Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

O experimento

Números e fuNções

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

A roda-gigante

Objetivo da unidadeIntroduzir o conceito de função periódica e discutir suas propriedades.

O experimento

SinopseCom este experimento será possível introduzir conceitos de movimentos oscilatórios, períodos e pontos de máximo e mínimos de funções periódicas. A atividade envolve a construção de uma roda-gigante em tamanho reduzido feita de material reciclável.

ConteúdosRelações e Funções; �

Trigonometria: Modelagem de Fenômenos Oscilatórios, Funções Seno �

e Cosseno.

ObjetivoIntroduzir o conceito de função periódica e discutir suas propriedades.

DuraçãoUma aula dupla.

Material relacionadoSoftware: Ondas trigonométricas.

A roda-gigante

A roda-gigante O Experimento 2 / 9

Introdução

Pensamos este experimento para ser usado antes da introdução dos conceitos de Trigonometria. De forma explorativa, os alunos poderão se deparar pela primeira vez com diversos conceitos muitas vezes vistos apenas de forma abstrata em definições e fórmulas de livros. A atividade está dividida em duas etapas. Na primeira, os alunos irão construir uma roda-gigante de papelão. Os materiais são de fácil acesso e a atividade é de simples construção. Em seguida, os alunos coletarão uma série de dados com os quais esbo çarão gráficos de funções seno. Mais adiante, o aluno poderá se lembrar da roda-gigante e associá-la ao círculo trigonométrico, fazendo com que seja um recurso extra para a compreensão da Trigonometria. Esperamos que o lúdico e o educacional se unam neste experimento, ajudando suas aulas a ficarem mais ricas.

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A roda-gigante O Experimento 3 / 9

O Experimento

Material necessário

Papelão; �

4 tampinhas de garrafa � pet;Tesoura; �

Régua; �

Cola branca; �

Compasso; �

Barbante; �

Um lápis. �

Materiais alternativosVareta de bambu; �

Caneta. �

Preparação

Para a realização deste experimento, propomos a divisão da sala em grupos de até 4 alunos. Com a construção da roda-gigante e coleta de dados, esperamos que, com esse número, todos os alunos se envolvam na atividade.

Construção da roda-gigante

A RodaComo a descrição dos passos é longa, será preciso que os detalhes da construção sejam explicados aos alunos. Eles devem realizar os seguintes procedimentos:

Com a ajuda do compasso, o grupo deverá �

desenhar duas circunferências iguais, cujo raio pode variar entre 5 e 15 centímetros. Cada grupo deverá escolher um valor dife-rente para o raio;

fig. 1

etapa

1

A roda-gigante O Experimento 4 / 9

A base

Para fazer a base da roda-gigante, os alunos �

devem recortar um pedaço de papelão como o da figura 5;

O valor da medida � h (distância do lado pontilhado do retângulo até a parte marcada do segmento de reta) deve ser um pouco maior que o raio dos discos;Dobre na linha pontilhada de modo que �

a parte hachurada fique para baixo;Fure a parte marcada da reta com o lápis; �

Trace dois diâmetros perpendiculares e, �

no ponto de encontro, perfure o papelão com o lápis;

Escolha um dos discos e cole uma tampinha �

de garrafa em cada extremidade dos diâme-tros traçados;

Cole o outro disco sobre as tampinhas. �

Espere uns 15 minutos até a cola secar.

fig. 2

fig. 3

fig. 4

fig. 5

Cole as tampinhas ºalternadamente com a boca pra cima e para baixo. Assim, nossa roda‑gigante terá uma maior estabilidade.

Deixe visível o lado do ºdisco em que estão desenhados os diâmetros.

O elemento ao lado pode ºter quaisquer medidas, mas uma sugestão é que o retân gulo hachu rado seja de 2 cm x 5 cm.

h

A roda-gigante O Experimento 5 / 9

Finalização da roda-gigante

Coloque o disco na base construída usando �

o lápis como eixo para a roda-gigante, como na figura 7.

Fixe o minitransferidor no eixo de modo que �

o zero fique voltado para o ponto mais baixo da roda-gigante.

Recorte um pequeno disco de mais ou menos �

6 cm de raio e cole na parte hachurada da figura 5. Assim, a nossa base terá mais estabilidade.

O minitransferidor

Distribua o minitransferidor do � ANexo para cada grupo e peça para que o coloquem em uma base de papelão.

fig. 6fig. 7

fig. 8

O minitransferidor vem !sem marcação para que o professor possa escolher entre usar a medida de ângulo em graus ou em radianos.

A roda-gigante O Experimento 6 / 9

Depois, os alunos repetirão o mesmo processo, mas deverão anotar também em outra tabela o comprimento percorrido por um ponto na extremidade da roda-gigante em função da altura do ponto. Para medir o comprimento percorrido, os alunos usarão o barbante como mostra a figura 10:

O sobe-e-desce da roda-gigante

Com ajuda do instrumento que constru-ímos, vamos analisar as propriedades de uma função periódica, colhendo informações a partir das simulações e medições que faremos. Para isso, os alunos devem construir uma tabela para registrar essas informações.

Peça para escolherem uma tampinha e a alinharem com a origem do minitrans-feridor. Eles devem mover a roda-gigante em sentido anti-horário e fazer medições da altura da tampinha com uma régua. Devem ser registradas a altura e o ângulo deslocado para 25 diferentes posições em 2 voltas na roda-gigante.

etapa

2

Altura (cm) Ângulo (radianos)

1 0

8 π⁄2

… …

tabela 1 Ângulo em função da altura.

fig. 9

fig. 10

A roda-gigante O Experimento 7 / 9

Fechamento

À medida que os alunos forem terminando o experimento, escolha cerca de três grupos que fi zeram rodas-gigantes com raios de valores diferentes e peça para que repro-duzam o gráfi co deles na lousa em um mesmo eixo. No gráfi co “altura x ângulo” é interessante destacar que os mínimos e máximos das funções estão no mesmo ponto da abscissa. Incentive os alunos a encontrarem o porquê dessa situação, aproveitando para construir e explicar o conceito de período.

Os outros alunos poderão verifi car que seus gráfi cos também possuem o mesmo período, variando apenas os valores no eixo y. Isso acontece porque os pontos de máximo e mínimo estão diretamente relacionados às medidas da roda-gigante. Enfatize que

Construção dos gráfi cos

Colhidas as informações necessárias nas tabelas, seus alunos deverão fazer dois gráfi cos marcando os pontos em um plano cartesiano.

etapa

3

��

��

�

� π/� π �π/� �π �π/� �π �π/� �π

altura (cm)

ângulo (rad)

Cada integrante do grupo !deve esboçar seu próprio gráfi co em seu caderno.

A função geral que descreve a relação “ângulo em função da altura” é dada por y = −R · cos(θ) + h , onde y é a altura, θ é o ângulo, R é o raio do disco e h é referente à altura da base. Para mais detalhes, veja o GUIA DO PROFESSOR.

Quanto maior o valor ºde R, mais esticado verticalmente fi ca o gráfi co.

��

��

�

� �� �� �� �� �� �� �� ��

altura (cm)

comprimento percorrido (cm)

��

��

��

π/� π �π/� �π �π/� �π �π/� �π

altura (cm)

ângulo (rad)

fig. 13 Gráfi co: “altura x ângulo”.

fig. 12 Exemplo de pontos plotados a partir tabela “altura x comprimento percorrido”

fig. 11 Exemplo de pontos plotados a partir tabela “altura x ângulo”

A roda-gigante O Experimento 8 / 9

As diversas outras considerações que podem ser feitas a partir dos dados coletados e representados neste gráfi co estão no Guia Do Professor.

os pontos mais baixos são aqueles obtidos nos valores de ângulos múltiplos de 2π. Aproveite para explorar os pontos que constituem os gráfi cos mostrando que o valor da coordenada y, descontado o valor de h, é proporcional a R em cada um dos gráfi cos. Escolha, por exemplo, o ponto 2π/3 e monte uma tabela mostrando a seguinte relação:

y−h/R = constante

Escolha outros pontos e peça aos alunos que verifi quem e comparem os dados e os resultados com seus colegas. Posteriormente essa constante poderá ser apresentada como 1− cos(2π/3) , ou seja, cos(2π/3) = −0, 5 . Podemos obter outros valores de cosseno usando o mesmo procedimento. Analisando agora o gráfi co “ângulo x comprimento percorrido”, vemos que desta vez os pontos de máximo e mínimo não possuem mais a mesma coordenada na abscissa.

R (cm) y−h/R

5 0,5

7,5 0,5

… …

tabela 2 Valores para o ângulo 2π/3.

Pequenos desvios nos !valores obtidos podem aparecer devido a erros de medida. Explique isso aos alunos.

A função que ºdescreve os gráfi cos é

y = −R cos(c/R) + h , onde y é a altura, c é o comprimento percor rido, R é o raio do disco e h é referente à altura da base. Para mais detalhes, veja o GUIA DO PROFESSOR.

��

�� �� �� �� ��� ��� ���

��

��altura (cm)

comprimento percorrido (cm)

fig. 14 Gráfi cos “altura x comprimento percorrido”

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

Secretaria de Educação a Distância

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutorMaria Zoraide M. C. Soares

Coordenação de RedaçãoFabricio de Paula Silva

RedaçãoLuís Antônio Rodrigues e Luiz Fernando Giolo Alves

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráficoPreface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira

FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto

Números e funçõesFolha do aluno

A roda-gigante Folha do aluno 1  /  2

Etapa 1  Construção da mini roda-giganteAo lado, temos uma figura que auxiliará no processo de construção da roda-gigante. Atente para algumas instruções:

1.1 O disco do primeiro passo deve ter um raio R entre 5 e 15 centímetros e é necessário traçar nele dois diâmetros perpendiculares. O furo no centro do disco tem de per-mitir a passagem de um lápis;

1.2 Sugerimos que o disco da base tenha aproximadamente 6 cm de raio;

1.2 O passo 4 representa o suporte da roda-gigante. O tama-nho de h deve ser um pouco superior ao tamanho do raio do disco maior;

1.4 Faça um reforço de papelão no minitransferidor que foi entregue e monte a roda-gigante, como na parte 7 da figura.

1

4 5

6

7

2 3

fig. 1 Procedimento de construção da roda-gigante.

h

Números e funçõesFolha do aluno

A roda-gigante Folha do aluno 2  /  2

Etapa 2  O sobe-e-desce da roda-giganteAgora vamos coletar alguns dados. Para isso, faça uma tabela de 20 linhas e 2 colunas, como a sugerida a seguir:

2.1 O zero do transferidor deve estar alinhado ao eixo h do suporte. Escolha uma das tampinhas e a coloque na posição 0 do transferidor;

2.2 Registre na tabela a altura da tampinha escolhida e o ângulo em que ela se encontra. Nesse caso, o primeiro dado será Altura = h e Ângulo = 0. Gire sua roda-gigante e meça novamente o valor da altura e do ângulo. Complete a tabela preenchendo com os valores obtidos após, no máximo, duas voltas na roda-gigante;

2.3 Faça então outra tabela 20 × 2, que será denominada “Altura × Comprimento percorrido”;

2.4 Voltando a tampinha na posição 0, faça o seguinte procedimento: você vai marcar o comprimento percor-rido, usando, para obter este dado, um barbante e uma régua.

Etapa 3  Construção dos gráficos 3.1 Com os dados das tabelas, faça dois gráficos em planos

cartesianos diferentes. No primeiro gráfico, o eixo x deve ser o ângulo e o eixo y deve ser a altura. Já no segundo, o eixo x será o comprimento percorrido e o eixo y será a altura;

3.2 Esboce o traçado das curvas.

Quais características possui este gráfico que o difere dos outros tipos de gráficos que você conhece? Você saberia dizer qual altura teremos quando o ângulo for de 6π radianos (1080°)?

Altura (cm) Ângulo (radianos)

tabela 1

fig. 2 Medindo comprimento.

Pense e responda

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