3, 2, 1 - Mistério

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Apresentar o Princípio de Cavalieri para

figuras planas;

2. Apresentar o Princípio de Cavalieri para

sólidos;

3. Apresentar a relação 3:2:1 entre os

volumes do cilindro, da semi-esfera e do

cone.

3,2,1 - Mistério

Série Matemática na Escola

Conteúdo Áreas e volumes usando o Princípio de Cavalieri.

Duração Aprox. 10 minutos.

Objetivos 1. Apresentar o Princípio de

Cavalieri para figuras planas; 2. Apresentar o Princípio de

Cavalieri para sólidos; 3. Apresentar a relação 3:2:1

entre os volumes do cilindro, da semi-esfera e do cone.

Sinopse O programa aborda o denominado Princípio de Cavalieri que é utilizado no cálculo de áreas de figuras planas e volumes de sólidos. A estudante Carol recebe misteriosas instruções para resolver três enigmas. Ela dialoga com a aluna de arquitetura Rita para resolver os enigmas.

Material relacionado Experimentos: Volume de

pirâmides, Cilindro=cone+esfera/2?,

Princípio de Cavalieri, Qual o

cone de maior volume?;

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Introdução

Sobre a série

A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e introdutórios de um assunto a ser desenvolvido em sala de aula pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem informações interdisciplinares.

Sobre o programa

O programa aborda o denominado Princípio de Cavalieri que é utilizado no cálculo de áreas de figuras planas e volumes de sólidos. A estudante Carol recebe misteriosas instruções para resolver três enigmas. Ela dialoga com a aluna de arquitetura Rita para resolver os enigmas.

O primeiro enigma apresentado é sobre o Princípio de Cavalieri para figuras planas e Carol deve descobrir, usando os canudinhos, que o retângulo e o paralelogramo recebidos têm a mesma área.

Figura 1: Princípio de Cavalieri para figuras planas

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O segundo enigma recebido por Carol, na mesma linha do primeiro, é sobre o Princípio de Cavalieri para sólidos.

Figura 2 : Princípio de Cavalieri para sólidos

A inserção “Olha o Curta” resume este princípio para figuras planas e sólidos e acrescenta também informações históricas sobre Boaventura Cavalieri.

O terceiro enigma é sobre uso do Princípio de Cavalieri para obter a relação 3:2:1 entre os volumes do cilindro, da semi-esfera e do cone de mesma base e de mesma altura. No programa é assumido como conhecido que o volume do cone é igual a um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura. Este resultado pode ser obtido a partir do volume de pirâmides ([Rodrigues e Costa, 2010] e [Lima, 2000]) e da aproximação do cone por pirâmides que tem por base polígonos regulares com um número cada vez maior de lados.

Figura 3 : Princípio de Cavalieri na comparação dos volumes do cilindro, do

cone e da semi-esfera.

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Figura 4 :Comparação experimental dos volumes do cilindro, da semi-esfera e do

cone

Figura 5 : A proporção 3:2:1 entre os volumes

do cilindro, da semi-esfera e do cone de mesma base e altura.

O Princípio de Cavalieri

Figura 6 : Boaventura Cavalieri - 1598-1647 – Professor da Universidade de

Bolonha

O resultado conhecido como Princípio de Cavalieri, está nas origens do

chamado Cálculo Infinitesimal e já era utilizado por Arquimedes no

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século III a.C. como método para a descoberta de resultados, como, por

exemplo, o da relação entre os volumes de uma semi-esfera, de um cone

e um cilindro de mesma base e mesma altura [Costa, 2008]. A

denominação “de Cavalieri” é uma homenagem a Boaventura Cavalieri

(1598-1647) que foi discípulo de Galileu e um dos precursores do

advento do Cálculo Integral no século XVI. Este princípio é de certa forma

intuitivo, tem muitas aplicações e costuma ser assumido como um

axioma para se apresentar com certo rigor o cálculo de áreas e volumes

sem o formalismo do Cálculo Integral.

Figura 7 : Representação de regiões planas que, pelo Princípio de Cavalieri, têm mesma área.

Para regiões planas este princípio estabelece que se estas tiverem

mesma altura e em cada “nível” correspondente segmentos de mesmo

tamanho, ambas terão a mesma área. Ou, dito de outra forma:

Princípio de Cavalieri para Princípio de Cavalieri para Princípio de Cavalieri para Princípio de Cavalieri para regiões planasregiões planasregiões planasregiões planas

Se todas as secções transversais de duas regiões planas por retas

paralelas forem segmentos de mesmo comprimento, estas regiões terão

a mesma área.

A figura acima ilustra um triângulo e uma “deformação” deste, sendo que

ambos têm a mesma área, segundo o Princípio de Cavalieri para regiões

planas.

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De forma análoga, sólidos no espaço de mesma altura e tais que as

seções planas correspondentes a cada “nível” tiverem a mesma área,

ambos terão o mesmo volume, como ilustrado na figura. Ou, dito de

outra forma:

Princípio de Cavalieri para sólidosPrincípio de Cavalieri para sólidosPrincípio de Cavalieri para sólidosPrincípio de Cavalieri para sólidos

Se todas as secções transversais de dois sólidos por planos paralelos

tiverem a mesma área, ambos terão o mesmo volume.

Figura 8 : Representação de sólidos que, pelo Princípio de Cavalieri, têm mesmo

volume.

É este princípio que permite concluir, por exemplo, que uma pirâmide

de base poligonal e um cone, ambos com altura e área da base iguais,

têm o mesmo volume. Este fato é explorado no experimento “Volume de

Pirâmides” deste Projeto M 3 .

Da bibliografia constam, além das referências utilizadas, sugestões

para leitura sobre o princípio de Cavalieri.

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Sugestões de atividades Antes da execução

Como é assumido que o volume do cone é igual a um terço do volume do cilindro de mesma base e altura, sugerimos atividades que relacionadas ao cálculo do volume de pirâmides e do cone. Uma sugestão é o experimento “Volume de Pirâmides” deste Projeto M 3 .

Verificação experimental:

A verificação experimental da comparação entre o volume do cone e do cilindro também é recomendada antes da execução deste programa. Será um desafio inicial muito interessante para os alunos construir um cilindro e um cone com mesma base e mesma altura utilizando, por exemplo, materiais recicláveis como a embalagem de leite longa-vida. Para a comparação dos volumes os recipientes podem ser preenchidos com areia, por exemplo.

Depois da execução

Sugestão de atividades para os alunos

Áreas de figuras planas

Considerando o triângulo de vértices O=(0, 0), A=(3,0) e B=(0,3), como na figura, solicitar aos alunos que encontrem a equação da curva c que junto com o gráfico da função

2)( xxfy == , 30 ≤≤ x , e o

segmento ligando os pontos O=(0,0) e A=(3,0) delimitam uma região de área igual à área do triângulo. (Sugestão: se necessário, lembrar aos alunos para usar o Princípio de Cavalieri para figuras planas e que a parábola em questão também pode ser descrita por yx = , 30 ≤≤ y ).

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Figura 9 : regiões descritas na atividade

Volumes de figuras sólidas

1. Considere o prisma reto P que tem por base o triângulo da atividade anterior e altura h, e o sólido S com base na região plana F de lados curvos da atividade anterior e altura h. Isto é, S é construído como reunião de todos os segmentos de comprimento h perpendiculares ao plano da região e com uma extremidade nesta, como indicado na figura.

Figura 10 : sólido que tem por base a região plana F

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Solicitar aos alunos para a partir do Princípio de Cavalieri para sólidos descobrir a relação entre o volume do prisma reto P e o volume do sólido S.

Figura 11 : sólidos descritos na atividade 1

2. Os sólidos ilustrados abaixo são construídos novamente a partir do triângulo e da região plana F dadas anteriormente. A diferença é que ao invés de segmentos “verticais”, os sólidos são formados por segmentos que ligam os pontos das regiões planas a um único ponto O’ no espaço localizado a uma altura h num segmento “vertical” a partir do “canto” da base de cada sólido. (O “canto” corresponde ao ponto O das figuras planas).

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Figura 12 : sólidos descritos na atividade 2

Propor aos alunos discutir o porquê destes dois sólidos terem o mesmo volume e pedir para eles dizerem qual é este quando h é igual a 3.

Nesta discussão o argumento de que as secções transversais têm a mesma área é baseado na razão de semelhança destas com as regiões da base ([Lima, 2000]).

Um desafio extra será propor para eles desenharem as secções transversais da “pirâmide” de base curva correspondentes às

alturas de medidas 3

1 e

2

1 da altura total do sólido.

Referências Bibliográficas e Sugestões de leitura

LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo;

MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino MédioA Matemática do Ensino MédioA Matemática do Ensino MédioA Matemática do Ensino Médio, Vol 2,

Coleção do Professor de Matemática, (3a Edição). . . . Rio de Janeiro:

SBM, 2000.

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3, 2, 1 - Mistério 12/13

LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em GeometriaMedida e Forma em GeometriaMedida e Forma em GeometriaMedida e Forma em Geometria, Coleção do Professor

de Matemática. . . . Rio de Janeiro: SBM, 1991.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática.Introdução à História da Matemática.Introdução à História da Matemática.Introdução à História da Matemática. 4ª. ed.

Campinas: Editora da Unicamp, 2004.

COSTA, Sueli I. R.. “O Método” de Arquimedes em História e “O Método” de Arquimedes em História e “O Método” de Arquimedes em História e “O Método” de Arquimedes em História e

Tecnologia no Ensino da Matemática Tecnologia no Ensino da Matemática Tecnologia no Ensino da Matemática Tecnologia no Ensino da Matemática –––– Volume IIVolume IIVolume IIVolume II, p. 61-76. . . . Rio de

Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2008.

COSTA, Sueli I. R.; GROU, Alice; Passos, Fernando. Programa de vídeo:

Pela Trilha de Arquimedes, Editora da Unicamp, 2002.

PATERLINI, Roberto R.. “Os “Teoremas” de Cavalieri“Os “Teoremas” de Cavalieri“Os “Teoremas” de Cavalieri“Os “Teoremas” de Cavalieri. Revista do

Professor de Matemática (RPM). São Paulo, no 72, p. 43-47, 2010.

RODRIGUES, Claudina I.; COSTA, Sueli I. R.. Guia do Experimento Guia do Experimento Guia do Experimento Guia do Experimento

Volume de PirâmidesVolume de PirâmidesVolume de PirâmidesVolume de Pirâmides. Projeto de desenvolvimento de conteúdo digital

para o Ensino Médio – Projeto M3, MEC/UNICAMP/GR/GGPE/FNDE.

Campinas, 2010.

RODRIGUES, Claudina I.; REZENDE, Eliane Q. F.; QUEIROZ, Maria Lúcia B.

de. I. R.. Guia do Experimento Cilindro=cone+esfera/2?Guia do Experimento Cilindro=cone+esfera/2?Guia do Experimento Cilindro=cone+esfera/2?Guia do Experimento Cilindro=cone+esfera/2? Projeto de

desenvolvimento de conteúdo digital para o Ensino Médio – Projeto M3,

MEC/UNICAMP/GR/GGPE/FNDE. Campinas, 2010.

Ficha técnica

Autores do Guia: Sueli Costa e Claudina Izepe Rodrigues Revisão do Guia: Roberto Limberger Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

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Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa

Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca

Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr.

Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira