MATEMÁTICA

Editora Exato 5

DETERMINANTES 1. INTRODUÇÃO

Determinante é um número real que se associa

a uma matriz quadrada.

Determinante de uma matriz A de ordem 1.

det A = |a11| = a11

Determinante de uma matriz A de ordem 2.

211222112221

1211aaaa

aa

aaAdet ⋅−⋅==

2. MENOR COMPLEMENTAR DETERMI-

NANTE DA MATRIZ REDUZIDA

Chama-se menor complementar Dij relativo a

um elemento aij da matriz A, de ordem n, o determi-

nante da matriz de ordem 1n − , que se obtém a partir

de A, suprimindo sua linha de ordem i e sua coluna

de ordem j.

Exemplo:

Sendo

−

−

=

125

410

312

A , temos:

a) D11 = 912

41=

− b) D12 = 20

15

40−=

3. COFATOR

Chama-se cofator do elemento aij, e se indica

por Aij o seguinte número:

( ) ijji

ij D 1A ⋅−=+

Exemplo: O cofator do elemento a21 da matriz

=

306

453

112

A é: .3)31()1(30

11)1(A 312

21 −=⋅−=−=+

4. TEOREMA DE LAPLACE

O determinante de uma matriz quadrada de or-

dem n, n ≥ 2, é igual à soma dos produtos dos ele-

mentos de uma fila qualquer pelos respectivos

cofatores.

Exemplo:

a) tomando como referência a 1a linha, de uma

matriz de ordem 3, temos:

det A = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13

b) tomando como referência a 2a coluna, de uma

matriz de ordem 3, temos:

det A = a12 . A12 + a22 . A22 + a32 . A32

5. REGRA DE SARRUS

1o ) Repetem-se as duas primeiras colunas à di-

reita do determinante.

2o ) Multiplicam-se:

� os elementos da diagonal principal e os e-

lementos de cada paralela a essa diagonal,

conservando o sinal de cada produto obtido;

� os elementos da diagonal secundária e os

elementos de cada paralela a essa diagonal,

invertendo o sinal de cada produto obtido.

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

112332 aaa−

132231 aaa−

122133 aaa−

322113 aaa

312312 aaa

332211 aaa

. .

. .

. .

. .

. .

. .

3o) e somam-se os resultados obtidos no 2

o.

passo, ou seja:

det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 -

a31a22a13 -a32a23a11 - a33a21a12

6. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

� Matriz com fila nula: o determinante dessa

matriz é nulo.

� Matriz triangular: o determinante é igual ao

produto dos elementos da sua diagonal

principal.

� Multiplicação de uma fila por um número k

real: O determinante da nova matriz é igual

ao anterior, multiplicado pelo número k.

� Troca de filas paralelas: o determinante da

nova matriz é o anterior com sinal trocado.

� Filas paralelas iguais: o determinante é nu-

lo.

� Filas paralelas proporcionais: o determinan-

te é nulo.

� Matriz transposta: o determinante de uma

matriz A é igual ao determinante de sua

transposta At.

� Decomposição de uma fila: se cada elemen-

to de uma das filas de um determinante é

uma soma de duas parcelas, então esse de-

terminante é a soma de dois outros deter-

minantes, que se obtêm substituindo essa

fila pelas primeiras e pelas segundas parce-

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las, respectivamente, e conservando inalte-

radas as demais filas.

� Teorema de Cauchy: em toda matriz qua-

drada de ordem n ≥ 2, a soma dos produtos

dos elementos de uma fila pelos cofatores

dos correspondentes elementos de uma fila

paralela é zero.

� Teorema de Jacobi: se a uma das filas de

uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2 adi-

cionarmos um múltiplo de outra fila parale-

la, obteremos uma matriz B tal que det B =

det A.

� Teorema de Binet: se A e B são duas matri-

zes quadradas de ordem n, então det(A . B)

= det A . det B.

7. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA

( )t1 'AAdet

1A ⋅=

−

A’ é a matriz dos cofatores dos elementos de

A.

Existe A-1

se, e somente se, detA ≠ 0.

8. REGRA DE CHIÓ

Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2.

A regra de Chió consiste em:

1o ) Sendo a11 = 1, eliminar a primeira linha e

a primeira coluna de A;

2o ) de cada elemento que sobra em A, subtrair

o produto dos elementos que se situam nas extremi-

dades das perpendiculares à primeira linha e à pri-

meira coluna de A, traçadas a partir do elemento

considerado.

9. DETERMINANTE DE VANDERMONDE

Seja a matriz quadrada A de ordem n, n ≥ 2,

definida por:

=

−−−− 1nn

1n3

1n2

1n1

2n

232

221

n321

a...aaa

a...aaa

a...aaa

1...111

M

… ………

� O determinante desse tipo de matriz é igual

ao produto de todas as diferenças possíveis

entre os elementos da linha de expoente u-

nitário, com a condição de que, nas diferen-

ças, o minuendo tenha índice maior que o

subtraendo.

)aa)...(aa)(aa)(aa()Mdet( 1nn132312 −−−−−=

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 Calcule o determinante da matriz 3 5

A :-2 -1

=

Resolução:

A 3 5-2 -1( )

( ) ( )

[ ] [ ]

3. 1 2 .5

3 10

3 10 7

− − − =

− − − =

− + =

EXERCÍCIOS

1 (MACK-SP) Sendo A=(aij) uma matriz quadrada

de ordem 2 e aij=j-J2, o determinante da matriz A

é:

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

2 A solução da equação x -x

0-2 x

=

a) { }S 2, 0= − −

b) { }S 0,2=

c) S={ }2

d) S={ }0

e) { }S 2,2= −

3 Sendo

2 1 3

A 1 -1 2

-2 1 -1

=

, então det A é:

a) 8 d) 10

b) –8 e) –10

c) 0

4 (VUNESP) Considera as matrizes reais: 2x 0

A2 y z

=

+ e

4 zB

y x

=

−

Se a A=Bt (transposta de B), o determinante da

matriz

x y 1

M z 1 1

4 5 2

−

=

é igual a:

a) –1 d) 2

b) 0 e) 3

c) 1

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5 (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se di-

vidirmos a 1.ª linha por 6 e multiplicarmos a 3.ª

coluna por 4, o novo determinante valerá:

a) 8 d) 36

b) 18 e) 48

c) 24

6 (UFSC) Considera as matrizes

1 0

A 1 1

1 1

= − −

e

0 1 2B

3 4 5

=

e n=det(AB). Calcule 7n.

7 Calcule o valor do determinante

2 2 4 5

1 0 3 1

0 4 1 2

1 0 1 1−

a) 16 d) –32

b) –16 e) 64

c) 32

8 (UFRN) O determinante da matriz

1 7 281

A 0 2 200

0 0 3

=

é igual a:

a) 6

b) 72

c) 81

d) 161

e) 200

9 (UFSCar-SP) Sejam:

1 1 0 3

0 2 1 2A

0 0 1 0

0 0 0 3

− − =

e

1 0 0 0

1 2 0 0B

2 1 1 0

3 5 4 3

− − = −

Então, det (A.B) é igual a:

a) –36

b) 12

c) 6

d) 36

e) –6

10 (UFBA) Sendo

12 18 9

x 21 17 15

32 60 14

= e

12 18 9

y 63 51 45

32 60 14

= , então:

a) x=y

b) x=3y

c) x=27y

d) 3x=y

e) 27x=y

11 (MACK-SP) Se

1 2 1 0

1 1 2 1

1 1 2 1

1 3 3 x

−

− −=0, então o valor de

x é:

a) 0

b) 1

c) –1

d) –0,6

e) 0,6

12 (CEFET) Dada a matriz

x 0 0

0 0 x

x x x

=

e a função

real definida por f(x)=det(2A), podemos afirmar

que f(-1) é igual a:

a) –2

b) –1

c) 8

d) 2

e) –8

GABARITO

1 D

2 B

3 B

4 B

5 A

6 01

7 C

8 A

9 D

10 D

11 D

12 C