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Disciplina ofertada na Faculdade Multivix em Vitória-ES.
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Mecânica dos Fluidos
2
Prof. João Felipe Bassane
Engenharias
1
Introdução à análise diferencial dos movimentos dos fluidos
2
Capítulo 3 – Introdução à análise diferencial dos
movimentos dos fluidos
As equações integrais são úteis quando estamos interessados no comportamento
genérico de um campo de escoamento e nos seus efeitos sobre um ou mais
dispositivos. Contudo, a abordagem integral não nos permite obter
conhecimentos detalhados ponto por ponto do campo de escoamento. Para obter
o conhecimento detalhado, devemos aplicar as equações de movimento dos
fluidos na forma diferencial.
Como o objetivo é chegar á equações diferenciais, a análise será em termos de
sistemas e volumes de controle infinitesimais.
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3.1) Conservação da massa
Sistema de coordenadas retangulares
Volume de controle: Cubo infinitesimal com lados de comprimento dx, dy, dz.
Massa específica no centro do cubo: 𝜌
Velocidade no centro do cubo: 𝑉 = 𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 + 𝑤𝑘
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3.1) Conservação da massa
Para avaliar as propriedades em cada uma das seis faces da superfície de
controle usa-se uma expansão por série de Taylor em torno do ponto O.
𝜌 𝑥+
𝑑𝑥2
= 𝜌 +𝜕𝜌
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2+
𝜕 𝜌2
𝜕𝑥2
1
2!
𝑑𝑥2
2+ ⋯
Desprezando os termos de ordem superior, podemos escrever:
𝜌 𝑥+
𝑑𝑥2
= 𝜌 +𝜕𝜌
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2 𝑢
𝑥+𝑑𝑥2
= 𝑢 +𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
𝜌 𝑥−
𝑑𝑥2
= 𝜌 +𝜕𝜌
𝜕𝑥
−𝑑𝑥
2= 𝜌 −
𝜕𝜌
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2 𝑢
𝑥−𝑑𝑥2
= 𝑢 +𝜕𝑢
𝜕𝑥
−𝑑𝑥
2= 𝑢 −
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
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3.1) Conservação da massa
Enunciado da conservação de massa:
A massa dentro do volume de controle em qualquer instante é o produto da
massa específica pelo volume:
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒
+𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒= 0
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒
=𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
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3.1) Conservação da massa
Tabela: Fluxo de massa através da superfície de controle de um VC diferencial
retangular
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3.1) Conservação da massa
Tabela: Fluxo de massa através da superfície de controle de um VC diferencial
retangular
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3.1) Conservação da massa
Em coordenadas retangulares a equação diferencial para a conservação de
massa é, então:
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥+
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦+
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧+
𝜕𝜌
𝜕𝑡= 0
Forma diferencial da
equação da continuidade
Uma vez que o operador 𝛻, em coordenadas retangulares é dado por:
𝛻 =𝜕
𝜕𝑥𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧𝑘
Então a equação da continuidade pode ser
escrita como: 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 +𝜕𝜌
𝜕𝑡= 0
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3.1) Conservação da massa
• Para escoamento permanente:
𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0
• Para um fluido incompressível:
𝛻 ∙ 𝑉 = 0
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3.1) Conservação da massa
Sistema de coordenadas cilíndricas
Volume de controle: 𝑑𝑟, 𝑑𝜃 𝑒 𝑑𝑧
Massa específica no centro do VC: 𝜌
Velocidade no centro do VC: 𝑉 = 𝑉𝑟𝑒 𝑟 + 𝑉𝜃𝑒 𝜃 + 𝑉𝑧𝑘
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3.1) Conservação da massa
Tabela: Fluxo de massa através da superfície de controle de um VC diferencial
cilíndrico.
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3.1) Conservação da massa
Tabela: Fluxo de massa através da superfície de controle de um VC diferencial
cilíndrico.
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3.1) Conservação da massa
A massa dentro do volume de controle em qualquer instante é o produto da
massa específica pelo volume:
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒
=𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑧
A equação diferencial para a conservação de massa em coordenadas cilíndricas
é dada por:
1
𝑟
𝜕(𝑟𝜌𝑉𝑟
𝜕𝑟+
1
𝑟
𝜕(𝜌𝑉𝜃
𝜕𝜃+
𝜕(𝜌𝑉𝑧
𝜕𝑧+
𝜕𝜌
𝜕𝑡= 0
Forma diferencial da
equação da continuidade
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• Para escoamento permanente:
𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0
• Para um fluido incompressível:
𝛻 ∙ 𝑉 = 0
Uma vez que o operador 𝛻, em coordenadas cilíndricas é dado por:
𝛻 =𝜕
𝜕𝑟𝑒 𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃𝑒 𝜃 +
𝜕
𝜕𝑧𝑘
Então a equação da continuidade pode ser
escrita como: 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 +𝜕𝜌
𝜕𝑡= 0
3.1) Conservação da massa
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3.2) Equação da quantidade de movimento
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3.2) Equação da quantidade de movimento
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3.2) Equação da quantidade de movimento
Equação diferencial da quantidade de movimento:
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3.2) Equação da quantidade de movimento
Fluidos Newtonianos: Equação de Navier Stokes para escoamento
incompressível com viscosidade constante:
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3.2) Equação da quantidade de movimento
Para escoamento sem atrito (Equação de Euler):
𝜌𝐷𝑉
𝐷𝑡= 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝
