Mecânica dos Fluidos - Rodolfo Rodriguesrodolfo.chengineer.com/data/uploads/ba200_aula03.pdf · Escoamento de Fluidos Balanços Global e Diferencial Classiﬁcação dos Escoamentos

Escoamento de Fluidos Balanços Global e Diferencial

Mecânica dos FluidosCinemática dos Fluidos: Escoamento e Balanços

Prof. Rodolfo RodriguesUniversidade Federal do Pampa

BA000200 – Fenômenos de TransporteCampus Bagé

27 e 28 de março de 2017

Rodolfo Rodrigues Fenômenos de Transporte

Cinemática dos Fluidos, Parte 1 1 / 35


Escoamento de Fluidos




Classificação dos Escoamentos

Regimes de Escoamentos

Regime permanente: ocorre quando propriedades do fluidosão invariáveis em cada ponto com o tempo;

Regime transiente (ou variado): ocorre quando condiçõesdo fluido em alguns pontos ou regiões são variáveis com otempo.





Figura 1: Escoamento pela tubulação de um tanque. Neste tanque, a quantidade delíquido que entra em (1) é idêntica à quantidade que sai em (2); nessas condições aspropriedades do fluido são invariáveis.

Fonte: Brunetti (2008).





Reservatório de Grande Dimensões

É um reservatório do qual há carga ou descarga de líquido,mas, devido à sua grande dimensão transversal, o nívelnão varia sensivelmente com o tempo;

Neste reservatório, o nível mantém-se aproximadamenteconstante com o tempo, de forma que o regime pode serassumido aproximadamente permanente.





Figura 2: (a) Reservatório de grandes dimensões que apesar da descarga o nível nãovaria sensivelmente com o tempo e o regime pode ser assumido permanente;(b) reservatório de pequena seção transversal em face da descarga do fluido sendo queo nível varia sensivelmente com o tempo e, portanto, o regime é transiente.






Tipos de Escoamentos

Observado por Osborne Reynolds (1842-1912) em umexperimento em 1883;São 3 tipos de escoamentos:

Escoamento laminar;Escoamento de transição eEscoamento turbulento.

Velocidade que ocorre a mudança de escoamento é ditavelocidade crítica.





Figura 3: Experimento de Reynolds (1883) para diferentes tipos de escoamentos.Fonte: Brunetti (2008).





Figura 4: Experimento de Reynolds (1883) para diferentes tipos de escoamentos: (a)escoamento laminar; (b) escoamento turbulento.

Fonte: Geankoplis (2003).






A transição entre os tipos de escoamentos se dá pelonúmero de Reynolds:

Re =forças inerciaisforças viscosas

=ρvDµ

=vDν

(1)

Número de Reynolds é um número adimensional;

Para um escoamento em tubo circular reto:Escoamento laminar: Re ≤ 2100;Escoamento de transição: 2100 < Re < 4000 eEscoamento turbulento: Re ≥ 4000.






A transição entre os tipos de escoamentos se dá pelonúmero de Reynolds:

Re =forças inerciaisforças viscosas

=ρvDµ

=vDν

(1)

Número de Reynolds é um número adimensional;Para um escoamento em tubo circular reto:

Escoamento laminar: Re ≤ 2100;Escoamento de transição: 2100 < Re < 4000 eEscoamento turbulento: Re ≥ 4000.





Trajetória e Linha de Corrente

Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados poruma partícula em instantes sucessivos. É função do pontoinicial e do tempo:






Trajetória e Linha de Corrente

Linha de corrente é a linha tangente aos vetores davelocidade de diferentes partículas no mesmo instante.


As linhas de corrente e as trajetórias coincidemgeometricamente no regime permanente.





Escoamento Unidimensional ou Uniforme na Seção

Escoamento é dito unidimensional (ou uniforme) quandouma única coordenada é suficiente para descrever suaspropriedades (velocidade):







No escoamento bidimensional a variação da velocidade éfunção de 2 coordenadas: x e y:







O escoamento no espaço pode ser tridimensional nascoordenadas x, y e z:






Vazão e Velocidade Média

A vazão volumétrica pode ser facilmente determinada pelotempo de enchimento de certo volume em um recipiente:

Qv =Vt

[m3/s] (2)

Em uma seção de área A , no intervalo de tempo t , um fluidose desloca a uma distância s:

Qv =Vt=

sAt

masst= v (3)

Logo, vazão volumétrica e velocidade se relacionam:

Qv = vA [m3/s] (4)





Figura 5: Tempo de enchimento de um certo volume de líquido em um recipiente paradeterminação da vazão volumétrica.






Figura 6: Relação de vazão volumétrica e velocidade de escoamento de um fluido emum tubo.






Vazão e Velocidade MédiaA expressão abaixo só é verdadeira se v é uniforme naseção:

Qv = v · A [m3/s]

Assumindo dA qualquer no entorno de um ponto comvelocidade v:

dQv = v · dA (5)






Vazão e Velocidade MédiaA expressão abaixo só é verdadeira se v é uniforme naseção:

Qv = v · A [m3/s]

Assumindo dA qualquer no entorno de um ponto comvelocidade v:

dQv = v · dA (5)







Logo, a vazão na seção de área A será:

Qv =

"A

v · dA [m3/s]

(6)

Defini-se velocidade média na seção como uma velocidadeuniforme que, substituída pela velocidade real, reproduziria amesma vazão na seção. Logo:

Qv =

"A

v · dA = vm · A [m3/s] (7)






Logo, a vazão na seção de área A será:

Qv =

"A

v · dA [m3/s] (6)

Defini-se velocidade média na seção como uma velocidadeuniforme que, substituída pela velocidade real, reproduziria amesma vazão na seção. Logo:

Qv =

"A

v · dA = vm · A [m3/s] (7)






Surge, assim, a expressão para o cálculo da velocidademédia na seção:

vm =1A

"A

v · dA [m/s] (8)





Balanços Global e Diferencial





Equação da Continuidade

A lei de conservação da massa resulta em um balanço demassa (ou material) simples:

Entra = Sai + Acumula

Em um escoamento em regime permanente:

Entra = Sai









Entra = Sai









Entra = Sai






Considere um sistema simples, em regime permanente, comuma entrada e uma saída:







Para este processo, pode-se escrever os seguintes balançosmateriais equivalentes:

Qm,1 = Qm,2 [kg/s] (9)

ρ1Qv ,1 = ρ2Qv ,2 [kg/s] (10)

ρ1A1v1 = ρ2A2v2 [kg/s] (11)

Este é a equação da continuidade;






Para este processo, pode-se escrever os seguintes balançosmateriais equivalentes:

Qm,1 = Qm,2 [kg/s] (9)

ρ1Qv ,1 = ρ2Qv ,2 [kg/s] (10)

ρ1A1v1 = ρ2A2v2 [kg/s] (11)

Este é a equação da continuidade;





Volume de Controle para BalançosSe o fluido é incompressível, então ρ1 = ρ2, e pode-seescrever:

Qv ,1 = Qv ,2 [m3/s] (12)

A1v1 = A2v2 [m3/s] (13)

Este é a equação da continuidade para fluidoincompressível.Um sistema é definido como uma porção de fluido deidentidade fixa;Contudo, para um fluido escoando, partículas individuais nãosão facilmente identificáveis;Como resultado, a atenção é dada a um dado espaço atravésdo qual o fluido escoa ao invés de uma dada massa de fluido;





Volume de Controle para Balanços

Um método conveniente é selecionar um volume decontrole que é uma região fixa no espaço através da qual ofluido escoa;


A superfície de controle (linha tracejada) é a superfície emtorno do volume de controle;





Equação do Balanço Global de Massa

Para um volume de controle onde massa não é gerada:(taxa de massa saindodo volume de controle

)(14)

−

(taxa de massa entrandono volume de controle

)

+

taxa de massaacumulando novolume de controle

= 0

taxa demassagerada





Figura 7: Escoamento através de uma área diferencial dA em uma superfície de controle.Fonte: Geankoplis (2003).






Para um elemento de área dA na superfície de controle, ataxa de massa passando por este elemento é:

ρ(~v · ~n)(dA) ou (ρv)(dA cosα)

onde:(dA cosα) é a área dA projetada na direção normal avelocidade ~v;α é o ângulo entre ~v e o vetor unitário normal ~n a dA .






Ao integrar esta quantidade sobre todo a superfície decontrole A , tem-se:(

efluxo líquido de massado volume de controle

)=

"Aρv cosαdA (15)

=

"Aρ(~v · ~n)dA






A taxa de acúmulo de massa no volume de controle V é: taxa de massaacumulando novolume de controle

= ∂

∂t

$VρdV =

dMdt

(16)

onde M é massa de fluido no volume.






A partir disto, da eq. 14, tem-se:"Aρ(~v · ~n)dA +

∂

∂t

$VρdV = 0 (17)

Para uma situação comum:Escoamento unidimensional em regime permanente eTodos os escoamentos para dentro ou fora do volume decontrole são normais a A .






Desta forma, o termo de acúmulo é igual a zero, α1 = 180o

(cosα1 = −1) e α2 = 0o (cosα2 = +1);

Assim:("A1

ρ1v1��:+1cosα1 dA (18)

+

"A2

ρ2v2��:−1cosα2 dA

)+��7

0dMdt

= 0






Da eq. 18 chega-se a equação da continuidade:

ρ1v1A1 − ρ2v2A2 = 0 [kg/s] (19)

ρ1v1A1 = ρ2v2A2 [kg/s] (20)



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