Cap 7 - Modelos de Probabilidade

PEDRO A. BARBETTA Estatstica Aplicada s Cincias Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.


Como usar modelos de probabilidade para entender melhor os fenmenos aleatrios

Captulos 7 e 8.


Estatstica Aplicada s Cincias SociaisEstatstica Aplicada s Cincias SociaisSexta EdioSexta Edio

Pedro Alberto Barbetta

Florianpolis: Editora da UFSC, 2006

Cap. 7 Cap. 7 Modelos de Modelos de probabilidadeprobabilidade


ProbabilidadeProbabilidade

Universo do estudo (populao)Hipteses, conjeturas, ...

Resultados ou dados observados

O raciocnio dedutivo da probabilidade


Modelos de probabilidadeModelos de probabilidade

Os modelos probabilsticos so construdos a partir de certas hipteses ou conjeturas sobre o problema em questo e constituem-se de duas partes: 1) dos possveis resultados o espao amostral e

2) de uma certa lei que nos diz quo provvel cada resultado (ou grupos de resultados) as probabilidades.


Exemplo de um Exemplo de um experimento aleatrioexperimento aleatrio

Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se homem ou mulher.

Resultados possveis: homem, mulher

Espao amostral = {homem, mulher}


Probabilidade de um resultadoProbabilidade de um resultado

Qual a probabilidade de homem e de mulher?

P(homem) = 0,5

P(mulher) = 0,5

A probabilidade um nmero entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possveis deve ser 1.

50% homens50% mulheres


Modelo de probabilidadesModelo de probabilidades

20%

30%

50%

bom/timoregularruim/pssimo

POPULAO

Opinio a respeitodo governo

AMOSTRA:uma pessoa observadaao acaso

Resultado Probab.

bom/timo 0,20regular 0,30ruim/pssimo 0,50


ExemploExemplo

Lanar um dado e observar a face voltada para cima.

Suponha que o dado seja perfeitamente equilibrado e o

lanamento imparcial.

Espao amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6


EventoEvento

Evento = um conjunto de resultados (um subconjunto do espao amostral)

Ex.

Espao amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6

Eventos: A = nmero par, B = nm. menor que 3

A = {2, 4, 6} B = {1, 2}

P(A) = 1/2, P(B) = 2/6 = 1/3


Varivel aleatriaVarivel aleatria

Varivel aleatria = caracterstica numrica dos resultados de um experimento

Ex.X = nmero de caras em 2 lanamentos de uma moeda;

Y = percentagem de intenes de voto do candidato AAA numa amostra de 2.000 eleitores a ser extrada aleatoriamente em Santa Catarina.


Exemplo de distribuio de probabilidadesExemplo de distribuio de probabilidades

X = nmero de caras emdois lanamentos de uma moeda;

x p(x)0 0,251 0,52 0,25

0

0,25

0,5

1 2 3

x

p(x)

0 1 2

0

0,25

0,5

1 2 3

x

p(x)

0 1 2


Construo de distribuies de probabilidades. Construo de distribuies de probabilidades. Ex:Ex:

Sortear n = 2 bolascom reposio

X = nmero de bolas pretas na amostra


3/5

2/5

3/52/5

3/52/5


x p(x)0 9/25 (0,36)1 12/25 (0,48)2 4/25 (0,16)

(10) (20)


Exemplo:Exemplo:


3/5

2/5

2/42/4

3/41/4


x p(x)0 6/20 (0,30)1 12/20 (0,60)2 2/20 (0,10)

(10) (20)

Sortear n = 2 bolassem reposio

Exemplo:Exemplo:


X = nmero de bolaspretas na amostra

x p(x)0 0,301 0,602 0,10

Distrib. de Xsem reposio

Distrib. de Xcom reposiox p(x)0 0,361 0,482 0,16

independncia

Sortear n = 2 bolas


IndependnciaIndependncia

Dois eventos so independentes quando a ocorrncia de um deles no altera a probabilidade da ocorrncia do outro.

Tem-se independncia: em amostragens aleatrias com reposio;

em amostragens aleatrias sem reposio, mas quando a populao for muito maior que a amostra (p. ex., N > 20n).


Experimento binomialExperimento binomial

consiste de n ensaios;

cada ensaio tem somente dois resultados: sim / no;

os ensaios so independentes, com P(sim) = (0 < < 1 constante ao longo dos ensaios).

X = nmero de sim nos n ensaios


Distrib. de Xx p(x)0 0,361 0,482 0,16

binomial comn = 2 e = 0,40

Ver Tabela 2(apndice)


X = nmero de bolaspretas na amostra

Exemplo:Exemplo:


70%

30%

favorvelcontrrio

POPULAOOpinio a respeitodo governo

AMOSTRA: 10 pessoasobservadas ao acaso

X = nm. de favorveisna amostra

binomial comn = 10 e = 0,7

Experimento binomial (Exemplo)Experimento binomial (Exemplo)


Experimento binomial (exemplo)Experimento binomial (exemplo)

Qual a probabilidade de exatamente sete indivduos da amostra serem favorveis?

(X binomial n = 10 = 0,7)

P(X = 7) = p(7) = 0,2668

n x = 0,7010 0 0,0000

1 0,00012 0,00143 0,00904 0,03685 0,10296 0,20017 0,26688 0,23359 0,121110 0,0282

Tabela da binomial


Experimento binomial (exemplo)Experimento binomial (exemplo)

Qual a probabilidade de a maioria da amostra ser de favorveis?

(X binomial n = 10 = 0,7)

P(X > 5) =

= p(6) + p(7) + p(8) + p(9) + p(10)

n x 0,70

10 0 0,00001 0,00012 0,00143 0,00904 0,03685 0,10296 0,20017 0,26688 0,23359 0,121110 0,0282

Tabela da binomial

= 0,8497


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,1

0,2

0,3

x

p(x)

X > 5

X binomial com n = 10 = 0,7

P(X > 5) = 0,8497 (Tabela 2)


Mdia e varinciaMdia e varincia

X: varivel aleatria

possveis valores: X1, X2, ... Xk probabilidades: p1, p2, ... pk

Mdia:

Varincia:

=i

iipX

( ){ } =i

i2

i2 p X


Mdia e varinciaMdia e varinciana na distribdistrib. binomial. binomial

X: binomial n, . Ento:

Mdia: = n

Varincia: 2 = n(1 - )

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