6 Flexão simples - Departamento de Engenharia Civil · 6.Estado limite último de resistência à flexão simples 7.Estado limite último de resistência ao esforço transverso 8.Disposições

VLúcio Mar.06 1

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fctfct -- UNLUNL

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I6 6 –– RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESRESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

PROGRAMAPROGRAMA1.Introdução ao betão armado2.Bases de Projecto e Acções3.Propriedades dos materiais: betão e aço4.Durabilidade5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão

6.Estado limite último de resistência à flexão simples7.Estado limite último de resistência ao esforço transverso8.Disposições construtivas relativas a vigas9.Estados limite de fendilhação10.Estados limite de deformação11.Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite último de resistência à torção

VLúcio Mar.06 2


6 6 –– RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESRESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

1. PRINCÍPIOS:i. As secções planas mantêm-se planas após a deformação por flexão,

isto é, desprezam-se as deformações por corte da viga;

ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

M+

V +-

p

V V

ii. Existe compatibilidade entre as deformações das armaduras e do betão, ou seja, a armadura é aderente ao betão, não existindo escorregamento entre a armadura e o betão que a envolve;

MM

ℓ ℓ Δℓ

VLúcio Mar.06 3


6 6 –– RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESRESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESiii. Betão• A resistência do betão em tracção é

desprezada.• A relação tensão-deformação em

compressão é parabólica até

εc2 = 2x10-3 e é constante até à extensão máxima εcu2 = 3.5x10-3

(ver valores na Tabela 3.1 do EC2 para betões

de alta resistência).

iv. AçoPara cálculo, pode admitir-se uma das seguintes relações tensão-deformação:1- comportamento elástico até (fyd, εyd), ramo inclinado com extensão limite de εud=0.9εuk;2- comportamento elástico até (fyd, εyd), ramo horizontal sem extensão limite.

2.181.74εyd x103

435348fyd [MPa]

A500A400AÇO

755025εuk x103

1,151,081,05k = (ft/fy)k

CBAClasse duct.

VLúcio Mar.06 4



b

d

As

hM

IIIIV

εcu2 =3.5x10-3

εc2 =2x10-3

εyd

ε

2. MODELO A - Para a relação tensão-deformação 1 do aço.

I

εud

II

σs < fyd

σ

σc = fcd

I

IV

III

II

I

CASO

εc< 2x10-3, σc< fcdrotura εs = εud ; σs> fyd

2x10-3 ≤ εc< 3.5x10-3, σc= fcdrotura εs = εud ; σs> fyd

rotura εc= 3.5x10-3, σc= fcdεsd ≤ εs ≤ εud ; σs≥ fyd

rotura εc= 3.5x10-3, σc= fcdεs< εyd ; σs< fyd

BETÃOAÇO

σs > fyd

σ

σc = fcd

III

x

σs > fyd

σ

σc < fcd

IV

x

x

σs ≥ fyd

σ

σc = fcd

II

x

b – largura da secçãoh – altura total da secçãod – altura útil da armadura

traccionadax – altura da zona de betão

comprimidoAs – área da secção de

armadura traccionada

( ) ydyduk

ydsS f1k1 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−+=εεεε

σ

VLúcio Mar.06 5



b

d

As

hM

εcu2 = 3.5x10-3

εyd

ε

3. MODELO B Para a relação tensão-deformação 2 do aço.

I

II

σs < fyd

σ

σc = fcd

I

σs = fyd

σ

σc = fcd

II

II

I

CASO

rotura εc= 3.5x10-3, σc= fcdεs ≥ εyd ; σs= fyd

rotura εc= 3.5x10-3, σc= fcdεs< εyd ; σs< fyd

BETÃOAÇO

xx

b – largura da secçãoh – altura total da secçãod – altura útil da armadura

traccionada, distância entre a resultante das tensões nasarmaduras traccionadas e afibra mais comprimida do betão

x – altura da zona debetão comprimido

As – área da secção dearmadura traccionada

VLúcio Mar.06 6



b

d

As

hMRd

εc = εcu2 = 3.5x10-3

εyd

εσs = fyd

σ

σc = fcd

x

3.1. SOLUÇÃO PARA O CASO

Fs = As fyd

Fc = λx b fcdξx

zd

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

x

Fs = As fyd Fc = λx b fcd λ = 17/21 ξ = 99/238

(2/3.5)x

(1.5/3.5)x

(5/8)·(2/3.5)x

2/3·fcd·(2/3.5)x

fcd

(1) Fs = Fc

(2) MRd = Fc · z

εs

As fyd = λx b fcd

MRd = λx b fcd z

(1) As fyd/bdfcd = λ x/d

(2) MRd / bd2fcd = λ (x/d) (z/d)

ω = λ k

μ = λ k ζ

II εc= 3.5x10-3, σc= fcdεs ≥ εyd ; σs= fyd

L N

Com k = x/d e ζ = z/d , sendo z = d – ξx, ou seja, ζ = 1 - ξkω = As fyd/bdfcd é a percentagem mecânica de armadura traccionadaμ = MRd/bd2fcd é o momento reduzido

Forças

VLúcio Mar.06 7



b

d

As

hMRd

εc = εcu2 = 3.5x10-3

εyd

εσs = fyd

σ

σc = fcd

x

Fs = As fyd

Fc = λx b fcdξx

zd


Fs = As fyd Fc = λx b fcd

x

λ = 17/21 ξ = 99/238

εs

(1) ω = λ k

(2) μ = λ k ζ

k = x/d ; ω = As fyd/bdfcd ; μ = MRd/bd2fcd ; ζ = z/d ; ζ = 1 - ξk

μ = λ k (1 – ξk) ζ k2 - k + μ / λ = 0ξ

λξμ2

411k

−−=

EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE

x105.3

xd

3S

−×=

−ε 3

S 105.3k

k1ou −×

−=ε(3)

Verificação da hipótese inicial εs ≥ εyd ; σs= fyd

SOLUÇÃO PARA O CASO II εc= 3.5x10-3, σc= fcdεs ≥ εyd ; σs= fyd

L N

Forças

VLúcio Mar.06 8



ξλξμ

2

411k

−−=3

S 105.3k

k1 −×−

=ε com

2.181.74εyd x103

435348fyd [MPa]

A500A400AÇO

VERIFICAÇÃO DA HIPÓTESE INICIAL εs ≥ εyd ; σs= fyd

Se εs ≥ εyd podemos prosseguir com o caso II , caso contrário estamos no caso I , εs < εyd e σs = Es εs < fyd

Substituindo (1) ω = λ k em (2) μ = λ k (1 – ξk) μ = ω (1 – ω ξ/λ)

Ou, para dimensionamento da armadura:

ω2 ξ/λ – ω + μ = 0 isto é, λξλξμ

ω2

411 −−=

Prosseguindo com o caso II :

VLúcio Mar.06 9



0.8322.05511

kμ−−

=

Substituindo os valores de λ e ζ: λ = 17/21 ξ = 99/238

1.0282.05511 μω −−

=μ = ω (1 – 0.514 ω)

k = 1.235 ω

ANÁLISE DA SECÇÃO DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA

ω = As fyd/bdfcdμ = MRd/bd2fcd

x = k d

MRd = μ b d2 fcd As = ω b d fcd /fyd

x = k d

VLúcio Mar.06 10



Define-se klimite como o valor de k correspondente a εs = εyd

3yd 105.3

kk1 −×

−=ε 3

yd

3

itelim 105.3105.3

k −

−

×+×

=εdonde

0.4990.541ωlimite

0.6170.668klimite

0.3710.391μlimite

2.181.74εyd x103

A500A400AÇO

Substituindo em (1) ω = λ k e em (2) μ = λ k (1 – ξk)

Obtém-se os valores da tabela, acima dos quais nos encontramos no caso I , isto é, εs < εyd e σs = Es εs < fyd.

A fronteira entre os casos I e II é definida por klimite

VLúcio Mar.06 11



b

d

As

hMRd

εc = εcu2 = 3.5x10-3

εyd

εσs < fyd

σ

σc = fcd

Fs = As γ fyd

Forças

Fc = λx b fcd

ξx

z

d

Fs = As γ fydFc = λx b fcd

x

λ = 17/21 ξ = 99/238

εs

I εc= 3.5x10-3, σc= fcdεs < εyd ; σs= Es εs

x

γ = σs / fyd = εs / εyd< 1.0


2cuS kk1 εε −

= 0.1k

k1

yd

2cu <−

=εεγdonde

μ = γω (1 – 0.514γω)

da equação (1) k = 1.235 γ ω substituindo γ em (1) ωεε

yd

2cu235.1k

k1k

−=

ou seja ( )1K41K5.0k −+⋅= ω

εε

yd

2cu235.1K =

ANÁLISE DA SECÇÃO

com

3.2. SOLUÇÃO PARA O CASO

L N

Com k, determina-se γ e μ:

VLúcio Mar.06 12



0.1k

k1

yd

2cu <−

=εεγ

0.8322.05511

kμ−−

=

γμω

⋅−−

=1.028

2.05511

μ = γ ω (1 – 0.514 γ ω)

ω = As fyd/bdfcd > ωlimiteμ = MRd/bd2fcd > μlimite

x = k d

MRd = μ b d2 fcd

As = ω b d fcd /fyd

x = k d

ANÁLISE DA SECÇÃO DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA

0.1k

k1

yd

2cu <−

=εεγ

ePara

( )1K41K5.0k −+⋅=

ωεε

yd

2cu235.1K =com

DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA

itelimk0.832

2.05511k >

−−=

μ

γμω

⋅−−

=1.028

2.05511

VLúcio Mar.06 13



0.8970.2480.2010.18

0.9030.2320.1880.17

0.9100.2170.1760.16

0.9160.2020.1640.15

0.9220.1880.1520.14

0.9280.1730.1400.13

0.9340.1590.1280.12

0.9400.1450.1170.11

0.9460.1310.1060.10

0.9510.1170.0950.09

0.9570.1030.0840.08

0.9630.0900.0730.07

0.9680.0770.0620.06

0.9740.0630.0510.05

0.9790.0500.0410.04

0.9840.0380.0300.03

0.9900.0250.0200.02

0.9950.0120.0100.01

ζkωμ

0.7550.5890.4770.36

0.7650.5650.4580.35

0.7740.5420.4390.34

0.7840.5200.4210.33

0.7930.4990.4040.32

0.8010.4780.3870.31

0.8100.4580.3710.30

0.8180.4380.3550.29

0.8260.4190.3390.28

0.8340.4000.3240.27

0.8410.3820.3090.26

0.8490.3640.2950.25

0.8560.3460.2800.24

0.8630.3290.2660.23

0.8700.3120.2530.22

0.8770.2960.2390.21

0.8840.2800.2260.20

0.8900.2640.2130.19

ζkωμ

RELAÇÃO μ − ω, k e ζ

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

ω,k e ζ

μ

ω

k

ζ

RELAÇÃO μ − ω

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00ω

μ

A400

A500

μ= MRd/bd2fcd ω = As fyd/bdfcd

k = x/d ζ = z/d

3.3. TABELAS E ÁBACOS

VLúcio Mar.06 14



ALTURA ÚTIL

d = h – c – φt – φ / 2c

d

b

hφt

φ

RELAÇÃO μ − ω, k e ζ

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

ω,k e ζ

μ

ω

k

ζ

0.8970.2480.2010.18

ζkωμ

MRd = As fyd · z

com z ≈ 0.9 d

FÓRMULA APROXIMADA

(para efeitos exclusivamente de estimativa ou de

verificação de resultados)

μlimite

MR

d=

A s f yd

· 0.9

d

VLúcio Mar.06 15



εcu2 = 3.5x10-3

εyd

ε

Para a relação tensão-deformação 2 do aço.

σs = fyd

σ

σc = fcd

x

3.4. ARMADURA DE COMPRESSÃO

εs

L N

MRd

Fs = As σs

FORÇAS

ξx

dσ’s

F’s= A’s σ’s

Fc = λx b fcd

aa


Fs = As γ fydFc = λx b fcd λ = 17/21 ξ = 99/238

k = x/d ; ω = As fyd/bdfcd ; μ = MRd/bd2fcd ; ζ = z/d ; ζ = 1 - ξk

(1) Fs = Fc + F’s(2) MRd = Fc · (d-ξx) + F’s · (d-a)

As γ fyd = λx b fcd + A’s γ’ fyd

MRd = λx b fcd (d-ξx) + A’s γ’ fyd (d-a)

(1) γ As fyd/bdfcd = λ x/d + γ’ βAs fyd/bdfcd

(2) MRd / bd2fcd = λ (x/d) (1-ξx/d) + γ’ βAs fyd/bdfcd (1-a/d)

γ ω = λ k + γ’ β ω

μ = λ k (1- ξk) + γ’ β ω (1-a/d)

F’s = A’s γ’ fyd

γ = σs / fyd = εs / εyd≤ 1.0 -1.0 ≤ γ’ = σ’s / fyd = ε’s / εyd ≤ 1.0

ε’sd

a

As

A’s

h

b

β = A’s / As

VLúcio Mar.06 16


d

a

As

A’s

h

b


γ = εs / εyd< 1.0


2cuS xxd εε −

= 0.1k

k1

yd

2cu ≤−

=εεγ

εcu2 = 3.5x10-3

εyd

εσs = fyd

σ

σc = fcd

x

εs

L N

MRd

Fs = As σs

FORÇAS

ξx

zd

σ’s

F’s= A’s σ’s

Fc = λx b fcd

aaε’s

2cuS xax

' εε −= 0.1

kdak

'0.1yd

2cu ≤−

=≤−εεγ-1.0 ≤ γ’ = ε’s / εyd ≤ 1.0

Para γ’ = 1.0 ⇒ σ’s= - fyd Para 0< γ’ <1.0 ⇒ -fyd < σ’s< 0

Para -1.0< γ’ < 0 ⇒ 0 < σ’s < fyd Para γ’= -1.0 ⇒ σ’s= fyd

VLúcio Mar.06 17


6 6 –– RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESRESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESRelação μ - ω para diferentes valores de β

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50

ω

μ

β=0.0

β=0.2

β=0.1

β=0.3β=0.6β=1.0

β = A’s / Asω = As fyd/bdfcd ; μ = MRd/bd2fcd

O aumento da armadura de compressão é vantajoso do ponto de vista do aumento da ductilidade na rotura para valores de k>klim.

VLúcio Mar.06 18


6 6 –– RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESRESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESRelação μ - ω+ω '

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50

ω+ω'

μ

β=0.0

β=0.2

β=0.1

β=0.3

β=0.6

β=1.0

β = ω’ / ωω = As fyd/bdfcd ; ω’ = A’s fyd/bdfcd ; μ = MRd/bd2fcd

ω+ω’ corresponde à percentagem mecânica de armadura total

O aumento da armadura de compressão é vantajoso do ponto de vista económico para valores de k>klim.

VLúcio Mar.06 19


6 6 –– RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESRESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESDIAGRAMA RECTANGULAR para o betão e relação tensão-deformação 2 do aço.

εcu2 = 3.5x10-3

εyd

ε

I

II

σs < fyd

σ

σc = fcd

I

x0.8x

σs = fyd

σ

σc = fcd

II

x0.8x

4. MODELO C

Fc = λx b fcd

λ = 0.8 ξ = 0.4

Fs = As γ fyd

γ = σs / fyd = εs / εyd≤ 1.0

λ = 17/21=0.810≈0.8 ξ = 99/238=0.416≈0.4

Fs = As fyd

Fc = λx b fcd ξx

zd

Forças

MRd

b

d

As

hL N

γ = 1.0γ < 1.0

analisando em simultâneo os casos I e II, seja:

com γ < 1.0 (σs < fyd) no caso I e γ = 1.0 (σs = fyd) no caso II

VLúcio Mar.06 20



EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE 2cuS kk1 εε −

=

0.1k

k1

yd

2cu ≤−

=εεγque, substituindo em γ = εs / εyd≤ 1.0 obtém-se (3):


(1) Fs = Fc

(2) MRd = Fc · z

(1) As γ fyd = 0.8x b fcd

(2) MRd = 0.8x b fcd (d – 0.4x)

com k = x/d ; ω = As fyd/bdfcd ; μ = MRd/bd2fcd

γ ω = 0.8 k

μ = 0.8 k (1 – 0.4k)

Fc = λx b fcdFs = As γ fyd

As γ fyd = λx b fcd

MRd = λx b fcd (d – ξx)

λ = 0.8 ξ = 0.4

VLúcio Mar.06 21



DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA

μ = γ ω (1 – 0.5 γ ω)MRd = μ b d2 fcd

ANÁLISE DA SECÇÃO

( )1K41K5.0k −+⋅=

ωεε

yd

2cu25.1K =

μ = MRd/bd2fcd

ω = As fyd/bdfcd

com

substituindo (1) em (2), vem:

0.82.011

kμ−−

= 0.1k

k1

yd

2cu ≤−

=εεγ

(1) γ ω = 0.8 k

(2) μ = 0.8 k (1 – 0.4k)

de (2):

0.4990.541ωlimite

0.6170.668klimite

0.3710.391μlimite

2.181.74εyd x103

A500A400AÇOγ

μω 2.011 −−=

As = ω b d fcd /fydentão:

substituindo k em (1), vem:

ou, se μ ≤ μlimite, então γ = 1.0 e: μω 2.011 −−=

• se ω ≤ ωlimite, então γ = 1.0 e, de (1): k = 1.25 ω

substituindo k em (2), vem: μ = ω (1 – 0.5 ω)

• se ω > ωlimite, então γ < 1.0 e, substituindo (3) em (1):

(3)

substituindo k em (3) determina-se γ

então:

4.1 DIAGRAMA RECTANGULAR DE TENSÕES NO BETÃOPARA A SECÃO RECTANGULAR

VLúcio Mar.06 22


6 6 –– RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESRESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES4.2 DIAGRAMA RECTANGULAR DE TENSÕES NO BETÃO

PARA OUTRAS SECÇÕES

Nas secções em que a largura reduz para a extremidade mais comprimida,a tensão no betão é limitada a 0.9fcd

σs

σ

σc = fcd

x0.8x

Fs = As σs

Fc ξx

zd

Forças

MRd

bvariável

dhNL

bvariável

L

MRd

NLdh

σs

σ

σc = 0.9 fcd

x0.8x

Fs = As σs

Fc ξx

zd

Forças

dy)y(bfFx8.0y

0ycdc ∫=

==

c

x8.0y

0ycd

F

dyy)y(bfx

∫=

=⋅

=ξ

dy)y(bf9.0Fx8.0y

0ycdc ∫=

==

c

x8.0y

0ycd

F

dyy)y(bf9.0x

∫=

=⋅

=ξ

VLúcio Mar.06 23


b

dh

bw

hf

As

MRd

NL

6 6 –– RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESRESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES5. SECÇÕES EM T (DIAGRAMA RECTANGULAR)

Fs

Fc 0.4x

d

Forças

σs

σ

σc = fcd

x0.8x

MRd

b

dh NL

bw

hf

As

Fs

Fc1 hf/2 hf+(0.8x-hf)/2

d

Forças

Fc2

σs

σ

σc = fcd

x0.8x1

2

COMPRESSÕES APENAS NO BANZO → 0.8x ≤ hf

COMPRESSÕES NO BANZO E NA ALMA → 0.8x > hf

b – largura do banzo comprimidobw – espessura da alma (web)

h – altura total da secçãohf – espessura do banzo (flange)

VLúcio Mar.06 24



Fc = 0.8x b fcdFs = As γ fyd


(1) Fs = Fc

(2) MRd = Fc · (d- 0.4x)

σs

σ

σc = fcd

x0.8x

MRd

b

dh

NL

bw

hf

As

COMPRESSÕES APENAS NO BANZO → 0.8x ≤ hf


2cuS kk1 εε −

= 0.1k

k1

yd

2cu ≤−

=εεγ(3) ou

Fs

Fc 0.4x

d

Forças

z

Problema semelhante ao de uma secçãorectangular de largura b.

Se, ao determinar x = kd, pelas expressões das secções rectangulares, se verificar que

0.8x > hf, então estamos na segunda situação, isto é, também existem compressões na alma.

Notas:1. Como a área de betão comprimido,

em secções em T, é grande, é frequente ser γ=1.0, isto é, o aço estar em cedência;

2. Como primeira aproximação,pode-se considerar que, se 0.8hfbfcd≤Asfyd, então 0.8x≤hf .

ε

εc = 3.5x10-3

x

εs

d-x

VLúcio Mar.06 25


MRd

b

dh NL

bw

hf

As


Fc1 = hf b fcdFs = As γ fyd

σs

σ

σc = fcd

x0.8x

Fs

Fc1 hf/2 hf+(0.8x-hf)/2

d

Forças

Fc2

Fc2 = (0.8x-hf) bw fcd


(1) Fs = Fc1 + Fc2

(2) MRd = Fc1 · (d-hf/2) + Fc2 · [d-(0.8x-hf/2)]

(1) As γ fyd = hf b fcd + (0.8x-hf) bw fcd

(2) MRd = hf b fcd (d - hf/2) + (0.8x-hf) bw fcd [d-(0.8x-hf/2)]

1

2

COMPRESSÕES NO BANZO E NA ALMA → 0.8x > hf

VLúcio Mar.06 26


MRd

b

dh NL

bw

hf

As

6 6 –– RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLESRESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES5. SECÇÕES EM T (DIAGRAMA RECTANGULAR)

σs

σ

σc = fcd

x0.8x

Fs

Fc1 hf/2 hf+(0.8x-hf)/2

d

Forças

Fc2


(1) As γ fyd = hf b fcd + (0.8x-hf) bw fcd

(2) MRd = hf b fcd (d - hf/2) + (0.8x-hf) bw fcd [d-(0.8x-hf/2)]

1

2

Dependendo de se tratar da Análise da Secção (conhece-se As e pretende-se determinar MRd) ou do Dimensionamento da armadura (pretende-se determinar As, fazendo MRd ≥ MEd, que é conhecido), utiliza-se (1) ou (2) para determinar x.

EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE (para determinas εs e, consequentemente, γ)

2cuS xxd εε −

= 0.1x

xd

yd

2cu ≤−

=εεγ(3) sendo

Documents

6 Flexão simples - Departamento de Engenharia Civil · 6.Estado limite último de resistência à flexão simples 7.Estado limite último de resistência ao esforço transverso 8.Disposições