Examen Resuelto Metodos Numericos

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Anjo de Deus, meu querido amigo, a quem o amor de Deus me destina aqui; sempre neste dia esteja comigo para iluminar e guardar, governar e guiar

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANOFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

SOLUCIN DEL EXAMEN CON MATLAB CURSO: METODOS NUMERICOS

ALUMNO: ROQUE CHARCA, Rosand DOCENTE: Lic. Faustino Murillo Mamani

UNA - PUNO

2012

Dedicado al alma mater de mi formacin acadmico cientficoUniversidad Nacional del Altiplano - Puno

1 EXAMEN PARCIAL (TIEMPO: 120min) 1. Obtenga el polinomio de Taylor de tercer grado para alrededor de y use el polinomio para aproximar . Encuentre el valor exacto y halle el error absoluto y relativo. SOLUCIN: Puesto que podemos aplicar el teorema de Taylor de grado 3, adems: donde:

Para

y

tenemos: donde:

(

)

(

) podemos evaluar con Taylor:

donde:

entonces cuando x=

Hallamos una cota para el error: | | error relativo | |

|

| el cual es un valor aceptable, ahora hallamos para hacer comparaciones estos resultados

evaluamos y hallamos las posibles races con un programa desarrollado en matlab utilizando un algoritmo para esta aproximacin: 1 GRAFICAMOS

Rosand Roque Charca V Semestre 1

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2012

GRAFICO N 1 EN MATLAB 120 100 80 60

f (x ) (1 x )2

EJE Y

40 20 0 -20 -40 -60 -2.5

De este grafico nos damos cuenta que existe una posible raz en el punto o a partir del punto adems se ve que en el punto puesto que no existe raz pues es una asntota vertical; luego utilizamos un algoritmo de un programa desarrollado en matlab que para este caso utilizaremos newton raphson.

P (x ) 1 2x 3x 2 4x 3 Rn (x ) -2 -1.5 -1 -0.5 0 EJE X 0.5 1 1.5 2 2.5

Como estamos viendo en el programa en 3 iteraciones ya hacemos una posible aproximacin de la raz que sera de 2.54376, aunque el problema no nos pide la raz ya entendemos cmo funciona el polinomio de aproximacin de Taylor.

2. Sea F(x)=

expandido alrededor de SOLUCIN: Puesto que aproximacin, adems:

. Usando el polinomio de Taylor de tercer grado para , Aproxime F(0.1) aplicamos el teorema de Taylor de grado 3 para calcular la

,

Rosand Roque Charca V Semestre 2

UNA - PUNO Donde:

2012

Para

y

tenemos: donde:

(

)

(

) podemos aproximar la integral con el polinomio de

Dnde: Taylor:

entonces cuando x=

Una cota para el error en esta aproximacin se determina con la integral del Por tanto: residuo de Taylor y el hecho de que ( )

El error de esta aproximacin se halla dentro de la cota, siendo el valor verdadero de esta integral:

3. Use el algoritmo de biseccin para encontrar soluciones de: a) para b) para c) para SOLUCIN: Analizamos cada ejercicio primero grficamente luego utilizaremos el algoritmo de biseccin con nuestro programa. a) Sea la ecuacin donde obtenemos la funcin asociada despejando tenemos: Luego: , de la grafica N 2 podemos claramente que es continua enGRAFICA N 2 EN MATLAB 70 60 50 40

EJE Y

f 2(x ) 2 x

30 20 10 0 -10 -6

f 1(x ) x-4 -2 0 EJE X 2 4 6

Sabiendo que nuestra raz se halla entre , nuestro programa desarrollado en matlab arroja el resultado de , visto de dos formas en matlab:Rosand Roque Charca V Semestre 3

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2012

b) Sea claramente que200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -6 -4 -2

la ecuacin que graficando directamente en grafica N 3 podemos ver es continua en dos intervalos pero nos piden la raz aproximada en el intervaloGRAFICO N 3 EN MATLAB

f (x ) e x 2 x 2cos x 6

Entonces para hallar la raz que se halla entre , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , visto de las dos formas en matlab:

0 x

2

4

6

Rosand Roque Charca V Semestre 4

UNA - PUNO c) Sea claramente que

2012

la ecuacin que graficando directamente en grafica N 4 podemos ver es continua en el intervaloGRAFICO N 4 EN MATLAB

200

150

f (x ) e x x 2 3x 2 100 50

Entonces para hallar la raz por el mtodo de biseccin entre , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , visto de las dos formas en matlab:

0

-50 -6 -4 -2 0 x 2 4 6

4. Use el mtodo de Newton para aproximar las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) SOLUCIN: Analizamos cada ejercicio observando su grfico para que de manera inmediata hallemos el punto de inicio o valor inicial utilizando para ello el algoritmo de Newton Raphson de nuestro programa. a) Sea podemos ver claramente que prximo a la raz sera: la ecuacin que graficando directamente en grafica N 5 es continua en el intervalo de donde nuestro valor inicial ms

Rosand Roque Charca V Semestre 5

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2012

GRAFICO N 5 EN MATLAB 50

0

-50

f (x ) x 2 e x 3x 2 -100 -150

Entonces para hallar la raz por el mtodo de Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab,

-200

-6

-4

-2

0 x

2

4

6

b) Sea la ecuacin que graficando directamente en grafica N 6 podemos ver claramente que es continua en varios intervalos, primero en , segundo intervalo , etc., entonces solo vamos a mostrar el comportamiento en el primer intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial ms prximo a la raz de: GRAFICO N 6 MATLAB

100

50

0

f (x ) 3x 2 e x -50

-100

Entonces para hallar la raz por el mtodo de Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab,

-150 -6 -4 -2 0 x 2 4 6

Rosand Roque Charca V Semestre 6

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c) Sea la ecuacin que graficando directamente en grafica N 7 podemos ver claramente que es continua en dos intervalos, primero en , segundo intervalo , entonces solo vamos a mostrar el comportamiento en el segundo intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial ms prximo a la raz de: GRAFICO N 7 EN MATLAB 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -6 -4 -2 0 x 2 4 6

f (x ) e x 2 x 2cos x 6

Entonces para hallar la raz por el mtodo de Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab,

Rosand Roque Charca V Semestre 7

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d) Sea la ecuacin que graficando directamente en grafica N 8 podemos ver claramente que es continua en varios intervalos, de los cuales trabajamos en el intervalo , entonces solo vamos a mostrar el comportamiento en este intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial ms prximo a la raz de: GRAFICO N 8 EN MATLAB 50

40

30

f (x ) x 2 10cos x 20

10

Entonces para hallar la raz por el mtodo de Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab,

0

-6

-4

-2

0 x

2

4

6

5. La funcin

tiene un cero en

. Use el mtodo de Newton con las siguientes

aproximaciones lineales y explique los resultados grficamente: 1. 2. 3. 4. 5. 6. SOLUCIN: La ecuacin tiene una asntota vertical en donde la funcin no es continua en

este punto, entonces ahora vamos analizar la funcin en los respectivos puntos, el grafico general de la funcin se muestra en el grfico N 9 donde podemos apreciar los posibles intervalos de continuidad

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GRAFICO N 9 EN MATLAB

5.5

5

4.5

f (x )

4x 7 x 2

4

3.5

Entonces vamos evaluar todos los puntos usando el mtodo de Newton raphson, nuestro programa desarrollado en matlab muestra los siguientes resultados en matlab

3

2.5

-6

-4

-2

0 x

2

4

6

1. Para la primera aproximacin de 1.625 que la raz calculada por newton Raphson muestra un valor de 1.750000000 con un error de 0.000002 lo cual es bastante aproximado a la raz real y es un valor aceptado.

2. Para la segunda aproximacin de 1.875 la raz calculada por newton Raphson muestra un valor de 1.750000000 con un error de 0.000002, que es igual al anterior punto, esto ocurre debido a que newton Raphson trabaja en funcin a intervalos y por ejemplo un intervalo es

3. Para la tercera aproximacin de 1. 5 la raz calculada por newton Raphson muestra un valor no admitido o no existe respuesta, esto ocurre debido a que newton Raphson trabaja en funcin a intervalos y por ejemplo la asntota vertical genera un vecindad donde no es posibles calcular races.

4. Para la cuarta aproximacin de 1. 95 la raz calculada por newton Raphson muestra un valor de 1.750000000 con un error de 0.000113 lo cual se va alejando de la raz real y aun as sigue mostrando un valor aceptado.

Rosand Roque Charca V Semestre 9

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5. Para la quinta aproximacin de 3 la raz calculada por newton Raphson muestra un valor de infinito con un error muy grande de 0.998382 lo que significa que la raz real est muy lejos del intervalo de continuidad.

6. Para la sexta aproximacin de 7 la raz calculada por newton Raphson