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Revista Árvore
ISSN: 0100-6762
Universidade Federal de Viçosa
Brasil
Valverde Lacerda, Ana Esmeria; Leite Garcia, Helio; Silva, Demétrius David da; Pruski Falco,
Fernando
Momentos-l: Teoria e aplicação em hidrologia
Revista Árvore, vol. 28, núm. 6, novembro-dezembro, 2004, pp. 927-933
Universidade Federal de Viçosa
Viçosa, Brasil
Disponível em: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=48828619
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Projeto acadêmico sem fins lucrativos desenvolvido no âmbito da iniciativa Acesso Aberto
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Sociedade de Investigações Florestais R. Árvore, Viçosa-MG, v.28, n.6, p.927-933, 2004
1 Recebido em 14.03.2003 e aceito para publicação em 10.08.2004.2 Engenheira Agrícola.3 Departamento de Engenharia Florestal da UFV. CEP 36570-000, Viçosa, MG. E-mail: <[email protected]>.4 Departamento de Engenharia Agrícola da UFV.
MOMENTOS-L: TEORIA E APLICAÇÃO EM HIDROLOGIA1
RESUMO – Esta nota técnica foi redigida com o objetivo de apresentar o método momentos-L, que tem sidoproposto para o cálculo dos parâmetros das principais distribuições de probabilidades utilizadas em estudoshidrológicos. Também foi seu objetivo inferir sobre o tipo de distribuição estatística mais empregada em aplicaçõesespecíficas. Com base na revisão, pôde-se concluir que, ao analisar dados de eventos extremos, é recomendáveltestar a aderência, pelo menos, das seguintes distribuições de três parâmetros: Generalizada Logística, Generalizadade Eventos Extremos, Generalizada Normal, Pearson tipo III e Generalizada de Pareto. Concluiu-se tambémque os parâmetros dessas distribuições, e seus quantis, devem ser estimados utilizando os momentos-L derivadosdos momentos ponderados por probabilidade.
Palavras-chave: Hidrologia, distribuições estatísticas e método dos momentos.
L-MOMENTS: THEORY AND APPLICATION IN HYDROLOGY
ABSTRACT – This technical note aimed to review the L-moments methods which have been proposed to calculatethe parameters of the main distributions of probabilities used in hydrological studies. It also aimed to inferon the type of statistical distribution most used for specific applications. Based on the review, it was concludedthat when analyzing data of extreme events it is advisable to test the adherence of, at least, the followingdistributions of three parameters: Generalized Logistics, Generalized of Extreme Events, Pearson type IIIand Generalized of Pareto. It was also concluded that the parameters of these distributions and its quantisshould be estimated using the L-Moment derived of the Moments weighted by Probability.
Key words: Hidrology, statistical distributions and moments methods.
Ana Esmeria Lacerda Valverde2, Helio Garcia Leite3, Demétrius David da Silva4 e Fernando Falco Pruski4
1. INTRODUÇÃO
A análise de distribuições de freqüências de vazõesmáximas e mínimas e a de precipitações máximasdemandam o uso de distribuições estatísticas. Um dosproblemas no uso de qualquer procedimento estatísticoaplicado a dados hidrológicos está, segundo Silva eAssad (1998), na estimação dos parâmetros dessasdistribuições. Os métodos de ajuste, dentre eles o dos
momentos e o dos momentos-L, podem conduzir aresultados diferentes.
A análise de freqüência de precipitações e, ou,de vazões extremas é dificultada, em muitos casos,pela baixa densidade de estações e também pelo curtoperíodo de tempo dos registros disponíveis. Nessasituação, o hidrólogo deve procurar estimadores menossujeitos a variações amostrais. Para isso, Damázio e
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Costa (1991) sugerem a utilização da teoria dos momentosponderados por probabilidade (MPP), pois, segundoeles, o sucesso desses estudos depende da distribuiçãoadotada e do método usado para estimar os seusparâmetros, sendo MPP uma alternativa eficiente. Essemétodo é uma opção que resulta em viés menor doque os que se obtêm pelo método convencional(HENRIQUES, 1991).
Uma abordagem clássica para o estudo de vazõesmínimas consiste no ajustamento de distribuições teóricasde probabilidades às séries de vazões mínimas médiasde estiagens de vários dias de duração, obtidas emsérie histórica de vazões diárias do local em estudo.Procurou-se, com isso, caracterizar as vazões mínimasde estiagem por meio da obtenção da distribuição deprobabilidades do número de dias sem chuva, dadistribuição de probabilidades da vazão inicial derecessão e das constantes de depleção da água nosubsolo. Para projetos de estruturas hidráulicas, comovertedouros e barragens, entre outros, bem como paraprevisão e controle de enchentes, faz-se necessárioo conhecimento das probabilidades de ocorrência devazões superiores a certos valores prefixados.
O objetivo deste trabalho foi apresentar algumasconsiderações teóricas sobre os métodos de momentose momentos-L, que têm sido propostos para calcularos parâmetros das principais distribuições deprobabilidades utilizadas em estudos hidrológicos eapresentar os estimadores dos parâmetros de algumasdistribuições utilizadas nesses estudos.
2. MOMENTOS
As características das distribuições deprobabilidades podem ser sumarizadas pelos momentospopulacionais. O momento de primeira ordem, em relaçãoà origem dos X, representa a média populacional (µ),e o momento central de ordem r = 2 é, por definição,a variância de X, simbolizada por σ2. As quantidadesque podem ser deduzidas do momento central de ordem2 são o desvio-padrão (σ) e o coeficiente de variação(CV). Para r > 2, é usual descrever as característicasda função de distribuição através das razões
adimensionais , das quais se destacam oscoeficientes de assimetria (γ) e de curtose (κ), dados
por e .
Os momentos amostrais são estimados por
quantidades similares, calculadas a partir dos dadosde uma amostra de tamanho n. Por exemplo, o estimadornatural de µ é a média aritmética ou o momento amostral
de primeira ordem em relação à origem, . Os
momentos amostrais (m) de ordem (r) superior sãoestimadores viesados dos momentos populacionaisde mesma ordem, entretanto podem ser corrigidos paraproduzir estimadores sem viés, por exemplo, paravariância, assimetria e curtose, respectivamente:
, e
.
3. MÉTODO DOS MOMENTOS-L
Além de dependentes de n, as estimativas combase em momentos amostrais convencionais envolvempotências sucessivas dos desvios dos dados em relaçãoao valor central. Em conseqüência, pequenas amostrastendem a produzir estimativas não-confiáveis,principalmente para as funções de momentos de ordemsuperior, como a assimetria e curtose. Os momentos-L são medidas de posição, escala e forma das distribuiçõesde probabilidade, similares aos momentos convencionais,porém estimadas por combinações lineares da assimetria,da curtose e do coeficiente de variação. Eles compõemum sistema de medidas estatísticas mais confiáveispara descrição das características das distribuiçõesde probabilidades e são derivados dos momentosponderados por probabilidade (MPP). Os MPP de umavariável aleatória X, descrita pela função de probabilidadeacumulada F(x), são as quantidades definidas
por .
Os momentos-L de uma variável aleatória X podemser conceituados como sendo as quantidades
e, em termos dos MPP, osmomentos-L são dados por λ1=α0=β0 (média oumomento-L de posição da distribuição), λ2=α0–2α1=2β1−β0(momento-L de escala), λ3=α0–6α1+6α2=6β2-6β1+βo e λ4=α0–12α1+30α2–20α3=20β3-30β2+12β1–βo.
As propriedades dos momentos-L são (HOSKINGe WALLIS, 1997): a) existência: se a média de umadistribuição existe, então todos os momentos-L tambémexistem; b) singularidade: se a média de uma distribuição
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existe, então todos os momentos-L a definemsingularmente; c) valores-limite: ; ;para ; d) transformações lineares: seX e Y, Y = aX + b são duas variáveis aleatórias demomentos-L λr e , respectivamente, então são válidasas seguintes relações , ;
, ; simetria: se X é uma variávelaleatória, descrita por uma distribuição de probabilidadessimétrica, então todos os quocientes de momentos-L de ordem ímpar (τ = 0, r = 3, 5, ...) serão nulos.
As funções-densidade de probabilidade, f(x); asfunções de distribuição acumulada, F(x); e a funçãoquantil, x(F), bem como os momentos-L (λ1, λ2, τ3,τ4) e os parâmetros de algumas distribuições teóricasde três parâmetros (α = parâmetro de escala, ν =parâmetro de forma e ξ = parâmetro de posição), estãorepresentadas nos Quadros 1, 2 e 3, conforme Hoskinge Wallis (1997).
4. SOBRE O USO DE DISTRIBUIÇÕES DEPROBABILIDADE
As distribuições de probabilidade de dois e trêsparâmetros mais indicadas e utilizadas em hidrologia,no estudo de eventos de valores extremos, são do tipoI – Gumbel, do tipo II – Fréchet e do tipo III – Weibull,além da distribuição generalizada de eventos extremos.Cabe mencionar também outros modelos não-extremaiscomo a distribuição Log-Normal, Pearson Tipo III eLog-Pearson Tipo III, assim como as distribuições dequatro parâmetros, Kappa, ou de cinco parâmetros,como as distribições Wakeby e Boughton (PINHEIROe NAGHETTINI, 1998).
Osborn et al. (1980), utilizando as distribuiçõesde Gumbel, Log-Normal, Pearson Tipo III e Log-PearsonTipo III nas séries de valores máximos anuais de chuva,observaram que a distribuição que melhor se ajustouaos dados foi a de Gumbel. Aron et al. (1987) determinaramdiversas alturas de chuvas, com durações de 1 a 24horas e períodos de retorno que variaram de 1 a 100anos, no Estado da Pensylvânia (EUA), e observaramque a distribuição Log-Pearson Tipo III apresentoumelhor ajuste. Pinto et al. (1996) ajustaram modelosteóricos de distribuição de probabilidade aos dadosde chuvas intensas de 29 estações pluviográficas doEstado de Minas Gerais, verificando que o modelo deGumbel foi o que melhor se ajustou aos dados.
Matos Neto e Fraga (1983), Silva et al. (1999) eVieira et al. (1988), analisando as precipitações intensasna cidade de Fortaleza, CE, no Estado de São Paulo
e na região de Piracicaba, SP, respectivamente, utilizaramo modelo teórico de distribuição de probabilidade deGumbel, que tem proporcionado resultados satisfatóriosem vários casos. Ela foi empregada pelo Serviço Nacionalde Meteorologia dos Estados Unidos para ajustar osvalores extremos de alturas de chuvas a serem utilizadosem mapas que relacionam a variação da altura da chuvacom a área atingida (OSBORN et al., 1980).
Damázio e Costa (1991) apresentaram os resultadosde uma análise de freqüência regionalizada de sériesde precipitações máximas anuais, na bacia do rio Madeira.Como metodologia, usaram a teoria dos momentosponderados por probabilidade (MPP), tendo em vistao curto período de tempo abrangido pelos registrosdos pluviômetros existentes na região e em razão dofato de suas estimativas serem mais robustas e menosinfluenciadas pela ocorrência de valores atípicos,conhecidos como outliers, em comparação com o métododos momentos convencionais.
Fernandes e Heinz (1991) investigaram a robustezde várias distribuições de probabilidade usuais na análisede eventos extremos hidrológicos. A cada amostra dedados foram ajustadas seis distribuições de probabilidadepelo método dos momentos, a saber: Gumbel,Exponencial, Log-Normal a dois e três parâmetros,Pearson Tipo III e Log-Pearson Tipo III. A partir dessasdistribuições foram estimados valores de extremos com10, 100, 1.000, 10.000 e 100.000 anos de período de retorno.Para as estimativas de 1.000 e 10.000 anos de recorrência,os modelos de dois parâmetros indicaram resultadosmais robustos que os modelos de três parâmetros, comdestaque para as distribuições de Gumbel e Exponencial.Quanto à influência de diversos métodos de estimativade parâmetros, destacaram-se os métodos dos momentose da máxima verossimilhança, para as distribuiçõesde Gumbel e Exponencial, respectivamente.
Pinheiro e Naghettini (1998) utilizaram, em estudoregional de chuvas intensas, o método de momentos-L para estimar os parâmetros da equação do tipointensidade–duração–freqüência para a regiãometropolitana de Belo Horizonte, tendo sido testadasas seguintes distribuições de três parâmetros: LogísticaGeneralizada, Generalizada de Valores Extremos,Generalizada de Pareto, log-Normal e Pearson Tipo III.Indiretamente, devido ao fato de uma distribuição detrês parâmetros poder conter outra de dois parâmetros,testaram-se também as distribuições de dois parâmetros:Uniforme, Logística, Normal, Exponencial, Pareto e ValoresExtremos do Tipo I (Gumbel).
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Valverde (2001) analisou séries históricas deprecipitação de 31 estações pluviográficas localizadasna bacia do rio Doce, objetivando ajustar e estimar,por meio do método de momentos-L, os parâmetrosdos modelos teóricos de distribuição de probabilidadesde séries históricas regionais de precipitações máximasadimensionalizadas com base no método index-flood.Foi objetivo, também, estabelecer equações deintensidade–duração–freqüência regionais para a referidabacia. Foram avaliadas as seguintes distribuições detrês parâmetros: Generalizada Logística, Generalizadade Eventos Extremos, Generalizada Normal, PearsonTipo III e Generalizada de Pareto. Concluiu-se que adistribuição probabilística de três parâmetrosGeneralizada Logística apresentou melhor aderênciaaos dados de intensidade máxima média para essa bacia.
4. CONCLUSÕES
Os dados de eventos extremos apresentam umpadrão peculiar de distribuição, e as funçõesprobabilísticas acumuladas possuem formas bemcaracterizadas. Portanto, é recomendável testar aaderência desses dados, pelo menos, pelas seguintesdistribuições de: Generalizada Logística, Generalizadade Eventos Extremos, Generalizada Normal, PearsonTipo III e Generalizada de Pareto. Para estimar osparâmetros dessas distribuições e seus quantis, devemser usados os momentos-L derivados dos MomentosPonderados por Probabilidade.
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