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EP34D
Fenômenos de TransporteProf. Dr. André Damiani Rocha
Aula 13 – Transferência de Calor por Condução em Regime Transiente: Capacitância Concentrada
Aula 13
Condução de Calor – Regime Transiente
Muitas aplicações de transferência de calorenvolvem condução em regime transiente (ounão-permanente);
Isso ocorre devido às variações das condiçõesem função do tempo;
O objetivo agora é desenvolver um método para determinar a distribuição de temperatura em
função do tempo.
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Aula 13
Condução de Calor – Regime Transiente
O método de análise depende da natureza do
gradiente de temperatura do sistema durante um
determinado processo;
Se a temperatura do sistema é aproximadamente
uniforme, uma única temperatura pode ser utilizada
para caracterizar o tempo de resposta do sistema
com a variação das condições.
Esse método é conhecido como Método da
Capacitância Concentrada.
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Aula 13
Método da Capacitância Concentrada
A essência do método da capacitânciaconcentrada é a hipótese de que atemperatura do sólido é espacialmenteuniforme;
Essa hipótese é válida para qualquer instantedurante o processo;
Essa hipótese implica que os gradiente detemperatura no interior do sólido sejamdesprezíveis;
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Aula 13
Método da Capacitância Concentrada
Considere um metal quente forjado que se
encontra inicialmente a uma temperatura
uniforme Ti e é temperatura ao ser imerso em
líquido de menor temperatura T < Ti;
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Aula 13
Método da Capacitância Concentrada
Se dissermos que a têmpera foi iniciada notempo t = 0, a temperatura do sólido irá diminuirpara tempos t > 0, até que alcance, por fim, T.
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Aula 13
Método da Capacitância Concentrada
A partir da Lei de Fourier, a condução de calorna ausência de gradiente de temperaturaimplica na existência de uma condutividadeinfinita;
Tal condição é claramente impossível;
Entretanto, essa condição é bem aproximadase a resistência à condução no interior do sólidofor pequena compara á resistência àtransferência de calor entre o sólido e suavizinhança (convecção);
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Aula 13
Método da Capacitância Concentrada
Aplicando o balanço global de energia:
A energia deixa o sólido por convecção,
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𝐸𝑒 + 𝐸𝑔 − 𝐸𝑠 = 𝐸𝑎𝑟
− 𝐸𝑠 = 𝐸𝑎𝑟
−ℎ𝐴𝑠 𝑇 − 𝑇∞ = 𝜌∀𝑐𝑑𝑇
𝑑𝑡
Aula 13
Método da Capacitância Concentrada
Introduzindo a diferença de temperatura,
E reconhecendo que,
O balanço global de energia pode ser reescrito
como,
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𝜃 ≡ 𝑇 − 𝑇∞
𝑑𝑇
𝑑𝑡=𝑑𝜃
𝑑𝑡
−𝑑𝑡 =𝜌∀𝑐
ℎ𝐴𝑠
𝑑𝜃
𝜃
Aula 13
Método da Capacitância Concentrada
Separando as variáveis e integrando,
onde,
ou ainda,
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− 0
𝑡
𝑑𝑡 = 𝜃𝑖
𝜃 𝜌∀𝑐
ℎ𝐴𝑠
𝑑𝜃
𝜃
𝜃𝑖 ≡ 𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑡 =𝜌∀𝑐
ℎ𝐴𝑠𝑙𝑛
𝜃𝑖𝜃
𝜃
𝜃𝑖=𝑇 − 𝑇∞𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝑒𝑥𝑝 −ℎ𝐴𝑠𝜌∀𝑐
𝑡
Aula 13
Método da Capacitância Concentrada
Esses resultados indicam que a diferença entre
as temperaturas do sólido e do fluido deve
diminuir exponencialmente para zero conforme
t se aproxima do infinito;
A transferência de energia total ocorrendo até
um instante de tempo t, é dada por,
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𝑄 = 0
𝑡
𝑞𝑑𝑡 = ℎ𝐴𝑠 0
𝑡
𝜃𝑑𝑡
Aula 13
Método da Capacitância Concentrada
Integrando,
onde, 𝜏𝑡 é conhecido como constante de
tempo térmico.
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𝑄 = 𝜌∀𝑐𝜃𝑖 1 − 𝑒𝑥𝑝𝑡
𝜏𝑡
𝜏𝑡 =1
ℎ𝐴𝑠𝜌∀𝑐
Aula 13
Método da Capacitância Concentrada
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Aula 13
Método da Capacitância Concentrada
Validade do Método
O método da capacitância concentrada é ummétodo simples;
Porém, a consideração de que a temperaturanão sofre variação espacial durante todo otempo que o processo ocorre pode não seraceitável;
Dessa forma, sob quais condições o método éválido?
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Aula 13Validade do Método
Para desenvolver um critério adequado,
considere a condução em regime estacionário
através de uma parede plana;
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Uma superfície é mantida a
uma temperatura Ts,1 e a
outra superfície encontra-se
exposta a um fluido de
temperatura T < Ts,1.
Aula 13Validade do Método
Sob a condição de regime permanente, um
balanço de energia se reduz a:
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𝑘𝐴
𝐿𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 = ℎ𝐴𝑠 𝑇𝑠,2 − 𝑇∞
Rearranjando os termos,
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝑇𝑠,2 − 𝑇∞=ℎ𝐴
𝑘𝐴𝐿
=𝐿/𝑘𝐴
1/ℎ𝐴
Aula 13Validade do Método
Ficando,
Número de Biot (Bi)
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𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝑇𝑠,2 − 𝑇∞=ℎ𝐴
𝑘𝐴𝐿
=𝐿/𝑘𝐴
1/ℎ𝐴=𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑑𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑣
=ℎ𝐿
𝑘= 𝐵𝑖𝑜𝑡(𝐵𝑖)
𝐵𝑖 =ℎ𝐿
𝑘
Aula 13Influência do Número de Biot
Bi << 1: para essas condições é razoável admitir
uma distribuição de temperatura uniforme
através do sólido em qualquer tempo durante um
processo transiente;
Nessa condição, a resistência à condução no
interior do sólido é muito menor do que a
resistência à convecção;
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Aula 13Influência do Número de Biot
Para valores de Biot de moderados a altos, o
gradiente de temperatura no interior do sólido
são significativos;
Logo, T = T(x,t)
O critério então será:
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𝐵𝑖 =ℎ𝐿𝑐𝑘
< 0,1
Aula 13Influência do Número de Biot
Com esse critério, o erro associado à utilização dométodo é pequeno;
Lc é o comprimento característico e é definido como,
Essa definição facilita o cálculo de Lc para sólidos deformas complicadas e reduz para a metade daespessura L para uma parede plana de espessura 2L,para r/2 para um cilindro longo e r/3 para umaesfera.
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𝐿𝑐 ≡∀
𝐴𝑠
Aula 13Exemplo 1Uma junção de termopar, que pode ser aproximada como uma
esfera, deve ser utilizada para a medida de temperatura em um
corrente de gás. O coeficiente de convecção entre a superfície
da junção e o gás é h = 400W/m2K, e as propriedades
termofísicas da junção são k = 20W/mK, c = 400J/kgK e =8500kg/m3. Determine o diâmetro necessário para que o
termopar tenha uma constante de tempo de 1s. Se a junção
encontra-se a 25oC e é colocada em uma corrente de gás a
200oC, quanto tempo levará para que a junção alcance 199oC?
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Solução em Sala de Aula
Aula 13Exemplo 2Esferas de aço com 12mm de diâmetro são temperadas através
do aquecimento a 1150K e então resfriadas lentamente até 400K
no ar ambiente para o qual T = 325K e h = 20W/m2K.
Considerando as propriedades do aço como k = 40W/mK, =7800kg/m3 e c = 600J/kg, estime o tempo necessário para o
processo de resfriamento.
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Referências
SHAPIRO, H.N.; MORAN, M.J.; MUNSON, B.R.; DEWITT, D.P.
Introdução à engenharia de sistemas térmicos:
termodinâmica, mecânica dos fluidos e transferência
de calor. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2005. 604 p.
INCROPERA, F.P.; DEWITT, D.P.; BERGMAN, T.L.; LAVINE, A.
Fundamentos de transferência de calor e
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