4. ANÁLISE DE SISTEMAS – RESPOSTA NO TEMPOintranet.deei.fct.ualg.pt/SC/Apontamentos/4- Resposta no...João Miguel G. P. B. Lima Capítulo 4 ANÁLISE DE SISTEMAS – RESPOSTA NO

4. ANÁLISE DE SISTEMAS – RESPOSTA NO TEMPO

Nos capítulos anteriores foi estudada a modelação e representação de sistemas lineares e

invariantes no tempo. O recurso a vários métodos de representação de sistemas permitiu

evoluir-se em termos de complexidade dos mesmos mantendo-se verdade todos os

fundamentos estudados até então.

Nesta altura existem condições para se estudar como reagem os sistemas a perturbações

externas. Neste capítulo a análise vai ser feita no domínio temporal sendo a análise no

domínio da frequência objecto do capítulo seguinte.

4.1 RESPOSTA NO TEMPO DE SLIT

Considere-se um sistema com resposta impulsional , sujeito a uma perturbação à

entrada Fig.4.1.

( )h t ( )u t

Fig.4.1 – Sistema com resposta impulsional h(t).

Sabe-se que a resposta y(t) é dada por (4.1).

( ) ( )* ( ) ( ) ( )y t u t h t u h t dτ τ τ+∞

−∞

= = −∫ (4.1)

João Miguel G. P. B. Lima Capítulo 4 ANÁLISE DE SISTEMAS – RESPOSTA NO TEMPO

50

Embora a análise no domínio do tempo permita avaliar a saída do sistema para qualquer

entrada, é comum considerarem-se as entradas típicas da Tab.4.1.

Entradas típicas Representação

Impulso de Dirac ( )tδ

Degrau unitário ( )u t

Rampa unitária ( )tu t

Parábola unitária 21 ( )2

t u t

Sinusoide1 ( ) ( )sen t u tω θ+

Tab.4.1 – Entradas típicas.

Nesta altura recorda-se a definição de transformada de Laplace de um sinal x(t) (4.2).

( ) ( ) stX s x t e+∞

−

−∞

= ∫ dt

(4.2)

As propriedades da transformada de Laplace permitem que a determinação de y(t) seja feita

de forma indirecta Fig.4.2.

1 Devido à sua importância, sistemas com entrada sinusoidal serão objecto de estudo do próximo capítulo.


51

Fig.4.2 – Utilização da transformada de Laplace.

De acordo com o esquema apresentado na Fig.4.2 o cálculo de y(t) pelo integral de

convolução pode ser feito indirectamente calculando a transformada de Laplace de u(t) e

h(t), fazendo o produto das transformadas e invertendo o resultado.

Para SLIT com perturbações u(t) usuais a função Y(s) é racional (4.3).

( )1

1 1 01

1 1 0

... , ...

m mm m

n nn

b s b s b s bY s m ns a s a s a

−−

−−

+ + + += <

+ + + + (4.3)

Considere-se r raízes distintas: 1 2, ,..., rρ ρ ρ ; cada raiz iρ apresenta uma multiplicidade iσ ,

donde se conclui que . Desta forma, Y(s) pode ser escrita como a soma de

fracções parciais (4.4).

1

r

ir

nσ=

=∑

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1

2

2

11311 122 3

1 1 1 1

22321 222 3

2 2 2 2

31 22 3

...

...

... r

r

rrr r

r r r r

AAA AY ss s s s

AAA As s s s

AAA As s s s

σσ

σσ

σσ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

= + + + +− − − −

+ + + + + +− − − −

+ + + + +− − − −

+

(4.4)

Duma forma compacta, Y(s) pode ainda ser escrita como (4.5).


52

( )( )1 1

irik

ki k i

AY ss

σ

ρ= =

=−

∑∑ (4.5)

Para que a decomposição em fracções parciais fique definida resta determinar os

coeficientes Aik, que de acordo com o teorema dos resíduos são dados por (4.6).

( )( )

( ) ( ) (1 lim!

ii

kii

k

ik isi

dA sk ds

σ

σσ

ρρ

σ −

−

→⎡= −⎣−

)Y s ⎤⎦ (4.6)

A decomposição em fracções parciais de Y(s) permite, utilizando o princípio da linearidade

da transformada de Laplace, inverter cada parcela por consulta da tabela respectiva.

Assim, um termo de 1ª ordem tem transformada de Laplace dada por (4.7).

1tes

ρ

ρ− ⎯⎯⎯→

+L (4.7)

No que respeita a termos de ordem superior, recorda-se a propriedade da diferenciação da

transformada de Laplace de um sinal (4.8).

( ) ( )dtx t X sds

− ⎯⎯⎯→L (4.8)

Então, a partir de (4.8), pode-se provar pelo método de indução (4.9).

( ) ( )11

1 !n t

nt en s

ρ 1ρ

− − ⎯⎯⎯→− +

L (4.9)

Na análise de sistemas é igualmente importante ter presente a transformada de Laplace da

derivada de um sinal; assim, na situação geral de condições iniciais não nulas tem-se (4.10).

( ) ( ) ( )0d x t sX s xdt

⎧ ⎫ = −⎨ ⎬⎩ ⎭

uL (4.10)

Para a 2ª derivada, utilizando-se a expressão (4.10) obtém-se (4.11).

( ) ( ) ( ) ( )2

22 0d x t s X s sx x

dt⎧ ⎫

= − −⎨ ⎬⎩ ⎭

i

uL 0 (4.11)


53

Para a 3ª derivada, utilizando-se um processo análogo obtém-se (4.12)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

3 23 0 0d x t s X s s x s x x

dt⎧ ⎫

= − − −⎨ ⎬⎩ ⎭

i ii

uL 0 (4.12)

Desta forma, pode-se generalizar para uma derivada de ordem n.

( ) ( ) ( ) ( )1

1

00

n nn in i

ni

d x t s X s s xdt

−− −

=

⎧ ⎫= −⎨ ⎬

⎩ ⎭∑uL (4.13)

A transformada de Laplace surge no presente contexto como ferramenta para a completa

determinação de respostas temporais de SLIT contínuos. Como 1ª aplicação apresenta-se o

Exemplo 4.1.

Exemplo 4.1

Considere-se um sistema caracterizado pela equação diferencial:

( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 2d y t dy t

y t x tdt dt

+ + = ; pretende-se determinar a saída y(t) para a entrada

( ) ( )2x t u t= .

Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação diferencial obtém-se

( ) ( )2

13 2

Y s X ss s

=+ +

.

Tendo em conta o par transformada (4.14).

( ) 22u ts

⎯⎯⎯→L (4.14)

A transformada de Laplace da saída é (4.15).

( ) ( )2

23 2

Y ss s s

=+ +

(4.15)

A expansão em fracções parciais do tipo (4.4) para (4.15) conduz a (4.16).

( )2 1

A B CY ss s s

= + ++ +

(4.16)


54

=

=

−

)

A aplicação do teorema dos resíduos (4.6) permite determinar os coeficientes A, B e C de

acordo com (4.17), (4.18) e (4.19), respectivamente.

( )0

lim 1s

A sY s A→

= ⇔ (4.17)

( ) ( )2

lim 2 1s

B s Y s B→−

= + ⇔ (4.18)

( ) ( )1

lim 1 2s

C s Y s C→−

= + ⇔ = (4.19)

A inversão da transformada de Laplace (4.16) permite chegar à resposta no tempo y(t)

(4.20), cuja representação gráfica se apresenta na Fig.4.3.

( ) ( ( )21 2t ty t e e u t− −= + − (4.20)

Fig.4.3 – Resposta do Exemplo 4.1 com condições iniciais nulas.

A observação da Fig.4.3 permite distinguir duas regiões distintas.

• Regime transitório: evolução da resposta nos instantes imediatos à aplicação da

entrada.

• Regime estacionário: patamar estabilizado para instantes de tempo posteriores.


55

Considere-se agora que o sistema no instante inicial não está em repouso, pelo contrário, as

condições iniciais são não nulas: ( )0 3y = ; ( )0 5y = −i

.

Desta forma, a aplicação da transformada de Laplace à equação diferencial que descreve o

sistema deve ter em conta (4.10) e (4.11), conduzindo a

. Rearranjando os termos a

transformada de Laplace da saída pode então ser calculada de acordo com (4.21).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 0 0 3 0 2s Y s sy y sY s y Y s X s− − + − + =i

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

3 1 10 03 2 3 2 3 2

sY s y y X ss s s s s s

+= + +

+ + + + + +

i (4.21)

A observação da expressão (4.21) permite concluir que a resposta y é composta por duas

componentes; a componente devido às condições iniciais não nulas, denominada

componente livre, e a componente devido à perturbação externa X, denominada

componente forçada. Tratando-se de um sistema linear, o princípio da sobreposição pode

ser aplicado, resultando a resposta y como a soma de cada uma das componentes

considerada isoladamente. Alternativamente a esta estratégia de resolução, rearranjando os

termos de (4.21) e entrando com os valores das condições iniciais obtém-se (4.22).

( ) ( )2

2

3 4 23 2

s sY ss s s

+ +=

+ + (4.22)

Utilizando a estratégia anteriormente seguida para a expressão (4.15), a expansão em

fracções parciais de (4.22) seguida de inversão da transformada de Laplace conduz a (4.23)

cuja representação gráfica se apresenta na Fig.4.4.

( ) ( ( )21 3t ty t e e u t− −= − + ) (4.23)


56

Fig.4.4 – Resposta do Exemplo 4.1 com condições iniciais não nulas.

O exemplo acabado de apresentar permitiu, devido à sua simplicidade, facilmente obter a

resposta y(t). Contudo, situações há em que é de grande utilidade tirar-se algumas

conclusões sobre a evolução temporal da saída sem que esta seja explicitamente calculada.

Nomeadamente, para a caracterização da saída, é de particular interesse o conhecimento da

sua evolução nos primeiros instantes após a aplicação da perturbação de entrada e a sua

evolução mas proximidades dos seus “valores finais”. Estas duas situações podem ser

avaliadas recorrendo aos teoremas do valor inicial e do valor final.

Seja Y(s) a transformada de Laplace de y(t): ( ) ( ){ }Y s y t= L .

Teorema do valor inicial: Admitindo que y(t) e ( )d y tdt

têm transformada de Laplace e

que existe, então: ( )lims

sY s→∞

( ) ( )0

lim limst

y t sY s+ →∞→

= (4.24)

Teorema do valor final: Admitindo que y(t) e ( )d y tdt

têm transformada de Laplace e que

sY(s) não têm pólos no eixo imaginário nem no semiplano complexo direito, então:

( ) ( )0

lim limt s

y t sY s→∞ →

= (4.25)


57

A aplicação destes teoremas, ao exemplo acabado de estudar para condições iniciais não

nulas, permite concluir a partir apenas da transformada de Laplace da saída (4.22) que,

e ( )0

lim 3t

y t+→

= ( )lim 1t

y t→∞

= . Estes resultados podem ser confirmados utilizando a expressão

(4.23) para y(t) ou por simples inspecção gráfica da Fig.4.4.

O exemplo acabado de estudar corresponde a um caso particular da expressão (4.3), que

para SLITs reais quando submetidos a perturbações reais se pode escrever como

( )( )( )

N sy sD s

= : função racional de coeficientes reais. O comportamento da resposta no

tempo, y(t), é fortemente dependente das raízes de D(s): 1 2, ,..., np p p , que, nas condições

apresentadas são reais ou complexas conjugadas. Desta forma, D(s) pode ser decomposto

num produto de factores de 1ª ordem ( )s a+ , ou de 2ª ordem ( )2s bs c+ + com a, b e c

. ∈

Conclui-se então que Y(s) pode ser vista como a resposta de sistemas de 1ª e 2ª ordens

ligados em série tal como se esquematiza na Fig.4.5 com . 1 1 1... , ... , ...k k ka a b b c c ∈

N(s)R1

1s a+

•••1

ks a+ 21 1

1s b s c+ +

••• 2

1

k ks b s c+ +YN(s)R

1

1s a+

•••1

ks a+ 21 1

1s b s c+ +

••• 2

1

k ks b s c+ +Y

Fig.4.5 – Série de sistemas de 1ª e 2ª ordem.

Neste contexto fica justificada a importância do estudo em separado dos sistemas de 1ª e 2ª

ordens.

4.2 SISTEMAS DE 1ª ORDEM

Grande número de sistemas de interesse prático são de 1ª ordem ou, quando de ordem

superior, podem razoavelmente ser aproximados por sistemas de 1ª ordem.

Considere-se como referência para o estudo que se segue o sistema de 1ª ordem sem zeros

cuja função de transferência G(s) é dada por (4.26).


58

( )( )

1 1, ,1

Y s a aR s s a s a

ττ

= = = >+ +

0 (4.26)

A função de transferência na forma em que intervém τ denomina-se função de

transferência na forma das constantes de tempo.

Para o exemplo em estudo τ denomina-se constante de tempo associada ao pólo situado

em –a (ou 1τ

− ).

A especificação dos pólos e zeros de um sistema recorre com frequência ao diagrama de

pólos-zeros. Esta representação gráfica utiliza o plano complexo onde os zeros e os pólos

são representados respectivamente por e por ○ × .

O diagrama de pólos-zeros para o sistema em estudo apresenta-se na Fig.4.6.

×

jω

σ1τ

−×

jω

σ1τ

−

Fig.4.6 – Diagrama de pólos-zeros para sistema de 1ª ordem.

Considere-se agora aplicadas algumas das entradas típicas da Tab.4.1.

A aplicação do impulso de Dirac ( )tδ faz com que a saída seja a resposta impulsional

. Tendo em conta (4.26), y(t) é dada por (4.27) e a evolução gráfica apresenta-

se na Fig.4.7 para

( ) ( )y t g t=

2τ = .

( ) ( ) ( )11 taty t ae u t e u tτ

τ−−= = (4.27)


59

ττ Fig.4.7 – Resposta impulsional para sistema de 1ª ordem.

Fazem-se de seguida algumas considerações para esta resposta.

Atendendo a (4.26) e recordando que ( ) ( )r t tδ= tem-se:

( )1

ssY ssτ

=+

(4.28)

Tendo em conta o teorema do valor inicial conclui-se que:

( )0

1lim lim1st

sy tsτ τ+ →∞→

=+

= (4.29)

Tendo em conta o teorema do valor final conclui-se que:

( )0

lim lim 01t s

sy tsτ→∞ →

=+

= (4.30)

Ambos os resultados (4.29) e (4.30) estão de acordo com a Fig.4.7 e podem ser

confirmados recorrendo directamente à resposta (4.27).

O cálculo da 1ª derivada na origem é bastante útil para a caracterização da resposta. Desta

forma, recorrendo a (4.27) pode-se determinar que:


60

( ) 20

1limt

d y tdt τ+→

−= (4.31)

Este valor é compatível com o declive da tangente na origem, conforme ilustrado na

Fig.4.7.

Considere-se agora que ao sistema G(s) em estudo, (4.26), é aplicada à entrada o degrau

unitário: . Sabendo-se que ( ) ( )r t u t= ( ) 1R ss

= então:

( ) ( )aY s

s s a=

+ (4.32)

Fazendo a expansão de Y(s) em 2 fracções parciais e atendendo a que 1aτ

= , a inversão da

transformada de Laplace conduz a (4.33).

( ) ( )1

1t

y t e u tτ−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.33)

A aplicação dos teoremas do valor inicial e valor final permite confirmar a representação

gráfica (Fig.4.8) de (4.33).

Fig.4.8 – Resposta ao degrau para sistema de 1ª ordem.


61

O eixo dos tempos está graduado em constantes de tempo, T τ= . Para alguns valores de t,

apresenta-se na Tab.4.2 os correspondentes valores de y(t).

4

3

2

y(t)t

11 63.2%e−− =

21 86.5%e−− =

31 95%e−− =

41 98.2%e−− =

ττττ4

3

2

y(t)t

11 63.2%e−− =

21 86.5%e−− =

41 98.2%e−− =4

3

2

y(t)t

31 95%e−− =

11 63.2%e−− =

21 86.5%e−− =

41 98.2%e−− =

ττττ

31 95%e−− =

Tab.4.2 – Alguns valores da resposta ao degrau para sistema de 1ª ordem.

A caracterização de sistemas dinâmicos recorre a vários critérios de controlo dos quais se

apresenta neste enquadramento o tempo de estabelecimento.

Tempo de estabelecimento (a 5%) st : Tempo ao fim do qual a resposta ao degrau se

confina a uma faixa de 5% do valor final. ±

Para o exemplo em estudo, o tempo de estabelecimento vale 3 constantes de tempo:

3st τ= .

Considere-se agora que ao sistema G(s) em estudo, (4.26), é aplicada à entrada a rampa

unitária: . Sabendo-se que ( ) ( )r t tu t= ( ) 2

1R ss

= então:

( ) ( )2

aY ss s a

=+

(4.34)

Fazendo a expansão de Y(s) em 3 fracções parciais e atendendo a que 1aτ

= , a inversão da

transformada de Laplace conduz a (4.33).

( ) ( )1 t

y t t e u tττ τ−⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.35)


62

O estudo de y(t) pode recorrer ao cálculo da 1ª e 2ª derivadas dadas por (4.36) e (4.37).

( ) 1td y t e

dtτ−

= − (4.36)

2

2

1( )td y t e

dtτ

τ

−

= (4.37)

Verifica-se que tanto a 1ª como a 2ª derivadas são >0 para todo o t, concluindo-se então que

y(t) é crescente com a concavidade voltada para cima tal como se apresenta na Fig.4.9.

Fig.4.9 – Resposta à rampa para sistema de 1ª ordem.

Para se terminar o estudo de sistemas de 1ª ordem considere-se por último que ao sistema

G(s) em estudo, (4.26), é aplicada à entrada a parábola unitária: ( ) ( )2

2tr t u t= . Sabendo-se

que ( ) 3

1R ss

= então:

( ) ( )3

aY ss s a

=+

(4.38)


63

A expansão de Y(s) em fracções parciais conduz à expressão (4.39).

( ) ( )2 3

A B C DY ss s s s a

= + + ++

(4.39)

O teorema dos resíduos (4.6) permite determinar as constantes A, B, C e D conforme (4.40).

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

23

20

3

0

3

0

2

1 1lim3 1 !

1 1lim3 2 !

lim 1

1lim

s

s

s

s a

dA s Yads

dB s Yds a

C s Y s

D s a Y sa

→

→

→

→−

= =−

s

s −= =

−

= =

−= + =

(4.40)

Por último, atendendo a que 1aτ

= , a inversão da transformada de Laplace permite

determinar y(t).

( ) ( )12

2 2

2tty t t e u tττ τ τ

−⎛ ⎞= − + −⎜

⎝ ⎠⎟ (4.41)

Também agora o estudo de y(t) pode recorrer ao cálculo da 1ª e 2ª derivadas dadas

respectivamente pelas expressões (4.42) e (4.43).

( ) ( )1 td y t t e u t

dtττ τ

−⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.42)

( ) ( )12

2 1td y t e u t

dtτ

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.43)

Na 1ª e 2ª derivadas reconhecem-se as respostas à rampa e ao degrau, respectivamente. De

acordo com os estudos acabados de fazer concluiu-se que tais resposta são sempre

positivas. Desta forma, a resposta à parábola é crescente com a concavidade voltada para

cima, tal como se apresenta na Fig.4.10.


64

Fig.4.10 – Resposta à parábola para sistema de 1ª ordem.

4.3 SISTEMAS DE 2ª ORDEM

O estudo de sistemas de 2ª ordem justifica-se pelo facto de muitas situações práticas

exibirem comportamentos oscilatórios amortecidos, típicos deste tipo de sistemas; por

exemplo, repare-se no comportamento de um veículo quando sobe um passeio.

Tomando como base um dos blocos de 2ª ordem da série da Fig.4.5 apresenta-se de seguida

a forma geral da função de transferência de um sistema de 2ª ordem sem zeros (4.44).

( )2

22 2n

n n

G ss s

ωξω ω

=+ +

(4.44)

Em que se define:

ξ - coeficiente de amortecimento,


65

nω - frequência natural não amortecida2.

O comportamento do sistema depende da localização dos pólos p1/2 de G(s) dados por

(4.45).

221/ 22 0n n n ns s pξω ω ξω ω ξ+ + = ⇒ = − ± 2 1− (4.45)

O estudo da dinâmica de sistemas deste tipo recorre à análise da resposta y(t) para uma

entrada em degrau unitário: . ( )u t

Na Tab.4.3 apresenta-se a natureza dos pólos e os correspondentes tipos de resposta ao

degrau a que conduzem.

Tab.4.3 – Pólos de sistema de 2ª ordem.

Antes de se estudar a resposta específica para cada situação da Tab.4.3, os Teoremas dos

Valores Inicial e Final permitem estabelecer que os valores inicial e final de y(t) e inicial de

são dados por (4.46), (4.47) e (4.48), respectivamente. ( )y ti

( ) ( )0

lim lim 0t s

y t sY s→ →∞

= =

=

(4.46)

( ) ( )0

lim lim 1t s

y t sY s→∞ →

= (4.47)

( ) ( ){ } ( ) ( )(0

lim lim lim 0 0t s s

y t s y t s sY s y→ →∞ →∞

= = −i i

L ) =

(4.48)

2 O significado destes parâmetros ficará esclarecido na sequência do texto.


66

As secções que se seguem debruçam-se sobre cada uma das situações que se apresentam na

Tab.4.3.

4.3.1 Sistema subamortecido

Nesta situação os pólos são complexos conjugados dados por (4.49).

21/ 2 1 , 0n np jξω ω ξ ξ= − ± − ≤ < 1 (4.49)

A parte imaginária de p1/2 representa-se por 21d nω ω ξ= − e designa-se por frequência

das oscilações amortecidas.

Para uma entrada em degrau e tendo em conta (4.44), a transformada de Laplace da saída é

dada por (4.50).

( ) ( )2

22 2n

n n

Y ss s s

ωξω ω

=+ +

(4.50)

O denominador de (4.50) tem 3 raízes distintas: 0, p1 e p2. A expansão em fracções parciais

e inversão da transformada de Laplace permite determinar y(t).

( ) ( )2

2

2

11 sin 11

1

ntny t e t

arctg

ξω ω ξξ

ξξ

−= − − + Φ−

−Φ =

,

(4.51)

A observação de (4.51) permite concluir que a resposta y(t) é formada por duas

componentes, ambas dependentes do factor de amortecimento ξ e da frequência natural

não amortecida nω :

• Componente oscilatória: ( )sin dtω + Φ , atendendo a (4.49) { }1/ 2Imd pω = .

• Exponencial decrescente: nte ξω− , atendendo a (4.49) { }1/ 2Ren pξω− = .


67

Como resultado final, y(t) tem uma evolução sinusoidal amortecia razão pela qual o sistema

em estudo se chama subamortecido.

Observe-se agora o caso particular do limite inferior de ξ no âmbito do presente estudo

(4.49): 0ξ = . Nestas circunstâncias (ausência de amortecimento) a resposta (4.51) assume

a forma , ( )( ) 1 sin ny t tω= − + Φ2

0

1lim

2arctg

ξ

ξ πξ→

−Φ = = ; podendo finalmente

escrever-se como (4.52).

( ) ( )1 cos ny t tω= − (4.52)

Nesta altura, pode-se então atribuir significado a nω como sendo a frequência a que a

resposta y(t) oscilaria caso o amortecimento fosse reduzido a zero.

Repare-se que a hipótese de pólos complexos conjugados mantém-se, contudo, observando

(4.49) verifica-se que se localizam sobre o eixo imaginário3. O sistema é dito não

amortecido ou sinusoidal puro, podendo ser visto como uma degeneração do

comportamento subamortecido.

A caracterização da resposta ao degrau no caso limite acabado de estudar ( 0ξ = ) está

concluída com a expressão (4.52).

Segue-se a análise da resposta dada por (4.51), ] [0 1ξ ∈ , com recurso ao cálculo de

( )d y tdt

.

( ) ( ) (2

sin cos1

nt nd n d

d y t e t tdt

ξω ξω ω ω ωξ

−⎛ ⎞⎜= + Φ −⎜ −⎝ ⎠

)⎟+ Φ⎟

(4.53)

Os máximos e mínimos são dados pelos zeros da 1ª derivada, ou seja, anulando o 2º factor.

( ) ( ) ( )2

0 sin cos1

nd n d

d y t t tdt

0ξω ω ω ωξ

= ⇒ + Φ − + Φ =−

(4.54)

3 0ξ = ⇒ pólos imaginários puros.


68

Resolvendo (4.54) tendo em conta que a função tg é periódica de período π conclui-se que

existe uma infinidade de soluções dadas por (4.55).

02,

1n

nt n Nπω ξ

=−

∈ (4.55)

A observação de (4.51) permite concluir que y(t) é contínua, a 1ª derivada tem uma

infinidade de zeros, logo apresenta uma alternância infinita de máximos e mínimos. ( )y t

Lembrando a aplicação dos teoremas dos valores inicial e final a esta situação (4.46) e

(4.47), reforçando com o facto da componente oscilatória de (4.51) ser ponderada por uma

exponencial decrescente, pode-se esboçar a resposta y(t) para a situação em estudo

Fig.4.11.

pT

dT

dT

y max

–y fin

al

sTTempo (s)

y (t)

( )2

11

nte ξω

ξ

−

+−

sup ty =

( )2inf 1

1

nt

t eyξω

ξ

−

−−

=

pT

dT

dT

dT

dT

y max

–y fin

aly m

ax–

y final

sTTempo (s)

y (t)

Tempo (s)

y (t)

( )2

11

nte ξω

ξ

−

+−

sup ty =

( )2inf 1

1

nt

t eyξω

ξ

−

−−

=

Fig.4.11 – Resposta ao degrau para sistema de 2ª ordem subamortecido.

O desempenho dos sistemas de 2ª ordem recorre a medidas que vão ser definidas a partir do

perfil da resposta que se esboça na Fig.4.11 e que vão ser definidas de seguida.

Sendo a sinusóide amortecida, compreende-se que o 1º máximo seja o máximo absoluto

apresentando-se a definição de tempo de pico.


69

Tempo de pico Tp: Tempo ao fim do qual se verifica o máximo absoluto4 da resposta.

Tendo em conta o perfil subamortecido da Fig.4.11 verifica-se que o máximo absoluto

corresponde ao 1º zero de fora da origem. Tendo em conta a expressão dos zeros,

(4.55), conclui-se que T

( )y ti

p é definido para n=0 estabelecendo-se (4.56).

21p

n

T πω ξ

=−

(4.56)

Embora y(t) não seja periódica, pode-se definir o período das oscilações amortecidas.

Período das oscilações amortecidas Td: Intervalo de tempo (constante) entre 2 máximos

(ou 2 mínimos) consecutivos.

Tendo em conta a conhecida relação entre o período T e a frequência ω , então, para as

oscilações amortecidas define-se (4.57).

2

21

d dd n

2π πω ω ξ

Τ = ⇒ Τ =−

(4.57)

A comparação de (4.57) com (4.56) permite concluir que 2dT Tp= , de facto, observando-se

a Fig.4.11 verifica-se que ocorre após metade do período das oscilações amortecidas. pT

O valor do máximo absoluto também serve para caracterizar a resposta do sistema,

permitindo definir a percentagem de sobreelevação.

Percentagem de sobreelevação S(%): Percentagem de elevação do máximo absoluto

relativamente ao valor final da resposta.

( ) max% 100 final

final

y yS

y−

= (4.58)

4 pico


70

Para o sistema em estudo ; 1finaly = ( )max py y T= , então, utilizando dado pela expressão

(4.56) na expressão de y(t) dada por (4.51), obtém-se

pT

( ) 211py T eξπ

ξ

−

−= + ; a percentagem de

sobreelevação é dada por (4.59).

( )21% 100S e

ξπ

ξ

−

−= (4.59)

Referências

[1] M. I. Ribeiro, Análise de Sistemas Lineares, IST Press.

[2] John J. D'Azzo e Constantine H. Houpis, Linear Control Systems Analysis and

Design, 3ª ed., McGraw-Hill, 1988.

[3] J. Martins de Carvalho, Dynamical Systems and Automatic Control, Prentice Hall,

1993.

[4] Richard C. Dorf and Robert H. Bishop, Modern Control Systems, 7ª ed., Addison

Wesley, 1995.

[5] Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, 2ª ed., Prentice-Hall, 1990.

[6] Chi-Tsong Chen, Analog and Digital Control Systems Design: Transfer-function,

state-space and algebraic methods, Saunders College Publishing, 1993.

[7] Bahram Shahian, Control Systems Design using Matlab, Prentice-Hall, 1993.

[8] Duane C. Hanselman e Benjamin Kuo, Matlab Tools for Control Systems Analysis

and Design, Prentice-Hall, 1995.

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