GUIA DO PROFESSOR DO MÓDULO 2

TÍTULO DO OA: “O Universo e seus Contrários”

CATEGORIA: MATEMÁTICA

SUB-CATEGORIA: CONCEITOS DE NÚMEROS INTEIROS

PÚBLICO ALVO: 5ª e 6ª séries do Ensino Fundamental

Introdução

Certos princípios didáticos da lógica formal, fortemente presentes na cultura

escolar, têm simplificado e desumanizado os aspectos substanciais do conceito

números inteiros em detrimento de seus aspectos simbólicos. No caso do número

inteiro, os aspectos substanciais são o movimento e a contradição, as diversas formas

de positividade/negatividade1, o conceito de número e o zero relativo. Esses conceitos

são refletidos na história do conceito números inteiros e por isso são os fundamentos

do mesmo. Ao passo que, os aspectos simbólicos são os sinais (+) e (-) ou a própria

reta em Z, por exemplo.

Extraem-se apenas os aspectos simbólicos do conceito, abordam-no de modo

repetitivo, até que o indivíduo relacione rapidamente situações cotidianas, como a

medição da temperatura, aos sinais (+) e (-) como se fossem o próprio conceito

números inteiros.

Dessa forma, o OA “O universo e seus contrários” foi desenvolvido segundo uma

perspectiva lógico-histórica a fim de libertar os aprendizes das grades dos aspectos

simbólicos do conceito números inteiros; das situações cotidianas isoladas e dos

recursos utilizados para decorar as regras de sinais. Abordagens que tanto freqüentam 1 “Positividade/negatividade” ou “formas de positividade/negatividade” são expressões utilizadas por Lizcano (1993)

quando se refere aos antecedentes históricos dos “números positivos/negativos” encontrados na Matemática chinesa

e grega da antiguidade.

as salas de aulas do ensino fundamental e que dão a sensação enganosa e mecânica

do domínio fácil dos números inteiros.

O Objeto de Aprendizagem

Como o nome já propõe, o OA intitulado por “O Universo e seus Contrários” não pode

ser representado por um organograma. No Planeta Terra que sugerimos como tela de

navegação não existe centro, mas sim “centros mutantes” de acordo com o ponto de

partida e objetivos de cada usuário. Tais centros são os desafios que surgem nesta

“viagem” e estes estão destacados sobre a tela. Os espaços são contextualizados

histórico-culturalmente através das dificuldades e caminhos encontrados pelo homem

na evolução do conceito número inteiro ao longo de sua história.

Em síntese, as situações de aprendizagem se desenvolvem em quatro ambientes

distintos: China (Dinastia Qin) com a identificação dos contrários presentes na natureza

através do símbolo yin e yang; China (Dinastia Han) com a manipulação de palitos

vermelhos (números positivos) e palitos pretos (números negativos); Grécia com os

pensamentos de Heráclito e entrada/saída de água do tanque; Itália com a

entrada/saída de dinheiro e mercadorias do armazém e o Laboratório Atomístico (no

Pólo Ártico) com os experimentos Contrário Visível e Contrario Invisível.

Os valores numéricos das situações de aprendizagem variam aleatoriamente. Desse

modo, o aluno poderá vivenciá-lo por diversas vezes, pois a cada nova viagem

encontrará novos cálculos e novos desafios com números inteiros.

Objetivo do OA “O Universo e seus Contrários”

Espera-se com esse OA desenvolver nos alunos o pensamento teórico/abstrato de

quantificar arbitrariamente os movimentos contrários do universo, para depois, qualificá-

los através das diferentes formas de negatividade/positividade desenvolvidas pela

humanidade. Para que estes sejam capazes de identificar os números inteiros em

diversas situações, não estritamente matemáticas, de modo simultâneo (em mão-dupla)

na interpretação da reta numérica e a realizar as operações de adição e subtração com

os quais, compreendendo a regra de sinais.

Pré-requisitos

- As operações aritméticas: adição, multiplicação e subtração no campo numérico

dos naturais.

- As propriedades comutativa, associativa e distributiva dessas operações com os

números naturais.

Conteúdos encontrados no site: http://educar.sc.usp.br/matematica/mate01.htm. Nesse

endereço eletrônico o professor pode encontrar textos que narram a história da

Matemática, apresentando exemplos, exercícios e atividades com materiais didáticos

que servem como base para o ensino dos conteúdos prévios a utilização do OA.

Tempo previsto para a atividade

De 06 a 08 horas/aula (ou 300 a 400 minutos) – Esse tempo poderá variar de acordo

com o desempenho dos alunos e o número de computadores disponíveis.

Na sala de aula

Sugerimos que antes de levar os alunos à Sala Ambiente de Informática (SAI),

discussões preliminares sobre o conceito números inteiros que tragam a idéia numérica

dos contrários possam ser introduzidas com todos os alunos na própria classe.

Debata em grupo as questões a seguir:

- Em um recipiente despejei 10 litros de água quente; como ficou a água?

- O ar condicionado foi ligado; como ficou a sala?

- Trinta e nove moças entraram num salão de baile; trata-se de um baile feminino?

- Antônio recebeu 10 milhões de reais; ele está rico?

- Contraí uma dívida de um milhão de reais; estou endividado, falido?

� O fato de despejar 10 litros de água quente em um recipiente não significa que a água do mesmo ficou quente. E se o recipiente já tivesse 40 litros de água fria?

� Ao ligar o ar condicionado o pensamento em mão-única nos faz pensar que a temperatura da sala ficou fria. Mas e se a sala já estava muito quente? Ou a sala estava mais fria do que o ar que saía do ar condicionado?

� Ao chegar moças no baile concluímos que ele é feminino; e se o baile tivesse muitos rapazes?

� Do fato de ganhar muito dinheiro concluímos que a pessoa é rica; e se fosse um devedor?

� Do fato de se contrair dívida concluímos que a pessoa se endividou; e se ela possuísse muito dinheiro de reserva?

� Escolhendo apenas um lado, uma mão, erramos. Devemos pensar o movimento em todos os seus aspectos, realizando-se num sentido e no seu contrário.

Ao escolher apenas um lado, uma mão, erramos. Devemos pensar o movimento em todos os seus aspectos, realizando-se num sentido e no seu contrário.

Na sala de computadores:

Caso não seja possível o trabalho individual, devido o número de máquinas disponíveis,

o professor pode pedir aos alunos que se dividam em duplas ou trios. Se for necessário

trabalhar dessa forma é importante deixar que todos os alunos realizem as atividades

para que cada um realize seus registros e seja possível identificar possíveis dúvidas e

erros.

Em seguida o professor pode apresentar o OA aos alunos e conduzir a atividade,

preferencialmente de forma que eles resolvam cada etapa ao mesmo tempo, para que

seja possível explicar os conceitos e identificar o que foi compreendido, em cada fase.

Material necessário (adicional) e Preparação

O professor pode pedir aos alunos que tenham em mão papel e lápis para que façam

anotações e registros do que desenvolverem durante a atividade.

É importante que o professor tenha a sua disposição uma lousa, onde seja possível

realizar as explicações e sanar possíveis dúvidas.

Requerimentos técnicos

Para a utilização do OA é necessário navegador WEB com plug-in do Adobe Flash

Player 8 ou superior.

Dica: o plug-in está disponível em www.adobe.com.br

Atividades

Tela 1: Nesta tela inicial o aluno pode clicar no botão “Não deixe o maior carnívoro

terrestre desaparecer” para iniciar as atividades. Ou caso esteja entrando pela segunda

vez no OA poderá clicar no botão “Pular intro”.

Tela 2: Neste momento o aluno irá se deparar com a problemática da alta temperatura

no Pólo Ártico e suas terríveis conseqüências.

Tela 3: O professor Pingüim explica o que o aluno deve fazer para salvar os ursos

polares do desaparecimento. A missão consiste em adquirir as senhas (dois dígitos por

ambiente, sendo quatro ambientes diferentes) para entrar no Laboratório Atomístico e

realizar os experimentos do professor Pingüim para diminuir a temperatura do Pólo

Ártico. No botão “curiosidades”, o aluno encontrará uma breve explicação sobre as

causas e conseqüências do aquecimento global.

Procedimento: Nesse momento o professor poderá abordar a temática transversal do

aquecimento global, clicando no botão curiosidades, ou até mesmo fazer buscas em

sites que tratam sobre o tema.

Tela 4: Nesta tela o aluno poderá escolher em qual ambiente pretende entrar para

conquistar o amuleto e dois dígitos da senha.

Procedimento: Indicamos ao professor que siga a seguinte seqüência de ambientes:

1º China (Dinastia Qin), 2º China (Dinastia Han), 3º Grécia e 4º Itália. Pois esta

seqüência obedece à evolução lógico-histórica do conceito números inteiros.

Fundamento pedagógico: Esta é a tela de navegação do OA, definida como “Planeta

Terra”. Nela o mundo pode ser visto como um todo sistêmico, com diversas relações

espaciais e temporais.

Tela 5: Para voltar no tempo o usuário digitará o ano em que se encontra, e guiado por

uma linha do tempo (primeira representação do conjunto Z na reta) deverá digitar

quantos anos precisa voltar no tempo para se transportar para o ambiente selecionado.

Na parte inferior da tela está a “linha do tempo” com uma “bolinha” no ponto zero

(Nascimento de Cristo) que muda de posição de acordo com o que for preenchido pelo

aluno, deslocando-se de um ano a outro na reta.

Ao digitar corretamente o número que representa a quantidade de anos que deverá

voltar no tempo, o aluno visualizará na tela da Máquina do tempo (parte superior da

tela) a imagem do marco histórico do local e época onde pretende entrar.

Procedimento: A Dinastia Qin ocorreu no período de 221 a.C. a 206 a.C.. Dentro

desse período o programa sorteia um número que no caso do exemplo da tela é 216 a.

C.. O raciocínio desta operação consiste em contar quantos anos é preciso voltar no

tempo para chegar ao nascimento de Cristo. E contar quantos anos é preciso voltar no

tempo para ir do nascimento de Cristo até o ano indicado. Para então, somar estas

quantidades.

Fundamento Pedagógico: Esta situação de aprendizagem pretende levar o aluno a

pensar a relação passado, presente e futuro em sua relatividade (por exemplo, algumas

civilizações contam o tempo através do calendário cristão – gregoriano, como é o nosso

caso, ao contrário de outras como os chineses e os judeus); contar o tempo no sentido

oposto; compreender a linha do tempo como uma representação desenvolvida pelo

homem para medir o tempo, tomando como referencial de origem (o ponto zero) o

nascimento de Cristo.

Tela 6: Esta tela representa a construção da “Grande Muralha” e a tirania do imperador

Qin (marco histórico da Dinastia Qin).

Procedimento: Para protegerem-se das invasões dos hunos do norte (os nômades

hiong nu), as primeiras muralhas são erguidas pelos chineses. Nesse momento o

professor poderá abordar este acontecimento histórico clicando no botão curiosidades,

ou até mesmo fazer buscas em sites que tratam sobre o tema.

Fundamento Pedagógico: Tema transversal: pluralidade cultural. Conhecer a cultura,

o saber, a visão e a filosofia do modo de pensar chinês na antiguidade, para então

compreender as contribuições desse povo ao conhecimento matemático.

Tela 7: O velho sábio Lao Tsé convida o aluno para fazer uma viagem.

Procedimento: O professor pode fazer pesquisas na internet para saber mais sobre o

velho sábio Lao Tsé.

Tela 8: Na viagem com o sábio Lao Tsé é apresentada uma das primeiras e mais

conhecidas formas de negatividade desenvolvida pelo homem, o yin e o yang.

Procedimento: Neste momento, para conhecer mais sobre a alternância e os

significados do símbolo yin e yang, sugerimos que o aluno clique no botão curiosidades.

Lá irá encontrar a Fábula da absoluta utilidade do inútil que explica passo a passo a

transformação do yin em yang e vice e versa.

Fundamento Pedagógico: Conhecer uma forma ainda qualitativa, utilizando símbolos

para representar os contrários na natureza.

Tela 9: Nesta atividade as figuras da realidade estão dispostas aleatoriamente e abaixo

de cada uma delas estão dispostos os símbolos yin e yang do Taoísmo.

Procedimento: Para o usuário conquistar a parte yin do amuleto de Lao Tsé e dois

dígitos da senha para entrar no laboratório, este precisará escolher o símbolo yin e

yang que melhor representa algumas imagens de contrários, clicando sobre ele e

arrastando-o até a figura respectiva, assim como faziam os taoístas para representar

sua realidade.

Fundamento Pedagógico: O sistema de correlações e convergências sincrônicas yin e

yang ainda não se trata de um conceito abstrato, mas sim de um manancial simbólico

capaz de suscitar em cada caso imagens precisas que evocam aspectos contrários. E

para isso exige dos alunos um pensamento analógico por equivalência.

Tela 10: Momento de florescimento econômico, cultural e intelectual. O papel é

inventado pelos chineses.

Procedimento: Situar o aluno no tempo e no espaço. Morre o imperador amarelo,

então Lui Bang um hábil tenente promove uma revolução.

Tela 11: Esta atividade representa a maneira como os primeiros Hans faziam os

cálculos com números/palitos negativos/pretos e positivos/vermelhos.

Procedimento: Os palitos vermelhos representam os chineses e os pretos os hunos.

Seguindo as instruções da atividade o aluno deverá clicar no palito correspondente a

cada combatente (hunos e chineses) e arrasta-lo, dispondo-os no “tapete”. Sugerimos

que o professor oriente seus alunos a seguir a disposição no exemplo da tela 10, pois

este era o modo como faziam os chineses: uniam os pares de opostos e separavam o

restante dos palitos.

Fundamento Pedagógico: Entender que um palito era compreendido pelos chineses

como uma unidade de algo, representação da quantidade, e para representar a

qualidade desse algo usavam as cores vermelha (positivo) e preta (negativo). Para

compreender o significado das cores para os chineses o aluno poderá clicar no botão

curiosidades e lá no botão “as cores para os chineses”.

Vale a pena ressaltar que os soldados chineses são representados pela cor vermelha

que para eles representa algo positivo e os seus adversários são representados pela

cor preta, algo negativo. O professor pode abrir uma discussão com os alunos a partir

da questão:

Mas se fossem os hunos que estiverem fazendo os cálculos com palitos. Qual cor eles

utilizariam para se representarem? E como representariam seus adversários, os

chineses? Veja como os números negativos dependem do ponto de vista, ou do ponto

de referência tomado.

Atualmente nos gráficos de contabilidade, o azul representa o positivo (crédito) e o

vermelho representa o negativo (débito).

Por isso que os números inteiros também recebem o nome de números relativos, pois

dependem da relação que é feita entre o pensamento de quem opera e o objeto

estudado.

Tela 12: Na lacuna o aluno deverá digitar qual foi o exército vitorioso.

Procedimento: Explicar aos alunos que os palitos vermelhos e pretos quando unidos

um a um se anulam (pelo fato de serem equivalentes, porém opostos) e o resultado

será os palitos que restarem sobre o tapete.

Fundamento Pedagógico: Utilizar os palitos para quantificar e as cores para qualificar

os contrários, contando-os de acordo com o pensamento chinês de que os opostos se

neutralizam um a um.

Tela 13: O aluno conta quantos palitos ficaram “sem par” digita o número na lacuna e

clica em responder.

Procedimento: Pedir para que os alunos façam os registros das operações realizadas

para depois convertê-las numericamente. Para tanto, o aluno poderá entrar em

curiosidades e clicar no botão “formalização”.

Fundamento Pedagógico: Ao finalizar a atividade é extremamente necessário que o

aluno compreenda as operações realizadas, ou seja, que os palitos não se subtraem,

ou extraem um dos outros, como se fossem pedras de um saco, mas sim como se

opõem e enfrentam entre si como fariam os soldados de dois exércitos. Enfrentados,

vão se aniquilando mutuamente, cada combatente vermelho se aniquila com um preto.

O número de sobreviventes emite a conseqüência da batalha, o resultado da operação.

Se o exército vermelho é mais numeroso, o resultado será uma certa quantidade de

números vermelhos/positivos se era o preto que contava com mais combatentes o

resultados será um número de soldados pretos/números negativos sobreviventes.

Trata-se da adição e subtração de números inteiros, cuja soma de dois contrários

diferentes (números com sinais opostos), mantém-se o sinal do contrário maior, porém

efetuado de acordo com o modo pensar chinês, sem recorrer imediatamente as

regrinhas formais.

Tela 14: O aluno deverá clicar em iniciar para realizar a atividade “Baile de Máscaras”.

Tela 15: O raciocínio desta atividade é o mesmo da “Batalha chinesa”, porém neste

caso, os pares de opostos são homens/positivo e mulheres/negativo.

Procedimento: Vê-se necessário que o aluno registre os procedimentos em um papel

separadamente, caso se esqueça das instruções do problema e para facilitar a

formalização das operações. O baile sempre começa com os pares de contrário em

equilíbrio (não sobra ninguém). O aluno deverá formar os pares de contrários no

“tapete”, e expressá-los matematicamente no papel da seguinte forma: (-1+1)+(-1+1)+(-

1+1)+(-1+1) = 0.

Fundamento Pedagógico: Essas situações visam levar o aluno a identificar a relação

e a diferença entre contrários; interpretar o significado do zero diferenciando o zero do

conjunto dos números naturais – zero absoluto, vazio e o zero do conjunto dos números

inteiros – zero equilíbrio, móvel.

Tela 16: Conforme as instruções do problema o aluno irá colocar/retirar palitos

vermelhos/pretos sobre o tapete, dispondo-os em pares, contando os palitos sem par

para digitar a resposta na lacuna e clicar em prosseguir.

Procedimento: Neste momento é importante que o professor faça uma reflexão com os

alunos com questões da forma:

- Se entrarem mais 5 casais, como ficará o baile? (Nada ocorrerá, pois os pares

de contrários estão em equilíbrio).

- O que significa sair 3 mulheres do baile?

- O que significa entrar 3 homens no baile? (Logo, sair 3 mulheres do baile é o

mesmo que entrar 3 homens).

- O que significa sair 3 homens do baile?

- O que significa entrar 3 mulheres no baile? (Logo, sair 3 homens do baile é o

mesmo que entrar 3 mulheres no baile).

- Por que isso acontece? (Deixar os alunos refletirem).

Porque o baile de máscaras começa com os pares completos – em equilíbrio. Por

exemplo:

(+1-1)+(+1-1)+(+1-1)+(+1-1). Então 3 homens saem do baile:

(-1)+(-1)+(-1)+(+1-1), ou seja, 3 pares se separam, isto é, 3 mulheres se

“desprendem” e ficam sozinhas: - 3.

Portanto, -(+3)= - 3.

A resposta pode ser encontrada pelos alunos em “Curiosidades” no item

“Formalização”.

Fundamento Pedagógico: Levar os alunos a desvendarem os mistérios da regra de

sinais por meio do pensamento dos chineses e partindo do novo conceito de zero (que

representa o equilíbrio).

Tela 17: Realizando a atividade corretamente o aluno ganha a parte yang do amuleto e

os dois dígitos da senha.

Procedimento: Pedir para o aluno anotar o amuleto que conquistou e os dígitos da

senha que ele corresponde.

Tela 18: Neste momento o aluno entra em Atenas, a cidade-estado mais desenvolvida

democrática e intelectualmente da Grécia, bem diante da construção do Paternon, um

marco para arquitetura desse tempo.

Procedimento: Para saber mais sobre esse período, conhecido como período clássico,

governado por Péricles o aluno poderá entrar em curiosidades.

Fundamento pedagógico: Entender os conceitos de movimento e contradição através

dos pensamentos de Heráclito.

Tela 19: A atividade consiste em ajudar o arquiteto do Paternon, o senhor Bartolomeu,

a controlar os movimentos de entrada e saída da água no tanque onde é lavado todo o

mármore do Paternon.

Procedimento: O professor poderá explicar que o tanque é abastecido por um canal e,

este também possui um ralo de escoamento. Isto significa que o aluno deverá

responder quantos litros de água têm no tanque com a água entrando e saindo de

modo simultâneo. Pois, nessa época os gregos tinham muita dificuldade para pensar

em mão-dupla.

Fundamento Pedagógico: Aprender a pensar, expressar e contar os contrários

simultaneamente, como ocorre na natureza.

Tela 20: Esta atividade consiste em responder quantos litros de água terá no tanque no

1º, 2º, 3º e 4º dia.

Procedimento: Para realizar esta atividade o aluno precisará registrar as operações

realizadas e o resultado obtido em cada uma delas. Pois para calcular quantos litros de

água ficarão no tanque no 2º dia precisa saber quantos litros de água já havia no

tanque do 1º dia e assim sucessivamente.

Fundamento Pedagógico: Construir uma expressão matemática para contar os

movimentos em seus sentidos opostos.

Tela 21: As idéias de Heráclito.

Procedimento: Para conhecer os conceitos de movimento e contradição o aluno

poderá clicar no ícone “Conheça as Idéias de Heráclito”. Nesse ambiente estão

sincronizados a letra e a música “Como uma onda”2 de Lulu Santos e Nelson Motta com

imagens que reproduzem os pensamentos de Heráclito de Éfeso:

“O fogo vive a morte do ar e o ar vive a morte do fogo; a água vive a morte da terra e a

terra vive a morte da água [...] Assim as coisas, ao mesmo tempo, são e não são elas

próprias assim como somos e não somos nós mesmos [...] Há um princípio universal de

luta, de tensão entre contrários, que a todo o momento rompe o equilíbrio para criar um

equilíbrio novo; a luta é o pai de todas as coisas e o rei de todas as coisas [...] há uma

harmonia das tensões opostas como a do arco e da lira”. (Heráclito) 2 Mediante autorização concedida pela Mix/Som Livre Edições Musicais, proprietária dos direitos autorais dessa

música.

Fundamento Pedagógico: Levar o aluno a entender os conceitos de:

- Fluência é a compreensão de que o mundo está em permanente evolução, que

todas as coisas, a todo o momento, se transformam, tudo fluí, tudo devém, que

tudo pode e deve ser compreendido como movimento.

- Contradição é a luta entre contrários; é a luta entre os contrários que determina

a existência do movimento.

Tela 22: Ao digitar corretamente as quantidades de água no tanque, o aluno ganha o

poder da deusa Atena e dois números da senha.

Procedimento: Pedir para o aluno anotar os dígitos da senha que adquiriu.

Tela 23: Neste momento o aluno está em Florença na Itália, grande centro comercial da

Europa.

Procedimento: O aluno poderá encontrar mais informações sobre este período

histórico conhecido como “Renascimento” em “Curiosidades”.

Fundamento Pedagógico: Situar o aluno histórico-culturalmente: as pessoas

começam a viajar de uma região para outra, conhecem novos costumes, novas

pessoas. A produção de um local é transportada e vendida em grandes centros

comerciais da Europa, desencadeando o movimento conhecido como “Renascimento”.

Tela 24: O registro verbal dos movimentos comerciais do armazém de Brancaleone.

Palavras, palavras e mais palavras.

Procedimento: Neste momento sugere-se o grupo copie as anotações de Brancaleone

em um papel. A partir da pergunta: “Como escrever um número de modo a provocar o

pensamento através de contrários?” O professor pode realizar a seguinte dinâmica:

Cada aluno individualmente cria seu símbolo para registrar numericamente os

movimentos quantitativos em mão-dupla, depois socializa com o grupo (grupo por

computador, lembrando que o número de alunos por grupo vai depender do número de

alunos e computadores dispostos na sala de informática). Dessa discussão, selecionam

o melhor símbolo. Cada grupo expõe seu símbolo escolhido para a classe. Para

finalizar, a classe escolhe o símbolo que considerarem mais adequado a Brancaleone,

de modo que todos registrem os movimentos dos contrários da mesma forma. Para

então transformar o registro verbal do comerciante Brancaleone, operando com os

símbolos construídos no próprio objeto, da seguinte maneira:

Fazer o desenho dos objetos: vinho, arroz e dinheiro, cada um em uma folha de papel.

Estas folhas servirão para a localização destes três movimentos quantitativos.

Em seguida recortar uma folha de papel em pequenos pedaços que servirão de

tabuleta ou “etiqueta”, que indicarão, por meio dos registros inventados, as mudanças

quantitativas ocorridas em cada um dos movimentos descrito nas anotações de

Brancaleone. Assim, cada mudança será registrada numa tabuleta – “etiqueta” de papel

que será pregada (com grampo) nas folhas com os desenhos dos objetos para registro:

Fechando o caixa...

Os alunos são convidados a responder o que ficará registrado ao final do dia na

etiqueta:

Do vinho?

(Lembrando que o símbolo será aquele que foi definido pela classe).

Do arroz?

Da caixa?

Após a transformação do registro utilizado, os alunos são convidados a explicitarem as

limitações concretas que o pensamento verbalista traz para a atividade comercial. E as

vantagens da criação de um novo símbolo para representar tais movimentos

comerciais.

Fundamento Pedagógico: Controlar e registrar quantitativamente o mais rápido

possível os movimentos comerciais do armazém de “Brancaleone”.

Tela 25: Controle dos movimentos contrários da saca de arroz do Armazém de

Brancaleone.

Procedimento: Utilizando os sinais “+” e “-“, assim como faziam os comerciantes

medievais, conforme o problema for indicando as entradas e saídas de arroz das sacas,

o aluno deverá fazer as marcações nas plaquetas.

Fundamento Pedagógico: Levar o aluno a entender e vivenciar o surgimento dos

sinais “+” e “-“ para representar movimentos contrários.

Tela 26: Utilizando o numeral dos contrários fazer as marcações nas plaquetas das

sacas de arroz.

Procedimento: Por exemplo, para a venda/saída de 5 kg de arroz, marca-se – 5,

alguns minutos depois Brancaleone despejou nesta mesma saca 8 kg de arroz, então

se marca +3 na plaqueta. Para entender mais sobre a criação e utilização desses sinais

na matemática comercial o aluno poderá entrar em “Curiosidades” no item “O numeral

dos contrários”.

Tela 27: Corrigir a quantidade de vinho nos tonéis.

Fundamento Pedagógico: Compreender o novo significado do zero. Agora o zero não

é mais o nada, o vazio, um número absoluto que não muda, como no conjunto N, o zero

no conjunto Z é um zero que se move, que pode mudar, um zero relativo. Pois no caso

dessa atividade o nível de tonel é 5 litros, então o zero pode ser representado por (5-5),

mas e se o nível do tonel fosse 4 litros? Então o zero passaria a ser representado por

(4-4). Como ficariam as marcações nas plaquetas? Sugerimos que antes do aluno clicar

em OK o professor faça essas questões para classe.

Tela 28: Corrigir a quantidade de vinho nos tonéis de acordo com o nível (traço

pontilhado) e com as marcações nas plaquetas.

Procedimento: O aluno deverá clicar no botão (+) para aumentar a quantidade de

vinho no tonel ou em (-) para diminuir de acordo com o que estiver indicado na

plaqueta. No primeiro caso da tela acima deverá clicar 3 vezes em (-). Para facilitar a

formalização dessa atividade o professor pode pedir aos alunos para registrarem em

um papel quantas vezes clicou no botão (+) ou no botão (-).

Fundamento Pedagógico: Que o aluno perceba que o que está escrito na plaqueta

não é a quantidade de vinho que está de fato no tonel, mas sim uma representação da

quantidade de vinho em falta (-) ou excesso (+) em relação ao nível do tonel. Os

números inteiros são assim, sempre estão relacionados a algum fator e representando

algo. Passagem do conceito de número como uma quantidade contável (quantidade de

litros de vinho no tonel) para o conceito de número simbólico como uma relação

abstrata (quantidade de vinho em falta ou excesso no tonel em relação ao seu nível).

Por exemplo, no caso do segundo tonel na tela acima, o tonel está com 3 litros em

excesso, logo a marcação deveria ser +3, porém está com a marcação -3, isto significa

que o tonel deve estar com uma falta de 3 litros em relação ao nível de 5 litros, e por

isso o aluno não vai clicar 3 vezes no botão (-), mas sim 6 vezes no botão (-), pois vai

retirar 3 litros para chegar até o nível (zero), retirando mais 3 litros, ficam faltando 3

litros, isto é, -3.

Tela 29: Deixar o primeiro tonel sempre no nível indicado (com 5 litros).

Procedimento: O aluno deverá transferir a quantidade em excesso em relação ao nível

do primeiro tonel para o segundo tonel, clicando na seta que está entre os dois tonéis.

No caso da tela acima o primeiro tonel tinha 10 litros, então clicando sobre a seta → 5

vezes transfere-se 5 litros para o segundo tonel que estava com uma falta de 2 litros (-

2) em relação ao nível, mudando a marcação do mesmo de

-2 para 3 (número que deverá ser digitado na caixa de texto branca do lado direito da

figura).

Fundamento Pedagógico: Esta operação descrita numa sentença matemática, nada

mais é que 5 -2 = 3, uma subtração de números inteiros.

Tela 30: Realizadas as atividades, o aluno conquista a senha de dois dígitos e o poder

da deusa Horas – a deusa das estações do ano.

Procedimento: Pedir para o aluno anotar os dois dígitos da senha, como indica o texto

na tela acima.

Tela 31: A senha para entrar no Laboratório Atomístico.

Procedimento: Na lacuna da tela acima o aluno deverá digitar os dígitos que adquiriu

com a realização das atividades nos outros ambientes. Lembrando que deve ser

exatamente na seqüência indicada pelo texto da tela acima.

Tela 32: Ao digitar a senha os amuletos e suas forças se unem.

Tela 33: Números positivos “+” e números negativos “-“.

Fundamento Pedagógico: Formalização dos sinais algébricos “-“ e “+”, utilizados para

indicar número negativo e positivo respectivamente.

Tela 34: Separação das cargas elétricas por indução.

Fundamento Pedagógico: Levar os alunos a compreender que os contrários existem

juntos na natureza, e que sua separação é artificial, feita por meio de instrumentos

específicos.

Tela 35: Experimento contrário visível com o movimento de cargas elétricas positivas e

negativas.

Procedimento: Digitar os números que representam o contrário yin (preto) e o yang

(branco). Para auxiliar o aluno a calcular o número resultante da adição das cargas

positivas e negativas o professor pode fazer a pergunta: Quem vai mandar no

movimento? A carga que está em maior quantidade.

Tela 36: Retirar/acrescentar cargas positivas/negativas no diagrama e digitar a

qualidade e a quantidade do movimento resultante das cargas.

Procedimento: Clicando sobre a carga e arrastando-a o aluno poderá manipulá-la da

maneira que preferir para calcular o número resultante. O professor pode orientar o

aluno para que utilize o raciocínio chinês no cálculo com palitos vermelhos e pretos, ou

seja, unindo as cargas opostas (uma a uma) elas se anulam (resultam em zero) e o que

sobrou (ficou sem par) vai indicar a qualidade e a quantidade resultante da contradição.

Fundamento pedagógico: Que o aluno perceba o zero como par de contrários em

equilíbrio, conceito físico de matéria atual.

Tela 37: Experimento contrário visível com o movimento da temperatura, cujas

unidades positivas representam o estado quente e as negativas o estado frio.

Procedimento: Similar a atividade anterior.

Tela 38: Retirar/acrescentar unidades positivas/negativas no diagrama e digitar a

qualidade e a quantidade do movimento resultante da temperatura.

Procedimento: Pedir para que os alunos anotem no papel as operações que estão

realizando e as converta numa sentença matemática. Por exemplo: acrescentar 6

unidades negativas é o mesmo que + (- 6).

Fundamento Pedagógico: Auxiliar o aluno a pensar os contrários num contexto mais

vasto, em “mão-dupla”, como aumento ou diminuição dos elementos que compõem a

temperatura, frio e calor, diferenciando-os dos sinais (+) da adição e

(-) subtração, dos símbolos (algébricos) usados para indicar os contrários (+) positivo e

(-) negativo.

Tela 39: Experimento do contrário invisível. A representação das unidades contrárias

que compõem a temperatura nesse instante no Pólo Ártico.

Procedimento: Neste experimento o símbolo + representa uma unidade de calor e o

símbolo - representa uma unidade de frio. As unidades contrárias no diagrama estão

representando a média da temperatura no verão do Ártico. O aluno deverá através do

pensamento chinês, calcular qual o número resultante, isto é, a temperatura do Pólo

Ártico.

Fundamento Pedagógico: Explicitar a diferenciação entre os sinais (+ ou -)

operatórios – aqueles que indicam ação – e predicativos – aqueles que qualificam um

estado, positivo ou negativo.

Tela 40: Retirar unidades positivas/negativas do diagrama e digitar a qualidade e a

quantidade resultante da mudança da temperatura.

Procedimento: De acordo com as mudanças na temperatura o aluno vai manipulando

as unidades contrárias, dispondo-as de modo a representar a temperatura naquele

momento. Na tela acima temos que a temperatura caiu 8 graus centígrados no outono.

Pedir para que os alunos anotem no papel as operações que estão realizando e as

converta numa sentença matemática. Por exemplo, caiu 8 graus ºC, - (+8), para

representar esta operação no diagrama, visto que não tem como acrescentar 8

unidades negativas, +(- 8), o aluno precisará retirar 8 unidades positivas. Logo, - (+8) =

+(- 8) = - 8.

Fundamento Pedagógico: Compreender a regra de sinais. Em “Curiosidades” no

botão “Formalização” o aluno pode encontrar a sistematização dessa regra.

Tela 41: Representar no diagrama a alta de 7ºC na temperatura.

Procedimento: Subir 9 graus é o mesmo que acrescentar 9 unidades positivas: + (+9),

mas como isso não é possível nesta atividade, o aluno precisará retirar 9 unidades

negativas: - (-9). E nos dois casos a média da temperatura sempre será igual a Ou seja,

+ (+9) = - (-9) = +9.

Fundamento Pedagógico: Levar o aluno a interpretar a regra de sinais.

Tela 42: Manipular as unidades contrárias no diagrama de modo que a temperatura

volte a ser de - 4 ºC.

Procedimento: Ao finalizar a atividade o aluno consegue diminuir a temperatura do

Pólo Ártico e salva a vida dos ursos polares.

Depois da atividade

Sistematizar as regras de sinais envolvidas nas atividades realizadas no OA a partir do

botão “Curiosidades” em “Formalização”. Após esta sistematização seria interessante

que o aluno realizasse as atividades do Laboratório Atomístico novamente (pela

segunda vez, visto que os valores do OA variam). Para tanto, poderá entrar no OA pela

segunda vez, clicar em “Pular intro”, entra direto na tela Planeta Terra e clica no

desenho do iglu, digita a senha e faz as atividades novamente. Desse modo poderá

aplicar a regra de sinais.

Avaliação

A avaliação deve se focar principalmente no conhecimento adquirido em relação aos

aspectos substanciais: fluência, contradição, princípio de equivalência e nos aspectos

simbólicos do conceito números inteiros, bem como na realização das operações de

adição e subtração com esses números e a interpretação da regra de sinais. Nesse

sentido a compreensão do significado de todos os conceitos envolvidos no estudo dos

números inteiros facilita e torna o aprendizado desse conteúdo mais significativo para o

aluno. Por isso o professor pode observar no decorrer da atividade as dúvidas e

dificuldades encontradas pelos alunos, para que essas possam ser trabalhadas e

resolvidas.

Para saber mais

BOYER, C. B. (1996) História da Matemática. Trad. Elza S. Gomide. São Paulo, 2ª

ed., Editora Edgard Blucher Ltda.

CROSBY, A. W. (1999) A mensuração da realidade: a quantificação e a sociedade

ocidental, 1250 - 1600. Tradução Vera Ribeiro. São Paulo: Editora UNESP.

(UNESP/Cambridge).

EVES, H. (2004) Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H.

Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP.

LIMA, L. C & MOISÉS, R. P. (1998) O número inteiro: numerando movimentos

contrários. São Paulo: CETEAC.

PRADO, E. P. de A. e MOURA, A. R. L. O conceito números inteiros nos livros

didáticos. In: Simpósio Internacional do Livro Didático: Educação e História, 2007, p.

1406-1422, São Paulo/SP, 2007.

_______, E. P. de A. e MOURA, A. R. L. A influência dos contextos sociais no

conceito matemático. In: 1º seminário paulista de história e educação matemática.

2005, p. 53-58, IME – USP, São Paulo/SP, 2005. Disponível em

http://www.ime.usp.br/~sphem/documentos/sphem-tematicos-2.pdf . Acessado em

07/11/2007