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NOTAES

N =f1; 2; 3; : : :g C : conjunto dos nmeros complexosR: conjunto dos nmeros reais i : unidade imaginria: i2 =1[a; b] =fx2 R; axbg jzj : mdulo do nmeroz2 C[a; b[ =

fx

2R; a

x < b

g z : conjugado do nmeroz

2C

]a; b[ =fx2 R; a < x < bg Mmn(R) : conjunto das matrizes reaism nAnB=fx; x2A e x =2Bg det A : determinante da matrizAkP

n=1

an=a1+a2+:::+ak; k2 N At : transposta da matriz AkP

n=0

an xn =a0+a1 x+:::+akx

k; k2 N A1 : inversa da matriz inversvelA

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjuntoAn(A) : nmero de elementos do conjunto nitoA

Argz : argumento principal dez2 C n f0g; Arg z2[0; 2[f g : funo composta das funes f egfg : produto das funesf e g

Observao: Os sistemas de coordenadas considerados so cartesianos retangulares.

Questo 1. Considere as armaes abaixo relativas a conjuntos A; B eCquaisquer:

I. A negao de x2A \ B : x =2A oux =2B.II. A

\(B

[C) = (A

\B)

[(A

\C).

III. (AnB) [ (BnA) = (A [ B)n(A \ B).Destas, (so) falsa(s)

A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III.

D ( ) apenas I e III. E ( ) nenhuma.

Questo 2. Considere conjuntosA; B R eC(A[B):SeA[B; A\CeB \Cso os domniosdas funes reais denidas por ln(xp); px2 + 6x 8 e

rx 5

x

;respectivamente, pode-se

armar que

A ( )C=]p

; 5[: B ( ) C= [2; ]: C ( ) C= [2; 5[:

D ( )C= [; 4]: E ( ) Cno intervalo.

Questo 3. Sez uma soluo da equao em C;

z z+ jzj2 ="p

2 +ip2 1

3 i

p2 + 1

3

!#12;

pode-se armar que

A ( )i(z z)< 0. B ( ) i(z z)> 0. C ( )jzj 2[5; 6].D ( )jzj 2[6; 7]. E ( )

z+1z >8.

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Questo 4. Os argumentos principais das solues da equao em z ;

iz+ 3z+ (z+z)2 i= 0;pertencem a

A ( )

4;3

4 : B ( ) 3

4 ;

5

4 : C ( ) 5

4 ;

3

2 :D ( )

i4

;

2

h[

3

2 ;

7

4

: E ( )

i0;

4

h[

7

4 ; 2

.

Questo 5. Considere a progresso aritmtica (a1; a2; ::: ; a50) de razod: Se10Pn=1

an = 10 + 25d e

50Pn=1

an= 4550;ento d a1 igual a

A ( )3: B ( ) 6: C ( )9: D ( )11: E ( ) 14.

Questo 6. Sejam f; g: R!R tais quef par e g mpar. Das seguintes armaes:I. f g mpar,II. f g par,III. g f mpar, (so) verdadeira(s)

A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III.

D ( ) apenas I e II. E ( ) todas.

Questo 7. A equao em x;

arctg (ex + 2) arccotg

ex

e2x 1

=

4; x2 Rnf0g;

A ( ) admite innitas solues, todas positivas.B ( ) admite uma nica soluo, e esta positiva.

C ( ) admite trs solues que se encontram no intervalo 5

2

; 3

2 :

D ( ) admite apenas solues negativas.E ( ) no admite soluo.

Questo 8. Sabe-se que o polinmio p(x) = x5 a x3 +a x2 1; a2 R; admite a raizi:Considere as seguintes armaes sobre as razes de p:

I. Quatro das razes so imaginrias puras.

II. Uma das razes tem multiplicidade dois.

III. Apenas uma das razes real.

Destas, (so) verdadeira(s) apenas

A ( ) I. B ( ) II. C ( ) III. D ( ) I e III. E ( ) II e III.

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Questo 9. Um polinmio real p(x) =5P

n=0

an xn;com a5= 4;tem trs razes reais distintas, a; b

e c; que satisfazem o sistema 80:Pode-se armar que

a1

d

igual a

A ( )4: B ( )3: C ( )2: D ( )1: E ( ) 1.

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Questo 14. Sobre os elementos da matriz

A=

2664

x1 x2 x3 x4y1 y2 y3 y40 0 0 11 0 0 0

3775

2M44(R)

sabe-se que (x1; x2; x3; x4)e(y1; y2; y3, y4)so duas progresses geomtricas de razo 3 e4 e desoma 80 e 255, respectivamente. Ento, det(A1)e o elemento (A1)23valem, respectivamente,

A ( ) 1

72 e12: B ( )1

72 e12: C ( )1

72 e12: D ( ) 1

72 e

1

12: E ( )

1

72 e

1

12.

Questo 15. O valor da soma6P

n=1

sen

2

3n

sen

3n

;para todo2R, igual a

A ( )

1

2h

cos

729 cos i : B ( ) 12 hsen 243 sen 729i :

C ( ) cos

243

cos

729

: D ( )

1

2

hcos

729

cos

243

i:

E ( ) cos

729

cos .

Questo 16. Se os nmeros reais e , com + = 4

3 ; 0 ; maximizam a soma

sen + sen ; ento igual a

A ( ) p33

: B ( ) 23

: C ( ) 35

: D ( ) 58

: E ( ) 712

.

Questo 17. Considere as circunfernciasC1: (x4)2+(y3)2 = 4eC2: (x10)2+(y11)2 = 9:Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2; isto , r tangencia C1 e C2 e intercepta o segmentode reta O1O2 denido pelos centros O1 de C1 e O2 de C2: Os pontos de tangncia denem umsegmento sobre r que mede

A ( )5p

3. B ( ) 4p

5. C ( ) 3p

6. D ( )25

3. E ( )9.

Questo 18. Um cilindro reto de altura

p6

3 cm est inscrito num tetraedro regular e tem sua

base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3 cm;o volume do cilindro,emcm3; igual a

A ( )

p3

4 : B ( )

p

3

6 : C ( )

p

6

6 : D ( )

p

6

9 : E ( )

3:

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Questo 19. Um tringulo equiltero tem os vrtices nos pontos A; B e Cdo plano xOy;sendoB= (2; 1)e C= (5; 5):Das seguintes armaes:

I. A se encontra sobre a reta y=34

x+11

2 ,

II. Aest na interseco da reta y=

3

4

x +45

8

com a circunferncia (x

2)2 + (y

1)2 = 25,

III. Apertence s circunferncias (x 5)2 + (y 5)2 = 25 e

x 72

2+ (y 3)2 =75

4 ,

(so) verdadeira(s) apenas

A ( ) I: B ( ) II: C ( ) III: D ( ) I e II: E ( ) II e III.

Questo 20. SejamA; B; CeD os vrtices de um tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm:Se M o ponto mdio do segmento AB e N o ponto mdio do segmento CD; ento a rea dotringulo MND;emcm2; igual a

A ( )p2

6 : B ( )

p28

: C ( )p3

6 : D ( )

p38

: E ( )p3

9 .

AS QUESTES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SERRESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUES.

Questo 21. Sejam A; B e Cconjuntos tais que C B; n(BnC) = 3n(B\ C) = 6n(A \ B);n(A

[B) = 22 e (n(C); n(A); n(B)) uma progresso geomtrica de razor >0:

a) Determinen(C):

b) Determinen(P(BnC)).

Questo 22. A progresso geomtrica innita (a1; a2, ..., an; ...) tem razor

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Questo 26. Uma urna de sorteio contm 90 bolas numeradas de 1 a 90, sendo que a retiradade uma bola equiprovvel retirada de cada uma das demais.

a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o nmerodesta bola ser um mltiplo de5 ou de 6.

b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem rep-la, retira-se uma segunda

bola. Calcule a probabilidade de o nmero da segunda bola retirada no ser um mltiplo de6.

Questo 27. Considere as matrizes A2M44(R)eX; B2M41(R) :

A=

2664

a 1 b 1b 1 a 00 2 0 0

a 2 b 1

3775 ; X=

2664

xyzw

3775 e B=

2664

b1b2b3b4

3775 :

a) Encontre todos os valores reais de a e b tais que a equao matricial AX = B tenha soluonica.

b) Se a2 b2 = 0; a6= 0 e B= [1 1 2 4]t; encontreXtal que AX=B .

Questo 28. Considere a equao(3 2cos2 x)

1 + tg2x

2

6 tgx

2= 0:

a) Determine todas as solues xno intervalo [0; [.

b) Para as solues encontradas em a);determine cotg x.

Questo 29. Determine uma equao da circunferncia inscrita no tringulo cujos vrtices soA = (1; 1); B = (1; 7) eC= (5; 4) no planoxOy.

Questo 30. As superfcies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto , em cada pontoda interseco os respectivos planos tangentes so perpendiculares). Sabendo que os raios destas

esferas medem2 cme 3

2 cm;respectivamente, calcule

a) a distncia entre os centros das duas esferas.

b) a rea da superfcie do slido obtido pela interseco das duas esferas.