01 - Raciocínio Puro I

PROFESSOR CASTANHEIRA RACIOCÍNIO LÓGICO IA E−MAIL: [email protected] TELEFONE: (0XX21) 33504053

Professor Castanheira – Página 1

INTRODUÇÃO

O presente volume traz cento e trinta questões de Raciocínio Lógico (divididas em cinco blocos de vinte e seis questões cada) e as suas respectivas resoluções. O conteúdo matemático necessário é aquele até a quinta série (sexto ano) do ensino fundamental, limitando a presença dos aspectos mais técnicos e enfatizando o raciocínio. As resoluções seguem um estilo linear, sintético e não algébrico. Todo o espectro de dificuldade é coberto, desde exercícios absolutamente triviais até problemas olímpicos. Cabendo salientar que grande esforço foi investido na pesquisa de enunciados interessantes e provocativos e na confecção de resoluções criativas e surpreendentes. O material é adequado a todo estudante, licenciando e professor de Matemática e pode ser utilizado na preparação para qualquer concurso. Aqui não nos preocupamos em agrupar as questões por assunto, ou ordená-las por estrito grau crescente de dificuldade. As “pedreiras” acabaram distribuídas ao longo do texto, de modo que o necessário investimento do leitor é variável ao utilizá-lo, com seqüências de questões mais leves alternando-se com séries de exercícios mais exigentes. Os temas que emergiram, naturalmente, em cada um dos cinco blocos, podem ser assim bem resumidos: Bloco 01: O primeiro bloco é de longe o mais acessível, envolvendo consideravelmente menos Raciocínio Numérico, e acabou brotando assim como um modo natural de encorajar o leitor. Ele traz questões envolvendo o Princípio das Gavetas, de 01.h até 01.k (assunto que reaparece em 02.p, 04.z e 0.5p). As suas sete últimas questões (bem como as duas primeiras questões do bloco seguinte) servem como uma firme introdução ao estilo de Não Álgebra do presente material, elas cobrem algo básico de frações ordinárias e constroem uma ponte sólida para as idéias mais avançadas envolvendo Proporcionalidade Direta Intuitiva que se seguirão. Bloco 02: O segundo bloco exige muito mais do leitor do que o anterior. É claro que nele existem belas questões envolvendo o conceito intuitivo de múltiplos e divisores, mas é o assunto Não Álgebra que mais se destaca. Especialmente as desconcertantes resoluções das questões 02.q até 02.w (estude-as com atenção!) Bloco 03: As suas dez primeiras questões cobrem as principais idéias do assunto Inversão de Operações, que encerra um poderoso método resolutivo, o qual costuma causar impacto positivo quando exposto pela primeira vez aos não iniciados. As suas quatorze questões seguintes tratam primariamente de Proporcionalidade Direta Intuitiva, uma coleção bastante completa sobre tal assunto Bloco 04: Este bloco expande sobre questões anteriores e conclui falando algo sobre jogos e afins. Seu tema central é

Idéias Diofantinas, de 04.g até 04.r. Bloco 05: Este bloco continua expandindo idéias anteriores, também incluindo jogos e afins. As sete últimas questões exploram bastante a noção de movimento, culminando com mais Proporcionalidade Direta Intuitiva.

Sobre o presente texto resta que façamos apenas algumas observações finais: −−−− Se o leitor atentou para a falta de algum assunto (dentro do conteúdo restrito já mencionado), pode ter certeza que a omissão foi intencional e que tal tópico é plenamente coberto em algum outro volume do autor; −−−− O leitor não deve ficar intrigado com a nossa terminologia ( “Princípio das Gavetas” , “Não Álgebra” , “Proporcionalidade Direta Intuitiva” , “Inversão de Operações” , “Idéias Diofantinas” etc. ), bastando observar as questões correspondentes para entender a respeito de qual assunto estamos de fato ali falando; −−−− Todos os enunciados foram inspirados em questões de algum tipo de concurso e modificados pelo autor para dar um bom aspecto final, sem costuras, ao presente texto. Todas as resoluções são originais do autor, pelo mesmo motivo; −−−− As resoluções apresentadas foram elaboradas de maneira concisa, porém bastante clara. Um leitor paciente e dedicado não deverá ter problema algum em entender cada argumento. As resoluções dadas não dependem de nenhuma figura que não esteja aqui incluída. Nossas resoluções não se baseiam em análises incompletas e casos particulares, não recorremos a "Charlatanismo Matemático" de espécie alguma; −−−− Algumas resoluções trazem a resposta destacada, enquanto outras trazem a resposta embutida, grifada no próprio texto. A opção de utilização ficando sempre para aquela que, naquele ponto, mais favoreceu a edição final do material; −−−− Acreditamos que o paradigma Conteúdo Mínimo/Raciocínio Máximo possa beneficiar o processo de ensino-aprendizagem, motivando professores e alunos. Parece-nos óbvia e necessária, nestes termos, uma interface com a disciplina de Língua Portuguesa, explorando os paralelos do par Enunciado/Resolução e do par Interpretação Textual/Produção Textual; −−−− Cremos ainda que o paradigma de Não Álgebra, aqui apresentado, possa aumentar sobremaneira o ferramental resolutivo dos docentes interessados, enriquecendo as suas aulas e oferecendo alternativas atrativas aos alunos (evitando o algebrismo tradicional sempre que ele parecer “como um vício” , “burocrático” , “aborrecido” etc.); −−−− Paradoxalmente, o referido conceito de Não álgebra parece trazer um melhor entendimento do real papel do ensino da Álgebra no âmbito da escola básica. Como sempre existe uma grande distância entre a ambição e a realização, estamos plenamente abertos a sugestões e críticas de todos via o nosso e-mail: [email protected]

Luiz Castanheira

Professor de Matemática



RESPONDENDO RÁPIDO

01) Responda rápido:

a) Uma colônia de bactérias dobra de volume a cada minuto. Sabendo que são necessários noventa minutos para a colônia ocupar precisamente um tubo de ensaio, quanto tempo é necessário para ela preencher exatamente metade de tal tubo?

Resolução: Um minuto a menos, ou seja, 89 minutos.

b) O pai do padre é filho do meu pai. O que eu sou do padre?

Resolução: O pai do padre é teu irmão ou é você mesmo, logo você é tio ou pai do padre.

c) No dia primeiro, de certo mês, uma valente lesma iniciou sua vagarosa jornada rumo ao topo de um muro, de dez metros de altura, partindo da sua base. Se a cada dia, sobe três metros pela manhã, não se desloca a tarde e escorrega dois metros a noite, enquanto dorme, em que dia do mês o intrépido molusco alcançará o topo do muro?

Resolução: Após sete dias, ela terá subido, efetivamente, sete metros. Durante o oitavo dia ela alcançará o topo.

d) Um casal tem precisamente três filhos homens, cada um dos quais tem exatas duas irmãs, por parte de pai e de mãe. Qual é o número total de filhos do casal?

Resolução: O casal tem exatamente três filhos homens e também deve ter exatamente duas filhas mulheres, caso contrário eles teriam um filho homem com mais do que duas irmãs, o que é absurdo pelo enunciado.

e) Três gatos comem três ratos em três minutos. Em quanto tempo sete gatos comem sete ratos?

Resolução: Como continuamos tendo um rato para cada gato, o tempo permanece o mesmo, três minutos.

f) Você tem que tomar três comprimidos, um a cada meia hora. Após quanto tempo terá tomado todo o remédio (a partir do início do tratamento)?

Resolução: Uma hora, bastando conferir o esquema a seguir, onde “•” representa o ato (suposto instantâneo) de se tomar um comprimido:

• Meia hora • Meia hora •

g) Às seis horas, o relógio da igreja demorou trinta segundos para dar as seis badaladas. Ao meio-dia, quanto tempo levará para dar as doze badaladas?

Resolução: Existe um intervalo de 30/5 = 6 segundos (6s) entre duas badaladas sucessivas, como esclarece o diagrama seguinte (onde “•” representa o bater de uma badalada, algo que supomos de duração desprezível):

• 6s • 6s • 6s • 6s • 6s •

Logo, para dar doze baladas, o relógio irá levar 6 x 11 = 66 segundos, como ilustrado abaixo:

• 6s • 6s • 6s • 6s • 6s • 6s • 6s • 6s • 6s • 6s • 6s •

h) Você está em um quarto completamente escuro, diante de uma gaveta onde há vinte meias pretas e vinte meias brancas, idênticas ao toque e todas misturadas. (1) Quantas meias no mínimo você deve retirar da gaveta para ter certeza de que obterá ao menos duas meias da mesma cor? (2) E duas meias de cores diferentes? Resolução: (1) Podemos retirar, no máximo, duas meias seguidas com cores diferentes (ou Preta e depois Branca ou Branca e depois Preta). Logo, devemos retirar, no mínimo, três meias, para termos certeza de ter obtido, pelo menos duas, com a mesma cor. (2) Podemos retirar, no máximo, vinte meias seguidas com a mesma cor (ou vinte meias Pretas ou vinte meias Brancas). Logo, devemos retirar, no mínimo, vinte e uma meias, para termos certeza de ter obtido, pelo menos duas, com cores diferentes. i) Qual é o número mínimo de pessoas, em uma reunião, que garanta que pelo menos duas delas façam aniversário em um mesmo mês? Resolução: Podem existir, no máximo, doze pessoas que não incluam mais do que uma nascida em um mesmo mês (bastando, para tanto, que cada mês corresponda a uma distinta e única pessoa). Logo, deve haver, na reunião, no mínimo, treze pessoas, para garantirmos que, pelo menos duas, aniversariam em um mesmo mês. j) Qual é o número mínimo de pessoas, em uma reunião, que garanta que pelo menos doze delas tenham nascido em um mesmo dia da semana? Resolução: Podem existir, no máximo, setenta e sete pessoas que não incluam mais do que onze nascidas em um mesmo dia da semana (bastando, para tanto, que cada dia da semana corresponda a distintas e exatas onze pessoas). Logo, deve haver, na reunião, no mínimo, setenta e oito pessoas, para garantirmos que, pelo menos doze, nasceram em um mesmo dia da semana. k) Em uma urna há vinte oito bolas azuis (A), vinte bolas verdes (V), doze bolas marrons (M), dez bolas pretas (P) e oito bolas brancas (B). Qual é o número mínimo de bolas que devemos sacar dessa urna para com certeza termos retirado pelo menos quinze bolas de uma mesma cor? Resolução: Podemos sacar, no máximo, 58 bolas, sendo 14 azuis, 14 verdes, 12 marrons, 10 pretas e 8 brancas (14 + 14 + 12 + 10 + 8 = 58), sem obtermos mais do que 14 da mesma cor. Logo, devemos retirar, no mínimo, uma a mais, ou seja, 59 bolas, no total, para termos certeza de ter extraído pelo menos quinze da mesma cor. l) Um torneio de judô é disputado por dez atletas e deve ter apenas um campeão. Em cada luta não pode haver empate e aquele que perder três vezes deve ser eliminado da competição. Qual é o número máximo de lutas necessário pra se conhecer o campeão?



Resolução: O campeão pode perder no máximo duas vezes e cada outro competidor pode perder no máximo três vezes, logo podemos ter no máximo 2 + 9 x 3 = 29 lutas. m) Em uma sala há exatos vinte alunos, que torcem ou para o Flamengo ou para o Palmeiras (mas não para ambos). Sabe-se ainda que ao menos um dos alunos torce pelo Palmeiras e que, sempre que são escolhidos dois alunos quaisquer, pelo menos um dos dois é torcedor do Flamengo. Quantos alunos torcem pelo Palmeiras e quantos torcem pelo Flamengo? Resolução: Não pode existir mais do que um torcedor do Palmeiras, logo existem exatamente um palmeirense e dezenove flamenguistas na sala. n) Anteontem eu tinha dezesseis anos. No ano que vem farei dezenove anos. Quando é o meu aniversário? E que dia é hoje? Resolução: O enunciado se refere a “anteontem”, “ontem” e “hoje”. Donde, “ontem” e “hoje” não podem estar em um mesmo ano, caso contrário, com relação à “hoje”, se completariam no máximo 18 anos no ano seguinte. É certo ainda que “ontem” deve corresponder ao aniversário de 17 anos, pelo mesmo motivo. Resposta: Ontem foi trinta e um de dezembro e aniversário de 17 anos. Hoje é primeiro de janeiro. o) Se fossem duas horas mais tarde, faltaria para meia-noite a metade do que faltaria se fosse uma hora mais tarde. Que horas são? Resolução: É imediato que na primeira situação falta uma hora para a meia noite (23 horas) e na segunda, duas horas (22 horas). Logo, são 23 – 2 = 21 horas. p) Meu relógio está marcando seis horas e quarenta e cinco minutos. Que horas serão quando os seus ponteiros estiverem exatamente com as posições trocadas? Resolução: A situação mencionada não pode ocorrer, uma vez que quando o ponteiro pequeno estiver sobre o nove, o ponteiro grande estará necessariamente sobre o doze (e não entre o seis e o sete). q) Qual é a diferença da soma de todos os números ímpares positivos de dois algarismos e da soma de todos os números pares positivos de dois algarismos? Resolução: Note, inicialmente, que existem ((98 – 10)/2) + 1 = 45 número pares de 10 até 99 e também ((99 – 11)/2) + 1 = 45 número ímpares, na mesma faixa. Posto isto, passemos a resolução propriamente dita:

(99 + 97 + ... + 13 + 11) – (98 + 96 + ... + 12 + 10) =

(99 – 98) + (97 – 96) + ... + (13 – 12) + (11 – 10) =

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r) A cantina de uma escola vende uma unidade de XTUDO por dois tostões e uma unidade de XBURGER por um tostão e meio. Ao comprar uma unidade de XTUDO por dia, durante cinco dias, um aluno ganha uma unidade de XBURGER de graça. Para quem participa da promoção, qual é o preço médio pago por unidade de XTUDO? Resolução: Em cinco dias o gasto efetivo é de 5 x 2,0 – 1,5 = 8,5 tostões. O gasto médio é então de 8,5/5 = 1,7 tostões. s) Uma garrafa está cheia de licor. Bebo metade do seu conteúdo, completo o seu volume com água, agito e guardo a garrafa. Quantas vezes, no mínimo, eu devo repetir este processo de modo que reste menos do que um por cento, em volume, de licor, na garrafa? Resolução: Supondo que existem, inicialmente, 100 unidades de licor na garrafa e notando que, a cada etapa, resta metade do licor da etapa anterior, temos o seguinte:

(1) 100,0000/2 = 50,00000 < 1? (NÃO)

(2) 050,0000/2 = 25,00000 < 1? (NÃO)

(3) 025,0000/2 = 12,50000 < 1? (NÃO)

(4) 012,5000/2 = 06,25000 < 1? (NÃO)

(5) 006,2500/2 = 03,12500 < 1? (NÃO)

(6) 003,1250/2 = 01,56250 < 1? (NÃO)

(7) 001,5625/2 = 00,78125 < 1? (SIM)

Resposta: Sete vezes. t) Um barril cheio de água pesa quarenta quilos. Se retirarmos metade da água nele contida, pesará vinte e dois quilos. Quanto pesa o barril vazio? Resolução: A água pesa 2 x (40 – 22) = 36 quilos, logo o barril vazio pesa 40 – 36 = 4 quilos. u) Um elevador pode levar ou dezesseis adultos ou vinte e oito crianças. Se doze adultos já estão dentro do elevador, quantas crianças ainda podem entrar? Resolução: Note inicialmente que ainda caberiam 16 – 12 = 4 adultos no elevador. Como 16 adultos correspondem a 28 crianças, então 16/4 = 4 adultos correspondem a 28/4 = 7 crianças. Donde cabem ainda exatas 7 crianças no elevador. v) Que horas são, se o que falta para terminar o dia é igual a três quintos do que já passou? Resolução: É imediato que 8/5 do que já passou correspondem a 24 horas, donde 1/5 do que já passou corresponde a 24/8 = 3 horas, donde 5/5 do que já passou correspondem a 3 x 5 = 15 horas. Resposta: São 15 horas.



w) Em uma jarra cabe um litro e mais um terço da jarra de água. Quantos litros de água cabem em duas destas jarras? Resolução: É imediato que em 2/3 de uma jarra cabe 1 litro, donde em (2/3) x 3 = 6/3 = 2 jarras cabem 1 x 3 = 3 litros. x) Em um galinheiro, existem três galos para cada dezessete galinhas. Sabendo que o número de galinhas supera, em duzentos e dez unidades, o número de galos, quantos galos há no galinheiro? Resolução: Para cada 3 galos, existem 14 galinhas a mais. Como existem 14 x (210/14) = 14 x 15 = 210 galinhas a mais, no total, deve haver 3 x (210/14) = 3 x 15 = 45 galos no galinheiro. y) Para fazer doze bolinhos, preciso exatamente de cem gramas de açúcar, cinqüenta gramas de manteiga, um litro de leite e quatrocentos gramas de farinha. Qual é a maior quantidade desses mesmos bolinhos que eu serei capaz de fazer com meio quilograma de açúcar, trezentos gramas de manteiga, oito litros de leite e seis quilogramas de farinha? Resolução: Vamos identificar primeiro o menor multiplicador correspondente, dentre todos os ingredientes:

Açúcar: 500/100 = 5

Manteiga: 300/50 = 6

Leite: 8/1 = 8

Farinha: 6000/400 = 15

Resposta: 12 x 5 = 60 bolinhos. z) Em uma corrida de automóveis no deserto, a distância a ser percorrida é de seis mil quilômetros. Devido às altas temperaturas, os pneus suportam rodar no máximo quatro mil quilômetros. Qual é a quantidade mínima de pneus reservas que são necessários à prova? Resolução: Quatro pneus ideais teriam que agüentar 6000 quilômetros, cada um, para completar a corrida, totalizando 6000 x 4 = 24000 quilômetros. Como os pneus reais agüentam no máximo 4000 quilômetros, vamos precisar de, no mínimo, 24000/4000 = 6 deles. Ou seja, de, no mínimo, 6 – 4 = 2 pneus reservas. 02) Responda rápido: a) Numa lanchonete, certo tipo de bebida é vendido em copos descartáveis de trezentos mililitros, por noventa centavos o copo, e de quinhentos mililitros, por cento e setenta centavos o copo. Qual das duas opções fornece a maior quantidade de bebida para uma mesma despesa?

Resolução: Na primeira opção, se 90 centavos correspondem a 300 ml, então 90/3 = 30 centavos correspondem a 300/3 = 100 ml, donde 30 x 5 = 150 centavos correspondem a 100 x 5 = 500 ml. Donde a primeira opção é a mais vantajosa, uma vez que a segunda cobra 170 centavos pelos mesmos 500 ml. b) Uma cafeteira elétrica tem, no recipiente onde se coloca a água, um mostrador indicando a quantidade de café a ser feito de cada vez: “de um a vinte cafezinhos”. O tempo gasto para fazer dezoito cafezinhos é de dez minutos, dos quais um minuto é o tempo gasto para aquecer a resistência. Qual o tempo gasto por essa mesma cafeteira para fazer cinco cafezinhos? Resolução: Após um minuto, para aquecer a resistência, ela produz um cafezinho a cada 9/18 = 0,5 minutos. Logo, ela irá demorar 1,0 + 0,5 x 5 = 3,5 minutos, para fazer 5 cafezinhos. c) Os alunos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual dois ônibus foram contratados. Quando os ônibus chegaram, cinqüenta e sete alunos entraram no primeiro ônibus e apenas trinta e um, no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que a mesma quantidade de alunos seja transportada nos dois ônibus?

Resolução: Em cada ônibus deve haver (57 + 31) / 2 = 44 alunos. Donde devem passar 57 – 44 = 13 alunos do primeiro ônibus para o segundo. d) A professora de Emília comprou noventa e seis balas para repartir igualmente entre seus alunos, sem que sobrassem balas. No dia da distribuição todos os alunos foram à escola, exceto Emília. A professora distribuiu igualmente as balas entre os alunos presentes, mas sobraram cinco balas. Quantos alunos têm a turma de Emília? Resolução: É certo que 96 é divisível pelo número de alunos, e ainda que 96 – 5 = 91 é divisível pelo número de alunos menos um (Emília!). Os divisores naturais de 96 são: (I) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 e 96. Os divisores naturais de 91 são: 1, 7, 13 e 91. Que acrescidos de um ficam: (II) 2, 8, 14 e 92. O único número que está nas duas listas (I e II) e é maior do que ou igual a 7 é o número 8. Donde, existem 8 alunos em tal classe. e) Uma escola deseja distribuir cadernos entre os seus quatrocentos e oitenta alunos de forma que cada um deles receba o mesmo número de cadernos e que não haja sobras. Os cadernos são adquiridos pela escola em pacotes de dezoito unidades cada. Qual é o número de pacotes que a escola deve adquirir para que cada aluno receba a menor quantidade possível de cadernos?

Resolução: Devemos, inicialmente, determinar a menor quantidade de cadernos que seja tanto divisível por 18, quanto por 480. É certo que 480 x 1 = 480 e 480 x 2 = 960 não são divisíveis por 18, mas 480 x 3 = 1440 o é. Logo, precisamos no mínimo de 1440/18 = 80 pacotes.



f) Em um quartel, existem seis unidades (guarda, comando, posto médico, capela, garagem e batalhão) e quinze guarnições de soldados, ficando, diariamente, uma única guarnição de serviço em cada unidade. Qual o menor número de dias necessário para que todas as guarnições fiquem o mesmo número de vezes de serviço? Resolução: Devemos, inicialmente, determinar a menor quantidade de turnos de serviço que seja tanto divisível por 6, quanto por 15. É certo que 15 x 1 = 15 não é divisível por 6, mas 15 x 2 = 30 o é. Logo, precisamos no mínimo de 30/6 = 5 dias. g) Considere a chamada Fórmula 95. Por esta fórmula os trabalhadores teriam direito à aposentadoria quando a soma da sua idade com o número de anos de serviço atingisse noventa e cinco anos. Adotada esta fórmula, quem começasse a trabalhar com vinte e cinco anos, com que idade se aposentaria? Resolução: Começando a trabalhar com 25 anos, faltará pagar 95 – 25 = 70 anos de vida ou de trabalho. Logo, é necessário viver e trabalhar, no mínimo, por mais 70/2 = 35 anos. Aposentando-se aos 25 + 35 = 60 anos. h) Carlos poderá aposentar-se quando a soma de sua idade com o número de anos que ele trabalhou for cem. Quando Carlos fez quarenta e um anos, ele já havia trabalhado quinze anos. Qual é a idade mínima que ele deverá ter para se aposentar? Resolução: Hoje, Carlos falta pagar 100 – 41 – 15 = 44 anos de vida ou de trabalho. Logo, ele precisa viver e trabalhar, no mínimo, por mais 44/2 = 22 anos. Quando terá então 41 + 22 = 63 anos. i) Ontem, Dona Dulce gastou vinte e quatro patacas no mercado para comprar cinco caixas de leite e seis pães. Hoje, aproveitando uma promoção no preço do leite, ela comprou dez caixas de leite e doze pães por quarenta patacas, no mesmo mercado. O preço do pão foi o mesmo que o de ontem. Qual foi o desconto que o mercado deu em cada caixa de leite? Resolução: Pelo dobro das mercadorias, ela deveria pagar 24 x 2 = 48 patacas. Como pagou 40 patacas, ela economizou 48 – 40 = 8 patacas em 10 caixas de leite, 8/10 = 0,8 patacas em cada caixa de leite. j) Ana e Beatriz compraram dezoito bombons de mesmo preço. Ana pagou por oito deles e Beatriz pelos outros dez. Na hora do lanche dividiram os bombons com Cecília, com cada uma comendo seis. Para dividir igualmente o custo dos bombons, Cecília deveria pagar dezoito pratas para Ana e Beatriz. Quanto ela deve pagar para cada uma? Resolução: Ana comeu seis e deu dois para Cecília, enquanto Beatriz comeu seis e deu quatro para Cecília. Logo, das dezoito pratas, Cecília deve o dobro a Beatriz do que deve a Ana.

Resposta: Seis pratas para Ana e doze para Beatriz.

k) Um relógio A adianta quarenta segundos por dia, enquanto um relógio B atrasa oitenta segundos por dia. Após sincronizar os dois relógios se observa que num instante futuro enquanto o relógio A marca 9h 9min o B marca 9h 15min. Qual a hora certa em tal instante? Resolução: Passado qualquer número de dias, o relógio B atrasa o dobro do que adianta o relógio A. Em tal instante futuro, os relógios estão defasados de seis minutos, com A adiantado dois minutos e B atrasado quatro minutos. Resposta: 9h 11min. l) Um relógio A adianta um minuto por dia, enquanto um relógio B atrasa um minuto e meio por dia. Após sincronizar os dois relógios, quantos dias se passarão até que eles marquem a mesma hora de novo pela primeira vez?

Resolução: A cada dia, a defasagem dos relógios aumenta de 1,0 + 1,5 = 2,5 minutos. Quando a defasagem atingir 24 horas, os relógios irão marcar a mesma hora pela primeira vez, sendo que, para tanto, são necessários (24 x 60)/2,5 = 576 dias. m) Quando depois de amanhã se tornar ontem, faltará a mesma quantidade de dias para chegar sábado que faltava para chegar hoje quando anteontem era amanhã. Que dia é hoje? Resolução: Façamos uma rápida “tradução” do enunciado. Daqui a três dias (o quanto falta para “depois de amanhã se tornar ontem”), faltará para sábado, também três dias (o quanto falta para “amanhã virar anteontem”). Logo, hoje é domingo. n) Existem casas em volta de uma praça. João e Pedro dão uma volta na praça, caminhando no mesmo sentido e contando as casas. Como não começaram a contar da mesma casa, a quinta casa de João é a décima segunda de Pedro e a quinta casa de Pedro é a trigésima de João. Quantas casas existem em volta da praça? Resolução: Da quinta casa de Pedro até a sua décima segunda, existem oito casas, o mesmo número que deve haver na contagem de João. Partindo da quinta casa de João e contando oito casas, temos: quinta, quarta, terceira, segunda, primeira, última, penúltima e trigésima. Donde a última é a trigésima segunda, donde existem 32 casas.

o) Qual é a soma de todos os valores, de todas as peças, de um jogo de dominó tradicional? Resolução: Um jogo de dominó tradicional utiliza os sete números inteiros de 0 até 6, possuindo um total de 28 peças. Como cada peça possui duas partes, sendo cada parte uma cópia de somente um dos sete números mencionados, existe um total de 28 x 2 = 56 partes. Como não existe preferência, cada um dos sete números aludidos aparece repetido 56/7 = 8 vezes, totalizando:

8 x (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) =

168.



p) Um professor gradua a nota da prova dos seus estudantes de 0,0 até 10,0, décimo a décimo. Qual o menor número de alunos que o mestre tem que possuir para poder afirmar, com certeza, que pelo menos dois tiraram a mesma nota, sem corrigir exame algum? Resolução: De 0 até 100 décimos, existem 101 notas, distintas duas a duas, disponíveis. Logo, basta que o docente possua, no mínimo, 102 alunos, para que ele possa afirmar, com certeza, que pelo menos dois obtiveram a mesma pontuação, sem realizar nenhuma correção. q) Dona Joaninha cria galinhas e coelhos, em um total de onze cabeças e vinte e oito patas. Quantos são de animais de cada tipo? Resolução: Obviamente, ela possui 11 animais no total. Se fossem somente galinhas, totalizariam 11 x 2 = 22 patas. Como não são, ficam faltando considerar 28 – 22 = 6 patas adicionais, devidas aos coelhos presentes. Sendo 4 – 2 = 2 patas a mais, para cada um deles. Logo, Joaninha cria 6/2 = 3 coelhos e 11 – 3 = 8 galinhas. r) Num vaso A há doze litros de vinho e dezoito litros de água e em um vaso B há nove litros de vinho e três litros de água. Quantos litros devem ser retirados de cada vaso, para que se obtenham quatorze litros de mistura com iguais quantidades de vinho e de água? Resolução: No vaso A, cada litro de mistura contém 12/(12 + 18) = 12/30 = 2/5 litros de vinho, e no B, cada litro contém 9/(9 + 3) = 9/12 = 3/4 litros de vinho. Sendo 2/5 < 3/4. Se retirássemos 14 litros somente de A, teríamos 14 x 2/5 = 28/5 litros de vinho (28/5 < 35/5 = 7). Como não é este o caso, faltam considerar 35/5 – 28/5 = 7/5 litros de vinho adicionais, devidos a presença de parte da mistura de B. Sendo 3/4 – 2/5 = 7/20 litros de vinho a mais, para cada litro vindo de B. Logo, devemos retirar

(7/5)/(7/20) = 4 litros de B e 14 – 4 = 10 litros de A. s) Um casal tem filhos homens e filhas. Cada filho homem tem um número de irmãos homens igual ao número de irmãs. Cada filha tem um número de irmãos homens igual ao dobro do número de irmãs. Quantos filhos homens e filhas têm o casal? Resolução: É imediato que o número de homens (que é par) é uma unidade maior do que o número de mulheres (que é ímpar). Seja a quantidade correspondente ao número de mulheres menos um. O enunciado diz que somar dois a tal quantidade é o mesmo que dobrá-la, logo ela é igual a dois, donde são 3 mulheres e 4 homens. t) Pessoas apressadas podem diminuir o tempo gasto em uma escada rolante, subindo alguns degraus da escada no percurso. Para certa escada, observa-se que uma pessoa gasta quarenta e quatro segundos na escada quando “pula” três degraus e quarenta segundos quando ”pula” cinco degraus. (1) Quantos são os degraus da escada? (2) Qual o seu tempo normal de subida? (Despreze o tempo gasto pelas pessoas para “pular” os degraus.)

Resolução: É imediato que tal escada gasta (44 – 40)/(5 – 3) = 2 segundos para elevar cada degrau. (1) A escada possui 3 + 44/2 = 3 + 22 = 25 degraus. (2) O seu tempo padrão de subida é de 25 x 2 = 50 segundos. u) Os alunos de uma escola, para serem aprovados no exame final, deverão obter, pelo menos, sessenta pontos em uma prova de cem questões. Nesta prova, cada questão respondida corretamente vale um ponto e quatro questões erradas, ou não-respondidas, anulam uma questão correta. Qual é o menor número de questões que um mesmo aluno deverá acertar para que: (1) Obtenha uma pontuação maior do que zero? (2) Seja aprovado? Resolução: (1) Se o aluno não tivesse acertado nenhuma, totalizaria 100 x (–0,25) = –25 pontos. Como não é este o caso, para tirar nota igual ou superior a zero, ficam faltando considerar, pelo menos, 0 – (–25) = 25 pontos adicionais, devidos aos seus acertos. Sendo 1 – (–0,25) = 1,25 pontos a mais, para cada um deles. Logo, ele deve ter mais do que (25)/(1,25) = 20 acertos, ou seja, no mínimo 21 acertos, para ficar com nota maior do que zero. (2) Se o aluno não tivesse acertado nenhuma, totalizaria 100 x (–0,25) = –25 pontos. Como não é este o caso, para tirar nota igual ou superior a 60, ficam faltando considerar, pelo menos, 60 – (–25) = 85 pontos adicionais, devidos aos seus acertos. Sendo 1 – (–0,25) = 1,25 pontos a mais, para cada um deles. Logo, ele deve ter pelo menos (85)/(1,25) = 68 acertos para ser aprovado. v) Uma prova é tal que se respondermos corretamente nove das dez primeiras questões e três décimos das questões restantes, obteremos metade do aproveitamento total. Qual é o número de questões da prova? Resolução: Pelo enunciado, nove unidades e três décimos do resto valem o mesmo que uma unidade e sete décimos do resto. Donde é imediato que quatro décimos do resto é o mesmo que oito unidades, donde um décimo do resto é igual a duas unidades. Logo o resto é igual a 20 questões e o total é de 10 + 20 = 30 questões. w) Uma típica fita de vídeo VHS pode gravar duas horas de programação quando em modo SP, quatro horas de programação em modo LP e seis horas de programação em modo EP. Tendo já gravado na fita uma hora e meia no modo EP e vinte e cinco minutos no modo SP, quanto de programação ainda pode ser gravado no modo LP? Resolução: Falta gravar 120 – 90/3 – 25 = 65 minutos em SP, ou seja, 65 x 2 = 130 minutos em LP. x) Augusto e Beto recebem o mesmo salário. Mensalmente, Augusto economiza dois sétimos do que recebe, enquanto Beto gasta trezentos tostões a mais do que o outro, contraindo uma dívida de setecentos tostões em cinco meses. Quanto ganha Augusto?



Resolução: Beto fica devendo 700/5 = 140 tostões ao final de cada mês. Por mês, dentro dos ganhos dos dois, Beto gasta 300 – 140 = 160 tostões a mais do que Augusto, que é quanto este último economiza mensalmente, 2/7 do seu salário. Donde, o seu salário é de 160 x 7/2 = 560 tostões.

y) Paulo e Antônio têm, em conjunto, cento e vinte e três tostões. Paulo gastou dois quintos do que possuía e Antônio gastou três sétimos da sua parte, ficando os dois assim com quantias iguais. Quanto possuía cada um?

Resolução: Pelo enunciado, as suas quantias originais estavam respectivamente entre si como 5/3 e 7/4. Para trabalhar com pesos inteiros, vamos multiplicar tais frações por 3 x 4 = 12, obtendo 20 e 21, respectivamente. Donde, Paulo possuía 20/41 x 123 = 60 tostões e Antônio, 21/41 x 123 = 63 tostões.

z) Em Tumbólia, um quilograma de moedas de cinqüenta centavos equivale em dinheiro a dois quilogramas de moedas de vinte centavos. Sendo oito gramas o peso de uma moeda de vinte centavos, quanto pesará uma moeda de cinqüenta centavos em gramas?

Resolução: Dois quilogramas de moedas de vinte centavos correspondem a (2000/8) x 20 = 5000 centavos. Donde, cada moeda de cinqüenta centavos pesa 1000 / (5000/50) = 10 gramas.

03) Responda rápido:

a) Penso em um número, e, sobre ele, opero iteradamente da seguinte forma: primeiro divido por 3, depois subtraio 4, em seguida divido por 5, a seguir subtraio 6 e finalmente divido por 7, obtendo 11. Que número pensei? Resolução: Basta realizar, iteradamente, na ordem inversa, as respectivas operações inversas, partindo de 11:

(5) 011 x 7 = 0077

(4) 077 + 6 = 0083

(3) 083 x 5 = 0415

(2) 415 + 4 = 0419

(1) 419 x 3 = 1257

Resposta: 1257. b) Dado um número qualquer no visor de uma calculadora especial, a tecla D o duplica e a tecla S lhe adiciona uma unidade. Uma pessoa digita um número n e, após apertar, em seqüência, D, S, D e S, obtém como resultado o número 243. Qual é o valor de n?

Resolução: Basta realizar, iteradamente, na ordem inversa, as respectivas operações inversas, partindo de 243:

.

(4) 243 – 1 = 242

(3) 242 / 2 = 121

(2) 121 – 1 = 120

(1) 120 / 2 = 060

Resposta: n = 60.

c) Certo dia, Eduardo levou para casa um cesto cheio de maçãs. Para que sua mãe pudesse fazer uma torta, deu-lhe metade das frutas mais uma. Para o seu irmão mais novo deu metade das restantes mais uma. Em seguida, deu, para o seu irmão mais velho, a metade do que sobrou mais uma maçã. Sobrou-lhe ainda uma maçã que ele próprio comeu. Quantas maçãs havia no cesto?

Resolução: Basta realizar, iteradamente, na ordem inversa, as respectivas operações inversas, partindo de 1:

(6) 01 + 1 = 002

(5) 02 x 2 = 004

(4) 04 + 1 = 005

(3) 05 x 2 = 010

(2) 10 + 1 = 011

(1) 11 x 2 = 022

Resposta: 22 maçãs.

d) Um avarento diz: “Se duplicarem o dinheiro que tenho no momento, darei seis patacas de esmola e cada vez que duplicarem o que possuo, darei uma esmola, uma pataca maior do que a anterior”. Confirmada a proposta e após dar quatro esmolas, faltam cinco patacas ao sovina. Quanto o avarento tinha no começo?

Resolução: Basta realizar, iteradamente, na ordem inversa, as respectivas operações inversas, partindo de (–5):

(8) (–5) + 9 = 04

(7) 04 / 2 = 02

(6) 02 + 8 = 10

(5) 10 / 2 = 05

(4) 05 + 7 = 12

(3) 12 / 2 = 06

(2) 06 + 6 = 12

(1) 12 / 2 = 06

Resposta: 6 patacas.

e) Três pessoas resolveram assim percorrer certo trajeto: a primeira andaria metade do percurso mais um quilômetro, a segunda, metade do restante mais dois quilômetros e a terceira, metade do que falta mais três quilômetros. Qual é o número de quilômetros de tal trajeto?

Resolução: Basta realizar, iteradamente, na ordem inversa, as respectivas operações inversas, partindo de zero:

(6) 00 + 3 = 03

(5) 03 x 2 = 06

(4) 06 + 2 = 08

(3) 08 x 2 = 16

(2) 16 + 1 = 17

(1) 17 x 2 = 34

Resposta: 34 quilômetros.



f) Dona Maricotinha usou todos os ovos que possuía para fazer omeletes para os seus três netos que a estavam visitando. Primeiro fez a omelete do neto mais velho, utilizando metade dos ovos mais meio ovo. Em seguida fez a omelete do neto do meio, e para isto usou a metade do resto dos ovos mais meio ovo. Por último fez a refeição do neto caçula, usando a metade dos ovos que sobraram mais meio ovo. Quantos ovos a bondosa velhinha colocou na omelete do seu neto mais velho?

Resolução: Basta realizar, iteradamente, na ordem inversa, as respectivas operações inversas, partindo de zero:

(6) 0,0 + 0,5 = 0,5

(5) 0,5 x 2,0 = 1,0

(4) 1,0 + 0,5 = 1,5

(3) 1,5 x 2,0 = 3,0

(2) 3,0 + 0,5 = 3,5

(1) 3,5 x 2,0 = 7,0

Resposta: 7,0 – 3,0 = 4,0 ovos.

g) Gastei dois quintos da minha grana, depois gastei cinco sétimos do restante e finalmente gastei sete nonos do que sobrou, ficando com trinta e seis patacas. Quanta grana eu tinha?

Resolução: Basta realizar, iteradamente, na ordem inversa, as respectivas operações inversas, partindo de 36, o que pode ser feito, neste caso, de modo extremamente compacto: (36) x (9/2) x (7/2) x (5/3) = 945.

Resposta: 945 patacas.

h) Tinha oitocentos e quarenta patacas. Gastei um terço, depois gastei um quinto do restante e finalmente gastei uma fração própria f do que sobrou, ficando com sessenta e quatro patacas. Quanto vale f?

Resolução: Basta realizar, iteradamente, na ordem inversa, as respectivas operações inversas, partindo de 64, o que pode ser feito, neste caso, de modo extremamente compacto (note a permuta de 1 – f pelo valor inicial, 840, em se tratando das operações diretas):

(64) x (1/840) x (5/4) x (3/2) = 1/7

Resposta: f = 1 – 1/7 = 6/7.

i) Pedro, Mário e José apostaram suas moedas numa competição. Foi combinado que quem ficasse em último lugar numa partida dobraria as quantidades de moedas dos outros dois. Após três partidas, cada um deles tinha exatamente dezesseis moedas. Se José foi o último colocado na primeira partida, Pedro na segunda e Mário na terceira, quantas moedas tinha cada um no início da competição?

Resolução:

Faremos uso da seguinte tabela:

José 16 Pedro 16 Mário 16

Pelo enunciado, podemos preencher todas as entradas do diagrama do final para o começo (bastando notar que a soma dos valores em cada coluna é sempre 48 e que o valor, imediatamente anterior, de quem não foi o último colocado, é sempre metade do valor atual):

José 26 4 8 16 Pedro 14 28 8 16 Mário 8 16 32 16

Resposta: José tinha 26 moedas, Pedro 14 e Mário 8.

j) Três meninas − Alice, Bela e Kátia − decidem redistribuir o dinheiro que cada uma possui. Primeiro, Alice dobra o que cada uma das suas amigas possui. Depois Bela faz o mesmo e finalmente Kátia repete a operação. Se Kátia começa e termina com trinta e seis patacas, quanto dinheiro as três possuem juntas? Resolução: Faremos uso da seguinte tabela:

Alice Bela Kátia 36 36

Pelo enunciado, podemos preencher as seguintes entradas do diagrama:

Alice Bela Kátia 36 72 144 36

Da penúltima, para a última coluna, Kátia perde, em dinheiro, 144 – 36 = 108 patacas, o exato valor para dobrar as quantias de Alice e Bela, logo, na penúltima coluna (como em qualquer uma das colunas), as três têm em conjunto: 144 + 108 = 252 patacas.

Resposta: 252 patacas. k) Pedro e Paulo, encarregados de uma obra, fariam todo o trabalho em doze dias. No fim do quarto dia de trabalho, Pedro adoeceu e Paulo concluiu o restante da obra em dez dias. Que fração da obra cada um executou? Resolução: Após 4 dias, faltava realizar 8/12 = 2/3 da obra. Como Paulo fez estes 2/3 = 10/15 da obra em 10 dias, conclui-se que ele já havia feito 4/15 da obra em 4 dias, donde Paulo realizou 14/15 da obra e Pedro fez 1/15. l) Um operário A pode realizar uma obra, trabalhando sozinho, em seis dias e um operário B pode realizar a mesma tarefa por si só em oito dias. Os dois trabalham juntos na construção por dois dias até que B abandona o compromisso e A tem que realizar sozinho o restante do serviço. Em quantos dias a obra ficou pronta no total? Resolução: Em dois dias, A e B juntos realizam 2 x (1/6 + 1/8) = 14/24 da obra. O operário A realiza sozinho a fração restante em (10/24)/(1/6) = 2,5 dias. Totalizando 4,5 dias para a obra inteira.



m) Havia nove dias que Pedro trabalhava em certa obra e já tinha realizado três oitavos da construção, quando a ele se juntou Paulo. Os dois, trabalhando em conjunto, gastaram ainda três dias para terminar o serviço. Em quantos dias Paulo teria realizado todo o trabalho sozinho? Resolução: Pedro faz (3/8)/(9) = 1/24 da obra por dia. Quando associado com Paulo, Pedro fez 3 x (1/24) = 1/8 da obra. Conclui-se então que Paulo consegue fazer (4/8)/(3) = 1/6 da obra por dia, donde precisa de 6 dias para realizar todo o serviço sozinho. n) Trabalhando sozinho, Carlos construiria um muro em quinze dias. Tendo trabalhado apenas um dia, Carlos foi substituído por Pedro, que trabalhou sozinho seis dias. Finalmente Carlos juntou-se a Pedro e, em mais dois dias de trabalho conjunto, terminaram o muro. Em quanto tempo Pedro construiria o muro trabalhando sozinho?

Resolução: Carlos realiza 3 x (1/15) = 1/5 da obra. Pedro faz (4/5)/(8) = 1/10 da obra por dia, donde precisa de 10 dias para realizar todo o serviço sozinho. o) Duas turmas, cada uma de vinte trabalhadores, foram encarregadas de serviços iguais. No fim de vinte e cinco dias a primeira turma havia feito três oitavos do seu trabalho e a segunda, cinco sétimos do seu. Quantos operários da segunda turma devem ser transferidos para a primeira, de modo que trinta e cinco dias após essa transferência o trabalho da primeira turma fique pronto? Resolução: O primeiro grupo conseguiria realizar, sem ajuda, 35 x ( (3/8) / (25) ) = 21/40 da obra, em 35 dias, faltando ainda 25/40 – 21/40 = 1/10 do total a completar. Por outro lado, o segundo grupo é capaz de realizar, no mesmo tempo, 35 x ( (5/7) / (25) ) = 1 obra. Donde, cada um dos seus membros conseguiria fazer 1/20 da obra em

tal tempo. Conclusão, basta que (1/10)/(1/20) = 2 homens da segunda equipe passem para a primeira, de modo a cumprir a condição do enunciado. p) Uma torneira enche um tanque em seis horas, enquanto outra torneira enche o mesmo tanque em quatro horas. Funcionando as duas torneiras juntas, em quanto tempo o tanque estará cheio? Resolução: A primeira torneira enche (1)/(6) = 1/6 de tanque por hora, enquanto a segunda enche (1)/(4) = 1/4. Para encher 1 tanque, as duas torneiras levam juntas (1)/(1/6 + 1/4) = 24/10 = 20/10 + 4/10 = 2 + (4/10 x 60) = 2 horas e 24 minutos. q) Uma torneira enche um sexto de um tanque em oitenta minutos, enquanto outra torneira enche um décimo do mesmo tanque em setenta e dois minutos. Funcionando as duas torneiras juntas, em quanto tempo encheram sete nonos de tal recipiente? Resolução: A primeira torneira enche (1/6)/(4/3) = 1/8 de tanque por hora, enquanto a segunda enche (1/10)/(6/5) = 1/12. Para encher 7/9 de tanque, as duas torneiras levam juntas (7/9)/(1/8 + 1/12) = 56/15 x 60 =

224 minutos.

r) Uma famosa fábrica de sorvetes está fazendo a seguinte promoção: dez palitos de sorvete valem um sorvete de palito. Com base nesta promoção, que fração do valor do sorvete (sem palito) corresponde ao preço de um palito?

Resolução: É imediato que o palito corresponde a 1/10 do picolé, enquanto o sorvete em si corresponde a 9/10. Donde, a fração procurada é igual a (1/10)/(9/10) = 1/9.

s) Duas jarras idênticas estão completamente cheias de misturas de álcool e água na proporção de: três partes de álcool para cada sete partes de água na primeira jarra e três partes de álcool para cada cinco partes de água na segunda. Misturando os conteúdos totais das duas jarras, qual a proporção de álcool e água dessa nova mistura?

Resolução: A fração de álcool é (3/10 + 3/8)/2 = 27/80 e a fração de água é 1 – 27/80 = 53/80. Logo, são 27 partes de álcool para cada 53 partes de água.

t) O litro de leite tipo B custa cento e setenta merrecas o litro e o leite de tipo C custa cento e cinco merrecas o litro. Misturando-se o tipo B com o tipo C, obtém-se um terceiro tipo de leite ao custo de cento e quarenta e quatro merrecas o litro. Qual é, nessa mistura, a proporção do leite mais caro para o mais barato?

Resolução: Se fosse somente leite C, custaria 105 merrecas o litro. Como não é este o caso, a diferença de 144 – 105 = 39 merrecas é devida a presença de uma fração de leite B. Sendo 170 – 105 = 65 merrecas a mais para cada litro de leite B presente, existem 39/65 = 3/5 litros de leite B na mistura e 1 – 3/5 = 2/5 litros de C. Ou seja, três partes do leite mais caro para cada duas partes do leite mais barato.

u) Em determinado bar é fabricado e vendido tanto suco quanto refresco de laranja. O suco é feito usando uma parte de concentrado da fruta para cada três partes de água e o refresco é uma mistura de uma parte de concentrado para cada seis partes de água. Em que proporção se deve misturar suco e água para se obter refresco?

Resolução: A fração de concentrado do suco é 1/4 = 7/28 e a do refresco é 1/7 = 4/28. Utilizando um argumento análogo ao da questão anterior, a fração de suco na mistura deve ser (4/28 – 0)/(7/28 – 0) = 4/7 e a fração de água, 1 – 4/7 = 3/7. Donde devemos misturar quatro partes de suco para cada três partes de água

v) Uma fita de vídeo VHS pode gravar até duas horas de programação no modo SP e até quatro horas de programação no modo LP. Uma pessoa deseja gravar, em uma única fita, um filme de duas horas e vinte minutos, usando o modo SP durante o maior tempo possível e completando a gravação no modo LP. Por quanto tempo deverá ser usado o modo SP?

Resolução: Se usássemos somente o modo SP registraríamos no máximo 120 minutos de filme. Como não é o caso, devemos considerar o excesso de 140 – 120 = 20 minutos, devido ao uso do modo LP. Sendo 2 – 1 = 1 minuto de registro a mais para cada minuto em LP, devemos usar, no mínimo, 20/1 = 20 minutos em LP e, no máximo, 120 – 100 = 100 minutos em SP.



w) A carga de certo telefone celular é suficiente para nove horas desligado e uma hora e meia ligado. Sabendo que este aparelho descarregou em oito horas, por quanto tempo ficou ligado?

Resolução: Note inicialmente que cada 1 minuto no modo LIGADO corresponde, em carga, a 540/90 = 6 minutos no modo DESLIGADO. Se usássemos somente o modo DESLIGADO teríamos 540 minutos de autonomia. Como não é o caso, devemos considerar a redução de 540 – 480 = 60 minutos, devido ao uso do modo LIGADO. Sendo 6 – 1 = 5 minutos de autonomia a menos para cada minuto em LIGADO, o aparelho ficou ligado por 60/5 = 12 minutos.

x) Um recipiente tem capacidade para duzentos litros e foi cheio em trinta e cinco minutos por duas torneiras que funcionaram do seguinte modo: a primeira torneira foi aberta para iniciar o trabalho, sendo fechada com a abertura da segunda, a qual terminou a tarefa. A primeira forneceu sete litros por minuto enquanto a segunda forneceu quatro litros por minuto. Durante quanto tempo a segunda torneira ficou aberta?

Resolução: Raciocinando analogamente, a primeira torneira ficou aberta por (200 – 35 x 4)/(7 – 4) = 20 minutos e a segunda ficou aberta por 15 minutos.

y) A coleção de selos de Arnaldo está dividida em três volumes. Dois décimos do total de selos constituem o primeiro volume. Alguns sétimos do total correspondem ao segundo volume e o terceiro volume contém exatamente trezentos e três selos. Quantos selos têm Arnaldo ao todo?

Resolução: Vamos pesquisar os números inteiros positivos que satisfazem ao enunciado.

(1) 303 / (1 – 1/5 – 2/7) = (101 x 5 x 7)/(2 x 3) (NÃO)

(2) 303 / (1 – 1/5 – 3/7) = (101 x 3 x 5 x 7)/(13) (NÃO)

(3) 303 / (1 – 1/5 – 4/7) = (101 x 3 x 5 x 7)/(2 x 2 x 2) (NÃO)

(4) 303 / (1 – 1/5 – 5/7) = (101 x 5 x 7) (SIM)

(5) 303 / (1 – 1/5 – 6/7) = – (101 x 3 x 5 x 7)/(2) (NÃO)

Resposta: 101 x 5 x 7 = 3535 selos.

z) Os quinhentos e trinta e cinco alunos e os professores de uma escola fizeram um passeio de ônibus. Os ônibus, com capacidade para quarenta e seis passageiros cada, ficaram lotados. Em cada ônibus havia um ou dois professores. Em quantos ônibus havia dois professores?

Resolução: Note inicialmente que 535 = 46 x 11 + 29, ou seja, precisamos de, no mínimo, 46 – 29 = 17 professores para completar um número exato (11 + 1 = 12) de ônibus. Percebendo que 17 = 12 + 5, concluímos que havia 5 carros com dois professores.

Observação: Note que não é possível uma solução com mais ônibus, pois sempre faltariam professores para ocupá-los, de acordo com o enunciado.

04) Responda rápido: a) Em uma empresa que funciona de segunda-feira a sábado, cada funcionário trabalha cinco dias por semana e tem folga de um dia. Na segunda-feira trabalham 250 funcionários, na terça 267, na quarta 245, na quinta 263, na sexta 256 e no sábado 249. Quantos funcionários têm tal empresa? Resolução: Como cada funcionário tem exatas 5 presenças por semana, basta dividir o total de presenças por 5 para obter o que se pede:

(250 + 267 + 245 + 263 + 256 + 249) / (5) = 306. Resposta: 306 funcionários. b) Um carro, que avança dezoito quilômetros por hora, está percorrendo um trecho de rua retilíneo. Devido a um problema mecânico, pinga óleo do motor, seis gotas por minuto. Qual é a distância, em metros, entre quaisquer dois

pingos sucessivos de óleo que o carro deixa sobre a rua? Resolução: É imediato que, a cada minuto, o carro avança (18 x 1000)/(1 x 60)= 300 metros. Donde é igual a 300/(6 – 1) = 60 metros a distância entre quaisquer dois pingos sucessivos sobre a rua. c) Numa mercearia, um quilo do queijo prato custa um décimo a mais do que um quilo do queijo de Minas. Se com determinada quantia pode-se comprar trinta e sete gramas de queijo de Minas a mais do que de queijo prato, quantos gramas de queijo de Minas pode-se comprar com essa quantia? Resolução: Dividamos a grana disponível em onze partes iguais. Onze destas partes compram de Prato o mesmo que apenas dez delas compram de Minas. A parte restante é que compra o mencionado excesso de 37 gramas de Minas. Logo, são 37 x 11 = 407 gramas de Minas. d) Uma heróica lesma começa a escalar verticalmente um prédio de cinqüenta metros de altura da seguinte forma: em uma hora sobe cinco metros e, depois disso, pára para descansar por uma hora, escorregando dois metros enquanto repousa, continuando com este procedimento até atingir o topo da construção. (1) Quantos metros a lesma terá subido em quinze horas? (2) Em quantas horas ela terá atingido o topo? Resolução: (1) Note que 15 = 2 x 7 + 1, donde, em 15 horas, ela passa por 7 ciclos de subida/descida, mais 1 hora de subida, elevando-se 7 x (5 – 2) + 1 x 5 = 26 metros no total. (2) Ao atingir o nível de 50 – 5 = 45 metros, basta mais 1 hora de subida para atingir o topo. Para atingir tal nível são necessários 45/(5 – 2) = 15 ciclos de subida/descida, correspondendo a outras 15 x 2 = 30 horas. No total, são necessárias 1 + 30 = 31 horas para o molusco chegar a parte mais alta de tal construção.



e) Um ônibus transporta trinta e um estudantes, baianos e mineiros, para um congresso de Matemática. Entre os baianos, dois quintos são homens e, entre os mineiros, três sétimos são mulheres. Entre todos os estudantes quantas são as mulheres? Resolução: É imediato que o número de baianos é divisível por cinco e o de mineiros por sete (e que eles somam trinta e um). Os candidatos ao número de baianos são: 5, 10, 15, 20, 25 e 30. Os candidatos ao número de mineiros são respectivamente: 26, 21, 16, 11, 6 e 1. Donde o número de mineiros é 21, por ser o seu único número candidato divisível por sete, e o correspondente número de baianos é igual a 10. Resposta: (3/5) x 10 + (3/7) x 21 = 15 mulheres. f) Em certo ano bissexto o número de sábados foi maior do que o número de domingos. Em que dia da semana caiu o dia vinte de janeiro desse ano? Resolução: Note, inicialmente, que 366 = 7 x 52 + 2, ou seja, cada dia da semana aparece, no mínimo, 52 vezes, e, no máximo, 53 vezes. Mais ainda, somente os dois dias da semana correspondentes aos dois primeiros dias do ano, aparecem 53 vezes. Logo, para termos mais sábados do que domingos, dia primeiro de janeiro foi uma sexta-feira e dia vinte de janeiro foi uma quarta-feira. g) Num zoológico particular há alguns animais entre mamíferos, aves e répteis. O destaque é um casal de corujas de uma rara espécie. Há, ao todo, vinte e duas patas, havendo menos bípedes do que quadrúpedes. Quantos bípedes e quantos quadrúpedes há no zôo? Resolução: Como existem: (1) pelo menos dois bípedes (o tal casal de corujas), (2) mais quadrúpedes do que bípedes e (3) exatas vinte e duas patas, podemos enumerar sistematicamente as possibilidades até garantirmos que exista uma única configuração que satisfaz a estas três condições.

# Bípedes # Quadrúpedes # Patas 2 3 16 2 4 20 2 5 24 3 4 22

Resposta: Três bípedes e quatro quadrúpedes. h) O lava – rápido LAVE BEM fez uma promoção, cobrando sete patacas por uma lavada completa e cinco patacas por uma lavada simples. No dia da promoção, o faturamento do lava – rápido foi de cento e setenta e seis patacas. Qual é o número mínimo de lavadas para obter tal receita?

Resolução: Devemos maximizar o número de lavadas completas. Como 176 = (7 x 25) + (1), foram menos do que 25 lavadas completas. Donde é imediato que:

176 = (7 x 24) + (8) = (7 x 23) + (15) = (7 x 23) + (5 x 3).

Resposta: 23 + 3 = 26 lavadas.

i) Um fabricante de brinquedos embala bolas de pingue-pongue em dois tipos de caixas. Num dos tipos ele coloca dez bolas e no outro coloca vinte e quatro bolas. Num certo dia foram embaladas cento e noventa e oito bolas e usadas mais de dez caixas. Quantas caixas foram cheias naquele dia?

Resolução: Como 198 = (24 x 8) + (6), foram menos do que 8 caixas de 24 bolas. Partindo da última igualdade, devemos escrever 198, adequadamente, como a soma de um número divisível por 24 e de um número divisível por 10. Donde, como a segunda parcela deve terminar em zero e a primeira em oito, existem duas possibilidades:

(1) (24 x 7) + (10 x 03)

(2) (24 x 2) + (10 x 15)

Resposta: Como foram usadas mais do que dez caixas, a resposta correta é 2 + 15 = 17 caixas.

j) Um criador de animais pretende comprar frangos, porcos e cabras, para criar em sua fazenda. Cada um desses animais custa, respectivamente, um pau, dez paus e vinte paus. O fazendeiro dispõe de duzentos paus e ele pretende gastá-los todos para comprar exatamente cem animais. Quantos animais de cada espécie ele poderá comprar?

Resolução: Não é possível comprar vinte ou mais animais, entre cabras e porcos, pois não sobraria dinheiro para comprar frangos, donde concluímos que foram comprados mais do que oitenta e menos do que cem frangos. Posto isto e notando que o número de frangos é divisível por dez, ele tem que ser igual a noventa, restando considerar então, dez animais e cento e dez paus, entre cabras e porcos. Se fossem somente porcos, custariam cem paus, como isto não é verdade, concluímos que foi comprada exatamente (110 – 100)/(20 – 10) = 1 cabra e mais 9 porcos.

Resposta: 90 frangos, 9 porcos e 1 cabra.

k) José e Mário conversavam em um bar:

José: “Tenho três filhas, a soma das suas idades é igual ao número deste bar, o qual todos conhecem, e o produto das mesmas é igual a

trinta e seis”.

Mário: “Será que com apenas estas informações eu posso achar as idades das três meninas?”.

José: “Na verdade não. Dar-te-ei um dado fundamental: minha filha mais velha toca piano”.

Quais são as idades das três filhas de José?

Resolução: Escrevamos as somas de todos os ternos de idades cujo produto é igual a trinta e seis.

(1) 01 + 01 + 36 = 38

(2) 01 + 02 + 18 = 21

(3) 01 + 03 + 12 = 16

(4) 01 + 04 + 09 = 14

(5) 01 + 06 + 06 = 13

(6) 02 + 02 + 09 = 13

(7) 02 + 03 + 06 = 11

(8) 03 + 03 + 04 = 10



A soma das idades deve ser treze, pois, caso contrário, não seria necessária uma informação adicional. Como existe uma filha mais velha, supostamente destacada, o terno seis, acima, fornece a solução correta. Resposta: Dois anos, dois anos e nove anos. l) Joana tem dois filhos, o seu filho mais novo tem mais do que dois anos e o mais velho tem menos do que onze anos, sendo impossível determinar as suas idades conhecendo somente o produto das mesmas. Por outro lado, sabendo de tudo isto e ainda a soma das idades, estas ficam bem determinadas. Qual é a idade do filho mais moço? Resolução: Escrevamos as somas e os produtos de todos os pares de idades na faixa dada.

Mais Novo Mais Velho Soma Produto 3 4 7 12 3 5 8 15 3 6 9 18 3 7 10 21 3 8 11 24 (1) 3 9 12 27 3 10 13 30 (2) 4 5 9 20 4 6 10 24 (1) 4 7 11 28 4 8 12 32 4 9 13 36 4 10 14 40 (3) 5 6 11 30 (2) 5 7 12 35 5 8 13 40 (3) 5 9 14 45 5 10 15 50 6 7 13 42 6 8 14 48 6 9 15 54 6 10 16 60 7 8 15 56 7 9 16 63 7 10 17 70 8 9 17 72 8 10 18 80 9 10 19 90

Se persiste dúvida, mesmo conhecendo o produto das idades, eis que existem as seguintes seis possibilidades:

Mais Novo Mais Velho Soma Produto

3 8 11 24 (1) 4 6 10 24 (1)

3 10 13 30 (2) 5 6 11 30 (2)

4 10 14 40 (3) 5 8 13 40 (3)

Se com tudo isto e a soma conhecida, as idades ficam bem determinadas, então a soma deve ser dez ou quatorze, o que garante que a idade do mais novo é de quatro anos. Resposta: 4 anos. m) João tem exatamente dois filhos homens, sendo a diferença das idades dos dois um número maior do que dez e menor do que vinte. Hoje, a idade de João é igual: a soma das idades dos seus filhos, ao quádruplo da idade que o filho mais novo tinha há sete anos e ao triplo da idade da mulher do filho mais novo. Qual é a idade atual de João? Resolução: E imediato que a idade de João deve ser divisível ao mesmo tempo por 4 e por 3, ou seja, deve ser divisível por 12. Assim tabulamos as candidatas a sua idade no diagrama que se segue. A idade do filho mais novo é igual a um quarto da de João mais sete, a idade do mais velho é igual a de João menos a do mais novo e a mulher do mais novo (sua nora) tem um terço da idade de João. O que também organizamos a seguir.

João Mais Novo Mais Velho Nora 12 10 2 4 24 13 11 8 36 16 20 12 48 19 29 16 60 22 38 20 72 25 47 24 84 28 56 28 96 31 65 32

João tem que ter 60 anos, pois esta é a única idade candidata que faz com que a diferença das idades dos seus dois filhos fique entre 10 e 20. Resposta: 60 anos. n) Um rei mandou cunhar menos do que cem moedas de ouro. Deu um terço das moedas aos seus ministros e um sétimo aos seus conselheiros. Em seguida deu vinte moedas para a sua guarda de honra e três moedas para cada uma das suas esposas, ficando com uma única moeda. Quantas eram as esposas do rei? Resolução: É imediato que devemos considerar números candidatos de moedas que são divisíveis por 3 x 7 = 21 e que são menores do que 100. Tais candidatos são 21, 42, 63 e 84. Notando que 1 – 1/3 – 1/7 = 11/21, podemos calcular por tentativas o número de esposas do rei:

(1) (11/21 x 21 – 21)/3 = – 10/3 (NÃO)

(2) (11/21 x 42 – 21)/3 = – 01/3 (NÃO)

(3) (11/21 x 63 – 21)/3 = – 04/1 (SIM)

(4) (11/21 x 84 – 21)/3 = – 23/3 (NÃO)

Resposta: 4 esposas.



o) O número n = 111111...111 possui exatos mil algarismos, todos iguais a 1. Dividindo-se n por 7, que resto e que quociente se obtém? Resolução: Considere o seguinte diagrama, em que para cada linha dividimos número por 7 e registramos os respectivos quociente e resto assim obtidos.

Numero Quociente Resto 1 0 1 11 01 4 111 015 6 1111 0158 5 11111 01587 2 111111 015873 0 1111111 0158730 1 11111111 01587301 4 111111111 015873015 6 1111111111 0158730158 5 11111111111 01587301587 2 111111111111 015873015873 0 1111111111111 0158730158730 1

... ... ... Não precisamos escrever as 1000 linhas da tabela, uma vez que identificamos facilmente um padrão de formação que se repete a cada 6 linhas. Notando que 1000 = 6 x 166 + 4, concluímos que o resto procurado é igual ao resto obtido na quarta linha da nossa tabela, ou seja, o resto pedido é igual a 5. Resposta: O resto pedido é igual a 5 e o respectivo quociente é obtido justapondo 166 grupos de algarismos iguais a “015873”, terminando com um único grupo igual a “0158”. p) Considere uma seqüência de dois mil e dois números naturais. O seu primeiro número é igual a sete e cada número, a partir do segundo, é igual ao sucessor da soma dos valores absolutos dos algarismos do quadrado do número anterior. Qual é o último número de tal seqüência? Resolução: Considere o seguinte diagrama, o qual foi preenchido de acordo com as regras do enunciado.

Número Quadrado Sucessor Da Soma Dos Algarismos

7 49 4 + 9 + 1 = 14 14 196 1 + 9 + 6 + 1 = 17 17 289 2 + 8 + 9 + 1 = 20 20 400 4 + 0 + 0 + 1 = 5 5 25 2 + 5 + 1 = 8 8 64 6 + 4 + 1 = 11

11 121 1 + 2 + 1 + 1 = 5 5 25 2 + 5 + 1 = 8 8 64 6 + 4 + 1 = 11

11 121 1 + 2 + 1 + 1 = 5 5 25 2 + 5 + 1 = 8 ... ... ...

Não precisamos escrever as 2002 linhas da tabela, uma vez que, descartando as quatro primeiras linhas, identificamos facilmente um padrão de formação que se repete a cada 3 linhas. Notando que 2002 – 4 =1998 = 3 x 666 + 0, concluímos que o último número da seqüência é igual ao número da terceira linha não abandonada da nossa tabela, ou seja, 11.

Resposta: 11.

q) Dispondo somente de dois tipos de cédulas, de cinco patacas e de oito patacas, na quantidade que quisermos das mesmas, qual é a maior quantia que NÃO pode ser paga dessa maneira? Resolução: Obviamente 5 x 8 = 40 patacas é um pagamento possível, enquanto um de 40 – 5 – 8 = 27 não o é, pois necessitaria do uso de notas com valor negativo, algo absurdo neste contexto. Afirmamos que 27 patacas é o maior pagamento não possível. Com efeito, é imediato que 28 = 4 x 5 + 1 x 8 , 29 = 1 x 5 + 3 x 8 , 30 = 6 x 5 + 0 x 8, 31 = 3 x 5 + 2 x 8 e 32 = 0 x 5 + 4 x 8. Como constatamos que estes cinco valores consecutivos podem ser pagos, concluímos que todos os seguintes também são possíveis. Resposta: 27 patacas. Observação: Se fossem somente notas de a patacas e de b patacas, com a e b primos entre si, pode ser provado que o maior valor que não pode ser pago é (a x b) – (a + b).

r) Um pai distribui IGUALMENTE todas as suas moedas para todas as suas filhas. Porém ele exige que as meninas retirem as suas moedas em uma ordem e maneira específicas, porém absolutamente justas. A primeira filha deve pegar uma moeda e mais um sétimo do restante, a segunda, duas moedas e um sétimo do restante, a terceira, três moedas e um sétimo do restante, assim prosseguindo até a última filha. Quantas são as moedas e as filhas?

Resolução: Suponhamos que sejam n filhas. A última filha retira n moedas e um sétimo do restante. Como não resta moeda alguma, após a sua retirada, quer dizer que ela tomou um sétimo de nada, isto é, ela pegou apenas n moedas. Conclusão: são n filhas, n moedas para cada e n x n = n2 moedas no total. De posse destas informações, vamos determinar o número de filhas por tentativa e erro (basta exibirmos uma quantidade de filhas que seja numericamente igual à correspondente parte devida a primeira menina e garantirmos que tal quantidade é única):

#Filhas #Moedas Parte da Primeira 14/7 = 02 004 010/7 21/7 = 03 009 015/7 28/7 = 04 016 022/7 35/7 = 05 025 031/7 42/7 = 06 036 042/7 49/7 = 07 049 055/7 56/7 = 08 064 070/7 63/7 = 09 081 087/7 70/7 = 10 100 106/7

Resposta: 6 filhas e 36 moedas.



s) Considere o número 3abcdefg5h, onde cada letra representa um algarismo decimal. Sabendo que a soma (dos valores absolutos) de três quaisquer algarismos consecutivos dele é sempre doze, qual é o valor da letra h? Resolução: Todo grupo de três algarismos consecutivos conduz a soma 12, independente de qualquer coisa, donde qualquer um deles pode ser descartado, sem prejuízo do todo. O que nos permite trabalhar, sob as mesmas regras, com o número 3g5h. Donde g = 4 e h = 3. Resposta: h = 3. t) Um tambor G contém noventa litros de gasolina somente, enquanto um tambor A contém noventa litros de álcool somente. Retire dez litros de G e os coloque em A, agitando a mistura. Depois, retire dez litros de A e os coloque em G, também agitando a nova mistura. Após tudo isto: Qual a fração de álcool da mistura em G? Qual a fração de gasolina da mistura em A? Resolução: Após a primeira operação, G fica com oitenta litros de gasolina e zero litro de álcool, enquanto A fica com dez litros de gasolina e noventa de álcool. É imediato que dez litros da mistura em A irão trazer um litro de gasolina e nove de álcool, donde, após a segunda operação, G fica com oitenta e um litros de gasolina e nove litros de álcool, enquanto A fica com nove litros de gasolina e oitenta e um de álcool. Resposta: Fração de álcool em G é igual a 9/90 = 1/10 enquanto a fração de gasolina em A é igual a 9/90 = 1/10. u) Duas pessoas começaram a subir, juntas, uma escada rolante. A primeira pessoa subiu dois degraus de cada vez, enquanto a segunda somente um degrau de cada vez. A primeira contou vinte e oito degraus no total e a segunda, vinte e um. Quantos são os degraus visíveis da escada? Resolução: Devemos notar, inicialmente, que até a primeira pessoa atingir o topo, as duas são igualmente “ajudadas” pelo movimento da escada. Ao atingir o topo, a primeira pessoa havia avançado 28 degraus sobre a escada, enquanto a segunda só a metade, 14 degraus. Naquele instante, faltavam, no total, 14 degraus, até o topo, para a segunda, sendo 7 degraus caminhando sobre a escada e mais 7 com a “ajuda” desta última, ou seja, em um mesmo tempo a segunda pessoa avança sobre a escada o mesmo que a escada a eleva adicionalmente em relação ao chão. Concluí-se então que, no total, para a segunda pessoa, foram 21 degraus caminhados sobre a escada, mais 21 “ajudados” por tal dispositivo. Resposta: 42 degraus. v) Sobre uma reta existem cem pontos azuis ou vermelhos. Para dois pontos vizinhos imediatos quaisquer: se ambos são azuis, o segmento que os une é azul, se ambos são vermelhos, o segmento que os une é vermelho e se os dois pontos possuem cores diferentes, o segmento que os une é verde. Sabendo que existem vinte segmentos verdes no total e o ponto mais a esquerda é vermelho, qual é a cor do ponto mais a direita?

Resolução: Estudemos tal coleção de pontos, da esquerda para a direita. Um segmento verde indica uma troca de cor, dentre os cem pontos coloridos, ou de vermelho para azul ou de azul para vermelho. Donde, começando com um ponto vermelho e após um número par (vinte) de trocas, eis que terminamos com uma sucessão de pelo menos um ponto vermelho, ou seja, o ponto mais a direita é vermelho. w) Adriano, Bruno e Carlos disputaram uma série de partidas de tênis de mesa. Cada vez que um jogador perdia, ele era substituído pelo que estava a esperar. A primeira partida foi disputada por Adriano e Bruno. Sabendo que, no total, Adriano venceu doze partidas e Bruno, vinte e uma, quantas vezes os dois se enfrentaram?

Resolução: Consideremos somente as 12 + 21 = 33 partidas em que Adriano ou Bruno venceram, uma vez que as partidas vencidas por Carlos não são relevantes a presente questão. Destas 33, eles dois jogaram juntos as partidas ímpares, uma vez que começaram juntos. No total de 17 partidas. As partidas pares, totalizando 16 confrontos, foram jogadas por um deles e Carlos, sempre com a derrota deste último. Resposta: 17 partidas. x) Em uma caixa existem cinco bolas indistinguíveis e numeradas de três até sete. Sorteamos ao acaso, bola após bola, até que todas sejam retiradas. Se uma bola traz um número menor do que a bola extraída imediatamente antes, este última é devolvida a caixa e o processo continua. Qual é o maior número possível de extrações que pode acontecer até a caixa ficar vazia? Resolução: Para maximizar o número de extrações devemos maximizar o número de devoluções, ou seja, sempre que fizer sentido, os cartões retirados devem diminuir de valor. Posto isto, a mais longa seqüência de retiradas é: 7, 6, 5, 4, 3, 7, 6, 5, 4, 7, 6, 5, 7, 6 e 7. Resposta: 15 extrações. y) Sessenta e quatro jogadores, de habilidades diferentes, dois a dois, disputam um torneio de tênis. Na primeira rodada, são feitos trinta e dois jogos (os emparelhamentos são definidos por sorteio) e os perdedores são eliminados. Na segunda rodada, são feitos dezesseis jogos, os perdedores são eliminados e assim por diante até a sexta e última rodada. Se os emparelhamentos são definidos sempre por sorteio a cada etapa da competição e se não há surpresas (Se A é melhor do que B, então A vence B), qual o maior número de jogos que o décimo melhor jogador consegue jogar?

Resolução: Dividamos os jogadores em dois grupos de igual tamanho. O primeiro contendo os nove melhores jogadores, enquanto o segundo, o décimo melhor. O emparelhamento ao acaso garante que é possível pensarmos em tal subdivisão e ainda na possibilidade dos times de um grupo sempre jogarem entre si até a final. Com isto, o primeiro melhor joga a final com o décimo melhor, ambos jogando seis vezes no total.



z) Uma caixa contém novecentos cartões, numerados de cem até novecentos e noventa e nove. Retiram-se, ao acaso, sem reposição, cartões da caixa e anotam-se as respectivas somas dos (valores absolutos dos) seus algarismos. Qual é a menor quantidade de cartões que deve ser retirada da caixa, para garantirmos que pelo menos três destas somas sejam iguais? Resolução: A menor soma possível é igual a 1 (do cartão 100 somente) e a maior soma é igual a 27 (do cartão 999 somente). Existem outras vinte e cinco somas possíveis (todos os valores de 2 até 26) e que ocorrem em três cartões ou mais, cada uma. Podemos retirar então, no máximo, 27 + 25 = 52 cartões e obter menos do que três somas iguais. Logo, devemos extrair, no mínimo, 53 cartões, para termos certeza de ter obtido pelo menos três somas iguais. 05) Responda rápido: a) Partindo do número 1234512345123451234512345, e cortando dez dos seus algarismos, qual é o maior número que pode ser obtido? Resolução: Devemos maximizar o valor absoluto dos algarismos mais a esquerda, assim procedendo da esquerda para a direita: cortamos o grupo “1234”, pulamos o grupo “5”, cortamos o “1234”, pulamos o “5” e finalmente cortamos o “12”. Reposta: 553451234512345. b) Em um hotel há cem pessoas, trinta comem porco, sessenta comem frango e oitenta comem alface. Qual é o maior número possível de hóspedes que não come nenhum destes dois tipos de carne? Resolução: O enunciado pede pela situação extrema em que todos que comem carne de porco também comem frango. Neste caso, 60 hóspedes comem pelo menos um dos dois tipos de carne e 100 – 60 = 40 hóspedes não comem nenhum dos dois tipos. c) Considere dois números naturais de três algarismos distintos. O maior possui apenas algarismos pares e o menor somente algarismos ímpares. Qual é a menor diferença possível para dois números assim? Resolução: A diferença dos respectivos primeiros algarismos de tais números deve ser a menor possível, isto é, deve ser igual a um. Posto isto, o menor grupo possível para o restante do primeiro número é “02”, enquanto o maior grupo possível para o restante do segundo é “97”. Levando as seguintes possibilidades:

402 – 397 = 602 – 597 = 5 Resposta: 5. d) Os números naturais de um até mil são escritos um atrás do outro: 123456789101112...9991000. Em tal seqüência, quantas vezes aparece o grupo “89”?

Resolução: Tal grupo pode aparecer “dentro” de um número como em 89 , 189 , 289 ... e 989 (dez vezes) e 890 , 891, 892 ... e 899 (dez vezes). E ainda pode aparecer como uma “ligação” entre dois números como em (8, 9) , (98, 99) , (908, 909) , (918, 919) , (928, 929) ... e (998, 999) (doze vezes). Resposta: 10 + 10 + 12 = 32 vezes. e) Escrevemos todos os números naturais de um até trinta. Em seguida, riscamos alguns números de modo que não sobre nenhum número que seja o dobro de outro. Qual é a maior quantidade de números não riscados que pode restar de tal processo? Resolução: Podemos sistematizar (e otimizar) o processo de corte, classificando tais números pela quantidade de fatores dois que possuem:

(GRUPO 0): 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29.

(GRUPO 1): 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30.

(GRUPO 2): 4, 12, 20, 28.

(GRUPO 3): 8, 24.

(GRUPO 4): 16.

Resposta: Basta cortar todos os números dos grupos 1 e 3, no total de 8 + 2 = 10 números. Restando no máximo 20 números. f) Paulo tem três dados comuns idênticos, nos quais a soma dos números de quaisquer duas faces opostas é sempre sete. Ele cola os três dados pelas faces, de modo que as faces coladas tenham o mesmo valor e o sólido formado seja um bloco retangular. Bloco este que Paulo apóia sobre uma mesa não transparente. Sabendo que a soma dos valores das onze faces visíveis é igual a trinta e seis, qual é a soma dos valores das três faces em direto contato com a mesa? Resolução: A soma dos números de todas as faces dos três dados é igual a 3 x (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 63. Devemos retirar deste total a soma dos valores das faces visíveis (36) e a soma dos valores das faces coladas (14). Donde a soma dos valores das faces apoiadas é 63 – 36 – 14 = 13. g) Carlos furou uma folha de papel retangular. Em seguida, dobrou o papel ao meio e furou o papel dobrado, assim prosseguindo. Carlos pode repetir tal processo quantas vezes ele quiser, sem nunca furar sobre um furo feito anteriormente. Ao desdobrar a folha, ele conta o total de furos feitos. Qual o menor número de dobras que deve realizar para com certeza obter mais do que cem furos? Resolução: Com uma dobra, 1 + 2 = 3 furos. Com duas dobras, 3 + 4 = 7 furos. Com três dobras, 7 + 8 = 15 furos. Com quatro dobras, 15 + 16 = 31 furos. Com cinco dobras, 31 + 32 = 63 furos. Com seis dobras, 63 + 64 = 127 furos. Resposta: 6 dobras.



h) Considere uma seqüência crescente de três números naturais que somam treze. Sabendo disto e do primeiro número, não é possível determinar os demais. Sabendo de tudo até aqui e de posse do terceiro número, ainda não é possível determinar os demais. E, finalmente, sabendo disto tudo e conhecendo o segundo número, também não é possível determinar os demais. Qual é o segundo número de tal seqüência? Resolução: Escrevamos todas as seqüências que satisfazem a primeira frase do enunciado:

(1) 1, 2, 10

(2) 1, 3, 9

(3) 1, 4, 8

(4) 1, 5, 7

(5) 2, 3, 8

(6) 2, 4, 7

(7) 2, 5, 6

(8) 3, 4, 6 Como tudo isto e o primeiro número não determinam a seqüência, a opção 8 não é a correta. Como tudo isto e o terceiro número não determinam a seqüência, as opções 1, 2 e 7 também não são corretas. Como tudo isto e o segundo número não determinam a seqüência, as opções 4 e 5 são também erradas. Donde, ou a opção 3 ou a opção 6 é correta, donde o segundo número igual a 4.

Resposta: 4. i) Pedro distribuiu cento e vinte e sete moedas de uma pataca em sete caixas. Colocando uma etiqueta em cada volume, indicando o número de moedas ali guardadas. Esta distribuição foi feita de modo que qualquer quantia de uma a cento e vinte sete patacas pudesse ser paga, utilizando apenas caixas fechadas. De que maneira foi feita tal distribuição? Resolução: Afirmamos que a distribuição de moedas 1, 2, 4, 8, 16, 32 e 64 satisfaz ao enunciado. Com efeito: Para valores de 0 até 7: 0 (nenhuma caixa) ; 1 ; 2 ; 1 + 2 = 3 ; 4 ; 1 + 4 = 5 ; 2 + 4 = 6 e 1 + 2 + 4 = 7. Para valores de 8 até 15: Basta somar 8 a valores obtidos anteriormente. Para valores de 16 a 31: Basta somar 16 a valores obtidos anteriormente. Para valores de 32 até 63: Basta somar 32 a valores obtidos anteriormente. Para valores de 64 até 127: Basta somar 64 a valores obtidos anteriormente.

j) Um mitológico herói teve mais do que trinta e nove filhos, incluindo vários gêmeos. Todos os seus filhos eram gêmeos duplos, exceto trinta e nove; todos eram gêmeos triplos, exceto trinta e nove e todos eram gêmeos quádruplos, exceto trinta e nove. Quantos filhos teve tão viril guerreiro? Resolução: É imediato que o número de gêmeos duplos é igual ao de gêmeos triplos e ao de gêmeos quádruplos. Tal valor comum dever ser divisível ao mesmo tempo por 2, 3 e 4. Conduzindo aos candidatos: 12, 24, 36, 48, 60... Não é difícil notar que são 12 gêmeos duplos, 12 triplos, 12 quádruplos e 15 filhos não gêmeos. Se fossem 24 ou mais gêmeos duplos, a soma de triplos, quádruplos e não gêmeos seria maior do que 39. Algo que contradiz o enunciado. Resposta: 12 gêmeos duplos, 12 gêmeos triplos, 12 gêmeos quádruplos e 15 não gêmeos. Totalizando 51 filhos. k) Um tipo de jogo se baseia em retiradas de um monte de mil palitos. Dois jogadores retiram cíclica e alternadamente, ou um ou dois ou três ou quatro ou cinco palitos, necessariamente nesta ordem. Ganhando quem retirar o último palito, desde que a última retirada feita seja exatamente igual a quantidade de palitos restante na pilha, caso contrário a partida é declarada como inválida. (1) Quantos palitos deve retirar o primeiro jogador para garantir a sua vitória? (2) E para garantir a sua derrota?

Resolução: Note que 2 x (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 30 e 1000 = 30 x 33 + 10. Ou seja, uma partida válida consiste de 33 repetições das dez primeiras retiradas, seguidas por uma única repetição, que corresponde exatamente aos 10 palitos restantes, de quatro ou menos das retiradas iniciais.

(1) Se o primeiro jogador começa retirando 4 palitos, eis que ocorre a seqüência final de retiradas 4, 5 e 1. Donde o primeiro jogador vence.

(2) Se o primeiro jogador começa retirando 1 palito, eis que ocorre a seqüência final de retiradas 1, 2, 3 e 4. Donde o segundo jogador vence.

Se o primeiro jogador retira 2, 3 ou 5 palitos, inicialmente, a partida será eventualmente declarada inválida.

Resposta: Quatro palitos e um palito, respectivamente. l) Partindo de três números inteiros escritos em uma lousa, um aluno realiza continuamente a tarefa de apagar um deles, substituindo-o pela soma dos outros dois, diminuída de uma unidade. Partindo de três números pares é possível chegar a três números ímpares, com este processo? Resolução: Não. Com efeito, partindo de três números pares, trocamos um deles por um ímpar, seguindo as regras do enunciado, ficando com dois pares e um ímpar. Se agora trocamos um par, devemos colocar um par no lugar, ainda conforme o enunciado. Por outro lado, se trocarmos um ímpar, devemos colocar um ímpar no lugar, nestes mesmos termos, ficando então sempre com dois pares e um ímpar.



m) Érica, Marta e Isabela realizam vária corridas para ver quem é a mais rápida das três. Após uma corrida qualquer, cada amiga recebe uma pontuação previamente combinada (um número inteiro positivo), dependendo da sua colocação. A terceira colocada recebe um valor menor do que o da segunda e esta última um valor menor do que o da primeira. Após várias provas, Érica acumulou vinte pontos, Marta, nove pontos e Isabela, dez pontos. Sendo a primeira prova vencida por Isabela. (1) Quantas foram as corridas e os pontos dados por corrida? (2) Qual foi a pontuação dada em cada corrida para cada colocação? (3) Quais foram os resultados de cada menina? Resolução: (1) Foram realizadas mais do que uma prova, sendo a menor pontuação possível por corrida igual a 1 + 2 + 3 = 6. No total, foram dados 20 + 9 + 10 = 39 pontos. Como o número 39 pode ser escrito como o produto de dois números inteiros positivos exclusivamente como 1 x 39 e 3 x 13, concluímos que foram 3 corridas e 13 pontos dados por corrida. (2) Partamos de todas as pontuações possíveis por corrida (para terceira, segunda e primeira colocadas), que agora sabemos somar 13:

(I) 1, 2, 10

(II) 1, 3, 9

(III) 1, 4, 8

(IV) 1, 5, 7

(V) 2, 3, 8

(VI) 2, 4, 7

(VII) 2, 5, 6

(VIII) 3, 4, 6

Érica venceu no máximo duas corridas e acumulou 20 pontos, sendo imediato que as opções (IV), (V), (VI), (VII) e (VIII) não servem, por darem pontuações máximas, nestas condições, respectivamente iguais a: 7 + 7 + 5 = 19 ; 8 + 8 + 3 = 19 ; 7 + 7 + 4 = 18 ; 6 + 6 + 5 = 17 e 6 + 6 + 4 = 16. As opções (I) e (II) também não servem, por serem incapazes de produzir uma pontuação de 20 pontos, nestes termos (verifique!). Donde a única opção possível é a (III), que de fato satisfaz ao enunciado, permitindo a soma 8 + 8 + 4 = 20. Ou seja, 1 ponto para a terceira colocada, 4 pontos para a segunda colocada e 8 pontos para a primeira colocada. (3) O seguinte diagrama resume todos os resultados:

Colocação Corrida 1 Corrida 2 Corrida 3 Primeira Isabela (8) Érica (8) Érica (8) Segunda Érica (4) Marta (4) Marta (4) Terceira Marta (1) Isabela (1) Isabela (1)

n) Alexandre, consultando a programação de filmes, decidiu gravar Contato, o qual dura cento e cinqüenta minutos. Para gravar tal filme, em uma única fita VHS de duas horas, decidiu começar com uma velocidade menor (modo EP, que permite a gravação de até seis horas de material), em certo instante mudando para uma velocidade maior (modo SP, que permite até duas horas de gravação). Sabendo que o filme terminou junto com a fita, quantos minutos do filme foram gravados em cada modo? Resolução: Arbitremos que existam 120 unidades de gravação disponíveis na fita, cada 1 unidade correspondendo a 1 minuto de gravação em modo SP e a 3 minutos de gravação em modo EP. Se tais unidades fossem usadas somente no modo SP, gravariam apenas 120 minutos. Como não é este o caso, foram usadas (150 – 120)/(3 – 1) = 15 unidades em modo EP, correspondendo a 15 x 3 = 45 minutos gravados em EP e a 150 – 45 = 105 minutos gravados em SP. o) Apenas cinco casais casados participaram de uma reunião fechada. Após os cumprimentos, João perguntou a todos os outros, inclusive a sua esposa, Maria, quantos apertos de mão cada um deles deu. Ele recebeu todas as nove respostas possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Sabendo que ninguém apertou a mão do próprio cônjuge, quantos apertos de mão a esposa de João deu? Resolução: Inicialmente, convencionemos que Pk quer dizer a pessoa (diferente de João!) que deu k apertos de mão. Combinemos ainda que o termo outro se refira a uma pessoa que não é nem Maria e nem João. Se fossem apenas dois casais (com três respostas possíveis 0, 1 e 2), Maria não poderia ser P0 (P2), pois assim nenhum outro poderia ser P2 (P0). Donde, P0 e P2 formariam um casal de outros e Maria teria que ser P1 (João também teria dado 1 aperto de mão neste caso). Se fossem apenas três casais (com três respostas possíveis 0, 1, 2, 3 e 4), Maria não poderia ser P0 (P4), pois assim nenhum outro poderia ser P4 (P0). Donde, um casal de outros teria que ser P0 e P4, pois se alguém é P0, nenhuma outra pessoa, além do seu cônjuge, poderia ser P4 e vice-versa. Retirando o casal P0 e P4 (inclusive os apertos de mão de P4), e retomando o argumento do parágrafo anterior, concluímos que Maria não poderia ser P1 e nem P3, tendo que ser P2 (João também teria dado 2 apertos de mão neste caso). Se realizarmos raciocínio (recursivo) análogo para quatro casais, concluiremos que Maria teria que ser P3. E, finalmente, para cinco casais, como pedido, que Maria tem que ser P4. Os detalhes, nós deixamos para o leitor. Resposta: 4 apertos de mão. p) É verdade que, em toda reunião, com duas ou mais pessoas, existem pelo menos duas delas com o mesmo número de amigos na reunião?



Resolução: Dividamos o contingente dos presentes em dois grupos. O primeiro, das pessoas que não possuem amigo algum reunido e o segundo, daquelas que possuem pelos menos um amigo no encontro. (1) Se o primeiro grupo contiver mais do que uma pessoa, é imediato que a resposta é sim para a questão. Se o primeiro grupo trouxer zero ou apenas uma pessoa, considere o que se segue. (2) Sejam n pessoas no segundo grupo, cada uma delas podendo ter de 1 a n – 1 amigos na reunião. Como existem mais pessoas do que opções, ao menos duas delas deverão ter o mesmo número de amigos. Donde se conclui novamente que a resposta é sim. Resposta: Sim. Observação: Acima, assumimos implicitamente que se A é amigo de B, então B é amigo de A. q) Uma cela possui uma passagem secreta que conduz a um porão ainda mais secreto, de onde partem três elevadores de fuga em perfeito funcionamento. O primeiro elevador conduz a liberdade em uma hora; o segundo, em três horas e o terceiro, surpreendentemente, retorna ao porão em seis horas. Qual é o tempo médio de fuga de um prisioneiro, a partir do instante em que chega a tal porão? Resolução: A resposta da questão é igual a (1 + 3 + t) / 3, onde t é o tempo de fuga pelo terceiro elevador. Se tomar o elevador três, e após retornar ao porão, o prisioneiro obviamente entrará em um dos dois outros elevadores, ainda tentando fugir. Ou seja, se tomar o terceiro elevador, ele alcançará a liberdade em um tempo médio t = ( (1 + 6) + (3 + 6) ) / 2 = 8 horas. Logo, em média, ele estará livre em (1 + 3 + 8) / 3 = 4 horas. r) Pai e filho, com cem fichas cada um, começam um jogo. O pai passava seis fichas ao filho, a cada partida que perdia, e recebia dele quatro fichas, a cada partida que vencia. Depois de vinte partidas, o número de fichas do filho era igual ao triplo do número de fichas do pai. Quantas partidas o filho ganhou? Resolução: Como pai e filho têm 200 fichas em conjunto, o filho termina com 150 fichas e o pai com 50 fichas. Se o filho tivesse perdido todas as partidas, ele teria ficado com 100 – 20 x 4 = 20 fichas. Como não foi este o caso, ele venceu (150 – 20) / (6 – (–4)) = 13 partidas. Resposta: 13 partidas. s) Em um carro foram usados os quatro pneus mais o estepe, rodando igualmente a mesma quilometragem. Após tal veículo ter percorrido vinte mil quilômetros, por quantos quilômetros rodou cada pneu? Resolução: As quatro rodas percorrem, em conjunto, 20000 x 4 = 80000 quilômetros. Donde cada pneu é usado por 80000 / 5 = 16000 quilômetros.

t) João normalmente deixa o seu trabalho às dezessete horas, diariamente. A sua mulher, Maria, parte da residência do casal para buscá-lo e trazê-lo ao lar, sempre chegando ao trabalho do marido às dezessete horas, também diariamente. Certo dia, excepcionalmente, João deixa o trabalho às dezesseis horas e segue a pé, encontrando a sua mulher no caminho. Desta maneira ele chegou a sua casa dez minutos antes do que o seu horário normal. Sabendo que Maria sempre dirige a uma mesma velocidade, a que horas João a encontrou em tal dia? Resolução: Como João se adiantou dez minutos, quer dizer que Maria economizou cinco minutos de ida e também cinco minutos de volta, tendo se encontrado com João às dezesseis horas e cinqüenta e cinco minutos. u) A ligação rodoviária entre as cidades A e B é feita por ônibus em trinta e três minutos. A que horas o ônibus que saiu de B às doze horas e quarenta e oito minutos cruza com o ônibus que saiu de A às treze horas e um minuto? Resolução: O ônibus que vem de B já viajou por 13 minutos, faltando viajar ainda por 20 minutos, quando parte o ônibus de A. Como viajam a mesma velocidade, eles vão se encontrar na metade do caminho que falta ao de B, após mais 10 minutos, às 13 horas e 11 minutos. v) Um gato persegue um rato, sendo que o roedor tem inicialmente uma vantagem de trinta e cinco dos seus pulos. A cada dois pulos que o felino dá se aproximando do rato, este último dá cinco pulos se afastando. Cabendo notar que os pulos do gato são três vezes maiores do que os pulos do rato. Quantos pulos o gato dará até alcançar o rato? Resolução: A cada unidade de tempo, o gato ganha a distância de 2 x 3 – 5 = 1 pulo de rato em relação ao roedor. Logo, o felino precisa de 35/1 = 35 unidades de tempo para alcançar o roedor. E, neste tempo, o bichano dará 35 x 2 = 70 dos seus pulos. w) Suponha que dois pilotos de Fórmula X largam juntos em determinado circuito, e que completam cada volta, respectivamente, em setenta e dois e setenta e cinco segundos. Depois de quantas voltas do mais rápido ele estará uma volta na frente do outro corredor? Resolução: A cada volta sua, o piloto mais rápido ganha do piloto mais lento: 72/72 – 72/75 = 1/25 de pista. Donde o mais rápido precisa de 25 voltas para colocar uma pista de vantagem em relação ao mais lento. x) Numa corrida de mil setecentos e sessenta metros, o corredor A vence o corredor B por trezentos e trinta metros e também vence o corredor C por quatrocentos e sessenta metros. Por quantos metros B vence C? Resolução: Quando A vence a corrida, B havia percorrido 1760 – 330 = 1430 metros e estava 460 – 330 = 130 metros a frente de C. Quando B completa os 1430 x 1760/1430 = 1760 metros da corrida ele está 130 x 1760/1430 = 160 metros a frente de C.



y) Os ponteiros de um relógio comum se superpõem várias vezes ao dia. Qual é o intervalo de tempo entre duas superposições consecutivas? Resolução: Como os ponteiros sempre se movem com velocidades, respectivamente, constantes, não pode haver um par preferencial de superposições consecutivas. Escolhamos então um par conveniente: a zero hora os ponteiros coincidem e coincidirão, a próxima vez, entre uma e duas horas. É óbvio que o ponteiro dos minutos se move a doze unidades por hora, enquanto o outro ponteiro, apenas a uma unidade. Donde o ponteiro dos minutos percorre onze unidades por hora a mais do que o outro ponteiro. Para que o relógio marque uma hora deve se passar 1 hora, para que os ponteiros se superponham mais 1/11 de hora. Resposta: 1 + 1/11 = 12/11 horas. z) Uma turma de ceifeiros deveria preparar duas roças, uma com o dobro da área da outra. Durante a primeira metade do primeiro dia de trabalho, todos labutaram na roça maior. Na segunda metade do primeiro dia de trabalho, metade do pessoal permaneceu atuando na roça maior e a outra metade passou a ceifar a roça menor. Restou apenas uma pequena seção da roça menor, que um único homem, no dia seguinte inteiro, tratou de preparar. Quantos eram os ceifeiros no total? Resolução: Em meio dia, 1 + 1/2 = 3/2 dos trabalhadores conseguem ceifar 1 roça maior. Em meio dia, 3/4 dos homens consegue ceifar 1 roça menor. Donde, em meio dia, 3/4 x 2/3 = 1/2 dos homens consegue ceifar 2/3 da roça menor, restando 1/3 da roça menor por ceifar. Donde, cada trabalhador é capaz de ceifar 1/6 da roça menor, em meio dia de trabalho. O que nos permite concluir que eram (4/3) / (1/6) = 8 ceifeiros.

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01 - Raciocínio Puro I