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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, NATURAIS E TECNOLOGIAS Curso de Engenharia Química Disciplina: Mecânica dos Fluidos Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química Prof. Dr. Reinaldo Pisani Jr. Ribeirão Preto 2013

Mecânica dos Fluidos 2013

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CENTRO DE CINCIAS EXATAS, NATURAIS E TECNOLOGIAS Curso de Engenharia Qumica Disciplina: Mecnica dos Fluidos Esttica dos Fluidos e Balanos Integrais para Engenharia Qumica Prof. Dr. Reinaldo Pisani Jr. Ribeiro Preto 2013 Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 2 1 Introduo 1.1 Importncia da Mecnica dos Fluidos para Engenharia Qumica A tcnica de transporte de fluido por escoamento muito importante no mbito da Engenharia Qumica por ser costumeiramente mais econmica. O processamentode lquidosnormalmentemaissimplesebaratoqueodeslidosoudegases. Consequentemente,osengenheirosqumicostendemaoptarporprocessosemvia lquida envolvendo lquidos puros, solues e suspenses. AMecnicadosFluidosumareadoconhecimentodoconhecimentoque estudaocomportamentodosfluidosemrepousoouemmovimento(escoamento),que correspondemrespectivamenteEstticadosFluidoseDinmicadosFluidos.A MecnicadosFluidosporsuavezfazpartedaMecnicadoContnuoquetambm envolveoestudodadeformaoetensionamentodosslidos.Fluidoumestadoda matria que permite deformao contnua quando aplicada uma tenso de cisalhamento (fora tangencial distribuda em uma rea de aplicao). OProcessoQumicooprincipalobjetodeanlisedaEngenhariaQumica, sendo este definido como uma sequncia ordenada de transformaes fsicas (Operaes Unitrias) e qumicas (Processos Unitrios) com o intuito de converter matrias-primas eenergiaemprodutoseemisses,efluenteseresduos.Cadaumadasetapas elementares de transformao constitui uma operao ou um processo unitrio. Astcnicasdeprojetodeoperaesunitriassobaseadasemprincpios tericos ou empricos de transferncia de massa, transferncia de calor, transferncia de quantidadedemovimento,termodinmica,biotecnologiaecinticaqumica.Desta forma, os processos podem ser estudados de forma simples e unificada. Cada Operao Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 3 Unitriasempreamesmaoperao,independentedanaturezaqumicados componentes envolvidos. Por exemplo, a filtrao, separao de uma fase particulada de uma fase fluida pela ao de uma barreira fsica (meio filtrante), um caso particular do escoamentoemummeioporoso,independentementeseocorreemumaindstriade alimentosouemumapetroqumica.OQuadro1contmasprincipaisoperaese processos unitrios da Engenharia Qumica. Quadro 1.1 Principais operaes e processos unitrios da Engenharia Qumica Operaes UnitriasProcessos Unitrios Transporte de lquidosCombusto Transporte de gasesOxidao Transporte de slidosNeutralizao Transmisso de calor e Trocadores de calorEletrlise Fragmentao e MoagemCalcinao Agitao e MisturaDesidratao Classificao e PeneiramentoNitrao FluidizaoEsterificao Extrao lquido-lquidoReduo LixiviaoHalogenao Sedimentao e EspessamentoSulfonao FiltraoHidrlise CentrifugaoHidrogenao EvaporaoAlquilao SecagemPolimerizao DestilaoFermentao CristalizaoPirlise AbsoroAromatizao AdsoroIsomerizao Pervaporao 1.2 Conceitos Fundamentais AMecnicadosFluidosumareadoconhecimentoqueestudao comportamentodosfluidosemrepousoouemmovimento(escoamento),que correspondem respectivamente Esttica e Dinmica dos Fluidos. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 4 Ofluidoumestadodeagregaodamatriaquesedeformacontinuamente quandosubmetidoaumatensodecisalhamento(foratangencial,comdireoe sentido, distribuda em uma rea de atuao no fluido, ou seja, por unidade de rea). De maneira geral: Fluido Gases, Lquidos, Vapores e Pastas Nos estudos da Esttica e da Dinmica dos Fluidos, os fluidos so considerados meioscontnuos,infinitamentedivisveisdeformaanoalterarsuaspropriedades intensivas(massaespecfica,temperatura,viscosidade,presso,etc.),deixa-sedelado que sejam formados por tomos e molculas. Dessa forma, o equacionamento aplicado poder envolver os conceitos de derivada e integral. Considereduasplacashorizontaiseparalelas,conformeindicaaFigura1.1, sendo o espao entre elas preenchido com um fluido bem comportado em repouso.FtyxFtyxFtyxt = 0t 0t >> 0FtyxFtyxFtyxFtyxt = 0t 0t >> 0 Figura 1.1 Esquema do escoamento entre placas horizontais no regime permanente Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 5 Repentinamente, a placa superior movimentada com velocidade constante pela aodeumaforatangencial(Ft).Instantaneamente,acamadadefluidoqueestem contato direto com esta placa adquire a sua velocidade (no escorregamento na interface slido fluido). Esta lmina de fluido tende a deslizar sobre a lmina de fluido inferior adjacente, mas o atrito entre elas, devido ao comportamento elstico e viscoso do fluido, imprime movimento a esta segunda camada e assim sucessivamente, at a placa inferior quepermanecefixa.Poroutrolado,ainteraocisalhanteentreascamadasdefluido implicanaexistnciadetransfernciadequantidadedemovimentoentreascamadas peloatrito.Atensodecisalhamentopodeserinterpretadacomoumfluxode quantidade de movimento devido ao carter viscoso do fluido.Aforatangencialaplicadanareadecadalminadefluidoumtensor chamadotensodecisalhamento(t)Anomenclaturaparaosndicesdatensode cisalhamento obedece ao seguinte critrio: o primeiro ndice a direo da transferncia e o segundo, corresponde a direo do escoamento. No exemplo da Figura 1.1, a tenso de cisalhamento (tyx)entre as lminas do fluido bem comportado se relaciona com a velocidadedecadalminaparaamaioriadoslquidosegasesatravsdarelaode Newton (fluido de Newton ou newtoniano): dydVxyx t =(1.1) sendo a viscosidade do fluido (kg/m.s) e dVx/dy a taxa de deformao (1/s), diferena de velocidade entre dois pontos na vertical no caso da Figura 1.1, e a viscosidade do fluido (kg/m.s). Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 6 Nocasoemanlise,tomando-secomopontodepartidaaEquao1.1eo sistema de coordenadasda Figura 1.1, o sinal apropriado negativo, pois a velocidade dofluidonadireoxdecrescentecomavarively.Ento,aEquao1.1ficariana forma da Equao 1.2: dydVxyx t =(1.2) Aconstantedeproporcionalidadedasequaes1.1e1.2aviscosidade (viscosidadeabsoluta,viscosidadedinmicaouviscosidadedeNewton),est relacionada resistncia do fluido ao escoamento (atrito entre as camadas adjacentes de fluidonoescoamentolaminar)eprovenientedeinteraesintermolecularesdas espcies qumicas que compem o fluido. De maneira geral, a viscosidade dos lquidos diminuicomoaumentodatemperatura,enquantoqueparagases,aumentacoma temperatura.comumexpressarosvaloresdaviscosidadememkg.m-1.s-1,omesmo que Pa.s, no Sistema Internacional ou em centpoise (cP, l-se centpoase, 10-2 g.cm-1.s-1) no Sistema CGS. OsfluidosquenoobedecemaocomportamentodescritopelaEquao1.1,na qualatensodecisalhamentodiretamenteproporcionalcomataxadedeformao, sodenominadosfluidosno-newtonianos,comoporexemplo,cremedental,tinta, suspensodeamidoemgua,suspensodeargilaemgua,lamasdeperfurao, ketchup, maionese, chocolate, sangue e polmeros amolecidos. A relao entre a tenso de cisalhamento e a taxa de deformao para diferentes condies, como a deformao oscilatriaouofluxoextensional,quesomedidosemdiferentesdispositivos denominadosremetros.Aspropriedadesreolgicassoestudadasatravsdousode equaes constitutivas. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 7 Osfluidosno-newtonianoscujaspropriedadesnosodependentesdotempo so: -Dilatante:aviscosidadeaumentacomoaumentodatenso,partindoda origem. -Pseudoplstico:aviscosidadediminuicomoaumentodatenso,partindoda origem -Binghamianos:fluidosquerequeremaaplicaodeumatensomnimapara queocorraoescoamento(deformao).Sesubmetidosapequenastensesse comportam como slidos. Os fluidos cujas propriedades reolgicas so dependentes do tempo so: -Reoptico:aviscosidadeaparenteaumentaquandoataxadedeformao aumenta. Por exemplo, o sangue. -Tixotrpicos:aviscosidadeaparentediminuicomotempo,apsataxade deformao ser aumentada. Por exemplo, tintas. A Figura 1.2 contm o comportamento da tenso de cisalhamento em funo da taxadedeformaoparafluidosno-newtonianos,cujaspropriedadesreolgicasno apresentam dependncia temporal. Tenso mnimaTaxa de deformaopseudoplstico com tenso mnimabinghamianopseudoplsticonewtonianodilatantedydV: Figura 1.2 Diagrama reolgico para fluidos no-newtonianos sem dependncia temporal Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 8 Um exemplo de um fluido no-newtoniano pode ser feito adicionando-se amido demilhoaumaxcaradegua.Adicioneoamidoemporespequenasemisture devagar.Quandoasuspensoestiverprximadaconcentraocrtica,coma consistncia de um creme de leite, a propriedade "dilatante" fica evidenciada. A viscosidade cinemtica (v, letra grega ni) a relao entre a viscosidade de Newton e a massa especfica do fluido () (Equao 1.3): v = (1.3) Aviscosidadecinemticaexpressaemm2.s-1noSI,ouemcentstokes(cSt, equivalente a 10-2 cm2.s-1) no CGS. importante ressaltar que a tenso de cisalhamento pode ser interpretada como um fluxo de quantidade de movimento causado pelo atrito entre as camadas adjacentes defluido.NotequenasituaoapresentadanaFigura1.1ocorretransfernciade quantidadedemovimentodaregiodemaiorvelocidade(prximaplacasuperior) para a regio de menor velocidade (prxima placa inferior). O mecanismo anlogo transfernciadecalorporconduo,naqualofluxodecalor(q/A)seddaregiode maior temperatura (T) para a de menor temperatura (Equao 1.4). E o mesmo ocorre na transfernciademassa(transfernciadesoluto)pordifuso,emqueofluxodesoluto (JA) ocorre da regio de maior para a de menor concentrao (CA) (Equao 1.5): dydTkAq = (1.4) na qual k a condutividade trmica do material. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 9 dydCD JAAB A = (1.5) sendo que DAB a difusividade mssica do soluto A no meio B. Exerccios Propostos Exerccio 1.1 Comente, conceituee d exemplos com suas palavras: a) fluido; b) meio contnuo;c)tensodecisalhamento;d)quantidadedemovimento;e)viscosidade;f) fluido newtoniano e no-newtoniano; g) no escorregamento na parede. Exerccio 1.2 A viscosidade absoluta do ar atmosfrico a 20oC e 1 atm igual a 1,8.10-5 Pa.s, sendo assim, calcule a viscosidade cinemtica do ar nessas condies em m2.s-1 e em cSt. Dados: massa molar mdia do ar 29 g/mol. Constante universal dos gases igual a 0,082 atm.L.mol-1.K-1. Exerccio1.3Faaumapesquisanaredemundialdecomputadoresparaidentificar fluidosno-newtonianosquesoclassificadoscomo:dilatante,pseudoplstico, binghamianos, reopticos e tixotrpicos. Referncias FOX,R.W.,MCDONALD,A.T.IntroduoMecnicadosFluidos.5ed.Riode Janeiro: LTC, 1998. 504 p. GEANKOPLIS,C.J.Transportprocessesandseparationprocessprinciples.4.ed. Englewood Cliffs: Prentice Hall PTR, 2003. 1025 p. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 10 2 Esttica dos Fluidos Umfluidoemrepouso(semmovimentorelativoesemdeformaoangular) implicanaausnciadetensescisalhantes,Noentanto,emrepouso,quantoem movimentodecorporgido(porexemplo,guasendotransportadaemumbalde),os fluidos so capazes de suportar tenses normais. Atensonormalresultantedaaodeumaforanormal(perpendicular) superfcieedistribudanareadopontodeaplicao.Podeserpositivaounegativa, respectivamenteafavoroucontraosistemadeeixosdereferncia(normalmenteos eixoscartesianos).AFigura2.1mostraumaforadFsendoaplicadaemumpontode dA. dAdFndFtdFdAdFndFtdF Figura 2.1 Esquema de aplicao de uma fora dF em um meio contnuo de rea dA com suas componentes normal e tangencial Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 11 NotequeaforadFpodeserdecompostaemumacomponentenormal(dFn)e emumacomponentetangencial(dFt).Astensesnormal(o)ecisalhante(t)so definidas respectivamente pelas equaes 2.1 e 2.2. dAdFn= o (2.1) dAdFt= t (2.2) Considere um volume de controle de dimenses Ax, Ay e Az, conforme indica a Figura2.2.Ofluidonacondioestticapreencheovolumedecontroleecontempla toda a vizinhana, ou seja, o volume de controle est imerso e preenchido pelo fluido. Acondioestticadofluidonointeriordovolumedecontrolealiada2Lei de Newton resulta em (Equao 2.3): 0 . = = a m R(2.3) emque,Raforaresultantequeatuanofluido,mamassadefluidopresenteno volumedecontroleeaaaceleraodamassadefluidocontidanovolumede controle. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 12 zz + Azxyzx x + Axyy + AyAyAzAxFluidozz + Azxyzx x + Axyy + AyAyAzAxzz + Azxyzx x + Axyy + AyAyAzAxFluido Figura 2.2 Volume de controle infinitesimal fixo no espao com dimenses Ax, Ay e Az, com fluido esttico nas vizinhanas Nos casos de interesse da Engenharia Qumica, as foras que exercem influncia nofluidosoaforaprovenientedocampogravitacional(Fg)eaforaoriundada diferenadepresso(Fp)nasfacesdovolumedecontrole.Noestopresentesforas de atrito, pois no h solicitao ou tendncia ao escoamento, uma vez que o fluido est esttico. Sendo assim, a Equao 2.3 pode ser escrita como (Equao 2.4): 0 = + =p gF F R (2.4) A Equao 2.4 envolve uma soma vetorial, na qual prtica a decomposio das foras nas trs direes, x, y e z para coordenadas cartesianas: 0 = + =xpxg xF F R Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 13 0 = + =ypyg yF F R 0 = + =zpzg zF F R O caso geral, em que h acelerao da gravidade nas trs direes, corresponde ao no alinhamento de um dos eixos coordenados com a direo vertical, uma vez que a aceleraodagravidadesemprevertical(direo)evoltadaparabaixo(sentido). Nesse momento necessrio abstrair que o eixo z na Figura 2.2 esteja na vertical. Nessa figura, o volume de controle est submerso no fluido e pode haver ao da pressonas seis faces, conforme indica a Figura 2.3. zz + Azxyzx x + Axyy + AyxPx xPA +z zPA +zPyPy yPA +zz + Azxyzx x + Axyy + AyxPx xPA +z zPA +zPyPy yPA + Figura 2.3 Volume de controle infinitesimal com indicao das presses nas direes x, y e z Aforaprovenientedaaodagravidade(forapeso)namassadefluidono volumedecontroleoprodutodesuamassa(mf)pelaaceleraodagravidade(g), Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 14 enquantoqueaforadediferenadepressoatuantenofluidolocalizadonasfaces volume de controle o produto da presso na face pela rea da face. Ou seja: 0 . . . . . = A A A A + =A + x x xx f xP z y P z y g m R para a direo x. 0 . . . . . = A A A A + =A + y y yy f yP z x P z x g m R para a direo y. 0 . . . . . = A A A A + =A + z z zz f zP y x P y x g m R para a direo z. Mas, a massa de fluido no volume de controle o produto do volume (Ax.Ay.Az) pela sua massa especfica (). Ento: 0 . . . . . . . . = A A A A + A A A =A + x x xx xP z y P z y g z y x R para a direo x. 0 . . . . . . . . = A A A A + A A A =A + y y yy yP z x P z x g z y x R para a direo y. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 15 0 . . . . . . . . = A A A A + A A A =A + z z zz zP y x P y x g z y x R para a direo z. Adefiniodederivadaparcialdeumafunof(x,y,z)dadapor ( )( ) ( )xf fLimxfxz y xx xz y xxz y xA=ccA + A, , , ,0, ,.Ento,oprximopassaserdividirasequaes por Ax.Ay.Az e posteriormente multiplic-las por -1: z y x z y xP z yz y xP z yz y xg z y xx x x xA A A=A A AA AA A AA A+A A AA A AA +. .0. .. .. .. .. .. . . . para a direo x. z y x z y xP z xz y xP z xz y xg z y xy y y yA A A=A A AA AA A AA A+A A AA A AA +. .0. .. .. .. .. .. . . . para a direo y. z y x z y xP y xz y xP y xz y xg z y xz z z zA A A=A A AA AA A AA A+A A AA A AA +. .0. .. .. .. .. .. . . . para a direo z. Logo,multiplicando-seasequaespor-1esimplificandoostermospresentes nos numeradores e nos denominadores: Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 16 0 . =A+ A +xP Pgx x xx para a direo x. 0 . =A+ A +yP Pgy y yy para a direo y. 0 . =A+ A +zP Pgz z zz para a direo z. A aplicao dos limites de Ax, Ay e Az tendendo a zero fornece que: 0 .000000000 A A AA + A A A A A A=A+ zyxx x xzyxxzyxLimxP PLim g Lim para a direo x. 0 .000000000 A A AA + A A A A A A=A+ zyxy y yzyxyzyxLimyP PLim g Lim para a direo y. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 17 0 .000000000 A A AA + A A A A A A=A+ zyxz z zzyxzzyxLimzP PLim g Lim para a direo z. Mas,osprimeirostermosdasequaesnosodependentesdeAx,AyeAz. Lembre-se tambm que o limite de uma constante o prprio valor da constante. E note que os segundos termos so dependentes de Ax, Ay ou Az: 0 .0=A+ A + AxP PLim gx x xxx para a direo x. 0 .0=A+ A + AyP PLim gy y yyy para a direo y. 0 .0=A+ A + AzP PLim gz z zzzpara a direo z. Ocasogeralcorrespondepressoserdependente(variar)dastrsdirees P(x,y,z). Portanto, aplicando-se a definio derivada parcial: Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 18 0 . = ccxgxP (2.5a) para a direo x. 0 . = ccygyP (2.5b) para a direo y. 0 . = cczgzP (2.5c) para a direo z. Oconjuntodeequaes2.5podeserrepresentadopelogradientedepresso (grad) e pela fora peso (Equao 2.6): 0 . = cc+cc+ccgzPyPxP (2.6) 0 g . - P grad = (2.6) AEquao2.6,assimcomooconjuntodeequaes2.5,denominadade EquaoFundamentaldaEsttica.Elaexplicitaquehaverdiferenadepressoem uma dada direo se houver ao do peso do fluido nessa direo. Normalmente, conveniente alinhar um dos eixos com a vertical (por exemplo, o eixo z), pois assim g = gz = 9,8 m/s2 e gx=gy = 0 (Figura 2.4). Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 19 zg = 9,8 m/s2z1z2P2P1P1> P2hzg = 9,8 m/s2z1z2P2P1P1> P2zg = 9,8 m/s2z1z2P2P1P1> P2h Figura 2.4 Eixo z alinhado com a vertical e vetor acelerao da gravidade na mesma direo e sentido oposto Nesse caso, a Equao 2.6 se reduz a (Equao 2.7): 0 . = ccgzP (2.7) Alm disso, a derivada parcial de P coincide com sua derivada absoluta, pois: zPdzdzzPdzdyyPdzdxxPdzdPcc=cc+cc+cc= Porm,0 =cc=ccyPxP Ento: 0 . = gdzdP Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 20 Mas,g g = 0 . = + gdzdP Separando-se as variveis: gdzdP. =dz g dP . . =} } =2121. .zzPPdz g dP Nesse momento, necessrio verificar o comportamento do fluido em funo da coordenadazedapresso.Casoofluidosejaincompressvel(=constante)ea aceleraodagravidadetambmoseja(g=constante,fatobastanterazovelem Engenharia Qumica): } } =2121. .zzPPdz g dP 2121. .zzPPz g P =) .( . ) (1 2 1 2z z g P P = Fazendo-se (z2 z1) = h: Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 21 h g P . . = A (2.8) Casooeixodereferncia(eixozestivessealinhadoparabaixo),g g + =ea equao resultante seria: h g P . . + = A (2.9) Portanto, conveniente representar as equaes 2.8 e 2.9 atravs da Equao 2.10: h g P . . = A (2.10) O sinal positivo deve ser utilizado quando P2 > P1 enquanto que o sinal negativo deveserempregadoparaP2P2. Essaequaovlidaparagasesideaisestticospresentesemsistemascom temperaturasuniformes,nosquaisaaceleraodagravidade(g)podeserconsiderada constante em relao diferena de altitude dos pontos avaliados. Exemplo3:Sabe-sequeapressoatmosfricaaonveldomariguala760 mmHg.Sendoassim,utilizeaEquao2.12paraestimarapressoatmosfricaem Ribeiro Preto, que est a situada a 518 m acima do nvel do mar e possui temperatura mdiaanualiguala25oC.Compareovalorestimadocommedidasexperimentaisque forneceram o valor mdio de 712 mmHg. Dados: constante universal dos gases = 0,082 atm.L/mol.K = 8,314 Pa.m3/mol.k. Resp.: 716 mmHg; desvio percentual de 0,6%. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 29 3 Dinmica dos Fluidos Otransportedefluidosporescoamentoestpresentenaquasetotalidadedos processosindustriaisporsernormalmentemaiseconmico.Noentanto,ha preocupao em quantificar adequadamente a quantidade de energia gasta em mquinas geratrizes(bombas,ventiladoresecompressores)paraqueofluidosejatransportado envolvendocondiesdevazo,desnvel,pressoeperdasporatritodevido movimentao do fluido. ADinmicadosFluidosumapartedaMecnicadosFluidosqueestudao comportamentodosfluidosemescoamento.Oescoamentoprodutodaaodeuma tensodecisalhamentoatuantenofluido.DamesmamaneiraquenaEstticados Fluidos, utiliza-se a suposio que o fluido se comporte como um meio contnuo. Naanlisedoescoamento,defini-seumaregiodoespaoocupadopelofluido comovolumedecontrole,queumespaoarbitrrioatravsdoqualofluidoescoa, cujafronteirageomtrica(realouimaginria,estticaoumvel)chamadade superfciedecontrole.AFigura3.1mostraesquemasdevolumesesuperfciesde controle. volume de controlesuperfcie de controlevolume de controlesuperfcie de controle (a) Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 30 10 mDN= 4 in.Vlvula de gaveta 100% abertaVlvula de gaveta 100% abertaCotovelo 90de raio curtovolume de controlesuperfcie de controle10 mDN= 4 in.Vlvula de gaveta 100% abertaVlvula de gaveta 100% abertaCotovelo 90de raio curtovolume de controlesuperfcie de controle (b) Figura 3.1 Esquemas de volume e superfcie de controle: a) escoamento no interior de um tubo e b) transporte de lquido entre dois reservatrios em desnvel interligados por um tubo Os princpios bsicos teis para a Dinmica dos Fluidos so: - Princpio de Conservao da Massa; - Princpio de Conservao da Energia (1 lei da Termodinmica); - Segunda Lei da Termodinmica (nem todo calor pode ser convertido em trabalho); - Segunda Lei de Newton; - Princpio de Conservao de Quantidade de Movimento. Pode-se analisar um sistema aplicando os princpios supracitados (formulao) a partirdoenfoqueintegral(global)edoenfoquediferencial(pontoaponto).Isto, aplicarosbalanosdemassa,energiaequantidadedemovimentoemvolumesde controle macroscpico (finito) e microscpico (infinitesimais), respectivamente. Nosbalanosintegraisutilizam-seosvaloresmdiosrepresentativosdeuma propriedadedeinteressenassuperfciesdecontrolequerepresentamaentradaesada defluidodosistema.Porexemplo,considereoescoamentodeumfluidoconforme mostra a Figura 3.2: Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 31 ub1nvel de referncia (datum)Z1D1P1ub2D2P2Z2ub1nvel de referncia (datum)Z1D1P1ub2D2P2Z2 Figura 3.2 Esquema de escoamento de um fluido em uma expanso com indicao de valores mdios representativos de algumas propriedades de interesse NotequeP1apressoqueseadotarepresentativadaseo1dedimetro internoD1,noentanto,existeacolunadefluidoquenarealidadeimplicaemuma diferena de presso esttica entre o topo e a base da seo 1. As velocidade mdias do escoamentonassees1e2(ub1eub2)sotambmilustrativasdessecomportamento, poissabe-sequeasvelocidadessonulasnasparedesemximasnoscentrosdas tubulaes. Portanto, como ser demonstrado posteriormente, adotam-se valores mdios representativos das variveis nas superfcies de controle. O regime de escoamento pode ser classificado quanto trajetria fluido presente noescoamento.Seoescoamentoocorrercomoodeslizamentodelminasdefluido, sem que ocorra mistura macroscpica das camadas adjacentes de fluido, o escoamento chamado laminar. Noescoamentoturbulento,ocorreaformaodeturbilhes(redemoinhos)que provocamamisturamacroscpicadasporesdefluidoeavelocidadedofluidoem cada ponto oscila em torno de um valor mdio. Ao se medir a velocidade local do fluido Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 32 nointeriordeumtubocomosdoistiposdeescoamentonoestadoestacionrioem funo do tempo, o comportamento esperado seria o descrito na Figura 3.3. tempo (min)Velocidade -u (m/s)__uu(mdia)(oscilao)u =+ u__uturbulentolaminar utempo (min)Velocidade -u (m/s)__uu(mdia)(oscilao)u =+ u__uturbulentolaminar u Figura 3.3 Velocidade instantnea de uma partcula de fluido em funo do tempo no escoamento: a) laminar e b) turbulento Ocritrioutilizadoparasedeterminaroregimedeescoamentoentrelaminare turbulento o nmero adimensional de Reynolds (Re), que representa a relao entre os efeitos de inrcia e o efeito viscoso do escoamento do fluido. Para o escoamento de um fluido newtoniano no interior de um tubo Re definido por (Equao 3.1): v b bdu D u D . . .Re = = (3.1) sendo que D o dimetro interno do tubo, ub a velocidade mdia do escoamento, a massaespecficadofluido,aviscosidadedofluidoevaviscosidadecinemtica do fluido (/). O limite convencionado para o escoamento em tubos : Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 33 2100. . .Re s = =v b bdu D u D, laminar 2100. . .Re > = =v b bdu D u D, turbulento Noescoamentoexternodeumfluidonewtonianosobreumaplacahorizontal (Figura 3.4), o nmero de Reynolds definido por (Equao 3.2): v x u x ux. . .Re = = (3.2) sendo que u a velocidade do fluido no perturbado pela placa e x a posio sobre a placa a partir da borda de ataque (Figura 3.4). yxuoyxoulaminar turbulentoyxuoyxoulaminar turbulento Figura 3.4 Escoamento sobre uma das faces de uma placa horizontal com indicao das camadas limites laminar e turbulenta Atransioentreascamadaslimiteslaminarparaturbulentanormalmente ocorre para: Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 34 510 . 0 , 5. . .Re s = = v x u x ux, camada limite laminar 510 . 0 , 5. . .Re > = = v x u x ux, camada limite turbulenta Narealidadeexisteumaregiodetransioentreosescoamentoslaminare turbulento e os limites citados anteriormente podem variar de acordo com a rugosidade da parede e o formato da regio de entrada. Nositensqueseguemseroutilizadososprincpiosquefundamentama DinmicadosFluidos:conservaodamassa,princpiodeconservaodaenergia(1 leidaTermodinmica),2leidaTermodinmica(nemtodocalorpodeserconvertido em trabalho) e 2 lei de Newton; aplicados a um elemento macroscpico representativo do sistema (volume de controle - VC). Esseenfoqueglobalbastantetil,umavezquepermitearesoluode problemasprticosdeEngenhariasem,noentanto,conhecerminuciosamenteoque acontece com o fluido ponto a ponto no escoamento. 3.1 Balano Global de Massa Uma das leis (princpios) fundamentais das cincias que encerram a Engenharia aleidaConservaodaMassa.Esseprincpioestabelecequeamassanopodeser criadaoudestruda.Ento,obalanomaterialtotaldascorrentesenvolvidasemum sistema pode ser enunciado na forma da Equao 3.3, ou ainda na Equao 3.4: Taxa de massaque entra no VCTaxa de massaque sai do VC- =Taxa de massaque acumula no VC(3.3) Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 35 Notequeostermosligadosareaesqumicasnodevemestarpresentesno balanomaterialtotalequeesseprincpionovlidonaocorrnciadereaes nucleares. 01 2= + dtdMw w (3.4) na qual w2 a vazo mssica de sada, w1 a vazo mssica de entrada, M a massa no interiordovolumedecontroleetotempo.Introduzindoanotaodevariao,a Equao 3.4 se transforma em: 0 = + AdtdMw(3.5) Exemplo 3.1 da pgina 29 de Bennett e Myers (1978) Um tanque cilndrico tem rea de seo transversal de 0,372 m2 e est cheio com gua at a profundidade de 1,83 m. Uma vlvula aberta no fundo do tanque e a vazo que sai reduzida a medida que a altura do nvel diminui, segundo a equao: h w 44 , 16 = sendo w a vazo mssica de gua (kg/min) eh aaltura do nvel dgua no tanque (m). Deseja-se conhecer qual o tempo necessrio para a gua atingir a altura de 0,61 m. Casoexistamaisdeum componentenosistema(componenteA),aequaodo balano de massa para a ausncia de reaes qumicas (equaes 3.6 e 3.7): Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 36 Taxa de massa de A que entra no VCTaxa de massa deA que sai do VC- =Taxa de massa de Aque acumula no VC(3.6) 01 2= + dtdMw wAA A(3.7) na qual wA2 a vazo mssica de A na sada, wA1 a vazo mssica de A na entrada, MA a massa de A no interior do volume de controle. Essa equao expressa em funo das fraes mssicas das correntes de entrada, sada e no interior do sistema (Equao 3.7): 0) . (. .1 21 2= + dtx M dx w x wAA A(3.8) sendo que xA2 a frao mssica de A na corrente de sada, xA1 a frao mssica de A na corrente de entrada e xA a frao mssica de A acumulada no sistema. Utilizando a notao de variao (Equao 3.9): ( ) 0) . (. = + Adtx M dx wAA(3.9) Exemplo 3.2 da pgina 31 de Bennett e Myers (1978) guaesaldecozinhaentramemumtanquecomagitaomecnicacomas vazes de 68,1 kg/min e 13,62 kg/h respectivamente. A soluo resultante com a vazo de 54,48 kg/h retirada do tanque. Sabendo-se que no instante inicial havia 45,40 kg de guanotanque,calculeafraomssicadesadaaps1hdoinciodaoperao. Assuma o modelo de mistura completa no tanque com agitao mecnica. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 37 Exemplo 3.3 da pgina 54 de Geankoplis (1993) Inicialmente,umtanquecontm500kgdeumasoluo10%emmassadesal. Instantaneamente, uma corrente de vazo mssica de 10 kg/h com 20% em massa de sal entra e outra corrente de 5 kg/h sai do tanque. Ache uma equao que relacione a frao mssicadesalquesaidotanqueemfunodotempo,considerandoosistemabem homogeneizado por agitao. 3.1.1 Equao Geral para o Balano Material Imagineumvolumedocontrolefixonoespao,atravsdoqualexisteum escoamento com velocidade uem cada ponto de elemento de rea dA, cujo ngulo o onguloentreovetornormal n (perpendicularasuperfcieemcadapontoe direcionado para fora) e o vetor velocidade (Figura 3.5). dA dAnuodA dAnuo Figura 3.5 Volume de controle com indicao dos vetores velocidade e normal, o ngulo a entre eles, aplicados em um elemento de rea Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 38 Adiferenaentreasvazesmssicasqueentramequesaemdovolumede controle representada matematicamente por: w dA uAA =}}. cos . . o Notequeoproduto .u ofluxototaldemassaemcadaponto(vazomssicapor unidade de rea, kg.m-2.s-1). Aquantidadetotaldemassaacumuladanointeriordovolumedecontrole, originada pela diferena entre as vazes mssicas totais de sada e entrada, : dtdMdVdtdVC=}}}. Combinando-se as duas contribuies chega-se na Equao 3.10: 0 . . cos . . = +}}} }}VC AdVdtddA u o (3.10) Que a equao geral do balano total de massa. Considere o escoamento em um bocal, conforme indicado na Figura 3.6 Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 39 n2u2n1u1o1 o212A1A2n2u2n1u1o1 o212A1A2 Figura 3.6 Bocal com indicao dos vetores velocidade e normal com o ngulo o entre eles em cada face Nareadeentrada(A1): o1801 = o e1 cos1 = o .Jnareadesada(A2): o02 = oe1 cos2+ = o . Ento: }} }} }}+ =2 12 2 2 2 1 1 1 1. cos . . . cos . . . cos . .A A AdA u dA u dA u o o o }} }} }}+ + =1 22 2 2 1 1 1). 1 .( . ). 1 .( . . cos . .A A AdA u dA u dA u o }} }} }} =1 21 1 1 2 2 2. . . . . cos . .A A AdA u dA u dA u o Pode-seassumirqueasmassasespecficasdofluido(1e2)sejamuniformes nas reas de entrada e sada. Logo: }} }} }} =1 21 1 1 2 2 2. . . . . cos . .A A AdA u dA u dA u o OTeoremadaMdiadoClculoDiferencialeIntegralforneceque(Equao 3.11) as velocidades mdias nas faces de entrada e sada (ub1 e ub2) so obtidas por: Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 40 }}=11 111. .1AbdA uAu e }}=22 222. .1AbdA uAu Ento: }}=11 1 1 1. . .AbdA u A u e }}=22 2 2 2. . .AbdA u A u Portanto: 1 1 1 2 2 2. . . . . cos . . A u A u dA ub bA o =}} No caso do regime ser permanente: 0 . = =}}}dtdMdVdtdVC Assim, o balano material total se resume a: 1 1 1 2 2 2. . . . . . cos . . A u A u dVdtddA ub bVC A o = +}}} }} Ou seja, a vazo mssica de entrada igual a vazo mssica de sada: 1 1 1 2 2 2. . . . A u A ub b = Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 41 Analogamenteaorealizadoparaobalanomaterialtotal,aEquao3.10pode seradaptadapararepresentarobalanomaterialdeumcomponenteparaumsistema no reacional (Equao 3.11): 0 . . cos . . = +}}} }}VCAAAdVdtddA u o (3.11) sendo que A a concentrao mssica do componente A na mistura. No caso do sistema ser binrio, formado pela mistura das substncias A e B, e na ausncia de reaes qumicas, a Equao 3.11 fica na forma: 0 . . cos . . = +}}} }}VCAAAdVdtddA u o 0 . . cos . . = +}}} }}VCBABdVdtddA u o Pode-seentosomarasduasequaesparachegarnaequaodobalano material total: 0 . . . cos . . . cos . . = + + +}}} }}} }} }}VCBVCAABAAdVdtddVdtddA u dA u o o Como a integral da soma a soma das integrais, assim como para as derivadas: 0 ). ( ). cos . . cos . . ( = + + +}}} }}VCB AAB AdVdtddA u u o o Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 42 Colocando-se u e coso em evidncia: 0 ). ( ). .( cos . = + + +}}} }}VCB AAB AdVdtddA u o Portanto,comoaconcentraomssicatotalasomadasconcentraes mssicas das partes (A e B), pode-se retornar Equao 3.10: 0 . . . cos . ). ( ). .( cos . = + = + + +}}} }} }}} }}VC A VCB AAB AdVdtddA u dVdtddA u o o 3.2 Balano Global de Energia APrimeiraLeidaTermodinmicaenunciaoPrincpiodeConservaoda Energia. Este princpio no rigorosamente vlido em sistemas com reaes nucleares, nos quais parte da massa se transforma em energia. comumautilizaodaequaogeraldobalanonaformadaEquao3.12 pararepresentarobalanoglobaldeenergia,demaneiraanlogarepresentaodo Princpio de Conservao da Massa pela Equao 3.10: Taxe de energiaque sai do VCTaxe de energiaque entra no VC- +Taxe de energiaque acumula no VC=Taxe de calorque entra no VCproveniente das vizinhanas-Taxe de trabalhoque sai do VCpara as vizinhanasTaxe de energiaque sai do VCTaxe de energiaque entra no VC- +Taxe de energiaque acumula no VC=Taxe de calorque entra no VCproveniente das vizinhanas-Taxe de trabalhoque sai do VCpara as vizinhanas(3.12) Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 43 A conveno de sinais utilizadas na Equao 3.12 foi baseada no funcionamento dasmquinasavapor:ocalorqueentranovolumedecontrolepositivoeotrabalho que sai do volume de controle positivo (Figura 3.7). q > 0w > 0q > 0w > 0 Figura 3.7 Esquema de mquina a vapor com a entrada de calor e sada de trabalho AEquao3.12representadamatematicamente,introduzindo-seumtermode energiatotalespecfica(E)nobalanoglobaldemassa(Equao3.10)deformaa resultar na Equao 3.13: w q = +}}} }}VC AdV EdtddA E u . . . . cos . . o (3.13) OprimeirotermodaEquao3.13representaavariaodeenergianovolume de controle vinculada entrada e sada de massa (escoamento) no sistema. O segundo termo, expressa o acmulo de energia pelo acmulo de massa no volume de controle. O termoqaquantidadedecalorrecebidaporunidadedetempopelosistema proveniente das vizinhanas. Enquanto que w o trabalho por unidade de tempo que o sistema realiza sobre as vizinhanas. A energia E de um sistema contendo fluidos em escoamento pode ser subdivida como sendo a soma das energias interna (U), cintica do escoamento (u2/2) e potencial gravitacional(z.g).Noseroaquiabordadasascontribuiesdevidosaesde campos eltricos e magnticos (Equao 3.14): Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 44 g zuU E .22+ + = (3.14) Em que E energia especfica total do fluido por unidade de massa ( J/kg no SI); U a energia interna por unidade de massa do fluido referente energia de vibrao, ligao e rotaodasespciesqumicasqueformamofluido(J/kgnoSI),dependenteda quantidadedematriaedatemperatura;uavelocidadedofluidoemrelaos fronteirasdovolumedecontroleparaumadadaposioeu2/2aenergiacinticado fluido devido ao movimento da massa do fluido (J/kg no SI);z a altura relativa a um plano de referncia arbitrrio (datum) e o produto de z pela acelerao da gravidade (g) representaaenergiapotencialdevidoexposiodamassadofluidoaocampo gravitacional terrestre (J/kg no SI). NaEquao3.13pode-seexpressarotrabalhorealizadopelosistemasobreas vizinhanas na forma de algumas contribuies: a) ws, trabalho pela existncia de um eixo (shaft) que atravessa a superfcie do volume de controle, geralmente eixo com movimento rotativo ou alternativo que pode adicionar (comoocasodemquinasgeratrizes,isto,bombas,compressores,ventiladorese sopradores) ou retirar trabalho do sistema (para mquinas motoras, ou turbinas). b) }}AdA V P u . cos . . . . o ,trabalhoocasionadopelodeslocamentodeumvolumeVao vencerumapressoPquandoumamassadefluidoescoadaentradaparaasadado sistema. c) }}AssdAs P u . cos . . | ,trabalhotransferidopelamovimentaonocclicadasuperfcie dovolumedecontrole(expansooucontraodasparedes)aumavelocidadeuscom Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 45 inclinao | e rea dAs. Em geral, em Engenharia Qumica us nula, pois as paredes so rgidas. Ento, o balano global de energia fica na forma (Equao 3.15): }} }}}}}}} =cc+AssAVCAdAs P u dA V P utdV EdA E u . cos . . . cos . . . .. .. cos . . . | o o sw q(3.15) Uma vez queg zuU E .22+ + = , logo a Equao 3.15 se transforma na Equao 3.16: }} }}}}}}} =cc+ + +AssAVCAdAs P u dA V P utdV EdA g zuU u. cos . . . cos . . . .. .. cos ). .2.( .2| o o sw q(3.16) Rearranjando: }}}}}}} }} =cc+ + + +AssVCA AdAs P utdV EdA V P u dA g zuU u. cos . .. .. cos . . . . . cos ). .2.( .2|o o sw q Como a integral da soma a soma das integrais (Equao 3.17): }}}}}}} =cc+ + + +AssVCAdAs P utdV EdA g zuV P U u . cos . .. .. cos ). .2. .( .2|o sw q (3.17) Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 46 SubstituindonaEquao3.17adefiniodeentalpia(H),H=U+P.V,aequaodo balano global de energia fica (Equao 3.18): }}}}}}} =cc+ + +AssVCAdAs P utdV EdA g zuH u . cos . .. .. cos ). .2.( .2|o sw q (3.18) No caso da superfcie do volume de controle ser rgida, us nula (Equao 3.19): sw q =cc+ + +}}}}}tdV EdA g zuH uVCA. .. cos ). .2.( .2o (3.19) Paraprocessosemregimepermanente,aEquao3.19setransformana Equao 3.20: sw q = + +}}AdA g zuH u . cos ). .2.( .2o (3.20) OusodaEquao3.20poucoprticaeporisso,seroutilizadosvalores mdiosrepresentativosdaspropriedadesatravsdoTeoremadaMdia.Nessesentido, como a integral da soma a soma das integrais (Equao 3.21): sw q = + +}} }} }}A A AdA g z u dAuu dA H u . cos . . . . . cos .2. . cos . . .2o o o (3.21) Seascorrentesdeentradaesadadefluidoforemperpendicularessreasde entrada (A1) e sada (A2): Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 47 o1801 = oe1 cos1 = oo02 = oe1 cos2+ = oEnto: sw q = + ++ + +}} }} }}}} }} }}22 2 2 2 211 1 1 1 122 222211 121122 2 2 2 211 1 1 1 1. cos . . . . . cos . . . . . cos .2.. cos .2. . cos . . . . cos . . .A A AA A AdA g z u dA g z u dAuudAuu dA H u dA H uo o o o o o sw q = + + + ++ + + + }} }} }}}} }} }}22 2 2 211 1 1 122222 211211 122 2 2 211 1 1 1). 1 .( . . . ). 1 .( . . . ). 1 .(2.). 1 .(2. ). 1 .( . . ). 1 .( . .A A AA A AdA g z u dA g z u dAuudAuu dA H u dA H u sw q = + + }} }}}} }} }} }}11 1 1 122 2 2 211211 122222 211 1 1 122 2 2 2. . . . . . . ..2. .2. . . . . . .A AA A A AdA g z u dA g z udAuu dAuu dA H u dA H u Se as massas especficas nas reas de entrada e sada de fluido forem uniformes (1 e 2) e se g for constante: sw q = + + }} }}}} }} }} }}11 1 1 122 2 2 211211 122222 211 1 1 122 2 2 2. . . . . . . ..2. . .2. . . . . . . .A AA A A AdA z u g dA z u gdAuu dAuu dA H u dA H u O Teorema da Mdia fornece que: Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 48 ( )}}=11 1 111 1. . .1.AmeddA H uAH u ( )medAH u A dA H u1 1 111 1 1. . . . =}} ( )}}=22 2 222 2. . .1.AmeddA H uAH u( )medAH u A dA H u2 2 222 2 2. . . . =}} ( )}}=1131131.212AmeddAuAu ( )2. .23111131 medAuA dAu=}} ( )}}=2232232.212AmeddAuAu ( )2. .23222232 medAuA dAu=}} ( )}}=11 1 111 1. .1.AmeddA z uAz u ( )medAz u A dA z u1 1 111 1 1. . . . =}} ( )}}=22 2 222 2. .1.AmeddA z uAz u ( )medAz u A dA z u2 2 222 2 2. . . . =}} Ento: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )sw q = + + med medmed medmed medz u A g z u A guAuA H u A H u A1 1 1 1 2 2 2 2311 1322 2 1 1 1 1 2 2 2 2. . . . . . . .2. .2. . . . . . . . Comooregimepermanente,oescoamentoperpendicularssuperfciesde entradaesadaeasmassasespecficasdofluidosouniformes,obalanomaterialse resume a: 1 1 1 1. . A ub w = 111 1.ubwA= 1 1 1 1. . A ub w = 222 2.ubwA = Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 49 Logo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sw q = + + 11 1 122 2 2131 1232 211 1 122 2 2. . . . . .2 ..2 .. . . . .ubz u w gubz u w gubu wubu wubH u wubH u wmed med med med med med Assumindoqueastemperaturas,aspresseseacomposiessejamuniformes nas reas de entrada e sada. E tambm que se possa representar as posies das regies de entrada e sada em relao a um plano de referncia com base nos pontos mdios (z1 e z2, respectivamente). Ento: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sw q = + + 11 1 122 2 2131 1232 211 1 122 2 2. . . .2 ..2 .. . . .ubu z w gubu z w gubu wubu wubu H wubu H wmed med med med med med Como( )1 1ub umed=e( )2 2ub umed= : ( ) ( )sw q = + + 1 1 2 2131 1232 21 1 2 2. . . .2 ..2 ... . z w g z w gubu wubu wH w H wmed med Nos termos de variao de energia cintica, h o valor mdio de uma funo ao cubo,quenocoincidecomovalormdioaocubo,ouseja:( ) ( )3131ub umed= e ( ) ( )3232ub umed= .Noentanto,pode-seintroduzirumcoeficientededesvio(u)de maneiraque:( )( )u3131ubumed= e( )( )u3232ubumed= .Noscasosdeescoamentos laminares e turbulentos, os valores de uso: Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 50 - Escoamento laminar em tubos 21= u- Escoamento turbulento em tubos1 9 , 0 ~ = uPortanto, introduzindo a notao de variao (A), a equao do balano global de energia fica (Equao 3.22): ( ) ( )sw q = A + A + A z w gub wH w . .. 2..2u(3.22) Nocasodosistemapossuirapenasumacorrentedeentradaeumacorrentede sada: 2 1w w w = = poisoregimepermanente.Sendoassim,aEquao3.22setransformanaEquao 3.23: ( ) ( )sw q = A + A + A z w gub wH w . .. 2..2u ( )sw q = A + A + A z g wubw H w . .. 2. .2u Que dividida por w: ( )w wz gww ubwwHwwsw q = A + A + A . .. 2. .2u FazendoQw =q e ssWw=w: sW Q = A + A + A z gubH .. 22u(3.23) Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 51 MuitosdosproblemasdeEngenhariaQumicaempregamovapordgua saturado(vaporcondensante)comofontedecaloremsistemasdeaquecimento.As tabelas3.1e3.2mostramaspropriedadesdaguasaturadavaloresdeentradaem funo da temperatura e de presso respectivamente. Ao utilizar as tabelas 3.1 e 3.12, cabe lembrar que a entalpia de lquido pouco dependente da presso, assim a entalpia de gua lquida insaturada possui praticamente a mesma entalpia da gua lquida na presso de saturao para a mesma temperatura. No caso do ponto de interesse nas tabelas cair entre duas linhas, pode-se realizar a interpolao linear para obter valores intermedirios. Exemplo 3.3 Sabe-se que o calor especfico da gua lquida a 25C de 0,9989 cal/gC. EntoutilizeaTabela3.1paracalcularodesviopercentualentreaentalpiadagua lquida insaturada a 25C e 1 atm com a da saturada na mesma temperatura. Identifique tambmapressonaqualaguaa25Cdeveriaestarparaseencontraemequilbrio termodinmico. Exemplo 3.4 Utilize a interpolao linear para achar as entalpias da gua lquida e vapor a1,0kgf/cm2depressomanomtricaparaumapressoatmosfricalocalde712 mmHg. Exemplo 3.5 gua a 85C, armazenada em um tanque isolado termicamente e presso atmosfrica, bombeada em regime permanente pela ao de uma bomba com a vazo de 0,6 m3/min. A bomba fornece ao fluido a potncia de 7,5 kW nas condies fixadas. Aguapassaatravsdeumtrocadordecalorqueretira1400kWdagua.Agua lquidaresfriadaentoarmazenadaemumsegundotanqueaberto,cujonvel mantidoconstantee20macimadonveldoprimeiro,tambmcomnvelconstante. Calcule a temperatura da gua no tanque de descarga. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 52 Tabela 3.1 Propriedades da gua saturada com entrada em temperatura Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 53 Tabela 3.2 Propriedades da gua saturada com entrada em presso absoluta Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 54 3.3 Balano Global de Energia Mecnica Aequaodobalanoglobaldeenergiamecnica,tambmconhecidacomo equao de Bernoulli modificada, pode ser obtida tomando-se como ponto de partida a equao do balano global de energia (Equao 3.23): sW Q = A + A + A z gubH .. 22u(3.23) que foi obtida mediante a adoo das seguintes hipteses: -validadedoPrincpiodeConservaodaMassa,ouseja,ausnciadereaes nucleares no sistema; - inexistncia de campos eltricos e magnticos interferindo no escoamento; - volume de controle rgido (us = 0); - escoamento perpendicular superfcie do volume de controle nas regies de entrada e sada de fluido (cos o = +1 e cos o = -1); - acelerao da gravidade constante; - regime permanente; - validade do Teorema da Mdia para representar a velocidade, posio em relao a um plano de referncia e entalpia das correntes nas regies de entrada e sada de fluido do sistema. NasaplicaesdeEngenhariatilexpressarostermosdobalanoglobalde energiaemcontribuiesdeenergiamecnica,queestoexplicitamenteassociadass variveis velocidade mdia, posio e presso das correntes de entrada e sada de fluido dovolumedecontrole.Paraisso,seroutilizadosoPrincpiodaConservaoda Energia, a 2 Lei da Termodinmica e a definio de entalpia. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 55 Quandoumaunidadedemassadefluidopassaatravsdovolumedecontrole (daentradaparasada),ofluidovenceumapressodeoposio(P)edeslocaum volumecorrespondente(V),cujotrabalhorealizado }21.VVdV P (trabalhoreversvele positivo, pois sai do sistema). No entanto, a 2 Lei da Termodinmica determina que o atrito dissipa uma quantidade de energia naforma de calor(lw), quantidade de energia mecnica irreversivelmente perdida na forma de calor, que no seu estado final entra no fluido.Logo: lw dV P WVV = }21. (3.24) Por outro lado, o Princpio da Conservao de Energia enuncia que: W Q U = A (3.25) Ou seja, substituindo a Equao 3.24 na Equao 3.25, tem-se que: ||.|

\| = A}lw dV P Q UVV21. (3.26) lw dV P Q UVV+ = A}21. (3.26) Mas, as definies de entalpia (H) e de variao de entalpia fornecem que: V P U H . + = (3.27) Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 56 ( ) V P U H . A + A = A (3.28) A Equao 3.28 expressa na integral do produto fornece que: } }+ + A = A2121. .PPVVdP V dV P U H(3.29) A juno das equaes 3.26 e 3.29 resulta em: } } }+ + + = A212121. . .PPVVVVdP V dV P lw dV P Q H}+ + = A21.PPdP V lw Q H (3.30) que substituda na equao do balano global de energia (Equao 3.23) fornece que: sW Q = A + A + + +}z gubdP V lw QPP.. 2.2 21u 0 . .. 2212= + + + A + A}sWPPdP V lw z gubu(3.31) Ovolumeporunidadedemassadofluido(V)quepercorreuovolumede controle o inverso da massa especfica (1/). Ento: Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 57 0 .. 2212= + + + A + A}sWPPdPlw z gub u(3.32) Notequeotermo }21.PPdP V tambmtemadimensodeenergiaporunidadede massa. Ou seja, no SI: kgJkgm NmNkgmdP VPP= = =(((

}.. .23 21 Nessemomento,precisoverificarocomportamentodamassaespecficado fluidoemrelaodiferenadepressoaolongodosistema.Nocasodefluido incompressvel ( constante), hiptese realstica para lquido com temperatura uniforme e para gases com temperatura constante e velocidade de escoamento bastante inferior velocidadedosom,isto,paraquedasdepressodaordemdemmH2OacmH2O. Nesses casos, a Equao 3.32 se transforma em: 01.. 2212= + + + A + A}sWPPdP lw z gub u(3.33) Ento: 0 .. 2212= + + + A + AsW uPPPlw z gub ( )0 .. 21 22= ++ + A + AsW uP Plw z gub Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 58 0 .. 22= + +A+ A + AsW lwPz gub u(3.34) importante notar que na obteno da Equao 3.34 no foi prevista variao de entalpia devido existncia de reao qumica. Como visto anteriormente, nas aplicaes do balano global de energia, o termo Ws est vinculadoexistncia de trabalho de eixo proveniente de mquinasgeratrizes ou motoras: Bombas, Ventiladores, Sopradores e Compressores Adicionam trabalho aos fluidos Ws< 0Bombas, Ventiladores, Sopradores e Compressores Adicionam trabalho aos fluidos Ws< 0 TurbinasRetiram trabalho dos fluidos Ws> 0 TurbinasRetiram trabalho dos fluidos Ws> 0 A energia que o eixo transfere ao fluido, decorrente de movimentos rotativos ou alternativos,nototalmenterecebidapelofluido.Defini-seentoumaeficinciade troca(q),umavezquehperdasdecorrentesdavibrao,liberaodesomecalor quando o fluido passa atravs da mquina. Pode-se tambm separar a perda de energia por atrito (lw) devido ao escoamento atravs da tubulao (lwf), na bomba (lwp) ou na turbina (lwt). Ento: lwp lwf lw + = (3.35) lwt lwf lw + = (3.36) Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 59 Que substitudas na Equao 3.34 fornecem que: 0 .. 22= + + +A+ A + AsW lwp lwfPz gub u(3.37) para bombas. 0 .. 22= + + +A+ A + AsW lwt lwfPz gub u(3.38) para turbinas. Uma vez que a eficincia deve expressar uma frao entre 0 e 100% e da forma datransfernciadeenergianointeriordasmquinas,qdefinidadiferentementepara mquinas geratrizes (qp)e motoras (qt): sspWlwp W+= =eixo do energia fluido pelo recebidaenergia q (3.39) e lwt WWsst+= =turbina pelafluido do retiradaenergia eixo pelo absorvidaenergia q (3.40) Logo: lwp W Ws s p+ = . q (3.41) e Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 60 lwt WWsts+ =q(3.42) Asequaes3.41e3.42respectivamentesubstitudasnasequaes3.37e3.38 fornecem que: 0 . .. 22= + +A+ A + AsWplwfPz gubq u (3.43) para mquinas geratrizes. 0 .. 22= + +A+ A + AtlwfPz gubq usW(3.44) para mquinas motoras. As equaes 3.43 e 3.44 so as duas principais formas das equaes do balano global de energia mecnica. Autilizaodasequaes3.43e3.44aplicadasasituaesprticasrequera quantificaodaperdadecargadofluidoaoescoarportrechosretos(perdadecarga distribuda), por conexes e acessrios (perda de carga localizada) do sistema contendo tubulaes. Ofatordeatrito(f)umparmetrodefinidoparaadeterminaodaperdade cargaemdutoseacessrios.EssarelaoestabelecidasegundoaequaodeDarcy-Weisbach,propostaem1845,tambmconhecidaporfrmularacionalouequao universal: Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 61 2. .2VDLf lwfT= (3.45) sendo,LTocomprimentototalretilneodatubulao,incluindoocomprimento equivalente em trecho reto de tubo de cada acessrio e conexo presentena tubulao, D o dimetro interno do tubo e V a velocidade mdia do escoamento no duto. possvelpreverteoricamenteaequaodofatordeatritodeDarcyparao escoamento laminar (Equao 3.46). Essa demonstrao ser realizada na disciplina de balanosdiferenciaisdemassaequantidadedemovimento(FenmenosdeTransporte 1). . .. 64Re64V Dfd= = (3.46) sendo que D o dimetro interno do tubo, V a velocidade mdia do escoamento, a massa especfica do fluido, a viscosidade do fluido. A Equao 3.46 vlida para o escoamento laminar de fluidos newtonianos (Red < 2100), tanto pata tubo de parede lisa quanto rugosa. Arugosidadedotubocaracterizadapelaalturamdiadasprotuberncias, chamadaderugosidadeabsolutaouequivalente(c),quefunodotipodematerial construtivoedoacabamentodadopea.Arugosidaderelativaarelaoentrea rugosidade absoluta e o dimetro do tubo (c/D). Ofatordeatritoparaoescoamentoturbulentonodependentesomentedo nmerodeReynolds,mastambmdarugosidadedasuperfciedaparedeinternado duto.Historicamente,adeterminaodefemfunodarugosidade(c)temsidofeita empiricamenteerepresentadanaformadegrficosoudecorrelaes(explcitasou Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 62 implcitas emf). O Diagrama de Moodyde 1939 a 1944 foi baseado nosresultados de Nikuradsede1933,obtidoscomescoamentodefluidonewtonianoemdutosdeseo circular revestidos internamente com gros de areia, de forma a variar artificialmente a rugosidadedaparedeinternaexpostaaofluidoemescoamento.NoDiagramade Mooody(Figura3.8)pode-seobterfnoeixodasordenadasemfunodonmerode Reynoldsdoescoamentodeumfluidonewtonianoemtubos(eixodasabscissas)eda rugosidade relativa (c/D) (diferentes curvas do grfico). Noescoamentolaminar,oefeitodarugosidadedesprezvelpelaformaode umacamadadeestagnaosobresuperfcierugosademodoqueaslminasde fluidodeslizamumasobreasoutrasnointeriordeumtubodedimetrointernoreal igual a D-2.c. ArugosidaderelativadetubospodeserobtidaatravsdaFigura3.9,que relaciona o dimetro interno do tubo ou nominal de um tubo padronizado 40S (no eixo das abscissas) com o material e com o acabamento de sua confeco nas diversas linhas do grfico. Foivistoatomomentoqueaperdadecargaemtrechosretosdatubulao podesercalculadaatravsdaequaodeDarcyedofatordeatrito.Noentanto,sea velocidadedoescoamentomudardemdulooudedireo,umaperdadeenergia adicional deve acontecer (perda de carga localizada).Aperdadecargaemexpanses,contraes,curvas,cotovelos,vlvulas, entradas,sadasedemaisacessriospodesercomputadanaformadecomprimentos adicionaisdetrechosretosdotuboemquestoparacadatipodeacidente.Atribui-se assim, a perda de carga a um trecho reto imaginrio de comprimento LT de forma que: + = Leq L Lrealreto T(3.47) Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 63 Umadasmaneirasdesedeterminaroscomprimentosequivalentesdecada acessrio atravs do baco da Crane Co. (Figura 3.10). Deve-se unir o ponto referente ao acessrio no eixo daesquerda ao dimetro interno da tubulao na escala da direita doeixo tambmdireitaatravsdeumsegmentodereta.Ocomprimentoequivalente da pea, em ps, lido no eixo central. No caso da tubulao ser do tipo Schedule 40 (40S), a escala a ser utilizada a da esquerda no eixo da direita. No caso do duto no ser de seo circular, pode-se utilizar as mesmas equaes descritas,pormsubstituindoodimetrointernodotubopelodimetrohidrulicodo duto (Dh). A definio de Dh : oADh. 4= (3.48) emqueAareadaseotransversalformadapelofluidonodutoeoopermetro molhado do duto (soma dos comprimentos da seo transversal da parede do duto). fluidoaa fluidoaa

fluidoab fluidoab afluido bafluido b aa a a aaDh=+ + +=) (. 42 ) . 2 . 2 (. . 4b ab aDh+=) . 2 (. . 4b ab aDh+= O nmero de Reynolds tem de ser ento calculado por: Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 64 . .ReV Dhd= (3.49) A velocidade mdia do escoamento no duto( ) Vdeve ser calculada com base na rea de seo transversal obtida com o dimetro hidrulico do duto: 2.. 4hVDqVt= (3.50) sendo que Vq a vazo volumtrica do escoamento. A perda de carga no duto de seo no circular obtida por: 2. .2VDLf lwfhT= (3.51) Figura 3.8 Diagrama de Moody para escoamento de fluido newtoniano em tubosRugosidade relativac/DDimetro nominal de tubo 40S ou interno (in.)Rugosidade relativac/DDimetro nominal de tubo 40S ou interno (in.) Figura 3.9 Rugosidade relativa em funo do dimetro do tubo Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 67 Figura 3.10 baco da Crane Co. para determinao do comprimento equivalente dos principais acessrios Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 68 Exerccios Propostos Exerccio 3.1: Um tanque de estocagem (sem corrente de sada) tem a capacidade total de armazenamento de 15.352 kg. Inicialmente, existe no interior do tanque 1.537 kg de umasoluo7%emmassadecidoactico.Repentinamente,soalimentadasao tanque uma corrente de 2.355 kg/h de gua e outra de 1.177,5 kg/h de cido actico. A agitao mecnica permite assumir quea composio no interior do tanque igualem qualquer ponto. Nestas condies, determine: a) O tempo de preencher o tanque; b) A equao que relaciona a composio de sada com o tempo de operao; c)Acomposioparaotempoequivalenteametadedotempodeenchimentoea composio no instante final. Exerccio 3.2: Um tanque com agitao mecnica, contendo 3,8 m3 de uma soluo de 95% em massa de etanol, opera em regime permanente com um escoamento contnuo de entradaesadade0,38m3/mindelcool95%emmassa(massaespecficade0,804 g/ml).Oescoamentodelcoolrepentinamenteinterrompidoesubstitudoporumde gua com a mesma vazo (massa especfica de 997 kg/m3). Se a massa total de material no tanque permanece constante, qual o tempo necessrio para a porcentagem de lcool cair a 50%. Exerccio 3.3: Um tanque de volume total igual a 20 m3 possui no seu interior 1000 kg deumasoluodesalmouraa10%emmassa.Repentinamente,umavazode1000 kg/hdeguapuraentranotanqueeumavazode500k/hsaidomesmo.Calculeo temponecessrioparapreenchercompletamenteotanqueeobtenhaaequaoque Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 69 relaciona a composio da salmoura no seu interior em funo do tempo. Assuma que a massa especfica da salmoura no tanque seja constante e igual a 1100 kg/m3. Exerccio 3.4: Deseja-se preparar uma soluo de soda custica 25% em massa a partir de uma corrente de NaOH slida (100%) e uma corrente de gua, ambas com vazo de 1750kg/h.Noinstanteinicial,otanquecontm1.000kgdesoluo5%desoda.O sistema de agitao mecnica permite assumir que a composio no interior do tanque igual a composio de sada. Nestas condies, determine: a) O tempo necessrio para preparar a soluo 25% em massa se no houver corrente de sada enquanto se procede a diluio; b) A massa de soluo final produzida nas condies do item a; c)Otemponecessrioparaprepararasoluo25%emmassasehouverumacorrente de sada de vazo constante igual a 800 kg/h enquanto se procede a diluio; d) A massa de soluo final produzida nas condies do item c. Exerccio3.5:Listeashiptesesassumidasnaobtenodarelao 1 1 1 2 2 2. . . . A u A ub b = . Exerccio 3.6: Mostre que as equaes 3.14 e 3.15 so dimensionalmente homogneas. Exerccio 3.7 Uma caldeira opera com a presso de 313,0 kPa (absoluta) para a gerao devaporsaturado.Avazomssicadevaporsaturadodesejadode10,0t/hpara atender as necessidades de processo. A alimentao feita com gua a 25C. No esto disponveisinformaesdospontosdeentradaesadadastubulaes.Calculeatroca de calor necessria e comente sobre a validade do valor obtido. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 70 Exerccio 3.8 Uma caldeira alimentada com duas correntes de gua com as vazes de 5.000kg/ha40Ce450kg/ha80oC.Atemperaturaestipuladaparaovaporsaturado produzido de 152oC. Nestas condies, determine: a) A presso de operao da caldeira; b) A vazo volumtrica o vapor produzido; c) O calor trocado por unidade de massa de vapor; d) A potncia da caldeira. Exerccio3.9guaestarmazenadaemumvazodepressoiguala1.000kPa.A temperatura indicada de 250oC. Pede-se: a)Qualoestadofsicodagua,justifiquesuarespostacombasenastemperaturase presso no interior do vazo e de saturao; b) A entalpia do vapor saturado; c) A capacidade calorfica mdia do vapor; d) A entalpia do vapor superaquecido. Exerccio 3.10 Uma caldeira utilizada para gerar vapor a presso absoluta de 3,7 bar e temperatura de 160C, a partir da alimentao de duas correntes de gua lquida, uma de 3000 kg/h a 25C e outra de 1000 kg/h a 80C. No esto disponveis informaes sobre as tubulaes de entrada e sada das correntes. Nestas condies, pede-se: a) Identifique se o vapor gerado saturado ou superaquecido e explique por qu; b) A potncia da caldeira em kW. Dados:capacidadecalorficamdiadovapordguanointervalodetemperaturaem questo = 0,45 kcal/kg.C. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 71 Exerccio 3.11 Uma caldeira alimentada com duas correntes de gua com as vazes de 5.000kg/he450kg/ha28oC.Atemperaturaestipuladaparaovaporsaturado produzido de 152oC. Nestas condies, determine: a) A presso de operao da caldeira; b) A vazo volumtrica o vapor produzido; c) O calor trocado por unidade de massa de vapor; d) A potncia da caldeira. Exerccio 3.12 A instalao de bombeamento esquematizada a seguir utilizada para o transportedeguaa25oC.Atubulaodesucoederecalquesodeaocomercial (40S) com dimetro de 2 in. As curvas indicadas no esquema de raio longo e a entrada e a sada so normais. Sabe-se que a vazo de projeto de 15,6 m3/h. Determine a perda de carga na linha, o trabalho absorvido pelo fluido e a potncias do motor se a eficincia da bomba for de 62%.3m7m9,5m5,5m15m3m7m5,5m3m7m9,5m5,5m15m3m7m5,5m Exerccio3.13Repitaoproblemaanterior,pormparaotransportedeleocom densidade e viscosidade iguais a 20cP e 919 kg/m3. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 72 Exerccio3.14Ainstalaodebombeamentoesquematizadadeveserprojetadaparao transporte de gua a 40oC com a vazo de 170 m3/h. A tubulao de suco possui um cotovelo 90oe a entrada. Esto acoplados na tubulao de descarga um cotovelo padro de90o,umregistrodeglobototalmenteabertoeasada.Ambasastubulaessode aocomercial40Scomdimetronominalde8in.Adoteapressoatmosfricalocal como sendo 712 mmHg para calcular: 10m5,35 kgf/cm2man3m7m9,5m5,5m10m5,35 kgf/cm2man3m7m9,5m5,5m Figura 1 Esquema da condio de projeto da instalao de bombeamento projetada a) A perda de carga na tubulao de suco; b) A perda de carga na tubulao de descarga; c) O trabalho de eixo por unidade de massa de gua transportada; d) A potncia til da bomba Exereccio 3.15 Um duto de seo retangular com 100 cm de largura e 50 cm de altura comportaoescoamentodearcomavazode20.000m3/ha25Ce1atm.Deve-se avaliaraquedadepressoemumtrechode80mdecomprimentoretilneo.Nessas condies, pede-se: a) O dimetro hidrulico do duto; b) A velocidade mdia do escoamento; c) O nmero de Reynolds do escoamento; Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 73 d) A perda de carga no segmento reto do duto; e) A queda de presso no trecho de duto em Pa e em mmH2O; f) A nova perda de carga no duto de fossem instalados 2 cotovelos de 90 (padro). Bibliografia BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Fenmenos de transporte. 1. ed. New York: John Wiley and Sons, 1960. 780 p. BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Fenmenos de transporte. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004. 856 p. GEANKOPLIS, C. J. Transport processes and unit operations. 3. ed. Englewood Cliffs: Prentice Hall PTR, 1993. 921 p. GEANKOPLIS,C.J.Transportprocessesandseparationprocessprinciples.4.ed. Englewood Cliffs: Prentice Hall PTR, 2003. 1025 p. WELTY, J. R.; WICKS, C. E.; WILSON, R. E. Fundamentals of momentum, heat, and mass transfer. 3. ed. New York: John Wiley and Sons, 1984. 803 p. WELTY,J.R.;WICKS,C.E.;WILSON,R.E.;RORRER,G.L.Fundamentalsof momentum, heat, and mass transfer. 4. ed. New York: John Wiley and Sons, 2001. 759 p. Reinaldo Pisani Jr Mecnica dos Fluidos, UNAERP (2013) 74 PERRY, R. H.; GREEN, D. Perrys chemical engineering handbook. 6. ed. New York: McGraw-Hill, 1984.