1. INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO

1.1. IntroduçãoOs movimentos dos fluidos se manifestam de várias maneiras diferentes; alguns podem ser descritos facilmente ao passo que outros, para sua descrição, necessitam de equações físicas complexas.

Nas aplicações de engenharia é importante descrever os movimentos dos fluidos do modo mais simples que se possa justificar.

Muitas vezes precisões de ± 10% são aceitáveis, embora em algumas aplicações, precisões maiores devam ser alcançadas.

As equações gerais do movimento fluido são muito difíceis de se resolver.

Sendo assim, é da responsabilidade do engenheiro saber quais passos de simplificação podem ser empregados; o que requer experiência e mais importante, compreensão da física envolvida.

Algumas hipóteses comuns usadas para simplificar uma dada situação do escoamento são relacionadas às propriedades do fluido.

     

a) Inviscito.

b) Incompressível.

É sabido que a compressibilidade de um gás em movimento deve ser levada em conta, se as velocidades são muito elevadas.

As velocidades do vento, simplesmente, não são altas o suficiente.

1.2. Descrição do Movimento dos Fluidos

Tem como objetivo procura uma formulação matemática mais simples.

1.2.1. Descrições lagrangiana e euleriana

Fluido meio contínuo

Discretização do fluido em partículas isoladas de volume d (muito pequeno, mas com um grande número de moléculas)

No estudo da mecânica das partículas, no qual a atenção é focalizada nas partículas individuais, o movimento é observado em função do tempo.

)t,z,y,x(ss 000

posição da partícula

)t,z,y,x(VV 000

velocidade da partícula

)t,z,y,x(aa 000

aceleração da partícula

)z,y,x(ss 00000

ponto inicial (“rótulo” = nome da partícula)

Esta descrição é conhecida como descrição lagrangiana.

Joseph L. Lagrange (1736-1813)

Na descrição lagrangiana as partículas individuais são acompanhadas ao longo do escoamento como função do tempo.

Esta tarefa torna-se difícil uma vez que o número de partículas é muito grande, no escoamento de um fluido.

Uma alternativa é fixar pontos no espaço e observar a evolução das propriedades do escoamento, nestes pontos, em função do tempo.

)t,z,y,x(VV

velocidade do escoamento

)t,z,y,x( massa específica do fluido

          

A região do escoamento que está sendo observada é chamada de “campo de escoamento”.

Esta descrição é conhecida como descrição euleriana.

Leonard Euler (1707 – 1789).

Se:

.etc0t

;0tp;0

tV

O escoamento é dito permanente.

Neste escoamento as propriedades não variam com o tempo em um mesmo ponto.

Contudo, podem variar de um ponto a outro do escoamento.

1.2.2. Trajetória, linha de emissão e linha de corrente

• Trajetória – caminho percorrido por uma partícula ao longo do escoamento.

• Linha de emissão – linha instantânea, formada pela união de partículas que passaram sucessivamente, por um mesmo ponto no escoamento.

• Linha de corrente – é uma linha no escoamento que possui a seguinte propriedade: o vetor velocidade de cada partícula que ocupa um ponto na linha de corrente é tangente à LC.

X

Y

Z

posiçãovetorS

velocidadevetorV

LCdeelementord

LC

senrV0rdV

• Tubo de corrente – é um tubo (imaginário), cujas paredes são formadas por LC.

1.2.3. Aceleração

X

Y

Z

)t(V

Trajetória)tt(V

Partícula noInstante t.

Partícula noInstante t + t.

A aceleração é dada pela derivada temporal da velocidade.

dtVda

Sendo o vetor velocidade,

kwjviu)t,z,y,x(VV

dttVdz

zVdy

yVdx

xVVd

Considerando a regra da cadeia para a derivação,

Ou seja:

,udtdx

tV

dtdz

zV

dtdy

yV

dtdx

xVa

dtVd

Mas:

vdtdy ,w

dtdze desta forma:

tV

zVw

yVv

xVua

tu

zuw

yuv

xuuax

tw

zww

ywv

xwuaz

tv

zvw

yvv

xvuay

Esta é uma equação vetorial e corresponde a três equações escalares. Ou seja:

aceleração convectiva (alterações associadas à mudança de posição)

Por sua vez, com:

kz

jy

ix

então:

zw

yv

xuV

Usando esta notação vetorial, a expressão para o cálculo da aceleração passa a ser escrita de uma forma mais compacta.

V)V(tVa

ponto de vista euleriano.

tV

aceleração local [(x, y, z) = fixo; posição fixa]V)V(

Trajetória

Partícula noInstante t.

Partícula noInstante t + t.

DtVDa

Observe que esta é uma derivada especial, uma vez que é tomada acompanhando o movimento da partícula ao longo de sua trajetória.

Esta derivada recebe um nome especial, ou seja, “derivada substancial”, sendo denotada pela letra D (maiúsculo).

Assim, a aceleração passa a ser escrita como:

obtida diretamente no ponto de vista lagrangiano.

A derivada substancial, também conhecida por derivada material, é calculado no ponto de vista euleriano, pela expressão:

A derivada substancial representa a relação entre a formulação lagrangiana, na qual a quantidade depende do tempo (t) e a formulação euleriana, na qual a quantidade depende da posição (x, y, z,) e do tempo (t).

A derivada substancial pode ser usada com outras variáveis dependentes, diferentes da velocidade.

tzw

yv

xu

DtD

P

Movimento relativo a um referencial não inercialConsidere [X,Y,Z] como sendo as coordenadas de um referencial inercial e [x,y,z] as coordenadas de um referencial não inercial.

Uma partícula P pode ser observada destes dois referenciais.

Assim:

X

Y

Z

x

y

z

R

r

S

V

rSR

DtrD

DtSD

DtRD

IVRDtRD

SDt

SD Referencial

inercial

Referencial

não inercial

)k(z)j(y)i(xkwjviuDt

rD

rV)kzjyix(VDt

rD

rSVVI

Teorema de composição de velocidades.

)kzjyix(DtD

DtrD

DtkDz

DtjDy

DtiDxk

DtDzj

DtDyi

DtDx

DtrD

fixokfixojfixoi

Para se chegar ao teorema de composição de acelerações, basta derivar mais uma vez a Eq. anterior. Assim:

)r(DtD

DtSD

DtVD

DtVD I

ARVDtVD

II

Aceleração da partícula vista do referencial inercial (absoluta)

SDt

SDDt

SD2

2 Aceleração absoluta da origem do referencial

não inercial

)kwjviu(DtD

DtVD

DtkDw

DtjDv

DtiDuk

DtDwj

DtDvi

DtDu

DtVD

fixokfixojfixoi

)k(w)j(v)i(ukajaiaDtVD

zyx

Va)kwjviu(aDtVD

rDtVDa

Aceleração da partícula vista do referencial não

inercial

DtrDr

DtD)r(

DtD

rrDtD

Aceleração tangencial

)r(V)rV(Dt

rD

V2

)r(

Aceleração de Coriolis

Aceleração normal

Finalmente, tem-se o teorema de composição de acelerações.

arDtD)V(r2

DtSDA 2

2

rDtD)V(r2

DtSD*a 2

2

Aceleração aparente

De modo que:

a*aA

1.2.4. Velocidade angular e vorticidade

O movimento geral de uma partícula fluida, pode ser decomposto em movimentos mais simples. Ou seja:

• Movimento de translação (trivial);

• Movimento de rotação;

• Movimento de deformação angular;

• Movimento de deformação volumétrica.

Considere uma partícula pequena de fluido que ocupa um volume infinitesimal, cuja face no plano xy é mostrada na Figura 3.6.

u

v2dx

xvv

2dx

xvv

2dy

yuu

2dy

yuu

dx

dyA B

C

D

x

y

Figura 3.6 Partícula fluida elementar

A velocidade angular de rotação é definida como sendo a média entre a velocidade angular de dois seguimentos de reta ortogonais entre si, passando pela partícula.

O sentido positivo é dado pela regra da mão direita.

Ou seja, de x para y.

Para o seguimento AB

xvdx)

2dx

xvv(

2dx

xvv

dxvv AB

AB

Já, para o seguimento CD, fica:

yudy)

2dy

yuu(

2dy

yuu

dyuu CD

CD

A B

C

D

Sendo o vetor velocidade angular escrito como:

Logo, o componente da velocidade angular em z, será:

yu

xv

21

z

Com procedimento análogo, chega-se aos componentes em x e y.

x

y

z

xw

zu

21

y

zv

yw

21

x

kji zyx

Por sua vez, a vorticidade é definida como sendo duas vezes a velocidade angular, de modo que:

A deformação angular é a taxa de variação do ângulo que o segmento AB faz com o segmento CD.

Sua componente no plano xy é dada por:

yu

xv

21

21

CDABxy

Um escoamento é dito irrotacional se: 0

xw

zu

y;zv

yw

x

yu

xve z

yv

yy

Os componentes para os planos xz e yz, ficam:

zu

xw

21

xz

zv

yw

21e yz

A partícula fluida também pode ser esticada ou comprimida (deformação volumétrica).

Se o ponto B está se movendo mais rapidamente que o A, a partícula está esticando na direção x. Então:

xudx)

2dx

xuu(

2dx

xuu

dxuu AB

xx

Nas direções y e z, vem:

zwe zz

O tensor deformação pode ser escrito como:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Os termos da diagonal principal correspondem à deformação volumétrica, ao passo que os termos fora desta diagonal correspondem aos termos de deformação angular.

Para meios não polares, prova-se que o tensor deformação é simétrico. Assim,

zyyzzxxzyxxy e;

Exemplo 3.1O campo de velocidade é dado por m/s, em que x e y estão em metros e t está em segundos. Encontre a equação da linha de corrente, passando por (2, -1) e o vetor unitário normal à linha de corrente em (2, -1) em t = 4 s.

jytix2V

Solução:O vetor velocidade é tangente à linha de corrente, de modo que:

0rdV

No instante t = 4 s, vem:

0k)dxy4dyx2()jdyidx()jy4ix2(

kji

Clnxln2yln

x

y

z

ij

k

kij

0jjii

OBS.

Como o vetor unitário não é nulo, resulta:

dxy4dyx2 xdx2

ydy

Integrando, vem:

Esta equação pode ser reescrita como:

Cyx2

Portanto:

4yx2

No ponto (2, -1), C = -4, resultando para a Eq. da LC que passa por esse ponto,

)Cxln(Clnxlnyln 22

O vetor unitário normal a LC é perpendicular ao vetor velocidade neste ponto. Assim,

0)jnin()j4i4(nV yx

De modo que:

yxyx nn0n4n4

vetor unitário, então:n

2x

2y

2x n21nn

22

21nx

Portanto, o vetor unitário normal à LC no ponto (2, -1) é,

)ji(22n

Exemplo 3.2Um campo de velocidade num escoamento particular é dado por m/s. Calcule a aceleração, a velocidade angular, o vetor vorticidade e quaisquer componentes da taxa de deformação não nulas no ponto (1, -1, 2).

Solução:

jxy20iy20V 2

tV

zVw

yVv

xVua

= 0 = 0

)jx20iy40(xy20)jy20(y20a 2

j)yxy(400ixy800a 232

jxy20iy20V 2

A aceleração pode ser calculada a partir de:

A aceleração no ponto (1, -1, 2) é:

s/mi800a 2

A velocidade angular no ponto (1, -1, 2) é calculada.

.s/rad30)y40y20(21

yu

xv

21

z

0xw

zu

21

y

0zv

yw

21

x

= 0 = 0

= 0 = 0

jxy20iy20V 2

O vetor velocidade angular no ponto (1, -1, 2) é então:

s/radk30

A vorticidade, como é o dobro da velocidade angular, é dada por:

s/radk60

Os componentes não nulos da taxa de deformação, são:

s/rad10)y40y20(21

yu

xv

21

xy

s/rad20x20yv

yy

1.3. Classificação de Escoamentos

1.3.1. Escoamentos uni, bi e tridimensionais

Na descrição euleriana o vetor velocidade, em geral, depende das três coordenadas espaciais e do tempo, ou seja:

)t,z,y,x(VV

Observa-se que a velocidade depende das três coordenadas espaciais, portanto, trata-se de um escoamento tridimensional.

Como depende do tempo é ainda, variado ou não permanente.

)z,y,x(VV

Neste caso o escoamento é tridimensional e permanente.

A Fig. 3.7 mostra um exemplo de escoamento tridimensional.

Figura 3.7 Escoamento com ponto de estagnação

ensionaisdimbisescoamento),y,x(VV

)t,y,x(VV

Por sua vez, escoamento unidimensional é aquele no qual o vetor velocidade depende de apenas uma coordenada espacial.

Tais escoamentos ocorrem em tubulações longas e retas, ou entre placas paralelas, como mostrado na Fig. 3.8.

Figura 3.8 Escoamento unidimensional

a) em uma tubulação b) entre placas paralelas

u = u(r) escoamento em tubos

u = u(y) escoamento entre placas paralelas.

Escoamento uniforme

Quando a velocidade e outras propriedades do fluido são constantes em uma mesma seção, como ilustra a Fig. 3.9.

Figura 3.9 Perfis de velocidades uniformes

Esta simplificação é feita quando a velocidade é, essencialmente, constante em uma seção, fato que ocorre com muita freqüência na engenharia.

1.3.2. Escoamentos viscosos e não viscosos

Os escoamento são classificados em:

Viscosos e

Não viscosos.

Em um escoamento viscoso os efeitos da viscosidade são importantes e não podem ser desprezados.

Já em um escoamento não viscoso os efeitos da viscosidade podem ser desprezados.

Com base em experiências, foi descoberto que a classe primária de escoamentos que podem ser modelados como escoamentos não viscosos é a de escoamentos externos, ou seja, escoamentos que ocorrem fora de um corpo.

A Fig. 3.10 ilustra um escoamento externo.

Figura 3.10 Escoamento ao redor de um aerofólio

Camada limite

x

y

V = Cte.

u = u(y)

V

Efeitos viscosos preponderantes(escoamento viscoso)

Efeitos viscosos desprezíveis

= espessura da CL (99% da variação de u).

Lei da viscosidade de Newton

dydu

.0pequenodydupara

Camada Limite (CL)

1.3.3. Escoamentos laminares e turbulentos

laminar eEscoamento viscoso

turbulento.

microscópica eAgitação mistura

macroscópica.

Microscópica nível de moléculas.

Macroscópica nível de partículas.

Escoamento laminar: a agitação em nível macroscópico não se faz presente.As tensões de cisalhamento viscoso sempre influem em um escoamento laminar.O escoamento laminar pode ser dependente do tempo, como o que ocorre na saída de uma bomba a pistão Fig. 3.11a, ou pode ser constante Fig. 3.11b.

Figura 3.11 Velocidade em função do temo num escoamento laminara) Escoamento não permanente b) Escoamento permanente

Escoamento turbulento: ocorre grande troca de partículas entre camadas adjacentes.No escoamento turbulento quantidades como velocidade e pressão, variam aleatoriamente com o tempo.As quantidades físicas são, em muitas das vezes, descritas por médias estatísticas, Fig. 3.12.

Figura 3.11 Velocidade em função do temo num escoamento turbulentoa) Escoamento não permanente b) Escoamento permanente

O regime de escoamento é identificado em função de um parâmetro adimensional conhecido por número de Reynolds.

Osborne Reynolds (1842 – 1912).

LVLVRe

V – velocidade característica (m/s).

L – comprimento característico (m).

– massa específica (kg/m3).

– viscosidade dinâmica [kg/(ms)].

– viscosidade cinemática (m2/s).

Número de Reynolds crítico Recrít

Re < Recrít escoamento laminar.

Escoamento em tubos:V = velocidade médiaL = D = diâmetro do tuboRecrít 2000.

Placas planas paralelas:L = h = distância entre as placasRecrít 1500.

Escoamento na camada limite (Fig. 3.16).

Figura 3.16 Escoamento na LC sobre uma placa plana

L = x = distância sobre a placa (medida a partir do bordo de ataque)

Re = Rex

Placa plana:Recrít 5105 (rugosa) a 106 (lisa).

T

Exemplo 3.3A tubulação de 2 cm de diâmetro da Fig. E3.3 é usada para transportar água a 20º C. Qual a máxima velocidade média que pode ocorrer na tubulação, garantindo um escoamento laminar?

Figura E3.3

Solução:Água a 20º C, logo = 10-6 m2/s.

Escoamento em tubos Recrít 2000.

DVRe .s/m100,002,0102000

DReV

6

Velocidades tão pequenas, raramente são encontradas em situações reais; portanto, o escoamento laminar é raramente de interesse na engenharia, quando do escoamento de fluidos de baixa viscosidade.

1.3.4. Escoamentos incompressíveis e compressíveis

Um dado escoamento é dito incompressível se, ao se acompanhar o movimento de uma partícula ao longo de sua trajetória, o seu volume não mudar com o tempo (ponto de vista lagrangiano).

0DtD

Como msis =Cte. e,

ddm

então:

0DtD

escoamento incompressível.

Escoamentos incompressíveis:

• líquidos e

• gases a baixa velocidade.

Portanto, em um escoamento incompressível a massa específica se conserva ao longo da trajetória, escoamento conservativo.

O que não obriga que a massa específica seja constante em todo o campo (constancia da massa específica).

Exemplo: escoamento estratificado.

Número de Mach. - Ernest Mach (1838 – 1916).

cVM número de Mach

c velocidade de propagação do som (perturbação) no meio fluido

Para gases (perfeitos).

TRkc

R constante do gás

T temperatura termodinâmica

v

p

cc

k constante adiabática

Se M < 0,30 escoamento incompressível.

Escoamentos incompressíveis com gás:• ventilação;• ar condicionado;• escoamentos atmosféricos; etc.

1.4. Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli decorre da aplicação da 2ª Lei de Newton a uma partícula fluida.

admFd

Lembrar que esta aceleração é uma aceleração inercial.

1a hipótese simplificadora:

Efeitos viscosos desprezíveis escoamento inviscito (forças de cisalhamento nulas)

Considere-se uma partícula infinitesimal cilíndrica, como mostra a Fig. 3.17.

Figura 3.17 Partícula movendo-se ao longo de uma LC

Considerando a Eq. do movimento de Newton na direção da LC,

sadsdAcosdAgdA)dsspp(dAp

tV

sVV

DtDVa

ss

com:

vem:

2a hipótese simplificadora:

Escoamento permanente, então:

e a aceleração resulta:0tV

sV

21

sVVa

2

s

ds

shdh

ds

Observando a figura,

dsshcosdsdh

shcos

Na Eq. de Newton,

sV

21

shg

sp 2

3a hipótese simplificadora:

Escoamento incompressível = Cte.

0)hg2

Vp(s

2

4a hipótese simplificadora:

Escoamento em uma mesma LC. Assim,

.Ctehg2

Vp 2

Eq. de Bernoulli.

Daniel Bernoulli (1700 – 1782).

A constante de integração (conhecida por constante de Bernoulli), varia, em geral, de uma a outra LC; permanecendo constante quando o escoamento de dá ao longo de uma mesma LC.

Dividindo por g e aplicando entre os pontos 1 e 2, vem:

.Ctehg2

Vphg2

Vp2

222

1

211

Eq. de Bernoulli.

p

g2V2

h

carga de pressão (m)

carga de velocidade ou dinâmica (m)

carga de posição (m)

hp

carga piezométrica (m)

hg2

Vp 2

carga total (m)

Em termos de pressão,

.Ctehg2

Vphg2

Vp 2

22

21

21

1 Eq. de Bernoulli.

p

2V2

hg

pressão estática (N/m2)

pressão dinâmica (N/m2)

pressão de posição (N/m2)

2Vp

2

pressão de estagnação (N/m2)

A Fig. 3.18 mostra alguns medidores de pressão.

(Pressão de estagnação)

Figura 3.18 Medidores de pressão:a) Tubo piezométrico;b) Tubo de pitot;c) Tubo pitot estático.

A velocidade no ponto 1 pode ser determinada com a Eq. de Bernoulli. Ou seja:

2

222

1

211 h

g2Vph

g2Vp

)pp(2V 121

= 0

Os efeitos viscosos são geralmente muito pequenos e necessitam de grandes distâncias para que se tornem significativos; portanto, em situações como as mostradas na Fig. 3.19, os efeitos viscosos podem ser desprezados.

Figura 3.19 Escoamentos interno não viscosos:a) Escoamento em uma contração;b) Escoamento a partir de um tanque pressurizado.

Não é sempre que escoamentos não viscosos apresentam uma boa aproximação ao escoamento real. Considere o escoamento não viscoso ao redor da esfera mostrada na Fig. 3.20.

Figura 3.19 Escoamento ao redor de uma esfera:a) Escoamento não viscoso;b) Escoamento real.

Exemplo 3.4Em uma tempestade, a velocidade do vento atinge 100 km/h. Calcule a força agindo na janela de 0,90 m x 1,8 m de frente para a tormenta, mostrada na Fig. E3.4. A janela está num edifício alto, tal que a velocidade do vento não é reduzida pelos efeitos do solo. Use = 1,20 kg/m3.

Figura E3.4

V = 100 km/h

Solução:

A janela de frente para a tormenta está em uma região de estagnação, onde a velocidade do vento é reduzida a zero.Trabalhando com pressões efetivas, a pressão no vento, em um ponto à montante é zero (pressão atmosférica). A Eq. de Bernoulli pode ser aplicada.

V b h

100,0 0,600 1,800 1,200km/h m m kg/m3

27,78      m/s      

Dados:

2

222

1

211 z

g2Vpz

g2Vp

= 0= 0

.m/N0,4632

78,2720,12Vp 2

221

2

Conhecida a pressão na janela (estagnação), a força pode ser calculada.

.N0,75080,190,00,463ApF

Exemplo 3.5A carga de pressão estática em uma tubulação de ar (Fig. E3.5) é medida com um tubo piezométrico e acusa 16 mm de água. Um tubo de pitot na mesma localização indica 24 mm de água. Calcule a velocidade do ar a 20º C. Calcule também o número de Mach e comente quanto a compressibilidade do escoamento.

Figura E3.5

Dados:

Solução:

De inicio, a partir da relação pressão altura, as pressões nos pontos 1 e 2, devem ser determinadas.

h1 h2 T água g16,00 24,00 20° 1000 9,81mm ca mm ca C kg/m3 m/s2

Pa0,157016,01081,9hp 311

Pa4,235024,01081,9hp 322

Considerando a Eq. de estado para um gás perfeito, a massa específica do ar é calculada. Lembrar que em sendo esta uma Eq. termodinâmica, a pressão e temperatura devem estar em escalas absolutas.

3ar m/kg203,1

)0,27320(2871010000,157

TRp

Aplicando a Eq. de Bernoulli e tendo em conta que o ponto 2 é um ponto de estagnação, vem:

2

222

1

211 z

g2Vpz

g2Vp

= 0= 0

Com pb = 101000 Pa (pressão barométrica – escala absoluta)

Com o objetivo de calcular o número de Mach, a velocidade de propagação do som é calculada.A relação de calores específicos para o ar é 1,40.Já a constante do ar é 287,0 m2/s2/K.

.s/m1,343)27320(0,28740,1TRkc

O número de Mach é calculado.

03329,01,343

42,11cVM

M < 0,3. Logo o escoamento é incompressível.

s/m42,11)0,1574,235(203,12)pp(2V 12

ar1

Exemplo 3.7Explique por que uma rebarba disposta junto ao orifício de entrada do tubo piezométrico da Fig. 3.18a e situada à montante do escoamento, resultará em uma leitura baixa da pressão.

Figura 3.18 Medidores de pressão:a) Tubo piezométrico;b) Tubo de pitot;c) Tubo pitot estático.

(Pressão de estagnação)

Solução:

Uma rebarba no lado anterior da abertura do tubo piezométrico, resultará em um escoamento na vizinhança da abertura, semelhante àquele mostrado na Fig. E3.7.

Figura E3.7

Esta rebarba irá causar um descolamento na entrada do tubo piezométrico.

Na face de montante da rebarba, haverá um ponto de estagnação, com o conseqüente aumento de pressão.

Já, na face de jusante, haverá uma região de escoamento descolado, causando uma diminuição da pressão na entrada do orifício.

Assim, à entrada do orifício se terá uma pressão menor que a pressão reinante na tubulação, fazendo com que a pressão lida fique mais baixa.