V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 1

APLICAO DO MODELO BIELA E TIRANTE VIGA-PAREDE CONTNUA DE CONCRETO ARMADO

Renata S Brito Stramandinoli (1)

Narbal Ataliba Marcellino (2)

(1) Mestranda, Universidade Federal de Santa Catarina, Departamento de Engenharia Civil email:renatastramandinoli@hotmail.com

Caixa Postal 476,88010-900, Florianpolis - SC

(2) Professor Adjunto, Universidade Federal de Santa Catarina, Departamento de Engenharia Civil email: narbal@ecv.ufsc.br

Caixa Postal 476,88010-900, Florianpolis - SC

Resumo A aplicao do modelo de bielas e tirantes s estruturas de concreto, como proposto por Schlaich e Schafer, veio confirmar o modelo de trelia proposto por Mrsch no princpio da teoria do concreto e o mesmo princpio, usado at hoje, para a obteno da armadura para o esforo cortante. Alm dessa importante aplicao, o modelo de bielas e tirantes estende-se aplicao em blocos de fundao, consolos, dentes de vigas, furos em vigas ou em paredes e na anlise e dimensionamento das vigas paredes propriamente. Atualmente as normas de todo o mundo admitem a aplicao desse modelo. Como exemplo, a norma espanhola ressalta que existem trs modalidades de anlise das estruturas de concreto a anlise linear a no-linear e o mtodo das bielas e tirantes. No caso das vigas-paredes contnuas, abordadas neste artigo, a pretenso avaliar e discutir as ltimas prescries encontradas e mostrar as recomendaes trazidas pelo texto final de reviso da norma brasileira. Para isso um exemplo analisado e detalhado. 1 Introduo

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 2

1.1 O modelo de bielas e tirantes A estrutura analisada neste artigo consiste nas vigas-parede contnuas de concreto armado analisados pelo modelo de bielas e tirantes que so representaes discretas dos campos de tenso nos elementos estruturais de concreto armado. As bielas so idealizaes dos campos de tenso de compresso no concreto e os tirantes, campos de tenso de trao que podem ser absorvidos por uma ou vrias camadas de armadura. O modelo idealizado, que considerado como uma estrutura plana de barras, concentra todas as tenses em barras comprimidas e tracionadas, ligando-as por meio de ns. Conhecendo-se um modelo adequado para uma determinada parte de uma estrutura, as foras nas bielas e tirantes sero automaticamente calculadas por meio de equilbrio de foras externas e internas. O dimensionamento dos tirantes e a verificao das bielas e ns so feitos de modo que eles suportem essas foras atuantes. 1.1.1 Geometria para o modelo de bielas e tirantes A geometria do modelo pode ser obtida analisando-se os seguintes aspectos:

a) tipos de aes atuantes; b) ngulos entre bielas e tirantes; c) rea de aplicao das aes e reaes; d) nmero de camadas de armadura e e) cobrimento da armadura.

1.1.2 Geometria para o modelo de bielas e tirantes Para efeito de aplicao do modelo, pode-se subdividir a estrutura em regies contnuas e descontnuas. As regies contnuas so aquelas em que as hipteses de Bernoulli, que apresentam distribuio linear de deformaes ao longo da seo transversal, so vlidas. Em regies descontnuas, essas hipteses no permanecem vlidas. Schlaich et al.,1987 denominam as regies contnuas de regies B e as descontnuas de regies D. As vigas parede so estruturas que consistem unicamente de regies D. Para o projeto de elementos estruturais por meio dos modelos de bielas e tirantes, pode-se seguir o seguinte roteiro:

a) divide-se a estrutura em regies B e D; b) isola-se as regies D; c) determinam-se os esforos solicitantes no contorno; d) aplica-se o processo do caminho de carga; e) dimensionam-se os tirantes; f) verificam-se as tenses nas bielas e regies nodais; g) definem-se o tipo e os comprimentos de ancoragem; h) faz-se o arranjo das armaduras.

2 Aplicao s Vigas-Parede De acordo com o Projeto de Reviso da NBR 6118: So consideradas vigas-parede as vigas altas em que a altura maior que um tero do vo. Elas podem ser biapoiadas ou

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 3

contnuas e receber carregamentos superior ou inferior. A largura da viga-parede no deve ser inferior a 15 cm. O comportamento estrutural das vigas-parede tem algumas caractersticas especficas, destacando-se entre elas, em primeiro lugar, ineficincias, seja flexo, seja ao cisalhamento, quando comparadas s vigas usuais. Modelo de clculo: Para clculo e dimensionamento de vigas parede so permitidos modelos planos elsticos ou no lineares e modelos biela tirante. Segundo Fusco, 1994 so consideradas vigas-parede as chapas de concreto armado submetidas flexo em seu prprio plano mdio. Em regime elstico, os esforos atuantes nas vigas parede podem ser determinados com preciso por meio do mtodo dos elementos finitos. Em princpio, permite-se calcular as vigas parede como se fossem vigas esbeltas, admitindo-se para o clculo uma altura resistente hcal no mximo igual ao vo L ou o dobro do comprimento do balano. O trecho superior, excedente a esses limites, tratado como uma parede apoiada sobre uma viga parede resistente. Como alternativa, o clculo das vigas parede pode ser feito por meio do mtodo das bielas e tirantes. De acordo com Giongo e Silva, 2000 chapas so estruturas de superfcies submetidas a aes atuando em seu plano mdio. A viga-parede pode ser definida como uma chapa disposta verticalmente, sobre apoios discretos, cuja altura grande em relao ao vo. Em virtude disso, as vigas-parede se constituem de regies tipicamente descontnuas. Embora as vigas-parede sejam elementos estruturais utilizados em projetos correntes, no se dispem ainda de uma rotina de projeto totalmente satisfatria. A anlise elstica no estado no-fissurado s significativa antes da fissurao. Como em vigas-parede a fissurao se inicia com 33% a 50% da ao ltima, uma redistribuio de esforos solicitantes pode ser considerada em alguns casos. Os resultados da anlise elstica so importantes porque mostram a distribuio de tenses que causam a fissurao e, conseqentemente, servem como guia para a direo das fissuras e do fluxo de tenses aps a fissurao. A utilizao dos modelos bielas e tirantes em vigas-parede torna-se interessante, pois um mesmo modelo pode ser utilizado tanto para anlise elstica como plstica, desde que se adapte geometria do modelo. Os tipos de ruptura mais freqentes em vigas-parede so:

- escoamento da armadura longitudinal; - ruptura da ancoragem da armadura longitudinal; - esmagamento do concreto nas bielas comprimidas prximas aos apoios; - escoamento da armadura de suspenso.

Em vigas parede o efeito de arco bastante pronunciado, fazendo com que as aes se distribuam diretamente sobre os apoios, sem exigir armadura de cisalhamento como nas vigas usuais. O comportamento e o funcionamento estrutural das vigas-parede so fortemente influenciados pelo tipo e ponto de aplicao das aes e pelas condies de vinculao. A modelagem deve ser feita, ento, em funo desses parmetros. Neste trabalho deu-se nfase s vigas-parede contnuas, portanto os modelos que so mostrados tratam apenas deste tipo de viga.

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 4

2.1 Modelos para Vigas-Parede Contnuas

2.1.1 Ao uniformente distribuda na face superior Sobre os apoios aparece uma concentrao de tenses de compresso. As zonas de trao sobre os apoios estendem-se sobre uma grande parte da altura da viga, o que deve ser levado em conta na distribuio da armadura longitudinal sobre os apoios. A regio nodal acima do apoio intermedirio uma regio crtica, exigindo a verificao de tenses. No modelo da figura 1.1, o valor de z1 varia linearmente de 0,6.L para L/h 1 at 0,34L para L/h = 2. Assim, o ngulo varia de 68o para L/h 1 at 55o para L/h = 2. O valor de z2 varia linearmente de 0,4.L para L/h 1,25 at 0,35.L para L/h = 2.

Figura 1.1 Representao das bielas (linhas tracejadas e tirantes (linhas cheias), [Giongo e Silva, 2000]

2.1.2 Ao uniformemente distribuda na face inferior:

A regio nodal acima do apoio intermedirio tambm crtica em virtude da concentrao de tenses de compresso. A ao aplicada na face inferior deve ser suspensa. No modelo da figura, os valores de z1, z2 e so os mesmos do item anterior.

Figura 1.2 Modelo simplificado para carga na parte inferior da viga-parede, [Giongo e Silva, 2000]

2.1.3 Fora concentrada no meio do vo:

As tenses de trao sobre os apoios se distribuem ao longo de, praticamente, toda a altura da viga-parede.

z2 z1

p.L2/2 p.L1/2

z2 z1

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 5

Dois modelos so apresentados: o modelo simplificado e o modelo refinado. Em ambos os modelos, o ngulo pode ser calculado com = arctg(1,8.h/L). Ao utilizar o modelo simplificado, deve-se ficar atento para no dispor armadura longitudinal sobre os apoios apenas na extremidade superior, pois o modelo, erroneamente, induz a isso.

a) b)

Figura 1.3 Modelos a) simplificado e b) refinado para a viga-parede de dois vos [Giongo e Silva, 2000] 2.1.4 Ancoragem no apoio extremo:

Os modelos apresentados mostraram que a fora de trao na armadura longitudinal mantm-se praticamente constante ao longo de todo o vo. Isso indica que toda a armadura longitudinal deve ter comprimento relativo distncia entre os apoios sem escalonamento e ser a ancorado para a fora 0,8 Rst, segundo Leonhardt, 1978. Recomenda-se a utilizao de laos ou ganchos horizontais. Giongo e Silva, 2000. Em apoios curtos o comprimento de ancoragem efetivo Lbe insuficiente, exigindo a utilizao de maior nmero de barras com bitolas menores. O permetro necessrio para as barras pode ser calculado pela expresso:

u = 0,8.Rst / (Lbe. bu)

Os critrios utilizados para a verificao de compresso so os critrios do Cdigo Modelo CEB-FIP,1990, que podem ser vistos nos exemplos resolvidos.

a) para zonas no-fissuradas: fcd1 = 0,85.(1 - fck/250).fcd b) para zonas fissuradas: fcd2 = 0,60.(1 - fck/250).fcd

Schlaich & Schafer, 1991 apresentam expresses para a verificao das tenses:

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 6

baRc

c .11

1 =

2

1

12

sencot1

+

=

ga

hdistc

c

3. Exemplo 1: 3.1 Viga-parede contnua submetida ao uniformemente distribuda, conforme mostra a figura 1.4., com espessura de 20 cm. Vos L1 = L2 = 450 cm e h = 300 cm Dados: Concreto C20 e ao CA 50.

Figura 1.4 Elevao da viga parede

Esta viga-parede foi estudada para alguns dos modelos propostos acima, o modelo da carga distribuda, o modelo de carga concentrada simplificado e refinado. Para o modelo de carga distribuda a trelia resultante hiposttica, e foi encontrada alguma dificuldade neste clculo. Esta trelia foi calculada no programa Ftool, mas as barras no foram todas rotuladas, e foi calculada tambm pelo programa desenvolvido por Mau Campos, 1998 em sua dissertao de mestrado.

Valores calculados:

z1= 2,115 m z2= 1,725 m =61,5o

Figura 1.5 Modelo simplificado para carga distribuda superior [Ftool]

h

p = 60 kN/m

L1 L2

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 7

Figura 1.6 Modelo simplificado analizado no programa Campos, 1998.

Para o modelo de carga concentrada a trelia resultante hiperesttica, e portanto de fcil resoluo. As trelias foram calculadas pelo programa Ftool, 2000 e os resultados podem ser vistos abaixo. Para este caso = 50,2o Os resultados do modelo refinado foram bem diferentes, mas sempre menores que os do modelo simplificado.

Figura 1.7 Modelo simplificado analisado no programa Ftool, 2000.

Figura 1.8 Modelo refinado analisado no programa Ftool, 2000.

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 8

Uma outra abordagem, que tambm foi analisada, aquela proposta por Fusco, 1995 onde as vigas so calculadas como vigas esbeltas, mas toma-se o brao de alavanca z = 0,5.hcal . Como uma viga esbelta calculou-se usando o programa SAP 2000, e encontraram-se os seguintes resultados para Momentos Fletores e Foras Cortantes:

Figura 1.9 Modelo calculado no programa SAP, 2000.

Figura 1.10 Modelo calculado no programa SAP, 2000.

Foram tambm analisados alguns exemplos considerando modelos elsticos lineares, usando o Mtodo dos Elementos Finitos, pelo SAP2000. O modelo 1 para o caso da carga distribuda e o modelo 2 para o caso da carga concentrada. Modelo 1: Carga distribuda: Em ordem aparecem os diagramas de x, mx e mn.

Figura 1.11 Malha adotada no programa SAP, 2000.

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 9

x (kN/m)

Figura 1.12 Tenses na direo x.

mx(kN/m)

Figura 1.13 Tenses mximas.

mn (MPa)

Figura 1.14 Tenses mnimas.

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 10

Modelo 2: Cargas Concentradas no meio dos vos: Em ordem aparecem os diagramas de x, mx e mn.

x (MPa)

mx(kN/m)

mn (MPa) Figura 1.15. Tenses obtidas nas direes x, mx e mn

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 11

3.2 Dimensionamento Com os resultados de todos os exemplos acima, foi feito o dimensionamento dos tirantes e verificao das bielas, com exceo dos resultados do SAP2000, que serviram apenas para comparaes entre os mtodos. a) Carga distribuda (Biela-Tirante):

Dimensionamento dos tirantes: Neste exemplo o tirante superior apresentou esforo nulo.

Tirante inferior: As1=Rst1/fyd = 1,4.73,2 / 43,5 = 2,36 cm

Verificao das tenses: No apoio extremo a tenso atuante resulta igual a :

c1=1,4135/(20.20) = 0,47 kN/cm fcd2=0,56 fcd = 0,8 kN/cm

Logo a condio de segurana do n verificada. Tenso de compresso na biela:

c2 = 0,40 kN/cm < fcd2 A reao no apoio intermedirio gera no n a tenso:

c3=1,4.270/(20.20) = 0,96 kN/cm fcd1=0,789 fcd = 1,13 kN/cm

Logo a condio de segurana da regio nodal do apoio intermedirio verificada. b) Carga concentrada no modelo simplificado:

Dimensionamento dos tirantes: Tirante inferior:

As1=Rst1/fyd = 1,4.96 / 43,5 = 3,09 cm Tirante superior:

As2=Rst2/fyd = 1,4.33 / 43,5 = 1,06 cm

Verificao das tenses: No apoio extremo a tenso atuante resulta igual a :

c1=1,4.115,2/(20.20) = 0,40 kN/cm fcd2=0,56 fcd = 0,8 kN/cm Logo a condio de segurana do n verificada.

Tenso de compresso na biela: c2 = 0,34 kN/cm < fcd2

A reao no apoio intermedirio gera no n a tenso: c3 = 1,4.309,6/(20.20) = 1,08 kN/cm fcd1 = 0,789 fcd = 1,13 kN/cm Logo a condio de segurana da regio nodal do apoio intermedirio verificada.

c) Carga concentrada no modelo refinado:

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 12

Neste modelo alm dos tirantes superiores e inferiores verificou-se tambm a presena de tirantes intermedirios, e um pouco diferentes do que no modelo proposto, pois algumas barras que eram para ser bielas acabaram sendo tirantes. Dimensionamento dos tirantes: Tirante inferior:

As1=Rst1/fyd = 1,470,2 / 43,5 = 2.26 cm Tirante superior:

As2=Rst2/fyd = 1,423,9 / 43,5 = 0.77 cm Tirante intermedirio:

As1=Rst1/fyd = 1,432 / 43,5 = 1.03 cm Verificao das tenses: No apoio extremo a tenso atuante resulta igual a :

c1=1,4108,6/(2020) = 0,38 kN/cm fcd2=0,56 fcd = 0,8 kN/cm Logo a condio de segurana do n verificada.

Tenso de compresso na biela:

c2 = 0,32 kN/cm < fcd2 A reao no apoio intermedirio gera no n a tenso:

c3=1,4322,8/(2020) = 1,12 kN/cm fcd1=0,789 fcd = 1,13 kN/cm Logo a condio de segurana da regio nodal do apoio intermedirio verificada.

d) Proposta de acordo com Fusco, 1995:

Dimensionamento dos tirantes: Hcal = 300cm z= 0.5 Hcal=150 cm

Tirante inferior:

As1 = Md+ / (z.fyd) = 1,4.9924 / 150 . 43,5 = 2,13 cm Tirante superior:

As2 =Md / (z.fyd) = 1,4.11505 / 150 . 43,5 = 2,47 cm

Verificao das tenses: wd = Vd / (bw.Hcal) 0,20 fcd = 0,28 kN/cm

No apoio extremo a tenso atuante resulta igual a :

wd = 1,4.109,44 / (20300) = 0,03 kN/cm Logo a condio de segurana do n verificada.

A reao no apoio intermedirio gera no n a tenso:

wd =1,4.322,5 / (20300) = 0,05 kN/cm Logo a condio de segurana da regio nodal do apoio intermedirio verificada.

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 13

3.3 Comparao dos resultados:

Tabela 1 Reaes de apoio:

Tabela 2 Esforos nas bielas e tirantes:

Tabela 3 reas de ao calculadas:

3.4 Detalhamento da ancoragem da armadura:

Para todos os casos: As,min = 0,15%.bw.h = 0,0015.20.300 = 9,0 cm Logo sero utilizadas 6 2 10 (9,6cm)

Distribuio e ancoragem da armadura no vo:

hdist = 0,12 h = 36 cm bu = 3 2.42,0 cdf = 0,247 kN/cm

unec = bubel

Rst.

1.8,0

Utilizando o maior dos valores encontrados nos exemplos:

unec = 0,8.1,4.96 / (18,5.0,247) = 23,6 cm u = n = 2 6 1 = 37,7 cm Logo u> unec

129.48133.23109.43108.6115.2135

Reao R1

279.535281.046

321.44322.83309.622701

Reao R2Modelo

129.48133.23109.43108.6115.2135

Reao R1

279.535281.046

321.44322.83309.622701

Reao R2Modelo

1.080.40201.5149.9339621.120.3893.8+117.195.2+37.62470.23

0.980.45155135325360.980.461541428595

153.6Rcc3

153.6Rcc1

0Rst2

73.2Rst1

0.950.471c3c1Modelo

1.080.40201.5149.9339621.120.3893.8+117.195.2+37.62470.23

0.980.45155135325360.980.461541428595

153.6Rcc3

153.6Rcc1

0Rst2

73.2Rst1

0.950.471c3c1Modelo

2.472.1340.772.2631.063.092

02.361As2As1Modelo

2.472.1340.772.2631.063.092

02.361As2As1Modelo

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 14

Apoio intermedirio:

Considerando As = 2,47 cm

3.5 Disposio das armaduras

De acordo com o CEB deve-se distribuir uma frao 0,5(L/h -1) da rea total exigida de armadura na faixa superior, que se estende a uma altura de 0,2.ha, sendo ha o menor valor entre h e L. O restante deve ser uniformemente distribudo dentro da faixa inferior imediatamente abaixo, que se estende at uma altura de 0,6.ha.

Altura: 0,2 ha = 60 cm A porcentagem de armadura a ser distribuda : 0,5 (1,5 -1).As2 = 0,25.As2 por unidade de comprimento: 0,25.As2 / 0,6 = 1,03 cm/m

O restante 0,75 As2, deve ser distribudo numa faixa de: 0,6.ha = 180 cm por unidade de comprimento: 0,75.As2 / 1,8 = 1,03 cm/m

Armadura em malha: As,malha = 0,1%.bw.h = 0,001.20.300 = 6 cm ( em cada face) asv = 6 / 4,5 = 1,33 cm/m 1 5 c/15 ash = 6 / 3 = 2,0 cm/m 1 5 c/10

Armadura em malha maior que a armadura calculada sobre os apoios.

3.6 Armaduras complementares De acordo com a indicao encontrada em Fusco, 1995 deve-se ter uma armadura complementar nos apoios. Esta armadura uma armadura em gancho que deve ser colocada tanto na horizontal como na vertical. Com comprimento de 0,3.hcal

As1 = As2 = 0,8.Vd/ fyd Apoios extremos: As1 = As2 = 0,8.1,4.109,44/43,5 = 2,81 cm = 2 1,40 4 8 Apoio central: As1 = As2 = 0,8.1,4160,56/43,5 = 4,13 cm= 2 2.07 4 8 de cada lado

4. Concluses A resoluo do exemplo mostra que a aplicao do modelo de bielas e tirantes no caso das vigas-paredes contnuas pode seguir o roteiro indicado e chegar a armadura necessria. No entanto, ainda ficam algumas diferenas a serem analisadas em trabalhos futuros e quanto ao detalhamento da armadura so apresentadas algumas incluses de detalhes a serem decididos pelo projetista de modo ainda subjetivo. Futuramente, trabalhos experimentais e novos exemplos devem apresentar melhorias mais significativas para o projeto desses elementos.

V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 15

5. Detalhamento das armaduras:

6. Referncias Bibliogrficas:

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (2001). Projeto de reviso da NBR 6118 Projeto de Estruturas de Concreto. COMIT EURO-INTERNATIONAL DU BTON. CEB-FIP Model Code 1990. London, Thomas Telford, 1993. Fdration internationale du bton Structural Concrete Manual Tetbook, bulletin 3, 1999. Ftool Programa para anlise de estruras planas. Site http:// www.tecgraf.puc-rio.br FUSCO, P.B.(1994) .Tcnicas de Armar as Estruturas de Concreto. So Paulo, Ed. Pini. GIONGO, J. S.; SILVA, R. C. (2000). Modelos de bielas e tirantes aplicados a estruturas de concreto armado. So Carlos, EESC-USP. LEONHARDT, F. MONNIG, E. (1977) Construes de Concreto: princpios bsicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado. Rio de Janeiro, Intercincia, 1978. MAU CAMPOS, V.E. (1998) Sistema grfico para o dimensionamento de estruturas de concreto armado pelo mtodo de bielas e tirantes. Rio de Janeiro. Dissertao (Mestrado) - Departamento de Engenharia Civil-PUC-RJ.

N3 2x6 10 - 1068

N4 - 4 8 - 196 4 - N4

61 N5 c.15

N2 2x30 5 c.10 - 700 2x30 N1 - c.10 N1 2x30 5 c.10 - 296

700 140140

16

16

1616

16

296

N5

61 5

-640

916

90

16

N6

8 8

- 19

6

90

60 60

90

16

4-N4 4-N4

4-N6 4-N6