida.
Para crescer, a criança tem ao mesmo tempo necessidade de exprimir
os dinamismos que traz em si mesma (lutar, construir, etc.) e de descobrir o
que a rodeia, explorando-lhe as possibilidades ou os obstáculos.
É disto que nasce o Jogo.
Pôr em Jogo a realidade, quer dizer manipular a realidade graças ao
Jogo: explorá-la, descobri-la e ao mesmo tempo descobrir as suas
possibilidades.
O Jogo é portanto a «margem» de liberdade que existe no quadro da
vida e que permite uma exploração dos dinamismos do indivíduo.
O Jogo é um espaço de experiências.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
49
Na criança, o Jogo é um meio espontâneo de exploração de si próprio,
dos outros, do mundo.
Qualquer Jogo e uma acção , quer se trate de futebol, dum Jogo de
pista, ou «às escondidas».
Quando as crianças jogam em conjunto, escolhem geralmente um tema
imaginário : «nós somos os índios, vocês os cowboys…»; «Vamos jogar aos
polícias e aos ladrões…».
Para jogar em grupo é preciso fazer associações , equipas, campos,
«lados» (o lado dos polícias, o lado dos ladrões).
Se são vários num campo, é para assim poderem tirar melhor partido
das qualidades de cada um, pois procede-se então à distribuição de papéis (o
perseguidor, o perseguido… o chefe da tribo o guarda da cabana…).
Para que o Jogo seja possível é necessário que haja acordo sobre os
modos de se comportarem em conjunto e sobre a organização do Jogo: então
nascem as regras .
Sem estes elementos o Jogo não é possível. Mas estes cinco elementos
são também indispensáveis para permitir uma verdadeira educação.
Foi da observação do Jogo social espontâneo que Baden-Powell, o
fundador do Escutismo, extraiu o método pedagógico do Escutismo. Mas o
Jogo é bem a trama da pedagogia escuta, com variantes ao longo das
diferentes idades.
«É pelo Jogo que melhor se pode conquistar o rapaz».
Como ele próprio refere no seu livro Escutismo para Rapazes,
«Podemos instruir qualquer número de rapazes, muitos de cada vez se
tivermos boa voz, métodos atractivos ou meios disciplinares. Mas isso não é
educação… Não serve absolutamente para nada pregar a lei do escuta ou
fazê-la seguir como uma ordem a uma multidão de rapazes: é preciso para
cada espírito uma explicação especial e a ambição pessoal de a realizar».
Esta concepção de formação moral de Baden-Powell encontra-se
confirmada pelos mais sérios estudos da psicologia genérica. É assim que
Jean Piaget escreve em «Para onde vai a educação?»
«O alcance educativo do respeito mútuo e dos métodos fundamentados
na organização social espontânea das crianças é precisamente o de lhes
permitir elaborar uma disciplina cuja necessidade seja descoberta na própria
acção, em lugar de ser recebida em bloco, antes de poder ser compreendida; e
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
50
é nisso que os métodos activos prestam o mesmo serviço insubstituível tanto
na educação moral como na educação da inteligência: o de levar a criança a
construir ela própria os instrumentos que a transformarão a partir do interior; ou
seja: na realidade não apenas na superfície.»
O Jogo permite portanto ao jovem descobrir pouco a pouco a sua
personalidade, a sua identidade, fazendo-o experimentar situações, funções
diferentes; incitando a criança a descobrir as suas possibilidades e os seus
gostos, mostrando-lhes que é capaz de construir e de, com os outros, levar a
bom termo uma acção ou um projecto.
O Jogo oferece à criança a possibilidade de redescobrir e de inventar
regras que lhe são impostas do exterior, mas às quais ela adere livremente.
Assim se desenvolve a capacidade dum julgamento autónomo.
O Jogo permite à criança viver a experiência insubstituível da criação
duma comunidade, onde cada um tem o seu lugar e deve respeitar os outros;
onde não há lugar para súbditos nem para consumidores.
Pelo Jogo a criança explora o mundo que a rodeia. Os objectos e as
situações adquirem um sentido, do mesmo modo que as regras e funções
sociais. O Jogo favorece assim a abstracção da realidade, permite a
construção dum espaço simbólico interior, necessário à elaboração do
pensamento.
Vou ficar por aqui pois penso ter já convencido e justificado o porquê de
eu, enquanto professa e educadora, defender a aprendizagem pelo Jogo.
Vou passar agora a referir o que alguns autores escrevem acerca da
ligação entre a Matemática e o Jogo.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
51
A Matemática e o Jogo
“Como as outras ciências, a Matemática é uma espécie de Jogo cujo
adversário é o universo. Os melhores matemáticos e os melhores professores
de Matemática são obviamente aqueles que, para além de compreenderem as
regras do Jogo, também sabem desfrutar o prazer do Jogo.” (Martin Gardner,
Rodas, vida e outras diversões matemáticas)
Conforme é ainda referido no artigo da revista n.º 11 da APM, o Jogo é
uma actividade inseparável da condição humana. Apresenta um apelo
universal e haverá poucas pessoas que não tenham sido, em certa altura da
sua vida, estimuladas por um Jogo. A história dos jogos tem milhares de anos e
cobre praticamente o mundo inteiro, fornecendo olhares fascinantes sobre a
cultura em determinadas épocas e lugares. No sentido mais amplo, “por jogos
matemáticos designam-se puzzles, problemas e actividades que vão da
simples charada à questão Matemática ainda em aberto. A História da
Matemática mostra que foram alguns jogos que conduziram à criação de
alguns ramos da Matemática” (Jorge Nuno Silva).
Guzmán refere que a estrutura dos jogos e da Matemática é
surpreendentemente análoga, na medida em que criam uma nova ordem, uma
nova vida, através da aceitação de certos objectos e de regras que os definem
e da consistente fidelidade a este conjunto de regras. Por outro lado, se
olharmos para as maneiras como conhecemos, nos familiarizamos e atingimos
um certo grau de mestria nos jogos e na Matemática, não podemos deixar de
ver uma forte semelhança, que não nos deve surpreender se tivermos em
conta as características comuns dos jogos e da Matemática, tanto em natureza
como em estrutura.
As tentativas de popularizar a Matemática têm sido feitas de variadas
maneiras: exemplificando as suas aplicações, contando a sua história e as
biografias dos matemáticos mais famosos, explorando as relações com outros
campos da actividade humana (arte, música, arquitectura, etc.), mas
“provavelmente mais nenhum método consegue transmitir melhor qual é o
espírito certo de fazer Matemática do que um Jogo bem escolhido” (Guzmán).
É um excelente argumento para sustentar a relevância pedagógica do Jogo e
preconizar o seu carácter didáctico.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
52
Muitos matemáticos dedicam grande interesse à teoria de jogos
combinatórios, a disciplina que tenta analisar os jogos de informação perfeita,
como o Jogo do Galo, Nim, Hex, Mancala, Go ou Xadrez, etc.. Mas, a partir da
obra de von Neumann, os jogos têm sido uma metáfora científica para uma
classe muito mais alargada de interacções humanas, em que os resultados
dependem das estratégias interactivas de duas ou mais pessoas que têm
objectivos opostos ou, na melhor das hipóteses, objectivos mistos. São os
jogos de informação imperfeita (caso do Jogo do póquer e do dilema do
prisioneiro). Neste sentido, a teoria de jogos transforma-se numa abordagem
interdisciplinar do estudo do comportamento humano, em que a Matemática é
uma das ciências envolvidas, além da economia e outras ciências sociais e
comportamentais.
“O Jogo, que torna divertida a Matemática recreativa, pode tomar vários
aspectos: um quebra-cabeças a ser resolvido, um Jogo de competição, uma
mágica, paradoxo, falácia ou simplesmente Matemática com um toque
qualquer de curiosidade ou diversão”.
Martin Garder
Como referem Ana Isabel Marques Cebola e Sónia Paula Marques
Henriques num trabalho desenvolvido sobre O Jogo e a Matemática, no âmbito
de uma disciplina de «Temas e Problemas de Matemática» do Mestrado
promovido pelo Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra:
O Jogo assume um papel importante na Matemática. É através do seu
carácter lúdico que facilmente se divulga a Matemática e se diminui o peso
psicológico e tenebroso que esta assume na sociedade, facto este que tem
emergido aos olhos dos educadores.
Associar jogos e Matemática pode tornar certos conceitos mais claros e
atractivos pois, embora um Jogo se trate de um simples desafio entre colegas,
é através do Jogo que se consegue atingir diferentes modos de aquisição de
conhecimento. Quando as actividades são bem orientadas, o Jogo permite
desenvolver a criatividade, imaginação, raciocínio lógico, organização, atenção
e concentração dos “nossos” alunos.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
53
Existem certos jogos que quando realizados na sala de aula permitem
motivar e incentivar o gosto pela disciplina de Matemática, bem como,
aperfeiçoar alguns conceitos anteriormente apreendidos.
António Júlio César de Sá em A Aprendizagem da Matemática e o Jogo
refere que os actuais programas de Matemática …, no referente à metodologia
dizem:
“Considera-se importante a descoberta da dimensão lúdica da
Matemática, integrando nesta perspectiva actividades desafiadoras para o
aluno e por eles aceites com prazer.”
Os jogos são referidos como necessários ao aprofundamento dos
conhecimentos e como actividades em que os alunos possam brincar e
explorar, fazendo descobertas, caminhar no sentido da abstracção,
desenvolver a imaginação e o raciocínio e discutir e comunicar as suas
decisões.
Vários exemplos de jogos são apontados: jogos de descoberta de
sólidos geométricos, de que são conhecidos alguns elementos, jogos
numéricos que recordem e aprofundem os conhecimentos sobre os números,
jogos numéricos que envolvam a comparação e enquadramentos, jogos
numéricos que proporcionem a prática de cálculo e jogos com a possibilidade
de ganhar seja, ou não, a mesma para todos os jogadores, permitindo aos
alunos familiarizar-se com as noções de: certo, possível, impossível e provável.
É necessário seleccionar conteúdos, relacionar conceitos, pensar em
materiais, estudar contextos, observar os alunos e reflectir sobre a eficácia do
que propusemos. Assim a escolha de um Jogo envolve muitas ponderações.
Qual o tipo de Jogo adequado para determinado contexto?
A capacidade de comunicar e uma maior predisposição para a
Matemática.
A interpretação das regras dos jogos pressupõe um relacionamento das
várias fases do Jogo. A utilização do material de suporte do Jogo leva o aluno a
ter de interpretar frases, esquemas e atribuir significados a determinados
conceitos. Além disso existe uma forte interacção com o que lhe é proposto. O
aluno procura adaptar-se à tarefa que o Jogo propõe. A interpretação das
ideias dos outros, a sua capacidade de exprimir os conceitos e ideias e
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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relacioná-los com o que observa e escuta, condiciona o seu modo de executar
a tarefa.
…para comunicar ideias.
Como é referido, é preciso que a criança se sinta motivada pelo que faz,
para que ela desenvolva a compreensão da linguagem e a aplique. O Jogo é o
factor motivador. É importante que o aluno saiba o que fazer quando lhe é
apresentado um Jogo curricular e consiga planear mentalmente as fases que
tem de percorrer. Ora isto não acontecerá no primeiro Jogo curricular, mas ao
longo do ano lectivo se os jogos curriculares fizerem parte da estratégia
pedagógica do professor e se o Jogo curricular for de facto uma actividade que
gere oportunidade para o aluno comunicar e pensar.
Um dos indicadores para verificarmos se houve aceitação do Jogo é
observar se os alunos estiveram mentalmente activos, interpretando ou
esclarecendo as regras, questionando o professor e tentando arranjar algum
modo de vencer o Jogo, ultrapassando obstáculos ou dificuldades ou
procurando uma estratégia. Poderá ser também um indicador o tempo
adequado em que concluíram o Jogo. Este oferece oportunidades para os
alunos conversarem sobre o que sabem ou sobre as suas dúvidas ou as ideias
que vão surgindo. A interacção que o Jogo possibilita entre os colegas ou entre
o professor e os alunos contribui para o desenvolvimento da autonomia. …
Contudo, a actividade de jogar não basta por si só para que isso aconteça.
Pode não existir disponibilidade do aluno para executar a tarefa Matemática. O
Jogo curricular deve ser uma actividade em que o aluno possa efectivamente
procurar caminhos para resolver as dificuldades, conflitos cognitivos que
surgem. A entrega do aluno aquando da realização de uma tarefa depende
também da sua idade, do seu nível de desenvolvimento, do ambiente escolar e
extra-escolar, da sua história pessoal.
O Jogo surge mais como uma actividade paralela às actividades de
aprendizagem da Matemática.
A Matemática não são só contas. A repetição mecânica só contribui para
tirar prazer a uma actividade de que o aluno até gostava. Talvez não existam
materiais suficientes à venda no mercado com outro tipo de actividades ou a
escola ainda não entendeu a influência positiva que pode ter junto dos pais na
escolha de materiais diversificados para oferecer aos seus alunos nos
momentos de lazer ou férias. Eu diria que os jogos são uma boa sugestão.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Decorar a tabuada, os problemas difíceis, a satisfação de fazer as
contas bem, a angústia de ir fazer uma conta ao quadro negro, o medo do
castigo por não saber a tabuada e um sentimento de realização por finalmente
a decorar toda. Será que alguma coisa mudou no ensino da Matemática?
Podemos encontrar em Jogos Matemáticos, Jogos Abstractos:
Os jogos matemáticos são um tema recorrente da divulgação
Matemática, e mesmo das novas teorias do seu ensino. Contudo, a
componente explícita dos conteúdos curriculares é, muitas vezes, aparente.
Nos jogos abstractos, por outro lado, a Matemática está toda implícita, no
âmago inatingível do pensar.
Hardy, um dos maiores matemáticos do século passado, dizia que a
diferença entre um teorema matemático e um problema de xadrez reside
somente na relevância de cada um. Nada os distingue, a não ser a importância
das respectivas aplicações. Os jogos abstractos e a Matemática pura são
idênticos...
É opinião dos autores que a prática lúdica inteligente eleva o espírito.
Talvez o respectivo mecanismo nunca seja conhecido, mas acreditam na
bondade de um bom Jogo de tabuleiro.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Capítulo III – Jogos do Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos – CNJM5
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos
O Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos (CNJM) é uma
competição dirigida aos estudantes dos ensinos básico e secundário,
envolvendo um total de 6 jogos e disputada numa final nacional em 4
categorias:
CNJM5- 5º Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos - 2009
Site: http://ludicum.org/cnjm/
Distribuição dos Jogos:
Avanço: Secundário
Hex: 2º, 3º ciclos e Secundário
Konane: 1º e 2º ciclos
Ouri: 1º, 2º, e 3º ciclos
Rastros: 3º ciclo e Secundário
Semáforo: 1º ciclo
Todos os jogos são disputados entre dois jogadores
Cada escola pode inscrever somente um aluno por Jogo e por categoria.
Disposições gerais
1. O Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos (2008/2009) é uma
competição dirigida essencialmente aos estudantes dos ensinos básico e
secundário e estruturada e realizada por uma Comissão Organizadora em
colaboração com a Associação Ludus, Associação de Professores de
Matemática, Museu de Ciência da Universidade de Lisboa, Universidade da
Beira Interior, Sociedade Portuguesa de Matemática.
2. É disputado em quatro categorias correspondentes aos três ciclos do
ensino básico (primeira, segunda e terceira categorias) e ao ensino secundário
(quarta categoria), e regime aberto.
3. Em todas as categorias haverá apenas uma final nacional.
Organização
4. A competição consta de 6 jogos: Semáforo, Rastros, Hex, Ouri,
Avanço, Konane. As descrições e as regras destes jogos estão disponíveis na
página http://ludicum.org/cnjm/cnjm5.
5. A distribuição dos jogos pelos níveis de ensino será assim feita:
1ºCiclo 2ºCiclo 3ºCiclo Secundário
Semáforo x
Konane x x
Ouri x x x
Hex
x x x
Rastros
x x
Avanço
x
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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a. primeira categoria (primeiro ciclo): Semáforo, Konane, Ouri;
b. segunda categoria (segundo ciclo): Konane, Ouri, Hex;
c. terceira categoria (terceiro ciclo): Rastros, Ouri, Hex;
d. quarta categoria (secundário): Avanço, Hex, Rastros.
6. A inscrição das Escolas deverá ser feita até uma data a fixar pela
Comissão Organizadora.
7. Cada escola poderá inscrever somente um aluno por Jogo e por nível
de ensino (categoria). A Comissão Organizadora poderá impor um número
limite de inscrições (concorrentes e/ou escolas).
Resumo do sistema suíço de emparceiramento:
A ideia básica deste sistema consiste em emparceirar jogadores que
tenham pontuações idênticas no decorrer das jornadas do campeonato. É um
pouco complicado descrever aqui o sistema em todos os seus pontos (pode
consultar-se http://www.fide.com/official/handbook.asp). Normalmente as
organizações recorrem a software próprio para efectuar os emparceiramentos.
Em resumo, o sistema suíço funciona ordenando os jogadores com os mesmos
pontos pelo seu rating e emparceirando: o jogador com maior rating do grupo
com o jogador com maior rating da segunda metade do grupo. Em seguida, o
segundo jogador com maior rating é emparceirado com o segundo jogador com
maior rating da metade de baixo, etc. Se houver um número ímpar de
jogadores com os mesmos pontos, o jogador com menos rating será
emparceirado com o jogador de maior rating do grupo de jogadores
imediatamente abaixo. Nunca dois jogadores podem jogar duas vezes no
mesmo torneio. São feitos esforços para que os jogadores alterem de cores no
decorrer do torneio.
Apresento de seguida os três Jogos referentes à categoria do 3º Ciclo,
dado que a turma onde faço a investigação é do 9º ano de escolaridade e faço
depois uma breve abordagem dos restantes jogos em que participamos a nível
de Agrupamento de Escolas e para os quais esta turma foi treinada para
ensinar os outros alunos e ajudar-me na organização da fase de selecção dos
alunos a nível de Escola. Os Jogos Semáforo e Konane foram também
executados pela turma e colocados à disposição das turmas dos 1º e 2º Ciclos
para que pudessem treinar e participar no Campeonato a nível de Escola. Os
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
59
alunos da turma treinaram entre si depois de aprenderem as regras, fizeram
apresentações em powerpoint dos jogos e depois explicaram às turmas como
se joga e ensinaram os mais novos a jogar.
Para a realização do Campeonato a Nível de Escola utilizei o programa
Swiss Perfect 98 (SP98) para o emparceiramento e apuramento dos
vencedores.
Este programa foi-me recomendado pelo meu orientador, Professor
Doutor Jorge Nuno Silva, a quem agradeço a amável disponibilidade e
paciência em me explicar como funciona e retirar todas as dúvidas que
surgiram. Junto também o manual de instruções do mesmo, em anexo.
Não gostaria de deixar de referir que um dos nossos alunos do 1º Ciclo,
4ºano, foi Campeão Nacional do Jogo Konane.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
60
Hex
O Jogo modernamente designado por Hex foi inventado pelo
matemático, físico e poeta dinamarquês Piet Hein que o introduziu em 1942 no
Instituto Niels Bohr, e apareceu pela primeira vez no jornal diário “Politiken” de
26 de Dezembro de 1942, com o nome de “Polígono”, embora Hein o
chamasse con-tac-tix.
“Suddenly in the half-light of dawn a game awoke,
demanding to be born. Today it is ready for
release into the world [...] The game builds on the
simple geometrical property of a planar surface
that two lines within a square each connecting a
pair of opposite sides must intersect.”
Would you like to learn Polygon? Piet Hein
has constructed a game that can be
practised with equal joy by the chess expert
and one who is merely able to hold a pencil.
An advertisement from Politiken January
17, 1943. A woman from the civil defence
sticks his head into an air-raid shelter
saying: "Ladies and Gentlemen, the All-
Clear was sounded!!"
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
61
De forma independente, foi também inventado pelo
famoso matemático John Nash, enquanto preparava o
seu doutoramento em Princeton, sem conhecimento da
invenção de Piet Hein, no final dos anos 40, em 1948.
Alguns companheiros de Nash carinhosamente
chamavam ao Jogo apenas Nash ou John.
A empresa Parker Brothers comercializou uma das
versões do Jogo com o nome Hex, nome que vingou até
hoje. Martin Gardner, conhecido divulgador científico, também contribuiu para a
popularidade do Jogo escrevendo sobre ele nas colunas da Scientific
American.
Durante a década de 50 do século passado o Jogo Hex converteu-se
numa espécie de loucura entre os departamentos de Matemática por todo o
mundo.
Material:
O HEX é jogado num tabuleiro em forma de losango, com 42 por 26
centímetros, formado por hexágonos interligados. O tabuleiro utilizado
habitualmente tem 11 por 11 hexágonos, mas podem ser utilizados tabuleiros
de menores ou maiores dimensões. Cada um dos jogadores possui dois lados
opostos do tabuleiro. Um número suficiente de pedras brancas e negras (ou
outras duas cores distintas, por exemplo azul e vermelho), geralmente 50 de
cada cor.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
62
Definições úteis:
Adjacência — duas peças são adjacentes se os hexágonos que ocupam
partilham uma aresta.
Grupo — um conjunto conexo de peças da mesma cor.
Objectivo:
As Brancas (ou azuis) ganham se criarem um grupo de peças brancas
que ligue os lados sudoeste e nordeste do tabuleiro.
As Negras (ou vermelhas) ganham se criarem um grupo de peças
negras que ligue os lados sudeste e noroeste do tabuleiro.
Neste Jogo não há capturas, preenchendo-se sequencialmente e de
forma alternada o tabuleiro de peças.
Regras:
1. Através de um sorteio decide-se qual dos adversários jogará primeiro,
escolhendo este, uma das duas cores disponíveis.
2. O Jogo inicia-se com o tabuleiro vazio.
3. O primeiro jogador coloca uma das suas peças no tabuleiro vazio. Depois,
alternadamente, cada jogador coloca uma peça da sua cor num hexágono
vazio.
4. O segundo jogador, na sua primeira jogada (se vir vantagem nisso) pode
aproveitar a jogada efectuada pelo seu adversário, impondo a troca de cores –
Esta regra é conhecida como Troca de cores, “Pie Rule” ou Regra do
equilíbrio .
5. Na construção da ligação entre os dois lados marcados com a mesma cor,
não é necessário avançar de modo regular de um lado para o outro.
Geralmente, a linha vencedora, que liga os dois lados paralelos do tabuleiro,
não é uma recta, mas sim uma linha aos “ziguezagues”.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
63
6. Uma vez colocada, nenhuma peça pode ser removida, mudar de posição ou
ser sobreposta.
7. A partida termina quando um dos jogadores conseguir unir as duas margens
paralelas do losango com a sua cor, por meio de um caminho contínuo de
peças.
8. As quatro casas dos vértices do tabuleiro são possíveis pontos de partida ou
de chegada para qualquer um dos jogadores.
Notas:
No Hex o número de jogadas é finito. A regra do equilíbrio é essencial, já
que o matemático David Gale mostrou que este Jogo nunca pode terminar
empatado, independentemente da habilidade dos intervenientes, e John Nash
mostrou que qualquer Jogo de Hex pode, em princípio, sem a regra do
equilíbrio, ser sempre ganho pelo primeiro jogador, se este conhecer a
estratégia apropriada. Estes dois resultados são demonstrados mais à frente.
Contudo, para dimensões não triviais do tabuleiro (11×11 é um dos casos,
claro) ninguém conhece essa estratégia. O problema está em descobrir a
estratégia que o conduzirá à vitória. O tabuleiro 7 × 7 é o maior tabuleiro para o
qual se conhece a estratégia que dá a vitória ao primeiro jogador. Num
tabuleiro maior o primeiro jogador sabe que, em teoria, deveria ganhar, mas
não sabe como. No entanto, existem algumas estratégias que aumentam a
probabilidade de um jogador ganhar.
Algumas estratégias de Jogo:
- Se a primeira jogada for
muito forte, por exemplo, nas
casas centrais da diagonal
menor, o primeiro jogador fica
na posse de grande vantagem;
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
64
Tratando-se de um Jogo de
conexão, interessa saber como
estender um grupo. Um avanço
para uma casa contígua parece
muito modesto.
Aqui as peças em l7 e m7
estão demasiado perto uma da
outra, contribuindo pouco para
ligar as margens pretendidas.
Por outro lado, uma
extensão exagerada pode ser
cortada pelo adversário.
Neste caso, as peças
em l7 e p2 podem ser
efectivamente separadas se
as Brancas jogarem em n7.
- Uma boa ligação, que não se estende muito, mas é robusta, é a formação de
pontes: duas “casas” não
adjacentes ocupadas por
fichas da mesma cor estão
separadas por duas “casas”
intermédias, consiste em ter
duas peças que partilhem a
vizinhança de dois
hexágonos:
Aqui, se as Brancas tentarem cortar jogando em l6, as Negras
respondem em m7, e se as Brancas jogarem em m7, as Negras ripostam em
l6. As duas peças negras podem, portanto, considerar-se ligadas.
É uma das estratégias mais utilizadas no Jogo Hex, já que para unir os
dois lados opostos, realizar movimentos adjacentes não é a melhor opção.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
65
Se observarmos a figura
ao lado podemos ver que as
casas adjacentes que se
encontram à distância de uma
jogada da casa e7, onde está
colocada uma peça azul, são:
e6, d7,d8, e8, f7 e f6. A duas
jogadas de distância da casa e7
encontram-se as casas e5, f5, g5, g6, g7, f8, e9, d9, c9, c8, c7, d6. E assim
sucessivamente.
Para ir da casa e7 a qualquer casa que esteja desta a duas unidades de
distância, há sempre dois caminhos possíveis, portanto, e7 pode sempre ligar-
-se através de duas casas de distância um. Cria-se uma ponte quando um par
de peças ocupa casas não adjacentes, estando estas a duas unidades de
distância.
Na figura seguinte,
podemos observar uma ponte, em
que duas casas não adjacentes,
ocupadas por fichas azuis estão
separadas por duas casas
intermédias, assinaladas a
tracejado.
Perante esta situação, o
jogador das peças azuis tem sempre dois caminhos possíveis que ligam estas
duas peças azuis, o que se torna muito vantajoso. Sempre que uma peça
vermelha ocupe uma destas duas casas a tracejado, o jogador das peças azuis
pode sempre realizar uma jogada na outra, estabelecendo dessa forma a
ligação. É por esta razão que os jogadores tentam construir várias pontes ao
longo do tabuleiro. Quanto mais próximo do centro realizarem as suas
primeiras jogadas, mais fácil se torna a formação de pontes. No entanto, as
pontes não são invencíveis porque o adversário poderá ocupar uma casa
intermédia, ao mesmo tempo que ameaça o outro jogador com uma jogada que
o pode levar à vitória.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
66
- Contrariar as intenções do outro jogador deve ser sempre uma preocupação
já que, muitas vezes, uma boa defesa é o melhor ataque. A defesa mais
indicada será jogar à distância.
As jogadas defensivas também têm de ser bem pensadas. Por exemplo,
para tentar bloquear um grupo adversário, não devemos jogar muito perto dele,
sob pena de o ver estender-se com facilidade:
A tentativa de bloquear em k6
é contrariada pela resposta em l7.
Mesmo à distância de uma ponte, o
bloqueio é ineficaz.
Quando as Brancas ocupam j5,
as Negras respondem em k7.
As boas jogadas são a uma distância maior, como a ilustrada:
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
67
Este Jogo está intimamente ligado à teoria da computação e à teoria de grafos. Exemplo:
Vejamos, a partir do seguinte exemplo, típicas estratégias relativas a este Jogo.
As Azuis Jogam e Ganham
Solução:
Mais do que apresentar meramente a solução, vou apresentar a forma
de raciocínio que nos leva até ela para depois tirar algumas conclusões. As
peças azuis estão numeradas para melhor apresentação das ideias.
Primeiro Pensamento: A peça nº1 consegue conectar-se à margem
nordeste mesmo que sejam as vermelhas a jogar.
De facto, se fossem as vermelhas a jogar e tentassem defender seguir-
-se-ia a seguinte sequência:
Vermelhas Azuis Vermelhas Azuis Vermelhas Azuis
(ganhando a margem nordeste)
A estratégia consistiu em fazer uma sequência linear de jogadas
procurando o apoio da peça nº3 que se encontrava mais longe (o termo inglês
para esta estratégia é ladder).
Depois deste pensamento devemos pensar apenas na conexão com a
margem sudoeste.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
68
Segundo Pensamento: Devemos procurar usar a peça azul nº2 para
criar duas ameaças de conexão com a margem sudoeste. Esse objectivo é
conseguido fazendo a seguinte jogada:
Esta jogada cria duas
ameaças para conseguir a dita
conexão.
Como o jogador das peças vermelhas não consegue defender as duas
ameaças ao mesmo tempo tem o Jogo perdido. Repare-se que a peça azul nº2
tinha influência embora parecesse estar longe. A ideia de influência é
fundamental neste tipo de jogos.
Também em jeito de conclusão, deve ter-se em conta as duas estruturas
seguintes:
Ponte: As duas peças azuis estão ligadas mesmo que jogue o adversário.
A peça azul consegue a conexão com a margem mesmo que jogue o adversário.
Esquema Completo
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
69
Exercício Histórico:
As Brancas Jogam e Ganham
(Este exercício pertence ao primeiro artigo escrito sobre o Hex em 1942)
Solução:
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
70
No Jogo do Hex o número de jogadas é finito, como já havia sido
referido, num máximo de 121 jogadas num tabuleiro 11x11. Uma cadeia
contínua que ligue os dois lados opostos do tabuleiro associado ao jogador,
leva-o a uma vitória. No Hex haverá sempre um vencedor.
Este Teorema foi provado por David Gale, aparecendo publicamente em
Março de 1976, em Math, Magazine, Volume 49, N.º 2, páginas 85 e 86.
O tabuleiro de Hex é um paralelogramo dividido em m linhas e n colunas
de hexágonos. Os jogadores alternadamente vão colocando peças brancas e
pretas no tabuleiro, com o objectivo de completar uma cadeia que una lados
opostos do tabuleiro.
Vou provar que uma partida do Jogo Hex não pode chegar ao fim sem
um vencedor.
Especificamente, sempre que um tabuleiro de Hex fica completamente
preenchido com peças brancas e pretas, tem de existir uma cadeia ou de
peças pretas, desde o lado esquerdo até ao direito, ou uma cadeia de peças
brancas, desde o topo até ao fundo. E, de forma equivalente, tem de existir ou
uma cadeia branca, desde a direita até à esquerda, ou uma cadeia preta,
desde o topo até ao fundo. Consequentemente, um dos jogadores tem de
atingir o seu objectivo e vencer o Jogo.
A demonstração que farei será por indução sobre m e n , o número de
linhas e de colunas, respectivamente, do tabuleiro de Jogo.
A demonstração para m=1 é demasiado óbvia, dado que basta colocar
uma peça para ser possível existir um vencedor. Se as brancas jogam de
sudoeste para nordeste, as negras jogam de sudeste para noroeste, neste
caso, como o tabuleiro é 1xn, vence o jogador com as peças negras na sua
primeira jogada pois os lados do losango ficam logo ligados, ou para n=1 onde
vence o jogador com as peças brancas, logo na primeira jogada. Para m=2 e
n=2, o losango será constituído por 4 hexágonos. Neste caso é também
demasiado evidente que ganhará o primeiro jogador, já que se ele colocar a
peça em a1 e se o seu adversário colocar a peça em a2, ganha ao jogar para
b2; se o seu adversário jogar em b2, ganha ao jogar para a2; se o adversário
Teorema 1: Nenhum Jogo do Hex pode terminar em empate.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
71
colocar a sua peça em b1, basta o primeiro colocar em a2 ou b2 para ganhar.
Se o primeiro jogador colocar a primeira peça noutro hexágono qualquer, basta
raciocinar de igual forma para perceber que irá vencer de igual forma. Note-se
que para esta demonstração não estou a considerar válida a pie rule.
Vou agora estudar a hereditariedade . Vou supor por hipótese que é
verdadeira a afirmação de que nenhum Jogo pode terminar em empate para
tabuleiros mais pequenos do que mxn. Consideremos um tabuleiro (m-1)xn
obtido a partir da eliminação da linha m. Por hipótese de indução, ou existe
uma cadeia negra desde a coluna 1 até à coluna n ou uma cadeia branca B1
desde a linha 1 até à linha m-1. No primeiro caso tenho o que pretendo, pois
desta forma existe já um vencedor para um tabuleiro mxn, que seria o das
peças negras. Vou assumir que acontece o segundo caso, isto é, existe uma
cadeia B1 desde a linha 1 até à linha m-1. De forma análoga se retirar a linha 1
em vez da m, ficando com um tabuleiro 2xm, por hipótese de indução, ou existe
uma cadeia negra desde a coluna 1 até à coluna n ou uma cadeia branca B2
desde a linha 2 até à linha m. Como o primeiro caso garante o sucesso da
hipótese, considero o segundo. Vou supor que as cadeias B1 e B2 não se
encontram. Caso contrário tinha o problema resolvido.
Se, pelo contrário, eliminar colunas em vez de linhas, de forma análoga
posso provar que existem duas cadeias N1 e N2 de peças negras, a primeira
desde a coluna 1 até à coluna n-1 e a segunda desde a coluna 2 até à coluna
n, que não se intersectam.
Dado que as duas cadeias negras não se cruzam, o número de linhas
tem de ser superior a 2 e, de igual forma, dado que as cadeias brancas não se
cruzam, o número de colunas tem de ser igualmente superior a 2.
Considero agora o
tabuleiro como na figura ao
lado, (m-1)x(n-1), por hipótese
de indução tem de existir uma
cadeia branca B3 que ligue a
coluna 2 até à coluna n-1, ou
uma coluna negra N3 desde a
linha 2 até à linha m-1.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
72
Assumindo, sem perda de generalidade o primeiro caso, esta cadeia B3
tem de intersectar as cadeias B1 e B2, logo as três cadeias juntas, B1, B2 e B3
formam uma cadeia completa desde a linha 1 até à linha m.
Este Teorema foi provado por John Nash. O argumento de Nash prova a
existência de uma estratégia vencedora para o primeiro jogador, mas nada nos
ajuda a encontrá-la. Trata-se de uma demonstração por absurdo .
Está já provado que nenhum Jogo do Hex pode terminar empatado,
então ou ganha o primeiro jogador ou ganha o segundo, logo um deles tem
uma estratégia vencedora.
Por redução ao absurdo, vou supor que o segundo jogador tem uma
estratégia vencedora, pelo que a vitória está assegurada. Como faz parte das
regras, o primeiro jogador inicia o Jogo com uma jogada aleatória. A partir daí,
nas próximas jogadas, “rouba” a estratégia vencedora ao segundo jogador,
encarando-se como sendo o segundo jogador, adoptando os movimentos
subsequentes deste. Se, numa dada situação, o primeiro jogador tiver que
jogar numa casa onde já o tenha feito, volta a jogar aleatoriamente e a
sequência repete-se. Uma peça a mais no tabuleiro em relação ao seu
adversário é sempre vantajosa, pelo que os seus movimentos aleatórios nunca
o prejudicarão. Assim, tem a vitória garantida, partindo do princípio de que há
estratégia vencedora para o segundo.
O que é absurdo porque havíamos suposto que o segundo jogador era o
vencedor e não podem existir dois vencedores, pelo Teorema 1.
Novamente pelo Teorema 1, como um dos dois tem de possuir uma
estratégia vencedora e não pode ser o segundo, tem de ser o primeiro.
Este argumento é agora clássico, e aplica-se a muitos jogos, tendo
ficado conhecido por argumento do roubo de estratégia .
No entanto, sabe-se que o primeiro jogador poderá ganhar sempre, mas
não se conhece um algoritmo universal que conduza à vitória se jogarmos num
tabuleiro qualquer de Hex. O maior tabuleiro, para o qual se conhece a
estratégia que dá a vitória ao primeiro jogador, é o tabuleiro 7x7. Para o
tabuleiro 11x11 não se conhece essa estratégia.
Teorema 2: O Jogo do Hex pode ser sempre ganho pelo primeiro jogador.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
73
Este Teorema foi demonstrado por A. Beck em 1969.
Se o primeiro jogador, neste caso o das peças azuis, colocar uma peça
azul no canto agudo esquerdo, por exemplo, o
jogador das peças vermelhas colocará uma
peça vermelha em b1 como resposta, esta
jogada praticamente coloca a peça azul fora de
Jogo. Note-se que o conjunto de casas
adjacentes à casa azul é ���, um conjunto
formado apenas por um elemento. Logo, para
voltar a utilizar esta casa azul, o jogador um terá que utilizar esta casa x para
fazer a união. No caso considerado, x é a casa a2, que é a única adjacente a
a1, estando a b1 ocupada por uma peça vermelha. Mas esta ligação não é
favorável ao primeiro jogador porque está a ligar peças ao mesmo lado do
losango, podendo esta situação proporcionar a vitória ao jogador das peças
vermelhas.
Tendo em conta que o mesmo raciocínio se pode aplicar se o primeiro
jogador jogar a peça azul na casa k11, e o segundo jogador apostar em colocar
a peça vermelha em j11.
Podemos então concluir que esta estratégia é perdedora porque uma
abertura num dos cantos agudos, pode proporcionar uma estratégia vencedora
ao segundo jogador.
Qualquer aluno pode praticar este Jogo recorrendo ao Jogo interactivo
que está disponível no site http://matematica.no.sapo.pt/hex/hex.html.
O Hex é um Jogo ao alcance de qualquer aluno, podendo beneficiar o
desenvolvimento do seu raciocínio lógico, visto ser um Jogo excelente nesse
sentido.
Teorema 3: Os cantos agudos de um tabuleiro de Hex são aberturas perdedoras.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
75
Metodologia de Trabalho do Jogo Hex
O Jogo Hex foi apresentado aos alunos com recurso de um projector
data show e computador. Foram explicadas as regras de Jogo. Mostrei-lhes um
Jogo já elaborado e respectivas peças de Jogo e foram constituídos 5 grupos
de trabalho.
Cada grupo fez um tabuleiro de Jogo e as respectivas peças, tudo em
cartolina.
Depois do Jogo concluído, deu-se início ao campeonato inter-turma,
onde cada aluno jogou contra todos os seus colegas.
No final apuraram-se os resultados e fez-se avaliação desta actividade,
como segue, onde cada aluno preenchia a grelha de avaliação nos campos
referentes ao seu grupo, colegas de grupo e de si próprio, como auto-avaliação
e em seguida respondia ao inquérito “Opinião Individual do Jogo Hex”, opiniões
essas que transcrevo nas páginas que se seguem.
Os jogos elaborados pela turma foram disponibilizados na Sala de
Matemática para que todas as turmas dos 2º e 3º Ciclos pudessem ter acesso
a eles e pudessem efectuar o seu próprio torneio inter-turma. O principal
objectivo era proporcionar contacto e treino com o Jogo Hex para que todos os
alunos se pudessem inscrever e participar no CNJM a nível de Escola.
Opinião dos alunos:
Gostaram de Jogar o Hex por ser um Jogo simples, mas requerer muita
concentração, por ser fácil, rápido, divertido, interessante, requerer estratégia,
engraçado, fixe, por ser um Jogo novo.
Os alunos acham que, ao jogar o Hex, aprenderam: a concentrar-se
melhor, novas estratégias, a conviver com os colegas, regras de Jogo, a jogar
em equipa, que a diversão está acima do Jogo.
O mais referido como aspecto mais positivo foi o facto de jogarem com a
turma toda, o convívio com os colegas e com a Professora, a diversão,
aprender não só a estudar, mas também a jogar.
O mais referido como o que menos gostaram foi o perder com os
colegas, havendo um aluno que refere mesmo perder com as raparigas. Um
aluno referiu também que não gostou da parte inicial da construção do Jogo.
Grelha de Pontuação do Jogo “Hex” Campeonato Inter-Turma
Alu
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A
Alu
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B
Alu
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Aluno A 10 01 01 10 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 10 10 6 20º
Aluno B 10 10 01 10 10 10 10 01 01 01 10 10 10 10 10 01 01 01 10 17 12º
Aluno C 10 01 01 01 01 01 01 10 01 10 10 01 01 01 10 01 01 10 10 9 18º
Aluno D 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 01 10 10 10 10 01 33 1º
Aluno E 01 10 10 01 10 10 10 01 01 01 10 01 01 01 01 01 01 01 01 8 19º
Aluno F 01 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 01 10 10 01 25 4º
Aluno G 10 10 10 01 10 10 10 10 10 01 10 10 10 10 10 01 10 01 10 21 8º
Aluno H 10 01 10 01 10 01 01 10 10 01 10 01 01 01 10 01 01 01 01 14 14º
Aluno I 10 10 10 01 10 01 01 10 01 10 10 01 10 01 10 01 01 01 10 13 15º
Aluno J 10 10 10 10 10 01 01 01 10 01 01 01 01 10 10 01 10 10 10 17 12º
Aluno K 10 10 10 01 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 01 01 10 01 25 4º
Aluno L 10 10 10 01 01 10 10 01 10 10 01 01 01 10 01 10 01 10 01 13 15º
Aluno M 0 21º
Aluno N 10 10 10 01 10 01 01 01 10 10 10 10 10 10 01 01 10 01 10 21 8º
Aluno O 10 10 10 01 10 01 10 10 10 10 01 10 10 10 10 01 01 01 10 20 10º
Aluno P 10 01 10 10 10 01 10 10 10 01 10 01 01 10 01 10 01 10 01 18 11º
Aluno Q 10 01 01 01 10 10 10 01 10 01 01 10 01 01 10 01 01 01 01 12 17º
Aluno R 10 10 10 01 10 10 10 10 10 10 10 10 10 01 10 10 10 10 10 31 2º
Aluno S 10 10 10 01 10 01 10 10 10 10 01 10 10 10 10 10 01 10 10 27 3º
Aluno T 10 10 10 01 10 10 10 10 10 10 10 01 10 10 01 10 10 10 01 23 6º
Aluno U 10 01 10 01 10 10 10 01 10 10 10 10 10 01 10 10 10 01 10 22 7º
Avaliação do Trabalho de Área de Projecto Tema: “A Jogar se aprende a pensar”
Grupo Elementos do Grupo
Parâmetros Não Satisfaz – NS Satisfaz – St Bom - B
Avaliação
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Opinião Individual do Jogo Hex
1-Gostei de Jogar o “Hex”? Porquê?
2-O que é que eu aprendi ao Jogar o “Hex”?
3-O que foi mais importante e/ou mais positivo para mim nestas aulas onde
jogamos o “Hex”?
4-O que menos gostei e/ou o que foi menos positivo para mim?
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
78
Opinião Individual do Jogo Hex
Respostas dadas pelos Alunos
1-Gostei de Jogar o “Hex”? Porquê?
Aluno 1 – Sim, porque é um Jogo
simples, mas requer muita
concentração, muitas coisas, etc…
Aluno 2- Sim gostei, porque é fácil de
jogar, é rápido e divertido.
Aluno 3 – Sim. Porque achei o Jogo
divertido.
Aluno 4 – Gostei porque é um Jogo
muito criativo.
Aluno 5 – Sim, porque é um Jogo muito interessante e divertido.
Aluno 6 – Sim, porque é muito fixe.
Aluno 7 – Sim, porque é divertido.
Aluno 8 – Gostei de jogar ao Hex, porque é divertido.
Aluno 9 – Sim, aprendi um novo Jogo.
Aluno 10 – Sim.
Aluno 11 – Sim, porque é divertido.
Aluno 12 – Gostei acho que é um Jogo divertido.
Aluno 13 – Sim. É um Jogo em que temos de pensar em várias estratégias
para ataque e ao mesmo tempo para defesa.
Aluno 14 – Sim. Porque eu aprendi a concentrar-me melhor.
Aluno 15 – Porque é um engraçado e fácil de jogar.
Aluno 16 – Gostei. Porque aprendi um Jogo novo.
Aluno 17 – Sim. Porque o Jogo faz-nos pensar.
Aluno 18 – Sim. Porque é divertido e é preciso ter muita estratégia e pensar
bem.
Aluno 19 – Porque é preciso estar com concentração para se jogar e é
engraçado.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
79
2-O que é que eu aprendi ao Jogar o “Hex”?
Aluno 1 – Aprendi a concentrar-me melhor.
Aluno 2 – Aprendi novas estratégias, e aprendi a conviver com os alunos.
Aluno 3 – Aprendi a jogar.
Aluno 4 – Aprendi algumas tácticas de Jogo.
Aluno 5 – Aprendi que a diversão está acima do Jogo.
Aluno 6 – Aprendi a jogar.
Aluno 7 – Como se joga e estratégias.
Aluno 8 – Que tenho de ter muita concentração, se não perde-se o Jogo…
Aluno 9 – A ter mais concentração durante o Jogo.
Aluno 10 – As regras como se joga.
Aluno 11 – Novas estratégias para jogar “Hex”.
Aluno 12 – Aprendi a jogar porque não sabia jogar.
Aluno 13 – Eu aprendi a conhecer melhor os meus colegas, a saber como é
que eles atacavam ou até defendiam. Aprendi que para ganhar era preciso
conhecermos ou sabermos qual o próximo passo do nosso adversário.
Aluno 14 – Aprendi a concentrar-me melhor e a pensar a cada jogada.
Aluno 15 – Aprendi novas estratégias e novos métodos de Jogo.
Aluno 16 – Aprendi nova maneira de jogar, novas estratégias, a jogar em
equipa.
Aluno 17 – Aprendi a fazer estratégias de Jogo.
Aluno 18 – Temos que organizar o Jogo logo no início.
Aluno 19 – Aprendi que é preciso ter muita concentração quando estamos a
fazer alguma coisa.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
80
3-O que foi mais importante e/ou mais positivo para mim nestas aulas
onde jogamos o “Hex”?
Aluno 1- Jogar a turma toda.
Aluno 2 – O mais importante
neste Jogo para mim, foi o facto
de me divertir, e jogar com
algumas pessoas da turma.
Aluno 3 – Para mim foi tudo
positivo.
Aluno 4 – Conviver com os
meus colegas.
Aluno 5 – O mais importante para mim foi a minha diversão e a diversão da
turma inteira.
Aluno 6 – Ter o máximo de pontos possíveis.
Aluno 7 – Conviver com os colegas.
Aluno 8 – Aprender a jogar, e é bom ter aulas diferentes.
Aluno 9 – Foi jogar com os meus colegas.
Aluno 10 – O mais importante foi aprender o Jogo, o mais positivo foi gostar do
Jogo.
Aluno 11 – O convívio com os colegas e com a professora.
Aluno 12 – O que foi mais importante para mim foi conviver com os meus
colegas e aprender um novo Jogo.
Aluno 13 – Para mim o mais importante foi o trabalho de grupo que fizemos
para realizar o Jogo, que duas cabeças pensam melhor que uma.
Aluno 14 – O mais positivo foi o podermos estar em grupo sem restrições isso
para mim devia fazer-se mais vezes.
Aluno 15 – Tudo foi importante.
Aluno 16 – O mais importante foi aprender coisas novas e que podemos
aprender não só a estudar, mas também a jogar.
Aluno 17 – Ter ficado em segundo lugar.
Aluno 18 – Gostei muito de ganhar.
Aluno 19 – Ganhar os jogos aos meus colegas.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
81
4-O que menos gostei e/ou o que foi menos positivo para mim?
Aluno 1 – Eu acho que não tive nada menos positivo.
Aluno 2 – O que menos gostei foi de perder alguns jogos, e de refilarem.
Aluno 3 – Gostei de tudo.
Aluno 4 – O mau perder de alguns jogadores.
Aluno 5 – Eu sinceramente gostei de tudo.
Aluno 6 – Perder alguns jogos.
Aluno 7 – (não respondeu)
Aluno 8 – Quando perdi jogos com raparigas.
Aluno 9 – Nada.
Aluno 10 – Nada e gostei de tudo.
Aluno 11 – Nada.
Aluno 12 – O que menos gostei foi a sua construção porque foi preciso recortar
e eu não gosto de recortar.
Aluno 13 – Para mim este Jogo não teve nada de negativo. Porque me diverti
muito com os meus colegas e isso bastou.
Aluno 14 – O barulho e a confusão do início da construção do Jogo.
Aluno 15 – Nada. Gostei de tudo.
Aluno 16 – Não houve nada que não tivesse gostado/tivesse corrido mal.
Aluno 17 – Foi tudo fixe.
Aluno 18 – Não gostei muito de perder alguns jogos onde sabia que podia
ganhar.
Aluno 19 – De perder com os meus colegas.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
82
Rastros
Autor: Bill Taylor, 1992
Material
Um tabuleiro quadrado 7 por 7.
Uma peça branca e pedras pretas em número suficiente (cerca de 40).
Neste tabuleiro a casa marcada [1] é a casa final do primeiro jogador,
enquanto a casa marcada [2] é a casa final do segundo jogador.
Objectivo
Um jogador ganha se a peça branca se deslocar para a sua casa final ou
se for capaz de bloquear o adversário, impedindo-o de jogar.
Regras
Cada jogador, alternadamente, desloca a peça branca para um
quadrado vazio adjacente (vertical, horizontal ou diagonalmente). A casa onde
se encontrava a peça branca recebe uma peça negra. As casas que recebem
peças negras não podem ser ocupadas pela peça branca.
O Jogo começa com a peça branca na casa e5.
Notas
À medida que o Jogo decorre, o tabuleiro vai ficar cada vez mais
ocupado por peças negras, diminuindo o número de opções para cada jogador.
No diagrama seguinte mostram-se as primeiras quatro jogadas de uma partida
de Rastros (de e5 para d4, de d4 para d5, de d5 para c6, e de c6 para d7):
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
83
No seguinte tabuleiro é a vez do primeiro jogador. O que deve ele fazer?
Se ele jogar para b1 perde a possibilidade de chegar à sua casa. Como?
A sequência após b1 seria: c1, b2, c3. Nessa posição, se o primeiro jogador se
mover para b3, a resposta será a4. A forma mais rápida para o primeiro jogador
garantir a vitória consiste em mover para c1. A próxima jogada do adversário
terá de ser para b1 ou b2, o que resultará numa vitória imediata para o primeiro
jogador.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
84
Metodologia de Trabalho do Jogo Rastros
O Jogo Rastros foi apresentado aos alunos com recurso de um projector
data show e computador. Foram explicadas as regras de Jogo. Mostrei-lhes um
Jogo já elaborado e respectivas peças de Jogo e foram constituídos 11 grupos
de trabalho de pares.
Cada grupo fez um tabuleiro de Jogo e as respectivas peças, tudo em
cartolina. Optei por aumentar o número de grupos dada a maior simplicidade
de execução de cada Jogo em relação ao Hex, e desta forma ficarmos com um
maior número de jogos para praticar com as restantes turmas do 3º Ciclo da
Escola.
Depois do Jogo concluído, deu-se início ao campeonato inter-turma,
onde cada aluno jogou contra todos os seus colegas.
No final apuraram-se os resultados e fez-se avaliação desta actividade,
como segue, onde cada aluno preenchia um inquérito “Opinião Individual do
Jogo Rastros”, opiniões essas que transcrevo nas páginas que se seguem.
Os jogos elaborados pela turma foram disponibilizados na Sala de
Matemática para que todas as turmas do 3º Ciclo pudessem ter acesso a eles
e pudessem efectuar o seu próprio torneio inter-turma. O principal objectivo era
proporcionar contacto e treino com o Jogo Rastros para que todos os alunos se
pudessem inscrever e participar no CNJM5 a nível de Escola.
Grelha de Pontuação - “Rastros” Campeonato Inter-Turma
Alu
no A
Alu
no B
Alu
no C
Alu
no D
Alu
no E
Alu
no F
Alu
no G
Alu
no H
Alu
no I
Alu
no J
Alu
no K
Alu
no L
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no M
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no N
Alu
no O
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no P
Alu
no Q
Alu
no R
Alu
no S
Alu
no T
Alu
no U
Alu
no V
Pon
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ão
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o
Aluno A 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 01 0 1 17 16º Aluno B 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 20 9º Aluno C 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 25 4º Aluno D 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 35 2º Aluno E 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 16 18º Aluno F 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 17 16º Aluno G 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 15 19º Aluno H 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 21 7º Aluno I 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 19 12º Aluno J 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 23 5º Aluno K 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 28 3º Aluno L 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 20 9º Aluno M 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 19 12º Aluno N 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 12 22º Aluno O 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 15 19º Aluno P 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 19 12º Aluno Q 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 10 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 21 7º Aluno R 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 15 19º Aluno S 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 36 1º Aluno T 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 20 9º Aluno U 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 23 5º Aluno V 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 18 15º
Área de Projecto 9º A Outubro 2008
1-Gostei de Jogar o “Rastros”? Porquê?
2-O que é que eu aprendi ao Jogar o “Rastros”?
3-O que foi mais importante e/ou mais positivo para mim nestas aulas onde
jogamos o “Rastros”?
4-O que menos gostei e/ou o que foi menos positivo para mim?
A Professora
Patrícia Marques
Área de Projecto 9º A Outubro 2008
1-Gostei de Jogar o “Rastros”? Porquê?
2-O que é que eu aprendi ao Jogar o “Rastros”?
3-O que foi mais importante e/ou mais positivo para mim nestas aulas onde
jogamos o “Rastros”?
4-O que menos gostei e/ou o que foi menos positivo para mim?
A Professora
Patrícia Marques
Área de Projecto 9º A Outubro 2008
1-Gostei de Jogar o “Rastros”? Porquê?
2-O que é que eu aprendi ao Jogar o “Rastros”?
3-O que foi mais importante e/ou mais positivo para mim nestas aulas onde
jogamos o “Rastros”?
4-O que menos gostei e/ou o que foi menos positivo para mim?
A Professora
Patrícia Marques
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
87
Tratamento do Inquérito Opinião sobre o Rastros
1) Gostei de Jogar o “Rastros”? Porquê?
Sim, porque é bom para a memória; Gostei
porque nos motiva a gostar da área
curricular e jogar em convívio; Gostei
porque achei um Jogo divertido; Gostei
muito porque é um excelente Jogo de
tabuleiro; Sim porque foi divertido e
divertimo-nos todos; Gostei porque aprendi
a ganhar e a perder; Sim porque tentamos desenvolver novas estratégias;
Gostei porque é um Jogo divertido; Gostei porque é divertido; Sim porque acho
que é um Jogo muito engraçado; Sim porque aprendi um Jogo novo; Sim
porque me diverti muito; Sim porque acho um Jogo agradável de jogar, que
puxa pela cabeça para inventar estratégias para ganhar; Sim porque é divertido
e aprendemos um Jogo novo; Sim! Foi divertido; Sim porque aprendi a jogar e
também porque joguei com os meus colegas; Gostei porque é um Jogo em que
se tem de pensar um pouco na jogada que se tem de realizar; Gostei porque
achei um Jogo interessante e porque gostar de jogar é conhecer coisas novas;
Gostei porque é um Jogo fixe que dá para jogar com os colegas; Gostei porque
reforça a aprendizagem e é preciso pensar muito e puxar pela cabeça; Sim
porque é giro e aprendi mais acerca do Jogo.
2) O que é que eu aprendi ao Jogar o “Rastros”?
Aprendi a jogar um Jogo novo. Aprendi a saber concentrar-me; Aprendi a fazer
estratégias; Aprendi estratégias; Aprendi novas estratégias em Jogo; Aprendi a
ganhar e a perder. Aprendi que a partir de um tabuleiro se aprendem jogos
novos; Aprendi a jogar com os meus amigos; Aprendi novas estratégias;
Aprendi novas formas de estratégia e a jogar; Aprendi a jogar melhor e umas
estratégias. Aprendi a perder com as miúdas; Aprendi a jogar o Rastros e a
fazer estratégias no Jogo; As regras e estratégias; Aprendi a jogar e estratégias
para o Jogo; Aprendi um Jogo novo. Aprendi a construí-lo e a jogá-lo; Aprendi a
jogar melhor; Aprendi a jogar e as regras; Métodos de ataque e defesa; Aprendi
a jogar e estratégias; Aprendi a fazer jogadas para ganhar mais rápido; Aprendi
a jogar ao Rastros; Aprendi a jogá-lo e mais sobre estratégias.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
88
3) O que foi mais importante e/ou mais positivo par a mim nestas aulas
onde jogamos o “Rastros”?
O ambiente entre os alunos; Jogarmos todos juntos. Ganhar e jogar com
pessoas diferentes; Aprender bem como jogar; Estarmos todos em convívio e
raciocinado para as jogadas; A diversão da turma e ser uma aula diferente;
Jogar com os meus amigos; O mais importante foi gostar de jogar o Rastros e
ganhar; A turma jogar em convívio; Aprender a perder e a ganhar; Aprender e
ganhar os jogos; O convívio com os colegas; A convivência com os meus
colegas; Convivermos todos porque deu para conhecer mais um pouco alguns
dos meus colegas que não comunicavam muito; Jogamos com todos os alunos
da turma; O que foi importante é que convivemos com os colegas; Aprendi a
importância de atacar e defender e facilidade de aprender a jogar; A facilidade
de aprender a jogar este Jogo com os meus colegas; O mais importante é ter
jogado com os meus colegas sem confusões e chatices; Jogar com os meus
colegas e por isso gostei muito do Jogo; O convívio com os colegas da turma, e
também a aprendizagem; A convivência com os colegas e professora.
4) O que menos gostei e/ou o que foi menos positivo para mim?
Nada; Perder; Gostei de tudo; Perder alguns jogos mas aprendi a aceitar a
derrota; Não houve nada que não gostasse, gostei de tudo e acho que a turma
também gostou muito; Ter perdido muitas vezes; O menos positivo foi perder
alguns jogos; Não gostei da batotice de algumas pessoas; Perder alguns jogos
com as raparigas; Perder; Nada, foi tudo fixe; Perdi alguns jogos; Gostei de
tudo nas aulas em que jogamos o Rastros; Gostei de tudo; O que não gostei foi
de perder; É um Jogo muito repetitivo mas divertido; É um Jogo muito repetitivo
mas apesar disso é um Jogo giro e divertido; Não houve nada de que não
tenha gostado. Gostei de tudo o que realizei nas aulas e do Jogo que fizemos a
jogar; Não houve nada que fosse negativo; Não gostei muito de perder alguns
jogos, mas de resto gostei de tudo; O que menos gostei foi ter perdido alguns
jogos. Sugestão: Durante este ano devíamos fazer todas as aulas assim
porque nos divertíamos e ficávamos mais descontraídos.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
89
Ouri, um Jogo Mancala
Ana Fraga e M.ª Teresa Santos
A Origem dos Jogos Mancala.
Os jogos do tipo Mancala pertencem à classe dos jogos de tabuleiro mas
que, que segundo Murray (1952) são uma classe à parte pois não representam
uma forma de actividade do homem primitivo, como a caça, a guerra, a corrida
e o alinhamento. No entanto, pelo facto de os mais antigos tabuleiros
aparecerem nas proximidades de estaleiros de construção é de admitir que
tenham sido originariamente uma espécie de ábacos rudimentares, utilizados
para o cálculo dos salários a pagar aos trabalhadores. Esta hipótese enquadra-
-se perfeitamente no conceito definido por J. Huizinga (1971), de todos os
jogos dos adultos terem como característica principal “uma luta por alguma
coisa ou a representação de alguma coisa”.
À semelhança do significado da palavra Mancala que deriva do árabe
mangala, mingala ou magala, do verbo naqala e que significa mover, deslocar,
transportar de um lado para o outro, o Jogo baseia-se, na sua essência, neste
princípio de transferência. Os jogos são praticados sobre superfícies
preparadas no chão ou em tabuleiros de madeira, cerâmica, bronze ou mesmo
em ouro, de acordo com a sua finalidade e mesmo do país. Os tabuleiros são
constituídos por duas, três ou quatro filas de buracos (cujo número pode variar
de três a cinquenta) daí haverem três tipos diferentes de jogos, os Mancala II,
III ou IV, sendo que o tipo mais conhecido e difundido é o Mancala II.
Belíssimos tabuleiros, perfeitas obras de arte, podem ser apreciados no British
Museum em Londres como as figuras que se seguem.
As peças usadas são normalmente sementes verdes acinzentadas do
arbusto caesalpina bonduc e caesalpina major (conhecida em Cabo Verde por
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
90
Ourinzeira ou Sivão de Oril) ou outros materiais que podem ser seixos,
conchas, bolas de marfim, feijões, avelãs, grão de café entre outras,
normalmente em perfeita harmonia com a natureza, o valor do tabuleiro e as
condições locais. O Jogo, disputado por dois parceiros ou dois grupos de
adversários, consiste na distribuição das sementes de um buraco, uma a uma,
pelas casas que se seguem, no sentido anti-horário, com o fim de capturar, as
sementes do adversário, segundo determinadas regras.
Estes jogos, aparentemente simples, requerem reflexão, cálculo e muita
prática sendo necessário saber escolher, com certeza, de entre as várias
hipóteses que se oferecem em cada jogada, bem como prever os ataques do
adversário. Por conseguinte, estes são considerados como jogos de perícia ou
eruditos.
Os jogos Mancala são conhecidos por uma grande variedade de nomes
(por exemplo Ouri, Ouril, Ori, Urim, Awari, Warri, Agi, Awèlé, entre outros) e de
regras, especialmente no que se refere aos praticados em África e na América.
Relativamente à origem deste Jogo está comprovado a existência de tabuleiros
Mancala, em pedra e de duas filas, no Egipto, na época do Novo Império
(1580–1085 a.C.). Os tabuleiros que aparecem a seguir são do mesmo tipo,
mas de uma época mais recente, dois em Ceilão, dos primeiros séculos da
nossa era, e outro na Arábia, anterior a Maomé.
No antigo Egipto podem observar-se tabuleiros de pedra esculpidos nas
lajes de cobertura do templo de Kurna (323–30 a.C.), à entrada do templo de
Carnaque, e no topo das paredes deste templo e do de Lúxor (1557–1304
a.C.), para a construção dos quais contribuíram Tutemés III (1490–1457 a.C.),
Tutemés IV e Amenófis III (1410–1362 a.C.).
Em Ceilão, há duas ocorrências de épocas bem definidas: uma está
situada em Pallebaedda, à entrada da gruta Wihara (século II d.C.) e a outra
encontra-se aberta na superfície inclinada de um penhasco, chamado
Gaimaediyagala, situado próximo da represa Siyamdalangamuwa, que foi
construída entre os séculos II e IV d.C..
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
91
A estátua-retrato do rei Shamba Bolongongo, dos
Bakubas, que teria reinado entre 1600 e 1620 d.C.,
representando-o sentado e tendo à sua frente um tabuleiro
de Mancala, é possivelmente a mais antiga escultura de
madeira da África Negra que se conhece. Esta pode ser
apreciada no British Museum em Londres.
A difusão deste Jogo partiu de uma origem primitiva
situada no Egipto ou na Arábia, para a Ásia de oeste para
leste, atingindo as Filipinas, e em África de nordeste para oeste e para o sul.
Posteriormente foi levado para o continente americano pelos 20 milhões de
escravos negros, cujo tráfego se iniciou no século XVI.
A importância destes jogos como fenómeno cultural, só foi reconhecida
no final do século XIX com as contribuições de E. B. Taylor e A. C. Haddon, na
Inglaterra, e Stewart Culin (1858–1929), na América.
E na Europa, terão os Portugueses sido pioneiros nas referências
escritas? A esse respeito diz Elísio Silva, “É de admitir que nos nossos
arquivos históricos relativos ao Ultramar haja referências ao Mancala, que, uma
vez identificadas, nos possam conceder o primeiro lugar nas referências
escritas por europeus.”. No passado, os jogos Mancala tiveram prerrogativas
de carácter mitológico, sagrado, hierárquico e divinatório, que condicionavam a
sua prática. Após a gradual liberalização da prática destes jogos assistiu-se a
um período de transição, em que uma paixão desregrada escravizava homens
e mulheres, que a eles tudo sacrificavam: obrigações, culturas, bens, familiares
e até a própria pessoa. Presentemente homens, mulheres e crianças jogam
mais como passatempo do que com fins lucrativos, fazendo brilhar a sua
perícia e habilidade, em democrática liberdade. Actualmente ocorrem vários
campeonatos anuais em Inglaterra, França, Espanha e Canadá.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
92
O Ouri
Os jogos Mancala prestam-se facilmente a análises interessantes e
pode-se empreender uma infinidade de investigações, em diferentes níveis de
sofisticação Matemática. Estes, constituem um verdadeiro mundo, no qual
encontramos organizações, sociedades, campeonatos, inúmeros nomes,
regras e tabuleiros dos mais diversificados materiais e países. Pelo que,
escolher nome e regras foi um verdadeiro dilema. No entanto e após grande
ponderação adoptou-se a designação OURI e as regras oriundas de Cabo
Verde pelo facto destas reunirem consenso. Efectivamente, em Cabo Verde, o
Jogo é usualmente denominado por Ouri, Ouril, Oril, Ori, Uril, Oro ou Urim e as
sementes da ourinzeira por ouris.
Relativamente ao equipamento necessário este é simples e de fácil
improvisação: o tabuleiro pode ser feito a partir de caixas de ovos, tigelas ou
pequenas formas de cozinha e tanto as sementes como os seixos ou os
berlindes são boas peças. Pode-se também jogar ao vivo: os alunos são as
peças e os buracos são círculos traçados no recreio da escola.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
93
Regras de Jogo do Ouri
Material
• 48 sementes, pedras, avelãs (qualquer coisa pequena);
• Tabuleiro com 14 buracos;
• Duas pessoas.
Objectivo
O Objectivo do Jogo é recolher mais sementes do que o adversário.
Todas a sementes têm o mesmo valor e vence o jogador que recolher 25
ou mais sementes.
Regras
O Tabuleiro é composto por duas filas de seis buracos aos quais se
chamam casas e dois buracos maiores nas extremidades designados por
depósitos. Estes depósitos servem para colocar as sementes capturadas ao
adversário ao longo do Jogo.
Cada jogador escolhe o seu lado do tabuleiro. Para decidir quem
começa, um dos jogadores esconde uma semente numa das mãos, se o outro
adivinhar correctamente em que mão está começa o Jogo.
Os jogadores sentam-se frente a frente e o depósito que lhe pertence é
o que está à sua direita.
Movimentos
No início do Jogo são colocadas 4 sementes em cada uma das doze
casas.
O jogador que abre o Jogo colhe todas as sementes de um dos seus
buracos e distribui uma a uma nos buracos seguintes, no sentido anti-horário
(sentido contrário ao dos ponteiros do relógio). Esta regra mantém-se para
todas as jogadas.
Jogador B
Jogador A
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
94
Se a casa contiver mais do que 12 sementes, o jogador dá uma volta
completa ao tabuleiro e saltando a casa de onde partiu.
O jogador não pode mexer nas casas que contenham apenas uma
semente enquanto tiver casas com mais sementes.
Capturas
A captura é a última parte do movimento:
Se ao depositarmos a última semente numa casa do adversário e esta
contenha duas ou três sementes (contando com a semente que acabámos de
depositar), podemos capturá-las. Isto é, retiramos todas as sementes e
guardamo-las no nosso depósito.
Sempre que as casas anteriores à última tiverem duas ou três sementes
e pertençam ao adversário podemos e devemos capturá-las, até que
encontremos uma casa que não cumpra alguma destas condições.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
95
Se ao depositarmos a última semente numa casa do adversário e esta
contenha quatro ou mais sementes (contando com a semente que acabámos
de depositar), não podemos capturá-las. Passando o Jogo para o adversário.
Regras Suplementares
As regras suplementares aplicam-se quando um dos jogadores fica sem
sementes:
• Se ao realizar um movimento o jogador fica sem sementes o adversário
é obrigado a efectuar um movimento que introduza sementes no seu
lado;
• Se um jogador realizar uma captura e deixar o adversário sem
sementes, este (jogador que efectuou a captura) vê-se obrigado (no
caso de ter sementes que o permitam) a jogar de forma a introduzir
sementes nas casas do adversário.
Nota: Se o jogador não tiver sementes finaliza a partida (ver ponto Fim
da Partida).
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
96
Fim da Partida
Quando um jogador capturar a maioria das sementes — 25 ou mais — a
partida finaliza e esse jogador ganha.
Quando um jogador fica sem sementes e o adversário não pode jogar de
forma a introduzir sementes nas casas deste jogador, a partida termina e o
adversário recolhe as sementes que estão nas suas casas para o seu depósito.
Ganha quem tiver um maior número de sementes.
Quando a partida está a finalizar e ficam poucas sementes no tabuleiro
criando uma situação que se repete ciclicamente, sem que os jogadores
possam ou queiram evitá-lo, cada jogador recolhe as sementes que se
encontram nas suas casas e colocam-nas nos respectivos depósitos. Ganha
quem tiver mais sementes
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
97
Metodologia de Trabalho do Jogo Ouri
O Jogo Ouri foi apresentado aos alunos com recurso de um projector,
data show e computador. Foram explicadas as regras de Jogo. Mostrei-lhes um
Jogo já elaborado e respectivas peças de Jogo e os
tabuleiros de Jogo foram construídos na área
curricular disciplinar de Educação Visual, com a ajuda
da Professora Lídia Amaral, a quem muito agradeço.
Os jogos foram construídos em K-line e as peças de
Jogo utilizadas foram pedras de decoração de aquário.
Depois do Jogo concluído, deu-se início ao campeonato inter-turma,
onde cada aluno jogou contra todos os seus colegas.
No final apuraram-se os resultados e fez-se avaliação desta actividade.
Como neste Jogo podiam participar os três ciclos do Agrupamento,
houve necessidade de construir mais jogos. Dada a complexidade dos
elaborados em Educação Visual, optamos por construir mais mas utilizando
caixas de 12 ovos e feijões como peças de Jogo.
Os jogos elaborados pela turma foram disponibilizados na Sala de
Matemática para que todas as turmas dos 1º, 2º e 3º Ciclos pudessem ter
acesso a eles e pudessem efectuar o seu próprio torneio inter-turma. O
principal objectivo era proporcionar contacto e treino com o Jogo Ouri para que
todos os alunos se pudessem inscrever e participar no CNJM5 a nível de
Escola. Ao introduzir o Jogo Ouri na escola pretende-se que os alunos
adquiram e desenvolvam em ambiente lúdico e interactivo, e em diferentes
contextos (sala de aula, recreio, biblioteca, família, etc.) um conjunto de
competências que pensamos relevantes para o desenvolvimento do
pensamento matemático:
• A destreza manual, a lateralidade, as noções de quantidade e de
sequência, as operações básicas mentais, aquando da aplicação das
regras em cada Jogo, por exemplo, o sentido convencional do Jogo —
sentido anti-horário;
• O uso de processos organizados de contagem na abordagem de
problemas combinatórios simples, por exemplo, os conceitos de chance,
de eventos aleatórios, de eventos equiprováveis e não-equiprováveis;
• A procura de padrões e regularidades e a formulação de generalizações;
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
98
• No contexto numérico, durante o desenvolvimento de cada Jogo de
forma a encontrar estratégias ganhadoras.
Em suma, com o Ouri pretende-se promover actividades cooperativas de
aprendizagem orientadas para a integração e troca de saberes de uma forma
lúdica e em múltiplos contextos.
Assim, com o OURI pretende-se que o aluno seja capaz de:
• Relacionar harmoniosamente o corpo com o espaço, numa perspectiva
pessoal e interpessoal;
• Mobilizar saberes culturais e científicos de forma a valorizar as
diferentes formas de conhecimento, comunicação e expressão;
• Desenvolver a curiosidade intelectual, do gosto pelo saber, pelo trabalho
e pelo estudo;
• Desenvolver a capacidade de adoptar estratégias adequadas à
resolução de problemas e à tomada de decisões;
• Realizar actividades de forma autónoma, responsável e criativa;
• Cooperar com outros em tarefas e projectos comuns.
Opinião Geral dos Alunos
Os alunos gostaram bastante de Jogar o
Ouri. Muitos deles, especialmente os de origem
PALOP, já conheciam o Jogo, mas com outras
regras, muitas vezes regras já alteradas pelo
Jogo em família ou com vizinhos. O mais
complicado foi conseguir que seguissem as
regras estabelecidas pelo Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos. As
cores atractivas das peças de Jogo atraiam os mais novos, especialmente os
do 1º Ciclo. Aquando de exposições dos Jogos em actividades de Escola ao
longo do ano lectivo, este era o Jogo mais solicitado pelos alunos.
Dado o tempo que gastamos na execução deste Jogo, o tempo
necessário para treinos e a proximidade da final a nível de Escola, bem como a
sua organização, e da Final Nacional, não houve oportunidade de aplicar
directamente um inquérito de opinião individual sobre este Jogo.
Grelha de Pontuação do Jogo “Ouri” Campeonato Inter-Turma
Alu
no
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ão
Aluno A 10 10 10 10 10 10 11 5º
Aluno B 10 10 10 10 10 10 8º
Aluno C 10 10 01 10 10 10 10 10 8º
Aluno D 10 01 10 10 7 14º
Aluno E 10 01 01 01 10 6 17º
Aluno F 01 01 01 10 01 5 18º
Aluno G 10 10 01 10 01 10 10 01 10 10 10 10 20 1º
Aluno H 10 10 10 10 10 10 10 10 11 5º
Aluno I 01 10 01 10 01 7 14º
Aluno J 10 10 01 10 10 10 01 10 10 8º
Aluno K 10 10 10 01 01 10 7 14º
Aluno L 10 01 10 01 10 10 10 10 12 3º
Aluno M 10 2 20º
Aluno N 10 10 10 01 10 10 10 12 3º
Aluno O 10 10 10 10 10 10 10 10 11 5º
Aluno P 10 10 10 10 10 10 8º
Aluno Q 10 10 01 01 10 01 01 10 10 14 2º
Aluno R 10 10 10 10 5 18º
Aluno S 01 10 10 01 01 01 10 10 8º
Aluno T 0 21º
Aluno U 10 10 10 10 8 13º
Semáforo
Autor: Alan Parr
Material
Oito peças verdes, oito amarelas e oito vermelhas partilhadas pelos
jogadores.
Objectivo
Ser o primeiro a conseguir uma linha de três peças da mesma cor na
horizontal, vertical ou diagonal.
Regras
O Jogo realiza-se no tabuleiro, inicialmente vazio.
Em cada jogada, cada jogador realiza uma das
seguintes acções:
Coloca uma peça verde num quadrado vazio;
Substitui uma peça verde por uma peça amarela;
Substitui uma peça amarela por uma peça vermelha.
De notar que as peças vermelhas não podem ser substituídas. Isto
significa que o Jogo tem de terminar sempre: à medida que o tabuleiro fica com
peças vermelhas, é inevitável que surja uma linha de três peças.
Nos diagramas seguintes usam-se as cores branca, cinzenta e preta
para representar respectivamente o verde, o amarelo e o vermelho.
O seguinte diagrama mostra uma posição com três possibilidades de
vitória imediata:
1. substituir a peça verde em a3 (cria um três em linha
vertical de amarelos);
2. substituir a peça amarela em d1 (cria um três em linha
diagonal de vermelhos);
3. largar uma peça verde em c1 (cria um três em linha diagonal de verdes).
O exemplo seguinte é de um fim de partida. Se analisarmos o tabuleiro,
verificamos que já só restam duas jogadas que não levam à derrota:
(a) largar uma peça verde em b1;
(b) substituir a peça verde em d2. Isto significa que o jogador
seguinte já perdeu. Ao jogar numa dessas opções, o
adversário joga na outra.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
101
Análise de um problema
O Jogo usualmente designado por Traffic Lights (em português,
Semáforo) foi inventado por Alan Parr em 1998. Engane-se quem pense que é
apenas uma versão ligeiramente mais complexa do que o conhecido Jogo do
galo. De facto, é um Jogo que exige uma certa precisão de cálculo mesmo em
tabuleiros pequenos.
Vejamos, a partir do seguinte exemplo, típicos raciocínios relativos a
este Jogo.
Como jogar e ganhar?
Solução:
Mais do que apresentar meramente a solução, vamos apresentar a
forma de raciocínio que nos leva até ela para depois tirar algumas conclusões.
Primeiro Passo: Comecemos por identificar
as casas totalmente interditas, isto é, as casas em
que não podemos de maneira nenhuma jogar,
nem nunca vamos poder.
Segundo Passo: Identifiquemos agora as
casas temporariamente interditas, isto é, as
casas em que não podemos jogar, mas com
potencial de ainda poderem vir a estar
disponíveis.
Repare-se que jogando na casa marcada o adversário faz uma linha
amarela. No entanto, esta situação pode vir a ser alterada mudando as peças
que estão amarelas para vermelhas.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
102
Terceiro Passo: Já estão identificadas as
hipóteses possíveis para se efectuar uma
jogada.
Podemos pensar o que aconteceria se as
peças do meio fossem todas vermelhas e
fossemos nós a jogar. Este tipo de hipótese
maximal facilita imenso o cálculo de variantes. É
fácil ver que nesse caso haveria 3 jogadas
ganhadoras, colocando o adversário numa
posição de não poder jogar:
Sendo assim, a maneira mais fácil de
ganhar o Jogo (mas não única) é mudar uma
amarela para vermelha (como se mostra no
próximo diagrama).
Repare-se que agora o segundo jogador tem dois tipos de jogadas
igualmente perdedoras:
1) Mudar a amarela para vermelha e estamos no caso já visto;
2) Colocar noutra casa que não perca imediatamente e nós mudamos a
outra peça amarela para vermelha (reduzindo novamente ao caso já visto).
Conclusões: Apesar deste Jogo ser muito mais de cálculo do que
estratégico, a identificação de casas totalmente interditas, temporariamente
interditas e a colocação de hipóteses maximais facilita muito o dito cálculo.
Utilização Pedagógica do Jogo
Apresentação efectuada pelos alunos em PowerPo
mais novos, turmas do 1º Ciclo.
Slide 1
Slide 2
Jogo – Um estudo de caso
Apresentação efectuada pelos alunos em PowerPoint para mostrar aos
turmas do 1º Ciclo.
Patrícia Marques
103
int para mostrar aos
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
106
Konane
Jogo Tradicional do Havai
Material
Um tabuleiro quadrado 8 por 8.
31 peças brancas e 31 pedras negras.
Objectivo
Ganha o jogador que realizar a última
jogada.
Regras
Cada jogador, alternadamente, move uma peça sua. Começam as
Brancas.
Uma peça pode ser movimentada desde que esteja adjacente (na
horizontal ou vertical mas não na diagonal) a outra peça adversária e possa
saltar por cima desta ficando na casa imediatamente a seguir (que tem de estar
desocupada). A peça saltada é capturada e removida do tabuleiro (à
semelhança das Damas). Isto significa que devem ocorrer capturas em todos
os lances de uma partida de Konane.
Após uma captura, a peça movimentada pode, opcionalmente e se
houver essa possibilidade, continuar a capturar peças adversárias desde que o
faça no mesmo sentido (ou seja, não pode alterar a direcção da captura no
meio da jogada).
Um exemplo:
É a vez das Brancas no diagrama
esquerdo que se segue. A peça branca em
c3 tem várias opções de captura: ou se
move para c5, saltando e capturando a
peça negra em c4; ou se move para e3,
capturando d3 e podendo ainda continuar a
saltar para g3 (capturando f3). De reparar
que, após o salto para e3, não pode alterar
de direcção para capturar e4 na mesma
jogada.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
107
No diagrama da direita observamos a
posição após a captura dupla de d3 e f3 pela
peça branca que se situava em c3. Sendo
agora a vez das Negras e não tendo elas
uma única jogada disponível, o Jogo termina
com a vitória das Brancas.
Julho 2009
108
Apresentação efectuada pelos alunos em
PowerPoint para mostrar aos alunos
mais novos: turmas dos 1º e 2º Ciclos.
Slide 1
Slide 2
Regras
Cada jogador, alternadamente, move uma peça sua. Começam as
Brancas. Uma peça pode ser movimentada desde que
(na horizontal ou vertical mas não na diagonal) a outra peça adversária e
possa saltar por cima desta ficando na casa imediatamente a seguir (que
tem de estar desocupada). A peça saltada é capturada e removida do
tabuleiro (à semelhança da
capturas em todos os lances de uma partida de Konane. Após uma
captura, a peça movimentada pode, opcionalmente e se houver essa
possibilidade, continuar a capturar peças adversárias desde que o faça
no mesmo sentido (ou seja, não pode alterar a direcção da captura no
meio da jogada).
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
esentação efectuada pelos alunos em
PowerPoint para mostrar aos alunos
mais novos: turmas dos 1º e 2º Ciclos.
Cada jogador, alternadamente, move uma peça sua. Começam as
Brancas. Uma peça pode ser movimentada desde que esteja adjacente
(na horizontal ou vertical mas não na diagonal) a outra peça adversária e
possa saltar por cima desta ficando na casa imediatamente a seguir (que
tem de estar desocupada). A peça saltada é capturada e removida do
tabuleiro (à semelhança das Damas). Isto significa que devem ocorrer
capturas em todos os lances de uma partida de Konane. Após uma
captura, a peça movimentada pode, opcionalmente e se houver essa
possibilidade, continuar a capturar peças adversárias desde que o faça
do (ou seja, não pode alterar a direcção da captura no
Um estudo de caso
Cada jogador, alternadamente, move uma peça sua. Começam as
esteja adjacente
(na horizontal ou vertical mas não na diagonal) a outra peça adversária e
possa saltar por cima desta ficando na casa imediatamente a seguir (que
tem de estar desocupada). A peça saltada é capturada e removida do
s Damas). Isto significa que devem ocorrer
capturas em todos os lances de uma partida de Konane. Após uma
captura, a peça movimentada pode, opcionalmente e se houver essa
possibilidade, continuar a capturar peças adversárias desde que o faça
do (ou seja, não pode alterar a direcção da captura no
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
111
Outra área de Jogos que dinamizei com os alunos, neste trabalho de
investigação foi a área dos Jogos aos quais chamei Jogos Pedagógicos.
Estes Jogos são maioritariamente baseados em Jogos conhecidos dos
alunos ou de autores que já os experimentaram em sala de aula.
Todos têm um suporte programático dos conteúdos referentes ao 9º ano
de escolaridade. A planificação desse programa feita por mim e aplicada no
meu Agrupamento de Escolas surge a seguir.
Procurei abranger todas as temáticas leccionadas no 9º ano de
escolaridade, adaptando jogos, criando outros, seguindo sugestões dos alunos,
que se envolveram de tal forma neste Projecto que até Jogos sugeriram.
Neste sentido, trabalhamos o Jogo como até aqui o fizemos em relação
aos Jogos do Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos.
O Jogo é apresentado ao grupo/turma. Divide-se a turma em grupos de
trabalho. O Jogo é construído e depois todos os jogam, em grupos, em pares,
individualmente, consoante a natureza do Jogo. Depois procede-se à avaliação
de cada Jogo.
Os Jogos desenvolvidos foram:
• Jogo dos 4 Dados - Probabilidades;
• Jogo dos Casos Notáveis da Multiplicação de Binómios;
• Intersecções;
• Dominó de Inequações;
• Loto dos Números Reais;
• DirectInv;
• Tio Papel de Trigonometria.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
112
Agrupamento de Escolas do Bairro Padre Cruz Escola Básica dos 2º e 3º Ciclos (Sede de Agrupamento)
Escola Básica do 1º Ciclo nº 167 (Edifício Piteira e Edifício Rio Tejo) Jardim de Infância
Ano Lectivo 2008/2009
PLANIFICAÇÃO A LONGO PRAZO
MATEMÁTICA − 9º Ano Número de blocos (de 90 minutos) previstos:
1º Período – 25 (9ºA) 27 (9ºB) blocos
2º Período – 23 blocos
3º Período – 16 blocos
1º Período Nº de blocos
Apresentação. Critérios de Avaliação. Teste Diagnóstico ………………. 1
Cap.1 – Estatística e Probabilidades ....................................................... 5
Cap.2 – Os Números Reais. Inequações ................................................ 8
Cap.3 – Sistemas de Equações .............................................................. 6
Revisões .................................................................................................. 2
Avaliação ................................................................................................. 2
Actividades Extra-Curriculares .................................................…........... 1(A)/3(B)
2º Período
Cap.4 – Proporcionalidade Inversa. Representação Gráfica ................. 5
Cap.5 – Circunferência e Polígonos. Rotações ...................................... 5
Cap.6 – Equações ................................................................................... 8
Revisões .................................................................................................. 2
Avaliação ................................................................................................. 2
Actividades Extra-Curriculares ................................................................ 1
3º Período
Cap.7 – Trigonometria do triângulo rectângulo ....................................... 5
Cap.8 – Espaço - Outra Visão ................................................................. 5
Revisões .................................................................................................. 2
Avaliação ................................................................................................. 2
Actividades Extra-Curriculares ................................................................ 2
Agrupamento de Escolas do Bairro Padre Cruz Escola Básica dos 2º e 3º Ciclos (sede do Agrupamento)
Escola Básica do 1º Ciclo (Edifício Piteira Santos e Edifício Rio Tejo) Jardim de Infância
Plano Anual a Médio Prazo de Plano Anual a Médio Prazo de Plano Anual a Médio Prazo de Plano Anual a Médio Prazo de MatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática –––– 9º Ano 9º Ano 9º Ano 9º Ano –––– Ano Lectivo 2008/2009Ano Lectivo 2008/2009Ano Lectivo 2008/2009Ano Lectivo 2008/2009
Temas/Conteúdos Capacidades Específicas Metodologias/Situações de
Aprendizagem Recursos / Materiais
Avaliação / Instrumentos
Blocos Previstos
Capítulo 1 – Estatística e Probabilidades
A linguagem das probabilidades:
- As probabilidades no dia-a-dia
- Termos e conceitos fundamentais
Probabilidade de um acontecimento:
- Cálculo da probabilidade de um acontecimento
- Lei de Laplace
- Consequências da definição de
probabilidade
- Escala de probabilidades
- Resolução de problemas Estatística e probabilidades: - Frequência relativa e probabilidade
Reconhecer que em determinados acontecimentos há um grau de incerteza Identificar resultados possíveis numa situação aleatória.
Calcular, em casos simples, a probabilidade de um acontecimento como quociente entre número de casos favoráveis e número de casos possíveis.
Resolver problemas de probabilidade usando diagramas de Venn, tabelas de dupla entrada e diagramas de árvore.
Compreender e usar escalas de probabilidade de 0 a 1 ou de 0% a 100%.
Usar conscientemente as expressões “muito provável”, “improvável”, “certo”, “impossível”,...
Classificar acontecimentos.
Compreender e usar a frequência relativa como aproximação da probabilidade.
Leitura de textos em que a linguagem das probabilidades surja como forma de informação; Jogos que desenvolvam o raciocínio e relacionem o vocabulário específico das probabilidades, introduzindo intuitivamente o cálculo das probabilidades; Resolução de exercícios de aplicação dos conteúdos seleccionados.
o Fichas de
Trabalho;
o Quadro e Giz;
o Manual;
o Retroprojector;
o Caderno de
Actividades;
o Calculadora
científica.
o Moedas, dados,
sacos com
bolas, etc.
Fichas de Actividades;
Fichas de Avaliação;
Trabalho em grupo;
Trabalhos de casa;
Participação na aula;
Uso de calculadora / computador;
Comportamento / Atitudes.
5 blocos
(de
15 Setembro
a
8 Outubro)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
114
Temas/Conteúdos Capacidades Específicas Metodologias/Situações
de Aprendizagem Recursos / Materiais
Avaliação / Instrumentos
Blocos Previstos
Capítulo 2 – Os números reais. Inequações Os números reais: - Números racionais
- Números irracionais.
- Números reais. O conjunto ℝ
- Dízimas
- Operar com números reais
- Relações «<» e «>» em ℝ
- A recta real
Intervalos de ℝ
Inequações:
- Resolução de inequações do 1º grau a uma incógnita
- Conjuntos definidos por condições.
Relacionar números reais com o tipo de dízima que os representam.
Indicar valores aproximados de um dado número real, controlando o erro.
Comparar números reais.
Interpretar e representar, gráfica e simbolicamente, intervalos de números reais, assim como a intersecção e a reunião de intervalos. Verificar se um número é solução de uma inequação.
Resolver inequações do 1º grau a uma incógnita.
Identificar conjuntos definidos por uma conjunção ou a reunião de duas condições simples.
Dedução da relação entre o tipo de dízimas e os conjuntos numéricos;
Representação de conjuntos de números reais de diferentes formas; Associação da reunião e intersecção de intervalos à conjunção e disjunção de condições; Apresentação de forma intuitiva das regras para resolução de inequações; Resolução de exercícios /problemas de aplicação sobre os conteúdos leccionados.
o Fichas de
Trabalho;
o Quadro e Giz;
o Manual;
o Retroprojector;
o Caderno de
Actividades;
o Calculadora
científica.
Fichas de Actividades;
Fichas de Avaliação;
Trabalho em grupo;
Trabalhos de casa;
Participação na aula;
Uso de calculadora / computador;
Comportamento / Atitudes.
8 blocos
(de
16 Outubro
a
12Novembro)
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
115
Temas/Conteúdos Capacidades Específicas Metodologias/Situações
de Aprendizagem Recursos / Materiais
Avaliação / Instrumentos
Blocos Previstos
Capítulo 3 – Sistemas de Equações Equações do 1º grau com duas
incógnitas Sistemas de duas equações do 1º grau
com duas incógnitas: - Resolução de sistemas pelo
método de substituição - Resolução gráfica de sistemas - Resolução de problemas
recorrendo a sistemas de equações.
Verificar se um par ordenado é solução de uma equação do 1º grau a duas incógnitas.
Encontrar soluções de uma equação do 1º grau a duas incógnitas.
Resolver uma equação do 1º grau a duas incógnitas em ordem a uma delas.
Traduzir o enunciado de um problema da linguagem corrente para a linguagem Matemática.
Verificar se uma par ordenado é solução de um sistema. Reconhecer sistemas equivalentes.
Resolver sistemas de equações pelo método de substituição.
Interpretar e criticar a solução de um sistema de equações no contexto de um problema.
Classificar um sistema de duas equações.
Utilização de equações literais de outras áreas de conhecimento;
Fornecer aos alunos problemas reais com várias soluções. Posteriormente introduzir condições que conduzam a uma única solução. Voltar à situação de aprendizagem anterior;
Resolução de sistemas pelo método de substituição;
Resolução de exercícios de aplicação sobre os conteúdos seleccionados;
Resolução gráfica de sistemas.
o Fichas de
Trabalho;
o Quadro e Giz;
o Manual;
o Retroprojector;
o Caderno de
Actividades;
o Calculadora
científica;
o Computador.
Fichas de Actividades;
Fichas de Avaliação;
Trabalho em grupo;
Trabalhos de casa;
Participação na aula;
Uso de calculadora / computador;
Comportamento / Atitudes.
6 blocos
(de
17 Novembro
a
18Dezembro)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
116
Temas/Conteúdos Capacidades Específicas Metodologias/Situações
de Aprendizagem Recursos / Materiais
Avaliação / Instrumentos
Blocos Previstos
Capítulo 4 – Proporcionalidade Inversa. Representação Gráfica
Proporcionalidade Inversa
- Constante de proporcionalidade inversa
- Tabelas - Gráficos
A proporcionalidade inversa como
função x→k/x, k≠0 Análise de gráficos que traduzem situações da vida real.
Reconhecer situações de proporcionalidade inversa, indicando a constante de proporcionalidade.
Resolver problemas da vida corrente, da Matemática ou de outras ciências que envolvam proporcionalidade inversa.
Resolver problemas usando proporcionalidade inversa.
Construir tabelas ou gráficos a partir de dados fornecidos.
Representar graficamente as funções do tipo x→k/x (k>0 e x>0).
Interpretar e explorar gráficos fornecidos.
Exploração de situações reais que envolvam proporcionalidade inversa;
Elaboração de uma tabela de comparação de proporcionalidade directa e proporcionalidade inversa;
Resolução de exercícios de aplicação sobre os conteúdos seleccionados;
Pesquisa de situações do dia-a-dia onde sejam utilizados gráficos.
o Fichas de
Trabalho;
o Quadro e Giz;
o Manual;
o Retroprojector;
o Caderno de
Actividades;
o Calculadora
científica;
o Computador.
Fichas de Actividades;
Fichas de Avaliação;
Trabalho em grupo;
Trabalhos de casa;
Participação na aula;
Uso de calculadora / computador;
Comportamento / Atitudes.
5 blocos
(de
5 Janeiro
a
23 Janeiro)
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
117
Temas/Conteúdos Capacidades Específicas Metodologias/Situações
de Aprendizagem Recursos / Materiais
Avaliação / Instrumentos
Blocos Previstos
Capítulo 5 – Circunferência e polígonos. Rotações
Circunferência
Ângulos ao centro. Arcos e cordas correspondentes.
Ângulo inscrito num arco de circunferência
Simetrias numa circunferência
Polígonos
- Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono
- Soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono
- Polígonos inscritos numa circunferência
- Áreas de polígonos regulares
Rotações
- Do movimento de rotação ao ângulo orientado
- Rotações no plano
Isometrias
Relacionar as amplitudes dos ângulos ao centro e ângulos inscritos com as amplitudes dos arcos correspondentes.
Descobrir amplitudes de outros ângulos cujos lados intersectam uma circunferência.
Identificar e traçar eixos de simetria de uma circunferência.
Relacionar arcos e cordas compreendidos entre cordas paralelas.
Reconhecer que a tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangencia.
Determinar a soma dos ângulos internos e a soma dos ângulos externos de um polígono convexo.
Determinar a área de um polígono regular usando a fórmula:
Ãrea = (perímetro:2) x apótema.
Identificar rotações de polígonos regulares em torno do seu centro. Comparar propriedades das rotações, translações e simetrias axiais. Identificar diferentes isometrias em decorações figurativas.
Realização de uma ficha de exploração utilizando software de Geometria dinâmica (por exemplo Geometer’s SketchPad);
Dedução das propriedades que relacionam:
- Ângulos ao centro e arcos correspondentes;
- Ângulos inscritos em arcos de circunferência;
- Simetrias numa circunferência;
- Arcos e cordas compreendidos entre cordas paralelas;
- Recta tangente à circunferência e raio;
- Amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo;
- Amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo;
Resolução de exercícios de aplicação sobre os conteúdos seleccionados;
Observação de decorações figurativas;
Identificação de isometrias em decorações figurativas;
Construção de figuras decorativas utilizando isometrias.
o Fichas de
Trabalho;
o Quadro e Giz;
o Manual;
o Retroprojector;
o Caderno de
Actividades;
o Calculadora
científica;
o Computador;
o Programa de
Geometria
(Geometer’s
Sketchpad, etc.).
Fichas de Actividades;
Fichas de Avaliação;
Trabalho em grupo;
Trabalhos de casa;
Participação na aula;
Uso de calculadora / computador;
Comportamento / Atitudes.
5 blocos
(de
26 Janeiro
a
13 Fevereiro)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
118
Temas/Conteúdos Capacidades Específicas Metodologias/Situações
de Aprendizagem Recursos / Materiais
Avaliação / Instrumentos
Blocos Previstos
Capítulo 6 – Equações
Equações do 2º grau:
- O que é uma equação do 2º grau? - Equações do 2º grau completas e
incompletas
Resolução de equações do 2º grau:
- Fórmula resolvente - Número de soluções de uma
equação do 2º grau. Binómio Discriminante.
Problemas do 2º grau
Definir equação do 2º grau.
Decompor um binómio ou trinómio em factores, com vista à resolução de equações.
Resolver equações do 2º grau, procurando utilizar o processo mais adequado a cada situação (lei do anulamento do produto, fórmula resolvente, noção de raiz quadrada).
Traduzir um enunciado de um problema de linguagem corrente para linguagem Matemática.
Interpretar e analisar as soluções ou a impossibilidade de uma equação no contexto de um problema.
Revisão da decomposição de um polinómio em factores;
Resolução de equações do 2º grau incompletas, recorrendo à Lei do Anulamento do Produto;
Introdução da Fórmula Resolvente;
Resolução de equações do 2º grau num contexto de problemas.
o Fichas de
Trabalho;
o Quadro e Giz;
o Manual;
o Retroprojector;
o Caderno de
Actividades;
o Calculadora
científica.
Fichas de Actividades;
Fichas de Avaliação;
Trabalho em grupo;
Trabalhos de casa;
Participação na aula;
Uso de calculadora / computador;
Comportamento / Atitudes.
8 blocos
(de
16 Fevereiro
a
27 Março)
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
119
Temas/Conteúdos Capacidades Específicas Metodologias/Situações
de Aprendizagem Recursos / Materiais
Avaliação / Instrumentos
Blocos Previstos
Capítulo 7 – Trigonometria do triângulo rectângulo
Razões trigonométricas de ângulos agudos:
- Seno, Co-seno e Tangente
Tabelas de valores naturais e calculadora
Resolução de problemas
Relações entre as razões trigonométricas do mesmo ângulo
Determinar razões trigonométricas de um dado ângulo agudo (por construção, utilizando tabelas, usando calculadora).
Determinar um ângulo agudo conhecida uma das suas razões trigonométricas (por construção, utilizando tabelas, usando calculadora).
Procurar estratégias adequadas para determinar distâncias inacessíveis, alturas de edifícios, etc.
Determinar uma razão trigonométrica de um ângulo agudo conhecida outra.
Exploração de situações reais que envolvam as noções básicas de trigonometria do triângulo rectângulo;
Utilização da calculadora científica para obter as razões trigonométricas de um determinado ângulo;
Utilização da Fórmula Fundamental da Trigonometria para investigação de uma razão trigonométrica sendo outra dada.
o Fichas de
Trabalho;
o Quadro e Giz;
o Manual;
o Retroprojector;
o Caderno de
Actividades;
o Calculadora
científica.
Fichas de Actividades;
Fichas de Avaliação;
Trabalho em grupo;
Trabalhos de casa;
Participação na aula;
Uso de calculadora / computador;
Comportamento / Atitudes.
5 blocos
(de
14 Abril
a
8 Maio)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
120
Temas/Conteúdos Capacidades Específicas Metodologias/Situações
de Aprendizagem Recursos / Materiais
Avaliação / Instrumentos
Blocos Previstos
Capítulo 8 – Espaço - Outra visão
Sólidos geométricos
- Áreas de sólidos geométricos
- Esfera
Representação no plano de rectas e planos no espaço
Critérios de paralelismo e perpendicularidade
A geometria Euclidiana
- Geometria experimental e indução - Geometria dedutiva
Resolver problemas referentes a áreas e volumes de sólidos geométricos, incluindo esfera.
Fazer esboços que representem rectas, planos e sua posição relativa.
Relacionar procedimentos da vida corrente com critérios referentes à posição relativa de rectas e planos.
Identificar, em modelos concretos, rectas e planos em várias posições relativas.
Distinguir axioma de teorema, num determinado contexto.
Revisão dos conceitos abordados no 7º Ano do que respeita à classificação de sólidos, bem como da determinação de áreas e volumes dos mesmos; Resolução de problemas que permitam interligar outros conhecimentos: Teorema de Pitágoras, proporcionalidade, razões trigonométricas; Resolução de problemas de determinação de volumes (tronco de um cone ou pirâmide, relacionar a área e volume de um cilindro com a área e volume de uma pirâmide, etc); Revisão das posições relativas de rectas e planos; Introdução dos critérios de paralelismo entre rectas e planos a partir de situações concretas e intuitivas.
o Fichas de
Trabalho;
o Quadro e Giz;
o Manual;
o Retroprojector;
o Caderno de
Actividades;
o Calculadora
científica;
o Sólidos
Geométricos e
planificações
de sólidos.
Fichas de Actividades;
Fichas de Avaliação;
Trabalho em grupo;
Trabalhos de casa;
Participação na aula;
Uso de calculadora / computador;
Comportamento / Atitudes.
5 blocos
(de
11 Maio
a
9 Junho)
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
121
Ficha de Jogo
Nome do Jogo Jogo dos 4 Dados - Probabilidades Tema/
Conteúdos
Programáticos
Capítulo 1 – Estatística e Probabilidades
Competências
Específicas
Reconhecer que em determinados acontecimentos há um
grau de incerteza;
Identificar resultados possíveis numa situação aleatória;
Calcular, em casos simples, a probabilidade de um
acontecimento como quociente entre número de casos
favoráveis e número de casos possíveis;
Compreender e usar escalas de probabilidade de 0 a 1 ou
de 0% a 100%;
Usar conscientemente as expressões “muito provável”,
“improvável”, “certo”, “impossível”, ...;
Classificar acontecimentos.
Regras de Jogo
Cada Jogador possui um Dado diferente, construído da
seguinte forma:
A – 1 dado com seis faces numerados com o número 3;
B – 1 dado com quatro faces numeradas com o número 4
e duas faces com o número 0;
C – 1 dado com duas faces numeradas com o número 6 e
quatro faces com o número 2;
D – 1 dado com três faces numeradas com o número 5 e
três faces com o número 1.
O Jogo é realizado em grupos de 4. A seu turno cada
jogador lança o seu dado e regista o número de pontos
obtido.
O grupo preenche a ficha de trabalho do Jogo e regista as
conclusões.
Objectivo Concluir acerca da ordenação crescente das
probabilidades P(A); P(B); P(C) e P(D).
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
122
Metodologia de Trabalho do Jogo 4 Dados - Probabilidades
Este Jogo foi sugerido pelo Professor Doutor Jorge Nuno Silva.
A turma é constituída por 22 alunos.
Surgiu um primeiro obstáculo. Como fazer a divisão por grupo?
Coloquei a questão aos alunos que logo apresentaram duas
soluções: Hipótese A – 3 grupos com 4 alunos e 2 grupos com
5 alunos; Hipótese B – 4 grupos com 4 alunos e 2 grupos com 3
alunos. Optamos por fazer votação com dedo no ar, da qual
resultou: 20 alunos votaram opção B e 1 aluno votou A, estando
um aluno a faltar à aula. Ganhou a opção B com 95% dos votos a favor.
Os alunos preferiram fazer a constituição dos grupos por sorteio:
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
Aluno A Aluno E Aluno I
Aluno B Aluno F Aluno J
Aluno C Aluno G Aluno K
Aluno D Aluno H Aluno L
Grupo 4 Grupo 5 Grupo 6
Aluno M Aluno Q Aluno T
Aluno N Aluno R Aluno U
Aluno O Aluno S Aluno V
Aluno P
Cada Grupo recebeu ½ cartolina com as cores: vermelho para o dado A;
azul para o dado B; amarelo para o dado C e verde para o dado D.
No quadro um aluno desenhou a planificação do cubo com espaço para
recortes e escolhemos as dimensões dos cubos: 10cm de aresta.
Foi também indicada a constituição de cada cubo:
A – 1 dado com seis faces numeradas com o número 3;
B – 1 dado com quatro faces numeradas com o número 4 e duas faces com o
número 0;
C – 1 dado com duas faces numeradas com o número 6 e quatro faces com o
número 2;
D – 1 dado com três faces numeradas com o número 5 e três faces com o
número 1.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
123
Jogo dos 4 Dados - Probabilidades
Área de Projecto 9º A
Outubro 2008
Material:
Cartolinas, tesouras, réguas, esquadros e cola.
4 dados diferentes:
A – 1 dado com seis faces numeradas com o número 3;
B – 1 dado com quatro faces numeradas com o número 4 e duas faces com o
número 0;
C – 1 dado com duas faces numeradas com o número 6 e quatro faces com o
número 2;
D – 1 dado com três faces numeradas com o número 5 e três faces com o
número 1.
Tarefa 1
Desenha uma planificação de um cubo com aresta 10cm.
Recorta e constrói o cubo.
Tarefa 2
Cada elemento do grupo escolhe um dos dados A, B, C ou D e desenha-o no
seu cubo.
Tarefa 3
Livremente, vamos jogar!
Objectivo: Obter o maior número de pontos.
Regras: lançar o cubo alternadamente e registar o número de pontos saídos.
Registar numa tabela e concluir acerca do vencedor em cada lançamento dos 4
dados diferentes.
1º Jogada 2º Jogada 3ª Jogada 4ª Jogada 5ª Jogada
Dado A Dado A Dado A Dado A Dado A
Dado B Dado B Dado B Dado B Dado B
Dado C Dado C Dado C Dado C Dado C
Dado D Dado D Dado D Dado D Dado D
Vencedor Vencedor Vencedor Vencedor Vencedor
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
124
Tarefa 4
Qual o Jogador que parece ter maior probabilidade de ganhar?
Será que é mesmo assim?
Vamos investigar!
Tarefa 5
O que pode acontecer com o jogador A? Classifica esse acontecimento.
Qual a probabilidade de ganhar o Jogador A?
Qual dos jogadores tem maior probabilidade de ganhar do que o A?
Tarefa 6
O que pode acontecer com o jogador B? Classifica esses acontecimentos.
Qual a probabilidade de ganhar o jogador B?
Qual dos jogadores tem maior probabilidade de ganhar do que o B?
Tarefa 7
O que pode acontecer com o jogador C? Classifica esses acontecimentos.
Qual a probabilidade de ganhar o jogador C?
Qual dos jogadores tem maior probabilidade de ganhar do que o C?
Tarefa 8
O que pode acontecer com o jogador D? Classifica esses acontecimentos.
Qual a probabilidade de ganhar o jogador D?
Qual dos jogadores tem maior probabilidade de ganhar do que o D?
Tarefa 9
Formula uma conjectura acerca da ordenação crescente das probabilidades
P(A); P(B); P(C) e P(D).
Conclusões importantes:
Bom Trabalho!
Patrícia Marques
Alunos
_______________________________________________________ n.º _____
_______________________________________________________ n.º _____
_______________________________________________________ n.º _____
_______________________________________________________ n.º _____
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
125
Ficha de Jogo
Nome do Jogo Jogo dos Casos Notáveis da Multiplicação de Binómios
Tema/
Conteúdos
Programáticos
Capítulo 2 – Os números reais. Inequações
Competências
Específicas Calcular o valor exacto de expressões com números reais.
Material por
Aluno
Tabuleiro com as três fórmulas dos casos notáveis
conhecidas dos alunos
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2
(A-B)(A+B)=A2-B2
6 fichas rectangulares (3 de cada cor)
Lápis e borracha.
Regras de Jogo
Cada Jogador possui um tabuleiro de Jogo individual,
composto pelos três casos notáveis da multiplicação de
binómios e seis fichas rectangulares, três de cada cor, três
com a letra A e três com a letra B.
Cada aluno identifica A e B e preenche no verso de cada
ficha com o número real correspondente.
Em seguida coloca cada ficha no seu lugar no tabuleiro de
Jogo, escolhendo o caso notável que tem de aplicar,
transcreve para o seu caderno diário ou para a ficha de
trabalho e resolve o exercício.
Objectivo Simplificar expressões com valores exactos de números
reais.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
126
Jogo dos Casos Notáveis da Multiplicação de Binómios
Material (por aluno):
Tabuleiro com as três fórmulas dos casos notáveis conhecidas dos alunos
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2
(A-B)(A+B)=A2-B2
6 fichas rectangulares (3 de cada cor)
Lápis e borracha.
Objectivo:
Calcular o valor exacto de expressões com números reais.
Regras de Jogo:
Lê o exercício proposto.
Escolhe o caso notável que mais se adequa ao exercício que tens de resolver.
Identifica A e B, e escreve a lápis nos 3 rectângulos com a mesma cor o valor
de A. Nos outros 3 rectângulos da outra cor escreve a lápis o valor de B.
Copia o exercício para o teu caderno diário, resolve aplicando o caso notável
que escolheste e simplifica a expressão, não esquecendo que se pretende o
seu valor exacto.
Em caso de dúvida, chama a professora.
Quando acabares, apaga o que escreveste a lápis nas 6 fichas coloridas e
resolve outro exercício.
Exercícios:
Calcula o valor exacto de:
a) �√11 � 1�
b) �5 � 2√3�
c) �2 � √5��2 � √5�
d) �√7 � 1�
e) �2 � √10��2 � √10�
f) �3 � √5�
g) �√6 � 2�
h) �3√2 � ��
i) �2 � √3��2 � √3�
j) ��2 � 2√2�
k) �√2 � √20��√2 � √20�
l) ��� � √7�
Bom Jogo!
Patrícia Marques
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
127
Ficha de Jogo
Nome do Jogo Outra Aplicação do Jogo dos
Casos Notáveis da Multiplicação de Binómios
Tema/
Conteúdos
Programáticos
Capítulo 6 – Equações
Competências
Específicas
Decompor um binómio ou trinómio em factores, com vista
à resolução de equações.
Material por
Aluno
Tabuleiro com as três fórmulas dos casos notáveis
conhecidas dos alunos
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2
(A-B)(A+B)=A2-B2
6 fichas rectangulares (3 de cada cor)
Lápis e borracha.
Regras de Jogo
Lê o exercício proposto.
Escolhe o caso notável que mais se adequa ao exercício
que tens de resolver.
Identifica A e B, e escreve a lápis nos 3 rectângulos com a
mesma cor o valor de A. Nos outros 3 rectângulos da outra
cor escreve a lápis o valor de B.
Copia o exercício para o teu caderno diário e resolve-o
aplicando o caso notável que escolheste.
Em caso de dúvida, chama a professora.
Quando acabares, apaga o que escreveste a lápis nas 6
fichas coloridas e resolve outro exercício.
Objectivo Utilizar os casos notáveis da multiplicação de binómios na
resolução de equações do 2º grau.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
128
Outra Aplicação do
Jogo dos Casos Notáveis da Multiplicação de Binómios
Tarefa 1
Relembrando os casos notáveis da multiplicação de binómios, resolve:
1) Simplifica e coloca as equações do 2º grau na forma canónica.
1.1) (x+3)2=7 1.2) 5x2 + x=(2x-7)2 1.3) (x-5)(x+5)=0
2) Factoriza cada uma das equações do 2º grau.
2.1) x2+4x+4=0 2.2) x2-16x+64=0 2.3) 9x2-36=0
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
129
Tarefa 2
Utilizando os cartões de Jogo com os casos notáveis da multiplicação de binómios, resolve:
1) Simplifica e coloca as equações do 2º grau na forma canónica.
1.1) (x+3)2=7 1.2) 5x2 + x=(2x-7)2 1.3) (x-5)(x+5)=0
2) Factoriza cada uma das equações do 2º grau.
2.1) x2+4x+4=0 2.2) x2-16x+64=0 2.3) 9x2-36=0
Opinião: Escolhe apenas uma opção.
1) Foi mais fácil resolver: (A) Tarefa 1 (B) Tarefa 2
2) Qual o grau de utilidade das tabelas com os casos notáveis:
(A) Nada útil
(B) Ajuda um pouco
(C) Facilita a resolução
(D) Muito útil. Torna mais simples a resolução da tarefa.
Bom Jogo!
Patrícia Marques
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
130
Análise das respostas dos alunos pela Professora, comparando as tarefas 1 e 2
Exercício 1
Aluno 1 - Maior facilidade no cálculo do quadrado do primeiro termo na tarefa 2.
Aluno 2 – Errou as três alíneas na tarefa 1. Acertou 1.1 e 1.3 na tarefa 2. Apenas errou na
escrita na forma canónica pois não trocou os sinais ao mudar os termos de membro.
Aluno 3 – Resolve apenas 1.1 na tarefa 1 e erra. Resolve as três alíneas na tarefa 2 e erra.
Aluno 4 – Resolve 1.1 e 1.2 na tarefa 1 não aplicando os casos notáveis e erra. Ao resolver
a tarefa 2 já consegue aplicar os casos notáveis, acertando 1.1.
Aluno 5 – Acertou apenas 1.3 na tarefa 1. Na tarefa 2 acertou 1.1. e 1.3.
Aluno 6 – Não resolve na tarefa 1 nem na tarefa 2.
Aluno 7 – Erra as três alíneas na tarefa 1. Acerta 1.3, não resolve 1.2 e aplica o caso
notável em 1.1 de forma correcta, não simplificando a equação.
Aluno 8 – Erra 1.1 e 1.2 na tarefa 1 e não resolve 1.3. Na tarefa 2 acerta 1.1 e 1.3, faz o
mesmo erro em 1.2, esquecendo-se do termo do meio na aplicação do caso notável.
Aluno 9 – Resolve apenas 1.1 na tarefa 1 e erra. Resolve 1.1 e 1.2 na tarefa 2, escolhendo
bem os casos notáveis a aplicar mas errando processos básicos de cálculo mental. Não
resolve 1.3.
Aluno 10 – Resolve 1.1 e 1.2 na tarefa 1 e erra. Não resolve 1.3. Na tarefa 2 escolhe os
casos notáveis correctos para cada alínea mas erra ao aplicá-los.
Aluno 11 – Aplica os casos notáveis correctos em 1.1 e 1.3 na tarefa 1 mas não simplifica
as equações. Na tarefa 2 resolve correctamente 1.1 e 1.3 e escolhe correctamente o caso
notável em 1.2 mas não aplica de forma correcta realizando erros de cálculo algébrico.
Aluno 12 – Na tarefa 1 resolve apenas 1.1 e erra. Na tarefa 2 resolve as três alíneas mas
incorrectamente.
Aluno 13 – Resolve apenas 1.1 na tarefa 1 e erra. Resolve 1.1 na tarefa 2 e acerta na
íntegra. Tenta resolver 1.2 e 1.3 mas não consegue.
Aluno 14 – Tenta resolver todas as alíneas na tarefa 1 mas incorrectamente. Na tarefa 2
acerta 1.1, enganando-se apenas no cálculo do quadrado do segundo termo e aplica
erradamente os casos notáveis nas outras duas alíneas, apesar de conseguir identificá-los
de forma correcta.
Aluno 15 – Resolve apenas 1.1 e 1.2 mas de forma errada, sem sequer aplicar os casos
notáveis nem a multiplicação de binómios, na tarefa 1. Na tarefa 2 resolve as três alíneas
acertando na íntegra 1.1 e 1.3 e errando apenas as regras de resolução de equações em
1.2.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
131
Aluno 16 – Não resolve este exercício na tarefa 1 e tenta resolver as três alíneas na tarefa 2
mas de forma incorrecta.
Aluno 17 – Aplica correctamente o caso notável em 1.1 e 1.3 na tarefa 1 e erra 1.2. Na
tarefa 2 aplica incorrectamente em 1.1 e 1.2 e efectua erros de cálculo em 1.3.
Aluno 18 – Na tarefa 1 escolhe o caso notável correcto em 1.1, enganando-se apenas no
cálculo do dobro de 3x, não resolve 1.2 e acerta 1.3 embora resolva pela multiplicação de
binómios com a propriedade distributiva e sem usar os casos notáveis. Na tarefa 2 escolheu
os casos notáveis apropriados em 1.1 e 1.2, errando pequenos cálculos algébricos básicos.
Em 1.3 resolveu de igual forma à tarefa 1.
Exercício 2
Aluno 1 - Não resolve
Aluno 2 – Não resolve na tarefa 1. Resolve e acerta 2.1 e 2.2 na tarefa 2. Confundiu os
casos notáveis em 2.3, escolheu o 2º em vez do 3º.
Aluno 3 – Não resolve a tarefa 1. Resolve as três alíneas na tarefa 2 e erra.
Aluno 4 – Não resolve este exercício na tarefa 1. Tenta resolver na tarefa 2 mas sem
conseguir aplicar o inverso dos casos notáveis.
Aluno 5 – Errou 2.1 e 2.2 na tarefa 1 e não resolveu 2.3. Na tarefa 2 acertou 2.1, errou 2.3 e
na 2.2 só trocou o sinal do termo do meio.
Aluno 6 – Não resolve na tarefa 1 nem na tarefa 2.
Aluno 7 – Erra 2.1 e 2.2 na tarefa 1 e não resolve 2.3. Na tarefa 2 não resolve 2.1 nem 2.3 e
tenta aplicar os casos notáveis em 2.2, errando.
Aluno 8 – Não resolve este exercício na tarefa 1. Acerta 2.1 e 2.2 na tarefa 2 e erra 2.3 por
confusão do 2º caso notável com o 3º.
Aluno 9 – Não resolve o exercício 2 na tarefa 1 mas resolve as três alíneas na tarefa 2
acertando 2.1 e 2.2 e erra 2.3 por confusão do 2º caso notável com o 3º.
Aluno 10 – Não resolve este exercício na tarefa 1 e tenta resolver na tarefa 2 mas erra todas
as alíneas.
Aluno 11 – Não resolve este exercício nem na tarefa 1 nem na tarefa 2.
Aluno 12 – Não resolve este exercício nem na tarefa 1 nem na tarefa 2.
Aluno 13 – Não resolve este exercício na tarefa 1 e tenta resolver na tarefa 2, 2.1 e 2.2 mas
erra as alíneas e não tenta 2.3.
Aluno 14 – Não resolve este exercício na tarefa 1 mas tenta resolver na tarefa 2,
escolhendo correctamente os casos notáveis em cada alínea mas não os aplicando.
Aluno 15 – Não resolve este exercício na tarefa 1 e resolve e acerta as três alíneas na
tarefa 2.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
132
Aluno 16 – Não resolve este exercício na tarefa 1 e tenta resolver as três alíneas na tarefa 2
mas de forma incorrecta.
Aluno 17 - Não resolve este exercício na tarefa 1 e acerta 2.1 e 2.2 na tarefa 2 e em 2.3
apenas se engana no primeiro termo, escolhendo acertadamente o caso notável a aplicar.
Aluno 18 – Acerta 2.1 e não resolve mais nenhuma alínea na tarefa 1. Na tarefa 2 acerta
todas as alíneas.
Opinião
1) Foi mais fácil resolver: (A) Tarefa 1 (B) Tarefa 2
Aluno 1- Não responde
Aluno 2 – B
Aluno 3 – A
Aluno 4 – B
Aluno 5 – A
Aluno 6 – Não responde
Aluno 7 – Não responde
Aluno 8 – B
Aluno 9 – B
Aluno 10 – A
Aluno 11 – B
Aluno 12 – Não responde
Aluno 13 – 1
Aluno 14 – A
Aluno 15 – B
Aluno 16 – B
Aluno 17 – B
Aluno 18 - A
2) Qual o grau de utilidade das tabelas com os casos notáveis:
(A) Nada útil
(B) Ajuda um pouco
(C) Facilita a resolução
(D) Muito útil. Torna mais simples a resolução da tarefa.
Aluno 1 – Não responde
Aluno 2 – C
Aluno 3 – C
Aluno 4 – D
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
133
Aluno 5 – C
Aluno 6 – Não responde
Aluno 7 – Não responde
Aluno 8 – C
Aluno 9 – D
Aluno 10 – B
Aluno 11 – B
Aluno 12 – Não responde
Aluno 13 – B
Aluno 14 – D
Aluno 15 – D
Aluno 16 – B
Aluno 17 – C
Aluno 18 – C
De maneira geral, os alunos sentiram-se mais à vontade na resolução destes dois
exercícios com o apoio das tabelas com os casos notáveis da multiplicação de binómios e
procedendo como se de um Jogo solitário / individual se tratasse. É de referir que os alunos
sentiram bastantes dificuldades ao realizarem estas tarefas devido à falta de pré-requisitos
de conhecimentos de anos anteriores e ao baixo nível de aprendizagem verificado na turma
ao longo do ano lectivo, não só na disciplina de Matemática mas em quase todas as áreas
curriculares. Verifiquei ainda que a maioria dos alunos que reponderam à opinião 1 “A”, o
fizeram por má interpretação da questão, pensando que a tarefa 1 era o exercício 1 e a
tarefa 2 o exercício 2. Mesmo assim, oito alunos respondem “tarefa 2” contra 5 que
respondem “tarefa 1”, um aluno que não responde correctamente deixando dúvidas sobre a
sua intenção de resposta “1”, e 4 alunos que não respondem. Seis alunos consideram que
as tabelas facilitam a resolução, quatro alunos consideram muito útil, tornando mais simples
a resolução da tarefa, quatro alunos consideram que ajuda um pouco e quatro alunos não
respondem a esta questão, sendo os mesmos que não responderam à opinião anterior.
Pareceu-me que estes quatro alunos não se aperceberam do inquérito de opinião final e por
isso não responderam. O balanço é bastante positivo e como professora pareceu-me que os
alunos se sentiram mais confiantes na resolução destes exercícios usando as referidas
tabelas como Jogo. Mais uma vez concluo que a aprendizagem pelo Jogo tem maior
impacto e sucesso junto dos alunos, aumentando o gosto e o desafio pela aquisição de
competências.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
134
Ficha de Jogo
Nome do Jogo Intersecções
Tema/
Conteúdos
Programáticos
Capítulo 3 – Sistemas de Equações
Competências
Específicas
Verificar se um par ordenado é solução de uma equação
do 1º grau a duas incógnitas;
Encontrar soluções de uma equação do 1º grau a duas
incógnitas;
Resolver uma equação do 1º grau a duas incógnitas em
ordem a uma delas;
Verificar se uma par ordenado é solução de um sistema
Reconhecer sistemas equivalentes;
Resolver sistemas de equações pelo método de
substituição;
Classificar um sistema de duas equações
Material por
Aluno
Quadrado 6 por 6, onde existirão equações do 1º grau com
duas incógnitas em cada célula da coluna a e da linha 6,
com excepção da célula a6 que nunca poderá ser ocupada
por nenhuma peça de Jogo.
Existirão 25 sistemas diferentes, com as combinações
diferentes entre as 5 equações da coluna (a) com as 5
equações da linha (6), uma a uma, isto é, 5 � ��� =25.
Duas peças iniciais de Jogo, uma negra e outra branca, 25
peças brancas e 25 peças negras, cada uma com uma das
25 soluções dos 25 sistemas, repetidas, excepto na cor.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
135
Regras de Jogo
No início do Jogo, as Negras colocam uma peça na coluna
da esquerda (a) e as Brancas uma peça na linha superior
(6). Ao longo do Jogo nunca se pode ocupar a casa (a6).
As Brancas, após a colocação da sua peça, colocam outra
peça branca na intersecção da linha com a coluna das
duas peças iniciais. Esta peça terá que conter a solução do
sistema criado pela intersecção das duas equações, uma
da célula da coluna (a) onde está a peça negra e outra da
célula da linha (6) onde está a peça branca. Se o
adversário, neste caso o jogador das peças Negras,
detectar que o Jogador das peças Brancas se enganou na
solução, pode trocar a peça branca do adversário por uma
peça negra sua com a solução correcta. Em cada turno,
cada jogador faz deslizar a sua peça inicial (na vertical
para as Negras, na horizontal para as Brancas) e coloca
uma peça da sua cor na respectiva intersecção com a
solução que considera correcta para o sistema de
equações. O jogador é obrigado a jogar para uma
intersecção que tenha um quadrado vazio. Se não
existirem quadrados vazios, pode jogar para uma
intersecção ocupada por uma peça que muda de cor, caso
a solução estivesse errada (se era branca, torna-se negra
e vice-versa). Caso contrário, passa a jogada, isto é, se um
jogador não puder colocar uma peça por a intersecção já
estar preenchida com a solução correcta, passa a vez. As
peças iniciais não podem deslizar para o canto superior
esquerdo (ou seja, para o quadrado a6).
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
136
Objectivo
O objectivo deste Jogo é conseguir um quatro em linha na
vertical, horizontal ou diagonal. Ganha o Jogador que atingir o
objectivo em primeiro lugar.
Caso nenhum jogador consiga obter um quatro em linha, o
objectivo deste Jogo passa a ser conseguir um maior número de
casas com a sua cor e soluções correctas. Ganha o Jogador
que tiver mais casas da sua cor com respostas correctas para a
solução dos sistemas respectivos.
Se nenhum jogador obtiver um quatro em linha e caso os dois
jogadores nunca se enganem e nunca percam nenhuma peça
para o adversário, ou em caso de empate, na última jogada, o
jogador a colocar a peça em primeiro lugar com a sua cor é
aquele que descobrir a solução em primeiro lugar, por resolução
do sistema ou por verificação da solução. Ganha o jogador que
colocar a peça com a solução correcta em primeiro lugar.
Exemplo de equações do 1º grau a duas incógnitas e respectivas soluções a colocar nas
fichas pretas e brancas.
6 2x-3y=8 y+2=x-3 2x-2y=8 x-3y=0 x+y=-1
5 4x+y=2 (1;-2) (7/5;-18/5) (6/5;-14/5) (6/13;2/13) (1;-2)
4 x+1=y-2 (-17;-14) Ø Ø (-9/2;-3/2) (-2;1)
3 2x+y=0 (1;-2) (5/3;-10/3) (4/3;-8/3) (0;0) (1;-2)
2 x-3=y+1 (4;0) Ø IR2 (6;2) (3/2;-5/2)
1 2x+y=1 (11/8;-7/4) (2;-3) (5/3;-7/3) (3/7;1/7) (2;-3)
a b c d E f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
137
Vejamos o seguinte Jogo, retirado de Jogos
Matemáticos, Jogos Abstractos, de João Pedro Neto
e Jorge Nuno Silva.
Chama-se Intersecções e é de Autor
desconhecido.
Para executar este Jogo necessitamos do
material:
Um tabuleiro quadrado de 6 linhas por 6
colunas, como o que se segue, 20 peças brancas e
20 peças negras.
Define-se Intersecção como a célula que intersecta a linha e a coluna das 2 peças
originais.
Regras de Jogo
No início do Jogo, as Negras colocam uma peça na coluna da esquerda (a) e as
Brancas uma peça na linha superior (6). Ao longo do Jogo nunca se pode ocupar a casa
(a6). As Brancas, após a colocação da sua peça, colocam outra peça branca na intersecção
da linha com a coluna das duas peças iniciais. Em cada turno, cada jogador faz deslizar a
sua peça inicial (na vertical para as Negras, na horizontal para as Brancas) e coloca uma
peça da sua cor na respectiva intersecção. O jogador é obrigado a jogar para uma
intersecção que tenha um quadrado vazio. Se não existirem quadrados vazios, pode jogar
para uma intersecção ocupada por uma peça que muda de cor (se era branca, torna-se
negra e vice-versa). As peças iniciais não podem deslizar para o canto superior esquerdo
(ou seja, para o quadrado a6).
O objectivo deste Jogo é conseguir um quatro em linha na vertical, horizontal ou
diagonal. Ganha o Jogador que atingir o objectivo em primeiro lugar.
Conforme referem os autores, este Jogo é extremamente táctico, não havendo
espaço nem tempo para uma estratégia a prazo. É necessário manter as linhas abertas de
modo a aumentar o número de possibilidades de conseguir um quatro em linha que garanta
a vitória.
O jogador que desliza pelas colunas deve evitar ter linhas quase preenchidas (e vice-
versa), porque isso cria situações onde o adversário pode trocar as cores das peças já
existentes no tabuleiro (por já não haver quadrados vazios para jogar). Dado ser obrigatório
jogar para intersecções vazias, é comum no meio do Jogo ocorrerem posições onde é
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
138
possível forçar o adversário a uma sequência que garanta a vitória. Observamos uma
situação dessas no diagrama seguinte:
As peças iniciais estão marcadas com um círculo. É o turno das Brancas, que só
podem mover-se para a coluna b ou c. Se jogarem
para a coluna c (c6), colocando uma peça em c2, as
Negras podem forçar a vitória movendo-se para a5
e colocando uma peça negra em c5. As Brancas
são forçadas a jogar para e6 e colocar uma peça
branca em e5 (o único quadrado vazio disponível), a
partir do qual as Negras ganham movendo-se para
a4 e colocando uma peça em e4, realizando um
quatro em linha vertical.
Segue-se a descrição de uma partida onde começaram as Brancas, colocando a
peça inicial em c6, e as Negras a sua em a3, colocando uma peça negra na intersecção c3.
De seguida, as Brancas fazem deslizar a sua peça para e6, colocando uma peça em e3. As
Negras deslizam para a5 e colocam uma peça negra em e5. As Brancas deslizam para c6 e
colocam uma peça branca em c5. As Negras deslizam para a2 e colocam uma peça negra
em c2. As Brancas deslizam para f6 e colocam uma peça branca em f2. As Negras deslizam
para a5 e colocam uma peça negra em f5. As Brancas deslizam para b5 e colocam uma
peça branca em b5. As Negras deslizam para a3 e colocam uma peça negra em b3. As
Brancas deslizam para f6 e colocam uma peça branca em f3.
Na posição do diagrama seguinte, o
movimento 11 das Negras é o único admissível,
dado que jogar em f4 daria uma vitória imediata
às Brancas em d4. Porém, na posição actual, as
Brancas podem ganhar deslizando para c6, e
colocando uma peça branca em c1. Deste modo,
as Negras são obrigadas a jogar para a4 e a
colocar uma peça negra em c4 (único quadrado
vazio nessa coluna), o que permite às Brancas
mover-se para d6 e colocar uma peça branca em
d4 e ganhar com um quatro em linha diagonal.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
139
Jogo dos Sistemas de Equações do 1º Grau a duas incógnitas
Este Jogo, Intersecções, inspirou-me na realização de um Jogo pedagógico para sala
de aula no contexto dos Sistemas de Equações do 1º grau a duas incógnitas, conteúdo
verificação da solução de um sistema de equações do 1º grau a duas incógnitas.
Para o efeito, o tabuleiro de Jogo será executado da seguinte forma:
Material
Quadrado 6 por 6, onde existirão equações do 1º grau com duas incógnitas em cada
célula da coluna a e da linha 6, com excepção da célula a6 que nunca poderá ser ocupada
por nenhuma peça de Jogo.
Existirão 25 sistemas diferentes, com as combinações diferentes entre as 5 equações
da coluna (a) com as 5 equações da linha (6), uma a uma, isto é, 5 � ��� =25.
Duas peças iniciais de Jogo, uma negra e outra branca, 25 peças brancas e 25 peças
negras, cada uma com uma das 25 soluções dos 25 sistemas, repetidas, excepto na cor.
Regras de Jogo
No início do Jogo, as Negras colocam uma peça na coluna da esquerda (a) e as
Brancas uma peça na linha superior (6). Ao longo do Jogo nunca se pode ocupar a casa
(a6). As Brancas, após a colocação da sua peça, colocam outra peça branca na intersecção
da linha com a coluna das duas peças iniciais. Esta peça terá que conter a solução do
sistema criado pela intersecção das duas equações, uma da célula da coluna (a) onde está
a peça negra e outra da célula da linha (6) onde está a peça branca. Se o adversário, neste
caso o jogador das peças Negras, detectar que o Jogador das peças Brancas se enganou
na solução, pode trocar a peça branca do adversário por uma peça negra sua com a
solução correcta. Em cada turno, cada jogador faz deslizar a sua peça inicial (na vertical
para as Negras, na horizontal para as Brancas) e coloca uma peça da sua cor na respectiva
intersecção com a solução que considera correcta para o sistema de equações. O jogador é
obrigado a jogar para uma intersecção que tenha um quadrado vazio. Se não existirem
quadrados vazios, pode jogar para uma intersecção ocupada por uma peça que muda de
cor caso a solução estivesse errada (se era branca, torna-se negra e vice-versa). Caso
contrário, passa a jogada, isto é, se um jogador não puder colocar uma peça por a
intersecção já estar preenchida com a solução correcta, passa a vez. As peças iniciais não
podem deslizar para o canto superior esquerdo (ou seja, para o quadrado a6).
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
140
Objectivo
O objectivo deste Jogo é conseguir um quatro em linha na vertical, horizontal ou
diagonal. Ganha o jogador que atingir o objectivo em primeiro lugar.
Caso nenhum jogador consiga obter um quatro em linha, o objectivo deste Jogo
passa a ser conseguir um maior número de casas com a sua cor e soluções correctas.
Ganha o jogador que tiver mais casas da sua cor com respostas correctas para a solução
dos sistemas respectivos.
Se nenhum jogador obtiver um quatro em linha e caso os dois jogadores nunca se
enganem e nunca percam nenhuma peça para o adversário, ou em caso de empate, na
última jogada, o jogador a colocar a peça em primeiro lugar com a sua cor é aquele que
descobrir a solução em primeiro lugar, por resolução do sistema ou por verificação da
solução. Ganha o jogador que colocar a peça com a solução correcta em primeiro lugar.
Exemplo de equações do 1º grau a duas incógnitas e respectivas soluções a colocar nas
fichas pretas e brancas.
6 2x-3y=8 y+2=x-3 2x-2y=8 x-3y=0 x+y=-1
5 4x+y=2 (1;-2) (7/5;-18/5) (6/5;-14/5) (6/13;2/13) (1;-2)
4 x+1=y-2 (-17;-14) Ø Ø (-9/2;-3/2) (-2;1)
3 2x+y=0 (1;-2) (5/3;-10/3) (4/3;-8/3) (0;0) (1;-2)
2 x-3=y+1 (4;0) Ø IR2 (6;2) (3/2;-5/2)
1 2x+y=1 (11/8;-7/4) (2;-3) (5/3;-7/3) (3/7;1/7) (2;-3)
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
141
Metodologia de Trabalho do Jogo Intersecções
Apresentei o Jogo ao grupo/turma, expliquei-lhes as regras, jogamos em conjunto,
com o recurso do Quadro o Jogo Exemplo descrito na página anterior e formamos grupos
de pares.
Cada par foi colocado frente a frente na sala de aula e teve direito a um tabuleiro,
fichas de Jogo para cada jogador com todas as soluções possíveis dos sistemas das
equações combinadas, um bloco de notas para poderem resolver o sistema, caso
necessitassem e proibi o uso da calculadora para que os alunos treinem o cálculo mental e
as regras de operações com números relativos.
É de notar que cada tabuleiro de Jogo tem na coluna a e na linha 6 as equações
escritas duas vezes, uma vez virada para o Jogador A, outra vez virada para o Jogador B,
para permitir uma melhor leitura das equações durante o Jogo.
Ao longo da aula e durante todo o Jogo fui circulando pela sala e retirando dúvidas
aos alunos, não das regras de Jogo mas da resolução de equações do 1º grau a duas
incógnitas.
Os alunos não pararam de chamar durante toda a aula e de gritar: “Oh Stora, a Stora
não nos pode ajudar com as contas?”; “Oh Stora, quando puder chegue aqui”; “Oh Stora,
chegue aqui mais uma vez”. Estas afirmações foram transcritas directamente do registo em
vídeo que fiz da aula e que depois analisei.
De facto, a grande dificuldade foi haver apenas uma professora em sala de aula e
cerca de 11 pares de Jogo. Alguns alunos que já sabiam resolver sistemas de equações um
pouco melhor, levantaram-se do lugar e foram ajudar os colegas.
Não houve oportunidade de fazer troca de pares.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
142
Tabuleiro de Jogo 1
6 2x-3y=8 y+2=x-3 2x-2y=8 x-3y=0 x+y=-1
5 4x+y=2
4 x+1=y-2
3 2x+y=0
2 x-3=y+1
1 2x+y=1
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
143
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
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��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
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��) (
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��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
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��� ) (
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��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;-
�) (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
144
Tabuleiro de Jogo 2
6 2x-3y=8 y+2=x-3 2x-2y=8 x-3y=0 x+y=-1
5 x+y=16
4 x+y=8
3 x=3y
2 y=-x+3
1 x+2y=8
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
145
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;-
�) (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
146
Tabuleiro de Jogo 3
6 x+y=16 x+y=8 x=3y y=-x+3 x+2y=8
5 4x+y=2
4 x+1=y-2
3 2x+y=0
2 x-3=y+1
1 2x+y=1
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
147
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;-
�) (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
148
Tabuleiro de Jogo 4
6 2x-3y=8 y+2=x-3 2x-2y=8 x-3y=0 x+y=-1
5 y=3x
4 x-y=2
3 y=-x
2 5x-y=7
1 x+y=10
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
149
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
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��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
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��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;-
�) (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
150
Tabuleiro de Jogo 5
6 4x+y=2 2x+y=0 x-3=y+1 x+1=y-2 2x+y=1
5 y=3x
4 x-y=2
3 y=-x
2 5x-y=7
1 x+y=10
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
151
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
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��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
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��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
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��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;-
�) (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
152
Tabuleiro de Jogo 6
6 x+y=16 x+y=8 x=3y+1 y=-x+3 x+2y=8
5 y=3x
4 x-y=2
3 y=-x
2 5x-y=7
1 x+y=10
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
153
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
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��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
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��� ) (
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��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;-
�) (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
154
Tabuleiro de Jogo 7
6 2x-3y=8 y+2=x-3 2x-2y=8 x-3y=0 x+y=-1
5 5x+2y=-15
4 y=2x+3
3 2x+2y=20
2 2x+3y=6,5
1 x=2
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
155
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
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��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
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��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
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��) (
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��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
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��� ) (
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��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;-
�) (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
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��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
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��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
156
Tabuleiro de Jogo 8
6 4x+y=2 2x+y=0 x-3=y+1 x+1=y-2 2x+y=1
5 5x+2y=-15
4 y=2x+3
3 2x+2y=20
2 2x+3y=6,5
1 x=2
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
157
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
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��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
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��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
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��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
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��� ) (
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��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;-
�) (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
158
Tabuleiro de Jogo 9
6 x+y=16 x+y=8 x=3y y=-x+3 x+2y=8
5 5x+2y=-15
4 y=2x+3
3 2x+2y=20
2 2x+3y=6,5
1 x=2
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
159
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
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��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
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��) (
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��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
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��� ) (
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��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;-
�) (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
160
Tabuleiro de Jogo 10
6 y=3x x-y=2 y=-x 5x-y=7 x+y=10
5 5x+2y=-15
4 y=2x+3
3 2x+2y=20
2 2x+3y=6,5
1 x=2
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
161
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;-
�) (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
162
Tabuleiro de Jogo 11
6 2x-3y=8 y+2=x-3 2x-2y=8 x-3y=0 x+y=-1
5 3x+y=2
4 y=-x+5
3 3x+2y=6
2 y=3
1 2x-5y=1
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
163
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;-
�) (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
164
Tabuleiro de Jogo 12
6 4x+y=2 2x+y=0 x-3=y+1 x+1=y-2 2x+y=1
5 3x+y=2
4 y=-x+5
3 3x+2y=6
2 y=3
1 2x-5y=1
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
165
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;-
�) (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
166
Tabuleiro de Jogo 13
6 x+y=16 x+y=8 x=3y y=-x+3 x+2y=8
5 3x+y=2
4 y=-x+5
3 3x+2y=6
2 y=3
1 2x-5y=1
a b c d e f
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
167
Peças Brancas
Peças Negras
(1;-2) (��;-
��� ) (
��;-
��� ) (
���;
��) (1;-2)
(-17;-14) Ø Ø (-�;- �� (-2;1)
(1;-2) (��;-
� � ) (
��;-
��) (0;0) (1;-2)
(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
�)
(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
(1;-2) (��;-
��� ) (
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(-17;-14) Ø Ø (-�;-
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(4;0) Ø IR2 (6;2) (�;-
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(��� ;-
��) (2;-3) (
��;-
��) (
��;
��) (2;-3)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
168
Opinião do Jogo Intersecções
1 - Gostei do Jogo? Porquê?
Aluno 1 – De maneira geral gostei. Porque deu para melhorar o conhecimento de equações.
Aluno 2 – Eu gostei mais ou menos do Jogo porque é um bocado difícil fazer algumas
contas, para quem não sabe.
Aluno 3 – Não gostei muito do Jogo porque tem muitas contas.
Aluno 4 – Mais ou menos porque tem contas difíceis.
Aluno 5 – Mais ou menos. Porque leva muito tempo a fazer as contas.
Aluno 6 – Não gostei porque tem de se fazer muitas contas.
Aluno 7 – Sim. Porque temos de fazer 4 em linha.
Aluno 8 – Não. Porque tem de se fazer contas
Aluno 9 – Porque senti que estava a aprender Matemática
Aluno 10 – Mais ou menos, porque o Jogo implica algumas contas e não percebo muito de
equações.
Aluno 11 – O que gostei mais no Jogo “Intersecções” foi resolver as equações.
Aluno 12 – Não gostei muito porque as equações são difíceis de fazer.
Aluno 13 – Não. Porque é um Jogo sem piada.
Aluno 14 – Gostei do Jogo porque aprendemos a ser rápidos a pensar nas contas.
2 – O que é que achei mais difícil? Porquê?
Aluno 1 –A resolver equações, porque não sei fazer muito bem.
Aluno 2 – Achei mais difícil resolver as equações, porque não as sei fazer.
Aluno 3 – O que achei mais difícil foram as contas
Aluno 4 – As contas.
Aluno 5 – As contas.
Aluno 6 – O mais difícil foi fazer as equações.
Aluno 7 – As contas. Porque é uma grande seca.
Aluno 8 – Fazer contas.
Aluno 9 – Achei que algumas contas eram difíceis.
Aluno 10 – Achei mais difícil resolver as equações.
Aluno 11 – O que menos gostei foi perder.
Aluno 12 – As contas, porque nunca consegui percebê-las.
Aluno 13 – As contas.
Aluno 14 – Ajudar o meu parceiro a fazer as contas. Porque para além de ele não querer
aprender.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
169
3 – Sugestões.
Aluno 1 – Nenhuma
Aluno 2 – A professora podia fazer mais jogos com equações, mas com ajudas (2
professores).
Aluno 3 – A minha sugestão é fazer contas mais fáceis.
Aluno 4 – Contas mais fáceis.
Aluno 5 – Contas mais fáceis.
Aluno 6 – (não respondeu)
Aluno 7 – … (não respondeu)
Aluno 8 – Não fazer contas.
Aluno 9 – Nenhuma. Acho que o Jogo está bom.
Aluno 10 – (não respondeu)
Aluno 11 – Acho que o Jogo devia ter mais equações e menos complicadas.
Aluno 12 – (não respondeu)
Aluno 13 – Não sei.
Aluno 14 – Eu sugiro que o Jogo seja mais prático para aqueles que não sabem fazer
contas.
4 – Qual a matéria que permite desenvolver?
Aluno 1 – Sistemas de equações.
Aluno 2 – Este Jogo pretende desenvolver a matéria das equações de 1º grau e 2º grau.
Aluno 3 – Permite desenvolver a Matemática.
Aluno 4 – Equações
Aluno 5 – Sistemas de equações.
Aluno 6 – A matéria é a intersecção.
Aluno 7 – Sistemas de equações.
Aluno 8 – Intersecções.
Aluno 9 – Sistemas de equações.
Aluno 10 – (não respondeu)
Aluno 11 – (não respondeu)
Aluno 12 – Sistemas de equações.
Aluno 13 – Sistemas de equações.
Aluno 14 – A matéria que permite desenvolver são as intersecções.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
170
Apenas catorze alunos responderam ao inquérito.
Cinco alunos responderam que gostaram do Jogo, correspondendo a 36%.
Cinco alunos afirmam não terem gostado do Jogo, sendo 36%.
Quatro alunos dizem gostar mais ou menos do Jogo, significando 28%.
As razões apresentadas pelos alunos que dizem ter gostado do Jogo são: melhorar o
conhecimento sobre equações; ter de fazer 4 em linha, referência a outro Jogo conhecido;
estar a aprender Matemática; resolver equações; melhorar a rapidez de cálculo metal.
Os motivos que levaram os alunos a não ter gostado do Jogo foram: ter muitas
contas; equações difíceis; Jogo sem piada.
Gostaram mais ou menos do Jogo porque: tem muitas contas; demora muito tempo a
fazer as contas; não saber resolver equações.
O que acharam mais difícil foi fazer as contas, resolver as equações, perder, jogar
com alguém que não sabe resolver equações.
As sugestões apresentadas pelos alunos para melhorar o Jogo foram
maioritariamente diminuir o grau de dificuldade das equações, existirem menos contas,
jogar com a presença de mais outro professor para poderem auxiliar melhor.
Apesar de alguns alunos terem dificuldades ao nível da aquisição de vocabulário
próprio da Matemática, quase todos reconheceram que o Jogo permite desenvolver a
capacidade de resolver equações e sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
171
Ficha de Jogo
Nome do Jogo Dominó de Inequações
Tema/
Conteúdos
Programáticos
Capítulo 2 – Os números Reais. Inequações.
Competências
Específicas
Interpretar e representar, gráfica e simbolicamente,
intervalos de números reais, assim como a intersecção e a
reunião de intervalos;
Verificar se um número é solução de uma inequação;
Resolver inequações do 1º grau a uma incógnita;
Identificar conjuntos definidos por uma conjunção ou a
reunião de duas condições simples.
Material por
Grupo
Peças de Dominó com inequações do 1º grau
equivalentes.
Regras de Jogo
O Dominó de Inequações do 1º Grau segue as mesmas regras de Jogo que o
Dominó comum. As peças de dominó que podem ser ligadas são as que correspondem a
inequações equivalentes, sempre numa perspectiva de resolução de uma inequação, não
sendo obrigatório respeitar a ordem da resolução.
Antes de o Jogo começar, as peças devem estar voltadas para baixo e ser
baralhadas. Cada Jogador retira 5 peças de dominó e mantém-nas na sua frente, voltadas
para que o seu adversário não possa ver as suas faces. As restantes peças ficam a
aguardar para entrarem em Jogo, voltadas para baixo, como baralho.
Cada peça é dividida em duas partes, cada uma contendo uma inequação. Uma peça
dupla contém duas inequações repetidas. O Jogador que tiver a peça dupla em branco,
coloca-a no meio da mesa para se iniciar o Jogo, caso esta peça não se encontre ainda em
Jogo, inicia o Jogador que tiver maior número de peças duplas. Caso ninguém tenha
retirado uma peça dupla, todas as peças voltam ao meio para serem baralhadas e reinicia-
-se o processo de escolha das peças. A ordem de jogada é a contrária aos dos ponteiros do
relógio.
O segundo Jogador tenta então condizer uma das suas peças com um dos lados da
peça dupla. Por exemplo, se a primeira peça jogada é a peça dupla
2x-1<5+x 2x-1<5+x
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
172
o segundo jogador pode jogar qualquer uma das suas peças que contenha uma inequação
equivalente numa extremidade. Por exemplo:
O jogador seguinte pode jogar para a peça dupla 2x-1<5+x ou pode tentar condizer
com o lado da segunda peça jogada. A peça em branco condiz com outras extremidades
em branco. Apenas uma peça pode ser jogada de cada vez. As peças são colocadas na
horizontal, exceptuando as peças duplas que são colocadas na vertical. O jogador tem de
retirar peças do baralho extra até conseguir jogar. Se um jogador retirar a última peça e
ainda assim não conseguir jogar, passa a sua vez e tenta jogar para a próxima. Um jogador
deve jogar uma peça sempre que tenha oportunidade para tal. As peças duplas são sempre
colocadas ao contrário das restantes, possibilitando duas novas direcções, nas quais se
podem colocar peças.
Objectivo
Aperfeiçoar a resolução de Inequações do 1º grau a uma
incógnita.
O Jogo continua até que um jogador tenha utilizado todas
as suas peças ou até que nenhum jogador possa jogar. Se
nenhuma jogada poder ser efectuada e não existirem mais
peças no baralho extra, o jogador sem peças ou com o
menor número de peças, vence o Jogo.
2x-x-1<5+x-x 2x+1-1≤9-1 x-1<5 8x-2+2≥20+2 x-1+1<5+1 -1-x>x-x-4
x<5+1 30-3x≤17 x<6 2-x+2x>3-2x+2x x! "�∞; 6% x-3x>-1+5
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
173
Dominó de Inequações do 1º Grau com uma incógnita
Baseada no Jogo comum de dominós com peças duplas
numeradas com os algarismos de 0 a 6, criei um dominó para
treinar as regras de resolução algébrica de inequações do 1º
grau a duas incógnitas.
Vou começar por explicar sucintamente as regras de
Jogo do dominó comum, uma vez que se trata de um Jogo bastante popular.
Dominó duplo de seis para 2 a 4 jogadores.
Muitos jogos podem ser jogados com um conjunto de peças de dominó. Esta é uma
variante. Antes de o Jogo começar, as peças devem estar voltadas para baixo e ser
baralhadas. Cada Jogador retira 5 peças de dominó e mantém-nas na sua frente, voltadas
para que o seu adversário não possa ver as suas faces. As restantes peças ficam a
aguardar para entrarem em Jogo, voltadas para baixo, como baralho.
Cada peça é dividida em duas partes, cada uma contendo um conjunto de pontos.
Uma peça dupla contém os pontos repetidos. O Jogador que tiver a maior peça dupla,
coloca-a no meio da mesa para se iniciar o Jogo. Caso ninguém tenha retirado uma peça
dupla, todas as peças voltam ao meio para serem baralhadas e reinicia-se o processo de
escolha das peças.
O segundo Jogador tenta então condizer uma das suas peças com um dos lados da
peça dupla. Por exemplo, se a primeira peça jogada é o duplo 4, o segundo jogador pode
jogar qualquer uma das suas peças que contenha 4 pontos numa extremidade. O jogador
seguinte pode jogar para o duplo 4 ou pode tentar condizer com o lado da segunda peça
jogada. O zero condiz com outros zeros. Apenas uma peça pode ser jogada de cada vez.
As peças são colocadas na horizontal, exceptuando as peças duplas que são colocadas na
vertical. O jogador tem de retirar peças do baralho extra até conseguir jogar. Se um jogador
retirar a última peça e ainda assim não conseguir jogar, passa a sua vez e tenta jogar para a
próxima. Um jogador deve jogar uma peça sempre que tenha oportunidade para tal. As
peças duplas são sempre colocadas ao contrário das restantes, possibilitando duas novas
direcções, nas quais se podem colocar peças. O Jogo continua até que um jogador tenha
utilizado todas as suas peças ou até que nenhum jogador possa jogar. Se nenhuma jogada
poder ser efectuada e não existirem mais peças no baralho extra, o jogador sem peças ou
com o menor número de pontos, vence o Jogo. Ele subtrai o total dos seus pontos aos
pontos totais dos seus adversários e soma essas diferenças. O objectivo do Jogo é chegar
a 100 pontos. O primeiro a alcançá-los é o vencedor.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
174
Exemplo de jogada com peça dupla:
O Dominó de Inequações do 1º Grau segue as mesmas regras de Jogo que o Dominó
comum. As peças de dominó que podem ser ligadas são as que correspondem a
inequações equivalentes, sempre numa perspectiva de resolução de uma inequação, não
sendo obrigatório respeitar a ordem da resolução.
Exemplo de Dominó de Inequações:
0: 2x-1<5+x 2x-x-1<5+x-x x-1<5 x-1+1<5+1 x<5+1 x<6 x! "�∞; 6% 1: 2x+1≤9 2x+1-1≤9-1 2x≤9-1 2x≤8 x≤
� x≤4 x! "�∞; 4"
2: 8x-2≥20 8x-2+2≥20+2 8x≥20+2 8x≥22 x≥� x≥
��� x! '��
� ; �∞' 3: -1>x-4 -1-x>x-x-4 -1-x>-4 -1+1-x>-4+1 -x>-3 x<3 x! "�∞; 3% 4: 30≤17+3x 30-3x≤17 -3x≤17-30 -3x≤-13 3x≥13 x≥
��� x! '��
� ; �∞' 5: 2-x>3-2x 2-x+2x>3-2x+2x 2-x+2x>3 2+x>3 2-2+x>3-2 x>1 x! "1; �∞% 6: x-5>3x-1 x-3x>-1+5 -2x>4 2x<-4 x<-
� x<-2 x! "�∞; �2%
2x-1<5+x 2x-1<5+x 2x-x-1<5+x-x 2x+1-1≤9-1
x-1<5 8x-2+2≥20+2 x-1+1<5+1 -1-x>x-x-4
x<5+1 30-3x≤17 x<6 2-x+2x>3-2x+2x
x! "�∞; 6% x-3x>-1+5 2x+1≤9 2x+1≤9
2x≤9-1 8x≥20+2 2x≤8 -1-x>-4
x≤� -3x≤17-30 x≤4 2-x+2x>3
4 3 3 6 5 4
4
4
1
4
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
175
Experiência em sala de aula
18 alunos estiveram presentes na aula. Formei 6 grupos de três alunos. Cada um
construiu 10 peças de dominó em cartolina com a forma rectangular e dimensões
10cmX5cm. De seguida, cada aluno criou duas inequações do 1º grau com uma incógnita
que, depois de me mostrar para corrigir, resolveu e voltou a mostrar para corrigir.
Foi bastante interessante ver que os alunos realizaram a tarefa toda que lhes foi
proposta e que resolveram as duas inequações, procurando a minha ajuda quando tinham
dificuldades ao resolvê-las. Claro que as inequações são todas bastante fáceis, com baixo
grau de dificuldade, mas têm valor pelo facto de terem sido criadas pelos próprios alunos.
Pode ser que desta maneira não sintam tanta dificuldade ao jogar o seu dominó.
De seguida recolhi os trabalhos individuais dos alunos, levei para casa e compus os
dominós com a combinação necessária das peças. O trabalho resultante foi:
x! "�∞; 4" -2x>4 8x-2≥20 8x-2≥20
8x≥22 -1+1-x>-4+1 x≥� -3x≤-13
x≥��� 2+x>3 x! '��
� ; �∞' 2x<-4
-1>x-4 -1>x-4 -x>-3 3x≥13
x<3 2-2+x>3-2 x! "�∞; 3% x<-�
30≤17+3x 30≤17+3x x≥��� x>1
x! '��� ; �∞' x<-2 2-x>3-2x 2-x>3-2x
x! "1; �∞% x! "�∞; �2% x-5>3x-1 x-5>3x-1
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
176
Dominó 1 Inequação 1.1 Inequação 1.2 Inequação 1.3 2� � 5 ( � � 7 � 6 4a+2a-1≥a+6 y+2≥2y 2� � � � 5 ( 7 � 6 4a+2a-a-1≥6 y-2y+2≥0 2� � � ( 7 � 6 � 5 4a+2a-a≥6+1 y-2y≥-2 � ( 8 5a≥7 -y≥-2 � ! %8; �∞% a≥
�� y≤2
� ! "�∞; 2" �� ! *+: � ( 8� -� ! *+: � ( �
�.
Inequação 1.4 Inequação 1.5 Inequação 1.6 � � 7� ( 12 � � � / 6 � 5� � � 3 ( 7 � � � � 7� � � ( 12 � � 5� / 6 � � � ( 7 � 3 9� ( 12 6� / 6 2� ( 4 � ( �
� � / �� � ( �
� ( �� � / 1 � ( 2
� ! '�� ; �∞' � ! "�∞; 1% � ! %2; �∞%
0 1 +∞ -∞
0 2 +∞ -∞ 1 7
5 2 +∞ -∞ 0 10 +∞ -∞ 8
0 2 +∞ -∞ 1 43 2 +∞ -∞
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
177
y-2y+2≥0 � / ��
-y≥-2 2� � � � 5 ( 7 � 6 y+2≥2y y+2≥2y
y≤2 2� ( 4 a≥��
� � 3 ( 7 � � � � 3 ( 7 � �
6� / 6 -� ! *+: � ( ��.
5a≥7 � � 7� � � ( 12
� ( �� 2� � � ( 7 � 6 � 5
� ! '�� ; �∞'
0 1 + - � / 1
4a+2a-1≥a+6 4a+2a-1≥a+6 4a+2a-a≥6+1
� ( �� � ! "�∞; 2" � ( 8 � ! "�∞; 1%
� � � ( 7 � 3 y-2y≥-2 4a+2a-a-1≥6
�� ! *+: � ( 8� � � 7� ( 12 � � � � 7� ( 12 � �
� ( � 2� � 5 ( � � 7 � 6 2� � 5 ( � � 7 � 6
� / 6 � 5� � ( 2 9� ( 12
� � 5� / 6 � � 5� / 6 � ! %8; �∞%
� ! %2; �∞%
1 43 2 +∞ -∞
0 1 +∞ -∞ 8
0 2 +∞ -∞
0 2 +∞ -∞
1 75 2 +∞ -∞
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
178
Dominó 2 Inequação 2.1 Inequação 2.2 Inequação 2.3 10� � 2 1 9 � 10� 4 � 7� ( 5 � 6� 3� � 1 ( 4 � 5� 10� � 2 � 9 1 �10� 6� � 7� � 4 ( 5 3� � 5� � 1 ( 4 10� � 10� 1 9 � 2 7� � 6� ( 5 � 4 3� � 5� ( 4 � 1 20� 1 11 13� ( 1 8� ( 3 � 1 ��
� ( ��� � ( �
�
� ! '�� ; �∞'
� ! 2�∞; �� 2 � ! ' �
�� ; �∞' Inequação 2.4 Inequação 2.5 Inequação 2.6 5� � 2 1 6� � 7 2� � 3 ( 4 � 3� 3� � 5 1 2 � 4� 5� � 6� � 2 1 �7 2� � 3� � 3 ( 4 3� � 4� � 5 1 2 5� � 6� 1 �7 � 2 2� � 3� ( 4 � 3 3� � 4� 1 2 � 5 �� 1 �9 5� ( 1 �� 1 7 � ( 9 � ( �
� � ( �7
� ! %9; �∞% � ! '�� ; �∞' � ! %�7; �∞%
0 1120 +∞ -∞ 1 1
13 2 +∞ -∞
0 +∞ -∞ 38
0 15 +∞ -∞ 1 9 +∞ -∞
-7 0 +∞ -∞
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
179
� ( ��� 2� � 3� ( 4 � 3 13� ( 1
� 1 �� � ! 2�∞; ��
2 6� � 7� � 4 ( 5
7� � 6� ( 5 � 4 7� � 6� ( 5 � 4 10� � 10� 1 9 � 2 � ( �7
8� ( 3 � ! ' ��� ; �∞'
20� 1 11 2� � 3� � 3 ( 4
3� � 1 ( 4 � 5� 3� � 1 ( 4 � 5�
5� ( 1 5� � 6� 1 �7 � 2 � ! '�� ; �∞'
� ( 9 2� � 3 ( 4 � 3� 2� � 3 ( 4 � 3�
3� � 5 1 2 � 4� 3� � 5 1 2 � 4� � ! %9; �∞%
3� � 5� � 1 ( 4 10� � 2 1 9 � 10� 10� � 2 1 9 � 10�
10� � 2 � 9 1 �10� 3� � 5� ( 4 � 1
� ! %�7; �∞% � ( ��
�� 1 7 � ( �� �� 1 �9 3� � 4� 1 2 � 5
� ! '�� ; �∞' 3� � 4� � 5 1 2 5� � 2 1 6� � 7 5� � 2 1 6� � 7
5� � 6� � 2 1 �7 4 � 7� ( 5 � 6�
-7 0 +∞ -∞
1 9 +∞ -∞
0 +∞ -∞ 38
1 113 2 +∞ -∞
0 1120 +∞ -∞
0 15 +∞ -∞
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Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
180
Dominó 3 Inequação 3.1 Inequação 3.2 Inequação 3.3 � � 4 ( 8 � � � / 7 � 6� 6� / 8 � 2� � � � ( 8 � 4 � � 6� / 7 6� � 2� / 8 2� ( 4 7� / 7 4� / 8 � ( �
� / �� � / �
�
� ( 2 � / 1 � / 2 � ! "�∞; 2% � ! %2; �∞% � ! "�∞; 1% Inequação 3.4 Inequação 3.5 Inequação 3.6 9� � 6 / 4� � � 20 ( �9� � � 3 � 3 ( 33 9� / 4� � 6 � � 9� ( 20 � � 3 � 33 ( �3 9� � 4� / �6 � � 9� � � ( 20 �23 ( �3 5� / �6 11� ( 20 23 1 3 � / � �
� � ( �� 3 1 �
� ! 2�∞; � ��' � ! '
�� ; �∞' 3 ! 2�∞; �2
0 +∞ -∞ 2
0 2011 +∞ -∞
0 1 +∞ -∞ 0 2 +∞ -∞
� 65 1 +∞ -∞ 3
2 1 +∞ -∞
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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9� / 4� � 6 9� / 4� � 6 3 1 �
� ! ' �� ; �∞' � � 4 ( 8 � � � � 4 ( 8 � �
� ! 2�∞; � ��' 3 ! 2�∞; �
2
� ( � 4� / 8
� ( ��
3 � 3 ( 33 3 � 3 ( 33
6� � 2� / 8 6� � 2� / 8
� / �� � / �
� 9� � 4� / �6
6� / 8 � 2� 2� ( 4 7� / 7
� � � ( 8 � 4 �23 ( �3 � / 2
9� � 6 / 4� 3 � 33 ( �3 � / 1
� / 7 � 6� � � 6� / 7 � � 6� / 7
23 1 3 � ( 2
5� / �6 � ! "�∞; 1% � � 20 ( �9� � � � ( 2
� � 9� ( 20 � � � � 9� ( 20 � � � � 9� � � ( 20 � ! "�∞; 2%
11� ( 20 � / � ��
� 65 1 +∞ -∞
32 1
+∞ -∞
0 2011 +∞ -∞
0 +∞ -∞ 2
0 1 +∞ -∞ 0 2 +∞ -∞
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Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
182
Dominó 4 Inequação 4.1 Inequação 4.2 Inequação 4.3 1 � 4� / 2� � 4 3� � 10 ( 1 3� � 3 1 2 � 2� 4� � 2� / �4 � 1 3� ( 10 � 1 3� � 2� 1 2 � 3 2� / �5 3� ( 11 5� 1 5 � / � �
� ( ��� � 1 �
�
-� ! *+: � / � �. -� ! *+: � ( ��
� . � 1 1
� ! "�∞; 1"
� ! 2�∞; � �' � ! '��
� ; �∞' Inequação 4.4 Inequação 4.5 Inequação 4.6 10� � 4 ( 20 � 10� 1 � 3� / 2� � 3 3 � 4� 4 2 � 3� 10� � 10� ( 20 � 4 �3� � 2� / 3 � 1 3 � 4� � 3� 4 2 20� ( 24 �5� / 2 4� � 3� 4 2 � 3 � ( �
5� 4 �2 7� 4 �1
� ( �� � 4 �
� � 4 � ��
� ! '�� ; �∞' � ! 2�
� ; �∞' � ! 2� �� ; �∞'
0 +∞ -∞ 65
0 113 +∞ -∞
� 52 0 +∞ -∞
0 1 +∞ -∞
0 � 17 +∞ -∞ 0 � 2
5 +∞ -∞
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
183
3 � 4� 4 2 � 3� 3 � 4� 4 2 � 3� 7� 4 �1 3� ( 11
1 � 3� / 2� � 3 1 � 3� / 2� � 3 � ( ��
10� � 10� ( 20 � 4 � 4 � � � ! "�∞; 1"
� ! 2�∞; � �' 5� 1 5
�3� � 2� / 3 � 1 � ! 2� �� ; �∞'
4� � 3� 4 2 � 3
-� ! *+: � / � �.
3� � 2� 1 2 � 3 3� � 2� 1 2 � 3 � 1 ��
� ! '�� ; �∞' � ! 2�
� ; �∞' 1 � 4� / 2� � 4 1 � 4� / 2� � 4
-� ! *+: � ( ��� . 20� ( 24 � / � �
�5� / 2 3� ( 10 � 1 3� ( 10 � 1
� ! '��� ; �∞' 3� � 3 1 2 � 2� 5� 4 �2 � ( ��
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� 4 � �� 4� � 2� / �4 � 1 � 1 1
0 � 17 +∞ -∞
0 1 +∞ -∞
0 +∞ -∞ 65
0 � 25 +∞ -∞
0 113 +∞ -∞
� 52 0 +∞ -∞
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
184
Dominó 5 Inequação 5.1 Inequação 5.2 Inequação 5.3 3� � 2 ( 3 3� � 3 ( 2 2� � 5 ( 1 3� ( 3 � 2 3� ( 2 � 3 2� ( 1 � 5 3� ( 5 3� ( �1 2� ( 6 � ( �
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-� ! *+: � ( ��. -� ! *+: � ( � �
�. � ( 3
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� ! '�� ; �∞' � ! '� �
� ; �∞' Inequação 5.4 Inequação 5.5 Inequação 5.6 10� � 3 ( 11 4� � 3 ( 2 2� � 5 ( 4 10� ( 11 � 3 4� ( 2 � 3 2� ( 4 � 5 10� ( 8 4� ( 5 2� ( �1 � ( �
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� ; �∞' � ! '� � ; �∞'
0 +∞ -∞ 45
0 53 +∞ -∞
0 --�� +∞ -∞
0 3 +∞ -∞
0 +∞ -∞ 54
0 --� +∞ -∞
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
185
10� ( 8 3� ( 2 � 3 3� ( 2 � 3
2� ( �1 3� � 2 ( 3 � ( ��
10� ( 11 � 3 10� ( 11 � 3 � ! '�� ; �∞' 2� � 5 ( 4
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4� � 3 ( 2
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2� ( 1 � 5 2� ( 1 � 5 � ! '� � ; �∞' � ! %3; �∞%
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2� ( 4 � 5 2� ( 4 � 5 10� � 3 ( 11
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3� ( �1 � ( ��
0 --� +∞ -∞
0 --�� +∞ -∞
0 +∞ -∞ 54
0 53 +∞ -∞
0 3 +∞ -∞
0 +∞ -∞ 45
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
186
Dominó 6 Inequação 6.1 Inequação 6.2 Inequação 6.3 13� � � ( 94� � 4 6� � 30 ( 14 � � 2� � 4 ( 5 � � 13� � � � 94� ( �4 6� � � ( 14 � 30 2� � � � 4 ( 5 �80� ( �4 7� ( �16 2� � � ( 5 � 4 80� 1 4 � ( � ��
� � ( 1
� 1 �� -� ! *+: � ( � ��
� . �� ! *+: � ( 1� � 1 �
� ! %1; �∞%
� ! 2�∞; � 2 � ! '� ��
� ; �∞' Inequação 6.4 Inequação 6.5 Inequação 6.6 2 � 4� 1 5 � 3� 5� � 20 4 12 � � 0 1 �� � 14 4� � 3� � 2 1 5 5� � � 4 12 � 20 14 1 �� 4� � 3� 1 5 � 2 6� 4 �8 � � 14 1 0 � 1 3 � 4 � �
� � 1 �14
�� ! *+: � 1 3� � 4 � �� �� ! *+: � 1 �14�
� ! "�∞; 3" � ! 2� �� ; �∞' � ! "�∞; �14"
0 --��� +∞ -∞
0 1 +∞ -∞
120 +∞ -∞
3 +∞ -∞ 0 � 43 +∞ -∞
-14 +∞ -∞
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
187
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5� � � 4 12 � 20 2� � 4 ( 5 � � 2� � 4 ( 5 � �
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2� � � � 4 ( 5
4� � 3� � 2 1 5
2 � 4� 1 5 � 3� 2 � 4� 1 5 � 3�
5� � 20 4 12 � � 5� � 20 4 12 � � 6� � � ( 14 � 30
13� � � ( 94� � 4 13� � � ( 94� � 4 6� � 30 ( 14 � � 6� � 30 ( 14 � �
7� ( �16 6� 4 �8 14 1 �� � ( � ���
� 1 3 � 1 �14
� 1 � � ! %1; �∞%
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0 1 �� � 14 � ! 2� �� ; �∞' � � 14 1 0 � � 14 1 0
4� � 3� 1 5 � 2 � 4 � �� � 4 � �
� 13� � � � 94� ( �4
� ! "�∞; �14" 2� � � ( 5 � 4 � ( 1
0 1 +∞ -∞
0 � 43 +∞ -∞
-14
+∞ -∞ 1
20 +∞ -∞
3 +∞ -∞
0 --��� +∞ -∞
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
188
Opinião Dominó de Inequações
1 – Gostei do Jogo? Porquê?
Aluno 1 – Gostei. Porque é mais divertido.
Aluno 2 – Não gostei muito do Jogo (só gostei de construir), porque não sei fazer
inequações.
Aluno 3 – Gostei porque achei o Jogo muito divertido.
Aluno 4 – Mais ou menos, porque também é um pouco complicado.
Aluno 5 – Gostei, porque acho o Jogo divertido e é uma nova maneira de resolver
equações.
Aluno 6 – Não, porque é com equações e demoro muito.
Aluno 7 – Sim, porque não foi aborrecido e as inequações são fáceis de resolver.
Aluno 8 – Gostei porque é divertido.
Aluno 9 – Sim, porque tem a ver com Matemática.
Aluno 10 – Sim, porque é fixe.
Aluno 11 – Sim, por que é divertido.
Aluno 12 – Sim, porque aprendi a resolver equações e trabalhar em grupo.
Aluno 13 – Sim, gostei, porque estamos a exercer melhor as capacidades de aprendizagem.
Aluno 14 – Gostei do Jogo porque foi feito em grupo e foi muito fixe jogar.
Aluno 15 – Não gostei porque achei o Jogo muito difícil e muito simples.
Aluno 16 – Sim, porque deu para praticar inequações.
Aluno 17 – Gostei do Jogo porque é fixe.
Aluno 18 – Sim. Porque desenvolve a actividade do grupo.
Aluno 19 – Gostei, porque é divertido e tem convívio.
Aluno 20 – Não, porque as inequações eram difíceis.
2 – Quais os conteúdos desenvolvidos durante o Jogo ?
Aluno 1 – As inequações.
Aluno 2 – Conteúdos matemáticos e de convivência.
Aluno 3 – Inequações
Aluno 4 – Fazer melhor equações.
Aluno 5 – Conteúdos Matemáticos a resolver inequações.
Aluno 6 – Aprendi mais.
Aluno 7 – Convivência com colegas e aprender a resolver inequações.
Aluno 8 – As inequações.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
189
Aluno 9 – Matemáticos.
Aluno 10 – Convívio; Matemáticos.
Aluno 11 – Equações.
Aluno 12 – Inequações.
Aluno 13 – Os conteúdos são matemáticos.
Aluno 14 – Os conteúdos desenvolvidos durante o Jogo foram os conteúdos matemáticos.
Aluno 15 –Os conteúdos é aprender a resolver inequações durante o Jogo.
Aluno 16 – Inequações.
Aluno 17 – Aprendi a fazer algumas contas.
Aluno 18 – As inequações.
Aluno 19 – Aprender mais sobre convívio e Matemática.
Aluno 20 – Matemáticos e estratégicos.
3 – Onde aprendi mais Matemática? Assinala a opção correcta para ti.
(A) Ao construir as peças de Jogo;
(B) Ao criar as duas inequações;
(C) Ao resolver as duas inequações;
(D) Ao jogar em grupo com os meus colegas.
Aluno 1 – D
Aluno 2 – C
Aluno 3 – C
Aluno 4 – C
Aluno 5 – C
Aluno 6 – D
Aluno 7 – C
Aluno 8 – D
Aluno 9 – B
Aluno 10 – B
Aluno 11 – D
Aluno 12 – C
Aluno 13 – A
Aluno 14 – D
Aluno 15 – C
Aluno 16 – D
Aluno 17 – D
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
190
Aluno 18 – B
Aluno 19 – B
Aluno 20 – C
4 – Qual a afirmação com que concordas mais:
(A) Não valeu a pena jogar pois nada aprendi;
(B) Valeu a pena jogar pois aprendi um pouco mais s obre regras de grupo em sala de
aula;
(C) Valeu a pena jogar pois aprendi um pouco mais s obre resolução de inequações.
(D) Valeu bastante a pena pois aprofundei os meus c onhecimentos sobre resolução
de inequações do 1º grau a uma incógnita.
Aluno 1 – B
Aluno 2 – C
Aluno 3 – C
Aluno 4 – C
Aluno 5 – D
Aluno 6 – B
Aluno 7 – C
Aluno 8 – B
Aluno 9 – B
Aluno 10 – C
Aluno 11 – C
Aluno 12 – D
Aluno 13 – B
Aluno 14 – D
Aluno 15 – C
Aluno 16 – C
Aluno 17 – D
Aluno 18 – B
Aluno 19 – C
Aluno 20 – C
Apenas dezoito alunos participaram na construção do Dominó de Inequações mas
vinte alunos participaram no Jogo, uma vez que ocorreram em duas aulas diferentes.
As afirmações transcritas são fiéis aos manuscritos dos alunos, à excepção de alguns
erros ortográficos simples mas graves, que omiti.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
191
Destes, quinze alunos responderam que gostaram do Jogo, um respondeu mais ou
menos e quatro afirmaram não ter gostado do Jogo. Isto corresponde a 75% dos alunos
terem gostado, 5% mais ou menos e 20% não terem gostado.
As razões que apresentam para não terem gostado do Jogo prendem-se com
dificuldades a nível de pré-requisitos nos conteúdos matemáticos, como:
- Operar com números racionais relativos;
- Cálculo mental;
- Regras de resolução de equações (Regra da adição e Regra da multiplicação);
- Resolução de inequações;
e não tanto com o próprio Jogo. Aliás, o entusiasmo foi geral quando lhes comuniquei que
iríamos jogar o Dominó, por ser um Jogo conhecido por quase todos, e que costumam jogar
ou ver jogar no seio das suas famílias e/ou entre amigos.
Acerca da questão “Quais os conteúdos desenvolvidos neste Jogo?”, alguns alunos
referiram-se às inequações, mas nota-se que são alunos com pouco vocabulário, que ainda
se confundem muito com a distinção entre diferentes conteúdos matemáticos e que para
alguns a Matemática se resume a contas, sempre contas. É engraçado reparar que alguns
referiram que os conteúdos desenvolvidos foram ao nível das regras de convivência.
“Onde aprendi mais Matemática?”
Um aluno assinalou (A) “Ao construir as peças de Jogo”, significando 5% da turma;
Quatro escolheram (B) “Ao criar as duas inequações”, correspondendo a 20% da turma;
Oito responderam (C) “Ao resolver as duas inequações”, o que equivale a 40% da turma;
Sete alunos optaram por (D) “Ao jogar em grupo com os meus colegas”, isto é, 35% da
turma.
“Qual a afirmação com que concordas mais”:
Nenhum aluno respondeu (A) “Não valeu a pena jogar pois nada aprendi”; Seis
alunos escolheram (B) “Valeu a pena jogar pois aprendi um pouco mais sobre regras de
grupo em sala de aula”, correspondendo a 30% da turma; Dez alunos optaram por (C)
“Valeu a pena jogar pois aprendi um pouco mais sobre resolução de inequações”, o que
equivale a 50% da turma; Quatro alunos assinalaram (D) “Valeu bastante a pena pois
aprofundei os meus conhecimentos sobre resolução de inequações do 1º grau a uma
incógnita”, significando 20% da turma.
De modo geral concluo que os alunos gostaram de jogar o Dominó de Inequações,
sentido que aprenderam um pouco mais sobre resolução de inequações do 1º grau a uma
incógnita, divertindo-se e aperfeiçoando as regras de trabalho de grupo.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
192
Ficha de Jogo
Nome do Jogo Loto de Números Reais
Tema/
Conteúdos
Programáticos
Capítulo 2 – Os números Reais. Inequações
Competências
Específicas
Relacionar números reais com o tipo de dízima que os
representam;
Comparar números reais.
Material por
Aluno
Cartão de Jogo;
Fichas para marcação dos números extraídos.
Regras de Jogo
-Um aluno é escolhido para fazer a extracção dos números do
saco não transparente, ou então faz o professor esta função;
-São distribuídos os 24 cartões pelos alunos, se a turma tiver até
12 alunos poderá distribuir-se dois cartões por aluno, se a turma
tiver mais do que 12 alunos apenas se distribuirá 1 cartão por
aluno.
-Ao ouvirem um número extraído, os alunos procuram no seu
cartão de Jogo se têm esse número escrito. Caso aconteça, têm
direito a colocar uma ficha por cima desse número.
-Para terem direito à ficha, os alunos têm que dizer a que menor
conjunto numérico pertence esse número: IN; Z; Q ou IR.
-No quadro estará representado um esquema, onde os alunos
irão colocar os números que lhes vão saindo.
Objectivo
-O primeiro aluno a completar uma linha do seu cartão ganha 10
pontos, mas terá de pronunciar em voz alta os números da linha,
dizendo a que conjunto numérico pertencem.
-O primeiro aluno a completar um cartão ganha 50 pontos, mas
terá de pronunciar em voz alta todos os números do seu cartão,
dizendo o menor conjunto numérico a que pertence cada um
deles.
-No final das partidas, o jogador com maior número de pontos
vence.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
193
Loto de Números Reais
Este Jogo foi sugerido pelos alunos.
Qual o meu espanto quando os alunos, nesta fase em que já trabalhamos alguns
jogos, tomaram iniciativa e pediram-me para fazermos um Jogo: “O Loto”. Fui reflectir sobre
o assunto e lembrei-me que poderia ser um Jogo adaptado aos Números Reais – Conteúdo
Programático do 9º Ano de escolaridade.
É baseado no Loto tradicional, com as regras adaptadas.
Material de Jogo
24 cartões rectangulares divididos em 27 rectângulos, 9x3;
Fichas de Jogo com 90 números reais;
Saco não transparente para extracção das fichas numeradas;
Fichas suplentes para colocar nos cartões.
Regras de Jogo
- Um aluno é escolhido para fazer a extracção dos números do saco não
transparente, ou então faz o professor esta função;
- São distribuídos os 24 cartões pelos alunos, se a turma tiver até 12 alunos poderá
distribuir-se dois cartões por aluno, se a turma tiver mais do que 12 alunos apenas se
distribuirá 1 cartão por aluno.
- Ao ouvirem um número extraído, os alunos procuram no seu cartão de Jogo se têm
esse número escrito. Caso aconteça, têm direito a colocar uma ficha por cima desse
número.
- Para terem direito à ficha, os alunos têm que dizer a que menor conjunto numérico
pertence esse número: IN; Z; Q ou IR.
- No quadro estará representado um esquema como o da figura que se segue, onde
os alunos irão colocar os números que lhes vão saindo.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
194
- O primeiro aluno a completar uma linha do seu cartão ganha 10 pontos, mas terá de
pronunciar em voz alta os números da linha, dizendo a que conjunto numérico pertencem.
- O primeiro aluno a completar um cartão ganha 50 pontos, mas terá de pronunciar
em voz alta todos os números do seu cartão, dizendo o menor conjunto numérico a que
pertence cada um deles.
- No final das partidas, o jogador com maior número de pontos vence.
Correspondência entre os números do Loto tradiciona l e o Loto de números reais
1 -107 10 -7,1(34) 19 - 3,02 28 - 1,7 37 -1
2 -104 11 - � � 20 - 3 29 -
���� 38 √�15
3 -83,4 12 -6,1313… 21 - �� 30 -
6 39 � 7
8
4 36,(4) 13 -6 22 - �√
� 31 - √2 40 � 23
5 � 172199 14 -2√7 23 - √5 32 -
�� 41 -0,57272…
6 �4√11 15 -��� 24 - √85 33 � 71,69 42 � 5
10
7 ��6 � 9) 16 � 12 � √53 25 - √9 34 - 1,25(3) 43 � 1
4
8 -8 17 - ��� 26 - √4 35 � √11
3 44 - 10-2
9 -7,25 18 - 9 27 - √3 36 � 1312 45 - 10-4
46 0 55 1312 64 √3 73 9 82 7,25
47 10-2 56 √113 65 √4 74 13
3 83 8
48 14 57 1,25(3) 66 √9 75 12 � √5
3 84 6 � 9
49 510 58 71,69 67 √85
76 153 85 4√11
50 0,57272… 59 75 68 √5 77 2√7 86 1721
99
51 23 60 √2 69 5√2
3 78 6 87 36,(4)
52 78 61
92 70 8
3 79 6,1313… 88 83,4
53 - √�15 62 1911 71 3 80 50
8 89 104 54 1 63 1,7 72 3,02 81 7,1(34) 90 107
IR
Q
Z
IN
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
195
Cartões de Jogo Cartão 1
-1 510 √4 2√7 7,1(34)
� 172199 -2√7 - √4 1
4 6
-107 - 1,7 � 71,69 75 √85
Cartão 2
� 23 - √�15
92 13
3 8
-��� -
�� -
�� 0 71,69
-104 - � � -
���� - 10-2 50
8
Cartão 3
� 12 � √53 -0,57272… 1 √2 107
-8 � √113 � 1
4 √3 3
-83,4 - �√
� - √2 √113 9
Cartão 4
� 510
1312 √9
83 4√11
36,(4) - ��� - 3 - 1,25(3) 36,(4)
�4√11 - 3,02 - √85 0,57272… 83,4 Cartão 5
√�15 - 10-4 5√2
3 12 � √5
3 104
-6 - √9 10-2 1,25(3) 1911
��6 � 9) -7,1(34) � 1312 6,1313… 6 � 9
Cartão 6
- √3 78 √5 3,02 7,25
- 9 - √5 - 6
153
-7,25 -6,1313… - √3 23 1,7
172199
Cartão 7
-107 - √5 - 10-2 92 50
8
� 12 � √53 � 13
12 75 √5 104
- 1,7 5
10 71,69 3 6 � 9 Cartão 8
-104 - √85 � 78 √11
3 9
-6 - √2 14 √85
83
��6 � 9) - 3,02 0 23 36,(4)
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
196
Cartão 9
-83,4 - 3 √�15 6,1313…
172199
-7,1(34) � 71,69 -0,57272… √4 2√7
- 9 - ���� - 10-4 0,57272… 8
Cartão 10
36,(4) - ��� -
�� √9 7,25
-2√7 - √3 � 23 - √�15 13
3
-8 -1 √2 6 4√11 Cartão 11
� 172199 -
�� 10-2 1,7 7,1(34)
- � � - √9 � √11
3 78 12 � √5
3
-��� -
6 13
12 1911 3,02
Cartão 12
�4√11 - √4 � 14 1,25(3) 15
3
-6,1313… - 1,25(3) 1 √3 83,4
-7,25 - �√
� � 510 5√2
3 107
Cartão 13
-107 - � � � 7
8 � 14 6 � 9
- ��� - 1,7
75
92 9
- √5 510
√113 √85
508
Cartão 14
-104 -6,1313… 14
23 3
- 9 - √85 � 1312 √5 36,(4)
- √2 � 23 71,69 8
3 104 Cartão 15
-83,4 -6 √�15 - 10-4 8
- 3,02 - 3 -0,57272… - √�15 133
- ���� � 71,69 √9 6,1313…
172199
Cartão 16
36,(4) -2√7 0 0,57272… 4√11
-7,25 - √4 - �� √2 2√7
��6 � 9) -1 √4 6 7,25
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
197
Cartão 17
� 172199 � √11
3 10-2 1312 3,02
-��� - √3
78 √3 7,1(34)
- √9 - 1,25(3) 1911
153 83,4
Cartão 18
�4√11 � 12 � √53 - 10-2 1,7 107
-8 - �� -
6 1,25(3) 5√2
3
-7,1(34) - �√
� � 510 1 12 � √5
3
Cartão 19
-8 - �√
� √85 3,02 8
- 9 � 71,69 5
10 92 9
-107 - ��� � √11
3 0,57272… 4√11 Cartão 20
-7,25 - 3 � 1312 8
3 6 � 9
� 12 � √53 0 √11
3 3 172199
-104 - √3 √�15
23 √9
Cartão 21
- � � -
�� - 10-4 1,7 83,4
-2√7 - 6 1
4 1 2√7
-83,4 - √85 1,25(3) 1911 107
Cartão 22
��6 � 9) - √2 � 23 5√2
3 6,1313…
36,(4) - √5 -1 71,69 133
-6 - √9 10-2 - √�15 36,(4) Cartão 23
-7,1(34) - ����
78 √5 7,25
� 172199 -
�� -0,57272… √4
508
- 3,02 - 1,7 - 10-2 6 7,1(34) Cartão 24
-6,1313… � 78 � 1
4 75 12 � √5
3
�4√11 � 510
1312 √2 104
-��� - √4 - 1,25(3) √3
153
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
198
Peças de Jogo 90 peças numeradas para o sorteio; 360 peças suplentes para marcação nos cartões.
-107 -104 -83,4 36,(4) � ����� �4√11 ��6 � 9)
-8 -7,25 -7,1(34)
- � �
-6,1313… -6 -2√7 -��� � �:√�
� - ��� - 9 - 3,02 - 3
- �� -
�√� - √5 - √85
- √9 - √4 - √3 - 1,7 - ���� -
6
- √2 - �� � 71,69 -1,25(3) � √11
3 � ��� -1 √�15
� �� �
�
-0,57272… � �
� � �� - 10-2 - 10-4 0 10-2
��
��
0,57272…
�
�� - √�15 1
��� √11
3 1,25(3) √1,69
�� √2
6
���� 1,7 √3 √4 √9 √85
√5 �√
� ��
3 3,02 9 ���
12 � √53
��� 2√7 6 6,1313… 50
8
7,1(34) 7,25 8 6 � 9 4√11 ���
�� 36,(4) 83,4 104 107
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
199
Opinião Loto de Números Reais 1 – Gostei do Jogo? Porquê? Refere o que mais/ meno s gostaste. 2 – Quais os conteúdos matemáticos desenvolvidos du rante o Jogo? 3 – Qual a minha atitude perante o Jogo? Assinala a opção correcta para ti. (A) Decepção; (B) Ansiedade; (C) Desinteresse; (D) Entusiasmo; 4 – Qual a afirmação com que concordas mais: (A) Não valeu a pena jogar pois nada aprendi; (B) Valeu a pena jogar pois aprendi um pouco mais s obre regras de grupo em sala de aula; (C) Valeu a pena jogar pois aprendi um pouco mais s obre números reais e conjuntos numéricos. (D) Valeu bastante a pena pois aprofundei os meus c onhecimentos sobre números reais e conjuntos numéricos. Agora sei classificar melhor um número real, sendo capaz de identificar o menor conjunto numérico ao q ual pertence.
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Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
200
1 – Gostei do Jogo? Porquê? Refere o que mais/ meno s gostaste.
Aluno 1 – Estive quase a ganhar e não gostei porque perdi. Mas gostei muito.
Aluno 2 – Gostei do Jogo pelo convívio e pelo modo de Jogo. O que menos gostei foi o facto
do barulho.
Aluno 3 – Sim. Porque recordei os números reais. Gostei de tudo em geral.
Aluno 4 – Sim muito, porque fez-me lembrar mais dos números reais naturais… e diverti-
-me. Gostei de tudo, menos de perder, mas gostei na mesma.
Aluno 5 – Sim. Gostei de tudo.
Aluno 6 – Sim. Porque foi um Jogo em que joguei com a turma toda.
Aluno 7 – Sim, porque fizemos o Jogo com a turma toda.
Aluno 8 – Gostei de todo o Jogo. É bué da fixe.
Aluno 9 – Gostei, porque é um Jogo interessante e gostei de saírem os números do meu
cartão. O que menos gostei foi de não terem saído alguns números do meu cartão.
Aluno 10 – Gostei do Jogo porque acho o Jogo engraçado e fácil.
Aluno 11 – Sim, porque é engraçado. O que mais gostei foi tirar as peças do saco. O que
menos gostei foi não ganhar.
Aluno 12 – Gostei. Achei o Jogo muito divertido. Gostei de tudo, não houve nada que eu
não gostasse.
Aluno 13 – Gostei. Foi muito engraçado. Gostei como o Loto é construído e não gostei de
perder.
Aluno 14 – O que mais gostei foi de tirar as peças do saco, porque é emocionante.
Aluno 15 – Gostei do Jogo porque foi muito divertido e aprendi os conjuntos dos números
reais.
Aluno 16 – Sim, gostei do Jogo. Foi divertido, energético, e o que menos gostei foi não ter
tido sorte no Jogo. O que mais gostei foi o Jogo ter acabado e só me ter faltado 2 peças.
Aluno 17 – Gostei, porque é divertido.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
201
2 – Quais os conteúdos matemáticos desenvolvidos du rante o Jogo?
Aluno 1 – Saber distinguir os números reais.
Aluno 2 – Números reais.
Aluno 3 – Números reais.
Aluno 4 – Números reais. Números naturais. Números inteiros. Números racionais. Números
irracionais.
Aluno 5 – Números reais.
Aluno 6 – Conjunto de números reais.
Aluno 7 – Números IR.
Aluno 8 – IR
Aluno 9 – O conjunto dos números reais.
Aluno 10 – Conjunto dos números reais.
Aluno 11 – Números reais.
Aluno 12 – Números racionais; irracionais; inteiros e naturais.
Aluno 13 – Os conteúdos matemáticos são: números irracionais; números reais; números
naturais; números inteiros.
Aluno 14 – Os conteúdos foram os números inteiros, racionais, naturais e reais.
Aluno 15 – Os conjuntos de números reais.
Aluno 16 – Os conteúdos matemáticos são os números reais.
Aluno 17 – Os números reais.
3 – Qual a minha atitude perante o Jogo? Assinala a opção correcta para ti.
Aluno 1 – A
Aluno 2 – D
Aluno 3 – D
Aluno 4 – D
Aluno 5 – D
Aluno 6 – D
Aluno 7 – D
Aluno 8 – D
Aluno 9 – D
Aluno 10 – D
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Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
202
Aluno 11 – D
Aluno 12 – D
Aluno 13 – D
Aluno 14 – B
Aluno 15 – D
Aluno 16 – D
Aluno 17 – D
4 – Qual a afirmação com que concordas mais:
Aluno 1 – D
Aluno 2 – C
Aluno 3 – C
Aluno 4 – C
Aluno 5 – C
Aluno 6 – C
Aluno 7 – C
Aluno 8 – C
Aluno 9 – D
Aluno 10 – D
Aluno 11 – C
Aluno 12 – C
Aluno 13 – D
Aluno 14 – B
Aluno 15 – C
Aluno 16 – D
Aluno 17 – C
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
203
O Jogo foi recebido com grande entusiasmo pela parte dos alunos. Jogamos em
grande grupo, grupo turma, retirando a professora as primeiras peças de Jogo do saco e
depois aluno por aluno, cada um na sua vez, correndo a sala toda. Cada aluno pronunciava
o número extraído em voz alta, o que já de si melhorava e aperfeiçoava a leitura de
números reais, e dizia a que menor conjunto numérico pertence esse número, fazendo a
professora o registo no quadro, no esquema desenhado no início da aula. O primeiro aluno
a completar linha proferiu em voz alta os cinco números reais, relembrando a que menor
conjunto numérico pertence cada um. O ânimo aumentou e os alunos gostaram mesmo de
jogar este Loto, sempre na expectativa do número que ia ser extraído. Ao analisar as
respostas dadas pelos alunos, verificamos que todos gostaram do Jogo e que se deixaram
envolver por ele. O clima na aula foi de grande entusiasmo, havendo mesmo dificuldade em
controlar os ânimos agitados, o que provocou algum barulho, como refere um aluno. Quinze
alunos, correspondendo a 88% da turma presente na aula afirmam ter-se entusiasmado
perante o Jogo. Um refere ter-se decepcionado, o que me pareceu ser relativamente ao
facto de não ter ganho, e outro ansioso, correspondendo a 6% cada um. Penso também que
o entusiasmo da turma foi maior por ter sido um Jogo sugerido pelos alunos, satisfazendo
os seus gostos. Cinco alunos consideraram a opção (D) “Valeu bastante a pena pois
aprofundei os meus conhecimentos sobre números reais e conjuntos numéricos. Agora sei
classificar melhor um número real, sendo capaz de identificar o menor conjunto numérico ao
qual pertence.”, isto é, 29% da turma. Onze alunos responderam (C) “Valeu a pena jogar
pois aprendi um pouco mais sobre números reais e conjuntos numéricos.”, correspondendo
a 65%, e apenas um aluno, 6%, respondeu (B) “Valeu a pena jogar pois aprendi um pouco
mais sobre regras de grupo em sala de aula”. Alguns alunos referem não gostar de perder,
como é próprio de qualquer jogador, especialmente nesta faixa etária.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
204
Ficha de Jogo
Nome do Jogo DirectInv
Tema/
Conteúdos
Programáticos
Capítulo 4 – Proporcionalidade Inversa. Representação Gráfica.
Competências
Específicas
Reconhecer situações de proporcionalidade directa ou inversa, indicando a constante de proporcionalidade; Construir tabelas a partir de dados fornecidos.
Material por
Grupo Dois baralhos de 20 cartas cada um, um com tabelas e outro com relações entre as variáveis x e y.
Regras de Jogo
Baralham-se as cartas com tabelas e distribuem-se cinco a cada jogador. Baralham-se igualmente as cartas que contêm relações entre as duas variáveis x e y e colocam-se três no centro da mesa, viradas para cima, deixando o restante baralho junto destas, virado para baixo. Sorteia-se qual é o primeiro jogador a jogar. Na sua vez, cada jogador procura entre as cartas da mesa uma que faça par com alguma das cartas que tem em seu poder, ou seja, procura sobre a mesa uma carta com uma relação que corresponda à relação existente entre os números de uma das suas tabelas. Coloca o par acabado de formar sobre a mesa, para que todos o possam ver, e depois retira-o de Jogo. De entre as cartas que ainda detém em seu poder escolhe uma para passar ao próximo jogador e termina a jogada retirando uma carta do baralho e colocando-a no centro da mesa, virada para cima, junto das que já aí se encontram. Pode acontecer que não exista, ou que o jogador não se aperceba que existe, uma carta sobre a mesa que forme par com alguma das cartas que tem em seu poder. Nesse caso nenhuma carta será retirada da mesa, devendo o jogador passar na mesma uma das suas cartas ao próximo jogador e acrescentar às cartas sobre a mesa mais uma proveniente do baralho. Pode igualmente ocorrer uma situação em que um jogador consiga formar mais do que um par ou até em que a relação escolhida se aplique a mais do que uma das suas cartas. Em qualquer uma destas circunstâncias o jogador deverá escolher, formando apenas um par constituído por uma carta da mesa e uma das suas cartas. E no caso de um par ser formado incorrectamente, o primeiro jogador que o identificar tem direito a dar uma das suas cartas ao jogador que formou o par incorrecto.
Objectivo
O objectivo do Jogo é identificar em cada carta com uma tabela uma relação entre os valores aí apresentados. Este processo é de certo modo guiado pelas cartas que se encontram sobre a mesa e que apresentam possíveis relações. Ganha o primeiro jogador que, ao terminar a sua jogada e passar uma carta ao jogador seguinte, fique sem cartas.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
205
DirectInv
Este Jogo é da autoria de Doutora Helena Rocha e foi publicado na Revista
Educação e Matemática, número 101, da Associação de Professores de Matemática. Vou
passar a citá-lo.
DirectInv é um Jogo de cartas onde o jogador tem que tentar formar pares de cartas
que representem a mesma relação entre as variáveis x e y. Pretende-se desta forma
abordar as noções de proporcionalidade directa e inversa, sem no entanto exigir da parte
dos jogadores um conhecimento prévio destas noções. Trata-se portanto de um Jogo que
tanto pode consistir numa abordagem ao tema, como num aprofundamento, pois, no
decorrer do Jogo, os jogadores terão ocasião de aos poucos se irem apercebendo de
alguns aspectos que caracterizam estes dois tipos de
relações.
N.º de Jogadores: 4
Nível de ensino: 3º Ciclo – 9º ano de escolaridade
Material necessário: dois baralhos de 20 cartas cada um, um com tabelas e outro com
relações entre as variáveis x e y.
Objectivo do Jogo
O objectivo do Jogo é identificar em cada carta com uma tabela, uma relação entre os
valores aí apresentados. Este processo é de certo modo guiado pelas cartas que se
encontram sobre a mesa e que apresentam possíveis relações.
Preparação do Jogo
Baralham-se as cartas com tabelas e distribuem-se cinco a cada jogador. Baralham-
-se igualmente as cartas que contêm relações entre as duas variáveis x e y e colocam-se
três no centro da mesa, viradas para cima, deixando o restante baralho junto destas, virado
para baixo. Sorteia-se qual é o primeiro jogador a jogar.
Modo de jogar
Na sua vez, cada jogador procura entre as cartas da mesa uma que faça par com
alguma das cartas que tem em seu poder, ou seja, procura sobre a mesa uma carta com
uma relação que corresponda à relação existente entre os números de uma das suas
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
206
tabelas. Coloca o par acabado de formar sobre a mesa, para que todos o possam ver, e
depois retira-o de Jogo. De entre as cartas que ainda detém em seu poder escolhe uma
para passar ao próximo jogador e termina a jogada retirando uma carta do baralho e
colocando-a no centro da mesa, virada para cima, junto das que já aí se encontram.
Pode acontecer que não exista, ou que o jogador não se aperceba que existe, uma
carta sobre a mesa que forme par com alguma das cartas que tem em seu poder. Nesse
caso nenhuma carta será retirada da mesa, devendo o jogador passar na mesma uma das
suas cartas ao próximo jogador e acrescentar às cartas sobre a mesa mais uma proveniente
do baralho.
Pode igualmente ocorrer uma situação em que um jogador consiga formar mais do
que um par ou até em que a relação escolhida se aplique a mais do que uma das suas
cartas.
Em qualquer uma destas circunstâncias o jogador deverá escolher, formando apenas
um par constituído por uma carta da mesa e uma das suas cartas.
E no caso de um par ser formado incorrectamente, o primeiro jogador que o
identificar tem direito a dar uma das suas cartas ao jogador que formou o par incorrecto.
Determinação do vencedor
Ganha o primeiro jogador que, ao terminar a sua jogada e passar uma carta ao
jogador seguinte, fique sem cartas.
Três exemplos de jogadas
x y x y x y x y 1 10 1 10 2 20 2 25 2 5 2 20 5 8 5 10 5 2 4 30 10 4 10 5
� � 3 ; 10 � � 3 ; 20 3
� ; 10
Figura 1
Numa situação de Jogo como a apresentada na figura 1, o jogador apercebe-se que
a sua tabela da esquerda corresponde à relação � � 3 ; 10 que se encontra sobre a mesa.
Coloca então a sua carta junto dessa para que todos possam verificar a correcção do par
que acabou de formar e, de seguida, retira as duas cartas de Jogo. Escolhe então, por
exemplo, a sua tabela da direita para passar ao próximo jogador e termina a jogada
retirando uma carta do baralho e colocando-a no centro da mesa, junto das que aí se
encontram.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
207
x y x y x y x y 1 40 2 20 2 25 1 10 2 20 5 8 5 10 2 20 4 10 10 4 10 5 5 50
� � 3 ; 10 � � 3 ; 40 3
� ; 100
Figura 2
Numa situação como a da figura 2, as duas tabelas da esquerda correspondem
ambas à relação � � 3 ; 40. Como apenas uma carta poderá ser jogada, caberá ao jogador
decidir qual a que irá colocar sobre a mesa, formando o par que sairá de Jogo.
x y x y x y x y 1 40 1 10 2 20 2 25 2 20 2 20 5 8 5 10 4 10 5 50 10 4 10 5
� � 3 ; 10 � � 3 ; 20 3
� ; 100
Figura 3
Na figura 3 o panorama é menos favorável ao jogador, uma vez que nenhuma das
tabelas corresponde a qualquer das relações que se encontram sobre a mesa e, portanto,
não é possível formar qualquer par. Assim, nenhuma carta poderá ser jogada e ao jogador
resta apenas passar uma das suas tabelas ao próximo jogador e acrescentar às cartas
sobre a mesa uma carta retirada do baralho.
Variantes
Podem ser acrescentadas ao baralho inicial quatro cartas com tabelas em branco,
passando no início do Jogo a distribuir-se seis cartas, em vez de cinco, a cada jogador. O
jogador que recebe alguma carta com a tabela em branco preenche obrigatoriamente três
dos seus valores antes do início do Jogo e os restantes três no momento em que decide
jogar a carta.
Deixa-se assim ao jogador a tomada de decisão relativamente aos valores que
considera mais vantajosos. Esta variante tem, pois, a vantagem de colocar nas mãos do
jogador mais poder para influenciar o Jogo, no entanto, pode não ser uma boa opção
quando os jogadores ainda não estão familiarizados com o Jogo ou quando ainda não
dispuserem do tempo necessário à compreensão das noções envolvidas.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
208
Comentário
Três das cartas do baralho de tabelas não representam nem uma relação de
proporcionalidade directa nem uma relação de proporcionalidade inversa e tal não acontece
por acaso. Com efeito, estas tabelas foram introduzidas no baralho por duas razões. Por um
lado, para enfatizar que é fundamental confirmar se todos os elementos de cada tabela
verificam a relação e não cometer o erro de pensar que é suficiente considerar apenas dois
deles. Por outro lado, para impedir o desenvolvimento por parte dos jogadores da ideia que
todas as tabelas traduzem obrigatoriamente uma relação de um destes dois tipos –
proporcionalidade directa ou inversa.
Os baralhos de cartas
Cartas com tabelas
x y x y x y x y x Y 1 10 1 20 1 40 1 50 1 100 2 5 2 10 2 20 25 2 2 50 5 2 4 5 4 10 50 1 5 20
x y x y x y x y x y 2 10 1 10 2 20 2 25 2 50 4 5 2 20 5 8 5 10 6 20 10 2 4 30 10 4 10 5 10 10
x y x y x y x y x y 1 10 1 20 1 40 1 10 1 50 2 20 2 40 2 80 2 5 2 100 5 50 3 60 3 120 4 2 3 150
x y x y x y x y x y 1 100 2 40 2 80 2 100 2 200 2 200 4 80 10 400 4 200 4 400 3 300 6 120 20 800 6 300 6 600
Cartas com relações (duas cartas de cada) � � 3 ; 10 � � 3 ; 20 � � 3 ; 40 � � 3 ; 50 � � 3 ; 100
3� ; 10 3
� ; 20 3� ; 40 3
� ; 50 3� ; 100
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
209
Metodologia de Trabalho do Jogo DirecInv
Novamente vou transcrever da revista Educação e Matemática, n.º 101, pág. 46-48, a
tarefa da autoria de Doutora Helena Rocha.
A tarefa que aqui se apresenta destina-se a explorar o Jogo DirectInv. Tratando-se de
um Jogo que pode ser utilizado para introduzir a noção de proporcionalidade inversa, o
objectivo desta tarefa não passa pela noção em si, embora esta esteja directamente
envolvida. O que se pretende é consciencializar os alunos que, mais do que jogar, o
importante é a reflexão que se faz sobre o Jogo, pois é esta que nos poderá ajudar a
perceber melhor o seu funcionamento e a conseguir maximizar as nossas hipóteses de ser
bem sucedidos.
Esta proposta de trabalho tem ainda uma componente ao nível da Língua
Portuguesa, uma vez que são apresentados pequenos textos, e até um curto diálogo, que
os alunos têm que ler e interpretar.
A tarefa foi pensada para ser realizada por grupos de quatro alunos, depois de estes
terem tido ocasião de jogar algumas vezes. A realização da tarefa requer ainda que os
alunos tenham acesso ao material de Jogo, ou seja, cada grupo de alunos precisa de ter à
sua disposição os dois baralhos de cartas (o das cartas com tabelas e o das cartas da
mesa).
Actividade
Eu vou ganhar!
A Laura esteve a jogar ao DirectInv na aula de Matemática e, depois de perder o
primeiro Jogo, começou a lamentar a sua falta de sorte por lhe saírem cartas que «não
prestavam». Os colegas riram-se, achando que era ela que não sabia jogar, mas quando
ela perdeu mais um Jogo começaram a achar estranho e decidiram investigar. Pegaram
então no baralho das tabelas e foram à procura das cartas que «não prestavam».
Que cartas são essas? E por que é que «não prestam»?
Ao ajudar a procurar as cartas que «não prestavam», o David descobriu que havia
duas cartas no baralho para as quais era mais fácil conseguir formar o par com uma carta
da mesa.
Que cartas são essas? Explica a tua escolha.
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Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
210
Satisfeito com a sua descoberta, e a pensar em ganhar os próximos jogos, o David
fez uma proposta aos colegas:
- Olhem, e se acrescentássemos ao baralho quatro cartas novas com tabelas em
branco, que o jogador preenchia como quisesse, assim tipo jokers.
- Nem penses! – responderam logo dois colegas em coro. – Tu queres é ganhar
sempre.
- Então, e se em vez disso fossem cartas com metade dos valores da tabela
preenchidos e a outra metade por preencher? – perguntou a Laura.
- Quem ficar com uma tabela em branco preenche três valores da tabela antes de
começar o Jogo e os outros três quando quiser jogar a carta. Concordam?
Preenche a teu gosto três valores das tabelas das quatro cartas que se seguem.
x y x y x y x y Faz par com ___
cartas
Faz par com ___
cartas
Faz par com ___
cartas
Faz par com ___
cartas
E agora completa o preenchimento das tabelas. Usa cores diferentes para diferentes
hipóteses de completar a tabela.
Cada uma das tuas cartas pode ser completada para ser jogada com quantas cartas
do baralho da mesa?
Será possível fazer melhor? Preenche uma nova tabela se precisares, mas procura
encontrar uma tabela que possa formar par com o maior número de cartas do baralho da
mesa.
A Laura e o David passaram a ganhar todos os jogos alternadamente. As tabelas que
eles preenchiam serviam sempre para uma das cartas na mesa, o que já não acontecia com
as dos seus colegas. Vendo que eles preenchiam sempre os três números da coluna do x
ou os três números da coluna do y, os colegas resolveram impor como nova regra que tinha
de se preencher pelo menos um número na coluna do x e um na do y.
Será que esta nova regra vai impedir a Laura e o David de construírem uma tabela
que sirva sempre? Explica porquê.
Patrícia Marques
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x
y
1
10
2
5
5
2
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1
50
25
2
50
1
x
y
1
10
2
20
4
30
x
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1
20
2
10
4
5
x
y
1
100
2
50
5
20
x
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2
20
5
8
10
4
x
y
1
40
2
20
4
10
x
y
2
10
4
5
10
2
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2
25
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10
10
5
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x
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2
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6
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2
80
3
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x
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1
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2
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3
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x
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1
10
2
20
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50
x
y
1
10
2
5
4
2
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2
40
4
80
6
120
x
y
1
20
2
40
3
60
x
y
1
50
2
100
3
150
x
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2
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10
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20
800
Patrícia Marques
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x
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2
100
4
200
6
300
x
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4
200
6
300
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y
2
200
4
400
6
600
x
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x
y
2
200
4
400
6
600
x
y
x
y
x
y
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x
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� � 3 ; 10
� � 3 ; 20
� � 3 ; 50
x
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� � 3 ; 10
� � 3 ; 40
� � 3 ; 50
x
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� � 3 ; 20
� � 3 ; 40
� � 3 ; 100
Patrícia Marques
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� � 3 ; 100
3� ; 10
3� ; 10
3� ; 20
3� ; 20
3� ; 40
3� ; 40
3� ; 50
3� ; 50
3� ; 100
3� ; 100
DirectInv
Regras de Jogo N.º de Jogadores: 4 Nível de ensino: 3º Ciclo – 9º ano de escolaridade Material necessário: dois baralhos de 20 cartas cada um, um com tabelas e outro com relações entre as variáveis x e y. Objectivo do Jogo
O objectivo do Jogo é identificar em cada carta com uma tabela, uma relação entre os valores aí apresentados. Este processo é de certo modo guiado pelas cartas que se encontram sobre a mesa e que apresentam possíveis relações. Preparação do Jogo
Baralham-se as cartas com tabelas e distribuem-se cinco a cada jogador. Baralham-se igualmente as cartas que contêm relações entre as duas variáveis x e y e colocam-se três no centro da mesa, viradas para cima, deixando o restante baralho junto destas, virado para baixo. Sorteia-se qual é o primeiro jogador a jogar. Modo de jogar
Na sua vez, cada jogador procura entre as cartas da mesa uma que faça par com alguma das cartas que tem em seu poder, ou seja, procura sobre a mesa uma carta com uma relação que corresponda à relação existente entre os números de uma das suas tabelas. Coloca o par acabado de formar sobre a mesa, para que todos o possam ver, e depois retira-o de Jogo. De entre as cartas que ainda detém em seu poder escolhe uma para passar ao próximo jogador e termina a jogada retirando uma carta do baralho e colocando-a no centro da mesa, virada para cima, junto das que já aí se encontram.
Pode acontecer que não exista, ou que o jogador não se aperceba que existe, uma carta sobre a mesa que forme par com alguma das cartas que tem em seu poder. Nesse caso nenhuma carta será retirada da mesa, devendo o jogador passar na mesma uma das suas cartas ao próximo jogador e acrescentar às cartas sobre a mesa mais uma proveniente do baralho.
Pode igualmente ocorrer uma situação em que um jogador consiga formar mais do que um par ou até em que a relação escolhida se aplique a mais do que uma das suas cartas.
Em qualquer uma destas circunstâncias o jogador deverá escolher, formando apenas um par constituído por uma carta da mesa e uma das suas cartas.
E no caso de um par ser formado incorrectamente, o primeiro jogador que o identificar tem direito a dar uma das suas cartas ao jogador que formou o par incorrecto. Determinação do vencedor
Ganha o primeiro jogador que, ao terminar a sua jogada e passar uma carta ao jogador seguinte, fique sem cartas.
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DirectInv Actividade
Eu vou ganhar! A Laura esteve a jogar ao DirectInv na aula de Matemática e, depois de perder o primeiro Jogo, começou a lamentar a sua falta de sorte por lhe saírem cartas que «não prestavam». Os colegas riram-se, achando que era ela que não sabia jogar, mas quando ela perdeu mais um Jogo começaram a achar estranho e decidiram investigar. Pegaram então no baralho das tabelas e foram à procura das cartas que «não prestavam». Que cartas são essas? E por que é que «não prestam»? ____________________________________________________________________________ Ao ajudar a procurar as cartas que «não prestavam», o David descobriu que havia duas cartas no baralho para as quais era mais fácil conseguir formar o par com uma carta da mesa. Que cartas são essas? Explica a tua escolha. ____________________________________________________________________________ Satisfeito com a sua descoberta, e a pensar em ganhar os próximos jogos, o David fez uma proposta aos colegas: - Olhem, e se acrescentássemos ao baralho quatro cartas novas com tabelas em branco, que o jogador preenchia como quisesse, assim tipo jokers. - Nem penses! – responderam logo dois colegas em coro. – Tu queres é ganhar sempre. - Então, e se em vez disso fossem cartas com metade dos valores da tabela preenchidos e a outra metade por preencher? – perguntou a Laura. - Quem ficar com uma tabela em branco preenche três valores da tabela antes de começar o Jogo e os outros três quando quiser jogar a carta. Concordam? Preenche a teu gosto três valores das tabelas das quatro cartas que se seguem.
x y x y x y x y
Faz par com ___ cartas
Faz par com ___ cartas
Faz par com ___ cartas
Faz par com ___ cartas
E agora completa o preenchimento das tabelas. Usa cores diferentes para diferentes hipóteses de completar a tabela. Cada uma das tuas cartas pode ser completada para ser jogada com quantas cartas do baralho da mesa? ____________________________________________________________________________ Será possível fazer melhor? Preenche uma nova tabela se precisares, mas procura encontrar uma tabela que possa formar par com o maior número de cartas do baralho da mesa.
x y
Faz par com ___ cartas
A Laura e o David passaram a ganhar todos os jogos alternadamente. As tabelas que eles preenchiam serviam sempre para uma das cartas na mesa, o que já não acontecia com as dos seus colegas. Vendo que eles preenchiam sempre os três números da coluna do x ou os três números da coluna do y, os colegas resolveram impor como nova regra que tinha de se preencher pelo menos um número na coluna do x e um na do y. Será que esta nova regra vai impedir a Laura e o David de construírem uma tabela que sirva sempre? Explica porquê. ____________________________________________________________________________
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
218
1ª Questão Grupo I As cartas que não prestam são as que não têm proporcionalidade directa nem inversa.
x y x y x y 1 10 10 1 2 50 2 20 2 5 6 20 4 30 4 2 10 10
As cartas que não têm proporcionalidade directa nem inversa. Grupo II São cartas que não têm proporcionalidade directa ou inversa e por isso não dá para fazer pares.
x y x y x y 2 50 1 10 10 1 6 20 2 20 2 5
10 10 4 30 4 2 Grupo III
x y x y x y 10 1 2 50 1 10 2 5 6 20 2 20 4 2 10 10 4 30
Não prestam porque não existe proporcionalidade directa e inversa. Grupo IV Porque são cartas que não têm constante.
x y x y x y 1 10 1 10 2 50 2 5 2 20 6 20 4 2 4 30 10 10
Grupo V
x y x y x y 1 10 1 10 2 50 2 5 2 20 6 20 4 2 4 30 10 10
1x10=10 10:1=10 2x50 2x5=10 20:2=10 6x20 4x2=8 30:4=7,5 10x10 2:50
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
219
2ª Questão Grupo I São as castas em branco Grupo II As cartas com a tabela em branco porque se pode formar um par qualquer. Grupo III São as cartas brancas. Porque dá para preencher como valor necessitado. Grupo IV São as cartas que têm como constante 100 e 10.
x y x y x y 2 200 2 100 1 100 4 400 4 200 2 200 6 600 6 300 3 300
Grupo V Faltou à aula 3ª Questão Grupo I
x y x y x y x y 40 2 4 1
40 2 2 8 120 100 1 20
Faz par com 2 cartas
Faz par com 2 cartas
Faz par com 2 cartas
Faz par com 2 cartas
Grupo II
x y x y x y x y 1 20 40 1 2 10 80 2 3 5 120 4
Faz par com 2 cartas
Faz par com 2 cartas
Faz par com 2 cartas
Faz par com 2 cartas
Grupo III
x y x y x y x y 4 4 4 1 2 3 2 8 5 1 1 20
Faz par com 2 cartas
Faz par com 2 cartas
Faz par com 2 cartas
Faz par com __ cartas
Grupo IV
x y x y x y x y 40 2 2
40 2 2 100 20 120 100 3 4
Faz par com 2 cartas
Faz par com 2 cartas
Faz par com 2 cartas
Faz par com 2 cartas
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
220
4ª Questão Grupo I Com 2. Grupo II 8 Grupo III <= ; 40 ;
<= ; 10 ; � � 3 ; 100 ; � � 3 ; 40
Grupo IV Com 2. Hipótese 1 Hipótese 2 Hipótese 3
x y x y x y x y 1 40 2 50 1 50 10 2 40 80 50 2 2 100 20 1 3 120 1 100 3 100 5 4
5ª Questão Grupo I
x y 25 4 1 40 20 40
Faz par com 3 cartas
Grupo II x y 1 100 2 50 25 4
Faz par com 2 cartas
Grupo III x y 15 2 3 10 30 1
Faz par com � � 3 ; 30
cartas Grupo IV
x y 1 40 1 40 1 40
Faz par com 4 cartas
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
221
6ª Questão Grupo I Sim, porque só há uma constante. Grupo II Acho que não, porque ao preencher uma carta da tabela x e da tabela y, com proporcionalidade pode servir. Grupo III Não respondeu Grupo IV Sim, porque cada carta só tem uma constante.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
222
Ficha de Jogo
Nome do Jogo Tio Papel de Trigonometria
Tema/
Conteúdos
Programáticos Capítulo 7 – Trigonometria do Triângulo Rectângulo.
Competências
Específicas
Determinar razões trigonométricas de um dado ângulo
agudo;
Determinar um ângulo agudo conhecida uma das suas
razões trigonométricas;
Procurar estratégias adequadas para determinar distâncias
inacessíveis, alturas de edifícios, etc;
Determinar uma razão trigonométrica de um ângulo agudo,
conhecida outra.
Material por
Grupo Um baralho com 36 cartas com perguntas e respostas.
Regras de Jogo
Número de Jogadores: 4 a 6
O Jogo é composto por 36 cartas que contêm uma questão no
centro de cada carta – valor de entrada na mesa – e uma
resposta no canto superior direito – valor de saída da mão.
Depois de serem distribuídas todas as cartas pelos jogadores,
um jogador a combinar, lança uma das cartas de saída,
seguindo-se o jogador à direita, que colocará em cima da carta
jogada uma carta cujo valor de saída seja equivalente ao valor
de entrada da carta anterior.
Os jogadores vão assim sequencialmente colocando as cartas
na mesa.
Objectivo
Ganha o jogador que primeiro conseguir colocar todas as cartas
que tem na mão.
No caso de a sequência ser definitivamente interrompida,
considera-se empate entre todos os jogadores, devendo-se
começar de novo o Jogo.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
223
Metodologia de Trabalho do Jogo Tio Papel de Trigonometria
Este Jogo, conforme o nome indica, é baseado no famoso Jogo Tio
Papel – Jogos Matemáticos, da autoria de Francisco Aranda, publicado pela
Livraria - Papelaria Quinta da Palmeira, Albufeira, Portugal.
Comecei por apresentar um Jogo Tio Papel
aos alunos, Tio Papel Números Relativos e Tio Papel
Polinómios, estes experimentaram-no em grupos e a
reacção ao Jogo foi bastante positiva. Notou-se bem
o entusiasmo demonstrado em jogá-lo.
Em seguida lancei o desafio, agora
individualmente, cada aluno teve que criar três perguntas com as respectivas
respostas sobre a Unidade Temática: Trigonometria do Triângulo Rectângulo.
Levei alguns manuais escolares para a sala de aula, para que todos os alunos
pudessem pesquisar e na aula seguinte fomos para a Sala Multimédia da
Escola onde cada aluno tem acesso a um computador portátil com ligação à
Internet e com o programa Geometers Sketchpad instalado.
Cada aluno redigiu as três perguntas e as três respostas, processou-as
no computador, utilizando o programa Word, e enviou-me o seu trabalho por e-
-mail.
Depois de ter todas as perguntas e respostas dos alunos, compus o
baralho de cartas, com 36 cartas.
Na aula seguinte cada grupo voltou a juntar-se e construiu 36 cartas em
cartolina, onde colocou cada pergunta e resposta a outra pergunta, já
anteriormente combinadas pela professora.
Quando o Jogo estava concluído, cada grupo pode jogá-lo as vezes que
quis.
Os alunos gostam particularmente de jogos de cartas. O entusiasmo foi
notório durante o Jogo e quiseram repeti-lo várias vezes. Para facilitar a
resolução das perguntas coloquei em cada mesa de grupo um bloco de notas,
canetas, lápis, calculadora científica e uma tabela trigonométrica.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
224
Cartas de Jogo
Senα =?
33
= 0,58 Senα = ?
Tg α =?
87,023 =
Qual é a fórmula fundamental da trigonometria?
αα 22 cos+sen =1
Qual é o valor da tangente de α ?
16
27 = 1,7
Qual o valor do co-
seno de α ?
16
14 = 0,875
?=βα
1 2 x sen 20º = ?
0,48
2xcos 50º+sen 80º=?
2,27 Como se calcula o
seno? hipotenusadamedida
opostocatetodomedida
Como se calcula a tangente?
adjacenteCateto
opostoCateto Como se calcula
o co-seno? Hipotenusa
adjacenteCateto
α2cos1−
2 cm
cm3
α
α
3 cm cm3
α27cm
16cm
16cm
14cm
α
α
β
45º
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
225
tg α =?
2
387,0≅
Como se calcula o seno de α ?
7
365,0≅
Sen 28º = ?
0,47 ββ
cos
sen = ? tg β
sen 2 β + cos 2 β = ?
1 cos 180º = ? -1
tan α = ?
a = ?
2,4≅
sen =β ?
53
Qual é o co-seno de α?
0,8
3
2m
α
7 m 3
2m
α
34
5
3
4
α
5
a
50º
α
10
6
8
8m
6m
10m
α
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
226
Qual é a tangente de α ?
0,75 sen 77º = ? 0,974
tg 37º = ?
0,754 cos 54º = ? 0,588
Num triângulo rectângulo existe a
hipotenusa e:
cateto oposto e cateto
adjacente
Como se chama ao lado oposto ao ângulo recto?
Hipotenusa
Porque é que é
possível que em dois triângulos de
tamanhos diferentes, existam ângulos com 37º e o resultado do seno é sempre 0,6?
Porque os triângulos são semelhantes.
Quais são as três razões
trigonométricas?
Seno, Co-seno e Tangente.
sen 60º = ?
2
3
tg α = 0,268
α = ? 15º
cos 54º =
0,59 sen 37º = ? 0,6
tg 29º = ?
0,554 cos 46º = ? 0,695
8m
6m
10m
α
Ângulo recto
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
228
Opinião sobre o Jogo “Tio Papel de Trigonometria”
1 – Gostei do Jogo? Porquê?
Aluno 1 – Sim, porque é divertido.
Aluno 2 – Sim. Porque construi e joguei. Também porque é interessante, faz
puxar pela cabeça.
Aluno 3 – Gostei, porque aprendes mais sobre Trigonometria.
Aluno 4 – Sim. Porque é divertido.
Aluno 5 – Sim. Porque é divertido.
Aluno 6 – Gostei, porque é muito interessante.
Aluno 7 – Sim. Achei o Jogo muito divertido.
Aluno 8 – Sim, porque é fácil e divertido.
Aluno 9 – Sim, porque estamos em grupo e é divertido.
Aluno 10 – Gostei, porque sabemos resolver mais rapidamente a
Trigonometria.
Aluno 11 – Sim, porque estamos em grupo.
Aluno 12 - +/-
Aluno 13 – Este não foi dos que mais gostei, porque baralhamos um pouco as
coisas e não correu muito bem.
Aluno 14 – Acho o Jogo interessante e bastante fácil de jogar.
Muitos alunos referem o carácter divertido para justificar o porquê de
terem gostado do Jogo, alguns acharam-no interessante, chegando a referir
que desenvolveram competências em Trigonometria.
2 – Quais os conteúdos desenvolvidos durante o Jogo ?
Aluno 1 – Aprendi e desenvolvi melhor a Trigonometria.
Aluno 2 – Ajudou-me a relembrar matérias já dadas. Também a aprender
coisas novas.
Aluno 3 – A Trigonometria
Aluno 4 – Trabalhar com jogos de Matemática.
Aluno 5 – Trigonometria
Aluno 6 – Trigonometria
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
229
Aluno 7 – Aprendi mais sobre Trigonometria.
Aluno 8 – Aprendi a trabalhar melhor com as razões trigonométricas.
Aluno 9 – Aprendizagem na Matemática e resolução de problemas.
Aluno 10 – Desenvolver Trigonometria
Aluno 11 – Aprendizagem na Matemática.
Aluno 12 – Aprendi mais Trigonometria.
Aluno 13 – Desenvolvemos os conteúdos das razões trigonométricas.
Aluno 14 – Neste Jogo podemos desenvolver uma parte da matéria e, digamos,
tirar dúvidas sobre Trigonometria. Logo podemos aprender sobre essa matéria.
Referem competências em Trigonometria mas também na Matemática
em geral.
3 – Onde aprendi mais Matemática? Assinala a opção correcta para ti.
(A) Ao construir o Jogo;
(B) Ao criar as três perguntas sobre Trigonometria;
(C) Ao responder às três perguntas sobre Trigonomet ria;
(D) Ao jogar em grupo com os meus colegas.
Aluno 1 – D
Aluno 2 – C
Aluno 3 – D
Aluno 4 – B
Aluno 5 – D
Aluno 6 – D
Aluno 7 – D
Aluno 8 – D
Aluno 9 – D
Aluno 10 – D
Aluno 11 – C
Aluno 12 – D
Aluno 13 – D
Aluno 14 – D
Um aluno, correspondente a 7%, responde que aprendeu mais “Ao criar
as três perguntas sobre Trigonometria”; Dois alunos, correspondentes a 14%
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
230
referem aprender mais Matemática “Ao responder às três perguntas sobre
Trigonometria”; Os restantes 11 alunos, 79% afirma achar que aprendeu mais
Matemática “Ao jogar em grupo com os meus colegas”.
4 – Qual a afirmação com que concordas mais:
(A) Não valeu a pena jogar pois nada aprendi;
(B) Valeu a pena jogar pois aprendi um pouco mais s obre regras de grupo
em sala de aula;
(C) Valeu a pena jogar pois aprendi um pouco mais s obre Trigonometria.
(D) Valeu bastante a pena pois aprofundei os meus c onhecimentos sobre
Trigonometria.
Aluno 1 – C
Aluno 2 – C
Aluno 3 – D
Aluno 4 – C
Aluno 5 – C
Aluno 6 – B
Aluno 7 – C
Aluno 8 – D
Aluno 9 – C
Aluno 10 – D
Aluno 11 – B
Aluno 12 – C
Aluno 13 – C
Aluno 14 – D
Dois alunos, correspondentes a 14%, responderam “Valeu a pena jogar
pois aprendi um pouco mais sobre regras de grupo em sala de aula”; Oito
alunos, correspondentes a 57% referiram “Valeu a pena jogar pois aprendi um
pouco mais sobre Trigonometria”; Os restantes 4 alunos, 29%, afirmam “Valeu
bastante a pena pois aprofundei os meus conhecimentos sobre Trigonometria”.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
231
Capítulo V – Análise de Resultados
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
232
Agrupamento de Escolas do Bairro Padre Cruz Escola Básica dos 2º e 3º Ciclos (Sede de Agrupamento)
Escola Básica do 1º Ciclo nº 167 (Edifício Piteira e Edifício Rio Tejo) Jardim de Infância
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Departamento de Matemática e Ciências Experimentais
Ano Lectivo 2008/2009
♦ O que vamos avaliar?
A avaliação nas disciplinas que constituem o Departamento: Matemática – 2º e 3º ciclos, Ciências da Natureza; Ciências Naturais, Ciências Físico- -Químicas e Tecnologia de Informação e Comunicação, irá incidir sobre quatro domínios:
1. Atitudes e valores (saber ser/estar) 2. Conhecimento (saber fazer) 3. Raciocínio 4. Comunicação
♦ Como vamos avaliar?
Depois de uma análise sobre aspectos pertinentes relativos aos domínios anteriores, considerou-se que, na Avaliação a efectuar ao longo do ano lectivo, ir-se-ão avaliar competências ao nível do saber ser/estar e competências ao nível do conhecimento (substantivo e processual), do raciocínio, da comunicação e das atitudes e valores através dos itens apresentados nos quadros seguintes.
As atitudes e valores terão um “peso” de 40%; os conhecimentos terão um “peso” de 40%; o raciocínio, 10% e a comunicação, igualmente, 10% na avaliação dos alunos.
Atitudes e Valores
(40%)
Responsabilidade (10%)
• Participação nas actividades • Material necessário à disciplina • Assiduidade e pontualidade • Realização dos TPCs • Cumprimento de regras
Empenho (20%)
• Organização e apresentação do caderno diário/outro material didáctico • Realização dos trabalhos individuais/de grupo
Cooperação (10%)
• Colaboração na dinâmica de grupo, respeitando a vertente cidadania • Espírito de entreajuda
Raciocínio (10%) • Estratégias para resolução de problemas/exercícios
Comunicação (10%) • Colocação de dúvidas • Utilização de linguagem científica
Conhecimento (40%) • Aquisição de conhecimentos
• Aplicação de conhecimentos
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
233
Análise comparativa com anos lectivos anteriores
Área Curricular Disciplinar: MATEMÁTICA
Matemática 9ºAno 2005/2006 2006/2007 2007/2008 2008/2009
1º Período 61% 46% 66% 72%
2º Período 47% 53% 67% 61%
3ª Período 49% 53% 83% 85%
É com agrado que se verifica que no 9º ano o sucesso à disciplina de
Matemática tem vindo a aumentar.
No 1º Período conseguimos registar os melhores resultados dos últimos
4 anos lectivos consecutivos.
No 2º Período houve uma ligeira descida em comparação com o ano
lectivo anterior, devendo-se ao facto da avaliação externa, Teste Nacional
Intermédio de Janeiro de 2009, ser de carácter sumativo, contrariamente ao
ano lectivo anterior onde teve carácter formativo. De toda a forma os resultados
estão bastante melhores em comparação com os outros dois anos lectivos
anteriores.
No 3º Período os resultados da avaliação interna da Escola voltaram a
subir, mesmo com a aplicação de mais um Teste Nacional Intermédio, com
carácter de avaliação sumativa.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
1º Período 2º Período 3ª Período
Sucesso Matemática 9º Ano
2005/2006
2006/2007
2007/2008
2008/2009
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
235
Inquérito Final de Área de Projecto - 9º Ano
Nome: Número: Turma: Data:
Professora: Patrícia Marques
1) O que mais gostas de fazer nas aulas de Matemática?
Aluno 1 – Não sei. Aluno 2 – Resolver exercícios e aprender. Aluno 3 – Gosto de fazer jogos em grupo. Aluno 4 – Jogar. Aluno 5 – Jogar. Aluno 6 – Os (não completou) Aluno 7 – Contas. Aluno 8 – Gosto de jogar. Aluno 9 – Fazer exercícios. Aluno 10 – Gosto de jogar. Aluno 11 – Fazer os exercícios. Aluno 12 – Contas. Aluno 13 – Gosto de fazer inequações e equações. Aluno 14 – Principalmente gostei da Geometria. 2) Gostas de Jogar?
Aluno 1 – Sim, porque diverti-me. Aluno 2 – Sim, conforme os jogos. Aluno 3 – Sim. Porque aprendemos muita coisa. Aluno 4 – Sim, porque diverti-me. Aluno 5 – Sim, porque é interessante. Aluno 6 – Sim, gosto. Aluno 7 – Sim, gostei de jogar todos os jogos. Aluno 8 – Sim, porque aprendemos e é divertido. Aluno 9 – Sim, mas o que eu gosto mais de jogar são jogos de desporto. Aluno 10 – Sim, porque aprendemos e é divertido. Aluno 11 – Sim, porque aprendemos a jogar. Aluno 12 – Gostei de jogar os jogos. Aluno 13 – Sim, acho que jogar é importante. Aprendemos muito. Aluno 14 – Sim, porque divirto-me e aprendo.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
236
3) Que tipo de jogos preferes? Aluno 1 – Ouri. Aluno 2 – Jogos do tipo Rastros, Ouri, Hex, dominó de números. Aluno 3 – Damas, Gamão, Rastros, Hex. Aluno 4 – Hex, Rastros e Ouri. Aluno 5 – Jogos de acção (PC). Aluno 6 – Todos. Aluno 7 – De cartas. Aluno 8 – Rastros, Hex (jogos de tabuleiro). Aluno 9 – Jogos de desporto. Aluno 10 – Rastros, Jogo do Hex, e outros de raciocínio. Aluno 11 – Jogos que envolvam desporto. Aluno 12 – Tabuleiro. Aluno 13 – Gosto de jogos como o Ouri, Hex, etc. Aluno 14 – Jogos de Estatística. 4) Na tua opinião, o que aprendes ao jogar um Jogo? Aluno 1 – Aprendo a concentrar-me melhor e é uma maneira de me interessar mais pela matéria. Aluno 2 – Aprende-se a conviver, e a relembrar matérias dadas. Aluno 3 – Aprendemos coisas sobre o Jogo. Aluno 4 – Aprendo a fazer contas. Aluno 5 – Muitas coisas. Aluno 6 – As regras e a jogar. Aluno 7 – Aprendi a perceber mais de Matemática. Aluno 8 – Aprendo a raciocinar melhor e a fazer contas de cabeça mais rapidamente. Aluno 9 – A capacidade de conseguir resolver problemas. Aluno 10 – Aprendo a pensar rápido e a usar o raciocínio. Aluno 11 – Saber mais sobre esse Jogo. Aluno 12 – Estratégias. Aluno 13 – Estes jogos ajudaram-me mais na Matemática. Aluno 14 – Muita coisa, depende muito do Jogo. 5) Que jogos de tabuleiro conheces? Aluno 1 – Rastros, Hex, Ouri. Aluno 2 – Monopólio. Aluno 3 – Damas, Xadrez, Gamão, Monopólio. Aluno 4 – Hex. Aluno 5 – Monopoly, Damas, O Jogo da Glória, etc. Aluno 6 – Damas, Rastros, Ouri, Monopólio. Aluno 7 – Ouri, Hex, Rastros. Aluno 8 – Rastros, Hex, Xadrez, Damas, Intersecções. Aluno 9 – Damas, Xadrez, Monopoly, Rastros, etc. Aluno 10 – Rastros, Hex, Xadrez, Damas, Intersecções. Aluno 11 – Damas, Monopólio, Xadrez, Rastros, Hex. Aluno 12 – Damas, Monopólio, Xadrez, Rastros, Hex. Aluno 13 – Hex, Rastros. Aluno 14 – Monopólio, “Poutigo”, Detective, etc.
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
237
6) Gostaste do Projecto desenvolvido em Área de Projecto ao longo do ano? Aluno 1 – Sim, porque é bom jogar em grupo. Aluno 2 – Sim, foi interessante. Aluno 3 – Gostei. Aluno 4 – Sim, diverti-me muito a jogar. Aluno 5 – Sim. Aluno 6 – Sim, gostei muito. Aluno 7 – Sim. Aluno 8 – Sim, muito! Aluno 9 – Sim, porque fazer jogos é engraçado. Aluno 10 – Sim, muito. Aluno 11 – Sim, gosto de jogar. Aluno 12 – Sim. Aluno 13 – Sim. Acho que devíamos fazer mais actividades destas. Aluno 14 – Sim.
7) Porquê? Aluno 1 – Porque jogámos muito e aprendemos mais. Aluno 2 - Construi e joguei o meu próprio Jogo. Também relembrei. Aluno 3 – Porque aprendemos muitas coisas. Aluno 4 – Gosto de aprender novos jogos. Aluno 5 – Porque aprendemos a jogar. Aluno 6 – Porque é muito interessante. Aluno 7 – Porque aprendemos muito. Aluno 8 – Porque adoro jogos. Aluno 9 – Porque foi giro fazer os jogos para depois jogarmos com eles. Aluno 10 – Porque adoro os jogos. Aluno 11 – Porque gosto de jogar jogos. Aluno 12 – Porque fizemos os jogos em grupo. Aluno 13 – Mais divertido e aprendemos mais Matemática. Aluno 14 – Porque são interessantes e é bastante fácil aprender a desenvolver, etc.
8) O que mais gostaste? Aluno 1 – Jogar o Ouri. Aluno 2 – De construir e jogar o Ouri. Mas também gostei do dominó. Aluno 3 – O Jogo “Tio Papel de Trigonometria”. Aluno 4 – Do Jogo do Hex. Aluno 5 – De jogar. Aluno 6 – De tudo. Aluno 7 – De tudo. Aluno 8 – De jogar o Ratros e o Hex e competir com os meus colegas. Aluno 9 – De jogar. Aluno 10 – Jogar o Hex. Aluno 11 – De jogar. Aluno 12 – De jogar. Aluno 13 – De trabalhar em grupo e de ultrapassar algumas dificuldades na Matemática. Aluno 14 – Basicamente de tudo.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
238
9) Na tua opinião desenvolveste mais competências através da Aprendizagem pelo Jogo?
Aluno 1 – Acho que sim. Aluno 2 – Sim, também relembrei. Aluno 3 – Sim, aprendi mais sobre o seno, co-seno, etc. Aluno 4 – Sim, mais conhecimentos. Aluno 5 – Sim, porque aprendi Matemática. Aluno 6 – Sim, muitas. Aluno 7 – Sim, consegui desenvolver mais competências. Aluno 8 – Sim, porque a jogar tinha mais interesse. Aluno 9 – Sim, porque através da aprendizagem do Jogo, aprendi a resolver melhor as equações. Aluno 10 – Sim desenvolvi. Aluno 11 – Sim, porque desenvolvi a minha aprendizagem. Aluno 12 – Sim, como por exemplo a Trigonometria. Aluno 13 – Sim, aprendi mais Matemática através do Jogo. Aluno 14 – Sim, um pouco. Pode desenvolver um pouco mais as minhas capacidades. 10) Se a Professora voltasse a sugerir este tema para Área de
Projecto aceitavas trabalhá-lo com empenho?
Aluno 1 – Sim, porque seria agradável. Aluno 2 – Sim, porque gostei. Aluno 3 – Gostava muito. Aluno 4 – Sim. Gosto muito de jogar. Aluno 5 – Sim, porque é interessante. Aluno 6 – Claro que sim. Aluno 7 – Sim, trabalhava com bastante empenho! Aluno 8 – Sim, porque gosto de jogos. Aluno 9 – Sim, porque acho que é fixe construir os jogos. Aluno 10 – Adorava, pois jogar é divertido. Aluno 11 – Sim, porque gosto deste tema. Aluno 12 – Sim, porque gostei de jogar. Aluno 13 – Sim, trabalhava como trabalhei este ano. Aluno 14 – Sim, porque é sempre interessante.
Bom Trabalho!
Patrícia Marques
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Tratamento do Inquérito Final de Área de Projecto
A este inquérito final apenas responderam 14 alunos da turma. Foram
aqueles que estiveram presentes na última aula de Área de Projecto.
1)
O que mais gostas de fazer nas aulas de Matemática ? N.º alunos Jogos 6 Resolver exercícios 3 Contas 2 Equações e Inequações 1 Geometria 1 Não respondeu 1
Nesta primeira questão, comparando com as respostas dos alunos no
Inquérito Inicial, houve uma subida de 33% para 43% na preferência pelos
jogos. A resolução de exercícios decresceu de 29% para 22%. As restantes
respostas alteraram-se, mantendo-se apenas o número de alunos que não
respondeu.
2)
Gostas de Jogar? N.º alunos Sim 14 Não 0
43%
22%
14%
7%
7%
7%
O que mais gostas de fazer nas aulas de Matemática?
Jogos
Resolver exercícios
Contas
Equações e Inequações
Geometria
Não respondeu
100%
0%
Gostas de Jogar?
Sim
Não
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Nesta segunda questão todos os alunos referem gostar de jogar, o que
voltou a subir a percentagem. Cinco alunos referem o aspecto diversão como
justificação para o gosto pelo Jogo e seis alunos referem o factor da
aprendizagem para o mesmo.
3)
Que tipo de jogos preferes? N.º alunos Jogos do CNJM5r 7 Jogos de Tabuleiro 3 Jogos de Desporto 2 Jogos de cartas 1 Jogos de Estatística 1 Jogos de Raciocínio 1 Dominó de Números 1 Todos 1
Os Jogos preferidos agora pelos alunos são os jogos que aprenderam
do Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos, tendo diminuído em grande
percentagem os Jogos de computador, de 32% para 0%.
4)
Na tua opinião, o que aprendes ao jogar um Jogo ? N.º alunos Raciocinar 5 Matemática 4 Convívio 4 Regras e Jogo 3 Fazer contas de cabeça 2 Muitas coisas 2 Estratégias 2
41%
17%12%
6%
6%
6%
6% 6%
Que tipo de jogos preferes? Jogos do CNJM5
Jogos de Tabuleiro
Jogos de Desporto
Jogos de cartas
Jogos de Estatística
Jogos de Raciocínio
Dominó de Números
Todos
23%
23%
18%
12%
12%
12%
Na tua opinião, o que aprendes ao jogar um jogo?Matemática
Convívio
Regras e Jogo
Fazer contas de cabeça
Muitas coisas
Estratégias
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Os alunos referem agora uma ligação directa entre o Jogo e a aprendizagem da Matemática.
5)
Que jogos de tabuleiro conheces? N.º alunos Rastros 9 Hex 8 Monopólio 8 Damas 8 Xadrez 6 Ouri 3 Intersecções 2 O Jogo da Glória, … 2 Gamão 1
Após um ano lectivo de trabalho nesta turma, os resultados alteraram-se
bastante, e os jogos mais referidos são novamente os jogos do Campeonato
Nacional de Jogos Matemáticos, seguidos dos Jogos a que estão mais
habituados com a família ou com os amigos.
6)
Gostaste do Projecto desenvolvido em Área de Projec to ao longo do ano? N.º alunos Sim 14 Não 0
A partir daqui as perguntas foram alteradas em relação ao Inquérito
Inicial, uma vez que não faziam sentido voltar a repeti-las e havia necessidade
de reformular novas questões.
19%
17%
17%17%
13%
7%
4% 4% 2%
Que jogos de tabuleiro conheces?RastrosHexMonopólioDamasXadrezOuriIntersecçõesO Jogo da Glória, …Gamão
100%
0%
Gostaste do Projecto desenvolvido em Área de Projec to ao longo do ano?
Sim
Não
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Todos os alunos envolvidos no Projecto afirmam ter gostado de o
desenvolver. Na questão seguinte são apresentados os motivos.
7)
Porquê? N.º alunos Aprendizagem 5 Construção dos Jogos 3 Gosto de Jogar 3 Novos Jogos 2 Interessante 2 Divertido 1
É com satisfação que ao ler as respostas dadas pelos alunos chego a
estes resultados. Os próprios alunos chegaram à conclusão que é possível
aprender através dos Jogos, e que isso torna a tarefa mais interessante e
divertida.
8)
O que mais gostaste ? N.º alunos Jogos 4 De tudo 3 Hex 3 Ouri 2 Rastros 1 Dominó 1 Tio Papel de Trigonometria 1 De trabalhar em grupo 1 Ultrapassar dificuldades em Matemática 1
31%
19%19%
12%
13%6%
Porquê?Aprendizagem
Cosntrução dos Jogos
Gosto de Jogar
Novos Jogos
Interessante
Divertido
23%
17%
18%
12%
6%
6%
6%
6%6%
O que mais gostaste?Jogos
De tudo
Hex
Ouri
Rastros
Dominó
Tio Papel de Trigonometria
De trabalhar em grupo
Ultrapassar dificuldades em Matemática
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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9)
Na tua opinião desenvolveste mais competências atra vés da Aprendizagem pelo Jogo?
N.º alunos
Sim 14 Não 0
Todos os alunos referiram que sim e as razões apresentadas são:
“aprendi mais sobre o seno, co-seno, etc.”; “mais conhecimentos”; “porque
aprendi Matemática”; “porque a jogar tinha mais interesse”; “porque através da
aprendizagem do Jogo, aprendi a resolver melhor as equações”; “porque
desenvolvi a minha aprendizagem”; “como por exemplo a Trigonometria”;
“aprendi mais Matemática através do Jogo”; “pode desenvolver um pouco mais
as minhas capacidades”.
100%
0%
Na tua opinião desenvolveste mais competências através da Aprendizagem pelo Jogo?
Sim
Não
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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10)
Se a Professora voltasse a sugerir este tema para Á rea de Projecto aceitavas trabalhá-lo com empenho?
N.º alunos
Sim 14 Não 0
Os motivos apresentados pelos alunos são: porque é interessante; o
gosto pelo Jogo; o prazer da construção dos Jogos; porque é divertido.
100%
0%
Se a Professora voltasse a sugerir este tema para Á rea de Projecto aceitavas trabalhá-lo com empenho?
Sim
Não
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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Conclusão Final
Como linha de orientação de trabalho de investigação, defini duas
questões, às quais procuro agora apresentar uma resposta.
- Que competências são desenvolvidas através da implementação do
Jogo em sala de aula em contexto turma?
• Desenvolvimento do raciocínio lógico;
• A destreza manual, a lateralidade, as noções de quantidade e de
sequência, as operações básicas mentais, aquando da aplicação das
regras em cada Jogo, por exemplo, o sentido convencional do Jogo —
sentido anti-horário;
• O uso de processos organizados de contagem na abordagem de
problemas combinatórios simples, por exemplo, os conceitos de
probabilidade, de acontecimentos aleatórios, de acontecimentos
equiprováveis e não-equiprováveis;
• A procura de padrões e regularidades e a formulação de generalizações;
• No contexto numérico, durante o desenvolvimento de cada Jogo de
forma a encontrar estratégias ganhadoras.
• Relacionar harmoniosamente o corpo com o espaço, numa perspectiva
pessoal e interpessoal;
• Mobilizar saberes culturais e científicos de forma a valorizar as
diferentes formas de conhecimento, comunicação e expressão;
• Desenvolver a curiosidade intelectual, do gosto pelo saber, pelo trabalho
e pelo estudo;
• Desenvolver a capacidade de adoptar estratégias adequadas à
resolução de problemas e à tomada de decisões;
• Realizar actividades de forma autónoma, responsável e criativa;
• Cooperar com outros em tarefas e projectos comuns.
Julho 2009
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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- Que resultados reflecte a implementação do Jogo com temáticas
programáticas do Currículo Nacional de Matemática para o 9º ano de
escolaridade, em termos de avaliação dos alunos?
Com a implementação em sala de aula e análise dos jogos
mencionados, concluo que o Jogo habilita o aluno a compreender mais
profundamente os conceitos:
• Compreender os números, formas de representação dos números,
relações entre números e sistemas numéricos; (Números e Operações)
• Compreender o significado das operações e o modo como elas se
relacionam entre si; (Números e Operações)
• Calcular com destreza e fazer estimativas plausíveis; (Números e
Operações)
• Compreender padrões, relações e funções; (Álgebra)
• Representar e analisar situações e estruturas matemáticas, usando
símbolos algébricos; (Álgebra)
• Analisar a variação em diversos contextos; (Álgebra)
• Analisar as características e propriedades de formas geométricas
bidimensionais e desenvolver argumentos matemáticos acerca de
relações geométricas; (Geometria)
• Aplicar técnicas, ferramentas e fórmulas adequadas para determinar
medidas; (Medida)
• Desenvolver e avaliar inferências e previsões baseadas em dados;
(Análise de Dados e Probabilidades)
• Compreender e aplicar conceitos básicos de probabilidades; (Análise de
Dados e Probabilidades)
• Analisar e reflectir sobre o processo de resolução matemática de
problemas; (Resolução de Problemas)
• Reconhecer o raciocínio e a demonstração como aspectos fundamentais
da Matemática; (Raciocínio e Demonstração)
• Seleccionar e usar diversos tipos de raciocínio e métodos de
demonstração; (Raciocínio e Demonstração)
• Organizar e consolidar o seu pensamento matemático através da
comunicação; (Comunicação)
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
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• Comunicar o seu pensamento matemático de forma coerente e clara aos
colegas, professores e a outros; (Comunicação)
• Analisar e avaliar as estratégias e o pensamento matemático usados por
outros; (Comunicação)
• Reconhecer e usar conexões entre ideias matemáticas; (Conexões)
• Reconhecer e aplicar Matemática em contextos exteriores a ela própria;
(Conexões)
• Criar e usar representações para organizar, registar e comunicar ideias
matemáticas. (Representação)
Estas Normas foram desenvolvidas e ajudaram na aquisição das
competências específicas citadas em cada Jogo, reflectindo-se
positivamente na avaliação interna dos alunos, como analisado na página
236, em análise de resultados, resultando num sucesso de 85% no nono
ano de escolaridade.
Normas e conceitos, bem como competências específicas, ficaram por
abordar, esperando nova oportunidade de as desenvolver em próximos
anos lectivos, pela Utilização Pedagógica do Jogo .
Patrícia Marques
Utilização Pedagógica do Jogo – Um estudo de caso
249
-Avedon, Elliot Morton; Sutton-Smith, Bruan, The Study of Games, San Antonio
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-Fonseca, Cristina Natália Nogueira da, Interacções em Pequenos Grupos em
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Lectivo 2006/2007, Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de
Coimbra.
Referências na Internet:
http://maarup.net/thomas/hex/
http://matematica.no.sapo.pt/hex/hex.html
http://ludicum.org/
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