63780414 Apostila Conjunto Numericos Ita 2010

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CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos I - DEFINIO Oestudodosconjuntosnumricostemcomocaractersticaprincipalosseuselementos relacionadosentresi.Isto,comanecessidadedapocadecontarmos,enumerarmosos objetoscriarooconjuntodosnmerosnaturaiseapartirdaosoutrosconjuntosforam surgindo tambm por necessidades, como ampliaes daqueles at ento conhecidos. II CLASSIFICAO DOS CONJUNTOS NUMRICOS. 1)Conjunto dos nmeros naturais( ) 2)Conjunto dos nmeros inteiros( ) 3)Conjunto dos nmeros racionais( ) Q4)Conjunto dos nmeros irracionais( ) 5)Conjunto dos nmeros reais( ) 6)Conjunto dos nmeros complexos( ) CVamos relacionar os conjuntos numricos atravs do diagrama de Venn. No diagrama acima observamos que:

Com isso, fica fcil agora de perceber a relao entre os conjuntos numricos. N Z Q R I C Q I C R Q Z N = ;CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 2 III CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS( ) { }{ } ( ){ } { } ....... , 3 , 2 , 1 0....... , 3 , 2 , 1,..... 3 , 2 , 1 , 0= = = Nnulos no naturais NN

Observamos que o asterisco indica que o zero deve ser suprimido do conjunto. Fica de olhos abertos. A soma de dois nmeros naturais quaisquer um nmero natural; O produto de dois nmeros naturais quaisquer um nmero natural; Adiferenadedoisnmerosnaturaisaeb( ) b a igualaumnmeronaturalse,e somente se,b a . IV CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS( ) { }{ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ } ( ) negativos te estritamen eiros Zpositivos no eiros Zpositivos te estritamen eiros Znegativos no eiros Znulos no eiros ZZint 1 , 2 .......... ..........int 0 , 1 , 2 ......, ..........int ........ .......... , 4 , 3 , 2 , 1int ....... .. ,......... 3 , 2 , 1 , 0int ....... .. , 2 , 1 , 1 , 2 ...,..... , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ..., = = = = = = ++ Observamos que o conjunto dos nmeros inteiros( ) uma ampliao dos conjuntosdos nmeros naturais( ) . CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 3 EntotodonmeronaturaltambmumnmerointeiroeconsequentementeNum subconjunto de Z. Fica de olhos abertos. A soma de dois nmeros inteiros quaisquer um nmero inteiro; O produto de dois nmeros inteiros quaisquer um nmero inteiro; A diferena de dois nmeros inteiros igual a um nmero inteiro. 4.1. DIVISIBILIDADE Sejam a e b dois inteiros, com a 0, diz-se que a divide b, se, e somente se, existe uminteiroqtalqueb=a.q.Nestecasodiz-setambmqueadivisordebequeb mltiplo de a. Indicaremos por a b o fato de a dividir b; e se a no dividir b, escrevemos a b. Vejamos alguns exemplos: 1.4 12, pois 12 = 4 . 3 2. 5 30, pois 30 = - 5 . (- 6) 3.7-21, pois 21 = 7 . ( - 3) 4.3 11, pois no existe q inteiro tal que 10 = 3 . q Para a relao x y nos inteiros valem as seguintes propriedades: P1 : aa,a Z*, pois a = 1 . a (propriedade reflexiva) Z N Veja: Z N CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 4 P2 : se a b e b ab = a . (propriedade antisimtrica) Demonstrao: De fato, por hiptese, b = a.q1 e a = b.q2. Da, b = b.(1 2.q q ). Se b = 0, como a=b.q2, ento a=0, e se b 0, ento1 .1 2= q qe portanto1 q2 1= = q . Logob a=tambm nesse caso. P3 :se a b e b c a c (propriedade transitiva) Demonstrao: Por hiptese, b = a.q1 e c = b.q2 . Da, c = a.(2 1.q q ) e portanto a c. P4 :se a b e c0, ento a.c b.c . Demonstrao: De fato, por hiptese b = aq e agora multiplique ambos os membros por c, vem:b.c = (a.c).q. Portanto, a.c b.c. Obs.:arecprocadapropriedade4tambmverdadeira,ouseja,sea.cb.cab. (Tente provar !) P5 :se a b ea c, ento a ( bc). Demonstrao: Pela hiptese, b = aq1 e c = aq2. Da subtraindo ou somando uma equao de outra, vem:(bc) = a (2 1q q ). Portanto, a (b c). 4.2. CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE Um inteiro qualquer diferente de zero, divisvel por: 2, se for par. Ex: 2.004; 3, se a soma dos seus algarismos for um numeral divisvel por 3.Ex: 123; 4, se o numeral formado pelos dois algarismos da direita for um divisvel por 4. Ex:7.008; 5, se terminar em 0 ou 5. Ex: 19.875; 6, se for divisvel simultaneamente por 2 e 3. Ex: 1.056; 7, retira-se o ltimo algarismo da direita, em seguida subtrai-se do nmero que restou o dobro do algarismo retirado. Essa diferena tem que ser divisvel por 7. Ex: 343; Obs.: No sendo notvel a diferena, pode-se seguir vrias vezes o mesmo processo. 8, se o numeral formado pelos trs ltimos algarismos da direita for divisvel por 8. Ex: 123.016; 9, se a soma dos algarismos desse nmero for divisvel por 9. Ex: 9.234; 10, se terminar em 0. Ex: 1.230; CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 5 11, se a soma dos algarismos de ordem mpar menosasoma dosalgarismos de ordem par for um nmero divisvel por 11. Ex: 72.897; 12, se for divisvel simultaneamente por 3 e 4. Ex: 11.580; 13, retira-se o ltimo algarismo da direita, em seguida adiciona-se ao nmero que restou o qudruplo do algarismo retirado. Essa soma tem que ser divisvel por 13. Ex: 11.661; Obs.: No sendo notvel a soma, pode-se seguir vrias vezes o mesmo processo. 14, se for divisvel simultaneamente por 2 e 7. Ex: 3.612; 15, se for divisvel simultaneamente por 3 e 5. Ex: 13.455; 21, se for divisvel simultaneamente por 3 e 7. Ex: 16.548; 22, se ao mesmo tempo for divisvel por 2 e 11. Ex: 19.536;25, quando terminar 00, 25, 50 ou 75. Ex: 121.345.725. 4.3. ALGORITMO DA DIVISO Teorema Seae b so doisnmerointeiros, comb> 0, entoexistem e so nicos os inteiros qe r que satisfazem as condies: a = b.q + re0 r < b Oselementosa,b,qersochamados,respectivamente,dividendo,divisor,quocientee resto da diviso de a por b. Exemplo 1: Numa diviso o divisor 4, ache os possveis restos. Soluo: Como o divisor 4, ento0 resto < 4. Da, os possveis restos so{ } 3 , 2 , 1 , 0 . Exemplo 2: Achar os nmeros que, na diviso por 7, do quociente igual ao resto. Soluo: Seja N um dos nmeros procurados. Pelo algoritmo da diviso temos N = 7.q + r, com 0 r < 7. Fazendo r = q, temos N = 8.q , com 0 q < 7 e portanto os nmeros so: 0, 8, 16, 24, 32, 40 e 48. 4.4. RESTOS DAS DIVISES Naaplicaodocarterdedivisibilidade,orestodadivisodeumnmeroqualquerpor outro,cujocarterdedivisibilidadeconhecemos,seromesmorestoencontradona aplicao do carter pelo divisor considerado. Exemplo: Qual o resto da diviso de 1938 por 11? Soluo: Soma dos algarismos de ordem mpar = 9 + 8 = 17 Soma dos algarismos de ordem par = 1 + 3 = 4 17 4 = 13 e 13 dividido por 11 deixa resto 2. CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 6 4.5. TEORIA DOS RESTOS. Proposio 1. O resto da diviso de uma soma por um nmero o mesmo que o da diviso da soma dos restos das parcelas por esse mesmo nmero. Exemplo: Qual o resto da diviso da soma 18 + 27 + 14 por 4? Soluo: Soma dos restos das parcelas: 2 + 3 + 2 = 7 e 7 deixa resto 3 na diviso por 4. Portanto, o resto da soma de 18 + 27 + 14 por 4 ser 3. Proposio2.Orestodadivisodeumprodutoporumnmeroomesmoqueoda diviso do produto dos restos dos fatores por esse nmero. Exemplo: Qual o resto da diviso do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9? Soluo: Produto dos restos dos fatores: 1 x 4 x 6 = 24 e 24 deixa resto 6 na diviso por 9. Logo, o resto do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9 ser 6. 4.6. NMEROS PRIMOS Definio Dizemos que um nmero inteiro positivo p maior que 1 primo, se, e somente se, p possui exatamente dois divisores positivos distintos, ou seja,{ } p , 1 . Exemplo: O nmero 2 primo, poisosdivisorespositivosde2so{ } 2 , 1 .Emais,2oniconmeroprimopar,poisse existe primo par maior que 2, seria da forma N = 2q (q >1). Portanto, 1, 2 e q so divisores de N, o que torna absurdo, pois N primo. Proposio 1. O conjunto dos nmeros primos infinito. Proposio 2. Se p primo e p ab, ento p a ou p b. CLCULO DO NMEROS DE DIVISORES POSITIVOS Quantos so os divisores do nmero 126.000? Fatorando o nmero N = 126.000, obtemos: 7 . 5 . 3 . 23 2 4= NConsideremos alguns exemplos de divisores de N: ; 2 ; 3 ; 7 . 5 . 3 ; 7 . 5 . 3 . 2 ; 7 . 3 . 2 ; 5 . 24 2 2 2 3 3etc. CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 7 Podemos notar que nos divisores de N: 1. O expoente do fator 2 pode variar de 0 a 4: (20; 21; 22; 23; 24). 2. O expoente do fator 3 pode variar de 0 a 2: (30; 31; 32). 3. O expoente do fator 5 pode variar de 0 a 3: (50; 51; 52; 53). 4. O expoente do fator 7 pode variar de 0 a 1: (70; 71). Ento, se representarmos os divisores de N como nmeros da forma w y xD 7 . 5 . 3 . 22= , das observaes anteriores podemos dizer que: 1. x toma valores em {0, 1, 2, 3, 4}, resultando em 5 o nmero de possibilidades para o x. 2. y toma valores em {0, 1, 2}, resultando em 3 o nmero de possibilidades para o y. 3. z toma valores em {0, 1, 2, 3}, resultando em 4 o nmero de possibilidades para z. 4. w toma valores em {0,1}, resultando em 2 o nmero de possibilidades para w. Ento, pelo princpio multiplicativo, temos 5 . 3 . 4 . 2 = 120 divisores de N = 126.000. Dado nnp p p N ..... .2211= ondeoss pi' soprimosedistintos,calcularonmerode divisores de N. Tomando-se as consideraes do exemplo anterior, temos: 1. O expoente de p1 toma valores em {0, 1, 2,.......1}, resultando em (1 + 1) possibilidades de escolha para ele. 2. O expoente de p2 toma valores em {0, 1, 2, ... 2}, resultando em (2 + 1) possibilidades de escolha para ele. ............................................................................................................................................ n. O expoente de pn toma valores em {0, 1, 2,.....n}, resultando em (n + 1) possibilidades de escolha para ele. Pelo princpio multiplicativo, podemos concluir que (1 + 1) (2 + 1)... (n + 1) representa o nmero de divisores de N. 02) Quantos divisores naturais possui o nmero 360? Quantos so pares? Quantos so impares? Quantos so quadrados perfeitos? Soluo: CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 8 Sabemos que a fatorao do nmero 15 .23 .