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Planeamento experimental

APONTAMENTOS DE ADPE © E. Esteves & C. Sousa, 2007. 90

4. PLANEAMENTO EXPERIMENTAL

4.1. Razões para o planeamento de experiências

Realizam-se experiências em quase todas as áreas do conhecimento, usualmente para

descobrir algo acerca de determinado processo ou sistema. Por experiência entende-se uma

investigação em que o sistema em estudo está sob controlo do investigador. Pelo contrário, em

estudos observacionais, a variável resposta é medida sem que o responsável pelo estudo controle

um ou mais dos aspectos do assunto. O formato dos dados poderá ser similar ou quase idêntico nos

dois contextos. A diferença reside na "firmeza de interpretação" acerca das diferenças aparentes na

variável-resposta resultantes dos diferentes factores. Contudo, na prática, é muitas vezes difícil

distinguir os dois casos.

Os principais elementos de uma experiência são as unidades experimentais (pessoas,

animais, pacientes, matérias-primas, parcelas de terreno, etc.), os factores (que por vezes são

subdivididos em níveis ou tratamentos) e a variável-resposta (que pode ser uma ou várias). Em

esquema, pode-se imaginar uma experiência como um conjunto de diferentes tratamentos aplicados

pelo investigador a cada unidade experimental do sistema em estudo, após o que se mede a resposta

(Figura 4.1).

Figura 4.1 – Modelo geral de um processo ou sistema.

Recomenda-se que o planeamento e análise de experiências sigam alguns passos: 1) antes do

planeamento propriamente dito, deve-se identificar e definir o problema, escolher os factores e

níveis e seleccionar a variável-resposta; 2) escolher o plano experimental; 3) realizar a experiência;

4) analisar estatisticamente os resultados; e 5) elaborar conclusões ou recomendações.

Os requisitos mais importantes para o planeamento duma experiência (ou desenho



experimental para autores anglófonos) podem resumir-se aos seguintes: evitar os erros sistemáticos

ou enviesamentos; minimizar os erros aleatórios ou "erros naturais"; deve ser possível estimar a

magnitude dos erros aleatórios; os resultados devem ser o mais preciso possível; por fim, deve

aproveitar-se uma eventual estrutura especial dos dados através da combinação de factores. Em

resumo, os três princípios básicos do desenho experimental são: a replicação (ou repetição da

experiência básica, do ensaio, para estimação do erro aleatório), a aleatorização (da alocação de

tratamentos, ou níveis de factores, às unidades experimentais para redução dos erros sistemáticos

durante a experiência e para “garantir” a independência das observações e dos erros) e a utilização

de blocos (técnica destinada a reduzir ou eliminar a variabilidade introduzida por factores

“nuisance”, isto é, factores que podem influenciar a experiência mas que não interessam e/ou não

foram explicitamente incluídos durante o planeamento).

Existe uma relação estreita entre o plano (ou desenho) experimental e a posterior análise dos

resultados da experiência, uma vez que o objectivo do desenho experimental é tornar a análise e

interpretação dos resultados tão simples e clara quanto possível! Uma técnica estatística designada

por Análise de Variância (ou ANOVA, do inglês "ANalysis Of VA riance") é vulgarmente utilizada

para analisar os resultados de experiências.

O planeamento de experiências com o objectivo de optimizar eficientemente a qualidade

dum produto (alimentar) com o mínimo de custos possível pode ser visto como um processo em

duas fases: 1) determinação dos factores críticos dum conjunto alargado de variáveis (condições de

operação e/ou ingredientes) que influenciam o produto (ou “screening”). Nesta fase, os planos

experimentais factoriais 2k (completos ou incompletos) são extremamente úteis e eficazes (secção

4.2); e 2) optimização dos factores de forma a atingir os objectivos pretendidos no que concerne o

comportamento da variável-resposta (ou “optimization”). Podem utilizar-se metodologias de

superfície de resposta (RSM) para desenvolver esta fase (secção 4.3).

4.2. Experiências factoriais

Existem várias estratégias de experimentação para estudar a influência de tratamentos ou

factores sobre determinado sistema (e consequentemente sobre uma dada variável-resposta). A mais

correcta, nos casos que envolvem vários factores, é realizar uma experiência factorial, na qual se

variam simultaneamente todos os (níveis dos) factores em estudo ao invés de ensaiar um factor de

cada vez. Neste caso, estuda-se sucessivamente o efeito sobre a variável-resposta de cada um dos

factores mantendo os restantes constantes. A maior desvantagem da estratégia um-factor-de-cada-



vez, que é muito comum na prática industrial, é não permitir estudar as possíveis interacções entre

factores. Por outro lado, a estratégia de um-factor-de-cada-vez é sempre menos eficiente do que

uma experiência factorial.

4.2.1. Experiências completas

Considere-se, por exemplo, uma experiência em que se pretende estudar a influência de dois

factores (cada um com dois níveis distintos) sobre determinada variável-resposta. A Figura 4.2

esquematiza essa experiência em que se repetiram duas vezes todas e cada uma das combinações de

factores (isto é, existem duas repetições/réplicas por combinação). A experiência ilustrada na Figura

4.2 designa-se por experiência factorial completa (por vezes designada desenho factorial

completo), uma vez que se "experimentaram" todas as combinações possíveis de níveis de factores.

É possível estender a experiência a mais factores, contudo a partir de determinada dimensão do

desenho experimental já não será possível ilustrar todas as combinações testadas.

Figura 4.2 – Resultados duma experiência realizada para estudar os efeitos destes factores sobre o "handicap" dum jogador de golfe e ilustração dos cálculos necessários para estimar os efeitos de dois dos factores: tipo de taco, O ou R; e tipo de bola, T ou B. Os resultados da experiência (nº de pancadas) estão resumidos em (a) e ilustram-se os cálculos para as comparações (b) entre tipos de tacos (efeito do taco), (c) entre tipos de bola (efeito da bola) e (d) para a interacção entre os tipos de taco e de bola (efeito interacção).



4.2.2. Experiências incompletas

Noutros casos, por razões de tempo ou de financiamento, não é possível realizar todas as

combinações de factores, por exemplo quando se pretendem estudar quatro, cinco ou mais factores.

Neste contexto, apenas se executam ensaios para uma parte das combinações de factores, o que se

designa por experiência factorial incompleta (ou desenho factorial incompleto) (Figura 4.3).

Figura 4.3 – Experiência factorial incompleta com quatro factores: tipo de taco; tipo de bola; tipo de bebida; e modo de deslocação no campo. Pretende-se estudar os efeitos destes factores sobre o "handicap" do jogador. Os vértices assinalados com um círculo indicam as combinações de factores que foram “ensaiadas”.

4.2.3. Experiências com um factor

Considere-se o caso mais simples: uma experiência em que se pretende estudar a influência

de determinado factor (com a níveis) sobre uma variável-resposta Y (Exemplo 4.1).

Exemplo 4.1

Considere-se o conjunto de resultados como os que se apresentam na Tabela 4.1. Pretendeu-se estudar a

influência da percentagem dum determinado conservante (% p/v) sobre o tempo de armazenagem (em dias)

de um produto alimentar. Realizou-se uma experiência completamente aleatorizada com cinco observações

(réplicas ou repetições) por nível do factor (15, 20, 25, 30 e 35% p/v).■

Níveis do factor (% p/v)

y1 y2 y3 y4 y5 Total Média

15 7 7 15 11 9 49 9,8

20 12 17 12 18 18 77 15,4

25 14 18 18 19 19 88 17,6

30 19 25 22 19 23 108 21,6

35 7 10 11 15 11 54 10,8

376 15,04 Tabela 4.1 – Resultados duma experiência com um factor. Para cada um dos a = 5 níveis do factor em estudo (% conservante, %p/v), obtiveram-se cinco observações yi da variável-resposta (tempo de armazenagem, dias).



A informação contida na Tabela 4.1 pode ser resumida através de vários tipos de

representações gráficas, nomeadamente através dum diagrama de caixas-de-bigodes ou de dispersão

(Figura 4.4). Com base nessa representação, é possível descrever e examinar os resultados obtidos

mas não é possível retirar conclusões.

Figura 4.4 – Diagramas de caixas-e-bigodes (painel da esquerda) e de dispersão (painel da direita) duma experiência para estudar a influência da percentagem de conservante, em cinco níveis de 15 a 35%, sobre o tempo de armazenagem, em dias (Exemplo 4.1). No diagrama de caixas-e-bigodes (“Boxplot”) representa-se a mediana (traço horizontal), o 1º e 3º quartil (limites da caixa) e os extremos (pontos). No diagrama de dispersão, os resultados são representados pelos ● e as médias dos tratamentos/níveis por ○.

Contudo, se se quiser ser mais objectivo pode-se recorrer a uma técnica estatística mais

elaborada, e também mais apropriada, que permite comparar várias médias (neste caso dos

diferentes níveis do factor em estudo) – ANOVA. A Tabela 4.2 é uma generalização da Tabela 4.1.

Cada entrada na tabela, yij (por exemplo y22), representa a j-ésima observação para o tratamento i, e

existem n observações para um dado tratamento (ou nível) i do factor.

Para descrever a situação resumida na Tabela 4.2, pode-se adoptar o modelo-tipo

ij i ijy µ ε= + (4.1)

em que yij é a ij -ésima observação (i=1, 2, ..., a e j=1, 2, ..., n), µi designa a média (ou valor

esperado) das observações para o nível i (i=1, 2, ..., a) e εij é o erro aleatório (que inclui todas as

fontes de erro da experiência). É conveniente pensar que os erros possuem média igual a zero e que

portanto E(yij)=µi. A equação (4.1) é designada como "modelo das médias". Uma alternativa àquela

formulação é definir αi, ou efeito do tratamento i, e então o modelo será

ij i ijy µ α ε= + + (4.2)



em que µ será um parâmetro global (alguns autores referem-se à "média geral"). O efeito de

determinado factor corresponde à variação média na variável-resposta em função da variação entre

níveis desse factor. Esta última equação é geralmente designada como "modelo dos efeitos" e é a

mais frequente na bibliografia. As equações (4.1) e (4.2) são modelos estatísticos lineares (i.e. a

variável-resposta é função linear dos parâmetros do modelo). Assume-se, ainda, que a experiência

foi realizada de forma aleatória e com igual número de observações por tratamento, ou seja,

constitui uma experiência completamente aleatorizada (ou casualizada)27.

Níveis i do factor Observações (réplicas) ∑ iy iy

1 11y 12y ... ny1 1y 1y

2 21y 22y ... ny2 2y 2y

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

a 1ay 2ay ... any ay ay

..y y

Tabela 4.2 – Tabela de resultados duma experiência completamente aleatorizada com um factor (generalização da tabela anterior). Em que ..y e y são a soma e a média de todas as observações, respectivamente.

Os objectivos da análise são testar hipóteses (apropriadas) acerca das médias dos

tratamentos e estimar os seus efeitos utilizando como técnica de eleição a análise de variância

(ANOVA). Para isso, assume-se que os erros são variáveis aleatórias independentes e com

distribuição normal de média igual a zero e variância σ2, εij ~ IN(0, σ2). Considera-se, também, que

a variância σ2 é constante para todos os tratamentos, ou seja yij ~ N(µ+ai, σ2) e que yij são

mutuamente independentes.

A equação (4.2) pode descrever dois tipos de situações. Uma situação em que os tratamentos

(ou níveis) a foram escolhidos arbitrariamente pelo investigador pelo que as conclusões aplicam-se

apenas aos tratamentos definidos. É possível estimar os parâmetros do modelo. Este caso designa-se

como modelo de efeitos fixos. Outra situação, é considerar que os tratamentos a estudados são uma

27 A inexistência de alguns (poucos) resultados não coloca problemas de maior à validade das conclusões da ANOVA (simples). Contudo, no caso das experiências factoriais (vide adiante), se o nº de resultados por tratamento não é igual então a experiência diz-se não-ortogonal. Este facto, pode ser “ultrapassado” descartando, de forma aleatória, alguns resultados (dos factores com maior nº de ensaios) ou usando técnicas estatísticas específicas (Wuensch, Two Way Orthogonal Independent Samples ANOVA: Computations, disponível em http://core.ecu.edu/psyc/wuenschk/ docs30/Factorial-Computations.doc, consultado em 3/10/2007).



amostra duma população mais vasta de tratamentos e, portanto, pretende-se estender as conclusões

aos tratamentos (ou níveis) não considerados na experiência. Não faz sentido estimar os parâmetros

do modelo mas sim estudar a sua variabilidade. Neste caso estamos a estudar um modelo de efeitos

variáveis. Consideraremos para já um modelo de feitos fixos e o método dos mínimos quadrados

como procedimento óptimo para estimar os parâmetros do modelo na análise de variância.

Nestas condições, com a ANOVA pretende-se testar as seguintes hipóteses:

H0: µ1 = µ2 = ... = µa (ou equivalentemente, os efeitos α1 = α2 = ... = 0)

H1: Nem todos as µi são iguais (ou equivalentemente, algum efeito αi ≠ 0).

A designação ANOVA está relacionada com a subdivisão da variabilidade total (de

determinado problema, conjunto de resultados, etc.) nos seus componentes. De modo similar à

abordagem da ANOVA no contexto de regressão linear (ver secção 1.3.3.1.1, pág. 19 e seg.), a

variabilidade total dos resultados (medida pela soma dos quadrados total SQT) inclui uma parte

devida, neste caso, às diferenças (à variação) entre tratamentos, medida pela SQTratamento, e uma

outra relativa aos erros aleatórios (ou variação dentro dos tratamentos, medida pela SQErro), o que se

poderia escrever simbolicamente como

Total Tratamento ErroSQ SQ SQ= + (4.3)

Podem calcular-se estas medidas através de várias formulações. A SQT obtém-se a partir de

22 2 ..

1 1 1 1

( )a n a n

T ij iji j i j

ySQ y y y

N= = = =

= − = −∑∑ ∑∑ (4.4)

em que y é a média e ..y é a soma de todas as observações yij, respectivamente. Considere-se,

agora, a SQErro e a SQTratam como resultado de

2

1 1

( )a n

Erro ij ii j

SQ y y= =

= −∑∑ (4.5)

22 2 ..

1 1

1( )

a a

Tratam i ii i

ySQ y y y

n N= =

= − = −∑ ∑ (4.6)

em que iy é a média das observações no tratamento/nível i. Podemos “refinar” estas medidas da

variabilidade de modo a obter duas estimativas, separadas, da variância (da variabilidade) da

população. Sabendo que



Total Tratam Errogl gl gl= + (4.7)

isto é, se iN n=∑ for o número total de observações (ouN n a= ⋅ se n for igual para os vários

tratamentos) então )()1()1( aNaN −+−=− , é possível calcular as “médias quadráticas”:

1Tratam

Tratam

SQMQ

a=

− (4.8)

Erro

Erro

SQMQ

N a=

− (4.9)

que estimam, de forma independente e não-enviesada, a variância da população em estudo. Prova-

se, ainda, que a melhor estimativa da variância, 2σ , é dada pela MQErro, isto é, E{ MQErro}=σ2 (ver

secção 1.3.2).

É possível testar as hipóteses avançadas inicialmente recorrendo à estatística de teste F0, que

no caso de H0 ser verdadeira segue distribuição teórica de F com (a – 1) e (N – a) graus de

liberdade. A e.t. F0 obtém-se da seguinte forma

0

Tratam

Erro

MQF

MQ=

(4.10)

Se f0 > ft = fα [a – 1, N – a], rejeita-se H0 e, portanto, com 100(1 – α)% de confiança existem

diferenças entre tratamentos. Alternativamente, poderia utilizar-se o p-value para a tomada de

decisão. Na Tabela 4.3 resume-se esta informação numa tabela de ANOVA.

Fonte de variação SQ g.l. MQ F0

Tratamentos Equação (4.6) a – 1 Equação (4.8) Equação (4.10)

Erro Equação (4.5) N – a Equação (4.9)

Total Equação (4.4) N – 1 Tabela 4.3 – Tabela da ANOVA para uma experiência completamente aleatorizada com um factor (de efeitos fixos).

É possível estimar os parâmetros do modelo de efeitos fixos (equação 4.2), bem como os

respectivos intervalos de confiança, através de

ˆ yµ = (4.11)

î ia y y= − (4.12)

para os tratamentos i = 1, 2, …, a. Para o i-ésimo tratamento, o intervalo de 100(1 – α)% de



confiança da média µi é dado por

[ ] [ ] iaN

iiiaN

i nty

nty

2

2

2

2

ˆˆ σµσαα −−

+≤≤− (4.13)

uma vez que

i

ii

n

ayT

2σ−= (4.14)

tem distribuição t de Student com (N – a) graus de liberdade.

Exemplo 4.1 (cont.)

Considere-se o conjunto de resultados incluídos na Tabela 4.1. Utilizando a ANOVA para testar as

hipóteses H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 vs. H1: Pelo menos uma iµ diferente, temos que

22 2 2 2 2 (376)

(7) (7) (15) ... (15) (11) 636,9625TSQ = + + + + + − =

2

2 21 (376)(49) ... (54) 475,76

5 25TratamentosSQ = + + − = e 636,96 475,76 161,20ErroSQ = − = .

A partir destas quantidades é possível obter as MQ e a estatística de teste pretendida, F0 (Tabela 4.4).

Observe-se que a MQTratam é bastante superior à MQErro, o que indica que é pouco provável que os

tratamentos sejam iguais, isto é, a variabilidade devida aos tratamentos é substancialmente superior aos

erros aleatórios. De facto, f0 = 14,76 > fT = f0,05[4,20] = 2,87, isto é, rejeita-se H0 para um nível de

significância de 0,05. Com (1 – α)100% de confiança existem diferenças entre os tratamentos!

Alternativamente, poderia calcular-se um valor-p para a estatística de teste: neste caso, valor-p = 9,1 x 10-6.

As estimativas dos parâmetros do modelo dos efeitos são 04,15ˆ =µ dias para o efeito global e

24,51ˆ −=α , 36,02ˆ +=α , 56,23ˆ −=α , 56,64ˆ +=α e 24,45ˆ −=α dias, para os efeitos dos cinco

níveis (tratamentos) analisados. O intervalo de 95% de confiança para a média do tratamento 4 (30% p/v),

por exemplo, é dado por 506,8086,260,21 ± , isto é, [18,95 dias; 24,25 dias], sabendo que

60,214 =y dias e que [ ] 086,2202 =αt .■

Para que os resultados da ANOVA sejam válidos, considera-se que: os modelos (4.1) ou

(4.2) se aplicam à experiência em questão; os erros são variáveis aleatórias independentes e com

distribuição normal de média igual a zero e variância σ2; e, ainda, que a variância σ2 é constante

para todos os tratamentos, ou seja yij ~ N(µ+ai, σ2), e que yij são mutuamente independentes.



Fonte de

variação SQ g.l. MQ F0

Tratamentos 475,76 4 118,94

14,76

Erro 161,20 20 8,06

Total 636,96 24

Tabela 4.4 – Tabela da ANOVA para o Exemplo 4.1.

Na prática, estes pressupostos não se verificam exactamente. Portanto, não se devem utilizar

os resultados da ANOVA até se confirmar a validade daqueles pressupostos. Podem investigar-se as

possíveis violações dos pressupostos básicos analisando os resíduos. O resíduo da observação j do

tratamento i é dado por

îj ij ije y y= − (4.15)

sendo que ijy é o valor estimado pelo modelo correspondente à observação yij e que se obtém

através de

îj iy y= (4.16)

isto é, o valor estimado duma qualquer observação do tratamento i não é mais do que a média desse

tratamento. O exame dos resíduos deve fazer parte da ANOVA. Se o modelo for adequado, os

resíduos não apresentarão nenhuma estrutura ou padrão! É possível, examinando graficamente os

resíduos, identificar vários tipos de violações aos pressupostos iniciais (cf. secção 2.4.6.2).

A elaboração dum diagrama de dispersão dos valores ordenados dos resíduos (nos xx) contra

a sua frequência relativa acumulada (nos yy), um "normal probability plot of residuals" para os

autores anglófonos, permite avaliar visualmente o pressuposto de que yij ~ N(µ+ai, σ2). Na Figura

4.5 apresenta-se esse diagrama dos resíduos da ANOVA do Exemplo 4.1. Se a distribuição

subjacente aos erros for normal, então a representação dos pontos nesse diagrama deverá

corresponder, aproximadamente, a uma linha recta, aliás como acontece com os dados apresentados

na Figura 4.5.

A representação dos resíduos “contra o tempo”, isto é, ordenados conforme foram obtidos

durante a experiência (pela ordem dos ensaios ou “run order”) permite avaliar o pressuposto de

independência das observações. Se se observar alguma tendência nesse gráfico então é provável que

exista correlação entre resíduos e, logo, que aquele pressuposto foi violado. Os resultados do

Exemplo 4.1 não parecem indicar nenhum problema com a independência entre observações

(Figura 4.6).



Nor

mal

% p

roba

bilit

y

Studentized Residuals

Normal plot of residuals

-1.50 -0.61 0.28 1.16 2.05

1

5

10

20

30

50

70

80

90

95

99

Figura 4.5. – "Normal probability plot" dos resíduos ("Studentized Residuals") da ANOVA do Exemplo 4.1

conforme é desenhado pelo software Design-Expert 6®.

Stu

dent

ized

Res

idua

ls

Run Number

Residuals vs. Run

-3.00

-1.50

0.00

1.50

3.00

1 4 7 10 13 16 19 22 25

Figura 4.6 – Gráfico dos resíduos vs. tempo ("Run Number") para a ANOVA do Exemplo 4.1 [DX6].

Se se representarem os resíduos contra os valores esperados de y num diagrama de



dispersão, podemos verificar outro pressuposto da ANOVA, a homocedasticidade (ou

homogeneidade de variâncias entre tratamentos). A Figura 4.7 ilustra os resultados da ANOVA

relativa ao Exemplo 4.1. Também neste aspecto não parece ocorrer violação do pressuposto inicial.

Por outro lado, a forma da "nuvem de pontos" poderá dar informações acerca da adequação do

modelo ajustado (cf. secção 2.4.6.2). A utilização dos resíduos padronizados ije′ (neste caso, usando

( ) 12 11ˆ−

−⋅=′ iijij nee σ para obter os “studentized residuals”) permite, ainda, identificar as

observações demasiado extremas, os “outliers”.

É possível analisar a homogeneidade das variâncias através de testes de hipóteses formais,

por exemplo usando o teste de Bartlett28 ou o teste (modificado) de Levene (que não será abordado

em detalhe aqui). O primeiro recorre a uma estatística de teste, 20χ , derivada dos desvios-padrão

dos tratamentos e dos graus de liberdade, com distribuição qui-quadrado. O segundo examina as

médias dos desvios absolutos entre as observações ijy e a mediana do tratamento i, iijij yyd ~−= ,

usando uma ANOVA.

2222

22

22

22

22

22

Stu

dent

ized

Res

idua

ls

Predicted

Residuals vs. Predicted

-3.00

-1.50

0.00

1.50

3.00

9.80 12.75 15.70 18.65 21.60

Figura 4.7 – Gráfico dos resíduos versus valor esperado da variável-resposta ("Predicted").

28 O teste de Bartlett é bastante sensível a violações do pressuposto de normalidade dos erros, pelo que se deve utilizar nos casos em que aquela condição não é duvidosa.



Depois de se verificar existirem diferenças entre as médias dos tratamentos (i.e. rejeitar a H0

com determinada confiança) será útil comparar as várias médias com o objectivo de identificar qual

(ou quais) são diferentes. Existem vários métodos para realizar estas comparações múltiplas de

médias.

Suponha-se que estamos interessados em comparar as médias dos níveis i e j, ou seja, testar

as hipóteses H0: µi = µj vs. H1: µi ≠ µj para qualquer i ≠ j. Para as médias iy e jy , calcule-se o erro-

padrão da diferença entre as médias, em que ni e nj são o número de observações para os

tratamentos i e j:

( )112ˆ −−− += jiyy nnse ji σ (4.17).

Então, a estatística de teste é dada por:

i j

i jd

y y

y yT

se −

−= (4.18)

Região de rejeição será: [ ]

2

dN a

t tα −>

Como anteriormente, o valor da prova (ou p-value) ou nível de significância associado ao

valor da estatística de teste constitui uma medida do grau em que os dados amostrais contradizem a

hipótese nula. Se p-value<α (pré-estabelecido) então a H0 deve ser rejeitada. Uma vez conhecido o

p-value, o investigador pode decidir acerca da significância dos dados sem ter predefinido α: a

quantidade 1 – α pode ser interpretada como a confiança para rejeitar H0.

Os resultados dos (múltiplos) testes de comparação entre médias exemplificam-se na Figura

4.8 e ilustram-se na Figura 4.9 (página seguinte), em que se incluem as observações, as médias e os

respectivos limites dos intervalos de confiança. Estes intervalos obtêm-se através da equação (4.13).

Se os intervalos de confiança se sobrepuserem, relativamente ao eixo das ordenadas, então não será

possível distinguir as médias.

4.2.4. Experiências factoriais 2k completas

Muitas experiências envolvem o estudo dos efeitos de dois ou mais factores. Geralmente, os

planos experimentais factoriais são os mais eficientes para estudar este tipo de experiências.

Consideraremos agora os casos que envolvem k factores cada um com dois níveis (ou tratamentos)

– daí a designação desenhos factoriais 2k – por serem os mais utilizados e por constituírem a base

de outros planos experimentais mais complexos. Neste capítulo, assumiremos que: os efeitos são



fixos; os planos experimentais são completamente aleatorizados; e que as observações são

independentes e normalmente distribuídas.

(...) Treatment Means (Adjusted, If Necessary) Estimated Standard Mean Error T1 9.80 1.27 T2 15.40 1.27 T3 17.60 1.27 T4 21.60 1.27 T5 10.80 1.27 Mean Standard t for H 0 Treatment Difference DF Error Coeff=0 Prob>|t| 1 vs 2 -5.60 1 1.80 -3.12 0.0054 1 vs 3 -7.80 1 1.80 -4.34 0.0003 1 vs 4 -11.80 1 1.80 -6.57 <0.0001 1 vs 5 -1.00 1 1.80 -0.56 0.5838 2 vs 3 -2.20 1 1.80 -1.23 0.2347 2 vs 4 -6.20 1 1.80 -3.45 0.0025 2 vs 5 4.60 1 1.80 2.56 0.0186 3 vs 4 -4.00 1 1.80 -2.23 0.0375 3 vs 5 6.80 1 1.80 3.79 0.0012 4 vs 5 10.80 1 1.80 6.01 < 0.0001 (...) Figura 4.8 – Excerto da análise dos resultados providenciados pelo DX6 para os dados do Exemplo 4.1. Observe-se a última coluna "Prob > |t| " do grupo de resultados inferior. Para casos em que esse valor < αααα, a diferença entre as médias dos tratamentos indicadas é significativa.

1 2 3 4 5

7

11.5

16

20.5

25

Percentagem

Tem

po (

d)

Response vs. Treatment

22

22

22 22

22 22

22

Figura 4.9 – Gráfico-resumo dos resultados da variável-resposta vs. tratamentos (1 a 5). Apresentam-se as observações (�� ), as médias e os intervalos de 95% de confiança das médias. É possível verificar as conclusões da análise estatística apresentada na figura anterior.



4.2.4.1. Experiências com dois factores

O caso mais simples de experiências factoriais 2k envolve apenas dois factores, cada um com

dois níveis, um "baixo" e um "alto" – experiência factorial 22. O Exemplo 4.2 descreve e a Figura

4.9 ilustra uma investigação deste tipo com três (observações) réplicas por combinação de níveis de

factores. Consideraremos, no texto que se segue, experiências factoriais com réplicas.

Exemplo 4.2

Numa determinada indústria química pretende-se estudar a influência da concentração dum composto

químico (A) e da quantidade de catalisador (B) sobre a taxa de conversão (Y, %) dum processo químico.

Decidiu realizar-se uma experiência factorial 22, em que se consideraram dois níveis do factor A (15 e 25%)

e do factor B (1 e 2 g) e se obtiveram três resultados (observações, ou réplicas) por combinação de

tratamentos. Os resultados estão incluídos na Figura 4.10.■

Na Figura 4.10, utiliza-se uma das notações possíveis para descrever uma experiência

factorial (Tabela 4.5, página seguinte). A notação adoptada, nomeadamente para o cálculo dos

efeitos, será a de atribuir "rótulos" (notação 3 na Tabela 4.5) às combinações possíveis.

Figura 4.10 – Combinações possíveis numa experiência factorial 22, e respectivos resultados, que envolveu os factores: concentração dum composto (A); e quantidade de catalisador (B).

Os resultados duma experiência factorial podem ser descritos por um modelo dos efeitos do

tipo:

( )ijk i j ij ijky µ α β αβ ε= + + + + (4.19)



em que yijk indica cada uma das observações (i=1, 2; j=1, 2; k=1, 2, ..., n), µ é o efeito médio global,

αi é o efeito do i-ésimo nível do factor A (i=1, 2), βj é o efeito do j-ésimo nível do factor B (j=1, 2),

(αβ)ij é o efeito da interacção entre os factores (i=1, 2; j=1, 2), e εijk é a componente do erro

aleatório.

Notação 1 Notação 2 Notação 3 Notação 4

Unidade experimental A B A B Rótulos A B

1 — — -1 -1 (1) 0 0

2 + — +1 -1 a 1 0

3 — + -1 +1 b 0 1

4 + + +1 +1 ab 1 1 Tabela 4.5 – Possibilidades de notação utilizadas para indicar os diversos níveis duma experiência factorial (neste caso com dois factores A e B). Pode usar-se "—" ou "-1" para nível "baixo" e "+ " ou "+1" para o nível "alto" (primeiras colunas). Ou, então, rótulos em que se utiliza uma letra minúscula para indicar a presença do nível "alto" numa dada combinação e (1) para a combinação que incui os níveis "baixo" dos factores. Ou, finalmente, a indicação através de "0" ou "1" que se referem à ausência ou presença do factor, respectivamente.

Estamos interessados em testar, através duma ANOVA, as seguintes hipóteses acerca do

factor A, do factor B e da interacção entre factores:

H0: α1 = α2 = 0 vs. H1: Algum αi ≠ 0

H0: β1 = β2 = 0 vs. H1: Algum βj ≠ 0

H0: αβij = 0, para todos i, j vs. H1: Algum (αβ)ij ≠ 0.

É possível testar estas hipóteses e estudar o efeito de cada um dos factores, efeitos

principais, e da interacção entre factores, efeito da interacção. Sejam yi a soma das observações

para o nível i do factor A, yj a soma das observações para o nível j do factor B, yij a soma das

observações para a combinação ij dos factores A e B, e y... a soma de todas as observações.

Considerem-se, ainda, iy , jy , ijy e ...y como as correspondentes médias. Assim, a soma dos

quadrados total pode ser escrita como

2 22

...1 1 1

2 2 2 2 2 22 2 2 2

... ... ...1 1 1 1 1 1 1

( )

2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )

n

ijki j k

n

i j ij i j ijk iji j i j i j k

y y

n y y n y y n y y y y y y

= = =

= = = = = = =

− =

= − + − + − − + + −

∑∑∑

∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑ (4.20)

e que se pode resumir a



T A B AB ErroSQ SQ SQ SQ SQ= + + + (4.21)

com (4n – 1), (a – 1) = 1, (b – 1) = 1, (a – 1)(b – 1) = 1 e 4(n – 1) graus de liberdade,

respectivamente. A variabilidade total das observações (medida pela SQT) pode ser decomposta na

variabilidade das médias dos níveis do factor A (SQA), na variabilidade correspondente ao factor B

(SQB), nos efeitos dos factores A e B actuando em conjunto e que não são atribuíveis ao factor A

nem ao factor B separadamente (SQAB) e na variabilidade nos dados devida a factores aleatórios (e

não explicada), SQErro.

A partir da divisão de cada umas das somas dos quadrados dos efeitos e do erro pelo

respectivo número de graus de liberdade obtêm-se as médias quadráticas: MQA, MQB, MQAB e

MQErro. É possível, então, testar as hipóteses avançadas inicialmente recorrendo à estatística de teste

F0, que no caso das H0 serem verdadeiras segue distribuição teórica de F com 1 grau de liberdade

no numerador e 4(n – 1) graus de liberdade no denominador. As e.t. F0 para cada efeito obtêm-se da

seguinte forma

0 0 0, e A B AB

Erro Erro Erro

MQ MQ MQF F F

MQ MQ MQ= = = (4.22)

Se f0 > ft = fα [g.l.numerador, g.l.denominador], rejeita-se H0 e, portanto, com 100(1 – α)% de

confiança os efeitos dos factores são significativos. Alternativamente, poderiam utilizar-se os p-

value para a tomada de decisão. A primeira H0 a testar é a que se refere à interacção entre os

factores A e B. A sua rejeição significa que os factores são não-aditivos e, portanto, aqueles factores

interagem. Nesta situação terá pouco interesse testar as H0 referentes aos efeitos principais de A e B.

Será preferível verificar qual a melhor combinação Ai×Bj.

Recorde-se a Figura 4.10. Empiricamente, podem calcular-se os efeitos médios dos factores

A e B e da interacção AB, respectivamente, pelas equações:

[ ]1

(1)2

A ab a bn

= + − − (4.23)

[ ]1(1)

2B ab b a

n= + − − (4.24)

[ ]1(1)

2AB ab a b

n= + − − (4.25)

em que (1), a, b e ab se referem às somas dos resultados para as combinações de factores conforme

se ilustram na Figura 4.10 e n é número total de observações. Os mesmos resultados se obtêm

considerando as equações seguintes:



ˆ îµ µ− (4.26)

ˆ ˆjµ µ− (4.27)

ˆ ˆ ˆ îj i jµ µ µ µ− − + (4.28)

em que i iyµ = , ˆ j jyµ = , ˆ ij ijyµ = e ...ˆ yµ = .

Exemplo 4.2 (cont.)

Os resultados da experiência na indústria química apresentada anteriormente, permitem calcular as várias

quantidades necessárias para a análise de variância e elaborar a Tabela 4.6. Os cálculos envolvidos são

muito facilitados pela utilização de software apropriado (por exemplo, Design-eXpert® da Stat-Ease Inc.).

Na Tabela 4.6 verifica-se que no modelo a interacção entre os factores A e B não é significativa (p=0,1826).

Apresentam-se, na Figura 4.11, excertos da análise estatística dos resultados da experiência

providenciados por aquele software. ■

Fonte de

variação SQ g.l. MQ F0 p-value

A 208,33 1 208,33 53,15 0,0001

B 75,00 1 75,00 19,13 0,0024

AB 8,33 1 8,33 2,13 0,1826

Erro 31,34 8 3,92

Total 323,00 11

Tabela 4.6 – Análise de variância dos resultados da experiência apresentada no Exemplo 4.2.

Facilmente se expressam os resultados duma experiência factorial 2k usando um modelo de

regressão, obtido a partir do modelo dos efeitos (cf. equação 4.19). Neste caso,

εββββ ++++= 21322110 xxxxy , em que x1 e x2 são as variáveis independentes (os factores A e B) e

x1x2 é a correspondente interacção (AB), codificadas de acordo com a notação –1 e +1 (cf. Tabela

4.5), e que têm uma relação linear com as variáveis naturais v do tipo ( ) hmvx −= (em que m é o

valor intermédio e h é a amplitude entre os dois níveis dum dado factor). Os coeficientes βj obtêm-

se a partir das estimativas dos efeitos (equações 4.23 a 4.25), sendo que 21 A=β , 22 B=β e

23 AB=β . A relação 21 A=β , por exemplo, está relacionada com o facto dos coeficientes de

regressão medirem o efeito da variação unitária de x sobre a variação média de y enquanto os

efeitos se baseiam numa variação de duas unidades, de –1 a +1 (ver adiante).



(...) Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model 291.67 3 97.22 24.82 0.0002 significant A 208.33 1 208.33 53.19 <0.0001 B 75.00 1 75.00 19.15 0.0024 AB 8.33 1 8.33 2.13 0.1828 Pure Error 31.33 8 3.92 Cor Total 323.00 11 (...) (…) Std. Dev. 1.98 R-Squared 0.9030 Mean 27.50 Adj R-Squared 0.8666 C.V. 7.20 Pred R-Squared 0.7817 PRESS 70.50 Adeq Precision 11.669 (...) Final Equation in Terms of Coded Factors: Taxa = +27.50 +4.17 * A -2.50 * B +0.83 * A*B Final Equation in Terms of Actual Factors: Taxa = +28.333 +0.333 * Concentração -11.667 * Catalisador +0.333 * Concentração * Catalisador (…) Figura 4.11 – Excertos da análise de variância dos resultados providenciados pelo DX6 para os dados do Exemplo 4.2. Observe-se na tabela da ANOVA que o modelo é significativo ("F value " e " Prob > F ") e que a interacção dos factores em estudo (AB ) não é significativa (painel inferior). Na ANOVA apresentada, a soma dos quadrados do modelo (“Model sum of squares” ) obtém-se considerando que SQModelo = SQA+SQB+SQAB.

É desejável completar a análise do modelo (de regressão) dos efeitos obtido através de

várias estatísticas. Na Figura 4.11 apresentam-se algumas estatísticas complementares,

designadamente a MQErro, o R2 ajustado, o R2 previsto, a PRESS e a Precisão. A média quadrática

do erro, MQErro, estima o erro experimental e obtém-se como se indica na equação (4.9). O

coeficiente de determinação ajustado 2.ajR mede a porção da variabilidade da resposta que é

explicada pelo modelo quando se consideram o número de factores do modelo (ver regressão

múltipla). Complementarmente, o 2previstoR quantifica essa proporção numa “futura” experiência

similar à realizada e obtém-se através de:

cos

2 1BloT

previsto SQSQ

PRESSR

−−= (4.29)

Se a experiência não considerar blocos então SQBlocos=0! Valores similares de 2.ajR e 2

previstoR (por

exemplo, uma diferença <0,02) indicam um ajuste adequado. A PRESS (do inglês “Predicted



Residual Sum of Squares”) mede o ajuste do modelo a cada uma das observações. Obtém-se da

seguinte forma: calculam-se os valores esperados para cada observação a partir dum modelo em que

essa observação não foi incluída; e somam-se os quadrados dos resíduos dos cálculos anteriores,

isto é:

[ ]2

11

ˆ( )n

i ii

PRESS y y−=

= −∑ (4.30)

em que iy é o valor observado para xi e [ ]1ˆ −iy é o valor esperado que se calcula através dum modelo

que não inclui aquela observação xi. Quanto menor PRESS, melhor “a qualidade do ajuste” do

modelo. Finalmente, considere-se a Precisão P (do inglês “Adequate Precision”), que mede as

diferenças na variável-resposta relacionadas com o erro da experiência. Por outras palavras, é a

razão entre a informação contida no modelo e o “ruído”. Valores desta estatística ≥ 4 são desejáveis.

Calcula-se através de

12)(

)ˆmin()ˆmax(−⋅⋅

−=nMQp

yyP

Erro

(4.31)

em que p é o número de parâmetros (ou coeficientes) do modelo e n é o número de ensaios

realizados.

Em muitas experiências envolvendo desenhos factoriais 2k, examinam-se a magnitude e a

direcção dos efeitos para determinar qual, ou quais, das variáveis são importantes. Assim, no caso

do Exemplo 4.2, o efeito de A é positivo e o efeito de B é negativo, o que indica que a variável-

resposta aumentará quando A aumenta e diminuirá quando B aumenta. Por outro lado, o efeito da

interacção é relativamente pequeno por comparação com os efeitos principais (ver conjunto de

resultados referidos por Final Equation in Terms of Coded Factors na Figura 4.11). O software

apresenta ainda o modelo (de regressão) dos efeitos, considerando as variáveis naturais (ver Final

Equation in Terms of Actual Factors na Figura 4.11) que permite calcular o valor esperado da

variável dependente para “certas e determinadas” condições.

A análise dos resíduos, como meio de verificar os pressupostos iniciais e indicar soluções

para possíveis violações desses pressupostos deve fazer parte da ANOVA de experiências factoriais

(vide secção 2.4.6, pág. 56 e seg.).

4.2.4.2. Experiências com três factores

Suponha-se, agora, que estão envolvidos três factores, cada um com dois níveis – plano

experimental factorial 23 – numa experiência muito semelhante à descrita e abordada na secção



anterior. As combinações possíveis podem representar-se através dum cubo ou da matriz do

desenho experimental (Figura 4.12).

Figura 4.12 – Experiência factorial 23, numa ilustração geométrica, um cubo (a) e representada por matriz do

desenho experimental (b).

Exemplo 4.3

O responsável pela linha de enchimento duma fábrica de produção de refrigerantes pretende uniformizar a

quantidade de bebida dispensada para cada garrafa, pois verifica-se alguma variação. Com esse objectivo,

realizou uma experiência para estudar, e eventualmente minimizar, os factores que podem influenciar o

enchimento. O engenheiro responsável pode controlar três variáveis: a percentagem de gaseificação (A, %);

a pressão de enchimento (B, psi); e o número de garrafas por minuto ou velocidade de enchimento (C,

gpm). Os níveis escolhidos de cada factor foram, respectivamente, 10 e 14%, 25 e 30 psi, e 200 e 250 gpm.

Realizaram-se duas repetições de cada combinação de factores. Decidiu-se que a variável-resposta seria a

diferença da altura de líquido relativamente ao valor-alvo (Y, mm). Valores de y > 0 indicam alturas

(volumes) maiores do que o pretendido, e y < 0 resultam do contrário. Os resultados desta experiência

apresentam-se na Tabela 4.7.■

As considerações teóricas apresentadas para as experiências factoriais 22 podem estender-se

a estes desenhos factoriais que envolvem três factores, designadamente os factores A, B e C. Para

isso, acrescentam-se ao modelo de efeitos fixos (equação 4.20) os termos necessários,

( ) ( ) ( ) ( )ijk i j k ij ik jk ijk ijkly µ α β γ αβ αγ βγ αβγ ε= + + + + + + + + (4.32)

em que yijkl indica cada uma das observações (i=1, 2; j=1, 2; k=1, 2; l=1, 2, ..., n), µ é o efeito médio

global, αi é o efeito do i-ésimo nível do factor A (i=1, 2), βj é o efeito do j-ésimo nível do factor B

(j=1, 2), γk é o efeito do k-ésimo nível do factor C (k=1, 2), (αβ)ij, (αγ)ik e (βγ)jk são os efeitos das



interacções entre pares dos factores, (αβγ)ijk é a interacção de todos os factores e εijkl é a

componente do erro aleatório.

Pressão (B)

25 psi 30 psi

Velocidade (C) Velocidade (C)

Percentagem (A) 200 250 200 250

10% -3 -1 -1 0 -1 0 1 1

14% 5 4 7 6 7 9 10 11 Tabela 4.7. Resultados da experiência descrita no Exemplo 4.3. Em cada célula da tabela apresentam-se as duas

réplicas (ensaios) para cada combinação de factores.

As hipóteses em teste são similares às apresentadas anteriormente para os desenhos

factoriais 22, considerando agora os três factores e as várias interacções possíveis. Usualmente, os

cálculos envolvidos na ANOVA deste tipo de experiências são realizados recorrendo a software

apropriado. No entanto, as fórmulas de cálculo das somas dos quadros são ocasionalmente úteis. A

soma dos quadrados total SQT obtém-se através de

22 2 2

2 ....

1 1 1 1 8

n

T ijkli j k l

ySQ y

n= = = =

= −∑∑∑∑ (4.33)

em que ....y é a soma de todas as observações. As somas dos quadrados relativos aos efeitos

principais, SQA, SQB e SQC podem calcular-se da seguinte forma

22

2 ....

1

1

4 8A ii

ySQ y

n n=

= −∑ (4.34)

22

2 ....

1

1

4 8B jj

ySQ y

n n=

= −∑ (4.35)

22

2 ....

1

1

4 8C kk

ySQ y

n n=

= −∑ (4.36)

em que yi, yj e yk são as somas das observações para os níveis i, j e k dos factores A, B e C. No casos

das interacções entre cada dois factores, são necessários os totais das observações por combinação

A x B, A x C e B x C, designadamente yij, yik e yjk. Assim,

22 2

2 ....

1 1

1

2 8AB ij A Bi j

ySQ y SQ SQ

n n= =

= − − −∑∑ (4.37)



22 2

2 ....

1 1

1

2 8AC ik A Ci k

ySQ y SQ SQ

n n= =

= − − −∑∑ (4.38)

22 2

2 ....

1 1

1

2 8BC jk B Cj k

ySQ y SQ SQ

n n= =

= − − −∑∑ (4.39)

A soma dos quadrados da interacção dos três factores SQABC pode obter-se a partir de

22 2 2

2 ....

1 1 1

1

2 8ABC ijk A B C AB AC BCi j k

ySQ y SQ SQ SQ SQ SQ SQ

n n= = =

= − − − − − − −∑∑∑ (4.40)

considerando que yijk é a soma de todas as observações para a combinação dos três factores.

Finalmente, a soma dos quadrados do erro calcula-se por subtracção

2 2 2

2

1 1 1

1

2Erro T ijki j k

SQ SQ yn = = =

= − ∑∑∑ (4.41)

A partir destas quantidades é possível calcular as respectivas médias quadráticas

considerando que

T A B C AB AC BC ABC ErroSQ SQ SQ SQ SQ SQ SQ SQ SQ= + + + + + + + (4.42)

com (abcn – 1) = (8n – 1), (a – 1) = 1, (b – 1) = 1, (c –1) = 1, (a – 1)(b – 1) = 1, (a – 1)(c – 1) = 1,

(b – 1)(c – 1) = 1, (a – 1)(b – 1)(c – 1) = 1 e abc(n – 1) = 8(n – 1) graus de liberdade,

respectivamente. Por divisão de cada umas das somas dos quadrados dos efeitos e dos erros pelo

respectivo número de graus de liberdade obtêm-se as médias quadráticas: MQA, MQB, MQC, MQAB,

MQAC, MQBC, MQABC e MQErro. É possível, então, testar as hipóteses avançadas inicialmente

recorrendo à estatística de teste F0, que no caso das H0 serem verdadeiras, segue distribuição teórica

de F com 1 grau de liberdade no numerador e 8(n – 1) graus de liberdade no denominador. As e.t.

F0 obtêm-se da seguinte forma para os efeitos principais e para as interacções,

0 0 0, , CA B

Erro Erro Erro

MQMQ MQF F F

MQ MQ MQ= = = (4.43)

0 0 0 0, , ,AC BC ABCAB

Erro Erro Erro Erro

MQ MQ MQMQF F F F

MQ MQ MQ MQ= = = = (4.44)

Se f0 > ft = fα [g.l.numerador, g.l.denominador] rejeita-se H0 e, portanto, com 100(1 – α)% de

confiança os efeitos são significativos. Alternativamente, poderiam utilizar-se os p-value para a

tomada de decisão.



Exemplo 4.3 (cont.)

A análise de variância da experiência descrita anteriormente permite identificar qual (ou quais) dos factores

considerados influencia a variável-resposta. Na Tabela 4.8 resume-se essa análise. Verifica-se que apenas

os efeitos principais e a interacção entre os factores A e B são significativos (p-value<α = 0,05), pelo que os

restantes efeitos poderiam omitir-se do modelo final sem prejuízo (significativo) para as conclusões do

trabalho. Na Figura 4.13, apresentam-se alguns dos resultados da análise através do software DX6,

considerando-se apenas os efeitos significativos.■

Fonte de variação SQ g.l. MQ F0 p-value

A 248,06 1 248,06 305,31 <10-4

B 27,56 1 27,56 33,92 0,0004

C 14,06 1 14,06 17,31 0,0032

AB 5,06 1 5,06 6,23 0,0372

AC 0,56 1 0,56 0,69 0,4295

BC 0,063 1 0,063 0,077 0,7885

ABC 0,063 1 0,063 0,077 0,7885

Erro 5,00 8 0,63

Total 277,00 15

Tabela 4.8 – Tabela da ANOVA dos resultados da experiência 23 factorial descrita no Exemplo 4.3.

Como anteriormente, podem estimar-se os efeitos principais e das interacções de factores

estudados. Considerando a notação da Figura 4.12 (ver também secção anterior para notação

utilizada), os efeitos dos factores A, B e C obtêm-se a partir de

[ ]1(1)

4A a ab ac abc b c bc

n= + + + − − − − (4.45)

[ ]1(1)

4B b ab bc abc a c ac

n= + + + − − − − (4.46)

[ ]1(1)

4C c ac bc abc a b ab

n= + + + − − − − (4.47)

No caso das interacções, os efeitos podem calcular-se através de

[ ]1(1)

4AB abc bc ab b ac c a

n= − + − − + − + (4.48)

[ ]1(1)

4AC a b ab c ac bc abc

n= − + − − + − + (4.49)



[ ]1(1)

4BC a b ab c ac bc abc

n= + − − − − + + (4.50)

[ ]1(1)

4ABC abc bc ac c ab b a

n= − − + − + + − (4.51)

(...) Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model 294.75 4 73.69 112.77 < 0.0001 significant A 248.06 1 248.06 379.64 < 0.0001 B 27.56 1 27.56 42.18 < 0.0001 C 14.06 1 14.06 21.52 0.0007 AB 5.06 1 5.06 7.75 0.0178 Residual 7.19 11 0.65 Lack of Fit 0.69 3 0.23 0.28 0.8371 not significant Pure Error 6.50 8 0.81 Cor Total 301.94 15 (...) Std. Dev. 0.81 R-Squared 0.9762 Mean 3.44 Adj R-Squared 0.9675

C.V. 23.52 Pred R-Squared 0.9496 PRESS 15.21 Adeq Precision 27.386

(...) Final Equation in Terms of Coded Factors: Altura = +3.44 +3.94 * A +1.31 * B +0.94 * C +0.56 * A * B Final Equation in Terms of Actual Factors: Altura = -5.93750 -1.12500 * Gaseificação -0.82500 * Pressão +0.037500 * Velocidade +0.11250 * Gaseificação * Pressão (...) Figura 4.13 – Excertos da análise de variância dos resultados providenciados pelo DX6 para os dados do Exemplo 4.3. Observe-se que o modelo é significativo ("F value " e " Prob > F ") e quais são os efeitos médios dos vários factores.

A partir destas estimativas é fácil obter o modelo (de regressão) dos efeitos que descreve os

resultados (cf. Equação 4.32). O procedimento é similar àquele apresentado para experiências

factoriais 22. Novamente, interessa examinar a magnitude e a direcção dos efeitos para determinar

qual, ou quais, das variáveis (e interacções) são importantes. Se os factores em estudo forem

quantitativos é possível representar o modelo dos efeitos resultante através duma superfície de

resposta (Figura 4.14a) ou dum gráfico de contorno (Figura 4.14b).



(a)

(b)

Figura 4.14 – Gráfico de contorno (a) e superfície de resposta (b) da experiência factorial descrita no Exemplo 4.3, para uma velocidade de enchimento intermédia de 225 gpm. O gráfico de contorno obteve-se no DX6 através Analysis > Model Graph > View > Contour , enquanto a superfície de resposta foi desenhada seleccionando nos menus do software Analysis > Model Graph > View > 3D Surface .

Existem outros métodos úteis para determinar (preliminarmente) qual, ou quais, dos factores

em estudo são significativos, designadamente a utilização de normal probability plots (NPP)

(Figura 4.15). Frequentemente, os desenhos factoriais 2k envolvem um número elevado de factores,

o que aumenta o número de ensaios a realizar (por exemplo, um desenho factorial 25 completo e

sem réplicas dá origem a 32 combinações possíveis!). Nesses casos, os recursos disponíveis,

geralmente limitados, permitem obter apenas uma observação para cada combinação (se não se



omitir nenhum dos factores originais), o que invalida a estimação do erro. O recurso ao NPP das

estimativas dos efeitos permite ultrapassar esta dificuldade. Os efeitos negligenciáveis distribuem-

se normalmente com média igual a zero e variância σ2 e, por isso, a sua representação nesses

diagramas deverá ser aproximadamente uma linha recta, ao contrário dos efeitos importantes

(Figura 4.15). Esta metodologia é geralmente empregue no início dum estudo para identificar o(s)

factor(es) importantes e que devem ser estudados formalmente (através da ANOVA).

Figura 4.15 – Excerto da análise dos resultados do Exemplo 4.3 usando o Normal Probability Plot dos efeitos (obtido, no DX6, através de Analysis > Effects > View > Half Normal plot ). A significância de cada um dos termos do modelo (apenas aqueles que se distanciam horizontalmente da linha diagonal se consideram significativos – pois apresentam maior “efeito”).

Claramente, a inexistência de interacções significativas entre factores simplifica bastante as

conclusões. É, nesse caso, aceitável apresentar e discutir as estimativas dos efeitos dos factores per

se. Contudo, na circunstância das interacções serem relativamente importantes, os efeitos dos

factores principais nelas envolvidos são virtualmente irrelevantes. É possível remover alguns tipos

de interacções através da transformação da variável-resposta. Por outro lado, quando as interacções

significativas envolvem um determinado factor será aconselhável realizar experiências separadas

para os diferentes níveis desse factor.

Novamente, deve completar-se a análise do modelo (de regressão) dos efeitos obtido

recorrendo a estatísticas adequadas, que se apresentaram e explicaram a propósito do Exemplo 4.2,

nomeadamente a MQErro, o R2 ajustado, o R2 previsto, a PRESS e a Precisão. Por outro lado, a

análise dos resíduos, como forma de verificar os pressupostos iniciais e indicar soluções para as



possíveis violações, deve integrar qualquer ANOVA (ver secção 4.2.3). Assim, devem observar-se

o "normal probability plot of residuals" e o diagrama de dispersão dos resíduos contra o valor

esperado da variável-resposta, como forma de validar o modelo obtido. Os resultados, ilustrados na

Figura 4.16, não parecem indicar nenhuma irregularidade grave.

Figura 4.16 –"Normal probability plot of residuals" (esq.) e "Residuals vs. Predicted" (dir.) relativos ao dados do Exemplo 4.3. O gráfico (a) obteve-se no DX6 através de Analysis > Diagnostics > Normal Probability (no menu flutuante), enquanto (b) foi desenhado seleccionando Analysis > Diagnostics > Residuals vs Predicted (na caixa de diálogo).

4.2.4.3. Experiências factoriais incompletas 2k – p

Quando o número de factores (k) a considerar numa experiência factorial aumenta, o número

de ensaios necessários para estudar todas as combinações possíveis de (níveis de) factores

rapidamente ultrapassa os recursos disponíveis (por exemplo, numa experiência com 6 factores, A –

F, e sem replicação será necessário realizar 26=64 ensaios). Se for possível assumir que os efeitos

das interacções entre factores de ordem mais elevada (e.g. ABCD, ABCDE e/ou ABCDEF) são

negligenciáveis então é bastante vantajoso o recurso a planos experimentais incompletos (por

exemplo, poderiam realizar-se, apenas, 32 ensaios ou mesmo 16 ensaios). Estes planos são dos mais

usados quando o objectivo é a concepção de produtos ou planificação e optimização de processos.

Outra utilização comum está relacionada com determinação dos factores críticos dum conjunto

alargado de variáveis (condições de operação e/ou ingredientes) que influenciam o produto (ou

“screening”).

A aplicação com sucesso destes planos experimentais baseia-se no facto dos sistemas ou



processos serem condicionados por um reduzido número de factores e de interacções de ordem

menor de entre os vários que o integram e na possibilidade de (posteriormente) complementar a

experiência com mais ensaios de forma a estimar os efeitos de factores e respectivas interacções.

Numa experiência factorial incompleta 2k – p realizam-se, apenas, p21 dos ensaios e é

possível testar a significância de (2k – p – 1) dos factores (à custa de se “confundirem” o(s) efeito(s)

de algum(ns) factor(es) com interacções complexas entre factores). Existem regras e algoritmos

(relativamente complexos) para a construção e análise destes planos experimentais. No entanto,

quanto menor a fracção dos ensaios a realizar, menor a resolução29 do plano experimental. A

utilização de tabelas apropriadas, que constam da maioria dos manuais dedicados ao tema, ou o

recurso a software especializado (por exemplo, DX®6) facilita muito a preparação dos planos e

análise de resultados (ver Exemplo 4.4).

Exemplo 4.4

Estudaram-se os efeitos de quatro factores, A a D, sobre a pureza do produto num dado processo de

filtração. A pureza foi medida com um instrumento fotoeléctrico e valores maiores correspondem a níveis

superiores de pureza. Apenas foi possível realizar metade dos ensaios necessários a um plano

experimental completo (Tabela 4.9).

Combinação de níveis de factores (a)

Padrão de confounding (b)

Variável-resposta (Pureza)

Efeito (efectivamente) estimado

(1) I=ABCD (c) 107 I + ABCD

ad A=BCD 114 A + BCD

bd B=ACD 122 B + ACD

ab AB=CD 130 AB + CD

cd C=ADB 106 C + ABD

ac AC=BD 121 AC + BD

bc BC=AD 120 BC + AD

abcd D=ABC 132 ABC + D

Tabela 4.9 – Tabela dos resultados da experiência 24 factorial incompleta descrita no Exemplo 4.4. Legenda: (a) utilizando a notação da Tabela 4.5; (b) relações de “confusão” entre os factores; (c) relação geradora deste plano experimental (“defining relation”).

29 A resolução (literalmente traduzido do inglês design resolution) descreve o grau de “confusão” (do inglês confounding) entre os efeitos principais e as interacções de 2º grau, 3º grau, etc. Geralmente, a resolução é igual a um mais a menor ordem (de interacção) com a qual os efeitos principais estão “confundidos”. Se os factores principais estão “confundidos” com as interacções de 2ª ordem então a resolução do plano experimental é III. Nota: Os planos facoriais completos têm resolução infinita pois estimam-se todos os factores e interacções. Na maioria dos casos práticos, uma resolução igual a V é excelente e uma resolução IV poderá ser adequada. Planos experimentais com resolução III são (economicamente) úteis para experiências de screening (NIST/SEMATECH, A Glossary of DOE Terminology, disponível em http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section7/pri7.htm , consultado em 3/10/2007).



A observação do “half-normal plot” dos efeitos (Figura 4.17), que se obteve recorrendo ao software DX®6,

sugere que apenas os efeitos dos factores A e B (de facto, A+BCD e B+ACD) são significativos. Os

restantes efeitos (■) encontram-se sobre a linha, pelo que não se “distinguem estatisticamente” do “erro

natural” das observações. A tabela da análise de variância (Figura 4.18) confirma aquela suspeição (p-

values de 0,0017 e 0,0005, respectivamente). ■

Figura 4.17 – Excerto da análise estatística dos resultados providenciados pelo DX6 para os dados do Exemplo 4.4. Neste caso, apresenta-se o “diagrama de probabilidades dos efeitos” (obtido através de Analysis > Effects > View > Half Normal plot ) que ilustra a significância de cada um dos termos do modelo (apenas aqueles que se distanciam da linha diagonal se consideram significativos).

Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model 612.50 2 306.25 51.91 0.0005 A 220.50 1 220.50 37.37 0.0017 B 392.00 1 392.00 66.44 0.0005 Residual 29.50 5 5.90 Cor Total 642.00 7 (…) Std. Dev. 2.43 R-Squared 0.9540 Mean 119.00 Adj R-Squared 0.9357 C.V. 2.04 Pred R-Squared 0.8824 PRESS 75.52 Adeq Precision 16.471 (…) Final Equation in Terms of Coded Factors: Pureza = +119.00 +5.25 * A +7.00 * B (…) Figura 4.18 – Excertos da análise de variância dos resultados, providenciados pelo DX®6 para os dados do Exemplo 4.4. Observe-se que o modelo e os factores A e B são significativos ("F value " e " Prob > F "). Ver comentários à analise do Exemplo 4.2.



Da análise de variância é possível obter o modelo (de regressão) que descreve a relação

entre os factores e a variável-resposta (e que permite estimar a pureza em função dos níveis dos

factores). O procedimento é similar àquele apresentado para as experiências factoriais completas.

Na Figura 4.18, apresentam-se os modelos (dos efeitos) obtidos para o Exemplo 4.4.

Genericamente, os passos do procedimento para analisar estatisticamente experiências

factoriais a dois níveis são: 1) Estimar os efeitos dos factores (examinar a “direcção” e a magnitude

dos efeitos); 2) Formular o modelo inicial (integrar os factores num modelo matemático); 3) Testar

a significância do modelo e respectivos coeficientes (através da análise de variância e técnicas

associadas); 4) Aperfeiçoar, “refinar”, o modelo (removendo ou adicionando variáveis); 5) Analisar

os resíduos (para diagnosticar a validade dos pressupostos); e 6) Interpretar os resultados (que é

mais fácil com base na análise gráfica dos resultados).

Bibliografia 30

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30 Disponível na biblioteca da EST (Campus da Penha). Ver http://w3.ualg.pt/~eesteves/ para sítios electrónicos com interesse.

Documents

4. PLANEAMENTO EXPERIMENTAL - w3.ualg.ptw3.ualg.pt/~eesteves/docs/planeamentoexperimental.pdf · pelo investigador a cada unidade experimental do sistema em estudo, após o que se