a B SEMI MarcAo

5/11/2018 a B SEMI MarcAo - slidepdf.com

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Inclusão para a vida Matemática B

Pré-Vestibular da UFSC 1

UNIDADE 1

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

POTENCIAÇÃO

Definição

Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.

Sendo a R e a 0 e m Z. Tem-se que:

am = a. a. a. a. a..... a.m fatores

Casos Particulares

a0 = 1 para a 0a1 = a

a-n =1

a n

Propriedades

Se a e b são números reais e m e n, números inteiros,tem-se:

am.an = am + n

a

aa

m

n

m n

(am)n = am.n (a.b)n = an.bn

a

b

a

b

n n

n

Potência de base 10

Sabe-se que: 100 = 1101 = 10102 = 100103 = 1000

Então 10n = 100...........00n zeros

Observe ainda que: 10-1 =10

1= 0,1

10-2 =2

10

1= 0,01

10-3 =3

10

1= 0,001

Então 10 – n

= 0,000.............001n casas decimais

RADICIAÇÃO

Definição

b é a raiz n-ésima de a, se bn = a.

Representação

n a = b bn = a

Nomenclatura

Em n a = b, temos:n é o índicea é o radicando b é a raiz

Condição de existência

Em n a , se n for par, então é necessário que a seja maior ou igual a zero.

Se n for ímpar então n a sempre existe.

Propriedades

n.m an m a

n.p m.pa

n ma

n m

a

mna

nb

a

n b

n a

n a.bn b.n a

n

m

n maa

Racionalização de denominadores

Dada uma fração com denominador contendo radical,racionalizar o denominador é um processo no qual seobtém uma fração equivalente a primeira sem, no entanto,

com o radical no denominador.

1º CASO: O denominador é do tipon ma

Neste caso, multiplica-se numerador e denominador

pelo fator:n mna .

2º CASO: O denominador é do tipo ba Neste caso, multiplica-se numerador e denominador

Pelo fator: ba



Matemática B Inclusão para a Vida


Exercícios de Sala

1. Calcule:

a) 24 b) – 24 c) ( – 2)4

d) 17 e) 03 f) 2140

g) 3-2 h)

4

32

2. Transforme cada expressão em uma única potência debase 3.

a) 37 . 3-5 . 36 = b)3

3

53.

23

=

c) (34)2 = d)2

43 =

3. Calcule:

a) 25,0 b) 01,0

c) 3 125 d) 364

e)2

4 9 f) 242223250

4. Racionalize:

a)2

3b)

5

5c)

5 2

3d)

35

2

Tarefa Mínima

1. Determine o valor das expressões:

a) 34 b) – 34 c) ( – 3)4 d) 1201 e) 080 f) 5000

g) 4-2 h)

3

2

5i) 24 + 1201 + 03 + 40

j) 42

3

)

2

(2

4

2)( k)

12

23

32

2. Transforme cada expressão em uma única potência debase 2.

a) 25.23.27 b)4

2.)2(2

323

3. Sendo A = 2100, obtenha:

a) sucessor de A b) o dobro de Ac) quádruplo de A d) quadrado de A

e) metade de A f) raiz quadrada de A

4. Usando a definição, calcule o valor de cada uma dasraízes:

a) 4 625 b) 5 32 c) 5 0

d) 3 1 e)16

81f) 3 125,0

5. Racionalize:

a)2

5b)

3

6c)

3 5

2d)

23

5

Tarefa Complementar

6. O valor da expressão01,0

)1,0.(1003

é equivalente a:

a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) 10

7. Assinale a soma dos números associados às proposições corretas:

01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102 02. O valor da expressão 5.108. 4.10-2 é 2.107 04. Se n é par, então a expressão ( – 1)2n + ( – 1)2n + 1 é

zero.08. A metade de 48 + 84 é 17.211

8. (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064?

2 2 3 2 31 1 2 1 8

a) b) c) d) e)80 8 5 800 10

9. (FGV-SP) Qual o valor da expressão

,.....

.....1123

214212

bababa

bababa quando a = 10 3 e b = 10 2

a) 106 b) 10 2 c) 10 3 d) 10 9 e) 107

10. (FGV-SP) Simplificando a

expressão12

124

22

222nn

nnn

temos:

3

34d

3

82c

4

87b

4

3a ))))

11. (Cesgranrio) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então(abc)12 vale:

a) 9912 b) 9921/2 c) 9928 d) 9988 e) 9999

12. Determine a soma dos números associados às proposiçõescorretas:





01. A expressão

5

802045 é

equivalente a 153

02. O valor de 42222 é 2

04. O valor de 21

31

168 é 4

08. Racionalizando2

4obtém-se 2 2

16. A expressão3

5

5

3é igual a

15

158

13. Calculando35

1213

2:2

33, acha-se:

a) 32

b) 34

c) 36

d) 38 e) n.d.a.

14. (UEL-PR) A expressão 122

1

22

1é

equivalente a:

a) – 1 b) 2 – 2 c) 2 + 2

d) 2 – 1 e) 2 + 1

15. (UEL-PR) Seja o número real

x =15

522203500. Escrevendo x na forma x = a

+ b c , tem-se que a + b + c é igual a:

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

UNIDADE 2

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULORETÂNGULO

Considere o triângulo retângulo ABC

Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos:

___ ABeAC

____ são os catetos ___

BC é a hipotenusa

Ce

B são os ângulos agudos

Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos

agudos são complementares, ou seja, C

B = 90º

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:

SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entreo cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entreo cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.TANGENTE: tangente de um ângulo é o quocienteentre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.

Sendo assim, temos que:

sen =a

bcos =

a

ctg =

c

b

Observação:

Se + = 90° tem-se que sen = cos

Tabela de arcos notáveis

Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suasalturas, dividimos o triângulo em dois triângulosretângulos congruentes.

Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal eobtemos dois triângulos retângulos isósceles.

Em resumo, temos:





Exercícios de Sala

1. (FUVEST) Obter o valor de x na figura:

2. No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é:

a) 60° b) 45° c) 30° d) 90° e) n.d.a.

3. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de mrio de margens paralelas e conseguem ver um bote B naoutra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos P1P2 = e BP2P1 = e que tg = 2 e tg = 4, a distânciaentre as margens (em metros) é:

Tarefa Mínima

1. Nas figuras abaixo, determinar o valor de x

a)

30°

X12

b)

60°

X

6

c)

45°

x

5

2. Na cidade de pisa, situada na Itália, está localizada aTorre de Pisa, um dos monumentos mais famosos domundo. Atualmente a torre faz, na sua inclinação, umângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cimada torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de

comprimento. A que distância se encontra o ponto maisalto da torre em relação ao solo?

(dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4)

a) 55 metros b) 15 metros

c) 45 metros d) 42 metrose) 51 metros

3. (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construiruma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o

topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de4 3 m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo,em graus, que a rampa formará com o solo.

4. Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.

Tarefa Complementar

5. Com base na figura abaixo é correto afirmar:

01. h = 2 m

02. h = 3m04. a = (1 + 3 ) m08. O triângulo ACD é isósceles





16. O lado____

AC mede 6m

6. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea eparalela à costa. Num certo momento, um coqueiro situadona praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º comsua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica

posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco.Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20= 0,93; tg 20º = 0,36)

7. Determine o valor de x e y na figura abaixo:

8. (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observao topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Parasabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:

a) b cos b) a cos c) a send) b tg e) b sen

9. (UEPG-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B

localiza-se a leste de A, a distância

___

AB = 5 km. Nestemomento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, eleva meia hora para atingir o ponto D. A partir destesdados, assinale o que for

correto.

01.___

AC = 10km

02.___

AD = 2,5 km

04.____

BC = 5 3 km

08. O ângulo D A B ˆ mede 60°16. A velocidade média do barco é de 15km/h

10. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x

30° 60°

A

B

CD

AD = x DC= x - 38 BD = y

UNIDADE 3

TEOREMA DOS CO-SENOS

Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um ladoé igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois

lados, menos duas vezes o produto das medidas desteslados pelo co-seno do ângulo formado por eles.

TEOREMA DOS SENOS

Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aossenos dos ângulos opostos. A razão de proporção é odiâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Exercícios de Sala

1. Determine o valor de x na figura abaixo:

2. (FUVEST) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o

ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine oraio da circunferência que circunscreve o triângulo

3. Determine o valor de x na figura abaixo

4. Determine o valor da diagonal BD do paralelogramoabaixo, é:





Tarefa Mínima

1. Determine o valor de x na figura abaixo:

2. (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75 2 cm. Amedida, em cm, do lado AB será:

A

B C

45° 30°

3. O triângulo ABC está inscrito na circunferência decentro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine asoma dos números associados às proposições verdadeiras:

75°

60°

O

A

B C

01. O triângulo ABC é equilátero02. o raio da circunferência vale 2cm

04.___

AB = 2 2 cm08. O comprimento da circunferência é 4 cm

4. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um

paralelogramo medem 3 2 cm e 5cm e formam umângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em

centímetros, mede:

a) 4 b) 11 c) 3

d) 13 e) 4 2

5. (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e6. O co-seno do maior ângulo de T é:

a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4d) 2/3 e) 1/8

Tarefa Complementar

6. (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BCmedem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e oângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:

a) ½ b) 2/3 c) 3/4d) 4/5 e) 5/6

7. (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um

triângulo ABC; seu lado___

BC é igual ao raio da

circunferência. O ângulo B Aˆ C mede:

a) 15° b) 30°c) 36° d) 45°e) 60°

8. (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passasucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante,quando o navio está em A, observa o farol L e mede o

ângulo L Aˆ C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica

o ângulo L B̂ C = 75°. Quantas milhas separam o farol doponto B?

a) 2 2 b) 3 c) 2 3 d) 3 2

e) 4 2

9. Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e BC = cm.Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC.

10. (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD =

3cm, AB = 2cm, A D̂ C = 60° e A B̂ C = 90°.

A B

D

C

O perímetro do quadrilátero, em cm, é:

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15





UNIDADE 4 e 5

INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIATRIGONOMÉTRICA

ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Arco de uma circunferência é cada uma das partes queficam divididas uma circunferência por dois quaisquer deseus pontos.

A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo quepossui vértice no centro da circunferência).

Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano.

Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo

comprimento é igual a1

360do comprimento da

circunferência.

Logo, a circunferência tem 360º.Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos:

1º = 60' 1'= 60''

Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual aoraio da circunferência onde está contido.Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos.

Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus eradianos.

360º 2 rad

Portanto: 180º rad

CICLO TRIGONOMÉTRICO

Quando numa circunferência de raio unitário se estabeleceum sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclotrigonométrico.

Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes

denominadas quadrantes.

ORIENTAÇÃONegativoHorário

PositivoHorário Anti

ARCOS CÔNGRUOS

Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entreseus valores é um múltiplo de 360º.

Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110..........

Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade ediferem apenas no número de voltas.

A expressão x = 30º + 360º . k, com k Z, é denominadaexpressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeiradeterminação positiva.

A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:

+ k . 360º, com k Z.

Se um arco mede radianos, a expressão geral dosarcos côngruos a ele é dada por:

+ k . 2 , com k Z.

SENO e CO-SENO DE UM ARCO

DEFINIÇÃO

Considere o arco que possui extremidades na origem dociclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde oângulo central .





Denomina-se sen a projeção do raio OM, pelaextremidade M do arco sobre o eixo y.Denomina-se cos a projeção do raio OM, sobre o eixo x.

2. Sinais

TABELA

Note que: – 1 sen 1 e – 1 cos 1

OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos épossível determinar os valores de seno e co-seno de arcosdo 2º, 3º e 4º quadrantes.

Equações trigonométricas num intervalo dado:

Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as

funções Trigonométricas em seus membros.São exemplos de equações trigonométricas:

1) sen x = 1

2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0

Não é possível estabelecer um método para resolver todasas equações trigonométricas, pois, existe uma infinidadedelas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos:

sen x = sen ax a k

x a k

2

2

(congruos)

(suplementares)

cos x = cos ax a k

a k

2

2

(congruos)

x (suplementares)

Exercícios de Sala

1. Expresse em radianos os seguintes arcos:

a) 300º b) 60º c) 12º

2. Um arco de 200° equivale em radianos a:

a)3

2b)

2

5c) 4 d)

9

10e) 6





3. Calcule a 1ª determinação positiva e escreva aexpressão geral dos arcos côngruos a:

a) 930º b)23

6rad

4. Determine o valor de:

a) sen 150°b) cos 150°c) sen 210°d) cos 210°e) sen 330°f) cos 330°

5. Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5admite solução.

a) - 1 m 1

b) - 2 m 5c) 2 m 3d) 2 < m < 3e) 1 < m < 2

Tarefa Mínima

1. Obter a medida em graus dos seguintes arcos:

a)3

2

b)6

2. (UFMG) Transformando 7º30' em radianos, teremos:

a) /24b) /25c) /30d) 3 /25e) 5 /32

3. Determine o valor da expressão

180cos0sen

270sen.180cos0cos.90sen22

4. Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do:

a) 1º quadranteb) 2º quadrantec) 3º quadranted) 4º quadrante

e) n.d.a.

5. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para:

a) 2 m 3b) 1 m 4c) -1 m 1d) 2 < m < 3e) 0 m 1

6. Resolver, no intervalo 0 x < 2 , as seguintes

equações:

a) sen x = 1b) cos x = 0

c) sen x =2

1

d) cos x =2

2

7. Sabendo que 0 x < 2 , o conjunto solução daequação: sen 2 x 3sen x 4 = 0 é:

a) {90º}b) {-90º}c) {270º}d) {180º}e) {30º}

Tarefa Complementar

8. (Mack-SP) A menor determinação positiva de 4900º é:

a) 100° b) 140º c) 40º

d) 80º e) n.d.a.

9. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arcode 1000º?

a) 270º b) 280º c) 290ºd) 300º e) 310º

10. (SANTO AMARO-SP) Às 9 horas e 10 minutos, omenor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é:

a) 135º b) 140º c) 145ºd) 150º e) n.d.a.

11. (UFPR) O maior ângulo formado entre os ponteirosde um relógio, às 23h45min, vale:

a) 189º30' b) 277º30' c) 270ºd) 254º45' e) 277º50'

12. (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumirquando y

37 2senx

3, é:

13. (UFPA) O menor valor positivo que satisfaz a equação

2 sen x = 1 é:a) /6 b) /4 c) /3d) /2 e) n.d.a.





14. (UM-SP) O menor valor positivo de x para o qual

9- cos x =1

3é:

2

6 4 3 2 3a) b) c) d) e)

15. Determinar o número de soluções da equação2sen x cos x = sen x no intervalo 0 x < 2 .

UNIDADE 6

RELAÇÕES FUNDAMENTAL DATRIGONOMETRIA

sen2 + cos2 = 1 (Relação Fundamental)

A relação acima também vale para arcos com

extremidades fora do primeiro quadrante.

Exemplos: sen230° + cos230° = 1sen2130° + cos2130° = 1

Convém lembrar que se + = 90°, sen = cos .Logo, vale também relações do tipo:

sen2 50° + sen2 40° = 1sen 210° + sen2 80° = 1

TANGENTE DE UM ARCO

DEFINIÇÃO

Associa-se a circunferência trigonométrica mais um eixo,a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P decoordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM

ao segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes.

SINAIS

TABELA

EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA

tg x = tg a x a k2

Exercícios de Sala

1. Sabendo que sen x =3

2e que x

2, calcule

cos x:

2. (FCChagas-BA) As sentenças sen x = a e cos x =

2 a 1 são verdadeiras para todo x real, se e somentese:

a) a = 5 ou a = 1 b) a = -5 ou a = -1c) a = 5 ou a = 1 d) a = 1e) n.d.a.





3. Resolver no intervalo 0 x < 2 , a equação2cos2x = – 3sen x

4. Determina o valor de:

a) tg 120° b) tg 210° c) tg 330°

5. Resolva no intervalo 0 x < 2 as seguintes equações:

a) tg x =3

3b) tg2x – 1 = 0

Tarefa Mínima

1. No intervalo 22

3 x se sen x =

3

1, calcule

cos x.

2. (UFSC) O valor, em graus, do arco x 0 2x na

equação: 1 cos2x + sen x = 0 é:

3. O valor de tg 315° + tg 225° é

4. (UFSC) Considere o ângulo x = 1215°. Determine |tg x |

5. Resolva as seguintes equações no intervalo 0 x < 2

a) tg x = 3

b) tg2x + tg x = 0

Tarefa Complementar

6. Determine m de modo que se obtenham

simultaneamente, sen x = m e cos x = m33

7. No intervalo 0 x < 2 , determine o número desoluções para a equação 2cos2x = 5 – 5sen x.

8. (FURG-RS) O valor numérico da função f(x) = sen2x –

tg x + 2cos 3x para x =4

3é:

9. (PUC-RS) O valor numérico de

x

xtg

x

cos3

4

32

2sen

para x =3

é:

a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0

10. No intervalo 0 x < 2 , a equação 3 tg2x + tg x = 0possui quantas soluções?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

UNIDADE 7

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental)

As demais Relações Trigonométricas com as condições deexistência obedecidas são:

tg x =sen x

cos x cotg x = 1

tg x

sec x = 1

cos xcossec x =

xsen

1

A partir da relação sen2 x + cos2 x = 1 podemosestabelecer duas relações derivadas.

Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x temos:

1 + cotg2 x = cossec2 x

E dividindo a Relação Fundamental por cos2 x temos:

tg2 x + 1 = sec2 x

Sinais das Funções Trigonométricas

1°Q 2°Q 3°Q 4°Qseno e cossecante + +cosseno e secante + +tangente e cotangente + +

Exercícios de Sala


a) cossec 30° b) sec 30°

c) cotg 30° d) cossec 210°

e) sec 315° f) cotg 300°

2. Sendo sen =5

4e 2

2

3, calcular:

a) cos b) tg c) cotg

d) sec e) cosec





Tarefa Mínima


a) sec 60o b) cossec 150o c) cotg 315o

2. (Faap-SP)Se sen x = 3/5, com x 4º quadrante,

então tg x é:

a) 3/4 b) 1/2c) 4/5 d) 3/4e) 4/5

3. ( UFSC ) Dados sen x =3

5e

2x , determine

o valor de: 32 tg x + 1

4. ( FGV-SP ) Simplificando-se a expressãosena tga coseca

cosa cotga seca

, obtém-se:

a) 0 b) sec2ac) sen2a d) 1e) tg2a

Tarefa Complementar

5. (UFSC)Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiroquadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:

6. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão:

sen30 cos120 cosec150 cotg330

sec300 tg60 cotg225

7. (UFCE) Para todo x 1º quadrante, a expressão(sec x - tg x)(sec x + tg x) sen2x é igual a:

a) cos2x b) 1 + sen2xc) cos x - sen x d) sec x + cos xe) n.d.a.

8. Determine a soma dos números associados à(s)

proposição(ões) correta(s).01. A medida em radianos de um arco de 225º é

6

11πrad.

02. A menor determinação positiva de um arco de1000° é 280°.

04. Os valores de m, de modo que a expressãosen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3].

08. sen x > cos x para44

x .

16. Se tg x = 4

3

e x 2

3

, então o valor de

sen x – cos x é igual a5

1.

32. Se sen x 0, então cosec x 0.64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para

0 x 2 é x =6

ou x =

6

5 .

9. (UFSC) Dado sen x =3

5e x 0

2, calcule o

valor numérico da expressão:

sec x cotgx cosecx tgx

6 senx cosec x

2

2

1

10. (FATEC) Se x e y são números reais tais que

y = x xtg x

xtgeex x

sec.sec2

4

, então:

a) y = ex b) y = ex(1 + tg x)

c) y = x

e x

cosd) y =

x

e x

sec

e) n.d.a.

UNIDADES 8 e 9

GEOMETRIA ANALÍTICAESTUDO DO PONTO

O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos emfunções, é composto por duas retas x e y perpendicularesentre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixodas abscissas, e a reta y é denominada eixo das ordenadas.Os dois eixos dividem o plano em quatro regiõesdenominadas quadrantes numerados no sentido anti-horário.

A cada ponto do plano cartesiano está associado um parordenado (x, y).





Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, ondeo número real xp é chamado abscissa do ponto e o númeroreal yp é chamado ordenada do ponto.

OBSERVAÇÕES

Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua

ordenada é nula.P (xp, 0) Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então suaabscissa é nula.

P (0, yp) Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantesímpares, então suas coordenadas são iguais

xp = yp

Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantespares, então suas coordenadas são simétricas.

xp = - yp

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no planocartesiano, a distância entre eles pode ser calculada emfunção de suas coordenadas. Observe a figura abaixo:

O triângulo ABC é retângulo em C, então:

AB AC BC2 2 2

Daí vem a fórmula que calcula a distância entre doispontos:

d x x y yAB B A B A2 2

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

Considere um segmento AB de extremidades A(xA, yA) eB(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto MédioM(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre ascoordenadas de A e B.

Observe a figura:

Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo,no eixo x tem-se:

xM xA = xB xM xx x

MA B

2

no eixo y tem-se:

yM yA = yB yM yy y

MA B

2

Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terão asseguintes coordenadas:

Mx x y yA B A B

2 2

ÁREA DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO ASCOORDENADAS DO VÉRTICE

Considere o triângulo abaixo:

y

x

yC

x A

B

y A

x B

A

y B

xC

C

Quando conhecemos as coordenadas dos vértices A, B e Cpodemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por:

A =

1

1

1

.2

1

C C

B B

A A

y x

y x

y x

OBSERVAÇÕES:

O determinante

x y

x y

x y

A A

B B

C C

1

1

1

foi tomado em módulo,

pois a área é indicada por um número positivo.

Se o determinante

x y

x y

x y

A A

B B

C C

1

1

1

for nulo, dizemos

que os pontos estão alinhados.

Exercícios de Sala

1. Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine:

a) distância entre A e B

b) Ponto Médio do segmento AB





2. Sabe-se que o ponto P(a,2) é eqüidistante dos pontosA(3,1) e B(2,4). Calcule a abscissa a do ponto P.

3. Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3);C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triânguloABC é:

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 c) 7

4. Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices deum triângulo ABC. Calcule a área desse triângulo.

Tarefa Mínima

1. (Mack-SP) Identifique a sentença falsa:

a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y.b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x.

c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dosquadrantes ímpares.d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes

pares.

e) o ponto ( 3 + 1, 3 + 1) pertence à bissetriz dosquadrantes pares.

2. (Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4,-5) eN(-1,7) do plano x0y vale:

3. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2,y) e B (6,7)é 10. O valor de y é:

a) -1 b) 0 c) 1 ou 13d) -1 ou 10 e) 2 ou 12

4. ( Cescea-SP ) O ponto do eixo das abscissas,eqüidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é:

a) A(2,0) b) B(5,0) c) C(3,0)d) D(0,2) e) E(4,0)

5. Calcular a área do triângulo ABC. Dados: A(8, 3); B(4,7) e C(2, 1)

Tarefa Complementar

6. (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2),determine x sabendo que o ponto C é eqüidistante dospontos A e B.

7. (FCC-BA) O triângulo cujos vértices são os pontos(1,3), (-2,-1) e (1, -2) é:

a) eqüilátero b) escalenoc) isósceles d) retângulo

e) n.d.a.

8. (PUC-SP) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor emmódulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo emB é:

9. (UFJF-MG) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontosmédios dos lados de um triângulo, quais são os seusvértices?

a) (-1,2), (5,0), (7,4)b) (2,2), (2,0), (4,4)c) (1,1), (3,1), (5,5)d) (3,1), (1,1), (3,5)

10. (UCP-RJ) A distância da origem do sistemacartesiano ao ponto médio do segmento de extremos(-2,-7) e (-4,1) é:

a) 3 b) 2 c) -3 d) 1 e) 3 2

11. (Mack-SP) A área de um triângulo é 25/2 e os seusvértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser:

a) 3 b) 2,5 c) 2 d) 4 e) 5

12. A área do polígono, cujos vértices consecutivos são:A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) emunidades de área, é:

UNIDADE 10

ESTUDO DA RETA

Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano umaequação. Com tal equação podemos determinar se umponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equaçãomerecem destaque:

A Equação GeralA Equação Reduzida

EQUAÇÃO GERAL DA RETA

A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de

alinhamento de 3 pontos.Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y).

A, B e P estão alinhados se e só se:

x y

x y

x y

A A

B B

1

1

1

0

Desenvolvendo 0

1

1

1

B B

A A

y x

y x

y x

temos:

x . yA + xA . yB + y . xB yA . xB x . yB y . xA = 0

(yA yB) x + (xB xA) y + xAyB xByA = 0a b c





Logo: ax + by + c = 0 equação geral da reta.

2. Equação Reduzida da Reta

Pode-se obter a equação reduzida da reta se isolando na

equação geral y.Veja: ax + by + c = 0by = ax c

ya

b

c

bsubstituindo

a

bpor m e

c

bpor n temos:

y = mx + n Equação Reduzida da Reta

No qual o coeficiente m é denominado coeficiente angularda reta, e n o coeficiente linear da reta.

3. Coeficiente Angular e Linear da

Reta

Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m éo coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear dareta.Vejamos, agora, o significado geométrico deles.

COEFICIENTE LINEAR

O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta cortao eixo y.

COEFICIENTE ANGULAR

Define-se como coeficiente angular da reta a tangente doângulo , onde indica a inclinação da reta em relação aoeixo x.

m = tg ou

AxBx

Ay

By

m

CASOS PARTICULARES

Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo é igual a0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0.

Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo é igual a90º, logo, o coeficiente angular não existe, pois tg 90ºnão é definido.

4. Equação do Feixe de Retas

Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dadoum ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Paraisso, usa-se a relação: y yo = m(x xo)

Exercícios de Sala

1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) eB(4, 9), determine:

a) equação geralb) equação reduzidac) coeficiente angular e linear da reta

2. Determine o coeficiente angular das retas abaixo:

a) r: 2x + 3y + 1 = 0

b)

c)

3. Determine a equação da reta representada pela figuraabaixo:





Tarefa Mínima

1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) eB(2, - 3), determine:

a) equação geralb) equação reduzidac) coeficiente angular e linear da reta

2. Considere a reta r indicada pela figura abaixo

Assinale a soma dos números associados àsproposições corretas:

01. A equação da reta r é y = x – 102. o coeficiente linear da reta r é – 1

04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é45o

08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3)16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de

coordenadas (1,0)

3. Determine a equação da reta r indicada abaixo

4. (FGV-SP) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem àreta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é:

a) 3 b) 3,25 c) 2 13 d) 2 e) 9

5. (Fac. Moema-SP) O coeficiente linear e angular dareta 2x 3y + 1 = 0 são, respectivamente:

a) 2 e 3 b) 2/3 e 1c) 2/3 e 1/3 d) 1/3 e 2/3e) n.d.a.

Tarefa Complementar

6. A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e temcoeficiente angular 3.

7. Considere as retas r e s indicadas abaixo:

Determine a soma dos números associados às

proposições corretas:01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 002. A equação da reta s é x – y – 1 = 004. o ponto de intersecção das retas r e s possui

coordenadas (2, 1)08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3)

8. (UFSC) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0,e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam peloponto P(a,b). O valor de a + b é:

9. Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5,5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0.

10. (UFPR) No plano cartesiano os pontos A(1, -1),B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de umquadrado. É correto afirmar que:

01. a origen do sistema de coordenadas está no interiordo quadrado.

02. a reta r que passa por A e B tem coeficienteangular 1/2

04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém adiagonal BD do quadrado.

08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto(0, -4)

16. o centro do quadrado é o ponto (1,3)

UNIDADE 11

ESTUDO DA RETA

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 2 RETAS

No plano cartesiano duas retas r e s podem ser:ConcorrentesParalelasCoincidentes





Considere as retas r e s de equações:

r = m1x + n1 e s = m2x + n2

Assim, podemos ter as seguintes situações:

PARALELAS DISTINTAS:

m1 = m2 PARALELAS COINCIDENTES:m1 = m2 e n1 = n2

CONCORRENTESm1 m2

CONCORRENTES E PERPENDICULARES:m1 . m2 = 1

DISTÂNCIA DE PONTO À RETA

Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c =0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pelaexpressão:

Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a retar de equação 5x + 2y 6 = 0.

Resolução: 45

20

34

63.24.5

22d d d

Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades.

Exercícios de Sala

1. Considere a reta r indicada pela figura abaixo:

Determinar:

a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e éparalela à reta r.

b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e éperpendicular à reta r.

2. Determine a distância do ponto A(2, 3) à reta r deequação y = 2x + 5.

3. (UFSC) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e s: 4x + ky-5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s)proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto(1, -2) é 17.

02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam

no ponto 07

5é 25/7.

04. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 .08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s

no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0.16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta

r é 20.

Tarefa Mínima

1. (UFRGS) As retas com equações respectivas 4x + 2y -4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0:

a) são paralelas

b) são coincidentesc) são concorrentes mas não perpendiculares.d) interceptam-se no 1º quadrante e são

perpendiculares.e) interceptam-se no 4º quadrante e são

perpendiculares.

2. A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e éparalela à reta de equação 5x + y = 0 é:

a) 5x + y + 10 = 0 b) – 5x + y + 10 = 0c) 5x – y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0e) – 5x + y – 10 = 0

3. (Cesgranrio-RJ) Se as retas (r ) x + 2 y + 3 = 0 e (s) ax +3 y + 2 = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale:

a) – 2 b) 2 c) – 6 d) 6 e) – 3

4. Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) eC (4,1). A altura em relação à base BC mede:

5. (UEL-PR) A distância entre as retas de equações x - y

+ 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a 2 se, e somente se:

a) k = 0 b) k = 4 c) k = 8d) k = 0 ou k = 8 e) k = -4 ou k = 8





Tarefa Complementar

6. (UFSC) Dados os pontos A(1, 1), B( 1, 3) e C(2, 7),determine a medida da altura do triângulo ABC relativa aolado BC.

7. (UFSC) De acordo com o gráfico abaixo, assinale

a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0.02. A reta s e a reta r são perpendiculares.04. As retas r e s se interceptam no ponto de

abscissa5

4.

08. A distância da origem do sistema de

coordenadas cartesianas à reta r é de2

2

unidades.16. A área da região do plano limitada pelas retas r,

s e pelo eixo das abscissas é igual a10

3

unidades de área.

8. (UFRGS) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) sãoextremidades de uma das diagonais de um quadrado. Aequação da reta suporte da outra diagonal é:

a) 2x - 3y - 1 = 0b) 2x + 3y - 7 = 0c) 3x + 2y - 8 = 0d) 3x - 2y - 4 = 0\

9. A medida da altura do trapézio cujos vértices são ospontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é:

10. ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadasno gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y = x – 3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixodas abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t éperpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que:

01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0).

02. o ponto C é (0,2

3).

04. a distância entre r e s é 3.08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são,

respectivamente,2

1,

2

1e – 2.

16. a equação da reta t é y = – 2x + 6.32. a equação da reta horizontal que passa por A é

x = 0.64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3.

UNIDADE 12

GEOMETRIA ANALÍTICAESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

DEFINIÇÃO

Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos deum plano que se equidistam de um ponto C denominadocentro da circunferência. Essa distância é denominada raioda circunferência.

RC

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um pontogenérico pertencente à circunferência, a distância de C a Pé o raio da circunferência.





Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintesformas:

Equação Reduzida:

(x a)2 + (y b)2 = R2

Exemplo: Determine equação da circunferência de raio3 e centro C(2, 5):

Resolução: (x )2 + (y )2 = R2 (x 2)2 + (y 5)2 = 32

Logo, a equação procurada é: (x 2)2 + (y 5)2 = 9

CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuircentro na origem então a equação(x )2 + (y )2 = R2 fica reduzida a: x2 + y2 = R2

Equação Geral:

A Equação Geral da circunferência é obtidadesenvolvendo a equação reduzida. Veja:

(x a)2 + (y b)2 = R2 x2 2ax + a2 + y2 2by + b2 = R2 x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 R2 = 0

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

onde: A = 2a; B = 2b; C = a2 + b2 R2

Exemplo: Determinar a equação geral da circunferênciade raio 3 e centro C(2, 5)

Resolução: (x )2 + (y )2 = R2 (x 2)2 + (y 5)2 = 32 (x 2)2 + (y 5)2 = 9x2 4x + 4 + y2 10y + 25 9 = 0

Logo, a equação geral é x2 + y2 4x 10y + 20 = 0

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Vamos comparar a equação de uma circunferência comuma equação do 2º grau completa.x2 + y2 + Kxy + Ax + By + C = 0

Sendo assim, essa equação só irá representar a equação deuma circunferência se e só se:

Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes dezero.Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0.A2 + B2 4AC > 0

POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA

Ponto e Reta

Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência

(x )2 + (y )2 = R2. Em relação a circunferência, oponto P pode assumir as seguintes posições:

Para determinar a posição do ponto P em relação acircunferência, substitui-se as coordenadas de P naequação da circunferência. Assim, podemos ter:

(xP )2 + (yP )2 R2 < 0 P interior àcircunferência

(xP )2 + (yP )2 R2 = 0 P pertence àcircunferência

(xP )2 + (yP )2 R2 > 0 P exterior àcircunferência

Reta e Circunferência

Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e umacircunferência (x )2 + (y )2 = R2 . Em relação àcircunferência, a reta pode assumir as seguintes posições:

Para determinar a posição da reta r em relação àcircunferência, substitui-se a equação da reta na equaçãoda circunferência. Assim, teremos uma equação do2º Grau. Então, se:

< 0 reta externa (não existe ponto de intersecção)

= 0 reta tangente (existe um ponto de intersecção)

> 0 reta secante (existe dois pontos deintersecção)

Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) sãoobtidos por um sistema de equações.

Exercícios de Sala

1. Determinar a equação da circunferência na formareduzida de centro C e raio R nos seguintes casos:

a) C(4, 7) e R = 2 b) C(2, -3) e R = 5

c) C(3, 0) e R = 5 d) C(0, 3) e R = 5 e) C(0, 0) e R = 3





2. A soma das coordenadas do centro da circunferência deequação x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0, é:

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

3. (UFSC) Seja C uma circunferência de equação x2 + y2 -

2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6.Determine a soma dos números associados à(s)proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da

circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente.02. A circunferência C limita um círculo cuja área é

8 .04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar

que C e r são secantes.08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio

2 é tangente externamente à circunferência C.

16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, pode-se afirmar que o ponto P é exterior à C.

Tarefa Mínima

1. A equação da circunferência de centro C (-2,2) etangente aos eixos coordenados é:

a) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4c) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 2d) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4

e) (x + 2)2

– (y – 2)2

= 4

2. (ACAFE-SC) A circunferência de equação x2 + y2 + 6x – 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é:

a) 2 b) – 3 c) 3d) – 2 e) – 1

3. O centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 éum ponto localizado no:

a) primeiro quadrante b) segundo quadrantec) terceiro quadrante d) quarto quadrante

e) eixo x

4. (UECE) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é umacircunferência que tem o segmento MN como umdiâmetro, então a equação de C1 é:

a) x2 + y2 - 12x - 2y + 27 = 0b) x2 + y2 + 12x - 2y + 27 = 0c) x2 + y2 + 12x + 2y + 27 = 0d) x2 + y2 - 12x + 2y + 27 = 0

5. (PUC-SP) Seja a circunferência , de equação x2 + y2 -

4x = 0. Determinar a área da região limitada por .

a) 4 b) 2 c) 5

d) 3 e) n.d.a.Tarefa Complementar

6. (Mack-SP) O maior valor inteiro de k, para que aequação x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 represente umacircunferência, é:

a) 10 b) 12 c) 13d) 15 e) 16

7. (UFRGS) O eixo das abscissas determina no círculox2 + y2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento

8. (FGV-SP) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina nacircunferência x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda decomprimento igual a:

a) 3 b) 3 c) 2 3

d) 6 e) 2 2

9. Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo quea reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência.

a) 16 b) 4 c) 2d) 32 e) n.d.a.

10. (UFSC) Considere a circunferência C:

163422

y x e a reta r: 4 x + 3 y 10 = 0.

Assinale no cartão-resposta a soma dos números

associados à(s) proposição(ões) correta(s).

01. r C = .02. O centro de C é o ponto (3, 4).04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas

em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um)ponto.

08. A distância da reta r ao centro de C é menor doque 4.

16. A função y dada pela equação da reta r édecrescente.





GABARITO

Unidade 11) a) 81 b) – 81 c) 81 d) 1 e) 0

f) 1 g)16

1h)

125

8 i) 18 j) – 5 k)

35/122) a) 215 b) 213

3) a) 2100 + 1 b) 2101 c) 2102 d) 2200 e)299 f) 250 4) a) 5 b) 2 c) 0 d) 1 e) 9/4f) – 0,5

5) a)2

25 b) 32 c)5

2523 d)

5( 23 )6) e7) 158) c9) d10) e11) e12) 3113) c14) d15) e

Unidade 2

1) a) 6 b) 3 c) 5 2 2) e3) 30°

4) x = 2 y = 2 3 5) 146) 180 m

7) x = 100 3 y = 1008) e 9) 31 10) 57

Unidade 3

1) 4 2 2) 753) 144) d5) e

6) b7) b8) a

9) 2 7 10) b

Unidades 4 e 51) a) 120° b) 30°2) a3) 2 4) b5) a

6) a) S =2

b) S =

2

3,

2

c) S =18

33,

6

7d)

4

7,

4

7) c8) c9) b10) c11) b12) 1313) c14) c15) 04

Unidade 6

1)3

22

2) 003) 004) 01

5) a) 4)3

4,

3b)

3 70

4 4, , ,

6) 017) 01

8) 2 9) b10) d

Unidade 71) a) 2 b) 2 c) – 12) a

3) 254) e5) 416) 017) a8) 869) 1210) c

Unidades 8 e 91) e2) 133) e

4) e5) 166) 087) c

8) 039) a10) e11) a12) 81

Unidade 101) a) 5x + y – 7 = 0 b) y = - 5x + 7c) – 5 e 72) 233) y = x 3 - 24) c5) d6) y = 3x – 27) 078) 559) 9010) 20

Unidade 111) c2) a3) c4)

2

25

5) d6) 047) 098) d9) 0210) 90

Unidade 121) a2) c3) a4) a5) a6) c7) 088) c9) a10) 28

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