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Capítulo 9‐ Controlo Digital
CONTROLO1º semestre 2007/20081º semestre – 2007/2008
Cap 9 – Breve Introdução ao Controlo Digital
Transparências de apoio às aulas teóricas
Cap 9 Breve Introdução ao Controlo DigitalEduardo Morgado
Maria Isabel RibeiroMaria Isabel RibeiroAntónio Pascoal
Novembro de 2007Novembro de 2007
Todos os direitos reservadosã d d fi di i d l f
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
Cap.9 ‐ 1
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Objectivo e Sumário
O é l di i l ?O que é o controlo digital ?
Componentes de um sistema de controlo digitalp g
Como se projectam controladores digitais
Técnicas de projecto
Projecto por emulação
A transformada z
ReferênciasReferênciaso Cap.8 – do livro de Franklin, Powel, Naemi, 5ª edição (referência principal)o Maria Isabel Ribeiro, Análise de Sistemas Lineares, ISR Press, 2002 (Secção
2.13)
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
2.13)o Notas de Eduardo Morgado
Cap.9 ‐ 2
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Diagrama de blocos básicos
Processo( )( )( ) ( )
Controlador contínuo
G(s)C(s)+_
y(t)e(t)r(t) u(t)
y(t)1
Sensor
y(t)
Processo
algoritmo de controlo
Controlador digital
G(s)+_
y(t)e(kT)r(t) u(kT)Equação às diferenças
D/Au(t)
r(kT)
1y(kT)
Clock
A/Dy(t)
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
Sensor
Cap.9 ‐ 3
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Diagrama de blocos básicos
P
algoritmo de controlo
Controlador digital
G(s)
Processo
+_
y(t)e(kT)r(t) u(kT)Equação às diferenças
D/Au(t)
r(kT)
1y(kT)
Clock
A/Dy(t)
1
Sensor
A/D
• O cálculo do erro e o controlador são implementados em computador digital
• O controlador digital actua sobre amostras da saída (contínua) do processo
• A saída do controlador digital é gerada por uma equações algébricas recursivas
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
sinais contínuossinais digitais
Cap.9 ‐ 4
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Componentes do controlador digital
Conversor A/D = Conversor Analógico Digital
A/Dy(t)
Clock
A/D
sinal contínuosinal digital
A/D
• Amostra um sinal contínuo e converte cada amostra num número binário com um
número de bits que depende da resolução do A/D Usualmente 10 ou 16 bitsnúmero de bits que depende da resolução do A/D. Usualmente 10 ou 16 bits
• Entrada = sinal contínuo
• Saída = sinal digital
• A conversão ocorre com período de amostragem T
• Usualmente o computador tem um relógio que fornece interrupts a cada T segundos. O
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
A/D envia um número para o computador de cada vez que lhe chega uma interrupção
Cap.9 ‐ 5
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Componentes do controlador digital
Amostrador ideal
y(t)
Clock
y(kT)
sinal contínuosinal discreto
y(t) y(kT)
t t0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T t
Nesta análise vamos considerar amostradores ideais• i e desprezar erros de quantificação devidos à resolução finita do conversor
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
• i.e., desprezar erros de quantificação devidos à resolução finita do conversorA amplitude de cada amostra é um valor real
Cap.9 ‐ 6
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Componentes do controlador digital
Conversor D/A = Conversor Digital Analógico
u(kT) D/Au(t)
• converte um sinal digital num sinal analógico
• Retentores de amostrasd d Z d H ld (ZOH)
Clock
de ordem zero = Zero order Hold (ZOH)de primeira ordem = First Order Hold (FOH)
• ZOH = a saída num intervalo [kT, (k+1)T[ é igual à [ , ( ) [ gentrada no instante kT
u(kT) u(t)
t0 T 2T 3T 4T 5T 6Tt0 T 2T 3T 4T 5T 6T
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
tZOH
Cap.9 ‐ 7
Capítulo 9‐ Controlo Digital
ZOH: Retentor de amostras de ordem zero
• Qual é a Função de Transferência de um ZOH?Q ç
• Sabendo qual é a resposta (TL da resposta) para uma entrada(TL da entrada) pode obter‐se a Função de Transferência(TL da entrada) pode obter‐se a Função de Transferência.
)(tδ
ZOH0
)(tδ
TImpulso de DiracResposta ao impulsoZOH Resposta ao impulso
)()()( Ttututh −−=
see
ssthTLsH
sTsT
−− −
=−==111)]([)(
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 8
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Transformada z
x(t) x*(t)( ) x (t)
x(t)
amostrador ideal
tt
∑∑∞∞
−=−=* )()()()()( kTtkTxkTttxtx δδ
amostrador ideal
∑∑==
==00
)()()()()(kk
kTtkTxkTttxtx δδ
x[k]
x(kT)x(t)
t d id l
x(t) – sinal causal contínuo
x[k]– sinal causal discreto
k
amostrador idealresultado de uma amostragem de x(t) com intervalo de amostragem T
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
kTttxkx
== )(][
Cap.9 ‐ 9
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Transformada z
x(t) – sinal causal contínuo x[k]– sinal causal discreto resultado de uma amostragem de x(t) com intervalo de amostragem T
{ })]([)( txTLsX u= { }][)( kxZzX =Transformada de Laplace unilateral Transformada z unilateral
dtetxsX st∫∞
−= )()( ∑∞
=
−=0
][)(k
kzkxzX0 =0k
• x[k] resulta da amostragem de x(t)• Existe alguma relação entre X(s)=TL(x(t)] e X(z)=Z{x[k]}?g ç ( ) ( ( ) ( )
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 10
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Transformada z
)(txt
∑∑∞
=
∞
=
−=−=00
* )()()()()(kk
kTtkTxkTttxtx δδ Sinal contínuo resultante da amostragem ideal de x(t)
amostragem
== 00 kk amostragem ideal de x(t)
∞ ∞∞
TL unilateral
dtkTtekTxdtetxtxTLsXk
stst ∑ ∫∫=
−− −===0 00
*** )()()()]([)( δ
skTe−∑∞
=
−=0
* )()(k
sTkekTxsX
∑∞
k
x[k] =x(kT)
sTesXzX = )()( *
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
∑=
−=0
][)(k
kzkxzX ez=
Cap.9 ‐ 11
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Algumas propriedades da transformada z
][kx ∑∞
−== ][]}[{)( kzkxkxZzX][ ∑=0
][]}[{)(k
Teorema do valor inicial )(lim]0[ zXx =Teorema do valor inicial )(lim]0[ zXxz ∞→
=
Teorema do valor final )()1(lim][lim 1 zXzkx −−= )()1(lim][lim1
zXzkxzk →∞→
convolução )()(]}[*][{ zYzXkykxZ =ç )()(]}[][{ y
shift )(]}[{ zXznkxZ n−=− )(}{condições iniciais nulas
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 12
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Relação entre pólos de X(s) e pólos de X(z)
)()( kTkT akT−
Exemplo
)()( tuetx at−=)()( kTuekTx akT=
sinal amostrado
10 1
1)( −−−
∞
=
−
−==∑ ze
zezX aTk
k
akT
X 1)(zX )(
Plano complexo s Plano complexo z
assX
+=)( aTez
zX −−=)(
pólo de X(s) em s=‐a pólo de X(z) em z=e‐aT
T período de amostragem
sT
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
sTez =Cap.9 ‐ 13
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Relação entre pólos de X(s) e pólos de X(z)
T período de amostragemsTez =
Relação entre os pólos da transformada de Laplace de um sinal
contínuo e os pólos da transformada z do sinal resultante da
amostragem, com período T
Esta relação é geral
Não há uma relação geral para os zeros
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 14
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Estabilidade
Pólos no semi‐plano complexo esquerdop p q
0<±= σωσ com js
Pólos correspondentes no plano z
TjTsT ωσ ± TjTsT eeez ωσ ±== (T>0)
0<σ 1<= Tez σ
Condição de estabilidade (assimptótica) para sistemas causais em tempo discreto descritos por funções de transferência racionais em z:
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 15
⇔ Todos os pólos no interior do círculo unitário no plano‐z
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Estabilidade
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 16
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Localização de pólos no plano‐z e Resposta Transitória
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 17
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Localização de pólos no plano‐z e Resposta Transitória
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 18
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Sistema discreto “visto” pelo computador
Controlador digital
Sistemacontínuo
Sistemadiscreto
G(s)
Processo
+_
y(t)e(kT)r(t) u(kT)Equação às diferenças
D/Au(t)
r(kT)Processo
y(kT)A/D
y(t)
Computador
G(s)
Processo
+_
y(t)e(kT)r(t) u(kT) y(kT)A/D
Equação às diferenças
D/Au(t)
r(kT)
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
Sistema discreto visto pelo computador
Cap.9 ‐ 19
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Sistema discreto “visto” pelo computador
( )(kT) (kT)
Sistema discreto visto pelo computador
G(s)
Processo
y(t)u(kT) y(kT)A/DZOH
u(t)
Vai admitir‐se que o D/A é um ZOH
Gd(z)u(kT) y(kT)
d
Pergunta: Qual é a função de transferência Gd(z) que relaciona a sequência numérica u(kT) fornecida pelo computador ao conversor D/A (no modonumérica u(kT) fornecida pelo computador ao conversor D/A (no modo ZOH) com a sequência numérica y(kT) à saída do conversor A/D ?
Resposta: • Teste‐se o sistema com uma entrada (discreta) conhecida• Calcule‐se a resposta correspondente• A FT é o quociente da Transformada z da saída pela Transformada z da entrada.
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 20
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Sistema discreto “visto” pelo computador
y(t)u(kT) y(kT)u(t)
Sistema discreto visto pelo computador
G(s)
Processo
y( )( ) y( )A/DZOH
u(t)
T
][][ kTkTu δ= )()( Ttutu −−
TL
T
se
s
sT−
−1
TL
se sT−−1
=sesGsY
sT−−=
1)()(
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
s sTL do sinal de entrada de G(s)
TL do sinal de saída de G(s)
Cap.9 ‐ 21
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Sistema discreto “visto” pelo computador
y(t)u(kT) y(kT)u(t)
Sistema discreto visto pelo computador
G(s)
Processo
y( )( ) y( )A/DZOH
u(t)
sesGsY
sT−−=
1)()(
( ))()( 1 sYTLty −=
⎟⎞
⎜⎛ − −e sT1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= −
sesGTLty 1)()( 1
tkT )()(kTt
tykTy=
= )()(sTesGTLkTy
−−
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ −
=1)()( 1
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
kTts
sGTLkTy=
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
= )()(
Cap.9 ‐ 22
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Sistema discreto “visto” pelo computador
y(t)u(kT) y(kT)u(t)
Sistema discreto visto pelo computador
G(s)
Processo
y( )( ) y( )A/DZOH
u(t)
T
][][ kTkTu δ=
T
sT
sesGTLkTy−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
1)()( 1
kTts
=⎟⎠
⎜⎝
Transformada z Transformada z
1} == ][{)( kTZzU δ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −==
−−
sT
sesGTLZkTyZzY 1)()}({)( 1
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
⎪⎭⎪⎩ ⎠⎝ =kTts
Cap.9 ‐ 23
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Sistema discreto “visto” pelo computador
( )(kT) (kT)
Sistema discreto visto pelo computadorGd(z)
G(s)
Processo
y(t)u(kT) y(kT)A/DZOH
u(t)
1} == ][{)( kTZzU δ⎪
⎪⎬⎫
⎪
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −==
−−
sTesGTLZkTyZzY 1)()}({)( 11} ][{)( kTZzU δ
⎪⎭⎬
⎪⎩⎨ ⎟
⎠⎜⎝ =kTt
sy )()}({)(
⎬⎫
⎨⎧
⎟⎞
⎜⎛−= −− sGTLZzzY 1)()1()( 11
⎭⎬
⎩⎨ ⎟
⎠⎜⎝
==kTts
sGTLZzzY )()1()(
⎫⎧ ⎞⎛ 1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
=
−−
kTtd s
sGTLZzzG 1)()1()( 11
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−= − sGZzzGd
)()1()( 1
Notação abreviada
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
⎭⎩ s
Cap.9 ‐ 24
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Metodologias de projecto de controladores digitais
Sistema contínuo a controlar Modelo discretoAmostragem
Projecto de controlador em t di t
Projecto de controlador em
PROJECTO DIRECTO
tempo discretotempo contínuo
PROJECTO POR EMULAÇÃO
Controlador discretoControlador contínuoAproximação
Equação às diferenças (ou a equivalente função de transferência C(z)) a
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
função de transferência C(z)) a implementar no computador digital
Cap.9 ‐ 25
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Controlo Digital Directo
?Sistema contínuo a controlar Modelo discreto
Amostragem= Gd(z)
?
Projecto de controlador em t di t
PROJECTO DIRECTO
tempo discretoDados:• Especificações pólos no plano‐s
Controlador discretoz=esT
pólos no plano‐z
Equação às diferenças (ou a equivalente função de transferência C(z)) a
Cadeia de acção= Gd(z)
Projecto no plano‐z
não vai ser objecto de
estudo nesta
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
função de transferência C(z)) a implementar no computador digital disciplina
Cap.9 ‐ 26
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Projecto por Emulação
Sistema contínuo a controlar
G(s)
Projecto de controlador em t títempo contínuo
PROJECTO POR EMULAÇÃO
Controlador discretoControlador contínuo
AproximaçãoC(s) C(z)
Equação às diferenças (ou a equivalente função de transferência C(z)) a G(s)C(s)
+
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
çimplementar no computador digital_
Cap.9 ‐ 27
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Projecto por Emulação
Projecto por Emulaçãoj p ç• projecto no plano‐s, seguido de discretização do controlador
Dadosados• G(s) – processo a controlador• especificações da resposta temporal em tempo contínuo, em malha fechada
Etapas do processoi. Especificações –> pólos desejados no plano‐s –> escolha e
dimensionamento do controlador C(s)( )ii. Escolha do período de amostragem, Tiii. A partir de C(s) e de T, encontrar o controlador digital
“equivalente” C(z)iv. Usar análise digital, simulação ou experimentação para validar o
projecto e fazer ajustes nos parâmetros se necessário
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 28
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Discretização de C(s)
• C(z) = aproximação discreta de C(s)( ) p ç ( )
• C(z) controlador equivalente a C(s)
• Como encontrar?Como encontrar?– Não há uma solução exacta
• C(z) tem apenas acesso às amostras do sinal de entrada nos instantes de amostragem enquanto C(s) processa continuamente no tempoamostragem, enquanto C(s) processa continuamente no tempo
• Dois métodos:– Mapeamento dos pólos e zeros
– Método de Tustin ou da transformação bilinear
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 29
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Discretização de C(s): Mapeamento dos pólos e zerosapea e to dos pó os e e os
• Os pólos de C(z) e de C(s) relacionam‐se como z=esT
d ( ) d ( ) l T• Os zeros de C(z) e de C(s) relacionam‐se como z=esT
• Ganhos estáticos iguais: C(s)|s=0 =C(z)|z=1| |
É atraente pela simplicidade
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 30
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Discretização de C(s): Método de Tustin
• Baseia‐se numa aproximação numérica da integração
Exemplo
E(s) U(s) sUC 1)()(E(s) U(s)C(s) ssE
sC)()()( ==
C(s) é um integrador puro
)()()()(
tetusEssU
==
&∫=t
detu0
)()( ττ
álid d ≥0válido para todo o t, t≥0
∫=kT
dekTu0
)()( ττÁrea de e(t) no intervalo [(k‐1)T, kT]
∫∫−
−
+=kT
Tk
Tk
dedekTu)1(
)1(
0
)()()( ττττ
∫kT
e(t)
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
∫−
+−=Tk
deTkukTu)1(
)())1(()( ττt(k‐1)T kT
Cap.9 ‐ 31
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Discretização de C(s): Método de Tustin
• Método de Tustion– A área é aproximada trapezoidalmenteA área é aproximada trapezoidalmente
∫kT
dTkkT )())1(()( e(t) Aproximação da área
∫−
+−=Tk
deTkukTu)1(
)())1(()( ττ e(t)
t(k‐1)T kT
)]())1(([2
)()1(
kTeTkeTdekT
Tk
+−≅∫ ττ2)1( Tk−
)]())1(([2
))1(()( kTeTkeTTkukTu +−+−≅
)}({)( kTZUh d )}({)( kTuZzU =chamando
)]()([2
)()( 11 zEzEzTzUzzU ++= −−
1
1
1)1(
2)()()( −
−
−+
==zzT
zEzUzC
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
)(
Cap.9 ‐ 32
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Discretização de C(s): Método de Tustin
11
1
1)1(
2)()()( −
−
−+
==zzT
zEzUzCs
sC 1)( =
Esta aproximação numérica corresponde à relação
⎟⎞
⎜⎛ −12 z (transformação bilinear)⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+=
1zTs (transformação bilinear)
• A discretização por aplicação do método de Tustin, preserva a estabilidade• Mapeia o semi‐plano complexo esquerdo (plano‐s) no círculo de raio unitário
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
(plano‐z)• A transformação bilinear (derivada para um exemplo) aplica‐se em qq. caso geral
Cap.9 ‐ 33
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Método de Tustin: Exemplo
aC )( ?)(Cas
asC+
=)( ?)( =zCpor aplicação do método de Tustin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=112
zz
TsPólo em s=‐a
Sem zeros
azz
T
azC+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=
112
)(
zT ⎠⎝ +1
zaC 1)( +Pólo em z=‐(a‐2/T)/(a+2/T)
TaTaz
Ta
zC
/2/2.2)(
+−
++=Zero em z=‐1
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 34
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Projecto por Emulação
Projecto por Emulaçãoj p ç• projecto no plano‐s, seguido de discretização do controlador
Dadosados• G(s) – processo a controlador• especificações da resposta temporal em tempo contínuo, em malha fechada
Etapas do processoi. Especificações –> pólos desejados no plano‐s –> escolha e
dimensionamento do controlador C(s)( )ii. Escolha do período de amostragem, Tiii. A partir de C(s) e de T, encontrar o controlador digital
“equivalente” C(z)iv. Usar análise digital, simulação ou experimentação para validar o
projecto e fazer ajustes nos parâmetros se necessário
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 35
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Projecto por Emulação: Escolha da frequência de amostragemamostragem
Como escolher o intervalo de amostragem T ?g
202≥=
πω Largura de banda ( 3dB) da malha fechada.20≥=Tsω Largura de banda (‐3dB) da malha fechada
valor em rad/svalor em rad/s
T intervalo de amostragem (seg)
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 36
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Projecto por Emulação: Exemplo
G(s)
Processo
+ y(t)e(kT)r(t) u(kT)Equação às diferenças
D/Au(t)
(kT) _
y(kT)A/D
y(t)r(kT)
505,0)(
+=
ssG
5,0+s
Especificações pretendidas (em cadeia fechada) na resposta ao escalão
• erro em regime permanente nulo
• Sobreelevação ≅ 16%
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
• Tempo de estabelecimento a 5% ≅ 10 seg
Cap.9 ‐ 37
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Projecto por Emulação: Exemplo
Etapas do processoi. Especificações –> pólos desejados no plano‐s –> escolha e
dimensionamento do controlador C(s)
Processo
G(s)
Processo
C(s)+_
y(t)e(t)r(t) u(t)
Pólos desejados no plano‐s (supostos dominantes)
• Sobreelevação ≅ 16%T d b l i 5% 10 (supostos dominantes)• Tempo de estabelecimento a 5% ≅ 10 seg
S1,2=‐0,3 ± j0,51
• erro em regime permanente nulo na• erro em regime permanente nulo, na resposta à entrada escalão
Controlador PI
asKsC +=)(
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
s)(
Cap.9 ‐ 38
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Projecto por Emulação: Exemplo
)()(1)()(
)()(
sGsCsGsC
sRsY
+=
05,0
5,0.1 =+
++
saasKequação característica
,
05,0)()5,0( =+++ asKss
Polinómio característico desejado
S=‐0,3 ± j0,51 035,06,02 =++ ss
por comparação
K=0,20a = 3 5
ssC )5,3(200)( +=
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal
a = 3,5ssC 20,0)( =
Cap.9 ‐ 39
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Projecto por Emulação: Exemplo
Resposta ao escalão Root‐Locus
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 40
Capítulo 9‐ Controlo Digital
Projecto por emulação: Exemplo
Etapas do processoii. Escolha do período de amostragem, T
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Capítulo 9‐ Controlo Digital
Projecto por emulação: Exemplo
Etapas do processoiii. A partir de C(s) e de T, encontrar o controlador digital “equivalente” C(z)
Utilizando o método de Tustin (ou transformação bilinear)
)(0589,0)(34,0)()( zEzzEzUzzU −=− Equação às diferenças implementada em computador digital
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)(0589,0)1(34,0)()1()(,)(,)()(kekekuku −+=−+ )1(0589,0)(34,0)1()( −−=−− kekekuku
q ç ç p p g
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Etapas do processoiv. Usar análise digital, simulação ou experimentação para validar o projecto e
fazer ajustes nos parâmetros se necessário
Simular em tempo discreto
Gd(z)C(z)+_
1)176,0(340,0)(
−−
=zzzC
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
=
−−
kTtd s
sGTLZzzG 1)()1()( 11com
5,05,0)(
+=
ssG
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⎭⎩
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)176,0(340,0)( −=
zzC1
)(−z
⎬⎫
⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= −−
d sGTLZzzG 1)()1()( 11com
5,0)( =sG⎭⎬
⎩⎨ ⎟
⎠⎜⎝ =kTt
d s)()()( com
5,0)(
+s
50 ⎞⎛)()1(
)5,0(5,0 5,01 tue
ssTL t−− −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
)()()5,0(
5,0 5,01 kTuekTuss
TL kT
kTt
−− −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ),(
kTt=⎠⎝
zzTLZ 1 5,0− −=⎪⎬⎫⎪
⎨⎧
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
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TkTt
ezzssTLZ 5,01)5,0( −
=−
−−
=⎪⎭⎬
⎪⎩⎨ ⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ +
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⎬⎫
⎨⎧
⎟⎞
⎜⎛−= −− sGTLZzzG 1)()1()( 11
⎭⎬
⎩⎨ ⎟
⎠⎜⎝
==kTt
d ssGTLZzzG )()1()(
181,01)1()(5,0
1 −⎟⎞
⎜⎛ −
− ezzGT
819,0,
1)1()( 5,05,0
1
−=
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−−= −− zezezz
zzG TTd
T=0,4seg
G (z)C(z)+ Y(z)R(z)Gd(z)C(z)+
_
808075810109,00615,0
)()(
2 +−−
=zz
zzRzY
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808,0758,1)( +− zzzR
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O que acontecerá se na escolha do período de amostragem nos d d édesviarmos do critério
.202≥=s
πω Largura de banda (‐3dB) da malha fechada ?Ts
Seja T=1seg
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