09. Fundamentos Da Eletrotécnica

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    FUNDAMENTOS DE ELETROTCNICA

    JOSELITO BOUDOUX DA SILVA / ABRIL DE 2013

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    Prefcio Esta apostila pretende introduzir os conceitos fundamentais associados aos sistemas eltricos em corrente alternada. Comeamos por distinguir as vrias formas de corrente eltrica, dentro das quais, corrente contnua e a corrente alternada senoidal. A corrente alternada a mais utilizadas,para alimentar as diversas cargas que utilizamos no nosso dia-a-dia. Enquanto que a corrente contnua muito utilizada nos sistemas automveis e na trao eltrica. Entre as duas, a corrente alternada , sem dvida a forma de corrente eltrica mais utilizada. No 2 captulo definem-se algumas caractersticas fundamentais das grandezas alternadas, nomeadamente a freqncia e o valor eficaz. O captulo 3 inteiramente dedicado anlise da relao entre a tenso e a corrente para diversos tipos de circuitos, envolvendo resistncias, capacitores e bobinas. neste captulo que se percebe porque que existe e porque que varia a defasagem entre a tenso e a corrente. Este fato leva ao aparecimento de vrios componentes de potncia - ativa, reativa e aparente, o que explicado no captulo 4. O captulo 5 d uma idia de como se podem reduzir os efeitos prejudiciais da potncia reativa, atravs da utilizao de capacitores que reduzem a defasagem entre a tenso e a corrente. A este processo chama-se correo do fator de potncia. Por ltimo, feita uma pequena abordagem dos sistemas trifsicos, nomeadamente o porqu da sua utilizao na rede eltrica nacional, bem como os conceitos de fase e neutro, sistemas equilibrados e desequilibrados, associao em estrela e em tringulo, tenses simples e compostas, etc.

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    ndice

    1. CORRENTE ALTERNADA? ............................................................................................................ 4 1.1. Formas da Corrente Eltrica ................................................................................................... 4 1.2. Corrente Alternada versus Corrente Contnua........................................................................ 5 2. CARACTERSTICAS DA CORRENTE ALTERNADA ...................................................................... 6 2.1. Valor Instantneo - u(t)............................................................................................................. 7 2.2. Perodo - T e Freqncia - f .................................................................................................... 7 2.3. Amplitude Mxima - Um......................................................................................................... ..8 2.4. Valor Eficaz - U ...................................................................................................................... ..8 3. RESISTNCIA, REATNCIA INDUTIVA, REATNCIA CAPACITIVA E IMPEDNCIA............. .9 3.1. Circuitos Resistivos........... ...................................................................................................... .9 3.2. Circuito indutivos (Bobinas)................................................................................................... 10 3.3. Impedncia Indutiva (Bobina + Resistncia)....................................................................... 11 3.4. Circuitos com Capacitncias (Capacitores)..... .................................................................... 15 3.5. Impedncia Capacitiva (Capacitor + Resistncia)............................................................... 17 3.6. Circuito RLC Srie (Resistncia + Indutncia + Capacitor) ............................................ 21 3.7. Circuito RLC Paralelo (Resistncia + Indutncia + Capacitor)........................................ 24 3.8. Comentrio Sobre Anlise de Circuitos em Corrente Alternada...................................... 26 4. POTNCIAS INSTANTNEA, ATIVA, REATIVA E APARENTE................................................. 28 4.1. Potncia Instantnea ............................................................................................................... 28 4.2. Potncia Ativa .......................................................................................................................... 29 4.3. Potncia Reativa....................................................................................................................... 29 4.4. Potncia Aparente.................................................................................................................... 30 5. CORREO DO FATOR DE POTNCIA...................................................................................... 32 5.1. Inconvenientes da Potncia/Energia Reativa...................................................................... 32 5.2. Correo do Fator de Potncia ............................................................................................. 34 6. SISTEMAS TRIFSICOS ................................................................................................................ 37 6.1. Sistemas Trifsicos versus Sistemas Monofsicos................................................................. 37 6.2. Produo - Alternador Trifsico............................................................................................ 37 6.3. Sistema Equilibrado................................................................................................................. 39 6.4. Condutor Neutro .................................................................................................................... 40 6.5. Tenses Simples e Compostas............................................................................................... 41 6.6. Ligao de Receptores Trifsicos - Tringulo e Estrela..................................................... 42 6.7. Clculo de Potncia dos Sistemas Trifsicos ...................................................................... 44 7.REFERNCIAS .................................................................................................................. 47

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    1. CORRENTE ALTERNADA? A primeira coisa que necessrio perceber, o que a corrente alternada e porque que to utilizada. 1.1. Formas da Corrente Eltrica A energia eltrica, sendo utilizada de mltiplas maneiras, pode apresentar-se nos circuitos em diferentes formas: Contnua O fluxo de eltrons d-se apenas num sentido Constante A tenso/corrente constante Obtm-se a partir de pilhas, baterias, dnamos, fontes de tenso, retificao de corrente alternada Varivel A tenso/corrente varia Obtm-se a partir de fontes de tenso Descontnua ou C.A O fluxo de eltrons d-se nos dois sentidos Peridica A tenso/corrente varia sempre da mesma maneira, repetindo-se ao longo do tempo Senoidal A variao da corrente sinusoidal Obtm-se a partir de alternadores, geradores de sinal O fluxo de eltrons d-se nos dois sentidos Peridica A tenso/corrente varia sempre da mesma maneira, repetindo-se ao longo do tempo Senoidal A variao da corrente senoidal Obtm-se a partir de alternadores, geradores de sinal So de salientar as duas formas de corrente eltrica mais utilizadas:

    Corrente contnua constante - conhecida por corrente contnua (CC, em Portugus, ou DC em Ingls)

    Corrente descontnua peridica sinusoidal - conhecida por corrente alternada (CA, em Portugus, ou AC em Ingls)

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    1.2. Corrente Alternada versus Corrente Contnua

    Desde o incio da histria da eletricidade que se iniciou a questo da opo entre corrente contnua (CC) e corrente alternada (CA). A partir de 1882, a CA foi adotada para o transporte e distribuio de energia eltrica em larga escala [1], pelas seguintes razes [2]:

    A elevao e o abaixamento de tenso so mais simples. Tal como j foi referido no ponto Noes Sobre Sistemas Eltricos de Energia, para reduzir as perdas energticas no

    transporte de energia eltrica necessrio elevar o valor da tenso. Posteriormente, a distribuio dessa energia eltrica aos consumidores, necessrio voltar a baixar essa tenso. Para isso utilizam-se transformadores elevadores e abaixadores de tenso, de construo bastante simples e com um bom rendimento. O processo de reduzir e aumentar a tenso em CC bastante complexo, embora comecem a aparecer, hoje em dia, sistemas eletrnicos de potncia capazes de executar essa tarefa (embora com limitaes de potncia).

    Os alternadores (geradores de CA) so mais simples e tm melhor rendimento que os dnamos (geradores de CC).

    Os motores de CA, particularmente os motores de induo so mais simples e tm melhor rendimento que os motores de CC.

    A CA pode transformar-se facilmente em CC por intermdio de sistemas retificadores.

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    2. CARACTERSTICAS DA CORRENTE ALTERNADA

    2.1. Valor Instantneo - u(t) O valor instantneo de uma grandeza alternada sinusoidal - u - pode representar-se matematicamente em funo do tempo - t:

    u(t) = Um.sin (t)

    em que representa a velocidade angular (velocidade de rotao do alternador que gera a energia elctrica alternada sinusoidal) e representa-se em radianos por segundo - rad/s. A relao entre a velocidade angular, a frequncia e o perodo a seguinte:

    = 2.f = 2/ T

    Se considerarmos um vector U, de comprimento Um, rodando velocidade , o valor instantneo u ser a projeco vertical desse vector:

    Efectivamente, podemos confirmar graficamente a relao matemtica:

    u = Um.sin (t) 2.2. Perodo - T e Frequncia - f Dado que a CA se repete periodicamente (ciclicamente), uma das caracterstica fundamentais o valor do intervalo de tempo entre repeties (ou ciclos), ou seja, o perodo - T, cuja unidade o segundo - s.

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    comum utilizar-se uma outra caracterstica da CA, diretamente relacionada com o perodo - a freqncia - f. Esta grandeza representa o nmero de ciclos que ocorre num segundo e a sua unidade o Hertz - Hz. A relao entre a freqncia e o perodo ento:

    f T 1

    Note-se que o perodo e a freqncia so caractersticas comuns a todos os sinais peridicos, isto . no se utilizam apenas em corrente alternada sinusoidal, mas tambm em sinais de outras formas (quadrada, triangular, digital, etc.). Exemplo: A freqncia de um sinal de rdio modulado em freqncia (FM) anda na ordem dos 100 MHz, descrevendo portanto 100 milhes de ciclos num segundo. 2.3. Amplitude Mxima - Um Tambm designada por valor mximo ou valor de pico, a amplitude mxima o valor instantneo mais elevado atingido pela grandeza (tenso, corrente, f.e.m., etc.). Para as grandeza tenso e corrente, este valor pode ser representado pelos smbolos Um e Im. Podem considerar-se amplitudes mximas positivas e negativas:

    Figura 3: Amplitude mxima de uma tenso alternada sinusoidal

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    2.4. Valor Eficaz - U O valor eficaz de uma grandeza alternada o valor da grandeza contnua que, para uma dada resistncia, produz, num dado tempo, o mesmo Efeito de Joule (calorfico) que a grandeza alternada considerada. No caso de grandezas alternadas sinusoidais, o valor eficaz 2 vezes menor que o valor mximo, independentemente da freqncia (Figura 4):

    Note-se que: A prova desta relao pode encontrar-se, por exemplo, em [3]. O valor eficaz no o mesmo que o valor mdio aritmtico. A relao de 2 entre o valor mximo e o valor eficaz s se verifica para CA. Para outras formas de onda, a relao diferente. O valor indicado pelos voltmetros e ampermetros, quando se efetuam medidas em CA, o valor eficaz. Quando referido um dado valor de uma tenso ou corrente alternada, este ser sempre um valor eficaz, salvo se outro for explicitamente mencionado.

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    Exemplo: Quando dizemos que a tenso da rede de 230 V, estamos a indicar o seu valor eficaz. O valor mximo da tenso ser:

    Um 230 / 0.7 330 V Refira-se ainda que, em determinadas situaes, o que interessa considerar o valor mximo da grandeza e no o valor eficaz. No dimensionamento de isolamento eltrico, por exemplo, deve considerar-se o valor mximo de tenso. O valor mximo admissvel por um multmetro, por exemplo, poder ser de 1100 V para CC e de 780 V para CA (porque um valor eficaz de 780 V corresponde a um valor de pico de 1100 V, aproximadamente).

    3. RESISTNCIA, REATNCIA INDUTIVA, REATNCIA CAPACITIVA E IMPEDNCIA A anlise de circuitos em corrente alternada (CA) implica o estudo do comportamento de trs elementos eltrico bsicos: resistncia, indutncia (bobina) e capacidade (condensador). 3.1. Circuitos com Resistncias Quando um circuito contm apenas resistncias puramente ohmicas, a corrente , em qualquer instante e devido Lei de Ohm, proporcional tenso. Se a tenso aplicada a uma resistncia alternada sinusoidal, a corrente ter tambm um formato sinusoidal, anulando-se nos mesmos instante da tenso e atingindo o mximo nos mesmos instantes da tenso (Figura5).

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    Diz-se ento que a tenso e a corrente nesse circuito esto em fase, isto , esto sincronizadas uma com a outra. Se tivermos:

    u = Um.sin (t) a corrente, em qualquer instante de tempo, ser:

    Se representarmos estas duas grandezas vetorialmente, teremos dois vetores colineares:

    3.2. Circuitos com Indutncias (Bobinas) Tal como vimos nas noes de eletromagnetismo, numa bobina, quando a corrente varia, auto-induzida uma f.e.m. (pela Lei de Lenz, contrria causa que lhe deu origem). Esta fora (contra) eletromotriz expressa-se pela seguinte forma:

    em que L o coeficiente de auto-induo da bobina. Conclui-se ento que, numa bobina, quando a corrente varia, a f.c.e.m. tambm varia. Se supusermos que a corrente instantnea se expressa pela seguinte equao:

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    a tenso aos terminais da bobina ser:

    Verificamos ento que existe um defasagem de 90 entre a corrente que percorre uma bobina e a tenso aos terminais dessa bobina:

    Em termos de representao temporal, teremos:

    Reparando na Figura 8, podemos observar que quando a corrente se anula (inclinao mxima), a tenso mxima (negativa ou negativa) e que quando a corrente atinge os seus mximos negativos ou positivos (inclinao nula), a tenso anula-se. razo entre o valor mximo da tenso (Um) e o valor mximo da corrente (Im) numa

    bobina, igual a .L, d-se o nome de reatncia indutiva (XL):

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    A reatncia indutiva mede-se em ohms e representa a maior ou menor oposio (resistncia)de uma bobina passagem da corrente alternada. Ao contrrio do que acontece numa resistncia, esta oposio varia com a freqncia do sinal. Quanto maior a freqncia, maior ser a reatncia indutiva, implicando uma maior oposio passagem da corrente. Para a freqncia nula, a reatncia indutiva ser tambm nula, correspondendo a bobina a um curto circuito. Para freqncia infinita, a reatncia indutiva ser tambm infinita, correspondendo a bobina a um circuito aberto.

    Exemplo: Uma f.e.m. de 10 V de valor eficaz e 50 Hz de freqncia aplicada a uma bobina de 0.1 H. Determine a reatncia indutiva da bobina e a corrente que a percorre. Resoluo: Para a reatncia indutiva,

    XL = .L = 2.f.L = 2x 50 x 0.1

    XL 31 A corrente ter o valor (eficaz) de

    I = E / XL = 10 / (2x 50 x 0.1) = 1 / (2) 0.16 A 3.3. Impedncia Indutiva (Bobina + Resistncia) Como nenhuma bobina tem resistncia nula (nem nenhuma resistncia tem indutncia nula),podemos representar uma bobina real como uma bobina ideal (indutncia pura - L) em srie com uma resistncia ideal (puramente resistiva - R):

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    Do que vem de trs, podemos dizer que:

    A tenso UR na resistncia R est em fase (0) com a corrente I

    A tenso UL na bobina L est em quadratura (90) com a corrente I Aplicando a Lei de Kirchoff das malhas ao circuito da Figura 9, fica:

    U = UR + UL

    Podemos representar esta relao em termos vetoriais da seguinte forma:

    Em termos temporais, temos a adio de duas senides desfasadas de 90:

    Obviamente que a amplitude de U, pelo Teorema de Pitgoras:

    Mas, sabemos que

    UR = R.I e UL = XL.I

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    Define-se ento impedncia Z como a diviso da tenso U pela corrente I:

    Como a corrente I tem fase nula, pode desenhar-se um tringulo de vetores para a impedncia Z, reatncia indutiva XL e resistncia R, similar ao tringulo de tenses:

    Obviamente que o mdulo de Z, ser:

    O ngulo o mesmo que o ngulo entre a tenso na resistncia (UR) e a tenso total (U), e pode calcular-se atravs de, por exemplo:

    = arcos (R / Z) ou = arctan (XL / R)

    Exemplo:

    Uma bobina de indutncia 0.1 H e resistncia 80 ligada a uma fonte de alimentao de 100 V, 600 Hz. Calcular a impedncia do circuito e a corrente fornecida pela fonte. Qual o defasagem entre a tenso e a corrente totais? Resoluo: A reatncia indutiva,

    XL = .L = 2.f.L = 2x 600 x 0.1

    XL 377

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    Se R = 80 , a impedncia ser de:

    Z = (802 + 3772) 385 A corrente calcula-se pela Lei de Ohm:

    I = U / Z = 100 / 385 0.26 A Para calcular o defasagem, sabemos que

    = arctan (XL / R) = arctan (377 / 80) 78 Nota: Se considerarmos a corrente como a origem das fases, poderemos escrever as expresses da corrente e da tenso em funo do tempo da seguinte maneira:

    i = Im.sin (wt) = 2 x I x sin (wt) = 0.26 x 2 sin (1200.t)

    u = Um.sin (wt + ) = 2 x U x sin (wt + ) = 100 x 2 sin (1200.t + 78) 3.4. Circuitos com Capacitncias (Capacitores) Tal como vimos na referncia ao campo eltrico, a carga num capacitor dada, em qualquer instante de tempo por:

    Q = C.U Dado que a corrente definida como a passagem de carga eltrica, por unidade de tempo:

    I = Q / t ento, a relao entre a tenso e a corrente, num condensador de capacidade C

    Tal como nas bobinas, conclui-se ento que, num condensador, quando a tenso varia, a corrente tambm varia. Se supusermos que a tenso instantnea se expressa pela seguinte equao:

    u = Um.sin (t)

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    a corrente que atravessa o condensador ser:

    Verificamos ento tambm existe um defasagem de 90 entre a corrente que percorre o capacitor e a tenso aos terminais desse capacitor, s que agora, quem vai frente a corrente:

    Em termos de representao temporal, teremos:

    Figura 14: Fase entre a tenso e corrente sinusoidais num condensador

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    A figura anterior permite observar que quando a tenso se anula (inclinao mxima), a corrente mxima (negativa ou negativa) e que quando a tenso atinge os seus mximos negativos ou positivos (inclinao nula), a corrente anula-se. razo entre o valor mximo da tenso (Um) e o valor mximo da corrente (Im) num

    condensador, igual a 1/(.L), d-se o nome de reatncia capacitiva (XC):

    XC = 1 / (.C) = 1 / (2.f.C) A reatncia capacitiva mede-se em ohms e representa a maior ou menor oposio (resistncia) de um condensador passagem da corrente alternada. Tal como o caso das indutncias, esta oposio varia com a freqncia do sinal. Quanto menor a freqncia, maior ser a reatncia capacitiva, implicando uma maior oposio passagem da corrente. Para a freqncia nula (CC), a reatncia capacitiva ser infinita, correspondendo o condensador a um circuito aberto. Para freqncia infinita, a reatncia capacitiva ser nula, comportando-se o condensador como um curto-circuito. Exemplo:

    Calcule a reatncia de um condensador de capacidade 1F, quando ligado num circuito freqncia de: a) 100 Hz b) 5000 Hz Que corrente fluiria no circuito em cada um dos casos, se a tenso fosse de 10 V? Resoluo: A reatncia capacitiva ser,

    a) XC = 1 / (.C) = 1 / 2.f.C = 1 / (2x 100 x 10-6) 1590

    b) XC = 1 / (.C) = 1 / 2.f.C = 1 / (2x 5000 x 10-6) 31.8 A corrente ter o valor (eficaz) de

    a) I = E / XC = 10 / 1590 6.3 mA

    b) I = E / XC = 10 / 31.8 314 mA

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    3.5. Impedncia Capacitiva (Capacitor + Resistncia) Importa agora verificar o comportamento de um circuito com um capacitor (C) em srie com uma resistncia (R):

    Podemos dizer que:

    A tenso UR na resistncia R est em fase (0) com a corrente I

    A tenso UC no condensador C est em quadratura (90) com a corrente I Aplicando a Lei de Kirchoff das malhas ao circuito da Figura 15, fica:

    U = UR + UC

    Podemos representar esta relao em termos vetoriais da seguinte forma:

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    Em termos temporais, temos a adio de duas senides desfasadas de 90:

    Tal como para o caso indutivo, pode calcular-se a amplitude de U pelo Teorema de Pitgoras:

    Mas, sabemos que

    UR = R.I e UC = XC.I

    A impedncia total do circuito Z ser:

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    Considerando a tenso U com fase nula, pode desenhar-se um tringulo de vetores para a impedncia Z, reatncia capacitiva XC e resistncia R, similar ao tringulo de tenses:

    O mdulo de Z ser portanto:

    O ngulo o mesmo que o ngulo entre a tenso na resistncia (UR) e a tenso total (U), e pode calcular-se atravs de, por exemplo:

    = arccos (R / Z) ou = arctan (XC / R) Exemplo:

    Liga-se uma resistncia de 40 em srie com um capacitor de 50 F, ambos alimentados por 110 V. Se a corrente no circuito for de 2 A, qual a freqncia da fonte de alimentao? Qual a tenso no capacitor e na resistncia? Resoluo: Se para uma tenso aplicada de 110 V, a corrente que flui no circuito de 2 A, a impedncia pode ser calculada:

    Z = 110 / 2 = 55 Agora, se

    Z = (R2 + XC 2) ento

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    XC = (Z2 - R 2) = (552 - 40 2) 37.75 Para calcular a freqncia, sabemos que

    XC = 1 / (2fC)

    f = 1 / (2CXC)

    f 106 / (2x 50 x 37.75) 84.3 Hz As tenses aos terminais dos elementos so UR = R.I = 2 x 40 = 80 V

    UC =XC.I 2 x 37.75 75.5 V Para confirmar estes resultados, podemos verificar se a soma de dois vetores perpendiculares de amplitudes 80 V e 75.5 V resulta num vetor com amplitude de 110 V, isto :

    U = (UR2 + UC2)

    U = (802 + 75.52) 110 V Confirma-se portanto o resultado. 3.6. Circuito RLC Srie (Resistncia + Indutncia + Capacitor) Consideremos um circuito com resistncia, reatncia indutiva e capacitiva (Figura 19). Na prtica, todos os circuitos tm estes elementos. Embora alguns dos respectivos valores possam ser muito pequenos em relao aos outros e portanto desprezveis. De fato, h sempre fenmenos indutivos e capacitivos inerentes a um circuito, ainda que possam ser pouco intensos (por exemplo, o problema dos parmetros distribudos em qualquer linha de transporte de energia eltrica).

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    A resistncia R poder incluir a resistncia de outros elementos, como por exemplo a da bobina. Pela Lei das Malhas sabemos que:

    U = UR + UC + UL Devemos distinguir trs situaes diferentes: 1 Situao

    UL > UC (XL > XC) Circuito Indutivo Em termos vetoriais:

    2 Situao

    UL < UC (XL < XC) Circuito Capacitivo Em termos vetoriais:

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    3 Situao

    UL = UC (XL = XC) Circuito em Ressonncia Em termos vetoriais:

    Como pode ser observado, as tenses no capacitncia e na indutncia anulam-se mutuamente. Esta situao (de ressonncia) deve ser evitada, pois podem produzir-se sobre tenses elevadas, perigosas para pessoas e instalaes (danificao de isolamentos nas mquinas eltricas, por exemplo). No entanto, existem casos em que a ressonncia utilizada. Para cada circuito RLC h uma freqncia da tenso aplicada que o leva ressonncia. A freqncia para a qual XL = XC denomina-se de freqncia de ressonncia - fr e pode ser calculada da seguinte maneira:

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    Exemplo:

    Considere um circuito RLC srie com R = 100 , L = 0.5 H e C = 10 F. a) Determine a freqncia de ressonncia do circuito b) Calcule UL e UC para uma f.e.m. aplicada de 200 V, freqncia de ressonncia Resoluo:

    a) fr = 1 / (2(LC)) 1 / 6.28 (0.5 x 10 x 10-6) 74.1 Hz b) Como as reatncias indutiva e capacitiva se anulam, freqncia de ressonncia, I = U / Z = U / R = 200 / 100 = 2 A Para calcular as tenses aos terminais dos elementos reativos,

    XC = XL = 2frL 2x 74.1 x 0.5 224.2 e ento

    UC = UL = XLI 224.2 x 2 = 448.4 V Como verificamos, a tenso aos terminais da indutncia e da capacitncia mais do dobro da f.e.m. aplicada ao circuito (200 V). Podem portanto surgir sobre tenses indesejveis ao bom funcionamento dos circuitos. 3.7. Circuito RLC Paralelo (Resistncia + Indutncia + Condensador) Consideremos um circuito com resistncia, reatncia indutiva e capacitiva ligados em paralelo (Figura 19). Na prtica, todos os circuitos tm estes elementos. Embora alguns dos respectivos valores possam ser muito pequenos em relao aos outros e portanto desprezveis. De fato, h sempre fenmenos indutivos e capacitivos inerentes a um circuito, ainda que possam ser pouco intensos (por exemplo, o problema dos parmetros distribudos em qualquer linha de transporte de energia eltrica).

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    Consideramos, neste caso, que todos os elementos so puros. Pela Lei dos Ns sabemos que: I = IR + IC + IL

    Comparando com o caso da srie RLC, agora devemos considerar um tringulo de correntes formado pelos vetores de cada uma das correntes:

    Em termos algbricos (e porque os elementos so puros), podemos escrever:

    I2 = IR2 + (IC - IL)2

    I = (IR2 + (IC - IL)2) E

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    O mdulo da impedncia total do circuito obtm-se por

    Tal como no circuito RLC srie, distinguem-se trs casos particulares:

    IL > IC (XL < XC) Circuito Indutivo

    IL < IC (XL > XC) Circuito Capacitivo

    IL = IC (XL = XC) Circuito em Ressonncia Analogamente ao que acontecia com as tenses no circuito RLC srie em ressonncia, aqui so as correntes na capacitncia e na indutncia que se anulam mutuamente. Enquanto que no circuito RLC srie poderiam aparecer sobre tenses, no circuito RLC paralelo so as correntes que podem ser demasiado elevadas. Dado que a ressonncia ocorre quando XL = XC, a freqncia de ressonncia - fr calculada da mesma maneira que no caso do circuito RLC srie:

    3.8. Comentrio Sobre Anlise de Circuitos em Corrente Alternada O estudo de circuitos eltricos de CA feito a partir das mesmas leis gerais estudadas para o caso de CC. Assim, num circuito de CA verifica-se que em qualquer instante a soma algbrica das diferenas de potencial ao longo de uma malha nula (Lei das Malhas de Kirchoff) e a soma algbrica das correntes num n tambm nula (Lei dos Ns de Kirchoff). No entanto, como no caso da CA as tenses e as correntes so variveis, a anlise de circuitos em CA tornar-se-ia extremamente complexa se trabalhssemos no domnio dos

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    tempos ou com a representao grfica de vetores (tal como temos estado a trabalhar). Para simplificar esta anlise existe a Transformada de Steinmetz, que permite o estudo do comportamento. dos circuitos de uma forma mais simplificada. A utilizao desta transformada torna-se fundamental quando analisamos circuitos com associaes mais complexas de elementos (resistncias, indutncias e condensadores). Tal como outras transformadas (Fourier, Laplace, Z, etc.), as grandezas so transformadas para o domnio de Steinmetz (complexo), onde so efetuadas todas as operaes necessrias para a resoluo do circuito (adies, multiplicaes, etc.), de um modo muito mais simples. Um caso muito simples da utilizao de uma transformada o da Rgua de Clculo, que era utilizada antigamente, antes de aparecerem as mquinas calculadoras, para executar operaes de multiplicao, diviso e exponenciao. Operaes de multiplicao, por exemplo, podem converter-se para o domnio logartmico transformando-se em operaes de soma, pois, por exemplo: A x B = alog (log A + log B). No parece ser relevante o estudo pormenorizado dos circuitos em CA no mbito de um Bacharelato em Engenharia Mecnica de Transportes. Por esta razo, fica aqui feito o comentrio para que quem eventualmente tiver necessidade de trabalhar com estes circuitos, o possa fazer, recorrendo Transformada de Steinmetz, que poder estudar em qualquer livro ou sebenta nesta rea (Anlise de Circuitos Eltricos em Corrente Alternada, Teoria de Eletricidade, Teoria dos Circuitos, etc.).

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    4. POTNCIAS INSTANTNEA, ATIVA, REATIVA E APARENTE 4.1. Potncia Instantnea Considere-se um circuito ao qual se aplicou uma tenso

    u = Um.sin (t) e que percorrido pela corrente

    i = Im.sin (t + ) A potncia dissipada em cada instante - potncia instantnea - igual ao produto de u por i. Vamos apresentar o grfico da potncia instantnea p para cada tipo de circuito. Assim, para cada instante, multiplicam-se os valores respectivos de u e i, entrando em linha de conta com o sinal algbrico correspondente ao sentido das grandezas. Supondo que os valores mximos da tenso e da corrente so: Um = 1.5 V e Im = 1 A podemos representar graficamente as grandezas corrente, tenso e potncia em funo do tempo:

    O fato de a potncia p ser sempre positiva significa que o circuito est a receber energia, estando neste caso a ser consumida na resistncia.

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    4.2. Potncia Ativa H instantes em que a potncia se anula, significando que a resistncia no recebe potncia e outros instantes em que a potncia atinge o mximo. Na prtica, apenas nos interessa o valor mdio dessa potncia (P), que corresponde no grfico da Figura 25 ao valor mdio da senide de p:

    No exemplo anterior,

    Esta potncia mdia a potncia ativa medida pelos Wattmetros (aparelhos de medida de potncia). A sua expresso geral :

    P = RI2 = UI.cos ()

    em que o ngulo entre a tenso e a corrente (no caso da resistncia, = 0 e cos 90 = 1). 4.3. Potncia Reativa Podemos tambm traar o grfico da potncia instantnea para uma indutncia pura, considerando os mesmos valores mximos para a tenso e corrente:

  • 30

    Note-se que a potncia instantnea p alternadamente positiva e negativa, com uma freqncia dupla da tenso e corrente existentes na indutncia. Se a potncia instantnea de um receptor positiva, ele consome energia da fonte de alimentao. Nas alturas em que essa potncia negativa, esse receptor fornece energia fonte de alimentao. No caso da indutncia, esta recebe e fornece energia, alternadamente, sendo a mdia nula, isto , a energia recebida igual energia devolvida, pelo que no dissipada. Se ligarmos um Wattmetro para medir a potncia activa, ele indica potncia nula - P = 0 W. Apesar de no ser consumida, esta energia circula no circuito traduzindo-se numa corrente eltrica. A potncia correspondente a esta energia oscilante designa-se por Potncia Reativa e representa-se por Q. Para uma indutncia pura, Q pode ser calculada pela seguinte expresso:

    Q = XLI2 No caso geral, para determinarmos a potncia aparente de um elemento ou circuito, utilizamos a seguinte expresso:

    Q = UI.sin ()

    em que U e I so a tenso e corrente nesse elemento ou circuito e o ngulo entre tenso e corrente. No caso da indutncia pura, esse ngulo de 90 (sin 90 = 1). A potncia reativa pode medir-se por intermdio de Varmetros e a sua unidade o Volt-Ampre Reativo - VAr. 4.4. Potncia Aparente potncia que aparentemente se consome num dado circuito CA, atendendo tenso e intensidade da corrente que o percorre chama-se Potncia Aparente. Esta potncia representa-se por S, mede-se em Volt-Ampre - VA e pode ser determinada pela expresso: S = UI

  • 31

    Em termos vetoriais, podemos representar o chamado tringulo de potncias (caso indutivo):

    Podemos ento relacionar o mdulo das trs potncias da seguinte maneira:

    Exemplo: Dois motores M1 e M2 esto ligados em paralelo sob uma tenso de 220 V, 50 Hz. Sabendo as correntes que estes absorvem e os respectivos fatores de potncia:

    I1 = 20 A, cos 1 = 0.8

    I2 = 30 A, cos 2 = 0.7 Calcule a corrente total e o fator de potncia total. Resoluo: Sabemos que

    P1 = U.I1.cos 1 = 220 x 20 x 0.8 = 3.52 KW

    P2 = U.I2.cos 2 = 220 x 30 x 0.7 = 4.62 KW

    Q1 = P1.tg 1 = 3.52 x 103 x 0.75 = 2.64 KVAr

    Q2 = P2.tg 2 = 4.62 x 103 x 1.02 = 4.71 KVAr

  • 32

    As potncias totais do conjunto dos dois motores ser: P = P1 + P2 = 3.52 + 4.62 = 8.14 KW Q = Q1 + Q2 = 2.64 + 4.71 = 7.35 KVAr Podemos determinar a potncia aparente S, atravs de

    S = (P2 + Q2) = (8.142 + 7.352) 10.97 KVA O mdulo da corrente total ser:

    I = S / U = 10970 / 220 48.86 A O fator de potncia do conjunto :

    cos = P / S = 8.14 / 10.97 = 0.74

    5. COREO DO FATOR DE POTNCIA 5.1. Inconvenientes da Potncia/Energia Reativa Embora s a potncia ativa seja consumida, tambm a potncia reativa representa um gasto para quem gera, transporta e distribui a energia, pois j vimos que as perdas (Efeito de Joule) dependem da intensidade de corrente que percorre os condutores. Desta forma, ao fornecedor de energia interessa que no existam potncias a oscilar na rede (reativas). Interessa portanto que a potncia ativa P seja o mais prxima possvel da potncia aparente S. Se dividirmos P por S, ficamos com:

    Exemplo: Considere duas fbricas que consomem a mesma potncia ativa P = 1 MW com idntica

    tenso U = 10 KV, mas com fatores de potncia diferentes: cos 1 = 1 e cos 2 = 0.4.

    Sendo P = UI cos , temos:

    I1 = P1 / (U cos 1) = 106 / (104 x 1) = 100 A

    I2 = P2 / (U cos 2) = 106 / (104 x 0.4) = 250 A Para a mesma potncia, a segunda instalao absorve uma corrente duas vezes e meia superior primeira. Este excesso de corrente traduz a circulao de energia reativa que no consumida, mas que se traduz numa corrente indesejvel que ocupa a rede.

  • 33

    A existncia de fatores de potncia inferiores a 1 nas instalaes industriais deve-se aos receptores indutivos, em sua maioria motores eltricos (mas tambm outros, tais como lmpadas fluorescentes), que so constitudos internamente por bobinas (indutncias). Normalmente no existem receptores capacitivos. Podem enunciar-se alguns inconvenientes da existncia de energia reativa nas instalaes eltricas:

    Para o produtor de energia Um alternador (gerador de CA utilizado nas centrais produtoras) principalmente caracterizado pela sua tenso U e pela mxima intensidade de corrente I (condicionada pela seco dos condutores das suas bobinas), isto , pela sua potncia aparente S = UI. Podemos desde j concluir que, estando o alternador a debitar a sua corrente mxima, a potncia ativa P que ele est a produzir depender

    do cos da instalao consumidora. Assim, se os utilizadores tiverem um baixo

    cos implica que, para uma certa potncia (ativa) a fornecer, o alternador ter de ser construdo para uma potncia superior sendo, portanto, de maior volume e preo. O transformador elevador de tenso e toda a aparelhagem necessria (corte, seccionamento, proteo) tm de ser dimensionados para maiores intensidades.

    Temos assim que o produtor de energia exigir que os utilizadores elevem o fator de potncia das suas instalaes ou que paguem uma quantia consoante a energia reativa que circula.

    Para o transportador e distribuidor de energia

    Se uma linha, dimensionada para uma certa potncia aparente (S = UI), vai alimentar instalaes com fatores de potncia baixos, implica que o investimento feito vai ser mal aproveitado, pois transportar energia ativa (P) aqum da sua capacidade e, conseqentemente, o consumidor receber uma quantia baixa mesmo com a linha a plena carga (I = Imax).

    De modo anlogo, a mesma linha poderia alimentar mais instalaes, desde que para as

    mesmas potncias ativas os respectivos fatores de potncia fossem superiores. Quanto mais elevada a intensidade de corrente que percorre uma linha, maiores so

    as perdas (quedas de tenso e Efeito de Joule), maior o tamanho dos dispositivos de corte, seccionamento e proteo, assim como os transformadores abaixadores de tenso das subestaes e dos postos de transformao.

  • 34

    Para o utilizador de energia

    Ao utilizador (consumidor) tambm interessa que o fator de potncia seja o mais prximo de 1 pois, caso contrrio, por exemplo numa fbrica, o transformador abaixador ter de ter uma potncia aparente (S) superior, sendo portanto mais caro. Para uma dada seco dos condutores de alimentao dos receptores, haver maiores quedas de tenso e perdas de energia (que so contadas e pagas). Pode-se, nessa situao aumentar a seco dos condutores, o que aumenta o custo da instalao. A aparelhagem de corte, seccionamento e proteo ter de suportar intensidades superiores. Se o fator de potncia subir acima de um determinado limite, o consumidor ser penalizado pelas entidades produtoras, transportadoras e distribuidoras, pagando o excesso de energia reativa. No caso portugus (EDP), se a energia reativa consumida exceder 3/5 da energia ativa. Cada KVAk a mais ser pago a uma taxa de 1/3 do custo do KWh. Temos portanto que

    5.2. Compensao do Fator de Potncia Conseguir um alto fator de potncia, o mais prximo possvel de 1, portanto uma vantagem para todos os intervenientes da Cadeia da Energia Eltrica. Em instalaes de alguma dimenso, tais como fbricas, conveniente compensar baixos fatores de potncia. Este melhoramento da instalao vulgarmente efetuado recorrendo utilizao de condensadores em paralelo com os receptores, de modo a que a corrente capacitiva que neles circula v anular (reduzir ao mximo) a corrente

    indutiva dos receptores:

  • 35

    Em termos vetoriais, fica:

    Atravs da ligao em paralelo da capacidade adequada, conseguiu anular-se a componente

    indutiva da corrente, existindo apenas a componente ativa (ngulo = 0, cos= 1). Na prtica no se tenta anular a componente indutiva dado que:

    A potncia aparente est sempre a variar (a potncia consumida pelos motores varia consoante a carga).

    No permitida a sobre-compensao de uma instalao (a instalao fica capacitiva) pois pode provocar o aparecimento de sobre tenses nas linhas. Para calcular a capacidade dos condensadores (podem ser vrios associados em paralelo), vamos recorrer a um exemplo. Exemplo: Queremos elevar de 0.7 para 0.8 o fator de potncia de uma instalao. Esta consome 50

  • 36

    KW a uma tenso de 220 V, 50 Hz. Calcular a capacidade a colocar em paralelo entrada da instalao. Resoluo: Considerando que:

    cos i e Qi representam, respectivamente, o fator de potncia e a potncia reativa da instalao na situao inicial, antes de estar compensada

    cos f e Qf representam, respectivamente, o fator de potncia e a potncia reativa da instalao na situao final, depois de compensada Sabemos que

    cos i = 0.7 tg i = 1.02

    cos f = 0.8 tg f = 0.75 As potncias reativas so ] Sem o capacitor,

    Qi = P.tg i = 50 x 103 x 1.02 = 51 KVAr Com o capacitor,

    Qf = P.tg f = 50 x 103 x 0.75 = 37.5 KVAr A potncia reativa que o condensador tem de ser capaz de trocar com a instalao igual diferena das potncias atrs calculadas: Sem o condensador, QC = Qi - Qf = (51 - 37.5) x 103 = 13.5 KVAr A capacidade do condensador que a uma tenso de 220 V, 50 Hz, produz uma potncia reativa de 13.5 KVAr pode ser calculada:

    QC = XC IC2 = XC.(U / XC)2 C = QC / (w.U2) Ento, para os valores do problema,

    C 13500 / (314 x 2202) 888 F A corrente absorvida pela instalao antes e depois da compensao :

  • 37

    Ii = P / (U cos i) = 50000 / (220 x 0.7) 325 A

    If = P / (U cos f) = 50000 / (220 x 0.8) 284 A

    6. SISTEMAS TRIFSICOS 6.1. Sistemas Trifsicos versus Sistemas Monofsicos Apresentam-se a seguir algumas vantagens dos sistemas trifsicos em relao aos monofsicos ([2]), a nvel da sua produo, transporte e utilizao:

    Considerando dois alternadores, um monofsico e outro trifsico, de igual volume e preo, o segundo tem uma potncia aproximadamente 50% superior ao primeiro .Tal deve-se ao facto de haver um maior aproveitamento do permetro do estator, isto , h mais bobinas que so sede de f.e.ms. induzidas ([2]).

    O somatrio da seco dos condutores necessrios para transportar uma determinada potncia menor que nos sistemas monofsicos, em igualdade de condies de potncia transportada, perdas e tenso nominal de transporte ([4]).

    Para transportar uma dada quantidade de energia bastam trs (ou quatro, com neutro) fios em trifsico, enquanto em monofsico seriam necessrios seis fios de igual seco (ou dois de seco tripla) ([2]).

    A capacidade dos sistemas trifsicos de produzir campos magnticos girantes, permite a utilizao dos motores assncronos trifsicos, aparelhos simples, robustos e econmicos que detm a quase totalidade do mercado em trao eltrica industrial ([2], [4]).

    A partir de um sistema trifsico podem obter-se trs sistemas monofsicos (tal como em nossas casas). 6.2. Produo - Alternador Trifsico Descrevemos anteriormente a produo de corrente alternada sinusoidal por meio de um alternador. Na realidade, a maior parte dos alternadores geram tenses trifsicas, isto , tem trs bobinas idnticas e independentes, dispostas simetricamente no estator, formando ngulos de 120 entre si [(2]):

  • 38

    Estas grandezas podem representar-se em termos matemticos como:

    e1 = Em.sin (t)

    e2 = Em.sin (t - 120)

    e3 = Em.sin (t - 240)

    Estas f.e.ms. (tenses) podem representar-se graficamente tal como na figura seguinte:

    Assim, este alternador designa-se por Alternador Trifsico, dado que produz trs tenses alternadas com fases diferentes. O alternador que apenas produz uma tenso designa-se por Alternador Monofsico. Tal como na corrente alternada monofsica, estas grandezas temporais podem representar-se vetorialmente:

  • 39

    6.3. Sistema Equilibrado Consideremos as trs bobinas do alternador atrs descrito, a alimentarem trs receptores idnticos (resistncias, neste caso), um em cada fase:

    Para alimentar independentemente trs receptores, portanto necessrio utilizar seis fios. Se os trs receptores tiverem a mesma impedncia, estes so percorridos por trs corrente I1, I2 e I3, com idntico valor eficaz mas defasadas de 120:

  • 40

    Diz-se ento que o sistema est equilibrado, pois a soma das trs correntes sempre nula (a soma de trs vetores iguais e defasados de 120 um vetor nulo.) 6.4. Condutor Neutro Se reunirmos os trs terminais x, y, z, num nico ponto N, chamado de ponto neutro e substituirmos os trs condutores de retorno (vindos dos receptores) por um nico condutor - condutor neutro (ou fio neutro), a corrente nesse condutor ser nula:

    Pode desta forma distribuir-se a energia eltrica por meio de quatro condutores, sendo trs designados por condutores de fase (ativos) ou simplesmente fases, em linguagem corrente. As trs fases simbolizam-se normalmente pelas letras R, S e T. O condutor de neutro est normalmente ligado terra, pelo que se encontra ao potencial zero:

  • 41

    6.5. Tenses Simples e Compostas Num sistema trifsico existem diferentes tenses:

    Tenses simples - Us Tenso entre cada condutor de fase e o neutro. Nas redes de distribuio de baixa tenso, aproximadamente 230 V.

    Tenses compostas - Uc Tenso entre dois condutores de fase. Nas redes de distribuio de baixa tenso, aproximadamente 400 V. Na figura seguinte, URN uma tenso simples e UST uma tenso composta:

    Temos portanto trs tenses simples e trs tenses compostas distintas entre si:

    Tenses simples: UR, US, UT

    Tenses compostas: Tenso entre a fase R e a fase S - URS = UR - US

  • 42

    Tenso entre a fase S e a fase T - UST = US - UT Tenso entre a fase T e a fase R - UTR = UT - UR Podemos tambm representar estas tenses em termos vetoriais:

    Demonstra-se que o comprimento dos vetores das tenses compostas 3 vezes superior ao das tenses simples, isto :

    Uc = 3.Us De fato, para as redes de distribuio de baixa tenso, temos que

    Us 230 V

    Uc 3.230 400 V Nas redes de distribuio, normalmente, indicam-se as tenses do modo: 230/400 V. Nas redes de transporte de alta e mdia tenses, apenas se indica o valor das tenses compostas. Assim, quando indicado que uma linha tem tenses de 220 kV ou 30 kV, so os valores eficazes de tenses compostas. 6.6. Ligao de Receptores Trifsicos - Tringulo e Estrela Os receptores trifsicos so formados por trs elementos eltricos (bobinas, resistncias, etc.) que podem ser ligados de duas maneiras:

    Em estrela - Y

    Em tringulo -

    Na ligao de receptores em estrela, j considerada atrs, podero ocorrer dois casos:

    Os receptores tm a mesma impedncia - sistema equilibrado

  • 43

    Os receptores tm impedncias diferentes - sistema desequilibrado Repare-se que num sistema em estrela equilibrado, o condutor neutro dispensvel (tal como foi referido atrs), isto , ele pode ser retirado sem alterao do funcionamento dos receptores, j que a sua corrente sempre nula. De fato, cada uma das linhas de fase faz de retorno em relao s outras duas. H motores trifsicos cujas bobinas esto ligadas em estrela. Assim, poder-se-ia (s idealmente, como vamos ver a seguir) alimentar o motor apenas com as trs fases, dispensando-se o neutro. No caso da estrela desequilibrada, o somatrio das correntes nas fases no nulo, sendo indispensvel a ligao no condutor de neutro. Mesmo nos casos em que a estrela normalmente equilibrada, no se deve cortar o neutro, dado que se faltar uma fase (por corte de um dispositivo de proteo, por exemplo) estabelece-se um desequilbrio de tenses. Um exemplo de um receptor trifsico desequilibrado e ligado em estrela o fogo eltrico. Este tm diversas resistncias para o forno e para os discos. Estas resistncias esto distribudas pelas trs fases, mas no tm todas o mesmo valor de resistncia. Alm disso, no esto sempre todas ligadas simultaneamente, pelo que necessrio levar o condutor de neutro ao aparelho. Assim, alm dos trs condutores de fase, temos ainda o condutor de neutro e o condutor de terra. Saliente-se ainda que se pretende equilibrar ao mximo os sistemas trifsicos, de modo a que a corrente no condutor de neutro seja o menor possvel. Uma menor corrente no neutro tem a vantagem de permitir a utilizao de um condutor de menor seco, para as mesmas perdas energticas. por isso que o condutor de neutro normalmente mais fino que os condutores de fase (caso das linhas de transporte de energia eltrica com neutro). Na ligao de receptores em tringulo, os receptores esto ligados entre as fases, tal como mostra a figura seguinte, para o caso de resistncias:

  • 44

    Tal como na ligao de receptores em estrela, na ligao em tringulo podero ocorrer dois casos:

    Os receptores tm a mesma impedncia - sistema equilibrado

    Os receptores tm a impedncias diferentes - sistema desequilibrado A corrente num receptor (de fase) pode ser calculada dividindo a tenso compostas aos seus terminais pela sua impedncia. As correntes de linha podem ser determinadas de duas maneiras, consoante o sistema est equilibrado ou no:

    Sistema equilibrado - as correntes nas linhas (R, S, T) so 3 vezes superiores s correntes nos receptores (correntes de fase).

    Sistema desequilibrado - as correntes nas linhas so determinadas em termos vetoriais, atravs da aplicao da Lei dos Ns de Kirchoff aos trs ns. Como concluso pode dizer-se que nas montagens em estrela com neutro e em tringulo os receptores (monofsicos) funcionam independentemente uns dos outros. 6.7. Clculo de Potncia dos Sistemas Trifsicos Quer a carga seja equilibrada ou no, podem calcular-se (medir-se) as potncias consumidas em cada fase e somar-se. Assim, somam-se as potncias ativas aritmeticamente: P = PR + PS + PT As potncias reativas tm de se somar algebricamente (tendo em conta se so indutivas ou capacitivas) Q = QR + QS + QT No caso de sistemas equilibrados (tringulo ou estrela), pode utilizar-se a frmula que seguidamente se apresenta:

    P = 3.Uc.Il.cos

    Q = 3.Uc.Il.sin

    S = 3.Uc.Il

    em que:

    Uc a tenso composta (entre duas fases)

    Il a corrente nas linhas Seguem-se alguns exemplos da medio de potncia em sistemas trifsicos. Exemplo 1:

  • 45

    Os elementos aquecedores de um forno, ligados em tringulo, absorvem uma corrente nas linhas de 20 A. Determine: a) A potncia do forno sabendo que a tenso na rede 230/400 V b) A intensidade que percorre cada elemento Resoluo:

    a) P = 3.Uc.Il.cos = 3 x 400 x 20 x 1 13800 W = 13.8 kW

    b) If = Il / 3 = 20 / 3 11.5 A Exemplo 2: Um motor trifsico tem as seguintes caractersticas nominais indicadas na chapa: Potncia til - 15 Cv Tenso - 400 V Fator de potncia - 0.75 Intensidade na linha - 24 A Determine o rendimento do motor. Resoluo: necessrio determinar a potncia absorvida pelo motor

    Pa = 3.Uc.Il.cos = 3 x 400 x 24 x 0.75 12420 W 12.4 kW O rendimento ser

    = Pu / Pa = 15 x 735 / 12420 0,8877 89 % Exemplo 3:

    Trs resistncias de 23 esto ligadas numa rede trifsica de 230/400 V. Calcule a potncia absorvida quando esto ligadas em estrela e em tringulo.

  • 46

    Resoluo: A potncia pode ser dada, genericamente por:

    P = 3.Uc.Il.cos Em estrela fica:

    PY = 3.Uc.Il.cos = 3 x 230 x Il x 1 e Il = 230 / 23 = 10 A Ento, PY = 3 x 230 x 10 = 6900 W Em tringulo temos:

    P= 3.Uc.Il.cos = 3 x 230 x Il x 1 e Il = 3. If = 3 x (3 x 230 / 23) = 30 A P= 3 x 230 x Il = 20700 W (= 6900 x 3) Concluindo, podemos dizer que a potncia absorvida na ligao em tringulo 3 vezes maior que na ligao em estrela.

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    REFERNCIAS [1] Seleces do Readers Digest, Histria dos Grandes Inventos, Seleces do Readers Digest

    S.A.R.L., Portugal, 1983.

    [2] Jos Rodrigues, Electrotecnia - Corrente Alternada, Didctica Editora, Portugal, 1984. [3] Carlos Ferreira, Teoria da Corrente Alternada, Instituto Superior de Engenharia do Porto,

    Portugal. [4] Vladimiro Miranda, Teoria da Electricidade II, Departamento de Engenharia Electrotcnica e de Computadores, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Portugal, 1987.