II - DINÂMICA DE PARTÍCULA OBJETIVO: • Determinação da resistência que o meio fluido oferece ao deslocamento do sólido/partícula e

vice-versa. • Determinação da velocidade de sedimentação da partícula isolada. • Conceito de Elutriação e Transporte de Particulas QUEDA DE UMA ESFERA LISA NO SEIO DE UM FLUIDO (Sem efeito de parede) As variáveis importantes são:

• A

FD ⇒ (força resistiva): é a força de arraste por unidade de área projetada

• V∞ (velocidade relativa da esfera): é a velocidade de queda da esfera ou velocidade com que o líquido se aproxima da esfera fixa.

• ρf • µ • Dp (diâmetro da esfera)

Através da Análise Dimensional:

∞=

∞ µ

ρ

ρ

DpVf

VF f

f

D ... 12

COEFICIENTE DE ARRASTE (CD): é usado para corpos imersos movimentando-se em um fluido, e é definido, de maneira similar à definição do coeficiente de atrito, por:

2..21

∞

=V

AF

Cf

D

Dρ

(1)

Na queda de uma esfera em um fluido em regime permanente, a força FD é contrabalançada pela força gravitacional sobre a esfera menos a força de empuxo, então o Coeficiente de Arraste também pode ser calculado por:

FD = (força gravitacional sobre a esfera) – (força empuxo)

gRgRF esferaD .34

34 33 ρπρπ −= (2)

a força resistiva (FD) para um escoamento em torno de uma esfera de raio R é dada por:

fVRFD ..21. 22

∞= ρπ (3)

Então, combinando (2) e (3):

−==

∞ ρ

ρρesferapD V

DgCf 2

.34

(4)

Muitas experiências realizadas com partículas isométricas, isto é, partículas esféricas ou na forma de poliedros regulares (tetraedro, cubos, octaedros, icosaedro e dodecaedro), parecem indicar que o valor de CD depende apenas do número de Reynolds:

µ

ρf

p VD

∞=

Re (5)

e da esfericidade (φ). Então: (

)φRe,

fC

D=

V∞

FE (força empuxo) = ρfluido.V.g

FD

DEFINIÇÃO DE VELOCIDADE TERMINAL (V∞∞∞∞): Considerando uma esfera que cai a partir do repouso num fluido infinito e é acelerada até que atinja uma velocidade constante. Esta velocidade é denominada velocidade terminal. Quando a partícula/esfera atinge a velocidade terminal, o somatório das forças agindo na partícula é nulo. ∑ = 0Forças

0 = força gravidade – força empuxo – força resistiva

∞−−= VDpgDpgDp fs ....3....61....

610 33 µπρπρπ

µ

ρρ

.18)..(2 gDp

V fs −=∞ (6)

Força resistiva (FD) ⇒ ∞VDp ....3 µπ

Para todos regimes, a força resistiva é diferente e portanto deve-se usar o coeficiente de arraste (CD) no balanço de forças.

∑ = 0Forças

2....21).(.0 ∞−−= VACgV fDfsolume ρρρ

Para baixos Re Regime Stokes Rep<0,5

FP (força peso) = mg = ρsólido.V.g

21

..)..(.2

−=∞

Df

fsolume

CAgV

Vρ

ρρ (7)

Para esferas: 3..61 DpVolume π= e

4

2pD

Aπ

= ⇒ ( ) 2

1

..

34

−=∞

D

pfs

CDg

Vρ

ρρ (8)

ESTIMATIVA DE CD E DETERMINAÇÃO DE V∞∞∞∞: Tabela 1 - Fluidodinâmica da Partícula Isométrica (Pettyjohn & Chistiamen, 1948)

VARIÁVEL A SER

ESTIMADA

CORRELAÇÃO [ ] nnn xyxyxy

1

0 )()()( ∞+=

n

CD =

nn

n

kk

1

21 Re.24

+

n=0,9 para 0,6 ≤ φ ≤ 0,9

n=3,15-2,50.φ p/ 0,9 ≤ φ ≤ 1

Re = ( )

( )nn

D

D

Ckk

Ck

1

5,025,0

21

21

Re.24.

1

Re..24

+

n=1,3 para 0,6 ≤ φ ≤ 0,8

n=2,70-1,75.φ p/ 0,8 ≤ φ ≤ 1

Re = nn

D

n

D Ck

Ck

1

2

2

1 ReRe

24

+

n=1,5 para 0,6 ≤ φ ≤ 0,8

n=3,62-2,65.φ p/ 0,8 ≤ φ ≤ 1

µ

ρ UDpF ..Re = ( )

2

32 .

.34Re.

µ

ρρρ pFsFD

DbC

−= 32 .

.)(.

34

Re UbC

F

FsD

ρ

µρρ −=

=

065,0.log.843,0 101

φk

U = || u – v ||

φ.88,431,52 −=k b = intensidade do campo exterior

Alternativamente na literatura pode ser encontrada as seguintes equações empiricas para cálculo de CD, velocidade terminal de queda livre, Diâmetro de partícula etc. ....

1.Regime de Stokes (Rep<1):

pDC

Re24

= (9)

( )µ

ρρ

18.. 2

pfs DgV

−=∞ (10)

O diâmetro da partícula para o regime de Stokes pode ser dado por:

( )2

1

18

−= ∞

fspSt g

VDρρ

µ (11)

2. Região intermediária (1 < Rep < 500),

6,0Re5,18p

DC = (12)

3. Na região do Regime de Newton (500 < Rep < 2*105)

CD = 0,44 e, a partir da equação (8):

( ) 21

.3

−=∞ ρ

ρρ ps DgV (13)

4. Para números de Rep muito elevados (Rep > 2*105)

CD = 0,20 e, a partir da equação (8):

( ) 21

.*58,2

−=∞ ρ

ρρ ps DgV (14)

INFLUÊNCIA DA CONCENTRAÇÃO DE SÓLIDOS NA DINÂMICA DE SUSPENSÕES

Na literatura pode-se observar que o valor de V∞ é diminuído quanto maior é a concentração de sólidos.

Então, ),(Re ε∞∞

= fVU

sendo, U o módulo da velocidade relativa fluido-partícula. ∞−= VuU f

f

fpVDµ

ρ∞∞ =Re

vC−= 1ε

sendo Cv a fração volumétrica da fase sólida na suspensão.

Para sedimentação: εsedvU =

Para fluidização: )( A

QU f

ε=

sendo: Qf – vazão de fluido A – área da seção transversal ε - porosidade do leito Quando a concentração de sólidos é reduzida (<5% em volume), esta concentração não exerce nenhum a influência na dinâmica das partículas. Segundo Massarani (2000), a influência da concentração das partículas em suspensões é apresentada na tabela abaixo.

UEM/CTC/DEQ DISCIPLINA: Operações Unitárias I ASSUNTO: Exercícios sobre Dinâmica de partículas. 1- Determinar a velocidade de queda de uma partícula de diâmetro 75µm (diâmetro da esfera de

igual volume que a partícula) e esfericidade 0,8 em elutriador operando com a velocidade ascendente de líquido 0,25cm/s. O líquido é água a 20oC e a massa específica da partícula é de 3,8 g/cm3.

2- Calcular a velocidade de elutriação (água a 30oC ) para arrastar partículas esféricas de 30µm.

A concentração do sistema é de 206g de sólidos/tonelada de suspensão, sendo a massa específica do sólido de 2,5 g/cm3.

3- Determinar as velocidades de elutriação para separar pó de diamante nas faixas: 0-1µm, 1-

2µm e 2-3µm. A massa específica do diamante é 3,5 g/cm3 e a esfericidade das partículas 0,7. O fluido de arraste é a água a 20oC.

4- Uma mistura finamente dividida de galena e calcário na proporção de 1 para 4 em peso é

sujeita à elutriação com corrente ascendente de água de 0,5 cm/s. A distribuição granulométrica dos dois materiais é a mesma:

Dp (µm) 20 30 40 50 60 70 80 100 %peso <Dp 15 28 48 54 64 72 78 88

Calcular a porcentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo. Dados: massa específica das partículas ρG = 7,5 g/cm3 e ρC = 2,7 g/cm3 ; esfericidade φG = 0,8 e φC = 0,7; viscosidade do fluido µ = 0,9cp.

5- a - Determinar a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas esféricas de vidro, 30µm de diâmetro, em glicerina. Sabe-se que a concentração de sólidos é de 300 g/l de suspensão, as massas específicas do sólido e do fluido são de respectivamente 2,6g/cm3 e 1.3g/cm3 e que a viscosidade do líquido é de 18cp.

b - Qual o efeito do diâmetro do recipiente sobre a velocidade de sedimentação? c- Qual o efeito da viscosidade do fluido (supor empregarmos um fluido menos viscoso,

água) na velocidade de sedimentação?

6- Foram os seguintes os resultados obtidos na elutriação de 25g de um pó industrial com água a 30oC, numa vazão de 37 cm3/min:

Determinar a distribuição granulométrica (DSt, ϕ<, DSt ) sabendo-se que ρS = 1,8 g/cm3.