Autor: Cludia Menino Responsvel: Prof. A. B. de Almeida

Hidrodinmica: Fluidos Perfeitos e Escoamentos (mdulo 8)Sumrio: SumCascata de modelos de HidrodinmicaModelo de Fluido Perfeito Equaes de Euler

2 Forma do Teorema de Bernoulli (lquidos perfeitos) Linhas piezomtrica e de energiaPiezmetro e tubo de Pitot

Teorema de Bernoulli aplicado a lquidos reais Frmula de Torricelli Jactos lquidos na atmosfera Vrtices Escoamentos IrrotacionaisTeorema de Bernoulli 3 Forma

Cascata de modelos da hidrodinmicaEq. da Continuidade Equaes de Cauchy Eq da Q.de Movimento (Eq. Da Energia) Modelo Geral Fluido incompressvel Fluido Newtoniano Eq. de Navier - Stokes Modelos Simplificados Fluido perfeito Escoamento irrotacional

Fluido perfeito (incompressvel e no viscoso)

Eq. de Euler

Eq. de Laplace

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Cascata de modelos da hidrodinmica1 Modelo simplificado de Fluido Perfeito Perfeito Em muitas situaes razovel desprezar o efeito da viscosidade (tenses tangenciais). Ao anular a viscosidade nas equaes de Navier-Stokes desaparece o efeito das tenses tangenciais. As partculas de fluido ficam sujeitas unicamente aco das foras normais (presses) e as equaes da quantidade de movimento (equaes de Navier-Stokes) transformam-se nas Equaes de Euler.3

Fluido Perfeito Eq. de Euler1 Equaes de Euler Equa Hipteses simplificativasIncompressibilidade No h viscosidade( div V = 0)

( = 0)

Equaes de Navier Stokes

Eq. de Euler (1755)

dV = g grad p dtpeso Resultante da presso

Fora de Inrcia total

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Hidrodinmica forma diferencialFluido PerfeitoA equao de Euler pode ser modificada tendo em conta a caracterizao do campo gravticoh=z

g = g grad hAcelerao da gravidade

grad h

g

Trocando a posio de alguns dos seus membros ter-se-:

dv dt

= g grad p grad p + g grad h = p

dv dt

grad (

+ h) =

a 1 dv = g g dtNota :

dv v = + (v .grad ) v dt dt5

(acelerao total ou material)

Hidrodinmica forma diferencialFluido PerfeitoDesenvolvendo as expresses, obtm-se: p 1 dvx + h = x g dt p 1 dv y + h = y g dt p 1 dvz + h = z g dt

As equaes de Euler podem ser escritas em coordenadas intrnsecas. Estas coordenadas so definidas em cada ponto da trajectria de uma partcula por um sistema de eixos ortonormados com os seguintes versores:

s is segundo a tan gente trajectria n in segundo a normal a v e a s , no plano osculador da trajectria, dirigida para centro de curvatura da trajectria

v

b

isn

b s

inn

b = ib , vector normal ao plano osculador, definido pelos vectores s e n

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Hidrodinmica forma diferencialFluido PerfeitoTendo em conta as coordenadas intrnsecas e admitindo que as trajectrias no se modificam com o tempo, as equaes de Euler podem ser escritas do seguinte modo:

vb

is

v = v iS e vn = vb = 0, obtendo se 1 v p v ( + h) = + v s g t s p 1 v2 ( + h) = n g r e

inn

r raio de curvatura da trajectriaV

rCentro de curvatura7

Hidrodinmica forma diferencialFluido Perfeito 2 FormaEquao de Euler segundo a direco segundo s da trajectria

p 1 v 1 v ( + h) = v s g t g s1 v 2 2 s

O que permite obter a expresso da variao de carga hidrulica H 2 Forma do Teorema de Bernoulli, ao longo Bernoulli de cada trajectria de acordo com o modelo de fluido perfeito

p v2 1 v ( +h+ )= s 2g g tH8

Hidrodinmica forma diferencialFluido Perfeito 2 Forma do teorema de Bernoulli

p v2 1 v ( +h+ ) = s 2g g tA 2 forma do Teorema de Bernoulli aplica-se aos escoamentos consistentes com a hiptese simplificativa dos fluidos perfeitosEscoamentos permanentes

v , = 0 e div v = 0 =0 t p v2 ( +h+ ) =0 2g s v2 +h+ = cte 2g pConcluso: nos escoamentos de fluidos perfeitos a carga hidrulica mantm-se constante ao longo de cada trajectria9

Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitosMas ento e o que significam as vrias parcelas da expresso referida?

zp

V2 2g

cota geomtrica e relao a um plano horizontal de referncia representa a energia de posio da unidade de peso de lquido situada cota z Altura piezomtrica representa a energia de presso da unidade de peso de lquido submetido presso p Altura cintica corresponde energia cintica por unidade de peso

p

+z

Cota ou carga piezomtrica

No movimento permanente de lquidos perfeitos a carga total constante ao longo de uma trajectria (embora possa variar de trajectria em trajectria)10

Linha piezomtrica e linha de energiaConsidere-se uma trajectria num escoamento da qual so conhecidos, nos respectivos pontos, as variadas cotas geomtricas em relao a um plano horizontal de referncia e os valores correspondentes aos campos de velocidade e de presso. Admitindo que o escoamento permanente e que o fluido pode ser considerado como perfeito, a carga hidrulica H mantm-se constante em todos os pontos da trajectria.Observao: A 1 Forma do Teorema de Bernoulli aplicada a tubos de fluxo (caso particular de um volume de controlo finito). A 2 Forma aplicada a partculas de fluido ao longo da respectiva trajectria. Os valores das velocidades e das presses correspondem, neste caso, aos valores dos respectivos campos nos pontos ao longo da trajectria.11

Linha piezomtrica e linha de energia Caracterizao da carga hidrulicaSe representarmos, na vertical de cada ponto da trajectria, os valores p/ e (p/ + z) obteremos a linha piezomtrica Se representarmos, a partir de uma plano horizontal de referncia os valores (p/ + z) obteremos a cota piezomtrica ou carga piezomtrica Se representarmos os valores V2/2g acima da linha piezomtrica obtemos a linha de cargas totais ou linha de energia (por unidade de peso de lquido) cujas cotas em relao ao plano de referncia representam os valores da energia mecnica total por unidade de peso de lquido, ou da carga total, correspondente trajectria.Observao: O valor de H constante ao longo de cada trajectria, mas pode ser diferente de trajectria para trajectria

H=cte

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Linha piezomtrica e linha de energiaNo caso de lquidos perfeitos em movimento permanente a linha de energia que corresponde a uma determinada trajectria horizontal porque a carga total constante ao longo dessa trajectria. Observao:A linha de energia est acima da linha piezomtrica ou coincidente com esta quando a velocidade for nula. A linha piezomtrica pode passar abaixo da trajectria se tomarmos como referncia presses relativas o que no acontece nunca caso usemos presses absolutas.

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2 Forma do Teorema de BernoulliLinha de energia

Linha piezomtrica

A 2 Forma do Teorema de Bernoulli muito til na compreenso da relao entre as trs grandezas da carga hidrulica. Considere-se uma tubagem com seco constante e com tipogrfica z do eixo a variar com a distncia ao reservatrio. Admitindo-se uma trajectria no interior da tubagem (eixo da tubagem) suficientemente afastada da parede para se considerar vlida a aproximao de fluido perfeito, a carga hidrulica poder ser considerada constante (aproximao simplificativa): a linha piezomtrica est localizada a uma distncia constante da linha de energia e a altura piezomtrica ser positiva nos trechos em que o eixo esteja abaixo deste ou negativa (inferior presso atmosfrica) quando estiver acima. 14

Linha piezomtrica e linha de energia Piezmetro (medio da presso)Mas ento, qual o significado fsico da cota piezomtrica? Considere-se, para responder a esta pergunta, um tubo fino com o topo em contacto com a atmosfera e cujo eixo normal trajectria num ponto P, pertencente ao eixo mas na base do tubo o j conhecido tubo Piezomtrico ou tubo de Prandtl. Piezom

A colocao deste tubo no altera a presso no ponto P uma vs que se mantm inalterada a trajectria que passa pelo mesmo.15

Linha piezomtrica e linha de energia Piezmetro (medio da presso)Se considerarmos um outro ponto P, muito prximo de P, mas situado dentro do tubo, a presso deste ser igual de P

pP

+ zP =

pP '

+ zP'

zP zP '

Atendendo a que o lquido no interior do tubo se encontra em repouso, verifica-se uma distribuio hidrosttica de presses, pelo que se verifica:

pP'

+ zP' =

pS

+ z S = z S pois p S = p atm = 0 ( presses relativas )

sendo S um ponto da superfcie livre do lquido em contacto com a atmosfera16

Linha piezomtrica e linha de energia PiezmetroAssim podemos compreender como que podemos determinar as presses num fluido em escoamento utilizando um piezmetroA cota atingida pela superfcie livre da gua num tubo piezomtrico (zs) corresponde cota piezomtrica na base do tubo e a distncia na vertical entre esta base e a superfcie livre no piezmetro representa a correspondente altura piezomtrica (relativa).

Tubo piezomtrico em laboratrio

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Linha piezomtrica e linha de energia Piezmetro e tubo de PitotConsidere-se um tubo ligeiramente diferente do anterior: com um ramo em ngulo recto, que colocado no ponto P da linha de corrente do escoamento tendo a abertura dirigida para montante donde vem o escoamento este tubo designado por tubo de Pitot

Num ponto Q no interior do tubo, junto entrada do mesmo, a velocidade nula velocidade de estagnao e a presso maior do que a que ocorre no ponto P, situado na mesma linha de corrente, a montante, a uma distante pequena mas suficiente para 18 que o escoamento no seja perturbado.

Linha piezomtrica e linha de energia Piezmetro e tubo de PitotAo aplicarmos o teorema de Bernoulli (*) obtemos que

HP =

pP

+ zP +

VP2 pQ = + zQ 2g

o que permite concluir que a cota da superfcie livre atingida no ramo do tubo de Pitot em contacto com a atmosfera (igual cota piezomtrica em Q) tambm igual carga total em P, HP. Deste modo, desprezando a pequena diferena de cotas entre P e Q, pode afirmar-se que a energia cintica transformada em energia de presso entre P e Q, sendo o aumento de presso em Q dado por:

pQ

pP

=

VP2 2g19

Linha piezomtrica e linha de energia Piezmetro e tubo de PitotUm tubo de Pitot , desta forma, um dispositivo utilizado para a medio da velocidade. Consiste em dois tubos: um para a medio da carga total, ligado a um orifcio no extremo do perfil arredondado do ramo inferior, e outro que se destina a medir a cota piezomtrica.

A diferena de cotas da superfcie do lquido atingidas nos dois tubos a altura cintica V2/2g.

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Teorema de Bernoulli aplicado a Lquidos Reais com viscosidadeQuando o escoamento apresenta efeitos relevantes da viscosidade, o lquido dizse real, em oposio a perfeito. Em escoamento permanente, a carga total diminui ao longo da trajectria, no sentido do escoamento, em consequncia do trabalho realizado pelas foras resistentes viscosas. Diz-se ento que h perda de craga ao longo da trajectria.

A variao da cota da linha de energia na unidade de percurso (ie, variao da energia do lquido que se escoa, nas unidades de peso e de percurso) igual ao trabalho das foras resistentes viscosas (tambm na unidade de peso e de percurso) o qual designado por i (perda de carga unitria).21

Teorema de Bernoulli aplicado a Lquidos ReaisDe facto:p V2 +z+ = i s 2g

onde o sinal (-) se justifica por H diminuir quando s aumenta. A grandeza adimensional i designa-se por perda de carga unitria (diminuio da carga total H por unidade de percurso ao longo da trajectria). Integrando a equao acima entre dois pontos sobre a mesma trajectria, 1 a montante e 2 a jusante obtm-se

H 2 H 1 = i ds H 1 H 2 = i ds1 1

2

2

e este membro representa a perda de energia por unidade de peso (ou perda de carga) entre os pontos 1 e 2 da trajectria

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Teorema de Bernoulli aplicado Lquidos ReaisNo caso de lquidos reais em movimento varivel necessrio introduzir o termo 1 V

g tque tambm vlido para lquidos perfeitos em movimento varivel representa a variao na unidade de tempo da quantidade de movimento por unidade de peso lquido. A expresso resultante da 2 Forma do Teorema de Bernoulli a seguinte: 2

p V 1 V +z+ = J s 2g g t

aplicvel a movimentos variveis de lquidos reais ao longo de uma trajectria23

Variao da cota piezomtrica segundo a normal s linhas de correnteConsidere-se uma linha de corrente num escoamento permanente de um lquido (linha de corrente coincidente com a trajectria).

Como ser que varia a cota piezomtrica segundo a normal linha de corrente?24

Hidrodinmica Forma Diferencial: Variao da cotapiezomtrica segundo a normal s linhas de correnteEquao de Euler segundo a direco n da trajectria (linha de corrente):

p 1 V2 + h = g r n

Esta equao traduz o efeito da curvatura de trajectria na distribuio da cota piezomtrica segundo a normal. Pode concluir-se que, no caso geral, a distribuio de presses segundo a normal trajectria no segue a lei hidrosttica. Esta concluso muito importante! Observao: A equao segundo a normal mantm-se vlida em escoamentos variveis no caso das das trajectrias no se modificam com o 25 tempo!!

Hidrodinmica Forma Diferencial: Variao da cotapiezomtrica segundo a normal s linhas de correnteExemplo: escoamento permanente num plano vertical

Centro de curvatura

A presso em B no obedece lei hidrosttica PBR>PBH Em resultado: A hA PBR PBHz =0

p

h

B

hB

+ h cte

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Hidrodinmica Forma Diferencial: Variao da cota piezomtrica segundo a direco radial s linhas de corrente Variao segundo a direco radial r V2 p p + h = + h = gr > 0 r n

Observao: o sentido positivo da coordenada e contrrio ao sentido positivo de n. Ento:

p p + h = + h B A

E sendo PA=Patm = 0

p > hA hB > altura de gua do escoamento B27

Variao da cota piezomtrica segundo a normal s linhas de corrente

Para trajectrias rectilneas, o raio r infinito, logo:

p + z = 0 n ou seja, a cota piezomtrica constante segundo qualquer linha normal s trajectrias (a presso obedece, neste caso, lei hidrosttica de presses em superfcie normais s trajectrias).

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Variao da cota piezomtrica segundo a normal s linhas de correnteSe, para alm de rectilneas, so paralelas, a distribuio de presses em planos normais s trajectrias hidrosttica Se as trajectrias forem rectilneas, mas no paralelas, a distribuio de presses hidrosttica sobre superfcies no planas, normais s trajectrias

Distribuio hidrosttica de presses29

Variao da cota piezomtrica segundo a normal s linhas de correnteConcluso, para analisar o efeito da curvatura das trajectrias sobre a lei de distribuio de presses, necessrio considerar trs casos:a) b) c)

Trajectrias rectilneas e paralelas; Trajectrias rectilneas e cncavas; Trajectrias rectilneas e convexas.

(Concavidade e convexidade no sentido positivo das cotas geomtricas)

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Variao da cota piezomtrica segundo a normal s linhas de correnteVamos considerar, para os casos a) b) e c) dois pontos a igual distncia, y, situados na vertical que passa pelo centro de curvatura (comum s vrias trajectrias nos casos b) e c)). Tendo em conta a equao

p 1 V2 + z = n g r

e atendendo, nos casos b) e c) aos sentidos relativos da normal e da cota geomtrica, verifica-se:

pA

p A'

+ zA = + z A'

+y +y +y31

pB ' p B ''

p A ''

+ zB' + z B ''

pB '

p A'

+ z A '' >

p B ''