Universidade Federal da ParabaPrograma de Ps-Graduao em Economia - PPGEEconomia Matemtica I

Prof. Dr. Hilton Martins de Brito Ramalho. E-mail: hiltonmbr@gmail.comCarga Horria: 60 horas-aula; Perodo: 2015.1

Aluno(a): _____________________________________________

Introduo lgebra Linear

Sistemas LinearesOperaes com Vetores1. Sejam os vetores u = (1, 2), v = (0, 1), w = (1,3), x = (1, 2, 0) e z = (0, 1, 1). Calcule osseguintes vetores: u + v, 4w, x+z, 3z, 2v, u+ 2v, u-v, 3x+z, 2x, w+2u. Para cada caso,faa uma representao grfica.

2. Encontre o comprimento (norma) dos seguintes vetores. Esboce-os graficamente.

a) (3, 4) b) (0,3) c) (1, 1, 1) d) (3, 3) e) (1,1) f) (1, 2, 3) (g) (2, 0)

3. Para cada um dos seguintes pares de vetores, calcule e classifique o ngulo entre os mesmos:

a) u = (1, 0);v = (2, 2)

b) u = (4, 1);v = (2,8)

c) u = (1, 1, 0);v = (1, 2, 1)

d) u = (1,1, 0);v = (1, 2, 1)

4. Para cada um dos seguintes vetores, encontre um vetor unitrio que aponta na mesma direoe sentido:

a) (3, 4) b) (6, 0) c) (1, 1, 1) d) (1, 2,3)

Operaes com Matrizes5. Considere as matrizes abaixo:

A =(2 3 10 1 2

), B =

(0 1 14 1 2

),C =

(1 23 1

),D =

(2 11 1

),E =

(11

)

(a) Calcule cada uma das seguintes matrizes, se estiver definida:

A +B, A D, 3B, DC, BT , ATCT , C +D, B A, AB, CE, D, (CE)T , B +C, D C,CA, EC, (CA)T , ETCT

(b) Verifique que (DA)T = ATDT .

(c) Verifique que CD 6= DC.

6. Use operaes elementares sobre as linhas para escalonar na forma Gauss-Jordan as seguintesmatrizes:

A =

1 3 6 12 5 10 03 8 17 1

, B = 1 1 1 012 2 3 5

3 4 1 4

, C = (3 3 41 1 10), D =

4 2 3 16 3 5 01 1 2 9

7. Calcule o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes:

A =(

2 41 2

), B =

(2 4 21 2 1

), C =

1 6 7 31 9 7 41 3 8 4

, D =1 6 7 3 51 9 6 4 91 3 8 4 22 15 13 11 16

8. Calcule os determinantes abaixo:

|A| =8 1 34 0 16 0 3

, |B| =4 0 26 0 38 2 3

, |C| =1 2 0 92 3 4 61 6 0 10 5 0 8

, |D| =2 7 0 15 6 4 80 0 9 01 3 1 4

, |E| =1 2 31 2 41 3 7

,

|F| =

1 2 3 45 6 7 89 10 11 1214 14 15 16

, |G| =1 20 1

9. Classifique cada afirmativa abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Justifique sua resposta.

a) Se |A| = 1, ento A1 = A;

b) Seja A uma matriz de ordem m,n. Ento, podemos afirmar que ATA uma matriz simtricade ordem n, n;

c) O determinante de uma matriz diagonal dado pelo produto dos elementos de sua diagonalprincipal;

d) |AB| = |BA|.

10. Use o mtodo da matriz adjunta para encontrar a matriz inversa (caso exista) de cada umadas matrizes a seguir:

A =(1 30 2

), B =

(1 32 5

), C =

1 3 42 7 00 0 1

11. Use operaes elementares sobre as linhas para inverter as seguintes matrizes:

A =(2 11 1

)

B =(4 52 4

)

C =(

2 14 2

)

D =

2 4 04 6 36 10 0

E =

2 6 0 56 21 8 174 12 4 130 3 12 2

12. Considere a matriz A abaixo. Determine o valor de para que A seja inversvel.

A =

1 2 3 2 20 1 1

Espaos Euclidianos e Independncia Linear13. Considere dois vetores (a, b); (c, d)

(a){2x1 + x2 = 5x1 + x2 = 3

(b)

2x1 + x2 = 46x1 + 2x2 + 6x3 = 204x1 3x2 + 9x3 = 3

19. Para quais valores do parmetro k os sistemas de equaes abaixo tem uma soluo?

(a)

6x+ y = 73x+ y = 46x 2y = k

(b){x+ y = 1x ky = 1

20. Resolva os sistemas de equaes lineares abaixo por eliminao Gauss-Jordan. Use o critriodo posto para verificar a existncia e unicidade das solues.

(a){3x1 + 3x2 = 4x1 x2 = 10

(b)

4x+ 2y 3z = 16x+ 3y 5z = 0x+ y + 2z = 9

(c)

2x1 + 2x2 x3 = 2x1 + x2 + x3 = 22x1 4x2 + 3x3 = 0

(d){3x+ 3y = 4x y = 10

(e)

x 3y + 6z = 12x 5y + 10z = 03x 8y + 17z = 1

(f)

x1 + x2 + x3 = 012x1 + 2x2 3x3 = 53x1 + 4x2 + x3 = 4

(g)

w + x+ 3y 2z = 02w + 3x+ 7y 2z = 93w + 5x+ 13y 9z = 12w + x z = 0

(h)

x1 + 2x2 + x3 x4 = 13x1 x2 x3 + 2x4 = 3x2 + x3 x4 = 12x1 + 3x2 + 3x3 3x4 = 3

(i)

x1 x2 + 3x3 x4 = 0x1 + 4x2 x3 + x4 = 33x1 + 7x2 + x3 + x4 = 63x1 + 2x2 + 5x3 x4 = 3

21. Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas:

(a)

x 2y + z = 12x+ y = 3y 5z = 4

(b)

2x 3z = 24x 6y + z = 7x+ 10y = 1

(c){5x1 + x2 = 32x1 x2 = 4

22. Exerccio Aplicado: A partir do procedimento Mdulo 1 - Matriz Insumo-Produto.Re dados sobre demandas intersetoriais de produtos intermedirios para seis indstrias norte-americanas, use o software estatstico R para prever o vetor de produo capaz de atender ademanda total (demanda intermediria e demanda externa) considerando o modelo Insumo-Produto.

a) Interprete os resultados;

b) Considere um novo vetor de previso de demandas externas para os setores estudados(NF,MF,MB,NB,E,S) = (80.123,50.345,18.500,25.657,19.000,200.220). Use a matriz decoeficientes tcnicos para fazer um novo planejamento de produo para os setores. Analise os

resultados. (Dica: entrar com o vetor c

rank(A) = 1, null(A) = 1, rank(B) = 2, null(B) = 1, rank(C) = 3, null(C) = 1, rank(D) =3, null(D) = 2

8.

|A| = 6, |B| = 0, |C| =, |D| =, |E| = 1, |F| = 0, |F| = 1.

9.

a) Falsa, b) Verdadeira, c) Verdadeira, d) Verdadeira.

10.

A1 =(1 3/20 1/2

), B1 =

(5 32 1

), C1 =

7 3 282 1 80 0 1

11.

A1 =(

1 11 2

), B1 =

(4/6 5/62/6 4/6

), C singular,D1 =

5/2 0 13/2 0 1/21/3 1/3 1/3

, E1 =

2 9/2 15/2 11/21/3 7/3 13/3 8/31/4 3/4 1 3/41 1 1 1

12.

6= 2

18. a) (x1, x2) = (2, 1), b) (x1, x2, x3) = (3,2, 1)

19.

a) k = 8, b) k 6= 1

20.

a) (x1, x2) = (17/3,13/3), rank(A) = 2, null(A) = 0b) (x, y, z) = (2, 1, 3), rank(A) = 3, null(A) = 0c) (x1, x2, x3) = (1,1,2), rank(A) = 3, null(A) = 0d) No tem soluo: rank(A) 6= rank()e) (x, y, z) = (5, 6, 2), rank(A) = 3, null(A) = 0f) (x1, x2, x3) = (1,2, 1), rank(A) = 3, null(A) = 0g) (x1, x2, x3, x4) = (1, 1, 2, 3), rank(A) = 4, null(A) = 0i) Sistema com infinitas solues: rank(A) = rank() = 3 null(A) = 1i) Sistema com infinitas solues: rank(A) = rank() null(A) = 0

21.

a) (x, y, z) = (36/23,3/23,19/23)b) (x, y, z) = (124/79,9/158, 30/79)

c) (x1, x2) = (1,2)