Variáveis Aleatórias e Principais Modelos Discretos VICTOR HUGO LACHOS DAVILA AULA 6-8:

Variáveis Aleatórias e Principais Variáveis Aleatórias e Principais Modelos DiscretosModelos Discretos

VICTOR HUGO LACHOS DAVILAVICTOR HUGO LACHOS DAVILA

AULA 6-8:AULA 6-8:

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VARIÁVELVARIÁVEL ALEATÓRIA ALEATÓRIA

Vamos incorporar o conceito de probabilidade ao estudo de variáveis associadas a características em uma população.

3

Variável Aleatória (v.a.):Variável Aleatória (v.a.): Uma função X que associa a cada elemento do espaço amostral um valor num conjunto enumerável de pontos da reta é denominada variável aleatória discreta.

Se o conjunto de valores é qualquer intervalo de números reais, X é denominada variável aleatória contínua.

4

Exemplos:

1) Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos.

2) Observar o tempo de reação a um certo medicamento.

={(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF)}

Defina X: nº. de crianças do sexo masculino (M).Então X é uma v.a. discreta que assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}.

Defina X: tempo de reação ao medicamento. X é uma v.a. contínua que assume qualquer valor real positivo.

5

O termo aleatório indica que a cada possível valor da v.a. atribuímos uma probabilidade de ocorrência.

1 )xP(X e 1 )xP(X 0n

1iii

Uma função de probabilidade deve satisfazer:

VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETAVARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

Função de probabilidade( f.p.)Função de probabilidade( f.p.):: É a função que atribui a cada valor xi da v. a. discreta X sua probabilidade de ocorrência e pode ser apresentada pela tabela:

6

O Departamento de Estatística é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros do departamento. Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres?

Vamos definir a v.a.X: nº de mulheres na comissão.

Exemplo 1:

7

8

= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.

Qual é a probabilidade de cada ponto wi de ?

Exemplo 2: Um dado é lançado duas vezes de forma independente. Qual é a probabilidade da soma dos pontos ser menor do que 6?

Admitindo que o dado é perfeitamente homogêneo e sendo os lançamentos independentes, então P(wi) = 1/36 , wi .

9

Defina X: soma dos pontos.

Então,

P (X < 6) = P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2) = 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 = 10/36 = 0,278

Função de probabilidade de X:

10

Podemos estar interessados em outras v.a.’s.Y: valor máximo obtido dentre os dois lançamentos

Z: diferença entre os pontos do 2º e do 1º lançamento

U: pontos do 2º lançamento

11

MÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. MÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. discretas)discretas)Qual é o valor médio da soma dos pontos no

lançamento de dois dados?

Valor EsperadoValor Esperado (média):(média): Dada a v. a. X, assumindo os valores x1, x2, ..., xn, chamamos de valor médiovalor médio ou valorvalor esperadoesperado ou esperança matemáticaesperança matemática de X o valor

No exemplo,E(X) = 2.(1/36) + 3. (2/36) + ... + 11. (2/36) + 12. (1/36) = 252/36 = 7

ou seja, em média, a soma dos pontos no lançamento dos dois dados é 7.

E(X) μ Notação:

n

1iiinn11 )x.P(Xx)x.P(Xx...)x.P(Xx E(X)

12

Variância: É o valor esperado da v.a. (X – E(X))2, ou seja, se X assume os valores x1, x2, ..., xn,

Da relação acima, segue que

.Var(X)DP(X)

Desvio PadrãoDesvio Padrão:: É definido como a raiz quadrada positiva da variância, isto é,

Notação: Var(X).σ2

Notação: DP(X).σ

)xP(X .E(X)] - [x Var(X) i

n

1i

2i

.[E(X)] – )E(X Var(X) 22

13

83.,536210

361 7) - (12

362 7) - (11 ...

362

7) - (3 361 7) - (2 Var(X) 2222

No exemplo,

83,5436

1974

361 12

362 11 ...

362 3

361 2 )E(X 22222

Alternativamente, poderíamos calcular

e, portanto, Var(X) = 54,83 – 72 = 5,83.

14

1) Se Y = aX + b, onde a e b são constantes, então E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b e Var(Y) = Var(aX + b) = a2 Var(X).

2) Se X1, X2, ..., Xn são n variáveis aleatórias, então

E(X1 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn).

Propriedades:Propriedades:

Se X1, X2, ..., Xn são independentes, então

Var(X1 + ... + Xn) = Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn).

15

A função de distribuição ou função de distribuição acumulada de uma variável aleatória discreta (ou continua) X é definida, para qualquer valor real x, pela seguinte expressão:

Função de Distribuição Acumulada (f.d.a.)Função de Distribuição Acumulada (f.d.a.)

)()( xXPxF

Observe que o domínio de F é todo o conjunto dos números reais, ao passo que o contradomínio é o intervalo [0,1]

16

Considere o experimento que consiste no lançamento independente de uma moeda duas vezes. Seja a v.a. X: nº de caras obtidas. Encontre a f.d.a. da v.a. X.

2 s ,121 se ,75,010 se ,25,0

0 e ,0

)()(

xexx

xs

xXPxF

Gráficar !

Exemplo 3

17

No exemplo 1 usando a tabela da f.p. de X: nº de mulheres na comissão.

3 s ,1 32 se ,975,0 21 se ,684,010 se ,203,0

0 e ,0

)(

xexxx

xs

xF

Gráficar !

a f.d.a. de X será dada por

Exemplo 4

18

Da relação anterior se estamos interessados na probabilidade de se ter até duas mulheres na comissão a resposta é imediata:

975,0)2()2( XPF

0 1 32

0.203

0.684

0.9751

x

F(x)

19

Principais modelos probabilísticos discretos

1. Modelo Uniforme Discreto

Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores são representados por x1, x2...,xk. Dizemos que X segue o modelo Uniforme discreto se atribui a mesma probabilidade( 1/k) a cada um desses k valores, isto é sua f.p. é dada por

Exemplo 5: Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado, e estamos interessados na v.a. X: No da face obtida. Neste caso todos os possíveis resultados ocorrem com a mesma probabilidade e, assim, podemos dizer que a probabilidade se distribui uniformemente entre os diversos resultados, ou seja, podemos escrever a seguinte f.p. :

Distribuição de uma v.a. Uniforme Discreta

contrario caso 0,k.1,2,...,i 1/k,

)xP(X i

X 1 2 3 4 5 6P(X=xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/61/6

20

Notação: X~Ud(x1,..,xk)

Se X~Ud(x1,..,xk), pode-se mostrar que:

k

iixk

XE1

1)(

k

i

n

ii

ik

xx

kXVar

1

2

12 })(

{1)(

No exemplo 5, temos que:

5,3)654321(61)( XE

9,2}6/21)362516941{(61)( 2 XVar

Obter a f.d.a. !

21

2. Modelo Bernoulli

Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultadosExemplo:1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é

positivo ou negativa.3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.

Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadas genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso.Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli.

22

Distribuição de uma v.a. de Bernoulli

Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com probabilidade de sucesso p, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo a função de probabilidade é dada por:

xP(X=x)

0 1

1-p p

Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p

Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:E(X)=pVar(X)=p(1-p).Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo Binomial.

ccxpp

xXPxfxx

.;01,0;)1(

)()(1

Obter a f.d.a. !

23

3. Modelo BinomialExemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade da variável X, número de caras nos 3 lançamentos.Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k).O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é:={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}Seja, Xi é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3). Então a variável X=X1+X2+X3, representa o número de caras nos 3 lançamentos.

Probabilidade X1 X2 X3 X=X1+X2+X3

FFF (1-p)3 0 0 0 0 FFS (1-p)2p 0 0 1 1 FSF (1-p)2p 0 1 0 1 SFF (1-p)2p 1 0 0 1 FSS (1-p)p2 0 1 1 2 SFS (1-p)p2 1 0 1 2 SSF (1-p)p2 1 1 0 2 SSS P3 1 1 1 3

24

3

2

2

3

})({)3(

)1(3}),,({)2(

)1(3}),,({)1(

)1(})({)0(

pSSSPXP

ppSSFSFSFSSPXP

ppSFFFSFFFSPXP

pFFFPXP

Daí temos que:

A função de probabilidade da v.a. X é dada por:

3223 )1(3)1(3)1()()(

3210

ppppppxXPxf

x

O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:

)!3(!!33

.,0

3,2,1,0,)1(3

)(3

xxxonde

cc

xppxxf

xx

25

Distribuição de uma v.a. Binomial

Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por:

Binomial. ecoeficient o representa,)!(!

!

.,0

,,1,0,)1()(

xnxn

xn

onde

cc

nxppxn

xfxnx

Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p.

Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:E(X)=npVar(X)=np(1-p).

26

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

x

P(X

=x)

p=0,1

0 2 4 6 8

0.00

0.20

x

P(X

=x)

p=0,3

0 2 4 6 8

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,5

0 2 4 6 8

0.00

0.20

x

P(X

=x)

p=0,8

Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p

27

0 5 10 15 20

0.00

0.20

x

P(X

=x)

p=0,1

0 5 10 15 20

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,3

0 5 10 15 20

0.00

0.10

x

P(X

=x)

p=0,5

0 5 10 15 20

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,8

Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p

28

0 10 20 30

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,1

0 10 20 30

0.00

0.10

x

P(X

=x)

p=0,3

0 10 20 30

0.00

0.10

x

P(X

=x)

p=0,5

0 10 20 30

0.00

0.15

x

P(X

=x)

p=0,8

Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p

29

O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla escolha, consistente em 10 questões, cada uma com 5 alternativas. Suponha que nenhum dos estudantes que vão a fazer a prova vão as aulas e não estudaram para a prova (o que é muito freqüente). O professor estabeleceu que para aprovar deve contestar corretamente pelo menos 6 questões. Qual a probabilidade de um aluno aprovar?.S: “questão respondida corretamente”F:”questão respondida incorretamente”A probabilidade se sucesso é constante e c/ estudante responde independentemente a questãoSolução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10 questões. Então o evento de interesse é: P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p).

cc

xxxf

xx

.,0

10,,1,0,54

5110

)(

10

A probabilidade de um aluno aprovar é: 0,00636006369,0)6(1)6( XPXP

Exemplo 2.

30

Suponha uma urna com 20 bolas brancas e 15 bolas pretas, extraímos da urna consecutivamente e com reposição 12 bolas. Encontre a probabilidade de se obter 5 bolas brancas.

Exemplo 3.

S: “obter uma bola branca em cada extração”F:” obter uma bola preta em cada extração”

A probabilidade se sucesso é constante em c/ extração e os resultado são independentes em cada extração.

Solução:Seja a v.a. X: número de bolas brancas (sucessos) nas 12 extrações da urna. Então o evento de interesse é:

P(S)=4/7 e P(F)=3/7. Logo, X~B(12,4/7).

cc

xxxf

xx

.,0

12,,1,0,73

7412

)(

12

0.12)5()5( XPfA probabilidade de obter 5 bolas brancas é:

31

4. Modelo HipergeométricoSuponha uma população finita de N elementos, dividida em duas classes. Uma classe com M (M<N) elementos (sucessos) e a outra com N-M elementos (fracasso). Por exemplo, no caso particular de N peças produzidas, podem ser consideradas as classes: M artigos defeituosos e (N-M) artigos não defeituosos.Uma amostra aleatória de tamanho n (n<N) é sorteada sem reposição é sorteada dessa população. A v.a. X definida como, o número de elementos com a característica de interesse (sucesso) na amostra de tamanho n. A função de probabilidade da v.a. X, é dada por:

cc

Mnx

nN

xnMN

xM

xf X

.,0

),min(,0,)(

Notação, X~H(N,M, n), para indicar que v.a. X tem distribuição Hipergeométrica parâmetros N, M e n.

NMp

NnNpnpXVarnpXE

com ),1

)(1()( ,)(

32

Exemplo 3.

Em um Departamento de inspeção de recebimento, lotes de eixo de bomba são recebidos periodicamente. Os lotes contêm 100 unidades, e o seguinte plano de amostragem de aceitação é usado. Seleciona-se uma amostra aleatória de 10 unidades sem reposição. O lote é aceito se a amostra tiver, no máximo, um defeituoso. Suponha que um lote seja recebido e que 5% é defeituoso. Qual é probabilidade que seja aceito o lote? X: Número de defeituosos na amostra

X~H(100,5,10)

923,0

10100

990

110

10100

1090

010

)1()0()1()(

XPXPXPloteoaceitarP

33

Observação: Se X~H(N,M,n) e n/N< 0,10. Então X~B(n, M/N).

Exemplo. Foram colocados em uma caixa 100 peças, 40 dos quais foram fabricados pela industria B e as outras pela industria A. Foram sorteadas aleatoriamente, sem reposição, 8 peças, qual é a probabilidade de que 4 sejam da industria A?

Seja X: número de peças da industria A na amostra. Então X~H(100,40,8).

.2395,0

10100

440

460

)4(

XP

Já que, 8/100=0,08<0,10. Então, X~B(8, 60/100) (aproximadamente).

.2322,04,06,048

)4( 44

XP

34

5. Modelo Poisson

Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida)

Exemplo:1. Número de consultas a uma base de dados em um minuto.2. Número de casos de Dengue por kilometro quadrado no

estado de SP3. Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de

uma geladeira.4. Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma

empresa num intervalo de tempo (digamos das 8,0 a.m. às 12,0 a.m.).

5. Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m.

35

Onde: X: número de eventos discretos em t unidades de medida,: media de eventos discretos em uma unidade de medida,t: unidade de medida= t: media de eventos discretos em t unidades de medida

Notação: X~P(), para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com parâmetro . Pode-se mostrar que se X~P()E(X)= , Var(X)=

Uma variável discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro se sua função de probabilidade é dada por:

..;0

,2,1,0!)(

cc

xx

exf

x

Distribuição de uma v.a. Poisson

36

0 40 80

0.00

0.15

x

P(X

=x)

P(4)

0 40 80

0.00

0.08

x

P(X

=x)

P(10)

0 40 80

0.00

0.06

x

P(X

=x)

P(20)

0 40 80

0.00

0.04

x

P(X

=x)

P(50)

37

Exemplo 4. Suponha que a central telefônica de uma empresa de grande porte recebe em média 3 chamadas cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que a central recepcione 2 ou menos chamadas em um intervalo de 2 minutos?Se X: número de chamadas que recebe a central telefônica da empresa em 2 minutos, então, X ~P(). Aqui t=2 e =3/4=0,75, então =(0,75)(2)=1,5. Ou seja X~P(1,5)

.808847,0]25,15,11[)2()1()0()2(

....3,2,1,0,!

5,1)(

25,1

5,1

eXPXPXPXP

xx

exf

x

38

A Distribuição Poisson Como Aproximação da Distribuição Binomial

A distribuição Binomial para x sucessos em n ensaios de Bernoulli ´e dada por:

.,,0,)1()( nxppxn

xXP xnx

Se =np, p=/n, substituindo p na função probabilidade temos

x

n

xxnx

n

nxn

xnnnnx

nxXP

1

1

!1121111)(

!)(,

xexXPtemosnFazendox

39

Exemplo 5. A probabilidade de um rebite particular na superfície da asa de uma aeronave seja defeituosa é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a probabilidade de que seja instalados não mais de seis rebites defeituosos?Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então, X~B(400,0,001)

6

0

400 .8894,0999,0001,04000

)6(x

xx

xXP

Usando a aproximação de Poisson, =4000(0,001)=4 X~P(4)

6

0

4

.889,0!4)6(

x

x

xeXP

40

Teorema: Se nXX ,,

1 são variáveis aleatórias independentes, com

distribuição de Poisson com parâmetros, n ,,1 , respectivamente,

então a variável aleatória, nXXY

1

tem distribuição de Poisson com parâmetro, n

1

.

Exemplo 6. Em uma fabrica foram registradas em três semanas a média de acidentes: 2,5 na primeira semana, 2 na segunda semana e 1,5 na terceira semana. Suponha que o número de acidentes por semana segue um processo de Poisson. Qual é a probabilidade de que haja 4 acidentes nas três semanas?Seja a variável aleatória,

iX : número de acidentes na i-ésima

semana, i=1,2,3. )(~ii

PX , então, a v.a. , 321 XXXY tem distribuição de Poisson com parâmetro, 65,125,2 .(y~P(6))

1339,0!46)4(

46

eYP