Mecânica dos Fluidos

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Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

Bibliografia utilizada

1- IntroduçãoMecânica dos fluidos é a ciência que tem por objetivo o estudo docomportamento físico dos fluidos e das leis que regem estecomportamento.A mecânica dos fluidos pode ser subdividida no estudo da estática dosfluidos, onde o fluido está em repouso, e na dinâmica dos fluidos, onde ofluido está em movimento.

Aplicações da mecânica dos fluidos:- Ação de fluidos sobre superfícies submersas. Ex.: barragens- Ação de fluidos sobre superfícies submersas. Ex.: barragens- Equilíbrio de corpos flutuantes. Ex.: embarcações- Ação do vento sobre construções civis- Estudo de lubrificações.- Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica. E.: elevadores- Cálculo de instalações hidráulicas. Ex.: instalação de recalque emedifícios- Cálculo de instalações hidráulicas. Ex.: bombas e turbinas- Instalações de vapor. Ex.: caldeiras- Ação de fluidos sobre veículos, aeronaves e edificações (aerodinâmica).

1.1- Definição de fluido

- Fluido é uma substância que não tem forma própria, e que,se estiver em repouso, não resiste a tensões de cisalhamento.- Fluido é uma substância que quando submetido a tensões decisalhamento (tangenciais), por pequenas que sejam, deforma-se continuamente.- Fluidos tendem a escoar (ou fluir) e os sólidos tendem a sedeformar ou dobrar quando interagimos com eles.deformar ou dobrar quando interagimos com eles.- Assim, os fluidos compreendem as fases líquidas e gasosas(ou de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe.- A distinção entre um fluido e o estado sólido da matéria éclara quando você compara seus comportamentos. Um sólidodeforma-se quando uma tensão de cisalhamento lhe éaplicada, mas sua deformação não aumenta continuamentecom o tempo.

1.2- Equações básicas

A análise de qualquer problema de mecânica dos fluidos começa,necessariamente, de modo direto ou indireto, com declarações dasleis básicas que modelam o movimento do fluido. As leis básicas,aplicáveis a qualquer fluido são:

1- A equação da conservação da massa2- A segunda lei do movimento de Newton3- O princípio da quantidade angular3- O princípio da quantidade angular4- A primeira lei da termodinâmica5- A segunda lei da termodinâmica

Obviamente, nem todas as leis básicas são necessárias para resolverum problema. Por outro lado, em muitos deles é necessário buscarrelações adicionais para a análise, na forma de equações de estadoou outras de caráter constitutivo, que descrevam o comportamentodas propriedades físicas dos fluidos sob determinadas condições.

1.3- Métodos de análise

O primeiro passo na resolução de um problema é definir o sistemaque você está tentando analisar.Na mecânica dos fluidos, utilizaremos um sistema ou um volumede controle para resolver um problema.

1.3.1- Sistema

Um sistema é definido como uma quantidade de massa fixa eUm sistema é definido como uma quantidade de massa fixa eidentificável; o sistema é separado do ambiente pelas fronteiras.As fronteiras podem ser fixas ou móveis; contudo, nenhumamassa cruza essas fronteiras.

1.3.2- Volume de controle

Um volume de controle é um volume arbitrário no espaço atravésdo qual o fluido escoa. A fronteira geométrica do volume decontrole é denominado superfície de controle. É sempre importantetomar cuidado na seleção de um volume de controle, pois a escolhatem um grande efeito sobre a formulação matemática das leisbásicas.

1.4- Dimensões e unidades

Referimo-nos as quantidades físicas tais como comprimento (L),tempo (t), massa (M) e temperatura (T) como dimensões.Unidades são os nomes (e magnitudes) arbitrárias dados àsdimensões primárias adotadas como padrões de medidas.Ex. A dimensão primária de comprimento pode ser medida emunidades de metros (m), centímetro (cm), pés (ft), jardas ou milhas.Cada unidade de comprimento é relacionada às outras por fatoresCada unidade de comprimento é relacionada às outras por fatoresde conversão de unidades.

Ex. 1 milha = 5280 pés = 1609 metros

SISTEMAS DE UNIDADES

Sistema Internacional de Unidades (SI)Massa é o quilograma (Kg)Comprimento é o metro (m)Tempo é o segundo (s)Temperatura é o Kelvin (K)Força é o Newton (N)

1 N ≡≡≡≡ 1 Kg.m/s2 (secundária)

Sistema de Unidades Métrico Absoluto (CGS)Massa é o grama (g)Comprimento é o centímetro (cm)Tempo é o segundo (s)Temperatura é o Kelvin (K)Força é a dina (dina)

1 dina ≡≡≡≡ 1 g.cm/s2 (secundária)

Sistema de Unidades Gravitacional BritânicoMassa é o slug (slug)Comprimento é o pé (ft)Tempo é o segundo (s)Temperatura é o Rankine (°°°°R)Força é a libra-força (lbf)

1 lbf ≡≡≡≡ 1 slug.ft/s2 (secundária)

Sistema de Unidades Inglês Técnico ou de EngenhariaSistema de Unidades Inglês Técnico ou de EngenhariaMassa é a libra-massa (lbm)Comprimento é o pé (ft)Tempo é o segundo (s)Temperatura é o Rankine (°°°°R)Força é a libra-força (lbf)

1 slug ≡≡≡≡ 32,2 lbm

2cc

2

lbf.sft.lbm

32,2 g g

ft/s 32,2 x lbm 1 lbf 1 =≡

A constante de proporcionalidade, gc , tem dimensões e unidades nosistema inglês técnico.

g

am. F

c

=

No SI, a constante de proporcionalidade, gc , é sem dimensões eunitário. Em consequência, a segunda lei de Newton é escrita:unitário. Em consequência, a segunda lei de Newton é escrita:

Nesses sistemas, resulta que a força gravitacional (o peso) sobre umobjeto de massa m é dado por:

am. F =

gm. W =

2. Conceitos fundamentais

2.1- O fluido como um contínuo

Todos os fluidos são compostos de moléculas em constantemovimento.Um fluido é uma substância infinitamente divisível, umcontinuum, e deixamos de lado o comportamento dasmoléculas individuais.moléculas individuais.

2.2- Campo de velocidade

Ao lidarmos com fluidos em movimento, estaremosnaturalmente interessados na descrição de um campo develocidade.

A velocidade em qualquer ponto do campo de escoamentopode variar de um instante a outro. A representação completada velocidade (o campo de velocidade) é dada por:

O vetor velocidade, pode também ser escrito em termos dosseu três componentes escalares. Denotando os componentenas direções x, y, z por µµµµ, νννν, ωωωω, escreve-se:

( Escoamento transiente ) 0 tv

ou t)z,y,(x, v v ≠∂∂

=

nas direções x, y, z por µµµµ, νννν, ωωωω, escreve-se:

Se as propriedades em cada ponto de um campo deescoamento não mudam com o tempo, o escoamento édenominado permanente:

k ω j ν iµ v ++=

( Escoamento permanente ) 0 tv

ou z)y,(x, v v =∂∂

=

Escoamento Uni, Bi e Tridimensionais

Um escoamento é classificado como uni, bi ou tridimensional deacordo com o número de coordenadas espaciais necessárias paraespecificar seu campo de velocidade.

t)z,y,(x, v v = ( Escoamento tridimensional e transiente )

Num escoamento uniforme, a velocidade é constante através de qualquer seçãonormal ao escoamento.

2.3- Tensão de cisalhamento e viscosidade

Para um sólido, as tensões são desenvolvidas quando um material édeformado ou cisalhado elasticamente; para um fluido, as tensõesde cisalhamento aparecem devido ao escoamento viscoso.Seja uma força F aplicada sobre uma superfície de área A. Essaforça pode ser decomposta segundo a direção normal à superfície eda tangente, dando origem a uma componente normal e outratangencial.tangencial.

tF

nF F

Defini-se tensão de cisalhamento como sendo o quocienteentre o módulo da componente tangencial e da área a qualestá aplicada.

Defini-se pressão (tensão normal) como sendo o quociente

AF

t=τ

Defini-se pressão (tensão normal) como sendo o quocienteentre o módulo da componente da força normal (força decompressão) e da área a qual está aplicada.

AF

P n=

Considere-se o comportamento de um elemento de fluido entre duas placasinfinitas ilustradas a seguir:

A placa superior movimenta-se a velocidade constante, δδδδu, sob ainfluência de uma força aplicada constante, δδδδFx.

Força de cisalhamento aplicada sobre um fluido

Como aparecem as forças internas? O fluido junto à placa superior iráse deslocar com velocidade v, enquanto aquele junto à placa inferiorestará com velocidade nula. Em cada seção normal às placas, irá seformar um diagrama de velocidades, onde cada camada do fluido deslizasobre a adjacente com uma certa velocidade relativa. Tal deslizamentoentre as camadas origina tensões de cisalhamento. A Figura a seguirmostra o aparecimento da tensão de cisalhamento, ττττ , devido àvelocidade relativa v1 – v2, que cria um escorregamento entre as duascamadas indicadas.

A tensão de cisalhamento, ττττyx , aplicada ao elemento de fluido édado por:

dAdF

δAδF

lim τy

x

y

x

0 δyxAy

==→ ( 1 )

Onde δδδδAy é a área do elemento de fluido em contato com aplaca. No incremento de tempo, δδδδt , o elemento de fluido édeformado da posição MNOP para a posição M’NOP’.A taxa de deformação do fluido é dada por:

dtdα

δtδα

limdeformação de taxa0 δt

==→

( 2 )

O fluido é newtoniano se ττττyx for diretamente proporcional ataxa de deformação (Equação 2).

A distância δδδδℓ entre os pontos M e M’ é dado por:

( 3 )δt δv δ δtδ

δv xx =⇒= ll

ou alternativamente, para pequenos ângulos,ou alternativamente, para pequenos ângulos,

δyδα δ =l ( 4 )

Igualando (3) com (4), temos:

δyδα δt δv x

= δtδα

δyδv

x = ( 5 )

Aplicando o limite em ambos os lados da igualdade, obtêm-se:

δtδα

lim δyδv

lim 0 δt

x

0 δy →→=

dtdα

dydv

x = ( 6 )dtdy

Assim, se o fluido da figura é newtoniano, temos que:

dydv

a alproporcion ediretament é τ xyx ( 7 )

A tensão de cisalhamento age num plano normal ao eixo dos y

A constante de proporcionalidade da equação (7) é aviscosidade absoluta (ou dinâmica), µµµµ.Assim, em termos das coordenadas da figura anterior, a lei daviscosidade de Newton é dada por:

dydv

τ xyx µ= ( 8 )

Fluidos Newtonianos

Dividindo a viscosidade absoluta, µµµµ , pela massa específica dofluido, ρρρρ , temos uma outra quantidade útil, a viscosidadecinemática, ou seja:

ρµ

=ν ( 9 )

Unidades para as grandezas relacionadas

Grandeza SI CGS Britânico

τyx Pa dina/cm2 poundals/ft2

vx m/s cm/s ft/s

y m cm fty m cm ft

µ Pa.s g/cm.s = poise lbm/ft.s

ν m2/s cm2/s = stoke ft2/s

Nota: Pascal, Pa, é o mesmo que N/m2, e Newton, N, é o mesmoque Kg.m/s2. A abreviação para “centipoise” é cP. 1cP = 10-2

poise. 1 stoke (St) = 1 cm2/s. 1 centistokes (cSt) = 10-2 cm2/s

Viscosidade de um fluido:

Propriedade pela qual um fluido oferece resistência ao corte;

É a medida da resistência do fluido à fluência quando sobreele atua uma força exterior como por exemplo um diferencialde pressão ou gravidade;

A maioria dos líquidos viscosos fluem facilmente quando assuas temperaturas aumentam; o comportamento de um fluidoquando varia a temperatura, pressão ou tensão depende dotipo de fluido.

Influência da temperatura na viscosidade dinâmica:

A viscosidade pode mudar com o tempo (todas as outrascondições ficam constantes);A coesão molecular é a causa dominante da viscosidade noslíquidos; à medida que a temperatura de um líquido aumenta,estas forças coesivas diminuem, resultando uma diminuição daviscosidade;Nos gases, a causa dominante são as colisões aleatórias entre asmoléculas do gás; esta agitação molecular aumenta com amoléculas do gás; esta agitação molecular aumenta com atemperatura; assim a viscosidade dos gases aumenta com atemperatura;Apesar da viscosidade dos líquidos e gases aumentaremligeiramente com a pressão, o aumento é insignificante numintervalo de pressões considerável; assim, a viscosidadeabsoluta dos gases e líquidos é usualmente consideradaindependente da pressão;