PGMEC · gência a medida que o número de Biot aumenta. Para a fase dispersa quadrada sem geração, observa-se que a convergência apresenta resultados piores do que para a fase

PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

CONDUÇÃO PERMANENTE EM

MEIOS HETEROGÊNEOS: SOLUÇÃO

MISTA POR TRANSFORMADA

INTEGRAL E VOLUMES FINITOS

THAYNÁ DA FONSECA RANGEL

29 DE SETEMBRO DE 2016

THAYNÁ DA FONSECA RANGEL

CONDUÇÃO PERMANENTE EM MEIOSHETEROGÊNEOS: SOLUÇÃO MISTA POR

TRANSFORMADA INTEGRAL E VOLUMESFINITOS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânicada UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção do tí-tulo de Mestre em Ciências em Engenharia Me-cânica

Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D.

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, 29 DE SETEMBRO DE 2016

CONDUÇÃO PERMANENTE EM MEIOSHETEROGÊNEOS: SOLUÇÃO MISTA POR

TRANSFORMADA INTEGRAL E VOLUMESFINITOS

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

na área de concentração de , e aprovada em sua forma final pela BancaExaminadora formada pelos membros abaixo:

Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D (Orientador)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Leonardo Santos de Brito Alves, Ph.DUniversidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Fábio Toshio Kanizawa, D.ScUniversidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Diego Campos Knupp, D.ScInstituto Politécnico, Universidade do Estado do Rio de Janeiro – IPRJ/UERJ

Agradecimentos

À Deus, por sempre me dar a mão nos momentos solicitados. À minha família e

amigos, pelo apoio incondicional em todos os momentos. Ao meu orientador Leandro

Alcoforado Sphaier pela paciência, conhecimento repassado e ajuda prestada. Aos

colegas do Laboratório de Termociências, pelas ajudas nos momentos de dificuldade

e pela companhia durante todo este período. À CAPES, CNPq e FAPERJ pelo apoio

financeiro durante este período.

iv

Resumo

O propósito deste trabalho é desenvolver uma solução mista utilizando métodos semi-

analíticos e de discretização para o problema de condução de calor em materiais he-

terogêneos. Para isto, foi considerado um problema de condução bidimensional per-

manente em um material heterogêneo composto por uma matriz envolvendo uma fase

dispersa, não havendo resistência interfacial entre as fases. Condições de contorno de

Dirichlet, Neumann e Robin nas superfícies superior e inferior, foram consideradas.

Para obter a solução híbrida deste problema foi utilizada a Técnica da Transformada

Integral Generalizada (GITT) juntamente com um esquema de Volumes Finitos (FVM)

com aproximações de segunda ordem para solução do problema transformado. Toda

implementação foi feita no programa Wolfram Mathematica. Realizou-se uma análise

de convergência da solução proposta, examinando a temperatura em pontos seleciona-

dos, temperaturas médias de superfícies, taxas de transferência de calor para casos com

e sem geração de energia. Para os casos sem geração de energia, examinou-se também

a convergência da condutividade térmica efetiva. Os resultados mostraram que, para

a fase dispersa circular sem geração, mais termos são necessários para obter conver-

gência a medida que o número de Biot aumenta. Para a fase dispersa quadrada sem

geração, observa-se que a convergência apresenta resultados piores do que para a fase

dispersa circular.Além disso, a fase dispersa quadrada apresenta resultados maiores

para os valores de condutividade térmica. Para as fases dispersas quadrada e circular

com geração, percebe-se que, em ambos os casos, a variação no valor da condutividade

térmica da fase dispersa tem maior efeito nas tabelas de convergência de temperatura

do que nas tabelas de convergência de taxas de fluxo de calor, temperaturas médias

de superfície e erro global. Além disso, a fase dispersa quadrada apresenta valores

maiores de erro global e uma melhor condução de calor.

Após a análise de convergência, avaliou-se a influência do tamanho e da geometria

da fase dispersa na condutividade térmica efetiva através dos campos de temperatura, e

v

observou-se que com o aumento da fração volumétrica, há o aumento da condutividade

térmica efetiva, além de que a condução de calor ocorre de forma ligeiramente melhor

na fase dispersa quadrada. Os resultados simulados foram comparados com dados

da literatura e com valores obtidos utilizando correlações presentes na literatura. Os

resultados obtidos para condutividade efetiva são maiores do que valores calculados

pela correlação de Maxwell quando se considera uma fração volumétrica corrigida,

porém quando são utilizados mesmos valores de frações volumétricas, os resultados

utilizando a correlação de Maxwell são maiores. As comparações com dados de outros

trabalhos mostraram que os resultados simulados coincidem com os resultados obtidos

na literatura quando Φ= 0.3 e Φ= 0.75 para kmax = 2, e quando kmax = 50 apresentam

um desvio de 2.7% e 9.12% respectivamente.

Pal av r as −chave : condução, meios heterogêneos, solução mista.

vi

Abstract

The purpose of this work is to develop a combined solution using semi-analytical

methods and discretization to heat conduction problems in heterogeneous materials.

The considered problem comprises steady two-dimensional heat conduction in a he-

terogeneous medium composed of a polymeric matrix with low thermal conductivity

and a metallic filler with higher thermal conductivity with no thermal contact resis-

tance. Dirichlet, Neumann e Robin boundary conditions are applied at the top and

bottom surfaces. The Generalized Integral Transform Technique (GITT) combined

with a second-order Finite Volumes scheme were used to develop a hybrid numerical-

analytical solution to the problem, which was implemented in the Mathematica system.

A convergence analysis of the proposed solution, analysing the temperature in the se-

lected points, surface average temperatures, heat flux rates for cases with and without

heat generation was done. For the no heat generation cases, the effective thermal con-

ductivity was also analyzed. Results showed that, for circular disperse phase, more

terms were necessary to achieve the desired convergence when Biot number increa-

ses. The square disperse phase presents worse convergence results then the circular

disperse phase. Besides, the square disperse phase have higher values for effective

thermal conductivity. For the cases with heat generation, the disperse phase thermal

conductivity variation had more effect on the temperature coonvergence tables than on

the average surface temperatures, heat flux rates and global error tables. Besides, the

square disperse phase have higher values for the global error and have a better heat

conduction. After convergence analysis, the disperse phase shape and size influence

on the effective thermal conductivity were valued and results showed that the effetcive

thermal conductivity increases when the volumetric fraction increases and the square

disperse phase have a better heat conduction than the circular disperse phase. Simula-

ted results were compared with literature data and correlations. The results obtained for

the effective thermal conductivity are bigger than the results obtained using Maxwell

vii

correlation when a corrected volumetric fraction is considered, but when same values

for the volumetric fraction are used, Maxwell correlation results are bigger than the

results obtained with the solution developed. The comparision with previous litera-

ture works showed that the simulated results match with literature data when Φ= 0.3 e

Φ= 0.75 for kmax = 2, and when kmax = 50, 2.7% and 9.12% errors occurs respectively.

K e y wor d s : conduction, heterogeneous medium, mixed solution.

viii

Sumário

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Condução em Materiais compósitos . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Soluções do problema de condução em meios heterogêneos . . 5

1.2.3 Soluções de problemas utilizando métodos discretos em solu-

ções mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Condutividade térmica efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Cálculo do erro no balanço de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Modelos de correlações para materiais compósitos . . . . . . . . . . . . 13

3. Solução Mista por Transformada Integral e Volumes Finitos . . . . . . . 15

3.1 Transformação Integral do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Par Transformada Inversa e Autofunções . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.2 Transformação das equações governantes . . . . . . . . . . . . 16

3.1.3 Solução do sistema transformado por rotina para sistemas de

EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Discretização do sistema transformado por Volumes Finitos . . . . . . 19

3.2.1 Forma de matriz tridiagonal de blocos . . . . . . . . . . . . . . 23

ix

3.3 Cálculo da condutividade térmica efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Casos testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5. Resultados e discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1 Análise de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1.1 Fase dispersa quadrada sem geração . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.1.2 Fase dispersa circular sem geração . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.3 Análise de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2 Análise da influência dos parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . 64

5.2.1 Variação com o número de Biot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Comparação com resultados da literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.1 Resultados pontuais de condutividade térmica efetiva . . . . . . 65

5.3.2 Comparação com correlações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4 Análise do campo de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4.1 Análise da variação do número de Biot . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4.2 Análise da variação da razão de condutividade térmica . . . . . 71

5.4.3 Análise do tamanho da fase dispersa . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4.4 Casos com geração de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6. Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A. Tabelas de análise de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

x

Lista de Figuras

3.1 Esquema de volumes finitos na direção η. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Seção transversal da fase dispersa (geometria quadrada). . . . . . . . . 26

4.2 Seção transversal da fase dispersa (geometria circular). . . . . . . . . . 27

5.1 Pontos utilizados para análise de convergência (geometria quadrada). . 32

5.2 Pontos utilizados para análise de convergência (geometria circular). . . 32

5.3 Comparação de resultados simulados com resultados de correlações da

literatura para fase dispersa quadrada, sem geração de energia, k∗max =

10, Φa = 0 e Φb = 1 e φ= 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4 Comparação de resultados simulados com resultados de correlações da

literatura para fase dispersa circular, sem geração de energia, k∗max =

10, Φa = 0 e Φb = 1 e φ= 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5 Campo de temperatura para diferentes valores de Biot com fase dis-

persa quadrada sem geração de energia, para k∗max = 10, Φa = 0 e

Φb = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.6 Campo de temperatura para diferentes valores de Biot com fase dis-

persa circular sem geração de energia para k∗max = 10, Φa = 0 e Φb = 1

e φ= 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.7 Campo de temperatura para diferentes valores de k∗max com fase dis-

persa quadrada sem geração de energia, para Φa = 0 e Φb = 1 e φ= 0.2. 71


persa circular sem geração de energia, para Φa = 0 e Φb = 1 e φ= 0.2. . 72

5.9 Campo de temperatura com Bi →∞ e diferentes valores de fracão vo-

lumétrica, com fase dispersa quadrada sem geração de energia, para

k∗max = 10, Φa = 0 e Φb = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

xi

5.10 Campo de temperatura com Bi → ∞ e diferentes valores de fracão

volumétrica, com fase dispersa circular sem geração de energia, para

k∗max = 10, Φa = 0 e Φb = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


persa quadrada com Bi →∞, g = 10, Φa = 0 , Φb = 0 e φ= 0.2. . . . . . 75


persa circular com Bi →∞, g = 10, Φa = 0 , Φb = 0 e φ= 0.2. . . . . . . 76

xii

Lista de Tabelas

1.1 Condutividade térmica de alguns polímeros e enchimentos condutores.

Adaptado de [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5.1 Configuração do computador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Tempo de CPU para fase dispersa quadrada com Bi →∞ e com geração. 31

5.3 Tempo de CPU para fase dispersa quadrada com Bi →∞ e com gera-

ção para discretização sem estar na forma de sistema linear. . . . . . . 31

5.4 Pontos escolhidos para análise de convergência . . . . . . . . . . . . . . 31

5.5 Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma

fase dispersa quadrada com Bi →∞, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗max = 10. 33


fase dispersa quadrada com Bi = 1, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗max = 10. 34

5.7 Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de

calor e condutividade efetiva com Bi →∞, φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e

k∗max = 10, com fase dispersa quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


calor e condutividade efetiva com Bi = 1, φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e



fase dispersa circular com Bi →∞, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗max = 10. 40


fase dispersa circular com Bi = 1, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗max = 10. . 42


calor e condutividade efetiva para Bi →∞, φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e

k∗max = 10, com fase dispersa circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


calor e condutividade efetiva para Bi = 1, φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e


xiii


fase dispersa circular com Bi →∞, φ= 0.2 ,k∗max = 1, Φa = 0, Φb = 0 e

g∗ = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


calor e erro global para Bi →∞, φ = 0.2 e k∗max = 1, Φa = 0, Φb = 0 e

g∗ = 10. com fase dispersa circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


fase dispersa circular com Bi →∞, φ= 0.2 ,k∗max = 10, Φa = 0, Φb = 0

e g∗ = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


calor e erro global para Bi →∞, φ= 0.2 e k∗max = 10, Φa = 0, Φb = 0 e

g∗ = 10. com fase dispersa circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


fase dispersa quadrada com Bi →∞, φ= 0.2 ,k∗max = 1, Φa = 0, Φb = 0

e g∗ = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


calor e erro global para Bi →∞, φ = 0.2, k∗max = 1, Φa = 0, Φb = 0 e

g∗ = 10. com fase dispersa quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


fase dispersa quadrada com Bi →∞, φ= 0.2 ,k∗max = 10,Φa = 0,Φb = 0

e g∗ = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


calor e erro global para Bi →∞, φ = 0.2, k∗max = 10, Φa = 0, Φb = 0 e

g∗ = 10. com fase dispersa quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.21 Ordem calculada para o caso da Tabela 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . 61





xiv




5.29 Ordem calculada para aproximações das derivadas com ordem aumen-

tada para Bi →∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.30 Ordem calculada para o caso quando g = g (y) = y2 e kmax = 1 . . . . . 63

5.31 Temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calor e conduti-

vidade efetiva para fase dispersa quadrada com diferentes números de

Biot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.32 Temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calor e conduti-

vidade efetiva para fase dispersa circular com diferentes números de

Biot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.33 Condutividade térmica efetiva para fase dispersa circular. . . . . . . . . 65

A.1 Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma




A.3 Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo

de calor e condutividade efetiva Bi = 100, φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e


A.4 Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo

de calor e condutividade efetiva Bi = 104, φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e



fase dispersa circular com Bi = 100, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗max = 10. 89


fase dispersa circular com Bi = 104, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗max = 10. 90

xv

A.7 Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de

calor e condutividade efetiva para Bi = 100,φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e


A.8 Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de

calor e condutividade efetiva para Bi = 104, φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e


xvi

Nomenclatura

A, B , coeficientes da equação transformada

D, U , L matrizes coeficientes auxiliares

k condutividade térmica

T temperatura

g geração de calor

q fluxo de calor

Bi número de biot

Q taxa de fluxo de calor

x, y coordenadas espaciais

Símbolos gregos

µ autovalor

Subscritos e Sobrescritos

m, n, p índices do somatório

e efetiva

a superfície inferior

b superfície superior

xvii

Capítulo 1

Introdução

1.1 Motivação

Existe um grande interesse na utilização de polímeros para a fabricação de compo-

nentes eletrônicos e microssistemas como o Liquid Crystal Display (LCD), baterias

e painéis solares, pois apresentam resistência à corrosão, baixa densidade e fácil pro-

cessamento [1–3]. Para estas finalidades, é importante que o material seja um bom

condutor térmico, principalmente para os componentes eletrônicos devido à necessi-

dade de aparelhos cada vez mais rápidos e que dissipam cada vez mais energia, mas os

polímeros apresentam condutividade térmica da ordem de 0.1 W.m−1.K−1, o que para

aplicações que envolvam dissipação térmica é baixo [2, 4] .

Pesquisadores desenvolveram alguns estudos sobre a condutividade térmica de po-

límeros. Zhao et al. [2] estudaram a dependência da condutividade térmica com o

tamanho da cadeia do polímero e observaram que a condutividade térmica é alta para

polímeros com cadeias longas. Jiang et al. estudaram a condutividade térmica em po-

límeros com deposição assistida de filmes de óxido de alumínio (Al2O3) dopados com

nitrogênio e verificou que há um aumento de 67% no valor desta propriedade [5].

A utilização de micro partículas condutoras de óxidos metálicos em polímeros po-

dem aumentar a sua condutividade térmica, e esta vantagem tem aumentado o interesse

por estudos nesta área devido a sua efetividade e baixo custo [2, 4]. Normalmente são

1

utilizadas fases dispersas à base de carbono, metálicas ou cerâmicas, que possuem con-

dutividades térmicas bem maiores que o polímero puro [6] (cerca de cem vezes maior),

como pode ser visto na Tabela 1.1.

Em alguns casos, altas frações de fase dispersa são necessárias para que se obte-

nha um bom valor de condutividade térmica, mas dificultam a distribuição dos enchi-

mentos durante a fabricação do material, além de haver limitações industriais para a

quantidade de fase dispersa adicionada [7, 8]. As altas frações desta fase também po-

dem alterar o comportamento mecânico do polímero, como por exemplo, aumentar o

módulo de elasticidade, dificultando a formação de camadas conformes na interface

enchimento-polímero. [7, 8] Desta forma, a produção de compósitos poliméricos com

altas condutividades térmicas ainda é um desafio.

Tab. 1.1: Condutividade térmica de alguns polímeros e enchimentos condutores.Adaptado de [11].

Material Condutividade térmica a 25ºC (W.m−1.K−1)Polietileno de baixa densidade 0.30Polietileno de alta densidade 0.44Polipropileno 0.11Polipropileno 0.14Grafite 100-400Cobre 483Alumínio 204Níquel 158

1.2 Revisão Bibliográfica

O estudo da condutividade térmica de compósitos poliméricos já vem sendo realizado

por diversos pesquisadores, visto a sua importância destacada no item anterior. Os

estudos realizados utilizam como fase dispersa diferentes formas de enchimento (par-

tículas, fios, entre outros) com dimensões da ordem de nanômetros (nanocompósitos),

micrômetros (microcompósitos) e milímetros (minicompósitos).

2

1.2.1 Condução em Materiais compósitos

Os nanocompósitos são os que recebem maior atenção dos pesquisadores, apresen-

tando uma quantidade maior de estudos relacionados. Moreira et al. [9] estimaram o

aumento da condutividade térmica de compósitos polímeros de resina epóxi com óxi-

dos de cobre (CuO) e alumina (Al2O3) através da utilização de termografia infraverme-

lha. Além disto, Moreira et al. [10] também estudaram a dependência da condutividade

térmica com a temperatura para nanocompósitos de polidimetilsiloxano com partícu-

las esféricas de alumina e observaram que esta propriedade aumenta com a adição das

nanopartículas (cerca de 8,6%) e diminui linearmente com o aumento da temperatura.

Outra análise realizada por Moreira et al. [11] consiste na investigação de quanto a

condutividade térmica é efetivamente influenciada pela adição de nanopartículas de

alumina (Al2O3) e óxido de cobre (CuO) em uma matriz de resina poliéster insaturada

que também demonstrou o aumento da propriedade devido a adição destas nanopartí-

culas (70% de aumento para uma fração volumétrica de 10% de nanopartículas).

Balachander et al. [7] desenvolveram um nanocompósito de polidimetilsiloxano

com baixa fração volumétrica de fios de ouro que apresentava alta condutividade tér-

mica (60 vezes maior do que a condutividade do polímero puro) e baixo módulo

de elasticidade. Zhou et al. [12] obtiveram excelente condutividade térmica (15.2

W.m−1.K−1) ao produzir um compósito de poliamida com fibras modificadas de alu-

mínio. Lee et al. [4] observaram que ao utilizar uma fase dispersa composta por uma

combinação de fibras e partículas esféricas a condutividade térmica em compósitos

poliméricos aumentava efetivamente (cerca de 2,6%). Luo and Lloyd [13]estudaram

nanocompósitos contendo grafeno/grafite no que se refere a influência do tamanho da

fase dispersa, força das ligações intermoleculares e da densidade na condução de calor.

Song et al. Song et al. [14] desenvolveram um nanocompósito de epóxi com nitreto de

boro com alta condutividade térmica (acima de 30 W.m−1.K−1 para compósitos com

50% em volume de nitreto de boro), capaz de competir com os nanocompósitos que

utilizam grafeno como fase dispersa.

3

Kochetov et al. [15] estudaram a condutividade térmica e o impacto da interface

entre a fase dispersa e a matriz tanto para nano quando microcompósitos poliméricos

e concluiram que para o caso de nanocompósitos, a zona interfacial irá determinar a

condutividade térmica do sistema, visto que esta conduz calor melhor que os próprios

constituintes.

Em relação ao microcompósitos, Lee et al. [16] analisaram o aumento da conduti-

vidade térmica de um compósito polimérico de resina epóxi com alto carregamento de

nitreto de alumínio e obtiveram um aumento de quinze vezes no valor desta proprie-

dade. Elleithy et al. [17] realizaram um estudo das propriedades morfológicas, térmi-

cas e viscoelásticas de microcompósitos de polietileno de alta densidade (PEAD) com

carbonato de cálcio e observaram que a presença do carbonato de cálcio não alterava o

comportamento durante a fusão, além do fato de que este microcompósito apresentava

melhor estabilidade térmica e maior módulo de cisalhamento do que o polímero puro.

Park et al. [18] estudaram o efeito da forma geométrica da fase dispersa e da resistên-

cia de contato entre a mesma e o polímero na condutividade térmica, e concluiu que

quando a fase dispersa era composta por fibras com baixo número de contato médio

entre as mesmas e baixa resistência de contato a condutividade térmica era mais alta.

Wattanakul et al. [19] estudaram a influência de tratamentos superficiais na con-

dutividade térmica de microcompósitos de resina epóxi com nitreto de boro através

de uma polimerização para depositar poliestireno e polimetilmetacrilato na superfície

do boro, e observaram que havia um aumento de aproximadamente 80% no valor da

condutividade térmica em relação ao microcompósito sem tratamento superficial. Kim

et al. [20] preparam um microcompósito de álcool polivinílico com grafeno e estuda-

ram suas propriedades térmicas. Estes autores observaram que a condutividade térmica

do compósito aumentava quando a quantidade de grafeno aumentava e que este com-

pósito apresentava anisotropia térmica, pois o valor da condutividade térmica variava

com a direção.

Em relação aos minicompósitos, existem poucos estudos em relação a polímeros.

Wang et al. [21] analisaram a influência do formato de diferentes fases dispersas fabri-

4

cadas artificialmente na condutividade térmica de minicompósitos e observaram que

a geometria de cada partícula tem grande influência nesta propriedade, além de que,

fases dispersas com formato em Y são as melhores opções para otimizar a transfe-

rência de calor nestes compósitos do que as fases dispersas com formatos esféricos,

quadrados, triangulares, entre outras estudadas. Hatta and Taya [22] examinaram a

condutividade térmica de compósitos com fibras desorientadas e desenvolveu um mo-

delo que contabilizava a interação entre várias orientações de fibras que não enram

consideradas em modelos anteriores.

Existem também estudos específicos sobre a influência do tamanho da fase dispersa

e sua distribuição na condutividade térmica dos compósitos. Anhalt and Weidenfeller

[23] estudaram a influência da quantidade de fase dispersa, do tamanho desta fase e da

temperatura na condutividade térmica de compósitos de polipropileno e ferro e obser-

varam que uma maior quantidade de fase dispersa leva ao aumento da condutividade

térmica, assim como o tamanho da partícula não influenciava no valor desta proprie-

dade para a quantidade de fase dispersa estudada (50% em volume). Zhu et al. [24]

também analisaram o efeito do tamanho e da quantidade de fase dispersa em compó-

sitos de resina Epoxy com nitreto de alumínio, e observaram resultados semelhantes

ao anterior, ou seja, que a condutividade térmica aumenta quando a fração da fase dis-

persa aumenta (aumento de 0.4 para 1.46 W.m−1.K−1), mas que o tamanho desta fase

não apresenta influência óbvia no valor da condutividade.

1.2.2 Soluções do problema de condução em meios heterogêneos

Alguns autores se dedicaram a estudar problemas de condução de calor em meios he-

terogêneos. Rocha et al. [25] calcularam numericamente a condutividade térmica de

materiais compósitos com fibras unidirecionais com resistência térmica de contato en-

tre a fase contínua e dispersa, utilizando dois tipos de arranjos (quadrado e hexagonal)

para a distribuição das fibras e seus resultados serão utilizados para comparação na

seção Discussão de Resultados. Gu and Tao [26] também analisaram a influência da

resistência de contato na condutividade térmica utilizando uma identidade generalizada

5

de Rayleigh e observaram que a resistência de contato pode alterar dramaticamente o

valor desta propriedade. Dong [27] desenvolveu uma formulação para o cálculo da

energia térmica para condução de calor em regime permanente em meios heterogê-

neos utilizando dois métodos já existentes na literatura e depois utilizaram o método

do elementos de contorno juntamente com o esquema homogêneo de Maxwell para

calcular a condução de calor efetiva em meios 2D e 3D. Kalinovskii [28] utilizou o

método das relações integrais para resolver problemas de condução de calor em um

meio complexo com dois componentes para o caso de domínios limitados e ilimitados.

Wang et al. [29] avaliaram as condutividades térmicas efetivas de compósitos reforça-

dos com partículas e fibras e com interfaces contendo descontinuidades fortes e fracas

utilizando o método do elemento finito estendido e o Método do Nível Estabelecido.

Em relação à trabalhos que utilizam a técnica da transformada integral generalizada

para resolver problemas de condução de calor, Naveira-Cotta et al. [30] formularam

um problema conjugado de condução-convecção-radiação, simplificaram-o através da

Aproximação por Técnica das Equações Integrais Acopladas e utilizaram a Técnica

da Transformada Integral Generalizada para resolver as equações diferenciais parciais

dentro da camada limite térmica. Knupp et al. [31] analisaram experimentalmente pro-

blemas conjugados de transferência de calor em difusores de calor que utilizam como

substrato nano-compósitos com micro-canais moldados longitudinalmente e utilizaram

a técnica da transformada integral generalizada para obter a solução híbrido-analítico

numérica. Naveira et al. [32] utilizaram a Aproximação pela Técnica das Equações

Integrais Acopladas e a Técnica da Transformada Integral Generalizada para obter a

solução híbrido-analítico numérica para problema de convecção transiente laminar for-

çada em placas planas de espessuras não desprezíveis, sujeitos a variações arbitrárias

no tempo do fluxo de calor aplicado na parede da interface fluido-sólido. Naveira-

Cotta et al. [33] utilizaram a Técnica da Transformada Integral Generalizada para obter

a solução analítica de problemas de difusão de massa ou condução de calor transiente

linear em meios heterogêneos.

6

1.2.3 Soluções de problemas utilizando métodos discretos em soluções mistas

Outros autores se dedicaram a desenvolver soluções mistas utilizando combinações de

métodos híbridos e discretos para solução de diferentes problemas.

Chalhub et al. [34] compararam o desenvolvimento de soluções utilizando a Téc-

nica da Transformada Integral Generalizada (The Generalized Integral Transform Technique-

GITT) e o método de Volumes Finitos (FVM) e desenvolveram uma solução mista uti-

lizando combinações do método híbrido (GITT) e métodos discretos tradicionais como

o Método dos Volumes Finitos (FVM) ou o Método de Diferenças Finitas (MDF) para

problemas de advecção-difusão.

Guedes and Ozisik [35] utilizaram um esquema híbrido que combinava a Técnica

da Transformada Integral Generalizada (GITT) com um esquema de diferenças finitas

para resolver um problema de convecção forçada transiente em fluxo laminar dentro

de canal de placas paralelas sujeito a mudanças periódicas na temperatura de entrada.

Guedes and Ozisik [36] também resolveram um outro problema de convecção for-

çada transiente em fluxo laminar dentro de canal de placas paralelas utilizando a Téc-

nica da Transformada Integral Generalizada (GITT) para resolver a equação do mo-

mento em regime permanente e uma aproximação híbrida que combina a Técnica da

Transformada Integral Generalizada (GITT) com um esquema de diferenças finitas de

segunda ordem.

Cotta et al. [37] desenvolveram um código computacional denominado UNIT (Uni-

fied Integral Transforms) , que é baseado na metodologia da Transformada Integral

Generalizada em conjunto com o ambiente computacional simbólico-numérico pro-

vido pelo software Mathematica, como um esquema opcional de transformada parcial

para problemas convectivos-difusivos, permitindo ao usuário escolher uma variável

espacial que não será transformada.

Sendo assim, existem poucos trabalhos que combinam a Técnica da Transformada

Integral Generalizada (GITT) com métodos discretos, e, em se tratando de meios he-

terogêneos, este pode ser o primeiro trabalho.

7

1.3 Objetivos

O objetivo deste trabalho é desenvolver uma solução mista para condução de calor em

materiais heterogêneos, utilizando a Técnica da Transformada Integral Generalizada e

o Método de Volumes Finitos para solução do problema transformado. Também como

objetivo deste trabalho, pretende-se investigar a influência do tamanho e forma da fase

dispersa e da geometria na condutividade térmica e comparar estes resultados com

modelos de correlações e resultados da literatura.

8

Capítulo 2

Formulação do Problema

Neste capítulo serão apresentados o problema estudado, as hipóteses simplificadoras

consideradas e o desenvolvimento das equações para o cálculo da condutividade tér-

mica efetiva. O problema considerado neste trabalho é o de condução de calor bidi-

mensional em regime permanente em um meio heterogêneo em um domínio regular

cartesiano, no qual não há resistência interfacial entre as fases. Diante destas conside-

rações, as equações governantes são dadas por:

∂

∂x

(k∂T

∂x

)+ ∂

∂y

(k∂T

∂y

)= −g (x, y), (2.1a)

para xa ≤ x ≤ xb e ya ≤ y ≤ yb , com as seguintes de condições de contorno:

(∂T

∂x

)x=xa

=(∂T

∂x

)x=xb

= 0, (2.1b)

−(k∂T

∂y

)y=ya

= ha (T f ,a −T |y=ya ) + q ′′a , (2.1c)

−(k∂T

∂y

)y=yb

= hb (T |y=yb −T f ,b) + q ′′b , (2.1d)

onde k = k(x, y). Apesar da condutividade térmica k variar com a posição, esta é

constante por partes. As condições de contorno (2.1c) e (2.1d) são escritas em um

forma generalizada, podendo ser utilizadas tanto para condições de fluxo constante

(com ha = hb = 0), com conveção (com q ′′a = q ′′

b = 0), ou com temperatura prescrita,

9

se o limite com ha = hb →∞ for considerado. O problema é normalizado através da

introdução das seguintes variáveis adimensionais:

Θ = T −Tr e f

∆Tr e f, k∗ = k

km, ξ = 2

x −xa

xb −xa−1, η = 2

y − ya

yb − ya−1, (2.2a)

Bia = ha (ya − yb)

2km, q∗

a = q ′′a (ya − yb)

2km, Φa = T f ,a −Tr e f

∆Tr e f, (2.2b)

Bib = hb (ya − yb)

2km, q∗

b = q ′′b (ya − yb)

2km, Φb = T f ,b −Tr e f

∆Tr e f, (2.2c)

K = yb − ya

xb −xa, g∗ = g (yb − ya)2

4∆Tr e f km, E∗

g =E ′

g

km∆Tr e f(2.2d)

δ∗ = 2δ

ya − yb(2.2e)

Onde Tr e f é a temperatura de referência, km é a condutividade térmica da matriz, ha

é o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície inferior, hb é o

coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície superior, T f ,a é a

temperatura de filme na superfície inferior, T f ,b é a temperatura de filme na superfície

superior e g é a taxa de geração volumétrica de energia . Substituindo as relações

anteriores nas equações de governo, obtém-se a seguinte forma adimensional:

K2 ∂

∂ξ

(k∗ ∂Θ

∂ξ

)+ ∂

∂η

(k∗ ∂Θ

∂η

)= −g∗, (2.3a)(

∂Θ

∂ξ

)ξ=ξa

=(∂Θ

∂ξ

)ξ=ξb

= 0, (2.3b)

−(k∗ ∂Θ

∂η

)η=ηa

= Bia (Φa −Θ|η=ηa ) + q∗a , (2.3c)

−(k∗ ∂T

∂η

)η=ηb

= Bib (Θ|η=ηb −Φb) + q∗b , (2.3d)

Como mencionado anteriormente, este sistema pode ser utilizado para simular os três

tipos básicos de condições de contorno lineares, com o caso especial de Dirichlet sendo

obtido quando Bia →∞ ou Bib →∞. Para este caso especial, as condições de contorno

10

(2.3c) e (2.3d) são simplificadas para:

(Θ)η=ηa = Φa(ξ), (2.4)

(Θ)η=ηb = Φb(ξ), (2.5)

2.1 Condutividade térmica efetiva

Uma vez que o campo de temperatura normalizado é calculado, a condutividade tér-

mica efetiva pode ser obtida. Naturalmente, este cálculo só tem sentido em problemas

onde a geração de energia térmica é nula (i.e. g (x, y) = 0). As taxas de transferência de

calor nas fronteiras inferior e superior, por unidade de comprimento na direção z são

dadas por:

Q ′a =

∫ xb

xa

q ′′a dx, Q ′

b =∫ xb

xa

q ′′b dx, (2.6a)

Como não há geração interna, é esperado que estas apresentem os mesmos valores.

Devido a natureza convergente do problema, estas taxas podem fornecer valores dife-

rentes, sendo assim um valor médio é definido:

Q ′ = Q ′a +Q ′

b

2. (2.6b)

Finalmente, com um valor conhecido Q ′, a condutividade térmica efetiva do compósito

pode ser calculada como:

ke = Q ′

Ta − Tb

yb − ya

xb −xa, (2.7)

onde Ta e Tb são as temperaturas médias nas superfícies inferior e superior:

Ta = 1

xb −xa

∫ xb

xa

T (x, ya) dx, Tb = 1

xb −xa

∫ xb

xa

T (x, yb) dx, (2.8)

11

Com a normalização adotada, a condutividade efetiva adimensional é dada por:

k∗e = Q∗

Θa − Θb, (2.9)

onde a taxa de fluxo de calor média normalizada e as temperaturas de superfície médias

são dadas por:

Q∗ = 1

2

[∫ ξb

ξa

(k∗ ∂Θ

∂η

)η=ηa

dξ+∫ ξb

ξa

(k∗ ∂Θ

∂η

)η=ηb

dξ

], (2.10a)

Θa = 1

ξb −ξa

∫ ξb

ξa

Θ(ξ,ηa) dξ, (2.10b)

Θb = 1

ξb −ξa

∫ ξb

ξa

Θ(ξ,ηb) dξ, (2.10c)

2.2 Cálculo do erro no balanço de energia

A fim de se determinar o erro na metodologia proposta, define-se um erro global base-

ado no balanço de energia. Para os casos onde há geração de energia, o balanço global

de energia é dado pela equação

E ′g +Q ′

b = Q ′a (2.11)

onde E ′g é a energia gerada por unidade de comprimento z.

Com a normalização adotada, temos:

E∗g +Q∗

b =Q∗a (2.12)

onde, para a fase dispersa circular, E∗g é dado por:

E∗g = g∗πδ∗2

4(2.13)

12

e para a fase dispersa quadrada, é dado por:

E∗g = g∗δ∗

2(2.14)

Então o erro global no balanço de energia ε é dado por:

ε= E g∗+Q∗b −Q∗

a (2.15)

2.3 Modelos de correlações para materiais compósitos

Existem alguns modelos na literatura para estimar a condutividade térmica de materiais

compósitos. Maxwell [38] desenvolveu um modelo que não leva em consideração

as interações entre as partículas e é utilizado para calcular a condutividade térmica

efetiva de suspensões que possuem pequenas concentrações de partículas esféricas bem

distribuídas na resina, e é dado pela equação (2.16).

knc,max = α+2+2(α−1)ϕ

α+2− (α−1)ϕkr (2.16)

onde α é a razão entre a condutividade térmica da partícula (kp) e da resina (kr ) e ϕ é

a fração volumétrica da fase dispersa.

Braga Jr and Sphaier [39] utilizaram um modelo teórico simples para o cálculo da

condutividade térmica em um compósito bifásico, utilizando o conceito de resistência

térmica. Para uma fase dispersa quadrada, a condutividade térmica é dada por:

knc,q = km(kp + (km −kp )φ1/3 + (kp −km)φ)

kp + (km −kp )φ1/3(2.17)

13

e para a fase dispersa em forma cilíndrica:

knc,ci l = km

1−√φ

π

+

kmkp

2(kp −km)

π−1+kp

√√√√ 1

k2p − 4(km−kp )2φ

π

2kp arctan

2(kp−km )√−4(km−kp )2+ k2

pφ

π

√

k2p − 4(km−kp )2φ

π

(2.18)

Andrianov et al. [40] derivaram um modelo para condutividade térmica efetiva de com-

pósitos com inclusões cilíndricas com seções transversais quadradas, válido para qual-

quer valor de fração volumétrica e condutividade térmica, dada por

knc,A = kp +1

kp +1−2(kp −1)φ2

+εa(kp −1)φ

(1−φ+φ2

1−φ2 +φ3 +kpφ2(1−φ)− 2φ

kp +1−2(kp −1)φ2

)+εkp 2(kp −1)φ2

(1

kp +1− 1

kp +1−2(kp −1)φ2

)+εaεkp (kp −1)φ(

2φ

kp +1−2(kp −1)φ2− 2φ

kp +1+ 1−φ+φ2

kp (1−φ)+φ − 1−φ+φ2

1−φ2 +φ3 +kpφ2(1−φ)

)(2.19)

onde

εa = 1

2φ2(1+φ)+ 5

2φ2(1−φ)−3φ2(1−φ)2+12φ3(1−φ)2−16φ3(1−φ)3−6φ4(1−φ)2

+20φ4(1−φ)3+35φ4(1−φ)4+56φ5(1−φ)5−70φ4(1−φ)6+70φ5(1−φ)6+140φ6(1−φ)6

−322φ5(1−φ)7 −924φ6(1−φ)7 +1716φ7(1−φ)7 −3432φ7(1−φ)8 +6435φ8(1−φ)8

−12870φ8(1−φ)9 +24310φ9(1−φ)9 −48620φ9(1−φ)10 +92378φ10(1−φ)10 (2.20)

εkp =k2

p +kp /2

k2p −1

(2.21)

Os modelos acima serão utilizados para comparação de resultados no Capítulo 5.

14

Capítulo 3

Solução Mista por Transformada Integral e Volumes

Finitos

Neste capítulo será apresentada a solução mista utilizando a Técnica da Transformada

Integral Generalizada (GITT) em conjunto com um esquema de Volumes Finitos, além

das equações para o cálculo da condutividade térmica efetiva utilizando estas soluções.

3.1 Transformação Integral do Problema

3.1.1 Par Transformada Inversa e Autofunções

A fim de transformar o problema, o seguinte par Transformada-Inversa é utilizado:

Θm(η) =∫ ξb

ξa

Θ(ξ,η) Xm(ξ) dξ, (3.1a)

Θ(ξ,η) =∞∑

m=0

Θm(η) Xm(ξ)

Nm, (3.1b)

onde Xm são soluções não triviais para o seguinte problema de autovalor:

X ′′+µ2X = 0, (3.2)

X ′(ξa) = X ′(ξb) = 0 (3.3)

15

O que leva a:

Xm = cos(µm (ξ−ξa)

), onde µm = mπ

ξb −ξa, (3.4)

para m = 0,1,2,3. As normas Nm são dadas por:

Nm =∫ ξb

ξa

Xm Xn dξ =

0, para m 6= n,

ξb−ξa2 , para m = n 6= 0,

ξb −ξa , para m = n = 0.

(3.5)

A transformação do problema ocorre na direção ξ preferencialmente para se obter

um sistema no qual pode-se utilizar as condições de contorno generalizadas na direção

η.

3.1.2 Transformação das equações governantes

A transformação do problema é realizada através da integração da equação (2.3a) em

ya ≤ y ≤ yb e da substituição da fórmula inversa (3.1b) nos termos não transformáveis.

Para os termos difusivos em η , este processo chega a:

∫ ξb

ξa

∂

∂η

(k∗ ∂Θ

∂η

)Xm dξ =

∫ ξb

ξa

∂

∂η

(k∗ ∂

∂η

(∞∑0

Θn(η) Xn

Nn

))Xm dξ =

d

dη

∞∑0

1

Nn

∫ ξb

ξa

(∂Θn(η)

∂ηk∗ Xm Xn

)dξ = d

dη

(∞∑0

(1

Nn

∫ ξb

ξa

k∗ Xm Xn dξ

)dΘn

dη

)(3.6)

Enquanto que para os termos difusivos em ξ este processo chega a:

K2∫ ξb

ξa

∂

∂ξ

(k∂Θ

∂ξ

)Xm dξ = K2

(k∗∂Θ

∂ξXm

)ξ=ξb

ξ=ξa

− K2∫ ξb

ξa

k∗ ∂Θ∂ξ

X ′m dξ =

−K2∫ ξb

ξa

∂

∂ξ

(∞∑0

Θn(η)Xn

Nn

)k∗ X ′

m dξ=−∞∑0Θn(η)

K2

Nn

∫ ξb

ξa

k∗ X ′n X ′

m dξ (3.7)

16

Finalmente, o processo de transformação leva ao seguinte sistema infinito de equações

diferenciais ordinárias:

∞∑n=0

[d

dη

(Am,n

dΘn

dη

)+Bm,nΘn(y)

]= −g∗

m (3.8)

válido para m = 0,1,2, . . . , onde os coeficientes Am,n , Bm,n e g∗m são dados pelas

seguintes expressões:

g∗m(η) =

∫ ξb

ξa

g∗Xm dξ (3.9a)

Am,n(η) = 1

Nn

∫ ξb

ξa

k∗ Xm Xn dξ (3.9b)

Bm,n(η) = − K2

Nn

∫ ξb

ξa

k∗ X ′n X ′

m dξ (3.9c)

As condições de contorno para o sistema acima é obtido através da transformação das

condições de contorno originais dadas pelas equações (2.3c) e (2.3d), o que resulta em:

−(

k∗ ∂Θn

∂η

)η=ηa

= Bia (Φan −Θn |η=ηa ) + q∗,a

n (3.10a)

−(

k∗ ∂Θn

∂η

)η=ηb

= Bib (Θn |η=ηb −Φbn) + q∗,b

n (3.10b)

onde os coeficientes envolvidos são dados por:

Φan =

∫ ξb

ξa

Φa Xm dξ, Φbn =

∫ ξb

ξa

Φb Xm dξ, (3.11a)

q∗,an =

∫ ξb

ξa

q∗a Xm dξ, q∗,b

n =∫ ξb

ξa

q∗b Xm dξ, (3.11b)

Como o sistema (3.8) é uma representação infinita do problema transformado, ele deve

ser truncado antes que qualquer solução seja aplicada. Truncando a representação

17

infinita em uma ordem finita resulta o seguinte sistema escrito na forma vetorial:

d

dη

(A

dΘ

dη

)+ BΘ = −g∗ (3.12a)

−(

k∗ ∂Θ∂η

)η=ηa

= Bia (Φa −Θ|η=ηa ) + q∗a , (3.12b)

−(

k∗ ∂Θ∂η

)η=ηb

= Bib (Θ|η=ηb −Φb) + q∗b , (3.12c)

onde deve ser notado que se a fase dispersa não está conectada com as fronteiras do

domínio considerado, como é considerado no resto deste trabalho, k∗ = 1 nas equações

anteriores. Além disso, apesar do fato que este sistema pode ser utilizado para simular

todos os tipos de condições de contorno, para os casos de Dirichlet, ao invés de usar

altos valores de Bia e Bib , pode-se simplesmente substituir as condições de contorno

anteriores respectivamente por:

Θ|η=ηa = Φa , (3.13a)

Θ|η=ηb = Φb , (3.13b)

3.1.3 Solução do sistema transformado por rotina para sistemas de EDOs

Este sistema pode ser resolvido diretamente utilizando um pacote de resolução de

EDOs disponível comercialmente ou publicamente. Apesar deste ser o procedimento

tradicional utilizado por usuários da Técnica da Transformada Integral Generalizada,

quando o sistema é um problema de valor de contorno, a solução numérica usando

rotinas numérica para sistemas de EDO pode consumir muito tempo. Como uma al-

ternativa, um esquema simples de volumes finitos de segunda ordem é utilizado na

próxima seção e os resultados obtidos com as duas metodologias são comparados na

seção de resultados.

18

3.2 Discretização do sistema transformado por Volumes Finitos

Ao invés de utilizar a Técnica de Transformada Integral Generalizada e uma software

de resolução de EDOs para obter a solução do sistema transformado, uma solução al-

ternativa obtida através da utilização do método de volumes finitos de segunda ordem.

Considere um esquema de volumes finitos na direção η conforme Figura 3.1 A discre-

Fig. 3.1: Esquema de volumes finitos na direção η.

tização do sistema é iniciada pela integração da equação (3.12a) dentro de um volume

finito ηp−1/2 ≤ y ≤ ηp+1/2:

[A

dΘ

dη

]ηp−1/2

ηp+1/2

+∫ ηp+1/2

ηp−1/2

BΘdη = −∫ ηp+1/2

ηp−1/2

g∗dη, (3.14)

seguido pelas aproximações de segunda ordem para integrais:

[A

dΘ

dη

]ηp−1/2

ηp+1/2

+B pΘp∆η = −g∗p∆η, (3.15)

onde ηp = ηa + p∆η/

2 e ∆η = (ηb −ηa)/pmax é o espaçamento de grade uniforme.

Então, as seguintes aproximações de segunda ordem são empregadas para as derivadas:

19

dΘ

dη

∣∣∣∣∣ηp−1/2

= Θp − Θp−1

∆η, para p > 1, (3.16a)

dΘ

dη

∣∣∣∣∣ηp+1/2

= Θp+1 −Θp

∆η, para p < pmax, (3.16b)

e para volumes contendo as fronteiras de η, as condições de contorno podem ser apli-

cadas diretamente:

∂Θ

∂η

∣∣∣∣∣ηp−1/2

= Bia (Θp−1/2 −Φa) − q∗a , para p = 1, (3.17a)

∂Θ

∂η

∣∣∣∣∣ηp+1/2

= Bib (Φb −Θp+1/2) − q∗b , para p = pmax, (3.17b)

onde as temperaturas normalizadas nas superfícies η= ηa e η= ηb devem ser escritas

em termos de:

Θp−1/2 =3Θp −Θp+1

2, (3.17c)

Θp+1/2 =3Θp −Θp−1

2. (3.17d)

Quando o número de Biot é infinito(condições de Dirichlet), estas equações devem ser

substituídas por:

dΘ

dη

∣∣∣∣∣ηp−1/2

= −8Φa + 9Θp − Θp+1

3∆η, para p = 1, (3.18a)

dΘ

dη

∣∣∣∣∣ηp+1/2

= Θp−1 −9Θp +8Φb

3∆η, para p = pmax, (3.18b)

onde regras de aproximações de segunda ordem foram empregadas usando as tempe-

raturas de superfícies transformadas. Finalmente, um sistema discretizado é obtido:

20

Ap+1/2Θp+1 −Θp

∆η2− Ap−1/2 (Bia (Θ|p−1/2 −Φa) − q∗

a)

∆η+B pΘp = −g∗

p , para p = 1,

(3.19a)

Ap+1/2Θp+1 −Θp

∆η2− Ap−1/2Θp −Θp−1

∆η2+ B pΘp = −g∗

p , para 1 < p < pmax,

(3.19b)

Ap+1/2(Bib (Φb −Θ|p+1/2) − q∗

b )

∆η− Ap−1/2Θp −Θp−1

∆η2+B pΘp = −g∗

p , para p = pmax.

(3.19c)

Rearranjando, chegamos a:

(B p − Ap+1/2

∆η2− 3Bia Ap−1/2

2∆η

)Θp +

(Ap+1/2

∆η2+ Bia Ap−1/2

2∆η

)Θp+1 =

− g p − Ap−1/2(BiaΦa + q∗a)

∆η, para p = 1, (3.20a)

Ap−1/2

∆η2Θp−1 +

(B p − Ap−1/2 + Ap+1/2

∆η2

)Θp + Ap+1/2

∆η2Θp+1 =

− g p , para 1 < p < pmax, (3.20b)

(Ap−1/2

∆η2+ Bib Ap+1/2

2∆η

)Θp−1 +

(B p − Ap−1/2

∆η2− 3Bib Ap+1/2

2∆η

)Θp =

− g p − Ap+1/2(BibΦb − q∗b )

∆ηpara p = pmax. (3.20c)

que pode ser escrito na forma compacta:

D pΘp + U pΘp+1 = −a+, para p = 1, (3.21a)

LpΘp−1 + D pΘp + U pΘp+1 = −g p , para 1 < p < pmax, (3.21b)

LpΘp−1 + D pΘp = −b+

, para p = pmax. (3.21c)

21

onde, as matrizes envolvidas são dadas por diferentes expressões dependendo do valor

de p. Para p = 1, temos

D p =(

B p − Ap+1/2

∆η2− 3Bia Ap−1/2

2∆η

), U p =

(Ap+1/2

∆η2+ Bia Ap−1/2

2∆η

), (3.22a)

Já para para 1 < p < pmax, temos

Lp = Ap−1/2

∆η2, D p = B p − Ap−1/2 + Ap+1/2

∆η2, U p = Ap+1/2

∆η2, (3.22b)

enquanto para para p = pmax, temos

Lpmax =(

Ap−1/2

∆η2+ Bib Ap+1/2

2∆η

), D pmax =

(B p − Ap−1/2

∆η2− 3Bib Ap+1/2

2∆η

), (3.22c)

Por fim, os vetores a+ e b+ são dados por:

a+ = g p + Ap−1/2(BiaΦa + q∗a)

∆η, com p = 1, (3.22d)

b+ = g p + Ap+1/2(BibΦb − q∗

b )

∆η, com p = pmax, (3.22e)

Para os casos com condições de Dirichlet para as condições de contorno ( Bia or Bib

infinitos), um sistema similar é obtido; entretanto as matrizes D p , U p , Lpmax e D pmax

para p = 1 e p = pmax devem ser modificadas para:

D p = B p − 3 Ap−1/2 + Ap+1/2

∆η2, U p = 1

3

Ap−1/2

∆η2+ Ap+1/2

∆η2, (3.23a)

quando p = 1, e

Lpmax = Ap−1/2

∆η2+ 1

3

Ap+1/2

∆η2, D pmax = B p − Ap−1/2 +3 Ap+1/2

∆η2, (3.23b)

22

para p = pmax; enquanto isto, os vetores a+ e b+ são alterados para:

a+ = g p + 8

3

Ap−1/2

∆η2a, com p = 1, (3.23c)

b+ = g p + 8

3

Ap+1/2

∆η2b, com p = pmax, (3.23d)

3.2.1 Forma de matriz tridiagonal de blocos

O sistema anterior pode ser escrito na forma de matriz tridiagonal quando matrizes de

blocos são consideradas:

M y = j , (3.24)

onde

y =(Θ1,Θ2, . . . ,Θpmax

)(3.25)

j = −(

a+, g 2, g 3, . . . , g pmax−1, b+)

(3.26)

A fim de ilustração da matriz produzida, para pmax = 5, obtém-se:

M =

D1 U 1 0 0 0

L2 D2 U 2 0 0

0 L3 D3 U 3 0

0 0 L4 D4 U 4

0 0 0 L5 D5

(3.27)

Finalmente, a solução do sistema (3.24) pode ser obtida diretamente por uma rotina de

resolução de um sistema linear. No Mathematica isto é feito através da função Line-

arSolve.

23

3.3 Cálculo da condutividade térmica efetiva

Substituindo a fórmula inversa (equação (3.1b)) na equação (2.10a), temos:

Q∗ = 1

2

∞∑m=0

1

Nm

[(dΘm

dη

)η=ηa

∫ ξb

ξa

Xm(ξ) dξ+(

dΘm

dη

)η=ηb

∫ ξb

ξa

Xm(ξ) dξ

](3.28a)

Θa = 1

ξb −ξa

∞∑m=0

Θm(ηa)

Nm

∫ ξb

ξa

Xm(ξ) dξ, (3.28b)

Θb = 1

ξb −ξa

∞∑m=0

Θm(ηb)

Nm

∫ ξb

ξa

Xm(ξ) dξ; (3.28c)

Entretanto, devido a ortogonalidade das autofunções Xm , estas expressões podem ser

simplificadas para chegar a:

Q∗ = 1

2

[(dΘ0

dη

)η=ηa

+(

dΘ0

dη

)η=ηb

](3.29a)

Θa = 1

ξb −ξaΘ0(ηa), (3.29b)

Θb = 1

ξb −ξaΘ0(ηb), (3.29c)

Finalmente, usando o esquema de discretização adotado anteriormente, as quantidades

acima podem ser calculadas por:

Q∗ = 1

2

[Bia

(3Θ

10

2− Θ

20

2−Φa

0

)+

Bib

(Θ

pmax−10

2− 3Θ

pmax0

2+Φb

0

)− (q∗,a

0 +q∗,b0 )

](3.30a)

Θa = 1

ξb −ξa

(3Θ

p0 −Θp+1

0

2

), com p = 1, (3.30b)

Θb = 1

ξb −ξa

(3Θ

p0 −Θp−1

0

2

)com p = pmax, (3.30c)

24

Para os casos de condições de Dirichlet (Bia or Bib infinitos), estas equações são escri-

tas como:

Q∗ = 1

2

[8(Φ

b0 −Φ

a0 )+9(Θ

p+10 −Θpmax+1

0 )+Θp−10

3∆η

](3.31a)

Θa = 1

ξb −ξa

(Φ

a0

), com p = 1, (3.31b)

Θb = 1

ξb −ξa

(Φ

b0

)com p = pmax, (3.31c)

Sendo assim, uma vez que estas quantidades são calculadas, a condutividade tér-

mica efetiva é calculada utilizando a equação (2.9).

25

Capítulo 4

Casos testes

Neste capítulo serão apresentadas as condições consideradas para os casos testes utili-

zados na análise de convergência, análise da variação com o número de Biot, compa-

ração com a correlação de Maxwell e com resultados da literatura. A fim de analisar a

convergência do campo de temperatura,foram consideradas duas geometrias para a se-

ção transversal da fase dispersa (quadrada e circular) como mostrado nas Figuras 4.1 e

Fig. 4.2. De acordo com as figuras apresentadas, a variação de k∗ é descrito conforme

Fig. 4.1: Seção transversal da fase dispersa (geometria quadrada).

26

Fig. 4.2: Seção transversal da fase dispersa (geometria circular).

as equações abaixo. Para a fase dispersa com formato retangular:

k∗(ξ,η) =

k∗max,−(ξb−ξa

2 − δ∗2 ) < ξ< (ξb−ξa

2 − δ∗2 )

e − (ηb−ηa2 − δ∗

2 ) < η< (ηb−ηa2 − δ∗

2 )

1,η<−(ηb−ηa2 − δ∗

2 ) , η> (ηb−ηa2 − δ∗

2 ) ,

ξ<−(ξb−ξa2 − δ∗

2 ) , ξ> (ξb−ξa2 − δ∗

2 )

(4.1)

enquanto para a fase dispersa na forma de círculo:

k∗(ξ,η) =

k∗max,−

√δ∗2

4 −ξ2 < η<√

δ∗2

4 −ξ2

1,η<−√

δ∗2

4 −ξ2 e η>√

δ∗2

4 −ξ2(4.2)

onde k∗max é a condutividade normalizada da fase dispersa e δ∗ é um tamanho adimen-

sional da partícula considerada, conforme definido na Figura 4.1 e Figura 4.2. Sendo

assim, os coeficientes Am,n e Bm,n são calculados da seguinte forma para a fase dis-

27

persa quadrada, quando m 6= n:

Am,n = 1

Nn

∫ −(ξb−ξa

2 −δ∗)

ξa

Xm Xn dξ+k∗max

∫ (ξb−ξa

2 −δ∗)

−(ξb−ξa

2 −δ∗)Xm Xn dξ

+∫ ξb

(ξb−ξa

2 −δ∗)Xm Xn dξ

Bm,n = −K2

Nn

∫ −(ξb−ξa

2 −δ∗)

ξa

X ′n X ′

m dξ+k∗max

∫ (ξb−ξa

2 −δ∗)

−(ξb−ξa

2 −δ∗)X ′

n X ′m dξ

+∫ ξb

(ξb−ξa

2 −δ∗)X ′

n X ′m dξ (4.3a)

E para a fase dispersa circular, quando m 6= n:

Am,n = 1

Nn

∫ −√

δ∗24 −ξ2

ξa

Xm Xn dξ+k∗max

∫ √δ∗2

4 −ξ2

−√

δ∗24 −ξ2

Xm Xn dξ

+∫ ξb√

δ∗24 −ξ2

Xm Xn dξ

Bm,n = −K2

Nn

∫ −√

δ∗24 −ξ2

ξa

X ′n X ′

m dξ+k∗max

∫ √δ∗2

4 −ξ2

−√

δ∗24 −ξ2

X ′n X ′

m dξ

+∫ ξb√

δ∗24 −ξ2

X ′n X ′

m dξ (4.4a)

Quando m = n, as equações (4.3a) e (4.3a) são substituídas por:

Am,n = 1

Nn

∫ −(ξb−ξa

2 −δ∗)

ξa

Xm2 dξ+k∗

max

∫ (ξb−ξa

2 −δ∗)

−(ξb−ξa

2 −δ∗)Xm

2 dξ

+∫ ξb

(ξb−ξa

2 −δ∗)X 2

m dξ

Bm,n = −K2

Nn

∫ −(ξb−ξa

2 −δ∗)

ξa

X ′m

2 dξ+k∗max

∫ (ξb−ξa

2 −δ∗)

−(ξb−ξa

2 −δ∗)X ′

m2 dξ

+∫ ξb

(ξb−ξa

2 −δ∗)X ′

m2 dξ (4.5a)

28

E para a fase dispersa circular, quando m = n:

Am,n = 1

Nn

∫ −√

δ∗24 −ξ2

ξa

Xm2dξ+k∗

max

∫ √δ∗2

4 −ξ2

−√

δ∗24 −ξ2

Xm2dξ

+∫ ξb√

δ∗24 −ξ2

X 2mdξ

Bm,n = −K2

Nn

∫ −√

δ∗24 −ξ2

ξa

X ′m

2dξ+k∗max

∫ √δ∗2

4 −ξ2

−√

δ∗24 −ξ2

X ′m

2dξ

+∫ ξb√

δ∗24 −ξ2

X ′m

2dξ (4.6a)

Para m = 0, as equações (4.3a) e (4.3a) serão substituídas por:

Am,n = 1

Nn

∫ −(ξb−ξa

2 −δ∗)

ξa

Xm dξ+k∗max

∫ (ξb−ξa

2 −δ∗)

−(ξb−ξa

2 −δ∗)Xm dξ

+∫ ξb

(ξb−ξa

2 −δ∗)Xm dξ

Bm,n = −K2

Nn

∫ −(ξb−ξa

2 −δ∗)

ξa

X ′m dξ+k∗

max

∫ (ξb−ξa

2 −δ∗)

−(ξb−ξa

2 −δ∗)X ′

m dξ

+∫ ξb

(ξb−ξa

2 −δ∗)X ′

m dξ (4.7a)

E para a fase dispersa circular, quando m = 0:

Am,n = 1

Nn

∫ −√

δ∗24 −ξ2

ξa

Xmdξ+k∗max

∫ √δ∗2

4 −ξ2

−√

δ∗24 −ξ2

Xmdξ

+∫ ξb√

δ∗24 −ξ2

Xmdξ

Bm,n = −K2

Nn

∫ −√

δ∗24 −ξ2

ξa

X ′mdξ+k∗

max

∫ √δ∗2

4 −ξ2

−√

δ∗24 −ξ2

X ′mdξ

+∫ ξb√

δ∗24 −ξ2

X ′mdξ (4.8a)

Para resolver as integrais acima foi utilizada a rotina Integrate do software Mathe-

matica.

29

Capítulo 5

Resultados e discussão

Neste capítulo serão apresentados e discutidos os resultados obtidos neste trabalho.

Primeiramente, será feita uma análise de convergência, com o objetivo de verificar

a metodologia de solução e implementação computacional. Os casos com números

muito altos de divisões na malha e maior número de termos não foram rodados devido

a um alto consumo da mémoria do computador. Em seguida, uma análise da influência

dos parâmetros adimensionais na solução será apresentada. Por fim, comparações de

condutividade térmica efetiva com correlações e resultados da literatura serão exibidas.

A tabela 5.1 traz informações sobre a configuração do computador no qual os casos

foram rodados.

Tab. 5.1: Configuração do computador.

Processador Intel(R) Core(TM) i7-4820K CPU @ 3.70GHzMemória Instalada (RAM) 44,0 GBTipo de sistema Windows 10 Pro, processador com base em x64

A Tabela 5.2 apresenta exemplos de tempo de CPU necessários para rodar alguns

casos.

Como pode ser visto, para casos com altos números de divisões na malha e maior

número de termos, há um aumento considerável no tempo de CPU. Quando a discre-

tização é realizada, porém o sistema não é escrito na forma de um sistema linear, os

tempos aumentam mais ainda, conforme tabela 5.3. Para casos apenas com GITT, os

30

Tab. 5.2: Tempo de CPU para fase dispersa quadrada com Bi →∞ e com geração.

nmax pmax Tempo (s)120 400 2114100 400 133380 400 77880 200 24960 100 55

tempos de CPU apresentam valores mais elevados do que da tabela 5.3.

Tab. 5.3: Tempo de CPU para fase dispersa quadrada com Bi →∞ e com geração paradiscretização sem estar na forma de sistema linear.

nmax pmax Tempo (s)120 200 5463030 180 6000

Sendo assim, a utilização da solução mista apresentada neste trabalho conseguiu

reduzir muito o tempo de CPU demandado para resolver o problema.

5.1 Análise de convergência

A análise de convergência do campo de temperatura é feita examinando-se a tempera-

tura em pontos selecionados, como mostrado na tabela 5.4. Estes pontos correspondem

Tab. 5.4: Pontos escolhidos para análise de convergência

Θ1 Θ(0,δ∗/2)Θ2 Θ(0,δ∗/4)Θ3 Θ(0,δ∗/2+ (ηb −δ∗/2)/2)Θ4 Θ(0,ηb)Θ5 Θ(δ∗/4,δ∗/2)Θ6 Θ(δ∗/4,δ∗/4)Θ7 Θ(δ∗/2+ (ξb −δ∗/2)/2,δ∗/4)Θ8 Θ(ξb ,δ∗/4)

às posições no domínio analisado mostradas nas figuras 5.1 e 5.2, para os dois forma-

tos de fase dispersa considerados.

31

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

Fig. 5.1: Pontos utilizados para análise de convergência (geometria quadrada).

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

Fig. 5.2: Pontos utilizados para análise de convergência (geometria circular).

5.1.1 Fase dispersa quadrada sem geração

Esta seção apresenta uma análise de convergência da solução para o caso teste onde

a geometria da fase dispersa é quadrada. A tabela 5.5 apresenta resultados de conver-

gência da temperatura nos pontos selecionados para o caso de condição de contorno

de Dirichlet nas superfícies superior e inferior (representada pelo limite com Bi →∞).

Como pode ser visto, uma convergência no terceiro dígito é obtida para as temperatu-

ras nos pontos Θ1 , Θ2, Θ4, Θ5, Θ6 e Θ7 com pequenos números de termos e divisões

na malha (já quando nmax = 20 e pmax = 50 ) , porém para as temperaturas nos pontos

Θ3 e Θ8 não é possível obter esta convergência. Além disso, pode-se perceber que a

temperatura Θ4 é igual a 1, que é temperatura prescrita na superfície superior, estando

de acordo com o resultado esperado para este caso.

32

Tab. 5.5: Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma fasedispersa quadrada com Bi →∞, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗

max = 10.

nmax pmax Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ820 50 0.54544 0.52571 0.77442 1.0000 0.53220 0.52735 0.57029 0.5834920 100 0.54605 0.52533 0.77785 1.0000 0.53184 0.52696 0.57056 0.5838520 200 0.54812 0.52526 0.77956 1.0000 0.53161 0.52684 0.57047 0.5838320 400 0.54663 0.52529 0.77871 1.0000 0.53172 0.52690 0.57052 0.5838520 800 0.54738 0.52527 0.77914 1.0000 0.53167 0.52687 0.57050 0.5838420 1600 0.54699 0.52530 0.77893 1.0000 0.53169 0.52689 0.57048 0.5838240 50 0.54579 0.52557 0.77442 1.0000 0.53178 0.52724 0.57142 0.5836540 100 0.54648 0.52518 0.77786 1.0000 0.53140 0.52683 0.57174 0.5840240 200 0.54837 0.52509 0.77957 1.0000 0.53117 0.52670 0.57169 0.5840440 400 0.54702 0.52513 0.77872 1.0000 0.53128 0.52677 0.57172 0.5840440 800 0.54770 0.52511 0.77915 1.0000 0.53123 0.52673 0.57170 0.5840460 50 0.54577 0.52549 0.77442 1.0000 0.53161 0.52720 0.57172 0.5838860 100 0.54642 0.52509 0.77786 1.0000 0.53122 0.52679 0.57205 0.5842760 200 0.54813 0.52500 0.77957 1.0000 0.53099 0.52665 0.57203 0.5843160 400 0.54686 0.52505 0.77872 1.0000 0.53110 0.52672 0.57204 0.5843060 800 0.54749 0.52503 0.77915 1.0000 0.53105 0.52669 0.57204 0.5843080 50 0.54571 0.52547 0.77441 1.0000 0.53154 0.52717 0.57183 0.5840180 100 0.5463 0.52508 0.77786 1.0000 0.53115 0.52676 0.57217 0.5844080 200 0.54805 0.52499 0.77957 1.0000 0.53092 0.52662 0.57215 0.5844580 400 0.54672 0.52503 0.77872 1.0000 0.53103 0.52669 0.57217 0.58443

100 50 0.54567 0.52547 0.77441 1.0000 0.53149 0.52714 0.57195 0.58406100 100 0.54625 0.52507 0.77786 1.0000 0.53109 0.52673 0.5723 0.58446100 200 0.54808 0.52498 0.77957 1.0000 0.53086 0.52659 0.5723 0.58451100 400 0.54671 0.52502 0.77872 1.0000 0.53097 0.52666 0.57231 0.58449120 50 0.54566 0.52546 0.77441 1.0000 0.53146 0.52713 0.57199 0.58407120 100 0.54626 0.52506 0.77786 1.0000 0.53106 0.52672 0.57234 0.58448120 200 0.54809 0.52497 0.77958 1.0000 0.53083 0.52657 0.57235 0.58453120 400 0.54675 0.52501 0.77872 1.0000 0.53094 0.52665 0.57235 0.58451

33

A tabela 5.6 apresenta resultados de convergência da temperatura nos pontos sele-

cionados para o caso no qual Bi = 1 para a fase dispersa em forma de quadrado. Como

Tab. 5.6: Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma fasedispersa quadrada com Bi = 1, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗

max = 10.


100 50 0.51164 0.50651 0.56873 0.62314 0.50812 0.50696 0.51896 0.52224100 100 0.51188 0.50647 0.57026 0.62439 0.50808 0.50691 0.51918 0.52249100 200 0.51240 0.50647 0.57100 0.62497 0.50805 0.50690 0.51923 0.52256100 400 0.51203 0.50647 0.57063 0.62468 0.50807 0.50691 0.51920 0.52253120 50 0.51164 0.50651 0.56874 0.62315 0.50812 0.50696 0.51897 0.52224120 100 0.51189 0.50646 0.57027 0.62440 0.50808 0.50691 0.51919 0.52250120 200 0.51240 0.50646 0.57100 0.62498 0.50804 0.50690 0.51924 0.52257120 400 0.51204 0.50646 0.57064 0.62469 0.50806 0.50690 0.51922 0.52254

pode ser visto uma convergência no terceiro dígito é obtida para as temperaturas nos

pontos Θ1, Θ2, Θ3, Θ5, Θ6, Θ7 e Θ8 com pequenos números de termos e divisões da

malha (já quando nmax = 20 e pmax = 50), porém para a temperatura Θ4 não é possível

obter esta convergência. Diferente do caso anterior, percebe-se que a temperatura Θ4

não está mais próxima de 1, visto que agora temos um número baixo de Biot. Os re-

sultados para os valores de Bi = 100 e Bi = 104 se comportam de maneira semelhante

e encontram-se no Apêndice nas tabelas A.1 e A.2. Para estes casos, a temperatura

Θ4 volta a se aproximar do valor prescrito para a temperatura de superfície superior,

34

como já era de se esperar. Além disso, os resultados da tabela A.2 se aproximam dos

resultados da tabela 5.5.

35

A tabela 5.7 apresenta resultados de convergência das temperaturas médias das su-

perfícies superior e inferior, assim como as taxas de transferência de calor adimensio-

nais nas mesmas superfícies, e a condutividade térmica efetiva para o caso de condição

de contorno de Dirichlet para a fase dispersa em forma de quadrado. Como pode ser

Tab. 5.7: Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calore condutividade efetiva com Bi →∞, φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗

max = 10,com fase dispersa quadrada.

nmax pmax Θa Θb Q∗a Q∗

b k∗e

20 50 0 1 1.4388 1.4388 1.438820 100 0 1 1.4240 1.4240 1.424020 200 0 1 1.4181 1.4181 1.418120 400 0 1 1.4210 1.4210 1.421020 800 0 1 1.4195 1.4195 1.419520 1600 0 1 1.4204 1.4204 1.420440 50 0 1 1.4364 1.4364 1.436440 100 0 1 1.4214 1.4214 1.421440 200 0 1 1.4154 1.4154 1.415440 400 0 1 1.4183 1.4183 1.418340 800 0 1 1.4168 1.4168 1.416860 50 0 1 1.4356 1.4356 1.435660 100 0 1 1.4205 1.4205 1.420560 200 0 1 1.4143 1.4143 1.414360 400 0 1 1.4173 1.4173 1.417360 800 0 1 1.4158 1.4158 1.415880 50 0 1 1.4353 1.4353 1.435380 100 0 1 1.4201 1.4201 1.420180 200 0 1 1.4138 1.4138 1.413880 400 0 1 1.4169 1.4169 1.4169

100 50 0 1 1.4350 1.4350 1.4350100 100 0 1 1.4198 1.4198 1.4198100 200 0 1 1.4134 1.4134 1.4134100 400 0 1 1.4165 1.4165 1.4165120 50 0 1 1.4349 1.4349 1.4349120 100 0 1 1.4196 1.4196 1.4196120 200 0 1 1.4132 1.4132 1.4132120 400 0 1 1.4164 1.4164 1.4164

visto não podemos obter uma convergência no terceiro dígito para a condutividade tér-

mica k∗e nem para as taxas de transferência de calor adimensionais Q∗

a e Q∗b . Sendo

assim, apenas uma convergência no segundo dígito é possível. Para as temperaturas

médias de superfícies inferior e superior Θa e Θb esta convergência é obtida com pe-

quenos números de termos e divisões da malha, já quando nmax = 20 e pmax = 50, que é

36

a mesma convergência obtida na tabela 5.5 para a temperatura Θ4, que é a temperatura

na superfície superior. Além disso, pode-se observar que as temperaturas de superfície

inferior e superior Θa e Θb são iguais a 0 e 1 respectivamente, que são as temperaturas

prescritas nestas superfícies. Os fluxos de calor nas superfícies inferior e superior são

iguais e no mesmo sentido, visto que não há geração de energia. Sendo assim, o erro

global neste caso é igual a zero. Além disto, como a diferença entre as temperaturas

de superfície é igual a 1, a condutividade térmica efetiva possui o mesmo valor destes

fluxos. Observando os resultados de condutividade térmica efetiva, pode-se perceber

que há um aumento de um pouco mais de 40% em relação ao condutividade térmica

da matriz.

37

A tabela 5.8 apresenta resultados de convergência das temperaturas médias das

superfícies superior e inferior, assim como as taxas de transferência de calor adimensi-

onais nas mesmas superfícies, e a condutividade térmica efetiva para Bi = 1 para a fase

dispersa em forma de quadrado. Como pode ser visto não podemos obter uma conver-

Tab. 5.8: Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calore condutividade efetiva com Bi = 1, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗

max = 10, comfase dispersa quadrada.


b k∗e

20 50 0.37074 0.62926 0.37074 0.37074 1.434120 100 0.36978 0.63022 0.36978 0.36978 1.419820 200 0.36940 0.63060 0.36940 0.36940 1.414220 400 0.36958 0.63042 0.36958 0.36958 1.416920 800 0.36949 0.63051 0.36949 0.36949 1.415620 1600 0.36955 0.63045 0.36955 0.36955 1.416440 50 0.37058 0.62942 0.37058 0.37058 1.4317040 100 0.36960 0.63040 0.36960 0.36960 1.417240 200 0.36920 0.63080 0.36920 0.36920 1.411340 400 0.36940 0.63060 0.36940 0.36940 1.414240 800 0.36930 0.63070 0.36930 0.36930 1.412860 50 0.37052 0.62948 0.37052 0.37052 1.430860 100 0.36953 0.63047 0.36953 0.36953 1.416260 200 0.36913 0.63087 0.36913 0.36913 1.410260 400 0.36933 0.63067 0.36933 0.36933 1.413160 800 0.36923 0.63077 0.36923 0.36923 1.411780 50 0.37050 0.62950 0.37050 0.37050 1.430580 100 0.36950 0.63050 0.36950 0.36950 1.415880 200 0.36909 0.63091 0.36909 0.36909 1.409780 400 0.36929 0.63071 0.36929 0.36929 1.4127

100 50 0.37048 0.62952 0.37048 0.37048 1.4302100 100 0.36948 0.63052 0.36948 0.36948 1.4155100 200 0.36907 0.63093 0.36907 0.36907 1.4094100 400 0.36927 0.63073 0.36927 0.36927 1.4123120 50 0.37047 0.62953 0.37047 0.37047 1.4301120 100 0.36947 0.63053 0.36947 0.36947 1.4153120 200 0.36905 0.63095 0.36905 0.36905 1.4092120 400 0.36926 0.63074 0.36926 0.36926 1.4122

gência no terceiro dígito para a condutividade térmica k∗e , apenas uma convergência no

segundo dígito pode ser obtida. Para as taxas de transferência de calor adimensionais

(Q∗a e Q∗

b ) e para as temperaturas médias de superfície inferior e superior ( Θa e Θb)

esta convergência é obtida com pequenos números de termos e divisões de malha, já

quando nmax = 20 e pmax = 50. Além disso, pode-se observar que as temperaturas de

38

superfície inferior e superior Θa e Θb se afastam de 0 e 1 , que são as temperaturas

prescritas nas superfícies inferior e superior, respectivamente, visto que neste caso te-

mos um baixo valor para o número de Biot e forte condução térmica. Os fluxos de

calor nas superfícies inferior e superior são iguais e no mesmo sentido, visto que não

há geração de energia, o que indica que o erro global é igual a zero neste caso. Ob-

servando os resultados de condutividade térmica efetiva, pode-se perceber que há um

aumento de um pouco mais de 40% em relação ao condutividade térmica da matriz.

Para os casos onde Bi = 100 e Bi = 104 (apresentados no Apêndice nas tabelas

A.3 e A.4 ), os resultados se comportam de forma semelhante, sendo que para estes

casos, além da condutividade térmica efetiva, não é possível obter a convergência no

terceiro dígito para as taxas de transferência de calor adimensionais. As temperaturas

de superfície inferior e superior Θa e Θb voltam a se aproximar de 0 e 1, visto que

voltamos a ter a predominância da convecção nas superfícies, em relação ao caso no

qual Bi = 1. . Além disso, quando o número de Biot é grande e a diferença entre as

temperaturas de superfície se aproxima de 1, a condutividade térmica efetiva possui

valor muito próximo às taxas de transferência de calor adimensionais. Os resultados

da tabela A.4 se aproximam dos resultados da tabela 5.7.

Observando as tabelas anteriores, podemos perceber que aquelas apresentam re-

sultados de convergência das temperaturas médias das superfícies superior e inferior,

assim como as taxas de transferência de calor adimensionais nas mesmas superfícies,

e a condutividade térmica efetiva se comportam de forma semelhante ao aumentar o

número de Biot, enquanto que as tabelas que apresentam resultados de convergência

da temperatura nos pontos selecionados se comportam de forma variada.

39

5.1.2 Fase dispersa circular sem geração

Esta seção apresenta uma análise de convergência da solução para o caso teste onde

a geometria da fase dispersa é circular. A tabela 5.9 apresenta resultados de conver-

gência da temperatura nos pontos selecionados para o caso de condição de contorno

de Dirichlet para a fase dispersa em forma circular. Como pode ser visto, uma conver-

Tab. 5.9: Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma fasedispersa circular com Bi →∞, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗

max = 10.

nmax pmax Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ820 50 0.55844 0.52794 0.79245 0.99486 0.54135 0.52792 0.58844 0.5999220 100 0.55436 0.52806 0.79182 0.99743 0.54140 0.52793 0.58849 0.5999620 200 0.55510 0.52801 0.79244 0.99872 0.54140 0.52790 0.58851 0.5999820 400 0.55696 0.52798 0.79275 0.99936 0.54140 0.52788 0.58852 0.5999920 800 0.55608 0.52799 0.79264 0.99968 0.54140 0.52789 0.58852 0.5999920 1600 0.55571 0.52800 0.79259 0.99984 0.54140 0.52789 0.58852 0.5999920 3200 0.55560 0.52800 0.79257 0.99992 0.54140 0.52789 0.58852 0.5999940 50 0.55799 0.52779 0.79288 0.99488 0.54638 0.52766 0.58979 0.5999540 100 0.55500 0.52788 0.79256 0.99744 0.54644 0.52764 0.58989 0.6000240 200 0.55558 0.52784 0.79321 0.99872 0.54645 0.52760 0.58991 0.6000440 400 0.55723 0.52782 0.79351 0.99936 0.54645 0.52759 0.58991 0.6000540 800 0.55618 0.52783 0.79340 0.99968 0.54646 0.52759 0.58991 0.6000540 1600 0.55569 0.52783 0.79337 0.99984 0.54646 0.52759 0.58991 0.6000560 50 0.55781 0.52768 0.79297 0.99488 0.54775 0.52763 0.59014 0.6001260 100 0.55492 0.52774 0.79273 0.99744 0.54793 0.52759 0.59027 0.6002260 200 0.55560 0.52767 0.79345 0.99872 0.54794 0.52754 0.59030 0.6002460 400 0.55709 0.52767 0.79378 0.99936 0.54794 0.52753 0.59031 0.6002560 800 0.55623 0.52768 0.79369 0.99968 0.54794 0.52753 0.59031 0.6002560 1600 0.55569 0.52769 0.79366 0.99984 0.54794 0.52753 0.59031 0.6002580 50 0.55791 0.52764 0.79300 0.99488 0.54781 0.52758 0.59026 0.6002780 100 0.55451 0.52767 0.79283 0.99744 0.54794 0.52753 0.59042 0.6004180 200 0.55511 0.52763 0.79358 0.99872 0.54794 0.52748 0.59046 0.6004580 400 0.55696 0.52761 0.79392 0.99936 0.54794 0.52746 0.59047 0.6004680 800 0.55619 0.52762 0.79384 0.99968 0.54794 0.52747 0.59047 0.60046

100 50 0.55794 0.52763 0.79301 0.99488 0.54818 0.52757 0.59038 0.60035100 100 0.55478 0.52766 0.79286 0.99744 0.54833 0.52752 0.59058 0.60053100 200 0.55545 0.52761 0.79365 0.99872 0.54836 0.52747 0.59063 0.60058100 400 0.55707 0.52759 0.79401 0.99936 0.54836 0.52744 0.59064 0.60059120 50 0.55790 0.52763 0.79302 0.99488 0.54833 0.52755 0.59041 0.60039120 100 0.55480 0.52766 0.79289 0.99744 0.54864 0.52749 0.59061 0.60057120 200 0.55538 0.52760 0.79369 0.99872 0.54888 0.52744 0.59067 0.60063120 400 0.55701 0.52758 0.79406 0.99936 0.54868 0.52741 0.59068 0.60064

gência no terceiro dígito para as temperaturas Θ2, Θ3, Θ4, Θ6, Θ7, e Θ8 pode ser obtida

quando nmax = 20 e pmax = 50, para a temperatura Θ1 quando nmax = 20 e pmax = 200

40

e para a temperatura Θ5 quando nmax = 40 e pmax = 50. Além disso, podemos perceber

que a temperatura Θ4 se aproxima de 1, que é a temperatura prescrita na superfície

superior, estando de acordo com o resultado esperado.

41

A tabela 5.10 apresenta resultados de convergência da temperatura nos pontos se-

lecionados para o caso onde Bi = 1 para a fase dispersa em forma circular. Como pode

Tab. 5.10: Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma fasedispersa circular com Bi = 1, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗

max = 10.

nmax pmax Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ820 50 0.51502 0.50722 0.57379 0.62233 0.51094 0.50725 0.52374 0.5269220 100 0.51398 0.50725 0.57359 0.62280 0.51094 0.50725 0.52375 0.5269220 200 0.51418 0.50724 0.57382 0.62325 0.51095 0.50725 0.52376 0.5269420 400 0.51465 0.50724 0.57394 0.62347 0.51096 0.50725 0.52377 0.5269520 800 0.51443 0.50724 0.57390 0.62352 0.51095 0.50725 0.52377 0.5269520 1600 0.51433 0.50724 0.57388 0.62355 0.51095 0.50725 0.52377 0.5269520 3200 0.51431 0.50724 0.57388 0.62356 0.51095 0.50725 0.52377 0.5269540 50 0.51494 0.50720 0.57412 0.62268 0.51232 0.50720 0.52417 0.5270140 100 0.51419 0.50723 0.57406 0.62326 0.51234 0.50720 0.52420 0.5270340 200 0.51435 0.50723 0.57431 0.62372 0.51235 0.50720 0.52422 0.5270540 400 0.51478 0.50722 0.57442 0.62394 0.51235 0.50719 0.52423 0.5270640 800 0.51451 0.50722 0.57438 0.62399 0.51235 0.50719 0.52423 0.5270640 1600 0.51438 0.50723 0.57437 0.62402 0.51235 0.50720 0.52423 0.5270660 50 0.51491 0.50718 0.57420 0.62275 0.51269 0.50720 0.52429 0.5270860 100 0.51418 0.50720 0.57418 0.62338 0.51275 0.50719 0.52433 0.5271260 200 0.51437 0.50720 0.57446 0.62387 0.51276 0.50719 0.52436 0.5271460 400 0.51476 0.50719 0.57459 0.62411 0.51277 0.50719 0.52437 0.5271560 800 0.51454 0.50720 0.57456 0.62416 0.51277 0.50719 0.52436 0.5271580 50 0.51493 0.50717 0.57422 0.62278 0.51271 0.50719 0.52432 0.5271280 100 0.51409 0.50719 0.57425 0.62345 0.51276 0.50718 0.52439 0.5271880 200 0.51426 0.50718 0.57455 0.62395 0.51277 0.50718 0.52441 0.5272180 400 0.51474 0.50718 0.57468 0.62419 0.51278 0.50718 0.52442 0.5272280 800 0.51454 0.50718 0.57465 0.62424 0.51277 0.50718 0.52442 0.52722

100 50 0.51495 0.50717 0.57424 0.62280 0.51282 0.50719 0.52436 0.52715100 100 0.51416 0.50718 0.57427 0.62348 0.51287 0.50718 0.52443 0.52722100 200 0.51435 0.50718 0.57459 0.62400 0.51289 0.50718 0.52447 0.52726100 200 0.51477 0.50718 0.57473 0.62424 0.51289 0.50717 0.52448 0.52727100 400 0.51477 0.50718 0.57473 0.62424 0.51289 0.50717 0.52448 0.52727120 50 0.51494 0.50717 0.57424 0.62280 0.51286 0.50718 0.52437 0.52716120 100 0.51416 0.50719 0.57429 0.62349 0.51295 0.50717 0.52445 0.52724120 200 0.51433 0.50718 0.57462 0.62403 0.51298 0.50717 0.52448 0.52728120 400 0.51476 0.50718 0.57477 0.62428 0.51298 0.50717 0.52450 0.52729

ser visto, uma convergência no terceiro dígito é obtida para as temperaturas nos pontos

Θ2, Θ4, Θ6 e Θ8 com pequenos números de termos e divisões de malha (já quando

nmax = 20 e pmax = 50 ), para a temperatura Θ5 quando nmax = 60 e pmax = 50 e para

a temperatura Θ7 quando nmax = 100 e pmax = 200 , porém para as temperaturas nos

pontos Θ1 e Θ3 não é possível obter esta convergência. Além disso, podemos perce-

ber que a temperatura Θ4 se afasta de 1, que é a temperatura prescrita na superfície

42

superior, visto que neste caso há um baixo valor para o número de Biot e uma forte

condução.

Os resultados para os valores de Bi = 100 e Bi = 104 se comportam de maneira

semelhante e encontram-se no Apêndice nas tabelas A.5 e A.6. Para estes casos, a

temperatura Θ4 volta a se aproximar do valor prescrito para a temperatura de super-

fície superior, como já era de se esperar. Além disso, os resultados da tabela A.2 se

aproximam dos resultados da tabela 5.9.

43


superfícies superior e inferior, assim como taxas de transferência de calor adimensio-

nais nas mesmas superfícies e a condutividade térmica efetiva para o caso de condição

de contorno de Dirichlet para a fase dispersa em forma circular. Como pode ser visto,

Tab. 5.11: Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calore condutividade efetiva para Bi →∞, φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗

max = 10,com fase dispersa circular.


b k∗e

20 50 0 1 1.4072 1.4072 1.407220 100 0 1 1.4080 1.4080 1.408020 200 0 1 1.4066 1.4066 1.406620 400 0 1 1.4059 1.4059 1.405920 800 0 1 1.4061 1.4061 1.406120 1600 0 1 1.4062 1.4062 1.406220 3200 0 1 1.4063 1.4063 1.406340 50 0 1 1.4015 1.4015 1.401540 100 0 1 1.4011 1.4011 1.401140 200 0 1 1.3995 1.3995 1.399540 400 0 1 1.3988 1.3988 1.398840 800 0 1 1.3991 1.3991 1.399140 1600 0 1 1.3992 1.3992 1.399260 50 0 1 1.4001 1.4001 1.400160 100 0 1 1.3990 1.3990 1.399060 200 0 1 1.3972 1.3972 1.397260 400 0 1 1.3964 1.3964 1.396460 800 0 1 1.3966 1.3966 1.396660 1600 0 1 1.3967 1.3967 1.396780 50 0 1 1.3996 1.3996 1.399680 100 0 1 1.3980 1.3980 1.398080 200 0 1 1.3960 1.3960 1.396080 400 0 1 1.3952 1.3952 1.395280 800 0 1 1.3953 1.3953 1.3953

100 50 0 1 1.3994 1.3994 1.3994100 100 0 1 1.3975 1.3975 1.3975100 200 0 1 1.3953 1.3953 1.3953100 400 0 1 1.3944 1.3944 1.3944120 50 0 1 1.3993 1.3993 1.3993120 100 0 1 1.3973 1.3973 1.3973120 200 0 1 1.3949 1.3949 1.3949120 400 0 1 1.3939 1.3939 1.3939

não é possível obter uma convergência no terceiro dígito para a condutividade térmica.

Já para as taxas de transferência de calor adimensionais Q∗a e Q∗

b , esta convergência

pode ser obtida quando nmax = 120 e pmax = 50 e para as temperaturas médias de su-

44

perfícies inferior e superior Θa e Θb esta convergência é obtida com pequenos números

de termos e divisões de malha, já quando nmax = 20 e pmax = 50, que é a mesma con-

vergência obtida na tabela 5.9 para a temperatura Θ4, que é a temperatura na superfície

superior. Além disso, pode-se observar que as temperaturas de superfície inferior e

superior Θa e Θb são iguais a 0 e 1, que são as temperaturas prescritas nas superfícies

inferior e superior, respectivamente. Os fluxos de calor nas superfícies inferior e supe-

rior são iguais e no mesmo sentido, visto que não há geração de energia. Sendo assim,

o erro global é igual a zero. Além disto, como a diferença entre as temperaturas de su-

perfície se aproxima de 1, a condutividade térmica efetiva possui o mesmo valor destes

fluxos. Observando os resultados de condutividade térmica efetiva, pode-se perceber

que há um aumento em torno de 40% em relação ao condutividade térmica da matriz.

45


superfícies superior e inferior, assim como taxas de transferência de calor adimensi-

onais nas mesmas superfícies e a condutividade térmica efetiva para o caso de Bi = 1

para a fase dispersa em forma circular. Como pode ser visto obtemos uma convergên-

Tab. 5.12: Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calore condutividade efetiva para Bi = 1, φ= 0.2,Φa = 0,Φb = 1 e k∗

max = 10, comfase dispersa circular.


b k∗e

20 50 0.36848 0.63152 0.36848 0.36848 1.400820 100 0.36852 0.63148 0.36852 0.36852 1.401520 200 0.36844 0.63156 0.36844 0.36844 1.400220 400 0.36839 0.63161 0.36839 0.36839 1.399520 800 0.36840 0.63160 0.36840 0.36840 1.399820 1600 0.36841 0.63159 0.36841 0.36841 1.399920 3200 0.36841 0.63159 0.36841 0.36841 1.399940 50 0.36808 0.63192 0.36808 0.36808 1.395140 100 0.36805 0.63196 0.36805 0.36805 1.394640 200 0.36795 0.63205 0.36795 0.36795 1.393240 400 0.36790 0.63210 0.36790 0.36790 1.392540 800 0.36792 0.63208 0.36792 0.36792 1.392840 1600 0.36792 0.63208 0.36792 0.36792 1.392860 50 0.36798 0.63202 0.36798 0.36798 1.393760 100 0.36790 0.63210 0.36790 0.36790 1.392560 200 0.36778 0.63222 0.36778 0.36778 1.390860 400 0.36773 0.63227 0.36773 0.36773 1.390260 800 0.36775 0.63226 0.36775 0.36775 1.390380 50 0.36794 0.63206 0.36794 0.36794 1.393180 100 0.36783 0.63217 0.36783 0.36783 1.391580 200 0.36770 0.63230 0.36770 0.36770 1.389680 400 0.36765 0.63235 0.36765 0.36765 1.388980 800 0.36766 0.63234 0.36766 0.36766 1.3891

100 50 0.36793 0.63207 0.36793 0.36793 1.3929100 100 0.36780 0.63220 0.36780 0.36780 1.3911100 200 0.36765 0.63235 0.36765 0.36765 1.3890100 400 0.36759 0.63241 0.36759 0.36759 1.3881120 50 0.36792 0.06321 0.36792 0.36792 1.3928120 100 0.36778 0.63222 0.36778 0.36778 1.3908120 200 0.36762 0.63238 0.36762 0.36762 1.3885120 400 0.36756 0.63244 0.36756 0.36756 1.3876

cia no terceiro dígito para a condutividade térmica quando nmax = 40 e pmax = 200.

Já para as taxas de transferência de calor adimensionais Q∗a e Q∗

b e para as temperatu-

ras médias de superfícies inferior e superior Θa e Θb esta convergência é obtida com

pequenos números de termos e divisões de malha, já quando nmax = 20 e pmax = 50,

46

que é a mesma convergência obtida na tabela 5.10 para a temperatura Θ4, que é a

temperatura na superfície superior. Além disso, pode-se observar que as temperaturas

de superfície inferior e superior Θa e Θb se afastam de 0 e 1 , que são as temperatu-

ras prescritas nas superfícies inferior e superior, respectivamente, visto que neste caso

temos um baixo valor para o número de Biot e forte condução térmica. Os fluxos de

calor nas superfícies inferior e superior são iguais e no mesmo sentido, visto que não

há geração de energia. Por isso, o erro global também é igual a zero neste caso. Ob-

servando os resultados de condutividade térmica efetiva, pode-se perceber que há um

aumento entre 39-40% em relação ao condutividade térmica da matriz.

Para os casos onde Bi = 100 e Bi = 104 (apresentados no Apêndice nas tabelas A.7 e

A.8 ), os resultados se comportam de forma semelhante. As temperaturas de superfície

inferior e superior Θa e Θb voltam a se aproximar de 0 e 1, visto que voltamos a ter

a predominância da convecção nas superfícies, em relação ao caso no qual Bi = 1. .

Além disso, quando o número de Biot é grande e a diferença entre as temperaturas

de superfície se aproxima de 1, a condutividade térmica efetiva possui valor muito

próximo às taxas de transferência de calor adimensionais. Os resultados da tabela A.8

se aproximam dos resultados da tabela 5.11.

Analisando os resultados obtidos nas tabelas anteriores, podemos observar que,

para a condutividade térmica efetiva, mais termos são necessários para obter conver-

gência a medida que o número de Biot aumenta. De maneira geral, a convergência

das temperaturas médias das superfícies superior e inferior, taxas de transferência de

calor adimensionais nas mesmas superfícies e a condutividade térmica efetiva para a

fase dispersa circular são melhores que das tabelas de convergência de temperaturas e

melhores do que a convergência das tabelas de temperaturas médias das superfícies su-

perior e inferior, taxas de transferência de calor adimensionais nas mesmas superfícies

e a condutividade térmica efetiva com fase dispersa quadrada. Além disso, compa-

rando os resultados para a condutividade térmica efetiva para a fase dispersa quadrada

e circular, percebe-se que a fase dispersa quadrada apresenta resultados maiores.

47

Fase dispersa circular com geração

Esta seção apresenta uma análise de convergência da solução para o caso teste onde a

geometria da fase dispersa é circular e apresenta geração de calor em seu interior.


lecionados para o caso de condição de contorno de Dirichlet para a fase dispersa em

forma circular, k∗max = 1 e g∗ = 10. Como pode ser visto uma convergência no terceiro

Tab. 5.13: Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma fasedispersa circular com Bi →∞, φ= 0.2 ,k∗

max = 1, Φa = 0, Φb = 0 e g∗ = 10.


100 50 0.31947 0.46359 0.14925 0.00370 0.34300 0.43229 0.27753 0.25698100 100 0.31713 0.46268 0.14875 0.00184 0.34239 0.43151 0.27702 0.25651100 200 0.31696 0.46251 0.14868 0.00092 0.34227 0.43136 0.27692 0.25641100 400 0.31773 0.46287 0.14890 0.00046 0.34251 0.43167 0.27712 0.25660120 50 0.31946 0.46359 0.14925 0.00370 0.34300 0.43229 0.27753 0.25698120 100 0.31713 0.46268 0.14875 0.00184 0.34239 0.43151 0.27702 0.25651120 200 0.31696 0.46251 0.14868 0.00092 0.34228 0.43136 0.27692 0.25641120 400 0.31774 0.46287 0.14890 0.00046 0.34251 0.43167 0.27712 0.25660

dígito pode ser obtida para todas as temperaturas com pequenos números de termos

e divisões de malha, já quando nmax = 20 e pmax = 50. Além disso, a convergência

do caso com k∗max = 1 sempre será muito boa em relação a nmax , devido a maior

48

simplicidade do problema com este valor de condutividade térmica.

49


superfícies superior e inferior, assim como taxas de transferência de calor adimen-

sionais nas mesmas superfícies e a condutividade térmica efetiva para o caso de de

condição de contorno de Dirichlet para a fase dispersa em forma circular com k∗max = 1

e g∗ = 10. Como pode ser visto uma convergência no terceiro dígito pode também ser

Tab. 5.14: Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calore erro global para Bi →∞, φ = 0.2 e k∗

max = 1, Φa = 0, Φb = 0 e g∗ = 10.com fase dispersa circular.


b ε

20 50 0 0 1.00180 -1.00180 0.0017720 100 0 0 0.99947 -0.99947 0.0005320 200 0 0 0.99909 -0.99909 0.0009120 400 0 0 1.00010 -1.00010 0.0001420 800 0 0 1.00010 -1.00010 0.0000620 1600 0 0 1.00000 -1.00000 0.0000240 50 0 0 1.00180 -1.00180 0.0017740 100 0 0 0.99947 -0.99947 0.0005340 200 0 0 0.99909 -0.99909 0.0009140 400 0 0 1.00010 -1.00010 0.0001440 800 0 0 1.00010 -1.00010 0.0000660 50 0 0 1.00180 -1.00180 0.0017760 100 0 0 0.99947 -0.99947 0.0005360 200 0 0 0.99909 -0.99909 0.0009160 400 0 0 1.00010 -1.00010 0.0001460 800 0 0 1.00010 -1.00010 0.0000680 50 0 0 1.00180 -1.00180 0.0017780 100 0 0 0.99947 -0.99947 0.0005380 200 0 0 0.99909 -0.99909 0.0009180 400 0 0 1.00010 -1.00010 0.00014100 50 0 0 1.00180 -1.00180 0.00177100 100 0 0 0.99947 -0.99947 0.00053100 200 0 0 0.99909 -0.99909 0.00091100 400 0 0 1.00010 -1.00010 0.00014120 50 0 0 1.00180 -1.00180 0.00177120 100 0 0 0.99947 -0.99947 0.00053120 200 0 0 0.99909 -0.99909 0.00091120 400 0 0 1.00010 -1.00010 0.00014

obtida para as temperaturas médias de superfícies inferior e superior e para as taxas de

transferência de calor adimensionais ( Θa , Θb , Q∗a e Q∗

b ) com pequenos números de

termos e divisões, já quando nmax = 20 e pmax = 50. Além disso, o erro global se apro-

xima de zero com o aumento do valor de pmax, o que indica o modelo descreve bem

50

o fenômeno estudado. Além disso, pode-se observar que as temperaturas de superfície

inferior e superior Θa e Θb são iguais a zero , que são as temperaturas prescritas nas

superfícies inferior e superior. Os fluxos de calor nas superfícies inferior e superior são

iguais e têm sentidos opostos, visto que a geração de energia ocorre de forma simétrica.

51



forma circular, k∗max = 10 e g∗ = 10.

Tab. 5.15: Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma fasedispersa circular com Bi →∞, φ= 0.2 ,k∗

max = 10, Φa = 0, Φb = 0 e g∗ = 10.

nmax pmax Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ820 50 0.33279 0.35069 0.15477 -0.00002 0.32687 0.34815 0.26255 0.2424220 100 0.33458 0.34954 0.15476 0.00000 0.32591 0.34712 0.26177 0.2417020 200 0.33423 0.34981 0.15439 0.00000 0.32613 0.34738 0.26194 0.2418520 400 0.33340 0.35038 0.15441 0.00000 0.32663 0.34793 0.26233 0.2422220 800 0.33399 0.35028 0.15445 0.00000 0.32654 0.34783 0.26226 0.2421520 1600 0.33423 0.35023 0.15447 0.00000 0.32650 0.34778 0.26223 0.2421240 50 0.33529 0.35317 0.15540 -0.00002 0.32365 0.35069 0.26145 0.2423440 100 0.33661 0.35237 0.1553 0.00000 0.32303 0.35000 0.26090 0.2418440 200 0.33639 0.35266 0.15491 0.00000 0.32329 0.35030 0.26109 0.2420140 400 0.33571 0.35322 0.15493 0.00000 0.32378 0.35084 0.26148 0.2423740 800 0.33642 0.35311 0.15497 0.00000 0.32369 0.35074 0.26141 0.2423160 50 0.33608 0.35394 0.15560 -0.00002 0.32266 0.35135 0.26107 0.2420560 100 0.33746 0.35334 0.15551 0.00000 0.32212 0.35087 0.26062 0.2416460 200 0.33724 0.35371 0.15510 0.00000 0.32245 0.35126 0.26087 0.2418760 400 0.33670 0.35430 0.15511 0.00000 0.32297 0.35183 0.26128 0.2422560 800 0.33729 0.35421 0.15514 0.00000 0.32289 0.35175 0.26122 0.2421980 50 0.33628 0.35427 0.15569 -0.00002 0.32273 0.35168 0.2609 0.2418180 100 0.33817 0.35381 0.15560 0.00000 0.32238 0.35134 0.26051 0.2414480 200 0.33807 0.35425 0.15519 0.00000 0.32278 0.35178 0.2608 0.241780 400 0.33726 0.35485 0.1552 0.00000 0.32331 0.35237 0.26122 0.24209

100 50 0.33639 0.35442 0.15573 -0.00002 0.32238 0.35182 0.26072 0.24166100 100 0.33817 0.35404 0.15566 0.00000 0.32212 0.35156 0.26036 0.24129100 200 0.33807 0.35455 0.15525 0.00000 0.32256 0.35207 0.26068 0.24159100 400 0.33746 0.35516 0.15525 0.00000 0.3231 0.35268 0.26111 0.24198120 50 0.33652 0.35451 0.15577 -0.00002 0.32227 0.35193 0.26065 0.24156120 100 0.33828 0.35417 0.1557 0.00000 0.32188 0.35172 0.26032 0.24123120 200 0.33828 0.35473 0.15529 0.00000 0.32236 0.35227 0.26067 0.24154120 400 0.33768 0.35536 0.15529 0.00000 0.32292 0.3529 0.26111 0.24195

Como pode ser visto uma convergência no terceiro dígito pode ser obtida para as

temperaturas e Θ4, Θ6 , Θ7 e Θ8 com pequenos números de termos e divisões de malha,

já quando nmax = 20 e pmax = 50. Para as temperaturas Θ1, Θ3 e Θ5 esta convergência

é obtida para nmax = 40 e pmax = 50. Para a temperatura Θ2 esta convergência não

é obtida. Nota-se também que, devido ao aumento na condutividade térmica da fase

dispersa, a temperatura Θ2 , que é a mais próxima do centro, é menor do que a mesma

temperatura na tabela 5.13.

52


superfícies superior e inferior, assim como taxas de transferência de calor adimen-

sionais nas mesmas superfícies e a condutividade térmica efetiva para o caso de de

condição de contorno de Dirichlet para a fase dispersa em forma circular com g∗ = 10

e k∗max = 10. Como pode ser visto uma convergência no terceiro dígito pode ser obtida

Tab. 5.16: Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calore erro global para Bi →∞, φ = 0.2 e k∗

max = 10, Φa = 0, Φb = 0 e g∗ = 10.com fase dispersa circular.


b ε

20 50 0 0 1.0018 -1.0018 0.0035420 100 0 0 0.99947 -0.99947 0.0010620 200 0 0 0.99909 -0.99909 0.0018220 400 0 0 1.0001 -1.0001 0.0002820 800 0 0 1.0001 -1.0001 0.0001220 1600 0 0 1.0000 -1.0000 0.0000440 50 0 0 1.0018 -1.0018 0.0035440 100 0 0 0.99947 -0.99947 0.0010640 200 0 0 0.99909 -0.99909 0.0018240 400 0 0 1.0001 -1.0001 0.0002840 800 0 0 1.0001 -1.0001 0.0001260 50 0 0 1.0018 -1.0018 0.0035460 100 0 0 0.99947 -0.99947 0.0010660 200 0 0 0.99909 -0.99909 0.0018260 400 0 0 1.0001 -1.0001 0.0002860 800 0 0 1.0001 -1.0001 0.0001280 50 0 0 1.0018 -1.0018 0.0035480 100 0 0 0.99947 -0.99947 0.0010680 200 0 0 0.99909 -0.99909 0.0018280 400 0 0 1.0001 -1.0001 0.00028

100 50 0 0 1.0018 -1.0018 0.003544100 100 0 0 0.99947 -0.99947 0.00106100 200 0 0 0.99909 -0.99909 0.00181100 400 0 0 1.0001 -1.0001 0.00028120 50 0 0 1.0018 -1.0018 0.00354120 100 0 0 0.99947 -0.99947 0.00106120 200 0 0 0.99909 -0.99909 0.00182120 400 0 0 1.0001 -1.0001 0.00028

para as temperaturas médias de superfícies inferior e superior ( Θa , Θb ) e para as

taxas de transferência de calor adimensionais (Q∗a e Q∗

b ) com pequenos números de

termos e divisões de malha, já quando nmax = 20 e pmax = 50. Além disso, o erro glo-

bal aproxima-se de zero com o aumento do valor de pmax. Pode-se observar também

53

que, as temperaturas de superfície inferior e superior Θa e Θb são iguais a zero , que

são as temperaturas prescritas nas superfícies inferior e superior. Os fluxos de calor

nas superfícies inferior e superior são iguais e têm sentidos opostos, visto que o pro-

blema ocorre de forma simétrica. Comparando as tabelas acima para a fase dispersa

circular, pode-se perceber que a variação no valor de k∗max tem maior efeito nas tabelas

de convergência de temperatura do que nas tabelas de convergência de temperaturas

médias de superfície, taxas de fluxo de calor e erro global, que se comportam de forma

mais semelhante.

54

Fase dispersa quadrada com geração

Esta seção apresenta uma análise de convergência da solução para o caso teste onde a

geometria da fase dispersa é quadrada e apresenta geração de calor em seu interior.



forma quadrada com k∗max = 1 e g∗ = 10. Como pode ser visto uma convergência no

Tab. 5.17: Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma fasedispersa quadrada com Bi →∞, φ= 0.2 ,k∗

max = 1, Φa = 0, Φb = 0 e g∗ = 10.

nmax pmax Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ820 50 0.34293 0.46395 0.16140 0.00000 0.36995 0.44168 0.28320 0.2573120 100 0.34286 0.46373 0.16143 0.00000 0.36978 0.44148 0.28306 0.2571920 200 0.35156 0.47141 0.16545 0.00000 0.37615 0.44880 0.28824 0.2619420 400 0.34721 0.46755 0.16345 0.00000 0.37294 0.44512 0.28563 0.2595520 800 0.34938 0.46947 0.16445 0.00000 0.37454 0.44696 0.28693 0.2607420 1600 0.34938 0.46947 0.16445 0.00000 0.37454 0.44696 0.28693 0.2607440 50 0.34292 0.46392 0.16140 0.00000 0.36994 0.44171 0.28328 0.2572440 100 0.34285 0.46370 0.16143 0.00000 0.36976 0.44150 0.28315 0.2571140 200 0.35155 0.47137 0.16545 0.00000 0.37613 0.44883 0.28832 0.2618740 400 0.34719 0.46752 0.16345 0.00000 0.37293 0.44515 0.28572 0.2594840 800 0.34937 0.46944 0.16445 0.00000 0.37453 0.44698 0.28701 0.2606760 50 0.34291 0.46391 0.16140 0.00000 0.36994 0.44171 0.28328 0.2572460 100 0.34285 0.46369 0.16143 0.00000 0.36977 0.44151 0.28315 0.2571260 200 0.35154 0.47136 0.16545 0.00000 0.37613 0.44883 0.28832 0.2618760 400 0.34719 0.46750 0.16345 0.00000 0.37293 0.44515 0.28572 0.2594880 50 0.34291 0.46391 0.16140 0.00000 0.36994 0.44171 0.28328 0.2572480 100 0.34285 0.46369 0.16143 0.00000 0.36976 0.44151 0.28315 0.2571280 200 0.35154 0.47136 0.16545 0.00000 0.37613 0.44883 0.28832 0.2618780 400 0.34719 0.46750 0.16345 0.00000 0.37293 0.44515 0.28572 0.25948

100 50 0.34291 0.46391 0.16140 0.00000 0.36994 0.44171 0.28328 0.25724100 100 0.34285 0.46369 0.16143 0.00000 0.36976 0.44150 0.28315 0.25712100 200 0.35154 0.47136 0.16545 0.00000 0.37613 0.44883 0.28832 0.26187100 400 0.34719 0.46750 0.16345 0.00000 0.37293 0.44515 0.28572 0.25948120 50 0.34291 0.46391 0.16140 0.00000 0.36994 0.44171 0.28328 0.25724120 100 0.34285 0.46369 0.16143 0.00000 0.36976 0.44150 0.28315 0.25712120 200 0.35154 0.47136 0.16545 0.00000 0.37613 0.44883 0.28832 0.26187120 400 0.34719 0.46750 0.16345 0.00000 0.37293 0.44515 0.28572 0.25948

terceiro dígito pode ser obtida apenas para as temperaturas Θ2, Θ4 e Θ8 com peque-

nos números de termos e divisões de malha, já quando nmax = 20 e pmax = 50. Para

as temperaturas Θ1, Θ3, Θ5 , Θ6 e Θ7 esta convergência não é obtida. Além disso, a

convergência do caso com k∗max = 1 sempre será muito boa em relação a nmax , devido

55

a maior simplicidade do problema com este valor de condutividade térmica.


superfícies superior e inferior, assim como taxas de transferência de calor adimensio-

nais nas mesmas superfícies e a condutividade térmica efetiva para o caso de de con-

dição de contorno de Dirichlet para a fase dispersa em forma quadrada com k∗max = 1

e g∗ = 10. Como pode ser visto uma convergência no terceiro dígito pode ser obtida

Tab. 5.18: Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calore erro global para Bi →∞, φ= 0.2, k∗

max = 1, Φa = 0, Φb = 0 e g∗ = 10. comfase dispersa quadrada.


b ε

20 50 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322620 100 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322620 200 0 0 1.0062 -1.0062 0.0124620 400 0 0 0.99505 -0.99505 0.0099020 800 0 0 1.0006 -1.0006 0.0012820 1600 0 0 1.0006 -1.0006 0.0012840 50 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322640 100 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322640 200 0 0 1.0062 -1.0062 0.0124640 400 0 0 0.99505 -0.99505 0.0099040 800 0 0 1.0006 -1.0006 0.0012860 50 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322660 100 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322660 200 0 0 1.0062 -1.0062 0.0124660 400 0 0 0.99505 -0.99505 0.0099080 50 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322680 100 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322680 200 0 0 1.0062 -1.0062 0.0124680 400 0 0 0.99505 -0.99505 0.00990100 50 0 0 0.98387 -0.98387 0.03226100 100 0 0 0.98387 -0.98387 0.03226100 200 0 0 1.0062 -1.0062 0.01246100 400 0 0 0.99505 -0.99505 0.00990120 50 0 0 0.98387 -0.98387 0.03226120 100 0 0 0.98387 -0.98387 0.03226120 200 0 0 1.0062 -1.0062 0.01246120 400 0 0 0.99505 -0.99505 0.00990

para as temperaturas médias de superfícies inferior e superior ( Θa , Θb ) com peque-

nos números de termos e divisões de malha, já quando nmax = 20 e pmax = 50, porém

para as taxas de transferência de calor adimensionais (Q∗a e Q∗

b ) esta convergência não

é obtida. Além disso, o erro global varia entre 1-3,5%, o que é aceitável para o modelo

56

estudado. O erro global se aproxima de zero quando o valor de pmax é aumentado.

Pode-se observar também que, as temperaturas de superfície inferior e superior Θa e

Θb são iguais a zero , que são as temperaturas prescritas nas superfícies inferior e su-

perior. Os fluxos de calor nas superfícies inferior e superior são iguais e têm sentidos

opostos, visto que a geração de energia ocorre de forma simétrica.

57



forma quadrada com k∗max = 10 e g∗ = 10. Como pode ser visto uma convergência

Tab. 5.19: Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma fasedispersa quadrada com Bi →∞, φ = 0.2 ,k∗

max = 10, Φa = 0, Φb = 0 e g∗ =10.

nmax pmax Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ820 50 0.32531 0.33483 0.16033 0.00000 0.32528 0.33246 0.26353 0.2397420 100 0.32848 0.33888 0.1596 0.00000 0.32921 0.3365 0.26621 0.2420320 200 0.3358 0.34776 0.16264 0.00000 0.33802 0.34537 0.2734 0.2485520 400 0.33248 0.34331 0.16112 0.00000 0.33361 0.34093 0.2698 0.2452820 800 0.33414 0.34554 0.16188 0.00000 0.33582 0.34315 0.2716 0.2469120 1600 0.3342 0.34528 0.16193 0.00000 0.33557 0.34289 0.27143 0.2467740 50 0.32617 0.33616 0.16085 0.00000 0.32691 0.33371 0.26183 0.2393140 100 0.32937 0.34033 0.16015 0.00000 0.33096 0.33786 0.2645 0.2416140 200 0.33692 0.34933 0.16324 0.00000 0.33989 0.34685 0.27166 0.2481240 400 0.33346 0.34483 0.1617 0.00000 0.33543 0.34236 0.26808 0.2448640 800 0.33519 0.34708 0.16247 0.00000 0.33766 0.3446 0.26987 0.2464960 50 0.32664 0.33673 0.16106 0.00000 0.32758 0.33419 0.26136 0.2388160 100 0.32992 0.34095 0.16037 0.00000 0.33168 0.33839 0.26403 0.2411260 200 0.33768 0.35002 0.16348 0.00000 0.34067 0.34745 0.27118 0.2476260 400 0.33412 0.34548 0.16193 0.00000 0.33618 0.34292 0.2676 0.2443680 50 0.32687 0.33693 0.16115 0.00000 0.32784 0.33441 0.26119 0.2385680 100 0.33022 0.34118 0.16046 0.00000 0.33198 0.33864 0.26387 0.2408680 200 0.33798 0.35028 0.16359 0.00000 0.34101 0.34774 0.27102 0.2473680 400 0.33446 0.34574 0.16203 0.00000 0.3365 0.34319 0.26744 0.24411

100 50 0.32703 0.33706 0.16121 0.00000 0.32804 0.33457 0.26097 0.23844100 100 0.33041 0.34133 0.16053 0.00000 0.3322 0.33883 0.26365 0.24074100 200 0.33812 0.35047 0.16367 0.00000 0.34125 0.34795 0.27081 0.24724100 400 0.33463 0.34591 0.16211 0.00000 0.33673 0.3434 0.26723 0.24399120 50 0.32711 0.33715 0.16124 0.00000 0.32814 0.33466 0.26091 0.23839120 100 0.33049 0.34143 0.16057 0.00000 0.33231 0.33892 0.26359 0.2407120 200 0.33822 0.35058 0.16371 0.00000 0.34139 0.34807 0.27075 0.2472120 400 0.33469 0.34601 0.16215 0.00000 0.33686 0.3435 0.26717 0.24395

no terceiro dígito pode ser obtida apenas para as temperaturas Θ3 e Θ4 com pequenos

números de termos e divisões de malha, já quando nmax = 20 e pmax = 50. Para as tem-

peraturas Θ1, Θ2, Θ5 , Θ6 , Θ7 e Θ8 esta convergência não é obtida. Nota-se também

que, devido ao aumento na condutividade térmica da fase dispersa, a temperatura Θ2 ,

que é a mais próxima do centro, é menor do que a mesma temperatura na tabela 5.17 .

A tabela 5.20 apresenta resultados de convergência das temperaturas médias das su-

perfícies superior e inferior, assim como taxas de transferência de calor adimensionais

58

nas mesmas superfícies e a condutividade térmica efetiva para o caso de de condição

de contorno de Dirichlet para a fase dispersa em forma quadrada com k∗max = 10 e

g∗ = 10.

Tab. 5.20: Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calore erro global para Bi →∞, φ = 0.2, k∗

max = 10, Φa = 0, Φb = 0 e g∗ = 10.com fase dispersa quadrada.


b ε

20 50 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322620 100 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322620 200 0 0 1.0062 -1.0062 0.0124620 400 0 0 0.99505 -0.99505 0.0099020 800 0 0 1.0006 -1.0006 0.0012820 1600 0 0 1.0006 -1.0006 0.0012840 50 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322640 100 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322640 200 0 0 1.0062 -1.0062 0.0124640 400 0 0 0.99505 -0.99505 0.0098940 800 0 0 1.0006 -1.0006 0.0012860 50 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322660 100 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322660 200 0 0 1.0062 -1.0062 0.0124660 400 0 0 0.99505 -0.99505 0.0099080 50 0 0 0.98387 -0.98387 0.0322680 100 0 0 0.98387 -0.98387 0.032280 200 0 0 1.0062 -1.0062 0.0124680 400 0 0 0.99505 -0.99505 0.00990100 50 0 0 0.98387 -0.98387 0.03226100 100 0 0 0.98387 -0.98387 0.03226100 200 0 0 1.0062 -1.0062 0.01246100 400 0 0 0.99505 -0.99505 0.00990120 50 0 0 0.98387 -0.98387 0.03226120 100 0 0 0.98387 -0.98387 0.03226120 200 0 0 1.0062 -1.0062 0.01246120 400 0 0 0.99505 -0.99505 0.00990

Como pode ser visto uma convergência no terceiro dígito pode ser obtida para as

temperaturas médias de superfícies inferior e superior ( Θa , Θb ) com pequenos nú-

meros de termos e divisões de malha, já quando nmax = 20 e pmax = 50, porém para as

taxas de transferência de calor adimensionais (Q∗a e Q∗

b ) . Além disso, o erro global

varia entre 1-3,5%, o que é aceitável para o modelo estudado. O erro global também se

aproxima de zero quando o valor de pmax é aumentado. Pode-se observar também que,

as temperaturas de superfície inferior e superior Θa e Θb são iguais a zero , que são

59

as temperaturas prescritas nas superfícies inferior e superior. Os fluxos de calor nas

superfícies inferior e superior são iguais e têm sentidos opostos, visto que o problema

ocorre de forma simétrica. Comparando as tabelas acima para a fase dispersa qua-

drada, pode-se perceber que a variação no valor de k∗max tem maior efeito nas tabelas

de convergência de temperatura do que nas tabelas de convergência de temperaturas

médias de superfície, taxas de fluxo de calor e erro global, que se comportam de forma

mais semelhante.

Comparando as tabelas para as fases dispersas quadrada e circular, pode-se perce-

ber que o erro global é maior para a fase dispersa quadrada e esta fase apresenta melhor

condução de calor, visto que apresentam temperaturas Θ2 menores.

60

5.1.3 Análise de ordem

A fim de verificar a ordem dos resultados obtidos nas tabelas anteriores, realizou-se

uma análise de ordem, onde os resultados estão apresentados nas Tabelas 5.21 a 5.28.

Tab. 5.21: Ordem calculada para o caso da Tabela 5.5

nmax

Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ8

20 0.82146 0.913328 1.00511 0.00000 1.05415 1.05708 0.96797 0.93398540 0.73739 3.11973 0.995794 0.00000 1.10082 0.85022 0.660964 0.5000060 0.720286 1.08496 0.995794 0.00000 1.10082 1.11120 0.50000 1.0000


nmax

Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ8

20 0.853289 1.79546 1.01178 1.02208 0.516993 0.40000 1.00808 0.93690540 0.778998 0.60000 1.00000 1.00000 0.792481 0.00000 0.792481 0.79248160 0.763624 0.00000 1.00995 1.02531 1.00000 0.00000 1.00000 1.40368


nmax

Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ8

20 0.407973 0.949185 0.980547 1.00225 0.464386 0.158496 0.564386 0.5000040 0.138189 0.833985 1.47597 1.00000 0.00000 0.60000 0.30000 0.3000060 0.179063 0.842206 1.56294 1.00000 0.00000 0.696578 0.475489 0.30000


nmax

Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ8

20 0.409516 0.316993 0.916742 1.11092 0.00000 0.00000 0.00000 0.1000040 0.157006 0.316993 1.53910 1.39533 0.00000 0.00000 0.30000 0.3000060 0.105752 0.00000 1.61120 1.64639 0.00000 0.00000 0.792481 0.50000

61


nmax

Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ8

20 1.31343 1.35181 1.40951 0.990839 1.43209 1.49295 1.36668 1.3279140 0.792481 1.36860 1.40368 1.00000 1.22972 1.45345 1.16096 1.1609660 0.75125 1.25125 1.40368 1.00000 1.29248 1.16096 1.16096 1.16096


nmax

Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ8

20 0.212536 1.04801 0.120945 0.20000 1.04594 1.01077 1.0681 1.0269540 0.845158 0.763812 1.64270 0.00000 0.76523 0.792481 0.720286 0.7512560 0.711606 1.01976 1.88629 0.00000 1.02220 1.14270 1.02945 0.96930


nmax

Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ8

20 3.02979 1.09189 0.517712 0.00000 1.01681 1.0636 0.960915 0.91668940 0.998344 0.838222 1.00360 0.00000 0.996611 1.00098 1.00140 1.0000060 0.998341 0.990626 1.0072 0.00000 0.990955 0.992138 0.991653 0.990917


nmax

Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ8

20 1.21074 0.800752 0.718583 0.00000 0.618168 0.85968 0.04323 0.4100140 1.06285 0.367037 1.00234 0.00000 1.00081 1.00241 1.00000 0.99889360 1.12418 0.99841 1.00465 0.00000 1.00161 1.00000 0.997984 0.995568

Como pode ser observado, os resultados não apresentam ordem 2 conforme espe-

rado. Sendo assim, uma análise de ordem foi realizada com uma ordem superior para

as aproximações das derivadas, conforme as equações abaixo e os resultados estão

62

apresentados na Tabela 5.29.

dΘ

dη

∣∣∣∣∣ηp−1/2

= −184Φa +225Θp −50Θp+1 +9Θp+2

60∆η2para p = 1, (5.1a)

dΘ

dη

∣∣∣∣∣ηp+1/2

= 184Φa −225Θp +50Θp+1 −9Θp+2

60∆η2para p = pmax. (5.1b)

Tab. 5.29: Ordem calculada para aproximações das derivadas com ordem aumentadapara Bi →∞.

nmax

Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ8

20 0.474318 1.83148 1.00634 0.00000 0.855247 1.36848 1.21648 2.0849640 0.485427 1.64270 1.00846 0.00000 1.06413 0.893085 0.736966 1.0000060 0.691751 1.01144 0.691751 1.25000 0.90957 0.963468 1.17474 1.09949

Como pode ser observado, mesmo com uma aproximação de ordem superior para

as derivadas, a análise de ordem continua apresentando resultados não esperados. A

Tabela 5.30 apresenta resultados da análise de ordem quando g = g (y) = y2, para

kmax = 1.

Tab. 5.30: Ordem calculada para o caso quando g = g (y) = y2 e kmax = 1

nmax

Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ8

20 1.79248 1.91514 1.69087 1.98465 1.91514 1.91514 1.91514 1.9151440 1.79248 1.91514 1.40368 1.98727 1.90368 1.90368 1.90368 1.9036860 2.00000 1.80735 2.80735 1.98297 1.80735 1.80735 1.80735 1.80735

Como pode ser visto, quando utiliza-se uma função continua para o valor da gera-

ção de energia e para a condutividade térmica da fase dispersa, os resultados da análise

de ordem estão mais próximos de 2, que é o valor esperado devido a utilização de apro-

ximações de segunda ordem durante a discretização do problema. Isto indica que os

resultados não esperados da análise de ordem das tabelas 5.21 a 5.28 se devem pro-

vavelmente à descontinuidade das integrais nos cálculos dos coeficientes Am,n , Bm,n e

g .

63

5.2 Análise da influência dos parâmetros adimensionais

5.2.1 Variação com o número de Biot

A tabela 5.31 apresenta os resultados obtidos para temperaturas médias das superfícies

superior e inferior, assim como taxas de transferência de calor adimensionais nas mes-

mas superfícies e a condutividade térmica efetiva nos pontos selecionados para fase

dispersa quadrada com diferentes números de Biot e sem geração de energia.

Tab. 5.31: Temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calor e condutividadeefetiva para fase dispersa quadrada com diferentes números de Biot.

Bia Bib Θa Θb Q∗a Q∗

b k∗e

1 1 0.370 0.630 0.370 0.370 1.41710 10 0.111 0.890 1.105 1.105 1.419

100 100 0.014 0.986 1.382 1.382 1.4211000 1000 0.001 0.999 1.417 1.417 1.421106 106 0.000 1.000 1.421 1.421 1.421∞ ∞ 0.000 1.000 1.421 1.421 1.421

Com os resultados obtidos na tabela 5.31, podemos observar que quando Bi →∞,

os resultados coincidem no terceiro dígito com os resultados obtidos quando a condi-

ção de contorno de Dirichlet é aplicada diretamente. Além disso, podemos perceber

que a condutividade térmica efetiva aumenta com o aumento do número de Biot.

A tabela 5.32 apresenta os resultados obtidos para temperaturas médias das su-

perfícies superior e inferior, assim como taxas de transferência de calor adimensionais

nas mesmas superfícies e a condutividade térmica efetiva nos pontos selecionados para

fase dispersa circular com diferentes números de Biot.

De acordo com os resultados obtidos na Tabela 5.32, podemos observar que quando

Bi → ∞, os resultados também coincidem no terceiro dígito com os resultados obti-

dos quando a condição de contorno de Dirichlet é aplicada diretamente. Além disso,

podemos perceber que a condutividade térmica efetiva aumenta ligeiramente com o

aumento do número de Biot.

64

Tab. 5.32: Temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calor e condutividadeefetiva para fase dispersa circular com diferentes números de Biot

Bia Bib Θa Θb Q∗a Q∗

b k∗e

1 1 0.369 0.632 0.369 0.369 1.40010 10 0.110 0.890 1.096 1.096 1.403

100 100 0.014 0.986 1.367 1.367 1.4061000 1000 0.001 0.999 1.402 1.402 1.406106 106 0.000 1.000 1.406 1.406 1.406∞ ∞ 0.000 1.000 1.406 1.406 1.406

5.3 Comparação com resultados da literatura

5.3.1 Resultados pontuais de condutividade térmica efetiva

A tabela 5.33 apresenta valores da condutividade térmica efetiva para fase dispersa cir-

cular com os mesmos valores de Φ (fração volumétrica) e k∗max utilizados por Rocha

et al. [25], a fim de comparação. Os resultados da linha RC se referem aos resultados

obtidos por [25]. A partir dos resultados da tabela 5.33, pode-se observar que os re-

Tab. 5.33: Condutividade térmica efetiva para fase dispersa circular.

k∗e

Φ= 0.3 Φ= 0.75Bia = Bib kmax = 2 kmax = 50 kmax = 2 kmax = 50

1 1.222 1.836 1.655 6.00710 1.223 1.851 1.667 7.008

100 1.224 1.862 1.678 9.2521000 1.224 1.864 1.674 10.25106 1.224 1.864 1.680 10.41∞ 1.224 1.864 1.680 10.41RC 1.223 1.813 1.677 9.536

sultados simulados coincidem com os resultados obtidos por [25] quando Φ = 0.3 e

Φ = 0.75 para kmax = 2, e quando kmax = 50 apresentam um desvio de 2,7% e 9,12%

respectivamente. Este desvio ocorre provavelmente devido ao aumento da influência

das condições de contorno na uniformidade do fluxo de calor nas superfícies quando

há o aumento da fração volumétrica e do valor da condutividade térmica, visto que

foram utilizadas condições de contorno diferentes em cada estudo.

65

5.3.2 Comparação com correlações

As figuras 5.3 e 5.4 apresentam comparações entre os resultados simulados e os resul-

tados obtidos utilizando a correlações existentes na literatura. A figura 5.3 apresenta

a comparação dos resultados simulados para a fase dispersa quadrada com correlações

obtidas por[39] e por [40]. Como pode ser observado, os resultados obtidos por [39]

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20ϕ

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

ke

GITT-FVM

IA

NBquadrado

(a) Bi = 1

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20ϕ

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

ke

GITT-FVM

IA

NBquadrado

(b) Bi = 100

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20ϕ

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

ke

GITT-FVM

IA

NBquadrado

(c) Bi = 1040.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

ϕ1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

ke

GITT-FVM

IA

NBquadrado

(d) Bi →∞

Fig. 5.3: Comparação de resultados simulados com resultados de correlações da litera-tura para fase dispersa quadrada, sem geração de energia, k∗

max = 10, Φa = 0e Φb = 1 e φ= 0.2.

("NBquadrado") estão mais próximos dos resultados obtidos neste trabalho do que os

resultados obtidos por [40] ("AI"), provavelmente devido a maior semelhança entre a

modelagem deste trabalho e a de [39].

A figura 5.4 apresenta a comparação dos resultados simulados para a fase dispersa

circular com correlações obtidas por [38] e [39]. Os resultados representados no grá-

fico "maxwell1"foram calculados aplicando diretamente na equação (2.16), as mesmas

frações utilizadas nos resultados simulados. Já nos resultados representados no gráfico

"maxwell2", foi utilizada uma fração volumétrica corrigida, dada pela equação 5.2,

para que os resultados apresentassem mesmo valor de diâmetro, visto que o modelo

66

de [38] considera partículas esféricas.

φcor r i g i do = 2φ

3

√4φ

π

(5.2)

Analisando os resultados, podemos observar que os resultados simulados para con-

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20ϕ

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

ke

GITT-FVM

maxwell1

maxwell2

NBcilindro

(a) Bi = 1

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20ϕ

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

ke

GITT-FVM

maxwell1

maxwell2

NBcilindro

(b) Bi = 100

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20ϕ

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

ke

GITT-FVM

maxwell1

maxwell2

NBcilindro

(c) Bi = 104

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20ϕ

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

ke

GITT-FVM

maxwell1

maxwell2

NBcilindro

(d) Bi →∞

Fig. 5.4: Comparação de resultados simulados com resultados de correlações da lite-ratura para fase dispersa circular, sem geração de energia, k∗

max = 10, Φa = 0e Φb = 1 e φ= 0.2.

dutividade efetiva são maiores do que os resultados obtidos usando a correlação de

Maxwell para mesmos valores de diâmetros ("maxwell2"), conforme esperado, visto

que o modelo de Maxwell considera partículas esféricas e portanto, para um mesmo

diâmetro, apresenta menor fração volumétrica de fase dispersa. Já para os resultados

para o mesmo valor de fração volumétrica ("maxwell1"), os resultados simulados para

a condutividade térmica efetiva são menores do que os resultados obtidos utilizando

a correlação, o que se deve ao fato de que, para uma mesma fração volumétrica, o

modelo de [38] apresenta um diâmetro maior do que o modelo estudado. Além disso,

podemos perceber que, da mesma forma que a fase dispersa quadrada, o modelo de

[39] é o que apresenta resultados mais próximos aos simulados neste trabalho.

67

5.4 Análise do campo de temperatura

Esta seção apresenta uma análise dos campos de temperatura para as fases dispersas

quadrada e circular com diferentes valores para número de Biot e geração de energia.

Todos os casos foram feitos com nmax = 40 e pmax = 50, devido à análise de conver-

gência realizada nos itens anteriores.

5.4.1 Análise da variação do número de Biot

As Figuras 5.5 e 5.6 mostram os campos de temperatura encontrados para as seções

transversais de formas quadrada e circular com diferentes valores de Biot, sem geração

de energia, k∗max = 10, Φa = 0 e Φb = 1 e φ= 0.2 .

Como pode-se observar, os campos de temperaturas mostram que o gradiente de

temperatura é menor dentro da área da fase dispersa (tanto para a fase quadrada quanto

a circular), o que é esperado, visto que nesta região há uma maior condutividade tér-

mica. Além disso, pode-se perceber que, com o aumento do número de Biot, a tempe-

ratura da superfície inferior se aproxima de zero enquanto a temperatura da superfície

superior se aproxima de um, que são as temperaturas prescritas nestas superfícies, o

que também está de acordo com o esperado. Comparando os resultados para a fase

dispersa quadrada e circular, pode-se perceber que, apesar dos resultados serem próxi-

mos, a fase dispersa quadrada apresenta uma condução de calor ligeiramente melhor

do que a fase dispersa circular, visto que nesta última, o gradiente de temperatura nesta

fase é ligeiramente menor.

68

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(a) Bi = 1

0.1

0.20.3

0.4

0.5

0.6 0.7

0.8

0.9

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(b) Bi = 100

0.1

0.2 0.3

0.4

0.5

0.6 0.7

0.8

0.9

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(c) Bi = 104

0

0.10.2

0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.80.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(d) Bi →∞

Fig. 5.5: Campo de temperatura para diferentes valores de Biot com fase dispersa qua-drada sem geração de energia, para k∗

max = 10, Φa = 0 e Φb = 1

69

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(a) Bi = 1

0.1

0.2 0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.8

0.9

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(b) Bi = 100

0.1

0.2 0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.8

0.9

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(c) Bi = 104

0

0.1

0.2 0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.80.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(d) Bi →∞

Fig. 5.6: Campo de temperatura para diferentes valores de Biot com fase dispersa cir-cular sem geração de energia para k∗

max = 10, Φa = 0 e Φb = 1 e φ= 0.2.

70

5.4.2 Análise da variação da razão de condutividade térmica

As Figuras 5.7 e 5.8 mostram os campos de temperatura encontrados para as seções

transversais de formas quadrada e circular com diferentes valores de k∗max, sem geração

de energia, com Φa = 0 e Φb = 1 e φ= 0.2 .

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(a) k∗max = 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(b) k∗max = 2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(c) k∗max = 5

0

0.10.2

0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.80.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(d) k∗max = 10

Fig. 5.7: Campo de temperatura para diferentes valores de k∗max com fase dispersa qua-

drada sem geração de energia, para Φa = 0 e Φb = 1 e φ= 0.2.

Como pode-se observar, os campos de temperaturas mostram que, tanto para a fase

dispersa quadrada quanto circular, com o aumento de k∗max , há um aumento da in-

fluência da fase dispersa nos campos de temperatura. Além disso , como nos gráficos

71

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(a) k∗max = 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(b) k∗max = 2

0

0.1

0.20.3

0.4

0.5

0.6 0.7

0.8

0.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(c) k∗max = 5

0

0.1

0.2 0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.80.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(d) k∗max = 10

Fig. 5.8: Campo de temperatura para diferentes valores de k∗max com fase dispersa cir-

cular sem geração de energia, para Φa = 0 e Φb = 1 e φ= 0.2.

anteriores, que dentro da fase dispersa a condutividade térmica é maior. Pode-se per-

ceber que, com o aumento de k∗max, as temperaturas em torno da superfície superior

estão mais afastadas da temperatura prescrita desta superfície, assim como as tempera-

turas em torno da superfície inferior estão mais afastadas da temperatura prescrita desta

superfície, indicando o aumento da condutividade térmica efetiva, conforme esperado.

72

5.4.3 Análise do tamanho da fase dispersa

As figuras 5.9 e 5.10 mostram os campos de temperatura encontrados para as seções

transversais de formas quadrada e circular sem geração de energia para diferentes va-

lores de fracão volumétrica, quando nmax = 40 e pmax = 50 com Bi →∞, k∗max = 10,

Φa = 0 e Φb = 1 .

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(a) φ= 0.05

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(b) φ= 0.10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(c) φ= 0.15

0

0.10.2

0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.80.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(d) φ= 0.20

Fig. 5.9: Campo de temperatura com Bi →∞ e diferentes valores de fracão volumé-trica, com fase dispersa quadrada sem geração de energia, para k∗

max = 10,Φa = 0 e Φb = 1 .

Como pode ser visto nas figuras acima, tanto para a fase dispersa quadrada quanto

circular, com o aumento da fração volumétrica, há um aumento na condutividade tér-

73

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(a) φ= 0.05

0

0.1

0.20.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(b) φ= 0.10

0

0.1

0.20.3

0.4

0.5

0.6 0.7

0.8

0.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(c) φ= 0.15

0

0.1

0.2 0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.80.9

1

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(d) φ= 0.20

Fig. 5.10: Campo de temperatura com Bi →∞ e diferentes valores de fracão volumé-trica, com fase dispersa circular sem geração de energia, para k∗

max = 10,Φa = 0 e Φb = 1 .

mica do compósito, visto que na região da fase dispersa há uma diminuição do gradi-

ente de temperatura.

74

5.4.4 Casos com geração de energia

As figuras 5.11 e 5.12 mostram os campos de temperatura encontrados para as seções

transversais de formas quadrada e circular para diferentes valores de k∗max com Bi →∞,

g = 10, Φa = 0 , Φb = 0 e φ= 0.2.

0

0

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(a) k∗max = 1

0

0

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.4

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(b) k∗max = 2

0

0

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(c) k∗max = 5

0

0

0.1

0.1

0.2

0.20.3

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(d) k∗max = 10

Fig. 5.11: Campo de temperatura para diferentes valores de k∗max com fase dispersa

quadrada com Bi →∞, g = 10, Φa = 0 , Φb = 0 e φ= 0.2.

Como pode ser visto nas figuras acima, os campos de temperaturas mostram que

as temperaturas de superfícies superior e inferior se aproximam de zero, que são as

temperaturas prescritas nas mesmas. Além disso, podemos observar que a medida

75

0.05

0.05

0.1

0.1

0.15

0.15

0.2

0.2

0.25

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

(a) k∗max = 1

0

0

0.05

0.05

0.1

0.1

0.15

0.15

0.2

0.2

0.25

0.25

0.3

0.35

0.4

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(b) k∗max = 2

0

0

0.05

0.05

0.1

0.1

0.15

0.15

0.2

0.2

0.25

0.25

0.3

0.35

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(c) k∗max = 5

0

0

0.05

0.05

0.1

0.1

0.15

0.15

0.2

0.2

0.25

0.25

0.3

0.35

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

(d) k∗max = 10

Fig. 5.12: Campo de temperatura para diferentes valores de k∗max com fase dispersa

circular com Bi →∞, g = 10, Φa = 0 , Φb = 0 e φ= 0.2.

que há o aumento no valor de k∗max, os gráficos se comportam de forma semelhante,

diminuindo o valor das temperaturas no centro, o que é esperado.

76

Capítulo 6

Conclusões

Este trabalho desenvolveu uma solução mista utilizando métodos semi-analíticos e de

discretização para o problema de condução de calor em materiais heterogêneos. Foi

considerado o problema de condução bidimensional permanente em um material hete-

rogêneo composto por uma matriz envolvendo uma fase dispersa, não havendo resis-

tência interfacial entre as fases. Além disso, foram consideradas também condições de

contorno de Dirichlet, Neumann e Robin na superfícies superior e inferior. Para obter a

solução híbrida analítica numérica deste problema foi utilizada a Técnica da Transfor-

mada Integral Generalizada (GITT) juntamente com um esquema de Volumes Finitos

(FVM) com aproximações de segunda ordem, para solução do problema transformado.

Toda implementação foi feita no programa Mathematica.

Após a implementação computacional do algorítimo aqui proposto, realizou-se

uma análise de convergência da solução proposta. Nesta, examinou-se a temperatura

em pontos selecionados, temperaturas médias de superfícies, taxas de transferência de

calor e condutividade térmica efetiva (para casos com e sem geração de energia). Nos

casos sem geração de energia, de maneira geral, a convergência das temperaturas mé-

dias das superfícies superior e inferior, taxas de transferência de calor adimensionais

nas mesmas superfícies e a condutividade térmica efetiva para a fase dispersa circular

são melhores que das tabelas de convergência de temperaturas.

Para a condutividade térmica efetiva na fase dispersa circular, mais termos são ne-

77

cessários para obter convergência a medida que o número de Biot aumenta. Para a

fase dispersa quadrada sem geração, observa-se que a convergência apresenta resulta-

dos piores do que para a fase dispersa circular. Além disso, a fase dispersa quadrada

apresenta resultados maiores para os valores de condutividade térmica.

Para os casos com geração de energia, percebe-se que, para ambas as fases, a va-

riação no valor da condutividade térmica da fase dispersa tem maior efeito nas tabelas

de convergência de temperatura do que nas tabelas de convergência de taxas de fluxo

de calor, temperaturas médias de superfície e erro global. Além disso, a fase dispersa

quadrada apresenta valores maiores de erro global e uma melhor condução de calor.

Após a análise de convergência foi realizada uma análise de ordem e observou-se

que mesmo quando são usadas aproximações para as derivadas com ordem superior a

utilizada neste trabalho, os resultados se afastavam dos resultados esperados, porém,

quando uma função contínua era utilizada nos cálculos dos coeficientes Am,n , Bm,n e

g∗ , os resultados eram próximos aos esperados, o que indica que este problema ocorre

devido a descontinuidade presente nos cálculos destes coeficientes.

Os resultados simulados também foram comparados com dados da literatura, in-

cluindo comparações com correlações. Os resultados obtidos para condutividade efe-

tiva são maiores do que valores calculados pela correlação de Maxwell quando se

considera uma fração volumétrica corrigida, porém quando são utilizados mesmos va-

lores de frações volumétricas, os resultados utilizando a correlação de Maxwell são

maiores. Das correlações utilizadas como comparação para os resultados de conduti-

vidade térmica efetiva, as que mais se aproximam dos resultados obtidos neste trabalho

são as correlações de Braga Jr and Sphaier [39], tanto para a fase dispersa quadrada

quanto circular. As comparações com dados de outros trabalhos mostraram que os re-

sultados simulados coincidem com os resultados obtidos na literatura quando Φ= 0.3

e Φ = 0.75 para kmax = 2, e quando kmax = 50 apresentam um desvio de 2.7% e 9.1%

respectivamente. Este desvio ocorre provavelmente devido ao aumento da influência

das condições de contorno na uniformidade do fluxo de calor nas superfícies quando

há o aumento da fração volumétrica e do valor da condutividade térmica, visto que

78

foram utilizadas condições de contorno diferentes em cada estudo.

Por fim, foi feita uma análise paramétrica variando os adimensionais relevantes ao

problema. Avaliou-se a influência do tamanho e da geometria da fase dispersa na con-

dutividade térmica efetiva, e observou-se que com o aumento da fração volumétrica,

há o aumento da condutividade térmica,conforme esperado. Comparando os resulta-

dos para a fase dispersa quadrada e circular (sem geração de energia), pode-se perceber

que a fase dispersa quadrada apresenta uma condução de calor ligeiramente melhor do

que a fase dispersa circular, visto que o gradiente de temperatura nesta fase é ligeira-

mente menor. Para o caso em que há variação na condutividade térmica sem geração

de energia, observa-se claramente o aumento da influência da fase dispersa no campo

de temperatura à medida que o valor de k∗max aumenta. Comparando os campos de

temperatura para os casos com geração de energia, podemos observar que a medida

que há o aumento no valor de k∗max, os gráficos se comportam de forma semelhante,

diminuindo o valor das temperaturas no centro, conforme esperado. Diante do exposto

acima, percebe-se que o propósito do trabalho foi atingido, visto que foi obtida uma

solução híbrida analítica númerica com a qual pode-se realizar diversos estudos sobre

condução de calor em meios heterogêneos, com um erro global baixo e fácil aplicação.

Para a realização de trabalhos futuros, sugere-se refazer este problema conside-

rando a resistência de contato entre as fases e avaliando sua influência nos resultados

analisados, além da utilização de diferentes métodos numéricos para sua resolução, a

fim de comparação. Além disso, sugere-se uma análise mais detalhada do efeito da

descontinuidade dos coeficientes Am,n , Bm,n e g∗ na análise de ordem e a busca para

uma alternativa na qual não ocorra este problema.

79

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84

Apêndice A

Tabelas de análise de convergência

Tab. A.1: Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma fasedispersa quadrada com Bi = 100, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗

max = 10.


100 50 0.54435 0.52474 0.76614 0.98440 0.53060 0.52637 0.57003 0.58184100 100 0.54492 0.52436 0.76960 0.98463 0.53022 0.52598 0.57039 0.58224100 200 0.54671 0.52427 0.77132 0.98474 0.53000 0.52584 0.57039 0.58230100 400 0.54537 0.52432 0.77047 0.98468 0.53011 0.52591 0.57039 0.58228120 50 0.54434 0.52473 0.76614 0.98440 0.53057 0.52636 0.57007 0.58185120 100 0.54493 0.52435 0.76960 0.98463 0.53020 0.52597 0.57043 0.58226120 200 0.54672 0.52426 0.77132 0.98474 0.52997 0.52583 0.57043 0.58232120 400 0.54541 0.52431 0.77047 0.98468 0.53008 0.52589 0.57044 0.58230

85

Tab. A.2: Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma fasedispersa quadrada com Bi = 104, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗

max = 10.


100 50 0.54566 0.52546 0.77432 0.99984 0.53148 0.52714 0.57193 0.58403100 100 0.54624 0.52507 0.77777 0.99984 0.53108 0.52672 0.57228 0.58444100 200 0.54807 0.52497 0.77949 0.99984 0.53085 0.52658 0.57228 0.58449100 400 0.54670 0.52502 0.77864 0.99984 0.53096 0.52665 0.57229 0.58447120 50 0.54565 0.52545 0.77432 0.99984 0.53145 0.52713 0.57197 0.58405120 100 0.54624 0.52506 0.77777 0.99984 0.53105 0.52671 0.57232 0.58445120 200 0.54807 0.52496 0.77949 0.99984 0.53082 0.52657 0.57233 0.58451120 400 0.54673 0.52501 0.77864 0.99984 0.53093 0.52664 0.57233 0.58449

86

Tab. A.3: Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calore condutividade efetiva Bi = 100, φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗



b k∗e

20 50 0.01398 0.98602 1.3982 1.3982 1.438420 100 0.01384 0.98616 1.3843 1.3843 1.423720 200 0.01379 0.98621 1.3787 1.3787 1.417820 400 0.01382 0.98619 1.3815 1.3815 1.420720 800 0.01380 0.98620 1.3801 1.3801 1.419320 1600 0.01381 0.98619 1.3809 1.3809 1.420240 50 0.01396 0.98604 1.3960 1.3960 1.436140 100 0.01382 0.98618 1.3818 1.3818 1.421140 200 0.01376 0.98624 1.3761 1.3761 1.415140 400 0.01379 0.98621 1.3789 1.3789 1.418040 800 0.01378 0.98622 1.3775 1.3775 1.416560 50 0.01395 0.98605 1.3952 1.3952 1.435360 100 0.01381 0.98619 1.3809 1.3809 1.420260 200 0.01375 0.98625 1.3751 1.3751 1.414060 400 0.01378 0.98622 1.3780 1.3780 1.417060 800 0.01377 0.98623 1.3765 1.3765 1.415580 50 0.01395 0.98605 1.3949 1.3949 1.434980 100 0.01381 0.98619 1.3806 1.3806 1.419880 200 0.01375 0.98625 1.3746 1.3746 1.413580 400 0.01378 0.98622 1.3775 1.3775 1.4166

100 50 0.01395 0.98605 1.3947 1.3947 1.4347100 100 0.01380 0.98620 1.3803 1.3803 1.4195100 200 0.01374 0.98626 1.3743 1.3743 1.4132100 400 0.01377 0.98623 1.3772 1.3772 1.4162120 50 0.01395 0.98605 1.3946 1.3946 1.4346120 100 0.01380 0.98620 1.3802 1.3802 1.4193120 200 0.01374 0.98626 1.3741 1.3741 1.4130120 400 0.01377 0.98623 1.3771 1.3771 1.4161

87

Tab. A.4: Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calore condutividade efetiva Bi = 104, φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗



b k∗e

20 50 0.00014 0.99986 1.4384 1.4384 1.438820 100 0.00014 0.99986 1.4236 1.4236 1.424020 200 0.00014 0.99986 1.4177 1.4177 1.418120 400 0.00014 0.99986 1.4206 1.4206 1.421020 800 0.00014 0.99986 1.4191 1.4191 1.419520 1600 0.00014 0.99986 1.4200 1.4200 1.420440 50 0.00014 0.99986 1.4360 1.4360 1.436440 100 0.00014 0.99986 1.4210 1.4210 1.421440 200 0.00014 0.99986 1.4149 1.4149 1.415340 400 0.00014 0.99986 1.4179 1.4179 1.418340 800 0.00014 0.99986 1.4164 1.4164 1.416860 50 0.00014 0.99986 1.4352 1.4352 1.435660 100 0.00014 0.99986 1.4201 1.4201 1.420560 200 0.00014 0.99986 1.4139 1.4139 1.414360 400 0.00014 0.99986 1.4169 1.4169 1.417360 800 0.00014 0.99986 1.4154 1.4154 1.415880 50 0.00014 0.99986 1.4349 1.4349 1.435380 100 0.00014 0.99986 1.4197 1.4197 1.420180 200 0.00014 0.99986 1.4134 1.4134 1.413880 400 0.00014 0.99986 1.4164 1.4164 1.4169

100 50 0.00014 0.99986 1.4346 1.4346 1.4350100 100 0.00014 0.99986 1.4194 1.4194 1.4198100 200 0.00014 0.99986 1.4130 1.4130 1.4134100 400 0.00014 0.99986 1.4161 1.4161 1.4165120 50 0.00014 0.99986 1.4345 1.4345 1.4349120 100 0.00014 0.99986 1.4192 1.4192 1.4196120 200 0.00014 0.99986 1.4128 1.4128 1.4132120 400 0.00014 0.99986 1.4159 1.4159 1.4163

88

Tab. A.5: Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma fasedispersa circular com Bi = 100, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗

max = 10.

nmax pmax Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ820 50 0.556748 0.52714 0.78361 0.97919 0.54024 0.52713 0.58614 0.5973520 100 0.55279 0.52726 0.78300 0.98165 0.54028 0.52714 0.58619 0.5973920 200 0.55351 0.52720 0.78361 0.98293 0.54028 0.52711 0.58626 0.5974120 400 0.55532 0.52718 0.78392 0.98357 0.54028 0.52710 0.58622 0.5974220 800 0.55446 0.52719 0.78382 0.98387 0.54029 0.52710 0.58622 0.5974220 1600 0.55410 0.52720 0.78377 0.98402 0.54029 0.52710 0.58622 0.5974240 50 0.55632 0.52700 0.78406 0.97924 0.54514 0.52688 0.58747 0.5974040 100 0.55341 0.52709 0.78375 0.98172 0.54520 0.52686 0.58756 0.5974640 200 0.55398 0.52705 0.78441 0.98300 0.54521 0.52683 0.58758 0.5974840 400 0.55558 0.52703 0.78470 0.98363 0.54521 0.52681 0.58759 0.5974940 800 0.55457 0.52704 0.78459 0.98394 0.54521 0.52682 0.58759 0.5974940 1600 0.55409 0.52704 0.78457 0.98409 0.54521 0.52682 0.58759 0.5974960 50 0.55614 0.52689 0.78415 0.97925 0.54647 0.52685 0.58782 0.5975660 100 0.55334 0.526945 0.78393 0.98174 0.54665 0.52682 0.58794 0.5976560 200 0.55400 0.52691 0.78465 0.98302 0.54666 0.52677 0.58797 0.5976860 400 0.55545 0.52689 0.78498 0.98366 0.54666 0.52675 0.58798 0.5976960 800 0.55461 0.52690 0.78489 0.98396 0.54666 0.52676 0.58798 0.5976980 50 0.55623 0.52685 0.78418 0.97926 0.54653 0.52681 0.58793 0.5977180 100 0.55294 0.52689 0.78403 0.98175 0.54666 0.52676 0.58809 0.5978580 200 0.55353 0.52684 0.78478 0.98303 0.54666 0.52671 0.58813 0.5978980 400 0.55532 0.52682 0.78512 0.98367 0.54666 0.52669 0.58814 0.5978980 800 0.55458 0.52684 0.78504 0.98397 0.54666 0.52670 0.58814 0.59789

100 50 0.55627 0.52684 0.78420 0.97926 0.54690 0.52680 0.58805 0.59779100 100 0.55321 0.52688 0.78407 0.98175 0.54704 0.52675 0.5882 0.59796100 200 0.55385 0.52683 0.78485 0.98304 0.54707 0.52669 0.58829 0.59801100 400 0.55543 0.52680 0.78521 0.98368 0.54707 0.52667 0.58830 0.59802120 50 0.55623 0.52684 0.78420 0.97926 0.54703 0.52678 0.58807 0.59783120 100 0.55323 0.52688 0.78409 0.98175 0.54734 0.52672 0.58828 0.59800120 200 0.55379 0.52682 0.78489 0.98304 0.54738 0.52667 0.58833 0.59806120 400 0.55537 0.52680 0.78527 0.98368 0.54738 0.52665 0.58834 0.59808

89

Tab. A.6: Convergência de temperatura para os pontos selecionados usando uma fasedispersa circular com Bi = 104, φ= 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗

max = 10.

nmax pmax Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7 Θ820 50 0.55842 0.52793 0.79235 0.99468 0.54134 0.52791 0.58841 0.5998920 100 0.55435 0.52805 0.79173 0.99726 0.54139 0.52792 0.58847 0.5999320 200 0.55509 0.52800 0.79235 0.99855 0.54139 0.52789 0.58849 0.5999620 400 0.55695 0.52797 0.79266 0.99920 0.54139 0.52788 0.58850 0.5999720 800 0.55607 0.52799 0.79255 0.99952 0.54139 0.52788 0.58850 0.5999720 1600 0.55569 0.52799 0.79250 0.99968 0.54139 0.52788 0.58850 0.5999640 50 0.55797 0.52779 0.79278 0.99470 0.54637 0.52765 0.58977 0.5999340 100 0.55498 0.52787 0.79246 0.99727 0.54643 0.52763 0.58986 0.5999940 200 0.55556 0.52783 0.79312 0.99856 0.54644 0.52760 0.58988 0.6000240 400 0.55721 0.52781 0.79342 0.99920 0.54644 0.52758 0.58989 0.6000240 800 0.55617 0.52782 0.79331 0.99952 0.54644 0.52758 0.58989 0.6000240 1600 0.55567 0.52783 0.79328 0.99968 0.54644 0.52759 0.58989 0.6000260 50 0.55779 0.52767 0.79287 0.99470 0.54773 0.52762 0.59012 0.6001060 100 0.55490 0.52773 0.79263 0.99727 0.54791 0.52758 0.59025 0.6001960 200 0.55558 0.52769 0.79336 0.99856 0.54793 0.52754 0.59028 0.6002260 400 0.55708 0.52766 0.79369 0.99920 0.54793 0.52752 0.59028 0.6002360 800 0.55621 0.52768 0.79360 0.99952 0.54793 0.52752 0.59029 0.6002380 50 0.55789 0.52763 0.79290 0.99470 0.54779 0.52758 0.59023 0.6002580 100 0.55449 0.52767 0.79274 0.99727 0.54792 0.52753 0.59040 0.6003980 200 0.55509 0.52762 0.79349 0.99856 0.54793 0.52748 0.59044 0.6004280 400 0.55694 0.52760 0.79383 0.99920 0.54793 0.52746 0.59045 0.6004380 800 0.55618 0.52761 0.79375 0.99952 0.54793 0.52746 0.59045 0.60043

100 50 0.55792 0.52762 0.79292 0.99470 0.54817 0.52756 0.59036 0.60033100 100 0.55476 0.52765 0.79277 0.99728 0.54832 0.52751 0.59055 0.60051100 200 0.55543 0.52760 0.79356 0.99856 0.54835 0.52746 0.59060 0.60055100 400 0.55705 0.52758 0.79392 0.99920 0.54835 0.52744 0.59062 0.60056120 50 0.55788 0.52762 0.79292 0.99470 0.54831 0.52755 0.59038 0.60037120 100 0.55478 0.52766 0.79279 0.99728 0.54862 0.52749 0.59059 0.60055120 200 0.55537 0.52760 0.79360 0.99856 0.54867 0.52743 0.59064 0.60061120 400 0.55699 0.52757 0.79397 0.99920 0.54867 0.52741 0.59066 0.60062

90

Tab. A.7: Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calore condutividade efetiva para Bi = 100,φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗



b k∗e

20 50 0.01368 0.98632 1.3683 1.3683 1.406820 100 0.01369 0.98631 1.3690 1.3690 1.407520 200 0.01368 0.98632 1.3677 1.3677 1.406220 400 0.01367 0.98633 1.3670 1.3670 1.405520 800 0.01367 0.98633 1.3673 1.3673 1.405720 1600 0.01367 0.98633 1.3674 1.3674 1.405840 50 0.01363 0.98637 1.3629 1.3629 1.401140 100 0.01362 0.98638 1.3624 1.3624 1.400640 200 0.01361 0.98639 1.3610 1.3610 1.399140 400 0.01361 0.98640 1.3605 1.3605 1.398440 800 0.01361 0.98640 1.3606 1.3606 1.398640 1600 0.01361 0.98640 1.3607 1.3607 1.398760 50 0.01362 0.98638 1.3616 1.3616 1.399760 100 0.01361 0.98640 1.3605 1.3605 1.398660 200 0.01359 0.98641 1.3588 1.3588 1.396760 400 0.01358 0.98642 1.3581 1.3581 1.396060 800 0.01358 0.98642 1.3582 1.3582 1.396180 50 0.01361 0.98639 1.3611 1.3611 1.399180 100 0.01360 0.98640 1.3596 1.3596 1.397680 200 0.01357 0.98642 1.3576 1.3576 1.395580 400 0.01357 0.98643 1.3569 1.3569 1.394780 800 0.01357 0.98643 1.3570 1.3570 1.3949

100 50 0.01361 0.98639 1.3608 1.3608 1.3989100 100 0.01359 0.98641 1.3591 1.3591 1.3971100 200 0.01357 0.98643 1.3570 1.3570 1.3948100 400 0.01356 0.98644 1.3570 1.3570 1.3940120 50 0.01361 0.98639 1.3607 1.3607 1.3988120 100 0.01359 0.98641 1.3588 1.3588 1.3968120 200 0.01357 0.98643 1.3566 1.3566 1.3944120 400 0.01356 0.98644 1.3557 1.3557 1.3935

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Tab. A.8: Convergência das temperaturas médias de superfície, taxas de fluxo de calore condutividade efetiva para Bi = 104, φ = 0.2, Φa = 0, Φb = 1 e k∗



b k∗e

20 50 0.00014 0.99986 1.4068 1.4068 1.407220 100 0.00014 0.99986 1.4076 1.4076 1.408020 200 0.00014 0.99986 1.4062 1.4062 1.406620 400 0.00014 0.99986 1.4055 1.4055 1.405920 800 0.00014 0.99986 1.4057 1.4057 1.406120 1600 0.00014 0.99986 1.4058 1.4058 1.406240 50 0.00014 0.99986 1.4011 1.4011 1.401540 100 0.00014 0.99986 1.4007 1.4007 1.401040 200 0.00014 0.99986 1.3991 1.3991 1.399540 400 0.00014 0.99986 1.3985 1.3985 1.398840 800 0.00014 0.99986 1.3987 1.3987 1.399140 1600 0.00014 0.9999 1.3988 1.3988 1.399260 50 0.00014 0.99986 1.3997 1.3997 1.400160 100 0.00014 0.99986 1.3986 1.3986 1.399060 200 0.00014 0.99986 1.3968 1.3968 1.397260 400 0.00014 0.99986 1.3960 1.3960 1.396460 800 0.00014 0.99986 1.3962 1.3962 1.396680 50 0.00014 0.99986 1.3992 1.3992 1.399680 100 0.00014 0.99986 1.3976 1.3976 1.398080 200 0.00014 0.99986 1.3956 1.3956 1.396080 400 0.00014 0.99986 1.3948 1.3948 1.395280 800 0.00014 0.99986 1.3949 1.3949 1.3953

100 50 0.00014 0.99986 1.3990 1.3990 1.3994100 100 0.00014 0.99986 1.3971 1.3971 1.3975100 200 0.00014 0.99986 1.3949 1.3949 1.3953100 400 0.00014 0.99986 1.3940 1.3940 1.3944120 50 0.00014 0.99986 1.3989 1.3989 1.3992120 100 0.00014 0.99986 1.3969 1.3969 1.3973120 200 0.00014 0.99986 1.3945 1.3945 1.3949120 400 0.00014 0.99986 1.3935 1.3935 1.3939

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PGMEC · gência a medida que o número de Biot aumenta. Para a fase dispersa quadrada sem geração, observa-se que a convergência apresenta resultados piores do que para a fase