Upload
dinhtuong
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
AUTOVALOR EM MEIOS
HETEROGÊNEOS VIA
TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL
GENERALIZADA
NELSON RODRIGUES BRAGA JUNIOR
MARÇO DE 2015
NELSON RODRIGUES BRAGA JUNIOR
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE AUTOVALOR EMMEIOS HETEROGÊNEOS VIA
TRANSFORMAÇÃO INTEGRALGENERALIZADA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânicada UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção do tí-tulo de Mestre em Ciências em Engenharia Me-cânica
Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (PGMEC/UFF)
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
NITERÓI, MARÇO DE 2015
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE AUTOVALOR EMMEIOS HETEROGÊNEOS VIA
TRANSFORMAÇÃO INTEGRALGENERALIZADA
Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma finalpela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:
Leandro Alcoforado Sphaier (Ph.D.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
(Orientador)
Leonardo Santos de Brito Alves (Ph.D.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
Diego Campos Knupp (D.Sc.)Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ
Resumo
O presente trabalho apresenta uma solução para o problema de Sturm-Liouville
bidimensional com variação de propriedades no domínio. A solução foi desenvol-
vida utilizando a Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT), um método
analítico-numérico baseado na expansão de autofunções ortogonais geradas através da
solução do problema de Sturm-Liouville. Além das autofunções auxiliares convenci-
onais, utilizou-se uma metodologia de modo a separar estas autofunções em camadas
buscando melhorar a convergência do método. O problema de Sturm-Liouville é de
grande importância para resolução de problemas de condução, convecção e problemas
conjugados de transferência de calor, quando utiliza-se a GITT. Três casos foram anali-
sados, cada um contendo diferentes variações para a condutividade térmica do material.
O método foi validado utilizando os resultados para o caso que possui solução analí-
tica, através da analise do erro dos autovalores e autovetores obtidos. Alem disto uma
comparação entre a GITT e o método de diferenças finitas é realizada mostrando que
o método proposto alcança melhores resultados com um menor custo computacional.
A formulação com autofunções separadas por partes apresentou menor magnitudes do
erro em relação ao caso com autofunções simples, entretanto , exigindo maior tempo
computacional.
Palavras-Chave: GITT, Problema de autovalor, Difusão, Propriedades variáveis.
v
Abstract
The present paper shows the solution for the Sturm-Liouville two-dimensional pro-
blem with variation of proprieties in the domain. The solution was developed using the
Generalized Integral Transform Technic (GITT), a hybrid analytic-numerical method
based in orthogonal eigenfunctions expansions, beside conventional eigenfunctions, it
was proposed a solution with layer eigenfunctions to achieve better convergence ra-
tes for the method. This formulation is very important for the solution of conduction,
convection and conjugated heat problems, when the GITT is used. Three different ca-
ses were study, each one with different thermal conductivity variation in the material.
The method were validated for case with analytical solution, through the analysis of
the eigenvalues and eigenvectors error. A comparison between the GITT and the Finite
Difference Method were made, this comparison shows that the proposed method obtain
better results with lower computational cost. The formulation using layers eigenvalues
present lower magnitude of the error, however it demand a higher computational cost.
Key-Words: GITT, Eigenvalues Problem, Diffusion, Variable properties.
vi
Sumário
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Revisão Bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Solução Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Métodos híbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Solução por métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Bibliografia Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Equação Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Solução do problema de autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Escolha das autofunção auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Casos teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Autofunção auxiliar simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Autofunção auxiliar simples com condutividade térmica contínua . . . 18
3.4 Autofunção auxiliar por camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Implementação Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Método das Diferencas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
vii
Sumário viii
4. Resultados e Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1 Caso Homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1 Erro dos autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 Resultados utilizando a GITT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1.1 Caso 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.2 Resultados utilizando o MDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.3 Comparação entre as soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 Análise das autofunções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5. Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6. BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A. Tabelas - Condições de contorno de 1 tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B. Tabelas - Condições de contorno de 2 e 1 tipo . . . . . . . . . . . . . . . 61
Lista de Figuras
3.1 Geometria do problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Diferentes casos testes considerados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Geometria do caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Variação da condutividade térmica com a coordenada η, k∗ = 2 e δ =
1/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Separação por partes das autofunções X e Y . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6 Equação transcendental para os autovalores ωm , para δ= 1/2 e k∗ = 2 . 23
3.7 Malhas Utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.8 Malha uniforme δ= 1/4, ∆= 1/8 e k∗ = 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.9 Malha de Chebyshev Modificada δ= 1/4, ∆= 1/8 e k∗ = 1.2. . . . . . . 26
4.1 Erro absoluto do MDF em função do número de pontos na malha. . . . 29
4.2 Erro absoluto do MDF em função do numero de pontos da malha para
µ3 com k∗ = 1,2 e K=p
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Comparação entre os métodos com condições de Dirichlet . . . . . . . 35
4.4 Comparação entre os métodos com condições de Neumann e Dirichilet 36
4.5 Domínio da Autofunção Y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6 Exemplo de outra distribuição para k∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7 Comparação entre os métodos, k∗ = 1, K=p
2 . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.8 Comparação entre os métodos, k∗ = 1, K=p
2 . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.9 Autofunção Ψp , Caso 1 - CC Dirichlet δ = 1/4, k∗ = 1.2, K=p
2 . . . . 43
4.10 Gráfico do erro RMS dasΨp , Caso 1 - Autofunções Simples - δ = 1/4,
k∗ = 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.11 Gráfico do erro RMS em relação a kmax de Ψp , Caso 2 . . . . . . . . . 45
4.12 Gráfico do erro RMS em relação a kmax de Ψp , Caso 3 . . . . . . . . . 45
A.1 Autofunção Ψp , Caso 1 - CC Dirichlet δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK=21/2 . . 54
ix
Lista de Tabelas
4.1 Autovalores para a GITT com autofunções simples . . . . . . . . . . . 28
4.2 Autovalores para o MDF com malha uniforme . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Caso 1 - Autofunções simples - δ = 1/4, k∗ = 1.2 . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Caso 1 - Autofunções Ym por camadas - δ = 1/4, k∗ = 1.2 . . . . . . . . 31
4.5 Caso 1- Solução contínua - δ = 1/4, k∗ = 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6 Resultados para o Caso 1 usando o MDF , δ = 1/4 . . . . . . . . . . . . 33
4.7 Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =p
2 37
4.8 Caso 3 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =p
2 40
A.1 Caso 1 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.5, KK =1 . 53
A.2 Caso 1 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 2, KK =1 . . 53
A.3 Caso 1 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =1 . 55
A.4 Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =1 . 56
A.5 Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.5, KK =1 . 56
A.6 Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 2, KK =1 . . 57
A.7 Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/2, k∗ = 2, KK =1 . . 57
A.8 Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 2, KK =21/2 . 58
A.9 Caso 3 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =1 . 58
A.10 Caso 3 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/2, k∗ = 1.2, KK =1 . 59
A.11 Caso 3 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.5, KK =1 . 59
A.12 Caso 3 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 2, KK =1 . . 60
B.1 Caso 1 - Condições de contorno de 2 e 1 tipo , δ = 1/2, k∗ = 2, KK =1 61
B.2 Caso 1 TH = 1, T0 = 0, δ = 1/2, k∗ = 2, KK =1 . . . . . . . . . . . . . . 61
B.3 Caso 1 - Condições de contorno de 2 e 1 tipo , δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK
=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B.4 Caso 1 TH = 1, T0 = 0, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =1 . . . . . . . . . . . . . 62
x
Capítulo 1
Introdução
O estudo da difusão de calor em meios heterogêneos tem vasta aplicação para
diferentes tipos de problemas físicos interessantes do ponto de vista da engenharia.
Como meios heterogêneos representativos da engenharia podemos destacar os materi-
ais compósitos, meios porosos, suspensões de partículas, entre outros. Diversos tipos
de soluções utilizando métodos numéricos foram apresentadas para este tipo de pro-
blema. Soluções analítica, baseadas em expansões de autofunções ortogonais, podem
ser usadas como alternativa aos métodos numéricos. Ao utilizar este tipo de solução
é necessário resolver o problema de Sturm-Liouville para a obtenção das autofunções.
A dificuldade do problema de difusão pode ser transferir para a resolução do problema
de Sturm-Liouville. Com isso o problema de difusão é resolvido facilmente através
de uma transformação simples, fazendo com que o problema fique desacoplado. Além
disso, este tipo de solução também pode ser utilizada para resolver problemas de con-
vecção e problemas conjugados onde ocorre difusão e convecção.
Materiais não homogêneos podem apresentar diferentes tipos de combinações e
arranjos Para estes tipos de materiais, desenvolvidos para aplicações especificas, a ca-
racterização de suas propriedades tem que ser feita caso a caso. O uso de materiais
multifásicos em grande parte da industria faz com que, cada vez mais, se tenha incen-
tivos e grandes esforços em pesquisas para estes novos materiais. Do ponto de vista da
engenharia, muitas vezes estamos interessados no comportamento macroscópico dos
1
1. Introdução 2
meios heterogêneos, que pode ser em parte descrito por suas propriedades mecânicas
e térmicas efetivas.
Outros tipos de materiais compósitos que podem ser citados são: Materiais com
gradação funcional1 (FGM), onde a fração volumétrica dos constituintes varia gradu-
almente, gerando uma microestrutura não uniforme com propriedades macroscópicas
continuamente graduadas; materiais compósitos em camadas com variação abrupta das
propriedade; Variação aleatória das propriedades.
1.1 Revisão Bibliografica
Métodos numéricos vem sendo amplamente utilizados para resolver diversos tipos
de problemas físicos. Muitos estudos na literatura tem como principal motivação o
desenvolvimento de novos métodos ou modificação de métodos existentes, visando a
diminuição do custo computacional e um menor erro em seus resultados. Em con-
trapartida aos métodos numéricos, os métodos analíticos continuam sendo estudados
paralelamente em artigos recentes, mostrando que ainda existe um grande numero de
problemas importantes, do ponto de vista da engenharia, que podem ser abordados
analiticamente. Atualmente, os métodos híbridos analíticos-numéricos, impulsionado
pelo desenvolvimento da computação simbólica, tem sido cada vez mais utilizados em
novas pesquisas para resolução de diversos problemas. Esses métodos tem como sua
principal vantagem uma maior compreensão para os parâmetros e também benchmark
para a validação dos problemas resolvidos por métodos numéricos.
1.1.1 Solução Analítica
Na literatura, muitas soluções analíticas foram apresentadas para a condução de ca-
lor em meios anisotrópicos. Mikhailov et al. [1] apresentaram a solução analítica para
o problema unidimensional transiente de condução de calor em um material composto
por camadas, utilizando autofunções ortogonais. A autofunção utilizada é uma auto-
função por partes separada para cada camada, respeitando as condições de contorno e
1 Functionally Graded Materials
1. Introdução 3
sua ortogonalidade no domínio completo. Um procedimento para o calculo do auto-
valores é apresentado de modo a tentar evitar a perda de autovalores, pois as soluções
convencionais da época não o garantiam tendo em vista que o problema de autovalor
não era o de Sturm-Liouville convencional devido a descontinuidade dos coeficientes
da função.
Mikhailov e Ozisik [2], observando a necessidade de uma solução analítica mais
abrangente do que os trabalhos publicados na época, que frequentemente eram desen-
volvidos somente para casos específicos, apresentam em seu livro a solução para sete
classes de problemas lineares transientes de difusão de calor e massa. Utilizando a
Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT) para o desenvolvimento desta solu-
ção geral com o objetivo de apresentar um método unificado para a analise da solução
das sete classes de problemas estudadas pelo autor. As soluções formais obtidas são
aplicáveis a uma ampla faixa de problemas de transferência de calor e massa, incluindo
alguns exemplos de difusão em meios heterogêneos e problemas de transferência de
calor conjugado.
Yan et al. [3] formularam uma solução por series, utilizando o método da sepa-
ração de variáveis, em um material com geometria tridimensional composto por duas
camadas. A solução proposta tem a limitação de não pode ser utilizada para condições
que não sejam de primeiro ou segundo tipo na direção das camadas. Aviles-Ramos
et al. [4], utilizando uma formulação similar a Yan et al. [3], analisando um caso es-
pecífico de um material bidimensional composto por uma camada isotrópica e outra
ortotrópica, com condições de contorno de segundo tipo. O trabalho experimental de-
senvolvido por Dowding e Beck [5] foi utilizado para validação da solução proposta.
1.1.2 Métodos híbridos
A metodologia utilizada para o problema de condução de calor é a Técnica da
Transformação Integral Generalizada (GITT), apresentada inicialmente em [6]. Poste-
riormente sendo aplicada em muitos estudos, dos quais podemos destacar [7–10]. O
método é uma extensão da técnica da transformada integral clássica [2], citada anteri-
1. Introdução 4
ormente. Desenvolvido para resolver uma maior classe de problemas que não podiam
ser resolvidos pela Transformada Clássica. Esta técnica é baseada na expansão de
autofunções ortogonais onde a solução é obtida através da transformação da equação
diferencial parcial em um sistema de equações diferenciais ordinárias. Recentemente
este método foi empregado na analise direta e inversa em problemas de difusão de
calor em meios heterogêneos [11–16]
Na literatura são encontrados diversos estudos que abordam a solução do problema
de Sturm-Liouville de diferentes formas. Pode-se citar como exemplo o método de
Runge Kutta com transformação de Prufer [17, 18], o método da contagem de sinal [19,
20], e a própria GITT [21, 22], usada também para resolver o problema de autovalor
para domínios irregulares [23].
Deve ser mencionado o trabalho recente de Cotta et al. [11] que analisaram o pro-
blema de difusão transiente em meio heterogêneo também utilizando a GITT para
resolver o problema de autovalor, três diferentes problemas de difusão unidmensional
foram analisados. O caso em que ocorre variação abrupta da condutividade térmica foi
representado através de uma função continua.
Naveira-Cotta et al. [15] combinaram o método da transformada integral para o
problema direto, com o problema de autovalor resolvido por GITT, e a inferência
Bayesiana para a solução do problema inverso. O trabalho experimental realizado
por Knupp et al. [24] demostra a validade do método, utilizando a termografia infra-
vermelha para aquisição dos dados experimentais.
Outro método analítico baseado em transformadas integrais é o método quadru-
polo2. Sendo este um método exato pra prever a temperatura transiente em sistemas
lineares [25]. Também bastante utilizado para problemas de difusão de calor unidi-
mensional para materiais com variação de propriedades termofísicas por camadas. A
transformada de Laplace ou de Fourier é utilizada dependendo do regime transiente.
Formulado através deste método Fudym et al. [26] desenvolveram uma abordagem
numérica-analítica com o objetivo de resolver problemas heterogêneos. Segundo o au-
2 Quadrupole Method
1. Introdução 5
tor, esta abordagem é de grande interesse quando lidamos com problemas com meio
semi-infinito ou multicamadas, tendo como vantagem modelar materiais heterogêneos
complexos simplesmente como produto de matrizes, como permitido para o método
quadrupolo para materiais homogêneos.
1.1.3 Solução por métodos numéricos
Recentemente muitos trabalhos utilizaram métodos numéricos para resolução deste
tipo de problema, podemos destacar: Rocha e Cruz [27] que apresentaram um modelo
computacional para calcular numericamente a condutividade térmica efetiva de um
material composto por fibras unidirecionais, considerando uma resistência térmica in-
terfacial entra a partícula e o meio. Matt e Cruz [28], utilizando o método de elementos
finitos, calcularam a condutividade térmica efetiva de um material compósito com mi-
croestrutura 3-D, também levando em consideração a resistência térmica interfacial.
1.1.4 Bibliografia Conjugado
A Técnica da Transformada Integral também tem sido bastante utilizada para re-
solução de problemas de convecção e problemas conjugados de condução-convecção.
Nesta seção serão apresentados alguns trabalhos relevantes para estes casos.
Entre as recentes aplicações da GITT para transferência de calor por convecção em
dutos, deve-se mencionar o trabalho de Nascimento et al. [29] que estudou o escoa-
mento de um fluido não-Newtoniano em dutos de secção circular. Maia et al. [30],
apresentou a solução para escoamentos de fluidos não-newtonianos com seção trans-
versal elíptica.
Cotta et al. [31] analisou o problemas de transferência de calor conjugado de
condução-convecção, propondo um modelo de solução com domínio único, conside-
rando um escoamento desenvolvido dinamicamente e termicamente em desenvolvi-
mento, sem difusão axial. A formulação para domínio único foi estendida em [32],
onde os efeitos de difusão axial foram considerados.
Mikhailov e Cotta [33] aplicaram esta metodologia hibrida para problemas de esco-
1. Introdução 6
amentos em micro-canais para escoamentos em placas paralelas. Além destes estudos
o o problema de Graetz com difusão axial foi investigado por Sphaier [34, 35].
Em aplicações recentes para problemas de conjugados transientes em micro-canais
deve-se mencionar o trabalho de Knupp et al. [36] que, considerando efeitos de difusão
axial, que utilizam a GITT aplicadas a uma formulação com domínio único.
1.2 Objetivos
O presente trabalho tem como principal objetivo a análise do problema de auto-
valor que carrega as informações da variação das propriedades do meio heterogêneo.
Utilizando a Técnica da Transformada Integral Generalizada, buscando novas alterna-
tivas para resolução e escolha de suas autofunção auxiliares. Além dos autovalores
obtidos através do problema de autovalor simples, utilizou-se uma base de autovalores
separados por camadas.
Capítulo 2
Formulação do Problema
Neste capítulo será apresentada uma solução para a equação geral da difusão de
calor utilizando a Técnica da Transformada Integral Clássica. Em seguida a Técnica
da Transformada Generalizada é aplicada na solução do problema de Sturm-Liouville
multidimensional para meios heterogêneos:
2.1 Equação Geral
Uma formulação geral pra o problema de condução de calor transiente, definido
em uma região V com superfície de contorno S, temos:
w(x)∂T (x , t )
∂t= ∇· [k ∇T (x , t )] − d(x)T (x , t ) + P (x , t ) (2.1a)
α(x)T (x , t )+β(x)k∂T (x , t )
∂n= Φ(x , t ) x ∈ S, (2.1b)
T (x ,0) = f (x) (2.1c)
onde n é um vetor unitário, normal a superfície de contorno S, e:
∂
∂n= ∇( ) · n (2.2)
Os coeficientes w(x), k(x) e d(x) carregam as informações do meio heterogêneo e
P (x , t ) representa um termo fonte linear.
7
2. Formulação do Problema 8
A solução do potencial T (x , t ) consiste em transformar o problema de condução
(2.1), utilizando autofunções multidimensionais Ψp , aplicando a Técnica da Transfor-
mada Integral Clássica [2]. O par transformada inversa é definido da seguinte forma:
Tp (t ) =∫V
w(x)T (x , t )Ψp (x)dV, (2.3)
T (x , t ) =∞∑
p=1
Tp (t )Ψp (x)
Np, (2.4)
onde a solução da inversa é obtida através da expansão das autofunções ortogonais
multidimensionais Ψp . A norma Np é calculada da seguinte forma:
Np =∫
w(x)Ψ2p (x)dV (2.5)
As autofunções Ψp são obtidas através do problema de Sturm-Liouville, que con-
tem as informações do meio heterogêneo:
∇· [k(x)∇Ψ(x)] + [µ2 w(x)−d(x)]Ψ(x) = 0 (2.6a)
α(x)Ψ(x)+β(x)k(x)∂Ψ(x)
∂n= 0 x ∈ S, (2.6b)
O problema de condução é transformado aplicando o operador∫
( )Ψp dV na equ-
ção (2.1a). Assim o seguinte sistema diferencial ordinário é obtido:
dTp (t )
dt+ µ2
p Tp (t ) = gp (t ) (2.7a)
O operador∫
( )w(x)Ψp dV é aplicado na equação (2.1c) para transformar a condi-
ção inicial:
Tp (0) = fp =∫V
w(x)Ψp (x) f (x)dV (2.7b)
2. Formulação do Problema 9
Resolvendo a sistema (2.7b) obtém-se a equação para a transformada:
Tp (t ) = fp e−µ2p t +
∫ t
0gp (τ)e−µ
2p (t−τ)dτ (2.8)
sendo gp o termo fonte transformado:
gp (t ) =∫V
P (x , t )Ψp (x)dV +∫SΦ(x , t )
[Ψp (x)− (k ∇Ψp (x)).n
α(x) + β(x)
](2.9)
2.2 Solução do problema de autovalor
Nesta seção será apresentado uma solução geral para o problema de autovalor mul-
tidimensional contendo as informações do meio heterogêneo, considerando condições
de contorno gerais, em uma superfície S. O problema de Sturm-Liouville foi definido
na seção anterior, equação (2.6).
A solução do problema (2.6) é alcançada utilizando a Técnica da Transformada
Integral Generalizada [7–10]. O primeiro passo para resolução é a definição do par
transformada inversa:
Ψp,k =∫V
w(x)Ωk (x)Ψp (x)dV (2.10a)
Ψp (x) =∞∑
k=1Ωk (x)Ψp,k (2.10b)
Baseado nas expansões das autofunções ortogonais normalizadas Ωk (x), a equação
(2.10b) é a formula de inversão que reconstrói o potencial original Ψp (x).
A transformação integral do problema de autovalor (2.6) é alcançada operando a
equação (2.6a) com∫V( )Ωk (x)dV.
∫V∇· [k(x)∇Ψp (x)]Ωk (x)dV +
∫V
[µ2p w(x)−d(x)]Ψp (x)Ωk (x)dV = 0 (2.11)
2. Formulação do Problema 10
Empregando a segunda formula de Green no primeiro termo da equação temos:
∫V∇· [k(x)∇Ωk (x)]Ψp (x)dV +
∫S
k(x)
(Ψp (x)
∂Ωk (x)
∂n− Ωk (x)
∂Ψp (x)
∂n
)dS+
+∫V
[µ2p w(x)−d(x)]Ψp (x)Ωk (x)dV = 0 (2.12)
Como as autofunções Ψ e Ω satisfazem as mesmas condições de contorno (2.6b), te-
mos:
∫S
k(x)
(Ψp (x)
∂Ωk (x)
∂n− Ωk (x)
∂Ψp (x)
∂n
)dS= 0, (2.13)
e a equação fica resumida à seguinte forma:
∫V∇· [k(x)∇Ωk (x)]Ψp (x)dV +
∫V
[µ2p w(x)−d(x)]Ψp (x)Ωk (x)dV = 0 (2.14)
No proximo passo, a fórmula da inversa (2.10b) é substituída na equação e as au-
tofunções transformadas Ψp,l são colocadas em evidência:
∞∑l=1Ψp,l
(∫V∇· [k(x)∇Ωk (x)]Ωl (x) dV +
+∫V
[µ2p w(x)−d(x)]Ωl (x) Ωk (x)dV
)= 0 (2.15)
Observe que o índice l foi introduzido no lugar do índice k ao substituir a inversa de
modo a não repetir o índice k. Desta forma ficamos então com um sistema algébrico
para o problema de autovalor:
∞∑l=0
(Ak,l − µ2p Bk,l )Ψp,l = 0 (2.16)
após o truncamento da expressão (2.16) pode-se escrever o sistema na forma matricial:
(A − µ2p B )Ψp = 0 (2.17)
2. Formulação do Problema 11
Onde as matrizes Ak,l e Bk,l são dadas por::
Ak,l = −∫V∇· [k(x)∇Ωk (x)]Ωl (x) dV +
∫V
d(x)Ωl (x) Ωk (x)dV (2.18a)
Bk,l =∫V
w(x)Ωl (x) Ωk (x)dV (2.18b)
Este sistema pode ser numericamente resolvido para obtermos os resultados dos
autovalores µ2 e autovetores Ψp que, combinado com a inversa (2.10b), permite obter
as autofunções de Ψ desejadas:
Para o caso bidimensional os coeficientes ficam da seguinte forma:
Ak,l = −∫ y1
y0
∫ x1
x0
∂
∂x
(k(x, y)
∂
∂xΩk (x, y)
)Ωl (x, y) dx dy +
−∫ y1
y0
∫ x1
x0
∂
∂y
(k(x, y)
∂
∂yΩk (x, y)
)Ωl (x, y) dx dy
+∫ y1
y0
∫ x1
x0
d(x, y)Ωl (x, y) Ωk (x, y)dx dy (2.19a)
Bk,l =∫ y1
y0
∫ x1
x0
w(x, y)Ωl (x, y) Ωk (x, y)dx dy (2.19b)
A equação do calculo dos coeficientes da matriz A é integrada por partes de modo
a evitar a diferenciação da função descontínua (k).
Ak,l = −k(x, y)∂
∂xΩk (x, y)Ωl (x, y)
∣∣∣x=x1
x=x0− k(x, y)
∂
∂yΩk (x, y)Ωl (x, y)
∣∣∣y=y1
y=y0+
+∫ y1
y0
∫ x1
x0
k(x, y)∂
∂xΩk (x, y)
∂
∂xΩl (x, y) dx dy +
+∫ y1
y0
∫ x1
x0
k(x, y)∂
∂yΩk (x, y)
∂
∂yΩl (x, y) dx dy +
+∫ y1
y0
∫ x1
x0
d(x, y)Ωl (x, y) Ωk (x, y)dx dy, (2.20)
isto equivale a usar a primeira fórmula de Green ao invés da equação (2.12). Como
neste trabalho foram resolvidos somente casos com condições de contorno de primeiro
2. Formulação do Problema 12
(Dirichilet) e segundo (Neumann) tipo, os coeficientes Ak,l simplificados ficam:
Ak,l =∫ y1
y0
∫ x1
x0
k(x, y)∂
∂xΩk (x, y)
∂
∂xΩl (x, y) dx dy +
+∫ y1
y0
∫ x1
x0
k(x, y)∂
∂yΩk (x, y)
∂
∂yΩl (x, y) dx dy +
+∫ y1
y0
∫ x1
x0
d(x, y)Ωl (x, y) Ωk (x, y)dx dy (2.21)
2.3 Escolha das autofunção auxiliares
A autofunção ortogonal Ω é definida com um produtos de duas autofunções simples
auxiliares Y (y) e X (x):
Ωk (x, y) = Xi (x)Ym(y)pNi Nm
(2.22)
cujo índice k é associado a um para (i ,m) através do reordenamento, fazendo com que
um somatório duplo seja transformado em um somatório simples. A forma como este
reordenamento foi implementado será explicado no proximo capítulo. O símbolo "˜"
indica que a autofunção Ωh(x, y) é uma autofunção normalizada. As normas Ni e Nm
são definidas como:
Ni =∫ x1
x0
X 2i (x)dx, Nm =
∫ y1
y0
Y 2m(y)dy, (2.23)
As autofunções auxiliares são soluções ortogonais do problema unidimensional de
Sturm-Liouville, para as autofunções na direção x temos:
d
dx
[kx(x)
dXi
dx
]+ [ω2 wx(x)−dx(x)] Xi = 0, (2.24a)
αx(x) Xi (x) + βx(x)kx(x)dXi
dx= 0 em x = x0, (2.24b)
αx(x) Xi (x) − βx(x)kx(x)dXi
dx= 0 em x = x1, (2.24c)
2. Formulação do Problema 13
Analogamente para a direção y temos:
d
dy
[ky (y)
dYm
dy
]+ [γ2 wy (y)−dy (y)]Ym = 0, (2.24d)
αy (y)Ym(y) + βy (y)ky (y)dYm
dy= 0 em y = y0, (2.24e)
αy (y)Ym(y) − βy (y)ky (y)dYm
dy= 0 em y = y1, (2.24f)
onde as propriedades e as autofunções podem ser definidas por partes para diferentes
camadas do material estudado, como será mostrado no próximo capítulo.
Capítulo 3
Casos teste
Neste capítulo serão apresentadas os tipos de geometrias e as diferentes autofun-
ções utilizadas para a resolução do problema. Nos casos estudados, os parâmetros w e
d são um e zero, respctivamente. Uma mudança de variável é feita de modo a norma-
lizar as variáveis x e y assim, a equação para o calculo dos coeficientes da matriz A,
formulada no capítulo anterior, pode ser reescrita:
Ak,l = K 2∫ 1
−1
∫ 1
−1k(ξ,η)
∂Ωk
∂ξ
∂Ωl
∂ξdξdη +
∫ 1
−1
∫ 1
−1k(ξ,η)
∂Ωk
∂η
∂Ωl
∂ηdξdη (3.1)
Onde a razão de aspecto K e as variáveis ξ e η são definidas da seguinte forma:
K = L2
H 2, (3.2a)
ξ= x
L, −L ≤ x ≤ L (3.2b)
η= y
H, −H ≤ y ≤ H (3.2c)
Para estes casos, devido a ortognolidade das autofunções Ω, podemos mostrar que
a matriz B é a matriz identidade:
Bk,l =∫ 1
−1
∫ 1
−1Ωl Ωk dξdη = δk,l (3.3a)
B = I (3.3b)
14
3. Casos teste 15
sendo δk,l o delta de Kronecker, definido da seguinte forma:
δk,l =
1, k = l
0, k 6= l, (3.4)
Assim, o sistema linear (2.17) que precisa ser resolvido é:
(A − µ2 I )Ψ = 0 (3.5)
Onde o maior "esforço"computacional será montar a matriz A, a partir da equação para
seus coeficientes. A resolução do sistema linear é feita numericamente, sem grandes
custos computacionais, e com isso achamos seus autovalores µ e autovetores Ψ .
3.1 Geometria
A figura 3.1 apresenta a geometria bidimensional utilizada. O problema foi divi-
dido em nove regiões, como visto na figura 3.1, onde a condutividade térmica de cada
região é constante.
−δ
δ
−δ δ
Fig. 3.1: Geometria do problema.
O domínio é dado por −1 ≤ ξ ≤ 1 e −1 ≤ η ≤ 1, e a letra grega δ é utilizada para
a separação entre as regiões . Os parametros ki estão associados a áreas Ai . Assim,
podemos reescrever a equação (3.1) separando as integrais de acordo com a variação
3. Casos teste 16
da condutividade térmica em cada região, e a equação (3.1) fica da seguinte forma:
Ak,l = k1
∫A1
(K 2∂Ωk
∂ξ
∂Ωl
∂ξ+ ∂Ωk
∂η
∂Ωl
∂η
)dA + k2
∫A2
(K 2∂Ωk
∂ξ
∂Ωl
∂ξ+ ∂Ωk
∂η
∂Ωl
∂η
)dA
+ . . . + k9
∫A9
(K 2∂Ωk
∂ξ
∂Ωl
∂ξ+ ∂Ωk
∂η
∂Ωl
∂η
)dA (3.6)
Partindo da figura 3.1 definimos os tipos de geometria que foram utilizados para
avaliação do método proposto. Na figura 3.2 estão representados estes três casos onde,
nas próximas seções, teremos dois valores admensionais para a condutividade térmica,
k∗ para a área hachurada e 1 para as outras regiões. O parâmetro k∗ representa a razão
de aumento da condutividade térmica entre as áreas. O caso 1, no qual a condutivi-
dade térmica varia somente em uma direção, possui solução analítica. onde, após a
Fig. 3.2: Diferentes casos testes considerados.
adimensionalização da condutividade térmica, os valores para a região hachurada são
3. Casos teste 17
(ki = k∗) e para as outras regiões (k j = 1).
3.2 Autofunção auxiliar simples
As autofunções auxiliares são encontradas utilizando problemas de autovalor au-
xiliares simples, como mostrado no capitulo anterior pelas equações (2.24a) - (2.24f).
Após as simplificações feitas neste capítulo, o problema de Sturm-Liouville para as
autofunções X e Y é dado por:
X ′′i (ξ)+ω2
i Xi (ξ) = 0, (3.7a)
Y ′′m(η)+γ2
mYm(η) = 0, (3.7b)
Aplicando as condições de Dirichlet e de Neumann temos, respectivamente, as seguin-
tes soluções para a autofunção Xi :
Xi (ξ) = sin(γi (ξ + 1)) γi = i π/2 (3.7c)
Xi (ξ) = cos(γi (ξ + 1)) γi = i π/2 (3.7d)
Analogamente para as autofunções Ym temos:
Ym(η) = sin(ωm (η + 1)) ωm = mπ/2 (3.7e)
Ym(η) = cos(ωm (η + 1)) ωm = mπ/2 (3.7f)
A autofunção Ω é reescrita normalizando as autofunções unidimensionais de modo
a facilitar a apresentação das equações:
Ωk (ξ,η) = Xi (ξ) Ym(η) (3.8a)
Xi (ξ) = Xi (ξ)pNi
Ni =∫ 1
−1X 2
i (ξ)dξ (3.8b)
Ym(η) = Ym(η)pNm
Nm =∫ 1
−1Y 2
m(η)dη (3.8c)
3. Casos teste 18
Aplicando a equação (3.8a) ao caso 1 temos:
Ai ,m, j ,n =∫ 1
−1
∫ −δ
−1
(K 2 X ′
i X ′j Ym Yn + Xi X j Y ′
m Y ′n
)dξdη+
+ k∗∫ 1
−1
∫ δ
−δ
(K 2 X ′
i X ′j Ym Yn + Xi X j Y ′
m Y ′n
)dξdη+
+∫ 1
−1
∫ 1
δ
(K 2 X ′
i X ′j Ym Yn + Xi X j Y ′
m Y ′n
)dξdη (3.9)
O reordenamento dos autovalores é necessário para a construção da matriz A, deste
modo associamos ao par de índices (i ,m) um respectivo índice k. Esta associação é
feita utilizando uma função para o reordenamento, para este trabalho os índices foram
reordenados através dos menores valores gerados pela expressão γ2i +ω2
m . Esta forma
de reordenamento é justificada na medida que pequenos valors de expressão γ2i +ω2
m
implicam em valores mais significativos para os coeficientes da matriz A. Outra forma
que também é utilizada neste trabalho é o reordenamento através da expressão para os
coeficientes na diagonal principal da matriz A , não foi observado diferença nos re-
sultados dos dois métodos. Assim, após o reordenamento transforma-se um somatório
duplo em um simples:
∞∑i=1
∞∑m=1
=∞∑
k=1(3.10a)
(i ,m) → k (3.10b)
( j ,n) → l (3.10c)
3.3 Autofunção auxiliar simples com condutividade térmica
contínua
O objetivo desta formulação é fazer com que a condutividade térmica varia con-
tinuamente em uma das direções do material, assim poderemos observar o efeito da
variação abrupta de propriedade para a convergência do método. A região que deli-
mita a transição entre as fases é definida entre −∆ e ∆, mostrada na figura 3.3 para o
caso 1. As mesmas autofunções simples, escolhidas na secção anterior (3.7c)-(3.7f)
3. Casos teste 19
são utilizadas para este método.
−∆
∆
−δ
−∆
∆δ
Fig. 3.3: Geometria do caso 1
A figura 3.4 e a equação (3.11) apresentam a função cúbica escolhida para repre-
sentar a variação da condutividade térmica. Uma informação relevante é que, quando
o valor do parametro ∆ aumenta a variação da condutividade térmica se torna mais
suave.
h(η) =
1, −1 ≤ η≤−δ−∆1 − (1−k∗)
(1
4∆2 − δ−∆+η4∆3
)(∆+δ+η)2, −δ−∆< η<−δ+∆
k∗, −δ+∆≤ η≤ δ−∆k∗− (k∗−1)
(1
4∆2 − −δ−∆+η4∆3
)(∆−δ+η)2, δ−∆< η< δ+∆
1, δ+∆≤ η≤ 1
, (3.11)
Aplicando esta metodologia ao caso 1, utilizando a função definida para a conduti-
3. Casos teste 20
- -
η
Δ = 1/5
Δ = 1/8
Δ = 1/16
Δ = 1/80
Fig. 3.4: Variação da condutividade térmica com a coordenada η, k∗ = 2 e δ = 1/4 .
vidade térmica para a região tracejada mostrada na figura 3.3, temos:
Ai ,m, j ,n =∫ 1
−1
∫ −δ−∆
−1
(K 2 X ′
i X ′j Ym Yn + Xi X j Y ′
m Y ′n
)dξdη+
+∫ 1
−1
∫ −δ+∆
−δ−∆h(η)
(K 2 X ′
i X ′j Ym Yn + Xi X j Y ′
m Y ′n
)dξdη+
+ k∗∫ 1
−1
∫ δ−∆
−δ+∆
(K 2 X ′
i X ′j Ym Yn + Xi X j Y ′
m Y ′n
)dξdη+
+∫ 1
−1
∫ δ+∆
δ−∆h(η)
(K 2 X ′
i X ′j Ym Yn + Xi X j Y ′
m Y ′n
)dξdη+
+∫ 1
−1
∫ 1
δ+∆
(K 2 X ′
i X ′j Ym Yn + Xi X j Y ′
m Y ′n
)dξdη (3.12)
3.4 Autofunção auxiliar por camadas
Muitos estudos utilizaram autofunções por partes para resolver problemas em meios
compostos por varias camadas homogêneas, como mencionado na revisão bibliográ-
fica desta dissertação, utilizando a CITT para resolução do problema. Nesta seção a
autofunção bidimensional Ω, usada para resolução do problema de autovalor, será re-
escrita de modo que uma ou duas de suas autofunções auxiliares sejam definidas por
partes, isto faz com que estas autofunções "carreguem"mais informações sobre as pro-
priedades do meio. Neste caso mais informações para a condutividade térmica e, com
isso, esperamos melhorar a convergência do método.
Partindo da figura 3.1 separamos as autofunções X e Y em três partes como mostra
a figura 3.5.
3. Casos teste 21
Fig. 3.5: Separação por partes das autofunções X e Y
Temos agora uma equação de Sturm-Liouville unidimensional para cada camada,
onde os indices sobrescritos r e l indicam esta separação.
kld2
dξ2(X l
i ) + ω2i X l
i = 0 (3.13a)
krd2
dη2(Y r
m) + γ2m Y r
m = 0 (3.13b)
Devemos ressaltar que as autofunções separada por partes continuam sendo orto-
gonais para o domínio completo:
n∑r=1
⟨Y rm , Y r
n ⟩ = δmn Nm (3.14a)
Nm =n∑
k=1⟨Y r
m , Y rm⟩ (3.14b)
O índice n indica o numero de camadas do problema, e a operação ⟨,⟩ indica um
produto interno entre as funções, para este caso n = 3.
Novamente, utiliza-se funções trigonométricas como base para a solução das auto-
funções. Tomando as autofunções Y r como exemplo para introdução da resolução do
3. Casos teste 22
problema temos:
Y 1(η) = C1 cos
((η+1)ω√
k1
)+ C2 sin
((η+1)ω√
k1
), (3.15a)
Y 2(η) = C3 cos
(ηω√
k2
)+ C4 sin
(ηω√
k2
), (3.15b)
Y 3(η) = C5 cos
((1−η)ω√
k3
)+ C6 sin
((1−η)ω√
k3
)(3.15c)
Além das condições de contorno, são necessárias mais informações para a obtenção
das autofunções, para isso são utilizadas condições de contorno nas interfaces entre as
camadas:
kr ∂Y r
∂ηr s= k s ∂Y s
∂ηr s(3.16a)
Y k = Y p (3.16b)
A condição (3.16b) só é valida para contato perfeito entre as camadas. Aplicando estas
condições de contorno na equação (4.2c) ficamos com o seguinte sistema algébrico:
sin
((1−δ)ωp
k1
)−cos
(δωp
k2
)sin
(δωp
k2
)0
pk1ωcos
((δ−1)ωp
k1
)−
√k2ωsin
(δωp
k2
)−
√k2ωcos
(δωp
k2
)0
0 cos
(δωp
k2
)sin
(δωp
k2
)−sin
((1−δ)ωp
k3
)0 −
√k2ωsin
(δωp
k2
) √k2ωcos
(δωp
k2
) √k3ωcos
((δ−1)ωp
k3
)
C2
C3
C4
C6
=
0
0
0
0
Utilizamos condições de primeiro tipo como exemplo, para o qual C1 e C5 são nulos.
Resolvendo este sistema descobrimos os valores das constantes e consequentemente
as autofunções Y r . Calculando o determinante desta matriz encontramos a equação
transcendental para o calculo dos autovalores ωm , apresentada na figura 3.6, onde
através dos zeros desta curva obtemos os respectivos autovalores.
Analogamente podemos encontrara as autofunções X l seguindo os mesmo passos
anteriores, onde os valores dos coeficientes serão os mesmos para mesmas condições
de contorno. Os resultados destas constantes com condições de Dirichlet e Newmann
3. Casos teste 23
0 5 10 15 20 25 30
-2
-1
0
1
2
Fig. 3.6: Equação transcendental para os autovalores ωm , para δ= 1/2 e k∗ = 2
estão apresentados no anexo (??). A autofunção bidimensional Ω será novamente um
produto das autofunções X Y , da mesma forma feita nas seções anteriores.
Ωrk = Xi Y r
m (3.17a)
Ωpk = X l
i Y rm (3.17b)
Dois tipos de autofunções Ω por partes foram utilizadas nesse trabalho, uma onde só
há separação das camadas em uma direção (3.17a) e outra onde as duas autofunções
unidimensionais são separadas por camadas (3.17b). As integrais para o calculo dos
coeficientes da matriz A devem ser separadas de acordo com as camadas, teremos
por tanto nove combinações de integrais para serem resolvidas para o caso (3.17b),
seguindo a separação das regiões mostrada na figura 3.1, temos:
Ai ,m, j ,n = k1
∫A1
(K 2 X 1′
i X 1′j Y 1
m Y 1n + X 1
i X 1j Y 1′
m Y 1′n
)dA+
k2
∫A2
(K 2 X 2′
i X 2′j Y 1
m Y 1n + X 2
i X 2j Y 1′
m Y 1′n
)dA
+ . . . + k9
∫A9
(K 2 X 3′
i X 3′j Y 3
m Y 3n + X 3
i X 3j Y 3′
m Y 3′n
)dA (3.18)
Onde os parâmetros k1,k2, . . . ,k9 são determinados através dos casos escolhidos como
mostrado no começo deste capítulo.
3. Casos teste 24
3.5 Implementação Computacional
Toda a implementação desta tese é feita utilizando o software de computação sim-
bólica Wolfram Mathematica [37], embora sua linguagem de programação faça com
que o calculo consuma mais tempo que linguagens de baixo nível, como por exem-
plo C e FORTRAN, escrever o programa nesta plataforma se faz de forma muito mais
rápida e intuitiva. Além disso tem-se a vantagem de poder trabalhar com expressões
analíticas. Cada método de solução foi implementado em um notebook, separando em
seções a parte puramente analítica da parte númerica.
A resolução do problema foi separada da seguinte forma: Primeiramente foram fei-
tos todos os cálculos simbólicos gerando as expressões para os coeficientes da matriz,
os cálculos para as Normas e as expressões para as autofunções auxiliares. Todas as in-
tegrações para os coeficiente da matriz A são feitas analiticamente utilizando a função
Integrate, depois os coeficientes são simplificados e armazenados para cada caso. A
implementação deve seguir uma ordem lógica de utilização onde, por exemplo, antes
da geração das matrizes devem ser utilizadas as funções de reordenamento. Após a
geração da matriz seus autovetores e autovalores são obtidos numericamente através
da função Eigensystem.
Para o calculo do erro das autofunções Ψp foi feita uma integração numérica uti-
lizando a função NIntegrate, onde foi escolhido o método de integração de Gaus-
Kronod (GaussKronod), pois este foi o método que melhor se adaptou a natureza
altamente oscilatória dos integrandos. Pode ser escolhido o número de divisões inici-
ais para este método, dadas por GaussPoints, foram utilizadas GaussPoints = 20.
3.6 Método das Diferencas Finitas
O método das diferenças finitas (MDF) foi utilizado para resolver o problema de
Sturm-Liouville bidimensional, com o objetivo de comparar o método híbrido analítico-
numérico formulado com um método puramente numérico. Foram utilizados o MDF
de segunda e de quarta ordem.
3. Casos teste 25
A mesma função cubica apresentada anteriormente, figura 3.4, é utilizada para
simular a descontinuidade da condutividade térmica para o caso 1. Na discretização de
segunda ordem a primeira e a segunda derivada são, respectivamente:
d f
dx= f (i +1, j )− f (i −1, j )
2∆x(3.19a)
d2 f
dx2= f (i −1, j )
∆x2− 2 f (i , j )
∆x2+ f (i +1, j )
∆x2(3.19b)
cujo f e x representam uma função e uma variável genérica.
A primeira e a segunda derivada para a discretização de quarta ordem são, respec-
tivamente:
d f
dx= f (i −2, j )
12∆x− 2 f (i −1, j )
3∆x+ 2 f (i +1, j )
3∆x− f (i +2, j )
12∆x(3.20a)
d2 f
dx2= − f (i −2, j )
12∆x2+ 4 f (i −1, j )
3∆x2− 5 f (i , j )
2∆x2+ 4 f (i +1, j )
3∆x2− f (i +2, j )
12∆x2(3.20b)
sendo utilizada uma discretização avançada e outra atrasada nos contornos sem perda
de ordem.
Um ponto importante que deve-se dar atenção quando utilizamos métodos numé-
ricos é a discretização que deve ser aplicada. Três diferentes malhas foram implemen-
tadas para este problema: A malha uniforme, figura 3.7(a), a malha de Chebyshev,
figura 3.7(b), onde refina-se os contornos, e uma malha de Chebyshev modificada,
figura 3.7(c), onde além de refinar-se os contornos também é refinada a região de tran-
sição da condutividade térmica.
As figuras 3.8 e 3.9 mostram respectivamente a malha uniforme e a malha de
Chebyshev modificadas para a função da condutividade térmica utilizada, cada ma-
lha da figura possui 51 pontos. Percebe-se um maior número de pontos entre a região
de transição na malha modificada.
3. Casos teste 26
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
(a) Malha uniforme
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
(b) Malha de Chebyshev
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
(c) Malha de Chebyshev Modificada δ= 1/4.
Fig. 3.7: Malhas Utilizadas
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
Fig. 3.8: Malha uniforme δ= 1/4, ∆= 1/8 e k∗ = 1.2.
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
Fig. 3.9: Malha de Chebyshev Modificada δ= 1/4, ∆= 1/8 e k∗ = 1.2.
Capítulo 4
Resultados e Discussões
Neste capítulo serão apresentados os resultados para os três casos estudados, com
condições de contorno de Dirichlet e de Neumann. Primeiramente, serão avaliados
resultados dos autovalores para o caso onde não há variação da condutividade térmica.
Em seguida, o capítulo é separado em três seções, divididas para os diferentes casos,
onde o comportamento dos autovalores é avaliado para cada metodologia. Na última
seção é feita uma análise para o comportamento das autofunções originais (Ψp).
Após a análise do caso homogêneo a técnica da transformada integral é então com-
parada com o método das diferenças finitas, através do tempo e do número de termos
necessários para valores satisfatórios do erro dos autovalores.
4.1 Caso Homogêneo
Nesta seção são apresentados os resultados para o caso onde a condutividade tér-
mica é constante (k∗ = 1) em todas as regiões do domínio, figura 3.1, com condições
de contorno de primeiro tipo, visando analisar o comportamento da solução pela GITT
e também pelo Método das Diferenças Finitas (MDF).
Na tabela 4.1 estão presentes os resultados utilizando a GITT com autofunções
auxiliares simples. A palavra Ana representa o resultado dos autovalores para o caso
analítico, que pode ser resolvido facilmente utilizando a CITT ou o método da separa-
27
4. Resultados e Discussões 28
Tab. 4.1: Autovalores para a GITT com autofunções simples
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
10 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.6953020 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.6953030 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.6953040 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.69530
Ana 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.69530
ção de variáveis. Como pode ser visto, o caso resolvido pela GITT converge rapida-
mente para o valor analítico. Isto pode ser explicado pois neste caso a solução analítica
para os autovalores µ é facilmente encontrada através dos autovalores γ e ω, mesmos
autovalores utilizados na solução do método híbrido:
γ2 +K 2ω2 =µ2 (4.1a)
γi = i π
2ωm = mπ
2(4.1b)
A tabela 4.2 apresenta os resultados para o MDF de segunda e quarta ordem, res-
pectivamente, considerando malha uniforme. Pode se observar que o método de quarta
ordem apresenta resultados significativamente melhores do que o método de segunda
ordem.
Tab. 4.2: Autovalores para o MDF com malha uniforme
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
Diferenças finitas de segunda ordem26 2.71891 3.84006 4.70103 5.18393 5.42709 6.44828 6.60170 6.80837 7.32854 7.6347751 2.72025 3.84575 4.70955 5.20328 5.43782 6.46948 6.64863 6.83728 7.35789 7.68012101 2.72059 3.84717 4.71168 5.20813 5.44050 6.47479 6.66040 6.84453 7.36524 7.69150201 2.72067 3.84753 4.71221 5.20934 5.44117 6.47612 6.66334 6.84634 7.36708 7.69435
Diferenças finitas de quarta ordem26 2.72070 3.84760 4.71231 5.20946 5.44130 6.47628 6.66359 6.84651 7.36726 7.6946151 2.72070 3.84765 4.71238 5.20971 5.44139 6.47653 6.66421 6.84690 7.36765 7.69519101 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.69529Ana 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.69530
4. Resultados e Discussões 29
4.1.1 Erro dos autovalores
Nos resultados mostrados a seguir o erro absoluto dos autovalores para as diferentes
ordens e malhas utilizadas é apresentado. A figura 4.1 apresenta o erro absoluto para os
autovalores em relação ao número de elementos da malha para o método de diferenças
finitas, a letra s na legenda do gráfico indica o caso em que foi utilizada a malha de
Chebyshev. Como era esperado, conforme a ordem do método é aumentada a taxa de
decaimento do erro também aumenta.
Para os dez autovalores analisados deve-se ressaltar que o primeiro autovalor foi
o único que apresentou resultados melhores para a malha de Chebyshev, os outros
seguiram comportamento semelhante ao do autovalor µ3, mostrado na figura 4.1(b),
onde a malha com espaçamento uniforme apresenta valores melhores independente da
ordem utilizada na discretização.
40 60 80 100
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
DF-O2
DF-O2 s
DF-O4
DF-O4 s
(a) µ1
40 60 80 100
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
DF-O2
DF-O2 s
DF-O4
DF-O4 s
(b) µ3
Fig. 4.1: Erro absoluto do MDF em função do número de pontos na malha.
4. Resultados e Discussões 30
Após análise dos resultados desta seção, observa-se que as duas soluções apresen-
tadas convergem para o resultado esperado. Nas próximas seções serão analisados os
casos com variação de condutividade térmica.
4.2 Caso 1
Nesta seção são apresentados os resultados para o caso 1 com condições de
contorno de primeiro tipo em ξ e η. Neste caso, só a variação da condutividade térmica
em uma direção. Dos três casos estudados, este é o único que possui solução analítica,
sendo utilizado para a validação do método. A solução analítica é obtida utilizando a
Transformada Clássica, de forma similar ao realizado por Mikhailov e Ozisik [2], na
resolução do problema de autovalor de classe 2.
4.2.1 Resultados utilizando a GITT
Os próximos resultados apresentados serão aqueles gerados pela GITT com os dois
tipos de autofunções auxiliares escolhidas, simples e por partes. As autofunções auxi-
liares por partes em X não serão utilizadas para este caso, pois a condutividade térmica
é constante nesta direção (ξ). Todos os resultados apresentados neste trabalho foram
calculados com razão de aspecto com valorp
2, o motivo para este valor será explicado
na seção referente às autofunções Ψp .
A tabela 4.3 apresenta o resultado dos autovalores com a GITT, utilizando autofun-
ções auxiliares simples, para o caso com variação abrupta da propriedade. A palavra
Descont indica os autovalores obtidos através da solução exata do caso 1. Pode-se
observar que com cem termos já se obtém uma precisão entre dois e três dígitos, en-
quanto para precisão com quatro ou mais dígitos são necessários nove mil termos ou
mais para alguns autovalores.
Os resultados para o caso em que foram utilizadas autofunções auxiliares por partes
estão ilustrados na tabela 4.4. Como pode ser observado na tabela, são necessários
poucos termos para apresentar autovalores satisfatórios, e uma precisão de 3 dígitos ou
mais é obtida com apenas 50 termos. Este resultado pode ser explicado pelo fato das
4. Resultados e Discussões 31
Tab. 4.3: Caso 1 - Autofunções simples - δ = 1/4, k∗ = 1.2
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
10 2.76724 3.96793 4.88536 5.41073 5.60387 6.63058 6.94182 6.97129 7.51671 7.8453950 2.76672 3.96717 4.87344 5.40129 5.59147 6.61694 6.92106 6.95599 7.50020 7.82961
100 2.76668 3.96716 4.87311 5.40119 5.59141 6.61684 6.92095 6.95444 7.49878 7.82943500 2.76662 3.96711 4.87215 5.40111 5.59030 6.61586 6.92080 6.95293 7.49738 7.828551000 2.76660 3.96710 4.87192 5.40110 5.59009 6.61567 6.92080 6.95245 7.49694 7.828381500 2.76658 3.96709 4.87184 5.40110 5.59002 6.61561 6.92080 6.95219 7.49669 7.828322000 2.76658 3.96709 4.87180 5.40110 5.58998 6.61558 6.92080 6.95204 7.49656 7.828303000 2.76657 3.96709 4.87171 5.40110 5.58990 6.61551 6.92080 6.95192 7.49645 7.828245000 2.76657 3.96708 4.87166 5.40110 5.58986 6.61547 6.92080 6.95176 7.49630 7.828207000 2.76656 3.96708 4.87161 5.40110 5.58982 6.61544 6.92080 6.95168 7.49623 7.828179000 2.76656 3.96708 4.87159 5.40110 5.58980 6.61542 6.92080 6.95163 7.49618 7.82816
Descont 2.76655 3.96707 4.87141 5.40109 5.58964 6.61528 6.92080 6.95125 7.49584 7.82803
autofunções por camadas (Y rm) serem semelhantes às autofunções da solução analítica.
Tab. 4.4: Caso 1 - Autofunções Ym por camadas - δ = 1/4, k∗ = 1.2
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
10 2.76657 3.96733 4.87142 5.40839 5.58980 6.61597 6.93882 6.95126 7.49602 9.2385030 2.76655 3.96711 4.87141 5.40122 5.58966 6.61536 6.92108 6.95125 7.49586 7.8287250 2.76655 3.96709 4.87141 5.40115 5.58964 6.61536 6.92092 6.95125 7.49584 7.82824
100 2.76655 3.96708 4.87141 5.40112 5.58964 6.61529 6.92087 6.95125 7.49584 7.82806200 2.76655 3.96708 4.87141 5.40110 5.58964 6.61529 6.92081 6.95125 7.49584 7.82805300 2.76655 3.96708 4.87141 5.40110 5.58964 6.61528 6.92081 6.95125 7.49584 7.82804
Descont 2.76655 3.96707 4.87141 5.40109 5.58964 6.61528 6.92080 6.95125 7.49584 7.82803
4.2.1.1 Caso 1b
Para os próximos resultados será analisada a convergência para o caso em que a
transição da condutividade térmica entre as regiões não acontece de forma abrupta. O
caso 1b utiliza uma função contínua cúbica para simular a descontinuidade da condu-
tividade térmica, como mostrado anteriormente na figura 3.4. Autofunções auxiliares
simples são utilizadas na GITT nessa formulação. É importante ressaltar que o pa-
râmetro ∆ é utilizado para "suavizar" a função contínua usada para a condutividade
térmica, de modo que maiores valores de ∆ resultam em funções mais "suave". Os
resultados para as autofunções deste caso são apresentados na tabela e 4.5.
4. Resultados e Discussões 32
Tab. 4.5: Caso 1- Solução contínua - δ = 1/4, k∗ = 1.2
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
∆= 1/8100 2.76703 3.96687 4.87097 5.4006 5.59071 6.6181 6.92052 6.96262 7.5054 7.83268200 2.76701 3.96686 4.8708 5.40057 5.59046 6.61788 6.92047 6.96246 7.50525 7.83248300 2.76701 3.96685 4.87075 5.40057 5.59041 6.61783 6.92047 6.96234 7.50513 7.83243400 2.76701 3.96685 4.87075 5.40057 5.59041 6.61783 6.92047 6.96232 7.50511 7.83243500 2.76701 3.96685 4.87075 5.40057 5.59041 6.61783 6.92047 6.96231 7.50510 7.83242600 2.76701 3.96685 4.87075 5.40057 5.59041 6.61783 6.92047 6.96231 7.50510 7.83242700 2.76701 3.96685 4.87075 5.40057 5.59041 6.61783 6.92047 6.96231 7.50510 7.83242
∆= 1/40500 2.76663 3.96710 4.87213 5.40109 5.59033 6.61597 6.92079 6.95339 7.49776 7.828731000 2.76662 3.96709 4.87194 5.40108 5.59016 6.61582 6.92079 6.95299 7.49739 7.828591500 2.76661 3.96709 4.87189 5.40108 5.59011 6.61577 6.92079 6.95280 7.49721 7.828552000 2.76661 3.96709 4.87186 5.40108 5.59009 6.61575 6.92079 6.95271 7.49713 7.828543000 2.76660 3.96708 4.87182 5.40108 5.59006 6.61572 6.92079 6.95265 7.49708 7.828515000 2.76660 3.96708 4.87180 5.40108 5.59004 6.61571 6.92079 6.95260 7.49703 7.828507000 2.76660 3.96708 4.87180 5.40108 5.59004 6.61570 6.92079 6.95258 7.49702 7.828499000 2.76660 3.96708 4.87180 5.40108 5.59003 6.61570 6.92079 6.95258 7.49702 7.82849
Descont 2.76655 3.96707 4.87141 5.40109 5.58964 6.61528 6.92080 6.95125 7.49584 7.82803
Na solução em que se utilizou a função contínua, constatou-se ao longo do estudo
que casos com valores mais elevados do parâmetro ∆ convergem com menos termos,
entretanto, como era esperado valores menores de ∆ fazem com que o resultado dos
autovalores fiquem mais próximos do caso com variação abrupta da propriedade.
4.2.2 Resultados utilizando o MDF
Após a apresentação dos resultados da GITT, serão analisados os resultados gera-
dos pelo MDF para o caso 1. A mesma função cúbica do caso 1b foi utilizada para
a variação da condutividade térmica, porém os resultados do MDF foram gerados so-
mente com ∆ igual a 1/40.
A tabela 4.6 apresenta os resultados para o MDF de segunda e quarta ordem com
malha de Chebyshev modificada. Percebe-se que o método com discretização de quarta
ordem apresenta melhores resultados para os dez primeiros autovalores analisados.
Deve-se mencionar que em uma malha Nx por Ny , onde Ni representa o número de
pontos da malha na direção i , é necessário resolver uma matriz quadrada com aproxi-
4. Resultados e Discussões 33
madamente Nx ×N y linhas. Logo, o caso com 101 termos gera uma matriz da ordem
de grandeza de 10000×10000, mesma ordem de grandeza do caso da GITT com dez
mil termos.
Tab. 4.6: Resultados para o Caso 1 usando o MDF , δ = 1/4
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
Diferenças finitas de segunda ordem26 2.72095 3.92876 4.92157 5.34341 5.62863 6.62513 6.80859 6.89442 7.43573 7.7797451 2.75440 3.95725 4.88782 5.38686 5.60273 6.62054 6.89337 6.93432 7.47821 7.81831
101 2.76191 3.96374 4.87905 5.39719 5.59604 6.61931 6.91400 6.94508 7.48955 7.82798201 2.76619 3.96669 4.87230 5.40033 5.59039 6.61563 6.91915 6.95155 7.49597 7.82754
Diferenças finitas de quarta ordem26 2.79757 3.98596 4.83983 5.41045 5.56271 6.59240 6.91939 7.04334 7.58164 7.8051451 2.76640 3.96691 4.87244 5.40084 5.59061 6.61616 6.92023 6.95493 7.49914 7.82862
101 2.76447 3.96587 4.87576 5.40052 5.59349 6.61863 6.92068 6.94950 7.49409 7.83095201 2.76684 3.96723 4.87146 5.40116 5.58973 6.61544 6.92082 6.95266 7.49710 7.82826
Descont 2.76655 3.96707 4.87141 5.40109 5.58964 6.61528 6.92080 6.95125 7.49584 7.82803
Na figura 4.2 estão presentes os resultados do erro absoluto para o autovalor µ3
com MDF com as diferentes discretizações implementadas, onde sM indica a malha
de Chebyshev modificada, apresentada no capítulo anterior. Nesta figura observa-se
que o erro não possui mais a forma linear presente na figura 4.1, possuindo um com-
portamento oscilatório, principalmente para as malhas não uniformes, com a malha
de Chebyshev modificada apresentando melhores resultados na maior parte dos casos.
Este resultado pode ser explicado tendo em vista que, quando a malha é refinada em
sua faixa de transição captura-se mais informações sobre a variação da condutividade
térmica.
4.2.3 Comparação entre as soluções
Esta seção apresenta uma comparação entre os resultados da GITT e do MDF, onde
além do erro absoluto dos autovalores também será comparado o tempo computacional
gasto para cada solução. Além dos casos com condições de primeiro tipo, também será
apresentada uma comparação para o caso 1 com condições de segundo tipo em ξ.
A figura 4.3 apresenta uma comparação entre as soluções implementadas para o
4. Resultados e Discussões 34
50 100 200
10-4
10-3
10-2
10-1
DF-O2
DF-O2 s
DF-O2 sM
DF-O4
DF-O4 s
DF-O4 sM
Fig. 4.2: Erro absoluto do MDF em função do numero de pontos da malha para µ3 comk∗ = 1,2 e K=
p2
caso 1 com condições contorno de primeiro tipo, que é feita em função do erro e do
tempo computacional necessário para montar a matriz e resolver o prolema de autova-
lor. A GITT apresenta menor magnitude do erro se comparada ao MDF. Esta técnica
também possui, com exceção do autovalor µ3, melhor taxa para a diminuição do erro.
O tempo computacional é significativamente menor para a Transformada Integral, não
há diferença relevante entre as soluções contínua e com salto de propriedade. Contudo,
sabe-se que a matriz do MDF utilizada é uma matriz esparsa, de modo que o problema
de autovalor pode ser resolvido de forma mais eficiente utilizando o método iterativo
de Arnoldi. Este método também pode melhorar a convergência do MDF, devido à
menor contaminação de erro, pois ele necessita de menos operações para encontrar os
autovalores e autovetores da matriz esparsa, diferente do método utilizado no Mathe-
matica que pode ser utilizado em matrizes genéricas.
A figura 4.4 apresenta a comparação do erro dos autovalores, para o caso com
condições de contorno de segundo tipo em ξ e primeiro tipo em η, observa-se que o
comportamento do erro é semelhante ao da figura 4.3, onde novamente a GITT apre-
senta melhores taxas para queda do erro em um menor tempo computacional.
4. Resultados e Discussões 35
0.1 1 10 100 1000 10410-6
10-5
10-4
0.001
0.010
tempo (s)
ErroAbsoluto
(a) µ1
0.1 1 10 100 1000 10410-6
10-5
10-4
0.001
0.010
tempo (s)
ErroAbsoluto
(b) µ2
0.1 1 10 100 1000 10410-6
10-5
10-4
0.001
0.010
tempo (s)
ErroAbsoluto
(c) µ3
0.1 1 10 100 1000 10410-6
10-5
10-4
0.001
0.010
tempo (s)
ErroAbsoluto
(d) µ4
Fig. 4.3: Comparação entre os métodos com condições de Dirichlet
4.3 Caso 2
Nesta seção serão apresentados os resultados com condições de primeiro tipo para
o caso 2, onde a condutividade térmica varia somente na região central, utilizando a
GITT com autofunções auxiliares simples e por partes. No caso em que se separa a
autofunção Ym em três camadas, a condutividade térmica usada para a autofunção Y 2m
é da condutividade térmica da região central (k∗), assim temos:
Y (η) = C1 sen((η+1)ω
), −1 ≤ η≤−δ (4.2a)
Y (η) = C3 cos
(ηωp
k∗
)+ C4 sen
(ηωp
k∗
), −δ≤ η≤ δ (4.2b)
Y (η) = C5 sen((1−η)ω
)δ≤ η≤ 1 (4.2c)
A tabela 4.7 apresenta os resultados dos autovalores deste este caso para as duas
4. Resultados e Discussões 36
-
-
-
-
-
()
(a) µ1
-
-
-
-
-
()
(b) µ2
-
-
-
-
-
()
(c) µ3
-
-
-
-
-
()
(d) µ4
Fig. 4.4: Comparação entre os métodos com condições de Neumann e Dirichilet
autofunções utilizadas. Pode-se observar que para o caso 2, a solução por camadas em
Ym apresenta um comportamento de convergência pior do que a solução que utiliza
autofunções auxiliares simples, o que pode ser explicado pelas informações da condu-
tividade térmica k∗ presentes na autofunão por partes Y2 sendo que este valor não é o
mais predominante nesta região, como mostra a figura 4.5. A solução por camadas se
torna mais eficiente quando a propriedade "carregada"pela autofunção é a mais predo-
minante na região, figura 4.6 por exemplo, como veremos na próxima seção. Não faz
sentido usar autofunções por partes nas duas direções para este caso, pois o problema
é simétrico.
O erro relativo dos autovalores é apresentado na figura 4.7. Este erro foi calcu-
lado fixando o resultado gerado com dez mil termos como solução exata para cada
método, isso possibilita avaliar o comportamento dos autovalores à medida que o nú-
mero de termos aumenta. Os primeiros cinco autovalores possuem comportamentos
4. Resultados e Discussões 37
Tab. 4.7: Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =p
2
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
Solução com autofunções auxiliares simples1000 2.72344 3.89434 4.78610 5.24080 5.46004 6.51882 6.72950 6.89214 7.39375 7.729732000 2.72343 3.89430 4.78604 5.24072 5.46002 6.51878 6.72950 6.89195 7.39370 7.729713000 2.72342 3.89429 4.78600 5.24069 5.46001 6.51875 6.72950 6.89189 7.39368 7.729694000 2.72342 3.89428 4.78598 5.24067 5.46001 6.51874 6.72950 6.89185 7.39367 7.729695000 2.72342 3.89428 4.78598 5.24065 5.46000 6.51873 6.72950 6.89182 7.39366 7.729696000 2.72342 3.89427 4.78596 5.24064 5.46000 6.51872 6.72950 6.89179 7.39366 7.729687000 2.72342 3.89427 4.78596 5.24063 5.46000 6.51872 6.72950 6.89178 7.39365 7.729688000 2.72341 3.89427 4.78595 5.24063 5.46000 6.51871 6.72950 6.89177 7.39365 7.729689000 2.72341 3.89426 4.78595 5.24062 5.46000 6.51871 6.72950 6.89175 7.39365 7.72967
10000 2.72341 3.89426 4.78594 5.24062 5.46000 6.51871 6.72950 6.89174 7.39365 7.72967Solução com autofunções por camadas em Y
1000 2.72344 3.89438 4.78609 5.24086 5.46033 6.51889 6.72952 6.89213 7.39451 7.729842000 2.72343 3.89434 4.78602 5.24076 5.46021 6.51881 6.72951 6.89200 7.39430 7.729783000 2.72342 3.89432 4.78600 5.24072 5.46018 6.51879 6.72951 6.89190 7.39414 7.729764000 2.72342 3.89431 4.78598 5.24070 5.46015 6.51877 6.72951 6.89186 7.39407 7.729745000 2.72342 3.89430 4.78597 5.24068 5.46013 6.51876 6.72951 6.89183 7.39402 7.729736000 2.72342 3.89429 4.78596 5.24066 5.46012 6.51875 6.72951 6.89181 7.39398 7.729727000 2.72342 3.89429 4.78595 5.24066 5.46011 6.51874 6.72951 6.89180 7.39396 7.729728000 2.72342 3.89428 4.78594 5.24065 5.46010 6.51873 6.72951 6.89178 7.39394 7.729719000 2.72341 3.89428 4.78594 5.24064 5.46009 6.51873 6.72951 6.89177 7.39392 7.72971
10000 2.72341 3.89428 4.78594 5.24064 5.46009 6.51873 6.72951 6.89176 7.39390 7.72971
semelhantes para as duas metodologias, enquanto os outros cinco autovalores analisa-
dos confirmam que a magnitude do erro neste caso é sempre menor para o caso com
autofunções simples.
Fig. 4.5: Domínio da Autofunção Y2
4. Resultados e Discussões 38
Fig. 4.6: Exemplo de outra distribuição para k∗
-
-
-
-
(a) µ5
-
-
-
-
(b) µ6
-
-
-
-
(c) µ7
-
-
-
-
(d) µ8
-
-
-
-
(e) µ9
-
-
-
-
(f) µ10
Fig. 4.7: Comparação entre os métodos, k∗ = 1, K=p
2
4.4 Caso 3
Nesta secção apresentam-se os resultados para o Caso 3 com condições de contorno
de Dirichlet, neste caso a condutividade térmica varia com geometria no formato de
4. Resultados e Discussões 39
uma cruz central. A tabela 4.8 mostra os resultados obtidos utilizando a GITT para os
casos com autofunções simples, por partes na direção η e por partes nas direções ξ e η.
Pode-se perceber pelas tabelas que os autovalores gerados pela solução por camadas
resultam em melhores taxas de convergência do que aqueles gerados com autofunções
simples.
O erro relativo para os autovalores, mostrado na figura 4.8, é calculado da mesma
forma feita para o caso 2. Para este caso, a magnitude do erro relativo é sempre menor
para as soluções com autofunções por camadas, e para alguns autovalores a solução
por camadas nas duas direções apresenta resultados significativamente maiores do que
as outras duas, mostrando que para determinadas distribuições de propriedade esta
metodologia é uma boa alternativa para abordar problema em meios heterogêneos.
Um ponto negativo que deve ser mencionado é o alto custo computacional para este
tipo de solução.
4. Resultados e Discussões 40
Tab. 4.8: Caso 3 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =p
2
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
1000 2.84788 4.02878 4.98667 5.46500 5.66834 6.72131 7.01565 7.17605 7.57122 7.977562000 2.84787 4.02873 4.98660 5.46492 5.66819 6.72115 7.01565 7.17579 7.57084 7.977493000 2.84786 4.02871 4.98655 5.46488 5.66810 6.72105 7.01564 7.17571 7.57072 7.977444000 2.84786 4.02870 4.98653 5.46486 5.66805 6.72101 7.01564 7.17565 7.57063 7.977425000 2.84786 4.02869 4.98652 5.46484 5.66803 6.72098 7.01564 7.17561 7.57057 7.977416000 2.84786 4.02869 4.98651 5.46483 5.66801 6.72095 7.01564 7.17557 7.57052 7.977407000 2.84786 4.02868 4.98650 5.46482 5.66799 6.72093 7.01564 7.17556 7.57050 7.977398000 2.84786 4.02868 4.98649 5.46481 5.66797 6.72092 7.01564 7.17554 7.57048 7.977389000 2.84785 4.02868 4.98648 5.46481 5.66796 6.72090 7.01564 7.17552 7.57045 7.97738
10000 2.84785 4.02867 4.98648 5.46480 5.66795 6.72089 7.01564 7.17551 7.57043 7.97737Solução por camadas em Y
1000 2.84788 4.02877 4.98659 5.46506 5.66798 6.72125 7.01565 7.17570 7.57029 7.977372000 2.84787 4.02874 4.98652 5.46495 5.66792 6.72107 7.01565 7.17560 7.57024 7.977343000 2.84786 4.02871 4.98650 5.46491 5.66789 6.72100 7.01564 7.17553 7.57021 7.977334000 2.84786 4.02870 4.98649 5.46488 5.66787 6.72097 7.01564 7.17549 7.57020 7.977325000 2.84786 4.02870 4.98648 5.46486 5.66786 6.72093 7.01564 7.17547 7.57019 7.977326000 2.84786 4.02869 4.98647 5.46485 5.66785 6.72092 7.01564 7.17546 7.57018 7.977317000 2.84786 4.02869 4.98646 5.46484 5.66785 6.72090 7.01564 7.17545 7.57017 7.977318000 2.84786 4.02868 4.98645 5.46483 5.66784 6.72089 7.01564 7.17544 7.57017 7.977319000 2.84785 4.02868 4.98645 5.46483 5.66784 6.72088 7.01564 7.17543 7.57016 7.97731
10000 2.84785 4.02868 4.98645 5.46482 5.66783 6.72086 7.01564 7.17542 7.57016 7.97731Solução por camadas em X Y
1000 2.84788 4.02877 4.98659 5.46503 5.66781 6.72086 7.01565 7.17570 7.57022 7.977352000 2.84787 4.02872 4.98652 5.46495 5.66779 6.72081 7.01564 7.17559 7.57019 7.977333000 2.84786 4.02871 4.98650 5.46490 5.66779 6.72079 7.01564 7.17553 7.57017 7.977324000 2.84786 4.02870 4.98649 5.46487 5.66779 6.72078 7.01564 7.17549 7.57016 7.977315000 2.84786 4.02869 4.98647 5.46486 5.66778 6.72077 7.01564 7.17547 7.57015 7.977316000 2.84786 4.02868 4.98647 5.46484 5.66778 6.72076 7.01564 7.17545 7.57015 7.977317000 2.84786 4.02868 4.98646 5.46484 5.66778 6.72076 7.01564 7.17544 7.57015 7.977308000 2.84786 4.02868 4.98645 5.46483 5.66778 6.72075 7.01564 7.17544 7.57014 7.977309000 2.84786 4.02867 4.98645 5.46482 5.66778 6.72075 7.01564 7.17543 7.57014 7.97730
10000 2.84785 4.02867 4.98645 5.46481 5.66778 6.72075 7.01564 7.17542 7.57014 7.97730
4. Resultados e Discussões 41
10 50 100 500 100010-5
10-4
0.001
0.010
Numero de termos
ErroRelativo
(a) µ5
10 50 100 500 100010-5
10-4
0.001
0.010
Numero de termos
ErroRelativo
(b) µ6
10 50 100 500 1000
10-5
10-4
0.001
0.010
Numero de termos
ErroRelativo
(c) µ7
10 50 100 500 100010-5
10-4
0.001
0.010
Numero de termos
ErroRelativo
(d) µ8
10 50 100 500 100010-5
10-4
0.001
0.010
Numero de termos
ErroRelativo
(e) µ9
10 50 100 500 100010-5
10-4
0.001
0.010
Numero de termos
ErroRelativo
(f) µ10
Fig. 4.8: Comparação entre os métodos, k∗ = 1, K=p
2
4. Resultados e Discussões 42
4.5 Análise das autofunções
Nesta seção os resultados para as autofunçõesΨp são mostrados, para os três casos
estudados com condições de contorno de primeiro tipo, utilizando a GITT com auto-
funções auxiliares simples. Na figura 4.9 estão presentes as oito primeiras autofunções
Ψp . Como as condições de contorno são iguais nas duas direções, os respectivos auto-
valores das autofunções auxiliares Xi e Ym são iguais, o que pode gerar um problema
quando o reordenamento é feito. De modo a evitar que isto aconteça utiliza-se uma
razão de aspecto (K ) com valor irracional (p
2) de modo que os autovalores auxiliares
não sejam proporcionais.
A seguinte equação é utilizada para o cálculo do erro das autofunções Ψp :
εRMS =√
1
A
∫ (|Ψp |− |Ψp,ana |)2 dA (4.3)
onde Ψana é a autofunção bidimensional da solução análitica, e nos casos em que não
há solução analítica foi fixado um valor para o índice kmax sendo considerado como a
autofunção convergida, lembrando que:
Ψp =kmax∑k=1
Ωk Ψp,k (4.4)
A figura 4.10 apresenta o resultado para o erro das autofunçõs εRMS para o caso 1,
utilizando a autofunção analítica e a autofunção com dez mil termos. Observa-se um
comportamento semelhante para as autofunções, com resultados interessantes, che-
gando a um erro menor que 10−4 para valores de truncamento acima de 5×103. Como
os resultados com autofunçõesΨp,ana eΨp,1000 apresentam o mesmo comportamento,
será esta a ordem de truncamento para analisar o erro para os casos onde não há solução
analítica. Estes casos serão mostrados a seguir para os casos 2 e 3.
A figura 4.11 apresenta os valores para o erro relativo das primeiras cinco auto-
funções para o caso 2, utilizando a autofunção com dez mil termos como comparação.
A figura 4.12 apresenta o erro da autofunção para o caso 3. Os gráficos apresentam
4. Resultados e Discussões 43
comportamento semelhantes para as cinco primeiras autofunções analisadas.
= =
-
-
-
-
= =
-
-
-
-
-
-
= =
-
-
-
-
-
-
= =
-
-
-
-
-
= =
-
-
-
-
-
-
= =
-
-
-
-
-
-
= =
-
-
-
-
-
= =
-
-
-
-
-
-
Fig. 4.9: Autofunção Ψp , Caso 1 - CC Dirichlet δ = 1/4, k∗ = 1.2, K=p
2
4. Resultados e Discussões 44
-
-
-
-
ϵ
Ψ1
Ψ2
Ψ3
Ψ4
Ψ5
(a) Utilizando a autofunção analítica.
-
-
-
-
ϵ
Ψ1
Ψ2
Ψ3
Ψ4
Ψ5
(b) Utilizando a autofunção com dez mil termos.
Fig. 4.10: Gráfico do erro RMS das Ψp , Caso 1 - Autofunções Simples - δ = 1/4, k∗ =1.2
4. Resultados e Discussões 45
-
-
-
-
ϵ
Ψ1
Ψ2
Ψ3
Ψ4
Ψ5
Fig. 4.11: Gráfico do erro RMS em relação a kmax de Ψp , Caso 2
-
-
-
-
ϵ
Ψ1
Ψ2
Ψ3
Ψ4
Ψ5
Fig. 4.12: Gráfico do erro RMS em relação a kmax de Ψp , Caso 3
Capítulo 5
Considerações Finais
5.1 Conclusões
Neste trabalho desenvolveu-se uma solução analítica-numérica para o problema de
autovalor bidimensional utilizando a Técnica da transformada Integral Generalizada
(GITT). Diferentes autofunções auxiliares, foram utilizados para resolver o problema
de Sturm-Liouville original, buscando com isso obter melhores taxas de convergência.
O método foi validado através do caso com solução exata conhecida e também com o
Método das Diferenças Finitas (MDF).
A técnica híbrida apresentou resultados satisfatórios para os casos estudados. A
comparação da GITT, com autofunções auxiliares simples, com o MDF mostrou que o
método híbrido possui melhores taxas de convergência com um menor tempo compu-
tacional. Os resultados para técnica utilizando autovalores auxiliares por partes apre-
sentaram melhores taxas de convergência quando comparado com autofunções auxili-
ares simples, mostrando que a solução proposta é uma boa alternativa para resolver o
problema de autovalor com variação abrupta de propriedade.
Em uma primeira análise pode-se concluir que esta formulação melhorada futu-
ramente pode ser competitiva com métodos numéricos tradicionalmente utilizados
para resolver este tipo de problema. Contudo, esta formulação possui um elevado
custo computacional se comparado a solução utilizando autovalores auxiliares sim-
46
5. Considerações Finais 47
ples, sendo necessário buscar alternativas para diminuição deste tempo.
5.2 Trabalhos Futuros
Nesta seção serão mencionadas ideias para dar prosseguimento a pesquisa reali-
zada, considerando novas formas de solução e outros tipos de problemas que podem
ser resolvidos com a técnica apresentada.
Um dos grande problemas encontrados quando utilizou-se autofunções por cama-
das é o tempo computacional necessário para obtenção de resultados satisfatórios.
Como uma forma de reduzir este tempo pode-se transformar o problema em apenas
uma direção de modo a tentar melhorar a convergência da GITT. Outra proposta é
buscar novas funções para o reordenamento do problema.
Como problemas que podem ser resolvidos futuramente temos: Casos para meios
com geometrias irregulares; contato imperfeito entre os meios; considerar estrutura
ordenada, aleatória e periódica, e aleatória e não periódica para a partícula.
Capítulo 6
BIBLIOGRAFIA
[1] M.D. Mikhailov, M.N. Özisik, e N.L. Vulchanov. Diffusion in composite layers
with automatic solution of the eigenvalue problem. International Journal of Heat
and Mass Transfer, 26(8):1131 – 1141, 1983. ISSN 0017-9310.
[2] M. D. Mikhailov e M. N. Ozisik. Unified Analysis and Solutions of Heat and
Mass Diffusion. Wiley, 1984.
[3] Ling Yan, A. Haji-Sheikh, e J. V. Beck. Thermal characteristics of two-layered
bodies with embedded thin-film heat source. ASME J. Electron, 115(3):276–283,
1993.
[4] C. Aviles-Ramos, A. Haji-Sheikh, e J. V. Beck. Exact solution of heat conduc-
tion in composite materials and application to inverse problems. ASME J. Heat
Transfer, 120:592–599, 1998.
[5] K. J. Dowding e J. V. Beck. Estimation of directional-dependent thermal pro-
perties in a carbon-carbon composite. International journal of heat and mass
Transfer, 39(15):3157–3164, 1995.
[6] M. N. Özisik e R. L. Murray. On the solution of linear diffusion problems with
variable boundary condition parameters. Journal of Heat Transfer (ASME), 96:
48–51, 1974.
48
6. BIBLIOGRAFIA 49
[7] R. M. Cotta. Integral Transforms in Computational Heat and Fluid Flow. CRC
Press, 1993.
[8] R. M. Cotta. Benchmark results in computational heat and fluid flow: – The
Integral Transform Method. International Journal of Heat and Mass Transfer,
37(1):381–394, March 1994.
[9] R. M. Cotta. e M. D. Mikhailov. Heat Conduction – Lumped Analysis, Integral
Transforms, Symbolic Computation. Wiley, 1997.
[10] R. M. Cotta. The Integral Transform Method in Thermal and Fluids Science and
Engineering. Begell House, 1998.
[11] Renato M. Cotta, Carolina P. Naveira-Cotta, Helcio R.B. Orlande, e Olivier
Fudym. Eigenfunction expansions for transient diffusion in heterogeneous me-
dia. International Journal of Heat and Mass Transfer, 52(21–22):5029 – 5039,
2009.
[12] Carolina P. Naveira-Cotta, Helcio R.B. Orlande, e R. M. Cotta. Integral trans-
forms and bayesian inference in the identification of variable thermal conducti-
vity in two-phase dispersed systems. Numerical Heat Transfer, Part B Funda-
mentals, 3(57):173–203, 2010.
[13] Carolina P. Naveira-Cotta, Helcio R.B. Orlande, Renato M. Cotta, e J. S. Nu-
nes. Integral transforms, bayesian inference, and infrared thermography in the
simultaneous identi- fication of variable thermal conductivity and diffusivity in
heterogeneous media. International Heat Transfer Conference, 2010.
[14] R. M. Cotta, Diego C. Knupp, Carolina P. Naveira-Cotta, J. V. C. Ayres, e Hel-
cio R.B. Orlande. Experimental-theoretical analysis of a transient heat conduc-
tion setup via infrared thermography and unified integral transforms. Int. Rev.
Chem. Eng. 2, (736-747), 2010.
[15] Carolina P. Naveira-Cotta, Renato M. Cotta, e Helcio R.B. Orlande. Inverse
6. BIBLIOGRAFIA 50
analysis with integral transformed temperature fields: Identification of ther-
mophysical properties in heterogeneous media. International Journal of Heat
and Mass Transfer, 2011.
[16] Renato M. Cotta, Diego C. Knupp, Carolina P. Naveira-Cotta, João V.C. Ayres,
e Helcio R.B. Orlande. Theoretical-experimental analysis of heat transfer in no-
nhomogeneous solids via improved lumped formulation, integral transforms and
infrared thermography. International Journal of Thermal Sciences, 62:71 – 84,
2012.
[17] P. B. Bailey, M. k. Gordon, e L. F. Shampine. Automatic solution of the sturm-
liouville problem. ACM Transactions on Mathematical Software, 1978.
[18] P. B. Bailey, B. S. Garbow, H. G. Kaper, e A. Zettl. Eigenvalue and eigenfunction
computation for surm-liouville problems. ACM Transactions on Mathematical
Software, 1991.
[19] M. D. Mikhailov. e N. L. Vulchanov. Computational procedure for sturm-liouville
problems. Journal of computational physics, 1983.
[20] R. M. Cotta e E. Nogueira and. On the eigenvalues basic to diffusion through
composite media. Computation and Applied Mathematics, 1988.
[21] M. D. Mikhailov e R. M. Cotta. Integral transform solution of eigenvalue pro-
blems. Communications in Numerical Methods in Engineering, 10:827–835,
1994.
[22] M.C. Oliveira, R. Ramos, e R. M. Cotta. On the eigenvalues basic to the analytical
solution of convective heat transfer with axial diffusion effects. Communications
in Numerical Methods in Engineering, 11:287–1995, 1995.
[23] L. A. Sphaier e R. M. Cotta. Integral transform analysis of multidimensional
eigenvalue problems within irregular domains. Numerical Heat Transfer, Part B:
Fundamentals, 38(2):157–175, 2000.
6. BIBLIOGRAFIA 51
[24] Diego C. Knupp, Carolina P. Naveira-Cotta, e Renato M. Cotta. Experimental
identification of thermophysical properties in heterogeneous materials with in-
tegral transformation of temperature measurements from infrared thermography.
Experimental Heat Transfer, 26, 2013.
[25] Thermal Quadrupoles: Solving the Heat Equation through Integral Transforms.
John Wiley and Sons, 2000.
[26] Olivier Fudym, Bruno Ladevie, e Jean-Christophe Batsale. A seminumerical
approach for heat diffusion in heterogeneous media: One extension of the ana-
litycal quadrupole method. Numerical Heat Transfer, Part B Fundamentals, 42:
325–348, 2002.
[27] Rodrigo P. A. Rocha e Manuel E. Cruz. Computation of the effective conductivity
of unidirectional fibrous composites with an interfacial thermal resistance. An
International Journal of Computation and Methodology, 2001.
[28] Carlos F. Matt e Manuel E. Cruz. Effective thermal conductivity of composite
materials with 3-d microstructures and interfacial thermal resistance. An Interna-
tional Journal of Computation and Methodology, pages 287–301, 2008.
[29] S. C. C. Nascimento, J. N. N. Quaresma, e E. N. Macêdo. Generalized inte-
gral transform solution for hydrodynamically developing non-newtonian flows
in circular tubes. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and
Engineering, 28(1):125–130, 2006.
[30] C. R. M. Maia, J. B. Aparecido, e L. F. Milanez. Heat transfer in laminar flow
of non-newtonian fluids in ducts of elliptical section. International Journal of
Thermal Sciences, 45:1066–1072, 2006.
[31] R. M. Cotta, C. P. Naveira-Cotta, e D.C. Knupp. Theoretical analysis of con-
jugated heat transfer with a single domain formulation and integral transforms.
International Communications in Heat and Mass Transfer, 39:355–362, 2012.
6. BIBLIOGRAFIA 52
[32] R. M. Cotta, C. P. Naveira-Cotta, e D.C. Knupp. Conjugated convection-
conduction analysis in microchannels with axial diffusion effects and a single
domain formulation. Journal of Heat Transfer (ASME), 135, 2013.
[33] M. D. Mikhailov e R. M. Cotta. Mixed symbolic-numerical computation of con-
vective heat transfer with slip flow in microchannels. International Communica-
tions in Heat and Mass Transfer, 32(3-4):341–348, 2005.
[34] L. A. Sphaier. Analytical and hybrid solutions for heat transfer in combined
electroosmotic and pressure- driven flows. In ASME 2012 10th International
Conference on Nanochannels, Microchannels, and Minichannels collocated with
the ASME 2012 Heat Transfer Summer Conference and the ASME 2012 Fluids
Engineering Division Summer Meeting, pages 317–326, 2012.
[35] L. A. Sphaier. Integral transform solution for heat transfer in parallel-plates
micro-channels: Combined electroosmotic and pressure driven flows with
isothermal walls. International Communications in Heat and Mass Transfer, 39
(6):769–775, 2012.
[36] Diego C. Knupp, Renato M. Cotta, Carolina P. Naveira-Cotta, e Sadik Kakaç.
Transient conjugated heat transfer in microchannels: Integral transforms with
single domain formulation. International Journal of Thermal Sciences, 88:248 –
257, 2014.
[37] S. Wolfram. The Mathematica Book, version 5.2. Cambridge-Wolfram Media,
2005.
Apêndice A
Tabelas - Condições de contorno de 1 tipo
Tab. A.1: Caso 1 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.5, KK =1
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 2.34935 3.75446 3.80445 4.66066 5.13953 5.38103 5.86294 5.91626 6.83799 6.95784125 2.34929 3.75446 3.80441 4.65901 5.13812 5.38103 5.86143 5.91489 6.83799 6.95784150 2.34929 3.75393 3.80441 4.65848 5.13812 5.38099 5.86087 5.91489 6.83731 6.95782175 2.34924 3.75393 3.80441 4.65848 5.13604 5.38096 5.86087 5.91317 6.83731 6.95768200 2.34924 3.75391 3.80441 4.65848 5.13604 5.38096 5.86087 5.91317 6.83717 6.95768225 2.34923 3.75391 3.80440 4.65848 5.13519 5.38087 5.86087 5.91256 6.83717 6.95744250 2.34923 3.75340 3.80440 4.65807 5.13519 5.38087 5.86054 5.91256 6.83715 6.95744275 2.34923 3.75340 3.80438 4.65807 5.13519 5.38082 5.86054 5.91256 6.83715 6.95744300 2.34923 3.75279 3.80438 4.65753 5.13519 5.38082 5.86054 5.91256 6.83698 6.95735350 2.34922 3.75279 3.80438 4.65753 5.13473 5.38082 5.86006 5.91215 6.83698 6.95735400 2.34920 3.75262 3.80438 4.65737 5.13392 5.38081 5.85990 5.91150 6.83684 6.95735450 2.34920 3.75260 3.80438 4.65736 5.13392 5.38081 5.85990 5.91150 6.83683 6.95728500 2.34919 3.75260 3.80437 4.65736 5.13354 5.38077 5.85990 5.91122 6.83683 6.95720
1000 2.34917 3.75161 3.80437 4.65652 5.13266 5.38073 5.85917 5.91052 6.83661 6.95708
Tab. A.2: Caso 1 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 2, KK =1
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 2.46214 3.91414 4.03090 4.80081 5.24647 5.63424 5.98177 6.10978 7.13018 7.16884125 2.46202 3.91414 4.03090 4.79580 5.24163 5.63424 5.97714 6.10556 7.13018 7.16884150 2.46202 3.91317 4.03090 4.79483 5.24163 5.63416 5.97614 6.10556 7.12787 7.16855175 2.46197 3.91317 4.03079 4.79483 5.23661 5.63341 5.97614 6.10210 7.12787 7.16709200 2.46197 3.91283 4.03079 4.79459 5.23661 5.63341 5.97598 6.10210 7.12784 7.16709225 2.46197 3.91283 4.03064 4.79459 5.23524 5.63280 5.97598 6.10140 7.12784 7.16607250 2.46197 3.91074 4.03064 4.79282 5.23524 5.63280 5.97448 6.10140 7.12712 7.16607275 2.46196 3.91074 4.03061 4.79282 5.23517 5.63274 5.97448 6.10127 7.12712 7.16607300 2.46196 3.90894 4.03061 4.79123 5.23517 5.63274 5.97448 6.10127 7.12588 7.16600350 2.46193 3.90894 4.03060 4.79123 5.23356 5.63265 5.97306 6.10002 7.12588 7.16578400 2.46191 3.90868 4.03055 4.79097 5.23160 5.63231 5.97280 6.09872 7.12542 7.16578450 2.46191 3.90846 4.03055 4.79081 5.23160 5.63231 5.97268 6.09872 7.12541 7.16516500 2.46191 3.90846 4.03050 4.79081 5.23101 5.63209 5.97268 6.09840 7.12541 7.16479
1000 2.46188 3.90516 4.03042 4.78795 5.22877 5.63171 5.97020 6.09686 7.12365 7.16410
53
Apêndice A. Tabelas - Condições de contorno de 1 tipo 54
= =
-
-
-
-
-
-
= =
-
-
-
-
-
-
= =
-
-
-
-
-
-
= =
-
-
-
-
-
= =
-
-
-
-
-
-
= =
-
-
-
-
-
-
Fig. A.1: Autofunção Ψp , Caso 1 - CC Dirichlet δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK=21/2
Apêndice A. Tabelas - Condições de contorno de 1 tipo 55
Tab. A.3: Caso 1 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =1
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
500 2.27493 3.62229 3.63930 4.54234 5.04770 5.15898 5.75709 5.77554 6.63069 6.721011000 2.27492 3.62212 3.63930 4.54220 5.04750 5.15898 5.75697 5.77537 6.63068 6.721002000 2.27492 3.62205 3.63930 4.54214 5.04729 5.15897 5.75692 5.77520 6.63067 6.721003000 2.27491 3.62200 3.63930 4.54210 5.04722 5.15897 5.75689 5.77514 6.63067 6.721004000 2.27491 3.62199 3.63930 4.54209 5.04716 5.15897 5.75688 5.77508 6.63067 6.721005000 2.27491 3.62197 3.63929 4.54207 5.04713 5.15897 5.75687 5.77506 6.63067 6.721006000 2.27491 3.62196 3.63929 4.54206 5.04710 5.15897 5.75686 5.77503 6.63066 6.721007000 2.27491 3.62195 3.63929 4.54206 5.04708 5.15897 5.75685 5.77502 6.63066 6.721008000 2.27491 3.62194 3.63929 4.54205 5.04707 5.15897 5.75685 5.77501 6.63066 6.721009000 2.27491 3.62194 3.63929 4.54205 5.04705 5.15897 5.75684 5.77500 6.63066 6.7210010000 2.27491 3.62193 3.63929 4.54204 5.04704 5.15897 5.75684 5.77498 6.63066 6.7210011000 2.27491 3.62192 3.63929 4.54204 5.04703 5.15897 5.75684 5.77498 6.63066 6.7210012000 2.27491 3.62192 3.63929 4.54203 5.04703 5.15897 5.75683 5.77497 6.63066 6.7210013000 2.27491 3.62192 3.63929 4.54203 5.04701 5.15897 5.75683 5.77496 6.63066 6.7209914000 2.27491 3.62191 3.63929 4.54203 5.04701 5.15897 5.75683 5.77496 6.63066 6.7209915000 2.27491 3.62191 3.63929 4.54203 5.04700 5.15897 5.75683 5.77495 6.63066 6.7209920000 2.27491 3.62190 3.63929 4.54202 5.04698 5.15897 5.75682 5.77493 6.63066 6.7209925000 2.27491 3.62189 3.63929 4.54201 5.04697 5.15897 5.75682 5.77492 6.63066 6.7209930000 2.27491 3.62189 3.63929 4.54201 5.04696 5.15897 5.75681 5.77491 6.63066 6.72099
Analítico 2.27490 3.62183 3.63929 4.54196 5.04684 - 5.75677 5.77481 6.63066 -
Apêndice A. Tabelas - Condições de contorno de 1 tipo 56
Tab. A.4: Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =1
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 2.22374 3.56313 3.56320 4.45832 4.99420 5.00552 5.68947 5.68950 6.54510 6.54510125 2.22373 3.56306 3.56306 4.45830 4.99414 5.00545 5.68942 5.68942 6.54508 6.54508150 2.22372 3.56301 3.56301 4.45828 4.99412 5.00536 5.68938 5.68938 6.54504 6.54504175 2.22371 3.56300 3.56300 4.45825 4.99398 5.00514 5.68935 5.68935 6.54503 6.54503200 2.22371 3.56300 3.56300 4.45825 4.99396 5.00511 5.68934 5.68934 6.54501 6.54501225 2.22370 3.56300 3.56300 4.45825 4.99387 5.00500 5.68933 5.68933 6.54501 6.54501250 2.22370 3.56297 3.56297 4.45825 4.99385 5.00499 5.68931 5.68931 6.54501 6.54501275 2.22370 3.56296 3.56296 4.45824 4.99384 5.00498 5.68930 5.68930 6.54501 6.54501300 2.22370 3.56294 3.56294 4.45824 4.99384 5.00498 5.68929 5.68929 6.54500 6.54500350 2.22370 3.56291 3.56291 4.45823 4.99382 5.00493 5.68927 5.68927 6.54500 6.54500400 2.22369 3.56289 3.56289 4.45822 4.99376 5.00485 5.68926 5.68926 6.54499 6.54499450 2.22369 3.56289 3.56289 4.45822 4.99375 5.00483 5.68925 5.68925 6.54499 6.54499500 2.22369 3.56289 3.56289 4.45822 4.99370 5.00477 5.68924 5.68924 6.54499 6.54499600 2.22369 3.56286 3.56286 4.45821 4.99369 5.00477 5.68922 5.68922 6.54499 6.54499
1000 2.22368 3.56282 3.56282 4.45820 4.99362 5.00465 5.68919 5.68919 6.54498 6.54498
100 2.22374 3.56316 3.56323 4.45899 4.99441 5.00538 5.68968 5.69095 6.54509 6.54510200 2.22372 3.56298 3.56303 4.45861 4.99421 5.00510 5.68942 5.69066 6.54502 6.54502300 2.22370 3.56294 3.56297 4.45860 4.99397 5.00491 5.68939 5.69016 6.54500 6.54501400 2.22370 3.56290 3.56292 4.45848 4.99392 5.00484 5.68932 5.69013 6.54499 6.54500500 2.22369 3.56288 3.56290 4.45845 4.99383 5.00476 5.68929 5.68997 6.54499 6.54499600 2.22369 3.56287 3.56288 4.45845 4.99379 5.00472 5.68929 5.68986 6.54498 6.54499700 2.22369 3.56285 3.56286 4.45840 4.99378 5.00471 5.68926 5.68983 6.54498 6.54499800 2.22368 3.56284 3.56286 4.45838 4.99376 5.00468 5.68925 5.68982 6.54498 6.54499900 2.22368 3.56283 3.56285 4.45838 4.99372 5.00465 5.68924 5.68976 6.54498 6.54498
1000 2.22368 3.56283 3.56283 4.45838 4.99370 5.00463 5.68924 5.68969 6.54498 6.54498
Tab. A.5: Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.5, KK =1
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 2.22631 3.62677 3.62719 4.47821 5.02590 5.04581 5.71861 5.71880 6.63481 6.63488125 2.22627 3.62643 3.62643 4.47806 5.02556 5.04532 5.71836 5.71836 6.63466 6.63466150 2.22624 3.62621 3.62621 4.47794 5.02542 5.04488 5.71818 5.71818 6.63440 6.63440175 2.22617 3.62618 3.62618 4.47781 5.02466 5.04393 5.71807 5.71807 6.63437 6.63437200 2.22616 3.62616 3.62616 4.47779 5.02456 5.04381 5.71800 5.71800 6.63432 6.63432225 2.22614 3.62616 3.62616 4.47779 5.02419 5.04342 5.71795 5.71795 6.63431 6.63431250 2.22614 3.62597 3.62597 4.47778 5.02412 5.04338 5.71783 5.71783 6.63430 6.63430275 2.22613 3.62594 3.62594 4.47775 5.02410 5.04335 5.71781 5.71781 6.63429 6.63429300 2.22613 3.62579 3.62579 4.47772 5.02409 5.04333 5.71774 5.71774 6.63425 6.63425350 2.22611 3.62567 3.62567 4.47765 5.02392 5.04306 5.71763 5.71764 6.63422 6.63422400 2.22609 3.62559 3.62559 4.47761 5.02361 5.04269 5.71757 5.71757 6.63417 6.63417450 2.22608 3.62558 3.62558 4.47760 5.02357 5.04264 5.71752 5.71752 6.63416 6.63416500 2.22607 3.62558 3.62558 4.47760 5.02338 5.04243 5.71750 5.71750 6.63416 6.63416600 2.22607 3.62535 3.62535 4.47755 5.02336 5.04240 5.71738 5.71738 6.63413 6.63413
1000 2.22603 3.62515 3.62515 4.47747 5.02297 5.04192 5.71721 5.71721 6.63408 6.63408
Apêndice A. Tabelas - Condições de contorno de 1 tipo 57
Tab. A.6: Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 2, KK =1
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 2.22931 3.70966 3.71099 4.50521 5.06485 5.09004 5.75210 5.75272 6.75562 6.75710125 2.22918 3.70870 3.70870 4.50460 5.06362 5.08827 5.75137 5.75137 6.75438 6.75638150 2.22909 3.70825 3.70825 4.50422 5.06300 5.08702 5.75094 5.75094 6.75329 6.75568175 2.22893 3.70818 3.70818 4.50387 5.06076 5.08473 5.75067 5.75067 6.75140 6.75561200 2.22891 3.70804 3.70804 4.50385 5.06051 5.08453 5.75045 5.75045 6.75108 6.75555225 2.22886 3.70799 3.70799 4.50384 5.05969 5.08382 5.75035 5.75035 6.75058 6.75547250 2.22886 3.70723 3.70723 4.50377 5.05955 5.08373 5.74989 5.74989 6.75051 6.75530275 2.22885 3.70713 3.70713 4.50362 5.05952 5.08359 5.74981 5.74981 6.75047 6.75525300 2.22884 3.70667 3.70667 4.50352 5.05951 5.08353 5.74959 5.74959 6.75044 6.75502350 2.22878 3.70634 3.70634 4.50327 5.05883 5.08267 5.74928 5.74931 6.74974 6.75488400 2.22871 3.70618 3.70618 4.50318 5.05792 5.08177 5.74917 5.74917 6.74901 6.75473450 2.22870 3.70608 3.70608 4.50315 5.05780 5.08165 5.74902 5.74902 6.74888 6.75470500 2.22867 3.70607 3.70607 4.50312 5.05741 5.08127 5.74897 5.74897 6.74863 6.75466
1000 2.22857 3.70464 3.70464 4.50264 5.05623 5.07994 5.74805 5.74805 6.74764 6.75416
Tab. A.7: Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/2, k∗ = 2, KK =1
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 2.31171 3.99373 3.99376 4.86859 5.65550 5.76131 6.17344 6.17351 7.19728 7.20054125 2.31151 3.99370 3.99370 4.86837 5.65335 5.75948 6.17242 6.17242 7.19675 7.19675150 2.31147 3.99328 3.99328 4.86785 5.65286 5.75907 6.17092 6.17092 7.18992 7.18992175 2.31042 3.99319 3.99319 4.86761 5.64845 5.75458 6.16879 6.16879 7.18950 7.18950200 2.31037 3.99318 3.99318 4.86754 5.64833 5.75428 6.16867 6.16867 7.18769 7.18769225 2.31029 3.99317 3.99317 4.86753 5.64731 5.75363 6.16809 6.16809 7.18738 7.18738250 2.31028 3.99294 3.99294 4.86719 5.64729 5.75345 6.16753 6.16753 7.18405 7.18405275 2.30963 3.99291 3.99291 4.86710 5.64451 5.75064 6.16657 6.16657 7.18378 7.18378300 2.30960 3.99289 3.99289 4.86708 5.64444 5.75053 6.16610 6.16610 7.18273 7.18273350 2.30954 3.99289 3.99289 4.86706 5.64390 5.75003 6.16577 6.16578 7.18249 7.18253400 2.30910 3.99272 3.99272 4.86680 5.64195 5.74812 6.16476 6.16476 7.18024 7.18024450 2.30907 3.99271 3.99271 4.86678 5.64189 5.74798 6.16438 6.16438 7.17947 7.17947500 2.30903 3.99271 3.99271 4.86677 5.64158 5.74770 6.16420 6.16420 7.17935 7.17935
1000 2.30819 3.99242 3.99242 4.86631 5.63775 5.74386 6.16167 6.16167 7.17441 7.17441
Apêndice A. Tabelas - Condições de contorno de 1 tipo 58
Tab. A.8: Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 2, KK =21/2
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 2.73026 4.03566 4.98846 5.31868 5.51601 6.64564 6.91398 6.99674 7.48900 7.82835125 2.73015 4.03547 4.98708 5.31608 5.51531 6.64411 6.91371 6.99631 7.48854 7.82714150 2.73011 4.03531 4.98438 5.31521 5.51501 6.64182 6.91345 6.99610 7.48840 7.82652175 2.73003 4.03481 4.98400 5.31488 5.51459 6.64126 6.91342 6.99447 7.48801 7.82549200 2.72995 4.03443 4.98389 5.31481 5.51449 6.64122 6.91339 6.99327 7.48748 7.82524225 2.72995 4.03376 4.98324 5.31478 5.51419 6.64075 6.91327 6.99322 7.48693 7.82486250 2.72977 4.03368 4.98320 5.31408 5.51408 6.64066 6.91319 6.98992 7.48651 7.82474275 2.72976 4.03356 4.98305 5.31398 5.51401 6.64049 6.91309 6.98983 7.48634 7.82468300 2.72973 4.03350 4.98299 5.31305 5.51396 6.64041 6.91307 6.98974 7.48627 7.82461350 2.72968 4.03344 4.98186 5.31262 5.51386 6.63943 6.91296 6.98869 7.48613 7.82438400 2.72967 4.03301 4.98181 5.31256 5.51372 6.63939 6.91291 6.98859 7.48584 7.82413450 2.72966 4.03265 4.98081 5.31229 5.51347 6.63855 6.91285 6.98853 7.48555 7.82372500 2.72960 4.03258 4.98077 5.31209 5.51339 6.63851 6.91282 6.98755 7.48537 7.82359
1000 2.72943 4.03178 4.97924 5.31055 5.51292 6.63721 6.91263 6.98506 7.48453 7.82284
Tab. A.9: Caso 3 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =1
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 2.32572 3.70254 3.70263 4.62963 5.19980 5.22804 5.84480 5.84482 6.82207 6.82207125 2.32571 3.70245 3.70245 4.62914 5.19972 5.22794 5.84448 5.84448 6.82204 6.82204150 2.32570 3.70239 3.70239 4.62893 5.19969 5.22780 5.84438 5.84438 6.82194 6.82194175 2.32569 3.70237 3.70237 4.62890 5.19949 5.22754 5.84402 5.84402 6.82193 6.82193200 2.32569 3.70237 3.70237 4.62890 5.19946 5.22752 5.84399 5.84399 6.82191 6.82191225 2.32568 3.70236 3.70236 4.62890 5.19932 5.22741 5.84381 5.84381 6.82190 6.82190250 2.32568 3.70233 3.70233 4.62881 5.19931 5.22739 5.84378 5.84378 6.82189 6.82189275 2.32568 3.70233 3.70233 4.62881 5.19929 5.22738 5.84377 5.84377 6.82189 6.82189300 2.32568 3.70230 3.70230 4.62865 5.19929 5.22737 5.84376 5.84376 6.82188 6.82188350 2.32568 3.70227 3.70227 4.62864 5.19926 5.22731 5.84365 5.84366 6.82187 6.82187400 2.32567 3.70224 3.70224 4.62856 5.19918 5.22722 5.84350 5.84350 6.82186 6.82186450 2.32567 3.70224 3.70224 4.62856 5.19917 5.22720 5.84348 5.84348 6.82185 6.82185500 2.32567 3.70224 3.70224 4.62856 5.19910 5.22714 5.84340 5.84340 6.82185 6.82185
1000 2.32566 3.70215 3.70215 4.62831 5.19899 5.22701 5.84316 5.84316 6.82183 6.82183
Apêndice A. Tabelas - Condições de contorno de 1 tipo 59
Tab. A.10: Caso 3 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/2, k∗ = 1.2, KK =1
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 2.40168 3.79477 3.79478 4.75872 5.35323 5.41456 6.07208 6.07210 7.01838 7.01838125 2.40168 3.79477 3.79477 4.75868 5.35321 5.41451 6.07195 6.07195 7.01833 7.01833150 2.40167 3.79476 3.79476 4.75868 5.35316 5.41445 6.07187 6.07187 7.01813 7.01813175 2.40166 3.79475 3.79475 4.75867 5.35316 5.41438 6.07180 6.07180 7.01809 7.01809200 2.40165 3.79475 3.79475 4.75866 5.35316 5.41436 6.07179 6.07179 7.01806 7.01806225 2.40165 3.79474 3.79474 4.75866 5.35314 5.41433 6.07170 6.07170 7.01806 7.01806250 2.40165 3.79474 3.79474 4.75866 5.35313 5.41432 6.07170 6.07170 7.01795 7.01795275 2.40164 3.79474 3.79474 4.75866 5.35313 5.41428 6.07167 6.07167 7.01794 7.01794300 2.40164 3.79473 3.79473 4.75865 5.35313 5.41427 6.07165 6.07165 7.01792 7.01792350 2.40164 3.79473 3.79473 4.75865 5.35311 5.41424 6.07160 6.07160 7.01791 7.01791400 2.40163 3.79473 3.79473 4.75865 5.35311 5.41421 6.07157 6.07157 7.01784 7.01784450 2.40163 3.79473 3.79473 4.75864 5.35311 5.41420 6.07156 6.07156 7.01782 7.01783500 2.40163 3.79472 3.79472 4.75864 5.35310 5.41419 6.07153 6.07153 7.01782 7.01782
1000 2.40162 3.79471 3.79471 4.75864 5.35309 5.41410 6.07142 6.07142 7.01768 7.01768
Tab. A.11: Caso 3 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.5, KK =1
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 2.46953 3.95140 3.95188 4.85262 5.45907 5.56941 6.05888 6.05896 7.23877 7.23891125 2.46948 3.95090 3.95090 4.84984 5.45855 5.56887 6.05698 6.05698 7.23834 7.23834150 2.46945 3.95060 3.95060 4.84895 5.45825 5.56815 6.05651 6.05651 7.23775 7.23775175 2.46940 3.95055 3.95055 4.84880 5.45691 5.56717 6.05489 6.05489 7.23770 7.23770200 2.46940 3.95053 3.95053 4.84878 5.45684 5.56700 6.05481 6.05481 7.23758 7.23758225 2.46939 3.95052 3.95052 4.84877 5.45611 5.56670 6.05420 6.05420 7.23746 7.23746250 2.46939 3.95029 3.95029 4.84809 5.45609 5.56656 6.05400 6.05400 7.23741 7.23741275 2.46938 3.95026 3.95026 4.84805 5.45604 5.56651 6.05396 6.05396 7.23740 7.23740300 2.46938 3.95008 3.95008 4.84720 5.45603 5.56649 6.05392 6.05392 7.23728 7.23728350 2.46936 3.94991 3.94991 4.84709 5.45577 5.56616 6.05328 6.05330 7.23719 7.23719400 2.46935 3.94980 3.94980 4.84680 5.45522 5.56578 6.05262 6.05262 7.23708 7.23708450 2.46934 3.94979 3.94979 4.84678 5.45519 5.56571 6.05254 6.05254 7.23704 7.23704500 2.46934 3.94979 3.94979 4.84678 5.45487 5.56551 6.05227 6.05227 7.23699 7.23699
Apêndice A. Tabelas - Condições de contorno de 1 tipo 60
Tab. A.12: Caso 3 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 2, KK =1
nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 2.68513 4.29455 4.29593 5.12106 5.74356 6.05091 6.33188 6.33198 7.75422 7.75534125 2.68503 4.29276 4.29276 5.11232 5.74166 6.04943 6.32605 6.32605 7.75082 7.75082150 2.68496 4.29212 4.29212 5.11061 5.73979 6.04745 6.32487 6.32487 7.74850 7.74850175 2.68492 4.29195 4.29195 5.11023 5.73494 6.04586 6.32131 6.32131 7.74793 7.74793200 2.68491 4.29177 4.29177 5.10982 5.73491 6.04511 6.32102 6.32102 7.74755 7.74755225 2.68490 4.29165 4.29165 5.10980 5.73307 6.04474 6.32022 6.32022 7.74697 7.74697250 2.68490 4.29059 4.29059 5.10691 5.73304 6.04426 6.31952 6.31952 7.74609 7.74609275 2.68489 4.29050 4.29050 5.10664 5.73300 6.04396 6.31923 6.31923 7.74604 7.74604300 2.68488 4.29000 4.29000 5.10420 5.73297 6.04391 6.31913 6.31913 7.74559 7.74559350 2.68485 4.28940 4.28940 5.10374 5.73164 6.04301 6.31714 6.31719 7.74468 7.74472400 2.68483 4.28917 4.28917 5.10327 5.72969 6.04238 6.31580 6.31580 7.74423 7.74423450 2.68483 4.28904 4.28904 5.10297 5.72967 6.04207 6.31554 6.31554 7.74381 7.74382500 2.68483 4.28899 4.28899 5.10296 5.72891 6.04172 6.31518 6.31518 7.74355 7.74355600 2.68482 4.28793 4.28793 5.10011 5.72888 6.04156 6.31439 6.31439 7.74260 7.74260
1000 2.68479 4.28704 4.28704 5.09782 5.72668 6.04038 6.31219 6.31219 7.74143 7.741432000 2.68477 4.28616 4.28616 5.09572 5.72437 6.03919 6.30998 6.30998 7.74029 7.740293000 2.68476 4.28571 4.28571 5.09458 5.72350 6.03874 6.30906 6.30906 7.73973 7.73973
Apêndice B
Tabelas - Condições de contorno de 2 e 1 tipo
Tab. B.1: Caso 1 - Condições de contorno de 2 e 1 tipo , δ = 1/2, k∗ = 2, KK =1
kmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 1.64900 2.65917 3.78893 4.21966 4.44326 5.27589 5.69588 5.97094 6.26032 6.603361000 1.64583 2.65789 3.78733 4.21745 4.44290 5.27162 5.66974 5.94514 6.25721 6.595562000 1.64542 2.65773 3.78711 4.21714 4.44289 5.27102 5.66657 5.94202 6.25695 6.594483000 1.64517 2.65764 3.78703 4.21704 4.44289 5.27082 5.66471 5.94019 6.25681 6.594124000 1.64501 2.65758 3.78697 4.21694 4.44288 5.27064 5.66347 5.93898 6.25672 6.593805000 1.64493 2.65755 3.78693 4.21689 4.44288 5.27055 5.66284 5.93836 6.25667 6.593636000 1.64486 2.65752 3.78690 4.21685 4.44288 5.27046 5.66232 5.93785 6.25663 6.593487000 1.64483 2.65751 3.78687 4.21681 4.44288 5.27040 5.66209 5.93763 6.25662 6.593368000 1.64478 2.65749 3.78686 4.21679 4.44288 5.27036 5.66170 5.93724 6.25659 6.593299000 1.64473 2.65747 3.78684 4.21677 4.44288 5.27031 5.66136 5.93691 6.25656 6.5932210000 1.64471 2.65746 3.78683 4.21676 4.44288 5.27028 5.66121 5.93676 6.25655 6.5931615000 1.64462 2.65743 3.78679 4.21669 4.44288 5.27016 5.66049 5.93605 6.25649 6.59295
Analítico 1.64418 2.65726 3.78659 4.21642 4.44288 5.26965 5.65710 5.93273 - -
Tab. B.2: Caso 1 TH = 1, T0 = 0, δ = 1/2, k∗ = 2, KK =1T (0,−0.8) T (0,−0.5)
kmax \ pmax 100 500 1000 3000 100 500 1000500 0.13263 0.13343 - - 0.32658 0.33077 -1000 0.13252 0.13385 0.13364 - 0.32644 0.33055 0.331572000 0.13243 0.13369 0.13355 - 0.32637 0.33050 0.331373000 0.13240 0.13365 0.13351 0.13355 0.32635 0.33049 0.331364000 0.13238 0.13361 0.13348 0.32633 0.33047 0.331335000 0.13236 0.13360 0.13347 0.13352 0.32632 0.33046 0.3313210000 0.13233 0.13355 0.13342 0.13348 0.32629 0.33043 0.33129
Analítico 0.13333 0.33333
61
Apêndice B. Tabelas - Condições de contorno de 2 e 1 tipo 62
Tab. B.3: Caso 1 - Condições de contorno de 2 e 1 tipo , δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =1
kmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
100 1.57417 2.27498 3.25899 3.62299 3.63934 4.54295 4.78246 5.04900 5.15910 5.75765500 1.57410 2.27493 3.25824 3.62229 3.63930 4.54234 4.78109 5.04770 5.15898 5.757091000 1.57409 2.27492 3.25809 3.62215 3.63930 4.54223 4.78088 5.04750 5.15898 5.757001500 1.57408 2.27492 3.25803 3.62209 3.63930 4.54218 4.78074 5.04738 5.15897 5.756952000 1.57407 2.27492 3.25798 3.62205 3.63930 4.54214 4.78066 5.04729 5.15897 5.756923000 1.57407 2.27491 3.25793 3.62201 3.63930 4.54211 4.78058 5.04722 5.15897 5.756894000 1.57407 2.27491 3.25791 3.62199 3.63930 4.54209 4.78052 5.04716 5.15897 5.756885000 1.57406 2.27491 3.25789 3.62197 3.63929 4.54207 4.78048 5.04713 5.15897 5.756876000 1.57406 2.27491 3.25788 3.62196 3.63929 4.54206 4.78045 5.04710 5.15897 5.756867000 1.57406 2.27491 3.25787 3.62195 3.63929 4.54206 4.78044 5.04709 5.15897 5.756858000 1.57406 2.27491 3.25786 3.62194 3.63929 4.54205 4.78042 5.04707 5.15897 5.756859000 1.57406 2.27491 3.25785 3.62194 3.63929 4.54205 4.78040 5.04705 5.15897 5.7568410000 1.57406 2.27491 3.25785 3.62193 3.63929 4.54204 4.78039 5.04704 5.15897 5.7568420000 1.57406 2.27491 3.25781 3.62190 3.63929 4.54202 4.78033 5.04698 5.15897 5.7568230000 1.57405 2.27491 3.25780 3.62189 3.63929 4.54201 4.78030 5.04696 5.15897 5.7568150000 1.57405 2.27490 3.25779 3.62188 3.63929 4.54200 4.78027 5.04693 5.15897 5.75680
Analítico 1.57405 2.27490 3.25774 3.62183 3.63929 4.54196 4.78017 5.04684 - 5.75677
Tab. B.4: Caso 1 TH = 1, T0 = 0, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =1T (0,−0.8) T(0,-0.5)
kmax \ pmax 100 500 1000100 0.10453 - - 0.26073 - -500 0.10448 0.10441 - 0.26069 0.26096 -1000 0.10448 0.10436 0.10433 0.26066 0.26089 0.260962000 0.10447 0.10435 0.10435 0.26065 0.26088 0.260923000 0.10447 0.10435 0.10435 0.26065 0.26087 0.260924000 0.10446 0.10435 0.10435 0.26064 0.26087 0.26092
Analítico 0.10435 0.26087