1 Fenômenos de Transporte INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO

1

Fenômenos de Transporte

INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO

2


1. Velocidade do fluido

Em primeiro lugar entre as propriedades de um escoamento, está velocidade que variando numa região do espaço define um campo de velocidades. De maneira geral, determinar o campo de velocidades de um escoamento significa resolver o problema de escoamento.Na descrição da velocidade de um fluido pode-se pensar em uma pequena massa de fluido que ocupa um pequeno volume V que se move com o escoamento.

Assim é possível descrever o movimento das partículas focalizado o movimento das partículas individuais e estudar como a sua posição varia com o tempo.

3

tzyxatzyxvtzyxs ,,,;,,,;,,, 000000000

1.Velocidade do fluido

tzyxinicialponto ,,, 000

Descrição Lagrangeana (Joseph L. langrange – 1736 -1813):


É possível também descrever o movimento das partículas acompanhando como varia a velocidade em uma determinada região do espaço.

tzyxv ,,, zyxv ,,ou Se a velocidade não depende do tempo

A região onde varia a velocidade varia é o campo de velocidades

Campos de escoamento: região do espaço de interesse do escoamento e na qual uma determinada propriedade está sendo considerada.

4

Em alguns livros, por tradição, usa-se de u, v e w em substituição a vx, vy e vz, se dá por motivos históricos.

kji tzyxvtzyxvtzyxvtzyxv zyx ,,,,,,,,,,,,

Descrição Euleriana – Ref. Euleriano ( Leonhard Euler 1707 –1783)



5


kjiv wvu

kji2v zxtx

j80i60v ,,

Exercício 1

a) u?;v?;w=? V(0,0); v(1,-2);

j2iv 2yyx .b) u?;v?;w=? V(0,0); v(1,-2);

c) u?;v?;w=? V(0,0,0,t=0s); v(1,-2,1,t=2s);

kjiv tzyxwtzyxvtzyxutzyx ,,,,,,,,,,,,


d)

jiv y8,05,18,05,0

6

2.Tipos de escoamento em função da velocidadeUnidimensional


Bidimensional

Tridimensional

7

2.2. Regime transiente (não estacionário ).

2.1. Regime permanente ( estado estacionário)

irvtzyxv x,,,

itrutzyxv ,,,,


8

3.Velocidade do fluido. Linha de Corrente

kjiv wvu

kjiv tzyxwtzyxvtzyxutzyx ,,,,,,,,,,,,


Linhas de corrente.É uma linha imaginaria que define o lugar geométrico da tangentes às velocidades de escoamento.

0SV dx

Produto vetorial (VxdS)= 0

9

3. Linha de corrente.

Exercício 2. O campo de velocidade para um escoamento é dado pela expressão: v = 2xi-ytj (m/s), com x e y dados em metros e t segundos. Determinar a linha de corrente que passa pelo ponto( 2,-1) quando t = 4s.

0)4(2

0

042 kydxxdy

dydx

yx

kji 042 kydxxdy

042 ydxxdy ydxxdy 42 x

dx

y

dy2

Cxyx

dx

y

dylnln2ln2 2lnln Cxy

2x

Cy 4

21

2 C

C2

4

xy


10

2

4

xy

u

v

v = 2xi-4yj t =4 s

uv

OBS 1. Linha de corrente

Vz

dz

V

dy

V

dx

yx

3. Linha de corrente.

11

4. Velocidade, velocidade média e vazão de um fluido.

Quanto sai de fluido por um tubo de secção A?

smt

VQ3

Depende da velocidade de escoamento e da área da seção transversal do tubo

dAvQdAvdQ **

Velocidade média numa secção

AA

dAvA

vdAvAvQ ***1

Vazão mássica de uma secção

Vazão numa secção

AvQm ...

12

Exercício 3. Sabendo-se que o perfil de velocidade de água escoando num tubo , calcular a velocidade média do escoamento.

2

1R

rvv max

rdrR

rv

AdAv

Av

AA

2111

2

max.

R

dr

R

r

R

rv

R

RdAv

Rv

AA

211

2

2

2

2 max.

AA

xdxxvxdxxv

v 22 1212

maxmax

4

12

2

1222

1

0

31

0

maxmaxmaxmax vvxdxvxdvv

22

1 maxmaxmax

vvvv


Exercício 4. Água flui por com velocidade uniforme de 3 m/s por dentro de um bocal que tem diâmetro de 10 cm. Calcular a vazão volumétrica e mássica na saída desse bocal .


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5. Escoamento laminar e turbulento

laminar

turbulento

mantém-se linhas de corrente;não existe passagem de partíclas de uma camada para outra.

O movimento das partículas ocorre de forma irregular e aleatório, ocorre mistura de partículas no fluido.


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No. de Reynolds ( Osborne Reynolds – 1842-1912)

Placa: V e lTubos: Vmédia> e D

Esferas: Vb e D

Re crítico = Rec

Laminar Re < Rec Turbulento Re > Rec

Tubos rugosos Rec= 2100

Placa plana rugosos Rec = 500 000

Esferas rugosos Rec= 0,1


LVLV ...

Re


16

Exercício 5

Água ; duto D = 1 in . Qual vmax para haver regime laminar?


Água ; duto D = 1 in . Se v mdia for 2,5 m/s qual o regime de escoamento?


17

6. Aceleração convectiva, local e material

dt

va

d

kjiv wvu kjiv ),,,(),,,(),,,(),,,( tzyxwtzyxvtzyxutzyxv

dtt

dzz

dyy

dxx

zyxd

vvvv

v ,,

dt

dt

tdt

dz

zdt

dy

ydt

dx

xdt

zyxda

vvvvv ,,

t

wz

vy

uxdt

D

dt

zyxda

vvvvvv ,,

tw

zv

yu

xdt

D

Derivada substancial ou material (derivada de uma prop. do sistema)

Aceleração convectiva

Aceleração local


18

t

wvuw

z

wvuv

y

wvuu

x

wvu

dt

zyxd

kjikjikjikjiva

....,,

t

wvuw

z

wvuv

y

wvuu

x

wvu

kjikjikjikjia

....

kjikkkjjjiiit

w

t

v

t

uw

z

wv

y

wu

x

ww

z

wv

y

vu

x

vw

z

uv

y

uu

x

ua

iiiiit

uw

z

uv

y

uu

x

uax

t

uw

z

uv

y

uu

x

uax

jjjjjt

vw

z

wv

y

vu

x

vay

t

vw

z

wv

y

vu

x

vay

kkkkkt

ww

z

wv

y

wu

x

waz

t

ww

z

wv

y

wu

x

waz


19

z

u

y

u

xz

u

y

u

x

kji,, zw

yv

xu

z

u

y

u

x

,,.v

z

wy

vx

uz

u

y

u

x

vvv

vv ,,.

t

wz

vy

uxdt

zyxd

vvvvv

a,,

tdt

zyxd

v

vvv

a .,,

tDt

D

tDt

D

.. vv

vvv

a


20

Exercício 6:

kji2v zxtx

j80i60v ,, a)

j2iv 2yyx .

b)

c)

a(0,0,0); a(1,-2,1)

a(0,0,0); a(1,-2,1)

a(0,0,0); a(1,-2,1)

a(0,0,0,t=0s); a(1,-2,1,t=2s) d)

i10v y,


6. Aceleração

21

t

uw

z

uv

y

uu

x

uax

iiii

2666617

020

726478i

s

mu

x

uu

x

uax

,,

,,

em C


6. Aceleração

Exercício 7:

22

7. Tipos de movimento de um fluido

Translação

Vetor Taxa de translação

kjiv wvu

y

u

x

v

y

u

dy

dy

y

uu

dy

y

uu

dy

vvx

v

dx

dx

x

vv

dx

x

vv

dx

vv

z

CD

CDCD

AB

ABAB

CDABz

2

1

2.

2.

2.

2.

2Rotação

24

x

w

z

uz

u

dz

dz

z

uu

dz

z

uu

dx

vvx

w

dx

dx

x

ww

dx

x

ww

dx

vv

y

EF

EFEF

AB

ABAB

EFABy

2

1

2.

2.

2.

2.

2

Rotação


x

w

z

uz

u

dz

dz

z

uu

dz

z

uu

dx

vvx

w

dx

dx

x

ww

dx

x

ww

dx

vv

y

EF

EFEF

AB

ABAB

EFABx

2

1

2.

2.

2.

2.

2Rotação


Vetor Taxa de rotação

Vetor vorticidade

Vetor vorticidade escoamento bidimensional

kjiωy

u

x

v

x

w

z

u

z

v

y

w

2

1

kji

y

u

x

v

x

w

z

u

z

v

y

w

kζ

y

u

x

v

27

Deformação linear

x

wx

vx

u

dx

dxxu

udx

xu

u

dx

vv

zz

yy

xx

ABxx

2.

2.

Taxa de deformação linear

Vetor taxa de deformação volumétrica

z

w

y

v

x

uzzyyxx

ε


28

Deformação por cisalhamento


y

u

x

v

dt

dy

dtdyyu

dx

dtdxxv

xy

CDABxy

2

1

....

2

1

2

1


29


z

u

x

w

dt

dz

dtdzzu

dx

dtdxxw

xz

CDABxy

2

1

....

2

1



30


z

v

y

w

dt

dz

dtdzzv

dy

dtdyyw

zy

CDABxy

2

1

....

2

1



31

Tensor das taxas de deformação


y

x

z

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx


z

w

z

v

y

w

z

u

x

w

y

w

z

v

y

v

y

u

x

v

x

w

z

u

x

v

y

u

x

u

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Tensor das tensões

zzyzxy

zyyyxy

zxyxxx

33

Força de pressão em um elemento fluido

Pressão não causa nenhuma força líquida sobre um elemento fluido a menos que varie espacialmente.


8. Equação do movimento para fluidos.

x

34

Sendo f a força líquida por elemento de volume:

tzyxpp ,,,

zyx

yzpyzp xaxax

...

y

p

y

p

x

p

dV

d pressão kjiF

ppressão f

0 yzpyzpF xaxaxX ...

O gradiente de pressão representa uma força de superfície que atua sobre os lados do elemento.

x

p

x

pp

dV

Fxaxax

x

x

pressão

0lim


Força de pressão em um elemento fluido


35

Pode haver uma força de campo agindo sobre toda a massa do elemento. A força da gravidade não pode ser desconsiderada.

gdVmgd grav F

γgF

f dV

d gravgrav



36

Forças viscosas. Em geral, deve haver uma força de superfície devido ao gradiente de tensões viscosas. Pode ser demonstrado que

dxdyddxdzddzdyd

dxdyddxdzddzdyd

dxdyddxdzddzdydd

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxxVISC

τττ

τττ

τττF

..

..

..

.

..

dz

d

dy

d

dx

d

dz

ddxdz

dy

ddzdy

dx

d

dz

d

dy

d

dx

d

dV

dF

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxxFVVISC

τττ

τττ

τττf



37

O vetor resultante das forças de pressão, da gravidade e das forças viscosas causa um movimento com aceleração a.

Reescrevendo esta equação, tem-se:

Da segunda lei de Newton:

gfa pfff VISCgravpressão

agp



38

A. Fluido em repouso ou com velocidade constante (condição hidrostática) v=cte a=0.

Termos aceleração e viscosos são nulos.

A pressão depende apenas da gravidade e da massa específica.

B. Translação de corpo rígido( não há movimento relativo).

Termos viscosos nulos.

A pressão depende apenas da aceleração, da aceleração da gravidade, e da massa específica.

agpExaminando esta equação, pode-se destacar alguns casos especiais:

gp

ag p



39

C. Escoamento não viscoso. Termos viscosos nulos.

A pressão depende apenas da aceleração, da aceleração da gravidade, e da massa específica.

agp0

ag p


Escoamento viscoso e não viscoso

Não-viscoso: quando em relação a outros fatores , os efeitos dissipativos não são importantes.


40

Foi enunciada em 1738 por Daniel Bernoulli e deduzida em 1755 por Euler.

Para um escoamento permanente, não-viscoso, incompressível ao longo de uma linha de corrente, tem-se:

8. A equação de Bernoulli

teconszg

V

g

pz

g

V

g

ptan 2

222

1

211

22

41

Balanço de forças atuando no elemento de fluido ap longo de uma linha de corrente

a

cosgs

p

s

h

cos s

vt

vsDt

sDV

vvv

a

s

VV

s

hg

s

p

0

2

2

ghV

ps

cteghV

p 2

2

ctehg

V

g

p

2

2

agag pp


42


43


44

A lista completa de hipóteses que conduz à obtenção da equação de Bernoulli a partir da equação da energia é:• regime permanente; • escoamento incompressível;• escoamento sem atrito; • escoamento ao longo de uma linha de corrente; • ausência de trabalho de eixo entre 1 e 2; • ausência de troca de calor entre 1 e 2.

Esta é a lista completa de hipóteses a ser considerada na aplicação da equação de Bernoulli. Logo: cuidado com a aplicação da equação de Bernoulli !!!


45

Exemplos de regiões de validade e não validade da equação de Bernoulli.


46

Exemplos de regiões de validade e não validade da equação de Bernoulli.


47

zg

p

Carga piezométrica

Carga total zg

V

g

p

2

2

p = pressão estática

P

VV

pp

2

2

2

12

zg

ppp estT

8. A equação de Bernoulli. Tubo de Pitot

48

Linhas piezométrica e de energia para o escoamento sem atrito em um duto


49

p1

p2

Exercício 8. Em uma tempestade a velocidade do vento atinge 65 mph. Calcular a forca do vento agindo sobre uma janela de 3ft x6ft de frente para a tormenta. A janela está localizada num a ponto em que a velocidade do vento não é afetada pelo solo, admitir = 0,0024 lug/ft3.


50

Exercício 9. A carga de pressão estática em uma tubulação de ar é medida e indica 16 mm H2O. Um tubo de pitot indica na mesma posição 24 mm H2O. Calcular a velocidade ar a 20 0C.Hg.


51

Perda de carga

Trans

cilindroSk

APPF

VAfF

*

** _

21

2

2

2

2

12

VAfAPP cilindroSTrans *** _

2

2

21

V

A

AfPP

Trans

cilindroS ** _

2

42

2

2

2

2

2

2 2222

221

V

D

Lf

VDL

fV

R

Lf

V

R

RLfPP

*..******

*

2

122V

PP

L

DfMoody

* fM = fator de atrito de Moody

(adimensinal)

g

V

D

Lf

PPhL 2

42

12 ***

4*fF= fM

52

Perda de carga Perda de carga-fator de atrito (Diagrama de Moody)

53

Referências Bibliográficas:

[01] WHITE, FRANK M.; Mecânica dos Fluidos - 4a Edição; McGraw-Hill Interamericana do Brasil Ltda.

[02] - POTTER, M.C. e WIGGERT, D. C. Mecânica dos fluidos.

Thomson Pioneira. 2004.

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