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6 ESTUDIO SIMULADO DEL PROBLEMA REAL

Acabado el estudio y simulación del problema lineal, pasamos ahora

al estudio del problema real, no lineal. Las fronteras de estabilidad e

inestabilidad del estudio lineal nos van a servir de referencia para establecer

el comportamiento esperado del sistema no lineal.

Lo primero que vamos a realizar es el cálculo de los puntos de

equilibrio de la ecuación de estado real:

����� = ���� − ����� − ��

para poder establecer con claridad qué pasa cuando introducimos distintas

condiciones iniciales.

Hacemos ����� = , una constante, luego ��� − � = ; y ����� = 0 (al

ser la derivada de una constante). Sustituyendo en la ecuación de estado

nos queda:

0 = − ��� → ��� =

El primer punto de equilibrio es z=0, evidente en el caso lineal porque

era donde convergía los sistemas estables. Si representamos la función

f(z)=z:

Figura 44: función f(z)=z, con f(z) saturada (pendiente=1)

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Vamos a buscar puntos de equilibrio de la forma z=K, siendo K el

valor de la ganancia del sistema realimentado, y también el tope de

saturación positiva, variando el valor de K:

- Si K<1, existe un único corte entre la función y la recta en z=0.

Figura 45: puntos de equilibrio para K<1 (K=0.5)

- Si K=1, coincide con la zona lineal, teniendo infinitas soluciones. Es un

caso que no nos interesa.

- Si K>1, vemos que corta con la parte de saturación, luego hay otro punto

de equilibrio en z=K.

La ecuación de estado en las cercanías de dicho equilibrio quedaría:

�� = � −

y por tanto el equilibrio sería claramente inestable.

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Figura 46: puntos de equilibrio para K>1 (K=2)

Para los casos simulados con K<1, veremos que no se va a producir

ningún equilibrio, salvo para z=0. Como para K<1 son casos inestables,

según el estudio lineal, es un punto de equilibrio inestable. Cualquier valor

inicial distinto de cero nos hará inestable el sistema (casos reales con K<1,

τ<1, y K<1, τ>1).

Sin embargo, para K>1, veremos que aparecerá un punto de

equilibrio si el valor inicial es igual al valor de K. Para cualquier otro valor

inicial, se van a producir resultados interesantes:

- Para valores iniciales mayores de K, el sistema se va a inestabilizar,

aunque fuera estable u oscilatorio. Esto se debe a que la saturación impide

al sistema recuperarse.

- Para valores iniciales menores de K, el sistema que es estable sigue

siendo estable, y el sistema inestable con autovalores complejos conjugados

se hace oscilatorio (el caso real inestable sigue siendo inestable). El sistema

inestable con autovalores complejos conjugados se hace oscilatorio porque

va decreciendo el valor por debajo de la saturación y llega a la zona lineal.

Una vez en la zona lineal, no puede “escaparse” ni por “arriba” ni por

“abajo”, entrando en un comportamiento oscilatorio donde se alternan la

zona lineal con la de saturación.

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Vamos a ver ahora los distintos casos (real, imaginario, complejo) y

la simulación para distintos valores iniciales.

AUTOVALORES REALES

Para K<1 y τ<1, el sistema lineal era inestable. Aquí vamos a

comprobar que sigue así, con K=0.4 y τ=0.4. Se han tomado valores

iniciales por encima de K y por debajo de K. Aquí sólo existe el punto de

equilibro en cero, y además es inestable, por lo que no se ha puesto para el

valor inicial K=0.4.

Figura 47: salida del sistema saturado para K=0.4 y τ=0.4, inicial=1 (K<1, τ<1, sistema inestable)

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Figura 48: salida del sistema saturado para K=0.4 y τ=0.4, inicial=0.2 (K<1, τ<1, sistema inestable)

Para K<1 y τ>1, el sistema lineal era inestable. Vamos a comprobar

que sigue así, con K=0.4 y τ=1.4. Se han tomado valores iniciales por

encima de K y por debajo de K. Aquí sólo existe el punto de equilibro en

cero, y además es inestable, por lo que no se ha puesto para el valor inicial

K=0.4.

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Figura 49: salida del sistema saturado para K=0.4 y τ=1.4, inicial=1 (K<1, τ>1, sistema inestable)

Figura 50: salida del sistema saturado para K=0.4 y τ=1.4, inicial=0.2 (K<1, τ>1, sistema inestable)

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Para K>1 y τ<1, el sistema lineal era estable. Vamos a comprobar

que para un valor inicial mayor que K, el sistema se inestabiliza; para un

valor inicial igual a K el sistema tiene un equilibrio en K, y para un valor

inicial menor que K, el sistema tiende al punto de equilibrio 0. Se han

tomado valores de K=1.2, τ=0.4, y valores por encima, igual y por debajo

de K.

Figura 51: salida del sistema saturado para K=1.2 y τ=0.4, inicial=1.5 (K>1, τ<1)

Podemos observar que efectivamente, el sistema con un valor inicial

por encima de K se hace inestable.

En la siguiente observamos qué pasa cuando el valor inicial es igual a

K (en nuestro caso, K=1.2). Vemos que alcanza el punto de equilibrio en K.

Y en la última observamos que, efectivamente, para valores iniciales

por debajo de K, el sistema estable se comporta como en el caso lineal.

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Figura 52: salida del sistema saturado para K=1.2 y τ=0.4, inicial=1.2 (K>1, τ<1)

Figura 53: salida del sistema saturado para K=1.2 y τ=0.4, inicial=1.1 (K>1, τ<1)

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Por último, para K>1 y τ>1 observamos que sólo cuando el valor

inicial coincide con K, el sistema alcanza un equilibrio en K, para los demás

valores nos sale inestable: si el valor inicial está por encima de K, el

sistema avanza al infinito, y si el valor inicial está por debajo de K, el

sistema avanza al menos infinito. Para el ejemplo, K=1.2 y τ=2.

Figura 54: salida del sistema saturado para K=1.2 y τ=2, inicial=1.5 (K>1, τ>1, sistema inestable)

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Figura 55: salida del sistema saturado para K=1.2 y τ=2, inicial=1.2 (K>1, τ>1, sistema inestable)

Figura 56: salida del sistema saturado para K=1.2 y τ=2, inicial=1 (K>1, τ>1, sistema inestable)

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AUTOVALORES IMAGINARIOS PUROS

Para el caso imaginario puro, hemos seleccionado los mismos valores

que en el caso lineal (los distintos valores de K y de τ son los mismos que

en el caso lineal).

Vamos a ver que se cumple lo ya explicado antes: para valores

iniciales superiores a K, el sistema deja de oscilar y se vuelve inestable;

para valor inicial igual a K, el sistema tendrá un punto de equilibrio, y para

valores iniciales menores que K, el sistema oscilará periódicamente con

frecuencia ω, tal y como lo hacía en el caso lineal.

Figura 57: salida del sistema saturado para α=0, ω=±1, inicial=2 (inestable)

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Figura 58: salida del sistema saturado para α=0, ω=±1, inicial=1.4142 (equilibrio)

Figura 59: salida del sistema saturado para α=0, ω=±1, inicial=1.1 (oscilatorio)

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Figura 60: salida del sistema saturado para α=0, ω=±10, inicial=20 (inestable)

Figura 61: salida del sistema saturado para α=0, ω=±10, inicial=10.05 (equilibrio)

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Figura 62: salida del sistema saturado para α=0, ω=±10, inicial=2 (oscilatorio)

AUTOVALORES COMPLEJOS

Para los autovalores complejos hemos elegido nuevamente los

mismos valores que elegimos en el caso lineal, con los mismos valores de K

y τ.

Vamos a poder apreciar que los sistemas estables, con valor inicial

por encima de K, se inestabilizan, y que los sistemas inestables con valor

inicial por debajo de K, se harán oscilatorios, y que esas oscilaciones

tendrán amplitud más pequeña cuanto más próximo esté α a cero (cuando la parte real se vaya acercando cada vez más a cero). Para apreciarlo,

hemos simulado para unos valores de α cada vez más pequeños:

- Para α=0.1, ω=10, nos salen unos valores de K=10.1902 y τ=0.1481.

- Para α=0.01, ω=10, nos salen unos valores de K=10.0637 y τ=0.1472.

- Para α=0.0001, ω=10, nos salen unos valores de K=10.05 y τ=0.1471 (este último ya muy próximo a los valores de la frontera de K y τ).

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Figura 63: salida del sistema saturado para α=-1, ω=±1, inicial=2 (inestable cuando debería ser estable)

Figura 64: salida del sistema saturado para α=-1, ω=±1, inicial=1.4064 (oscilatorio)

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Figura 65: salida del sistema saturado para α=-1, ω=±1, inicial=1.4 (estable)

Figura 66: salida del sistema saturado para α=1, ω=±10, inicial=12 (inestable)

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Figura 67: salida del sistema saturado para α=1, ω=±10, inicial=11.7 (equilibrio)

Figura 68: salida del sistema saturado para α=1, ω=±10, inicial=5 (oscilatorio en vez de inestable)

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A continuación, ponemos las 3 simulaciones con α=0.1, α=0.01 y α=0.0001, todos con valor inicial igual a 5, para ver la amplitud de la

oscilación.

Figura 69: salida del sistema saturado para α=0.1, ω=±10, inicial=5 (oscilatorio en vez de inestable)

Figura 70: salida del sistema saturado para α=0.01, ω=±10, inicial=5 (oscilatorio en vez de inestable)

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Figura 71: salida del sistema saturado para α=0.0001, ω=±10, inicial=5 (oscilatorio en vez de inestable)