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Modelos de probabilidade - MACS 11.º
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Modelo de Probabilidade
• É um modelo que descreve matematicamente um fenómeno aleatório em duas partes: primeiro, identifica os valores da variável aleatória e, em seguida, associa a cada um deles o valor da respetiva probabilidade. Cada uma destas probabilidades tem que estar entre 0 e 1 (ou 0% e 100%) e a soma de todas as probabilidades é 1 (ou 100%).
Modelo de Probabilidade
Experiência Aleatória – Identificação do espaço de Resultados
Correspondência entre os elementos do Espaço de resultados e um valor (quantitativo)
Atribuição, a cada um dos valores anteriores, a respetiva probabilidade.
Exemplo:X: “lançamento de duas moeda e observação das faces voltadas para cima”
E = {(N,N), (N,C), (C,N), (C,C)}
Correspondência:
“Número de faces N observadas”:
xi = 0, 1, 2
xi 0 1 2
pi 1/4 1/2 1/4
População
Valor Médio
E(X) ou
Variância Populacional
Var(X) = 2
Amostra
Média
Variância Amostral
Var = s2
x
Valor Médio e Variância Populacional
População
E(X) = =
=
Var(X) = 2 =
=
Amostra
Var = s2 =
=
ii
ii
frx
N
fxx
ii px
2)( ii xp 2)( xxfr ii
Valor Médio e Variância Populacional
Exemplo:X: “lançamento de duas moeda e observação das faces voltadas para cima”
xi 0 1 2
pi 1/4 1/2 1/4
E(X) = = 14
12
2
11
4
10ii px
Var(X) = 2 =
707,05,0
5,0124
111
2
110
4
1)(
2222
ii xp
Modelo Discreto
• Associado a uma variável aleatória discreta.
– Exemplos:
• N.º de faces Nacionais observadas no lançamento de duas moedas (modelo finito);
• N.º de telefonemas atendidos por hora na central telefónica da EBSO (modelo infinito – modelo de Poisson).
Modelo Contínuo
• Associado a uma variável aleatória contínua.
– Exemplos:
• Tempo até ser atendido na fila supermercado (modelo infinito – modelo Exponencial);
• Duração de um anuncio publicitário (modelo infinito –modelo Uniforme);
• Altura dos rapazes aos 18 anos (modelo infinito –modelo normal).
Modelos finitos e Modelos infinitos
Modelos
Finitos - Definidos com auxílio de diagramas ou observações. Apresentam-se em tabelas.
É o caso do modelo trabalhado anteriormente.
Infinitos – Funções obtidas por modelação. Podem apresentar-se por meio de uma expressão algébrica.
Discretos
Uniforme Poisson Geométrico Binomial
Contínuos
Uniforme Exponencial Normal
Modelos teóricos (infinitos)
• Modelos discretos:– Modelo uniforme – todos os acontecimentos do espaço
têm a mesma probabilidade.
– Modelo de Poisson – determina a probabilidade se observarem um determinado número de vezes um dado acontecimento de uma experiência num determinado período de tempo.
– Modelo Geométrico – determina a probabilidade de o número de realizações de dada experiência até se obter um valor dado ser igual a k.
– Modelo Binomial – Determina a probabilidade de, em n repetições de uma certa experiência em iguais condições, se observar exactamente k vezes o acontecimento xi.
Modelos teóricos (infinitos)
• Modelos contínuos:– Modelo Uniforme – a probabilidade distribui-se de
igual forma num dado intervalo de tempo.
– Modelo Exponencial – determina a probabilidade de o tempo de espera para a realização de dado acontecimento se situar num determinado intervalo.
– Modelo Normal – Modela a maioria das distribuições contínuas e aproxima de forma adequada as distribuições discretas quando o número de realizações da experiência que lhes está associada é grande (>20).
Modelos teóricos (infinitos)
• Para cada uma das variáveis aleatórias caracterizadas pelos modelos referidos vamos estudar:– A Expressão do modelo (se X …, então,
P(X=k)=…)
– O valor médio (E(X)= =…)
– A variância e o desvio padrão populacional (Var(X)=… e =…)
– Como usar a calculadora para calcular probabilidades com base em cada um dos modelos.
Modelos infinitos discretos:Modelo Uniforme
• Seja X uma variável aleatória cujo o espaço de resultados é composto por n acontecimentos elementares equiprováveis. Então:
– X U (n) e P(X=k) = 1/n
– O valor médio (E(X)= = média entre o maior e o menor valor da v.a.)
– A variância e o desvio padrão populacional calculam-se usando as listas e o “varstat” do menu STAT da calculadora.
Modelos infinitos discretos:Modelo de Poisson
• Seja X uma variável aleatória que descreve o número de realizações de um dado acontecimento num determinado período de tempo, sobre a qual se sabe que a média de realizações é . Então, X é modelada por uma distribuição de Poisson:
– X P( ) e P(X=k) =
– O valor médio é E(X)= =– A variância é Var(X)=
– Calculadora: Seja X P(5); então, P(X=6) = 0,146 (2nd/distr/poissonpdf(5,6)/enter); P(2≤X≤6) = P(X ≤ 6)-P(X ≤1) = 0.7621-0.0404 =0.7217 (poissoncdf(5,6)-poissoncdf(5,1)/enter)
,...3 ,2 ,1 ,0 ,!
kk
ek
Modelos infinitos discretos:Modelo Geométrico
• Seja X uma variável aleatória que modela o número de repetições de uma determinada experiência necessárias até que se obtenha o resultado xi, em que a probabilidade de ocorrer xi é p (entre 0 e 1) e de não ocorrer é 1-p. Então, X é modelada por uma distribuição Geométrica de parâmetro p:
– X Geom(p) e P(X=k) =
– O valor médio é E(X)= = 1/p– A variância é Var(X)= (1-p)/p2
– Calculadora: Seja X Geom(0.3); então, P(X=6) = 0.75x0.3 = 0.05 (ou 2nd/distr/Geometpdf(0.3,6)/enter); P(2≤X≤6) = P(X ≤ 6)-P(X ≤1) = Geometcdf(0.3,6)-Geometcdf(0.3,1)/enter=0.5824
pp k 1)1(
Modelos infinitos discretos:Modelo Binomial
• Seja X uma variável aleatória que modela a probabilidade de um acontecimento xi se realizar k vezes em n realizações de uma dada experiência. A probabilidade de xi é p (entre 0 e 1) e de não acontecer xi é q = 1-p. Então, X é modelada por uma distribuição Binomial de parâmetros n e p:
– X Bi(n,p) e P(X=k) =
– O valor médio é E(X)= = n x p
– A variância é Var(X)= n x p x (1- p) = n x p x q
– Calculadora: Seja X Bi(5, 0.3); então, P(X=3) = 0.1323 (2nd/distr/Binompdf(5,0.3,3)/enter); P(2≤X≤4) = P(X ≤ 4)-P(X ≤1) = Binomcdf(5,0.3,4)-Binomcdf(5,0.3,1)/enter=0.4694
knkn
k ppC )1(
Modelos infinitos contínuos
• Um modelo de probabilidades diz-se contínuo se lhe está associada uma v. a. Contínua. Neste caso, o domínio do modelo será o intervalo ou intervalos onde está definida a variável. À função modelo chamamos função densidade e o seu gráfico situa-se completamente acima do eixo dos xx.
Modelos discretos vs Modelos contínuos
Soma das probabilidades associadas a cada valor da v.a. é 1
P(a≤X≤b) = P(X=a) + P(X=a+1) + (…) + P(X=b)
Discretos
Área total compreendida entre o gráfico da função densidade e o eixo dos xx é 1
P(a≤X≤b) = área compreendida entre o gráfico e o eixo dos xxna barra correspondente ao intervalo [a , b].
Contínuos
Modelos infinitos contínuos:Modelo Uniforme
• Associado a v.a. contínuas que se encontram uniformemente distribuídas num intervalo [a,b], isto é, uma v.a. em que, dados quaisquer dois valores do intervalo, a probabilidade que lhes está associada é exatamente a mesma. Seja X uma v.a. Uniforme em [a,b]. Então:
– X U[a,b] e P(c ≤ X ≤ d) =
(área do retângulo de lados d-c e b-a)
– O valor médio é E(X)= = (a+b)/2– Obs.: P(a ≤ X ≤ b) = 1.
bdca ,ab
cd
Modelos infinitos contínuos:Modelo Exponencial
• Seja X uma variável aleatória que modela a probabilidade de o tempo de espera (entre chegadas numa fila de espera, entre falhas num dispositivo eletrónico, entre chegadas de um pedido a um servidor de Internet, etc.) se situar num dado intervalo, então X é modelada por uma distribuição Exponencial de parâmetro :
– X Exp( ) e P(a ≤ X ≤ b) =
– O valor médio é E(X)= =1/
– Não existe esta distribuição na calculadora. Assim, seja
X Exp(0.2) (significa que, por exemplo, o tempo médio de
espera é 1/0.2 = 5); então, P(2 ≤ X ≤ 6) =
ba ee
369.062.022.0 ee
Modelos infinitos contínuos:Modelo Normal
• Baseia-se na distribuição Normal, que é a mais importante distribuição contínua, já estudada no 10.º ano (características no manual).
• Se X N( , ), então:– O valor médio é E(X)=
– A variância é Var(X)= 2;
– é o desvio-padrão populacional
– Calculadora: P(a≤X≤b) = normalcdf(a,b, , ). Exemplo:
Seja X N(5, 0.7); então, P(4≤X≤6) = normalcdf(4,6,5,0.7)=0.8469
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