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    MECNICA DOS FLUIDOS II

    Affonso Silva TellesProfessor da Escola de Qumica da UFRJ

    PREMBULO ............................................................ ............................................................ .......................................... 2

    1. CORPO CONTNUO.............................................................................................31.1 Cinemtica........................................................... ..................................................................... ....................... 31.2 Objetividade Material ............................................................ ............................................................ .............. 51.3 Dinmica................................................................................... .......................................................... ............. 61.4 Escoamentos Viscomtricos......................................................... ................................................................ ... 7

    2 EQUAES CONSTITUTIVAS ....................................................... ................................................................ ... 82.1 Princpio de Determinismo................ ................................................................ .............................................. 9

    2.2 Princpio de Objetividade Material......................... ................................................................ ......................... 92.3 Material Simples..................................... ........................................................... .............................................. 92.4 Materiais Viscoelsticos............................................................ .................................................................. .. 10

    3. TURBULNCIA...................................................................................................10 3.1 Introduo ........................................................ .............................................................. ........................................ 113.2 Flutuaes......................... ................................................................ .......................................................... ... 113.3 Equaes Bsicas da Turbulncia..................................... ................................................................. ............ 133.4 Equaes de Transporte da Turbulncia .................................................................. ...................................... 143.5 Transporte do fluxo trmico turbulento ............................................................ ............................................. 143.6 Modelos Algbricos................................................................. .......................................................... ............ 163.7 Comprimento de Mistura de Prandtl........................................................................................ ...................... 173.8 Comentrios crticos....................................................... ......................................................... ...................... 18

    3.9 Modelos multi- equaes.................... ................................................................ ........................................... 20

    4. FECHAMENTO SEQUENCIAL .......................................................... .......................................................... ... 234.1 Introduo............................. ................................................................ ...................................................... ... 244.2 Definies preliminares e flutuaes turbulentas .............................................................. ............................ 264.3 O Mtodo da Termodinmica Extendida................................................ ....................................................... 294.4 Tenses de Reynolds e Fluxos Trmico e de Massa................................................... ................................... 314.5 Referncias. ............................................................ ................................................................. ...................... 31

    5. CAMADA LIMITE...............................................................................................................................................335.1 Definies Preliminares.................................................................. ............................................................. .. 34

    A. Apndice A.............................................................................................................................................................35

    A.1 Espao Euclidiano e Espao Vetorial.............................................. .................................... 35A.2 Tensores............................................................. ............................................................. ............................... 37A.3 Transposio, Inverso, Simetria e Ortogonalidade. ............................................................ ......................... 38A.4 Trao e Determinante ............................................................. ........................................................... ............ 38A.5 Tensores Positivo-Definidos e Teorema Espectral ...................................................... .................................. 39A.6 Teorema de Cayley Hamilton.............................................................. ....................................................... 40A.7 Decomposio Polar de Cauchy ............................................................. ....................................................... 41A.8 Sistemas Gerais de Coordenadas................................................... ............................................................. ... 41A.9 Derivadas e Operadores Diferenciais ............................................................................................................ 42A.10 Componentes dos Operadores, Derivada Covariante. ................................................................................... 43

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    PREMBULO

    possvel dividir a mecnica clssica em dois grandes captulos. O primeiro deles, aMecnica de Sistemas Finitos, i.e., aplicvel a sistemas com nmero finito de objetos usualmente atribudo a Isaac Newton (1642-1727), por seu trabalho sobre as leis domovimento e da gravitao universal. Entretanto teve precursores e sucessoresimportantes como:Leonardo da Vinci (1452 1519) que realizou experincias sobre asleis do movimento e do atrito; Nicolaus Copernicus (1473 1543), que formulou aastronomia heliocntrica; Galileo Galilei (1564 1642) pioneiro no emprego daobservao e mtodo experimental, demonstrando a importncia da acelerao nadescrio do movimento; Johannes Kepler (1571 1630) que formulou as leis domovimento planetrio; Ren Descartes (1596 1650) criador da geometria analtica;GillesRoberval (1602 1675) que em primeiro formulou as leis da composio de foras;Christiaan Huygens (1629 1695) que obteve a descrio do movimento dos pndulos deonde resulta o isocronismo das pequenas oscilaes; Robert Hooke (1635 1703) queformulou a Lei de Hooke para a descrio da elasticidade; Gottfried Leibnitz (1646 1716)

    que formulou o clculo diferencial e integral contemporaneamente a Newton; JohannBernoulli, (1667 1748) o princpio do trabalho virtual; Daniel Bernoulli, (1700 1782)teoria do escoamento de fluidos; Leonhard Euler (1707 1783) corpo rgido, mecnicados fluidos, e slidos; Joseph-Louis Lagrange (1736 1813) mecnica analtica;SimonPoisson (1781 1840) leis de conservao da mecnica;Augustin Cauchy (1789 1857)equaes do movimento, tensor tenso, teoria da elasticidade e a Mecnica doContnuo, i.e., aplicvel a corpos com nmero infinito (1) de pontos materiais, anlogosaos pontos do espao Euclidiano tridimensional; Carl Jacobi (1804 1851) equaesdiferenciais parciais do movimento; WilliamHamilton (1805 1865) mecnica cannica.

    A mecnica do contnuo inclui o estudo de materiais slidos, fluidos e de outrosmateriais mais complexos que no podem ser includos nesta classificao. Nossa

    apresentao ser restrita descrio de fluidos e de seus movimentos. De fato, a maiorparte ser restrita a fluidos incompressveis. Entretanto estudaremos a formulao deequaes constitutivas, dando espao para a considerao de fluidos no-newtonianoscom formulao bastante geral. Os escoamentos viscomtricos serviro de importantesexemplos. Entretanto a formulao da teoria da camada limite, e da apresentao dealguns exemplos, permitir um salto considervel para a discusso de escoamentos maiscomplexos, por mtodos analticos, hbridos e numricos.

    indispensvel, em adio, estudar os escoamentos turbulentos de uma forma maisaprofundada do que aquela apresentada na grande parte dos livros didticos de Mecnicados Fluidos. As principais formas de fechamento dos balanos em escoamentosturbulentos sero apresentadas e discutidas.

    A formulao que emprega coordenadas curvilneas gerais torna-se necessria apresentao de mtodos da mecnica dos fluidos computacional. Reafirmando as trsgrandes reas deste curso: Equaes constitutivas de fluidos no-newtonianos,turbulncia, e teoria da camada limite, com uma abertura para a mecnica dos fluidoscomputacional.

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    1. CORPO CONTNUO

    1.1 Cinemtica

    Um corpo contnuo um conjunto , cujos elementos so chamados pontos materiais( ). Em tm-se uma classe de subconjuntos, chamados de partes do corpo, sobrea qual est definida uma medida denominada distribuio de massa. Esta medida, manloga medida de Borel associada ao