Desenvolvimento de Um Programa de Cálculo de Secções de Betão Armado Em Estado Limite Último Segundo o EC2

Encontro Nacional BETO ESTRUTURAL - BE2012

FEUP, 24-26 de outubro de 2012

Desenvolvimento de um programa de clculo de seces de beto

armado em Estado Limite ltimo segundo o Eurocdigo 2.

Andr Monteiro

1 Paulo Cachim

2 Miguel Morais

3

RESUMO

O presente trabalho teve como objectivo o desenvolvimento de um programa informtico, o

XD-CoSec, destinado ao dimensionamento e verificao da segurana de seces transversais de beto

armado, em estado limite ltimo, segundo o disposto no Eurocdigo 2. Pretendeu-se que a aplicao

fosse o mais universal possvel, englobando a maioria dos casos, admitindo por isso a considerao de

seces de geometria qualquer, definida pelo utilizador, sujeitas a diversos tipos de esforos (flexo

simples, composta e desviada, esforo transverso e toro).

A aplicao foi idealizada de forma sua utilizao ser expedita e intuitiva. Para isso, desenvolveu-se

uma interface grfica que facilita a introduo dos dados, possibilitando o uso de seces e materiais

predefinidos. Foram criadas ferramentas que permitem visualizar grficos de interaco de esforos

resistentes, para situaes de flexo composta e desviada, bem como a elaborao da superfcie

tridimensional de flexo desviada sob forma de baco.

Os materiais predefinidos no programa foram descritos e caracterizados a nvel mecnico, atravs das

leis constitutivas de comportamento definidas no EC2 [1]. Neste artigo so expostas as bases tericas

que, fundamentam os clculos executados pelo programa. Recorrendo ao programa, foram resolvidos

alguns casos prticos, validando os resultados com recurso a programas, tabelas e bacos existentes.

A linguagem de programao adoptada para o desenvolvimento do XD-CoSec foi a linguagem C#,

uma linguagem orientada a objectos, que deu um forte contributo versatilidade do produto final. Por

fim, foi elaborado um manual de utilizao do XD-CoSec, onde se explica o modo de utilizao da

aplicao, e uma memria de clculo, ambos disponveis a partir da aplicao.

Palavras-chave: Beto armado, flexo desviada, mtodo das fibras, Eurocdigo 2, software em C#.

1Universidade de Aveiro, Departamento de Engenharia Civil/CICECO, 3810-193 [email protected]

2Universidade de Aveiro, Departamento de Engenharia Civil/LABEST/CICECO, 3810-193 [email protected]

3Universidade de Aveiro, Departamento de Engenharia Civil/LABEST, 3810-193 [email protected]

Desenvolvimento de um programa de clculo de seces de beto armado em Estado Limite ltimo

segundo o Eurocdigo 2

2

1. INTRODUO

O clculo isolado de seces de beto armado surge com frequncia em situaes de projeto, tanto no

meio acadmico, como profissional. Situaes de flexo simples, geralmente em vigas, so facilmente

resolvidas atravs de formulaes simples, desde que se considerem disposies de armaduras

elementares. A considerao de disposies de armadura mais complexas ou de seces sujeitas

flexo composta desviada, torna-se mais complicada, havendo necessidade de recorrer a processos

iterativos e, no caso da flexo desviada, de discretizar as seces. Apesar de existirem no mercado

tabelas e bacos para o clculo de seces correntes, a oferta de aplicaes de utilizao livre para

seces e esforos mais complexos e que utilizem as regras de verificao e dimensionamento do EC2

[1] muito reduzida e limitada.

O presente trabalho consiste na elaborao de uma ferramenta de clculo automtico, o

XD-CoSec - Xpress Design of Concrete Sections, desenvolvida em linguagem C#, destinada ao

dimensionamento e verificao da segurana de seces transversais de beto armado, em estado

limite ltimo, segundo o Eurocdigo 2. Esta aplicao de utilizao livre e pretende ajudar alunos e

profissionais de engenharia fornecendo-lhes uma ferramenta til e prtica para o dimensionamento de

seces transversais de beto armado. Pretendeu-se que a aplicao fosse o mais genrica possvel,

permitindo a considerao de seces de geometria qualquer, sujeitas a esforos de flexo biaxial,

esforo axial, esforo transverso e, para algumas situaes, toro.

A aplicao foi idealizada de forma a permitir uma utilizao expedita e intuitiva, atravs da criao

de uma interface grfica que facilita a introduo de dados, e possibilita o uso de seces e materiais

predefinidos. Para alm da obteno de resultados numricos, pretendeu-se a obteno de resultados

grficos relativamente flexo composta e composta desviada, sob forma de diagramas e bacos de

interaco, que definem a resistncia de uma seco qualquer atravs de curvas.

Em suma, o programa de clculo elaborado visou cumprir os seguintes objectivos:

- Efectuar a verificao da segurana e dimensionamento de seces em Estado Limite ltimo

segundo o EC2;

- Abranger os principais esforos possveis de existir numa seco de Beto Armado;

- Gerar diagramas/bacos de interaco de flexo composta/desviada exportveis em ficheiro de

imagem;

- Desenvolver uma interface grfica intuitiva e de utilizao expedita;

- Disponibilizar seces correntes e materiais predefinidos;

- Permitir o ajuste de parmetros de clculo, segundo as necessidades do utilizador.

2. FUNDAMENTOS TERICOS

2.1 Flexo composta desviada - verificao da segurana

O clculo de seces de beto armado sujeitas a flexo composta desviada baseia-se na resoluo do

sistema de equaes de equilbrio representado pela Expresso 1 [2]. Este impe que seja satisfeito o

equilbrio esttico em todos os domnios ( , e ), para as condies de estado limite ltimo (E.L.U.). O sistema de equaes no linear, pelo que, a sua resoluo requer o uso de um mtodo

iterativo. No caso do presente trabalho, foi usado o mtodo iterativo da secante. de notar que as

parcelas do sistema entre parntesis so relativas ao pr-esforo, no abordado no presente trabalho.

{

( )

( )

( )

(1)

A. Monteiro, P. Cachim e M. Morais

3

A capacidade resistente de uma determinada seco de beto armado, relativamente flexo composta

desviada, definida pelos seus esforos resistentes , e , existindo uma infinidade de combinaes possveis para estes trs valores. Estas combinaes permitem representar uma nuvem de

pontos inseridos num referencial cartesiano tridimensional ( , e ), gerando uma superfcie designada por diagrama de interao tridimensional de flexo desviada. A

superfcie estabelece os limites de segurana de uma seco, para determinados parmetros

geomtricos, materiais e de armadura. Posto isto, pode assumir-se que uma seco est em segurana

se o ponto de coordenadas , e se encontra situado no espao interior da superfcie ou se coincidir com esta (situao limite). Posto isto, a problemtica da verificao da

segurana consiste na determinao da superfcie de interao. A Fig. 1 representa um exemplo de

uma superfcie de interao de flexo desviada genrica, com exemplo de trs situaes de flexo

distintas.

Figura 1. Diagrama de interao tridimensional de flexo desviada genrico, com exemplo de uma seco transversal em trs situaes distintas de flexo, baseado em [3].

Conclui-se ento que cada ponto xyz relativo a uma combinao de esforos resistentes corresponde a

uma posio de eixo neutro (e.n.), com determinada profundidade e inclinao. O mtodo adotado

para a determinao dos esforos relativos a um valor de e.n. baseia-se na modelao das seces pelo

mtodo das fibras [3]. Este consiste na discretizao de seces atravs da sua diviso em reas

elementares de beto ou ao, formando uma malha de fibras, cujo refinamento definido pelo

utilizador do programa (Fig. 2). Cada fibra pode ser representada por um ponto (no estudo da seco

transversal), cada um possuindo propriedades mecnicas e geomtricas prprias, sendo estas, a posio

( e ), tenso ( ), extenso ( ) e a fora normal elementar ( ). A tenso nas fibras comprimidas de beto calculada segundo o modelo parbola-retngulo, enquanto a tenso nas

armaduras calculada segundo o modelo bilinear, ambos definidos no EC2.

Figura 2. Exemplo de discretizao de uma seco genrica atravs do mtodo das fibras. esquerda,

discretizao da seco de beto e direita, da armadura.

MyMz

N

z

(a)

x

(b)

Caso (a)

Caso (c)

Caso (b)

x

(c)

y

y

y

x

z

y

CG e.n.

cu2

c,i

d,i

X

c,i

fcd

PCi (PCx,i ; PCy,i)

z

y

CG

cu2

X

s,j

fyd

d,j

s,j

e.n.

fyd

As,j (Psx,j ; Psy,j)



4

De seguida, so expostas as formulaes resultantes do mtodo implementado, para a determinao

dos esforos resistentes relativos a uma determinada posio do eixo neutro, que resultam do

somatrio entre a contribuio do beto e do ao, descrito pelas Eqs (2), (3) e (4), com m = n de fibras

comprimidas de beto e n = n de vares. Nessas expresses, o sistema de eixos considerado para o

clculo dos esforos resistentes um sistema , com no eixo das abcissas e z nas ordenadas, em sintonia com o EC2. Os ndices i e j referem-se s fibras de beto e aos vares respetivamente.

(2)

(3)

(4)

Os domnios de distribuio de extenses admissveis em E.L.U. esto representados na Figura 4.

Observando a figura, podem definir-se trs domnios de rotura distintos, diretamente relacionados com

a profundidade do eixo neutro.

Figura 3. Distribuio de extenses admissveis em estado limite ltimo [1].

Com base nos parmetros expostos para cada domnio, possvel determinar a extenso em cada fibra

da seco profundidade ( ), dada uma determinada profundidade do e.n., ( ). Posto isto, deduziram-se as trs equaes representativas dos diagramas de extenso, , para os respectivos domnios (Quadro 1).

Quadro1. Equaes usadas na determinao da extenso em cada fibra da seco.

Domnio Extenso em cada fibra Intervalo de variao do e.n.

1 (

)

2

3 (

)

O mtodo de resoluo implementado no algoritmo est descrito, passo a passo, com mais pormenor

na tese de mestrado que serve de base ao presente artigo, [4].


5

2.2 Flexo composta desviada - dimensionamento

O processo de dimensionamento implementado para seces sujeitas a flexo composta desviada

consiste na determinao do valor mnimo de armadura necessrio para a verificao da segurana da

seco. Para isso, executam-se sucessivos processos de verificao da segurana (ver seco 2.1) at

se atingir a convergncia para uma quantidade de armadura tima, ou seja, com um aproveitamento

prximo dos 100%. O utilizador define o nmero de vares pretendidos em cada face da seco,

atravs do qual o programa determina cada uma das posies no referido referencial (Fig. 2). Cada

iterao, correspondente a uma verificao de segurana, executada para um determinado valor de

rea de armadura, sucessivamente obtido pelo mtodo da secante.

2.3 Esforo transverso - Verificao da segurana e dimensionamento

Segundo o EC2, a resistncia ao esforo transverso de uma seco pode ser calculada como um

sistema de trelia, formado por escoras comprimidas de beto associadas a tirantes constitudos pelas

armaduras transversais tracionadas. So estabelecidos os parmetros , e , que definem a resistncia da seco sem armadura, a resistncia com armadura e a resistncia mxima

admissvel da seco, respetivamente. As expresses usadas na determinao desses trs parmetros

figuram no EC2 e esto representadas pelas Eqs (5), (6) e (7).

{[ ] ( ) } (5)

(6)

(7)

2.4 Toro - Verificao da segurana e dimensionamento

De acordo com o EC2, o clculo da resistncia toro pode ser efetuado com base numa seco

fechada de paredes finas, onde o equilbrio satisfeito por um fluxo de tenses tangenciais. A tenso

tangencial e o esforo tangencial na parede i de uma seco sujeita a um momento torsor , podem ser calculados pelas Eqs (8), (9) e (10). A armadura transversal de toro, , determinada a partir da Eq. (6), com . A armadura longitudinal de toro, , determinada a partir da Eq. (10), devendo ser distribuda uniformemente por toda a seco e acrescentada existente.

(8)

(9)

(10)

3. PROGRAMA XD-CoSec

3.1 Iniciar um novo clculo e gesto dos separadores de clculo

Ao iniciar o XD-CoSec, surge a janela temporria de abertura da aplicao (Fig. 4), seguida da janela

principal do programa, onde iro ser executados os diferentes tipos de clculos. A Fig. 5 representa a

janela principal aquando a sua abertura. Um clculo inicia-se escolhendo a tarefa pretendida

(verificao ou dimensionamento), seguida da escolha da seco pretendida (Fig. 6), indicando o

respetivo nome da tarefa.



6

Figura 4. Janela de abertura do XD-CoSec. Figura 5. Janela principal do XD-CoSec.

O XD-CoSec permite a execuo de vrias tarefas de clculo em simultneo. Para isso, cada clculo

iniciado pelo utilizador gera um novo separador de clculo (Fig. 7). Esta funcionalidade possibilita a

comparao entre diversas solues em simultneo, dando assim maior versatilidade ao programa.

Cada separador pode ser fechado separadamente, a qualquer momento, seleccionando-o e clicando no

cone , na barra de ferramentas, ou no cone do separador activo. Os utilizadores podem guardar

separadores de clculo em ficheiros .xcs para posterior visualizao ou alterao.

Figura 6. Janelas de

seleo de seces.

Figura 7. XD-CoSec com vrias tarefas iniciadas em simultneo. O

separador selecionado corresponde verificao de uma seco em T.

O utilizador pode escolher entre a visualizao de uma esquematizao da seco onde esto indicados

os diferentes parmetros, e a esquematizao real da seco, que permite ao utilizador verificar a

correcta introduo dos dados do problema, alternando ambas atravs do comando . Como

exemplo, podem observar-se as Figs 7 e 9, respetivamente.

3.2 Funcionalidades

3.2.1 Seces disponveis

No que diz respeito verificao da segurana, so disponibilizados cinco tipos de seces

predefinidas: retangulares, circulares, em T, em U e em L. Estas so seces correntes que

provavelmente iro representar a maioria dos clculos efetuados pelos utilizadores do programa. Uma

vez que o cdigo computacional genrico para qualquer geometria, disponibilizou-se uma ferramenta

que permite a definio de seces quaisquer, pelas posies dos seus vrtices e armaduras atravs de

tabelas de introduo de dados. No caso do dimensionamento, optou-se por disponibilizar trs tipos


7

seces predefinidas: seces retangulares, em T e circulares. Como j referido, para esse processo, o

programa precisa de admitir, previamente, o nmero e a posio das armaduras na seco. No caso das

trs seces referidas, a disposio de armaduras simples. Seces com disposies mais complexas

ou de maiores dimenses, como por exemplo em U, possuem critrios especficos de disposio de

armadura, no abrangidos no mbito deste trabalho.

3.2.2 Esforos

O XD-CoSec abrange, para qualquer seco, todos os tipos de flexo: simples ( ), composta

( ) e desviada ( ). Relativamente ao esforo transverso, este pode ser considerado em ambas as direes ( ), em todas as seces, exceto em seces em T e U (nas quais s admitido segundo o eixo y - vertical) e nas seces definidas pelo utilizador (nas quais no admitido

em nenhuma das direes). Quanto toro, optou-se por disponibilizar o clculo apenas no

dimensionamento de seces retangulares e circulares e no na verificao da segurana.

3.2.3 Materiais

De modo a possibilitar uma entrada de dados mais expedita no programa, implementou-se uma

biblioteca de dados, que contm materiais predefinidos para o clculo. No que diz respeito ao beto, as

classes disponveis vo desde C12/15 at C90/105. Relativamente ao ao, existem trs classes

disponveis, A235, A400 e A500. Contudo podem ser consideradas classes especficas, escrevendo c seguido de fck, no caso do beto ou a seguido de fyk, no caso do ao (Ex: c52,5 ou a450).

3.3 Resultados

3.3.1 Verificao da segurana

Para todos os casos de flexo, o programa devolve os esforos resistentes, que permitiram efetuar a

verificao da segurana, assim como o esforo axial mximo admissvel em trao/compresso

simples. No caso da flexo simples, este indica o momento mximo admissvel na seco, .

Relativamente flexo composta, devolve o momento mximo admissvel na seco, , para = . No caso da flexo composta desviada, so indicados os momentos resistentes admissveis, e (proporcionais aos atuantes), quando = . Atravs dos valores dos esforos resistentes e dos esforos actuantes, finalmente calculado o nvel de aproveitamento da seco.

De forma analisar o comportamento de seces sujeitas a flexo composta ou composta desviada,

desenvolveram-se ferramentas grficas que permitem visualizar diagramas de interao de esforos

resistentes para seces de forma qualquer (Fig. 8). Estas ferramentas consistem no traado de

diagramas de flexo composta ( - ), diagramas de flexo desviada ( - ) e superfcies tridimensionais de flexo desviada sob forma de bacos ( - - ). O diagrama de interao de

flexo composta, relaciona o momento resistente segundo o eixo , , com o esforo axial resistente da seco, . O diagrama de interao de flexo desviada, relaciona o momento resistente segundo , , com o momento resistente segundo , , para um determinado esforo axial resistente, . Os bacos de flexo desviada representam a superfcie de flexo desviada de uma determinada seco atravs do traado sucessivo de curvas de nvel, correspondentes aos respetivos

diagramas de flexo desviada. O intervalo, , para o qual so geradas as curvas definido pelo utilizador aps o programa indicar um intervalo aconselhado, correspondente representao de um

baco atravs de aproximadamente 10 curvas.

Quanto ao esforo transverso, o programa calcula a quantidade de armadura transversal, , necessria garantia da segurana em ambas a direes, e compara-a com a existente. So

apresentados alguns parmetros como: , e , no caso de armaduras transversais de almas e , , e , no caso de armaduras transversais de ligao entre alma e banzo.



8

a) b) c)

Figura 8. bacos e Diagramas a) flexo composta, b) flexo desviada, c) flexo desviada.

3.3.2 Dimensionamento

As trs seces disponveis podem ser calculadas considerando todo o tipo de flexo, exceo das

seces em T, que no permitem o dimensionamento flexo desviada. O programa determina os

valores das reas de ao necessrias, consoante os parmetros de distribuio de armadura escolhidos

pelo utilizador, indicando automaticamente os dimetros comerciais correspondentes. Alm dos

valores das reas de ao, o XD-CoSec devolve o valor da profundidade do eixo neutro, , e a sua inclinao, , para a soluo encontrada. Fazendo o quociente entre a rea de ao tima determinada e a rea da armadura colocada na seco, calculado o respetivo aproveitamento da seco.

Quanto ao esforo transverso, o programa calcula a quantidade de armadura transversal, , necessria garantia da segurana, nas direes e . So tambm apresentados alguns parmetros de clculo como: , e (armaduras transversais de almas) ou , e (armaduras transversais de ligao entre alma e banzo).

No caso da toro, calculada a rea de armadura transversal necessria, , e a rea mnima de armadura longitudinal de toro, . Ambas devero ser acrescentadas s j existentes. So tambm apresentados parmetros de clculo como: , , , , e .

3.4 Ajuste dos parmetros de clculo

Os parmetros possveis de ajustar consistem essencialmente nos coeficientes de segurana dos

materiais, na preciso da discretizao das seces para o dimensionamento/verificao e nos

parmetros de visualizao dos diagramas de interao (Fig. 10). ainda possvel visualizar os

parmetros de clculo de cada classe de beto e ao, calculados pelo programa segundo o prescrito no

EC2. Pode obter-se mais informao acerca de cada parmetro clicando nos cones .

Figura 9. Resultados obtidos aps o

dimensionamento de uma seco circular.

Figura 10. Exemplo de um dos separadores da

janela de definio de parmetros.


9

4. EXEMPLOS PRTICOS

Num primeiro exemplo, pretende-se verificar a segurana de um pilar de seco oval. A Fig. 11 ilustra

os dados do problema, a introduo dos mesmos no XD-CoSec e respetivos resultados obtidos.

Esforos:

= 5000 kN

= 200 kN.m

= 100 kN.m

Materiais:

A500

C30/37

Figura 11. Esquema da seco oval a verificar (dimenses em metros).

O XD-CoSec devolve os momentos mximos, proporcionais aos atuantes, = 252,65 kN.m e = 126.33 kN.m, para os quais se esgota a capacidade resistente da seco, dado o esforo axial atuante, = 5000 kN. Posto isto, a seco est em segurana relativamente flexo desviada, verificando-se um bom aproveitamento (79,2 %). De modo a comprovar os resultados obtidos,

possvel traar um diagrama de flexo desviada (semelhante ao representado pela Fig. 8 b)) e verificar

o nvel de segurana da seco.

Num segundo exemplo, pretende-se dimensionar um pilar de seco quadrangular. A Fig. 12 ilustra os

dados do problema, a sua introduo no XD-CoSec e os despectivos resultados obtidos. Aps

executado o dimensionamento, fornecida a rea de ao tima para cada varo ( ), a profundidade do eixo neutro ( ) e respectiva inclinao ( ), o dimetro comercial adoptado para os vares, por excesso, entre 6 e 32 mm, a eficincia e a taxa de armadura na seco, ambas em percentagem.

Consequentemente, obtm-se os seguintes resultados: = 1,61 cm2, = 0,37 m, = 36,1, = 16

mm, aproveitamento da armadura = 80,17 % e taxa de armadura na seco = 1,01 %.

No caso do dimensionamento ao esforo transverso, o programa determina a armadura a adotar para

cada direo, considerando e a atuar separadamente. Os resultados obtidos so o esforo

transverso resistente da seco sem armadura ( ), o esforo transverso resistente da seco limitado pelo esmagamento das escoras comprimidas ( ), o valor de mais favorvel, a rea de armadura transversal ( ) e o respetivo espaamento, dado o dimetro dos vares e o nmero de ramos pretendidos. Neste caso, a armadura mais desfavorvel verificou-se na direo y, para a qual

0,40

0,80

C=0,051412

Esforos:

= 2000 kN

= 150 kN.m

= 100 kN.m

= 80 kN.m

= 50 kN.m

Materiais:

A500

C30/37

Condies:

3 vares por face

Figura 12. Esquema da seco quadrangular a verificar (dimenses em metros).

0,40

0,40

C=0,04

1412



10

se obtm os seguintes resultados: = 183,63 kN, = 471,92 kN, = 2,50, = 2,27 cm

2/m e espaamento entre estribos 24,90 cm (considerando estribos em 6). Neste caso, como

> , apenas seria necessrio colocar a armadura mnima de esforo transverso prescrita no EC2.

5. CONCLUSES

O programa desenvolvido revela-se robusto e capaz de englobar grande parte dos casos de clculo e

anlise de seces transversais de beto armado. A facilidade de utilizao do programa, torna-o

acessvel a estudantes e profissionais, o que permite estender a sua utilizao a clculos expeditos de

anlises de esforos, em situaes prticas de projeto, assim como no apoio realizao de exerccios

acadmicos. Os resultados do XD-CoSec foram verificados atravs de clculos manuais, recorrendo

utilizao de tabelas e bacos existentes [5], de fiabilidade comprovada. Em alguns casos, no foi

efetuada essa verificao, pelo facto desses elementos no abrangerem todo o tipo de seces. Apesar

do XD-CoSec apenas permitir o clculo em situao de estado limite ltimo, consiste num importante

alicerce para o desenvolvimento de novas funcionalidades no mbito de trabalhos futuros. Nesta tica,

a linguagem de programao adotada desempenha um papel fundamental, devido sua elevada

versatilidade e extensibilidade, permitindo ao programador efetuar facilmente alteraes ou

acrescentar funcionalidades.

6. REFERNCIAIS BIBLIOGRFICAS

[1] NP EN 1992-1-1. 2010, Eurocdigo 2 - Projecto de estruturas de beto. Regras gerais e regras

para edifcios. Lisboa: IPQ. 259p.

[2] Montoya, P. J. [et al.] (2000). Hormign Armado. 14th ed. Barcelona: Editorial Gustavo Gili,

844p.

[3] Lejano, B. (2007). Investigation of Biaxial Bending of Reinforced Concrete Columns Through

Fiber Method Modeling. Journal of research in science, computing and engineering, Vol. 4, N. 3,

pp. 61-73.

[4] Monteiro, Andr (2011). Desenvolvimento de um programa de clculo de seces de beto

armado. Departamento de Engenharia Civil da universidade de Aveiro, Tese de Mestrado.

[5] Barros H, Figueiras J. (2010). Tabelas e bacos de Dimensionamento de Seces de Beto

Solicitadas Flexo e a Esforos Axiais Segundo o Eurocdigo 2. 1st ed. Porto: FEUP edies,

151p.

z

y

CG e.n.

cu2

c,i

d,i

X

c,i

fcd

PCi (PCx,i ; PCy,i)

z

y

CG

cu2

X

s,j

fyd

d,j

s,j

e.n.

fyd

As,j (Psx,j ; Psy,j)

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