Ajuste de Curvas Metodo Minimos Quadrados

Ajuste de curvas

5-1

Ajuste de Curvas Pelo Mtodo dos Mnimos QuadradosIntroduoSeja um conjunto de dados contendo n pares de valores (x, y) obtidos numrica ou experimentalmente. De modo a calcular qualquer valor de y distinto dos valores tabelados, ajustamos uma funo y = f(x) atravs do chamado Mtodo dos Mnimos Quadrados. Considere uma equao relacionando a varivel y com a varivel independente x, como y = f ( x ) , onde y indica que este o valor aproximado de y. Queremos encontrar a funo y = f ( x ) , cujo desvio em relao aos valores y seja expresso como i = y i y i .2 Por uma questo de convenincia trabalharemos com o desvio quadrtico i = (y i y i )2 . A funo y = f ( x ) que melhor ajusta os pontos (x, y) dados aquela que minimiza o somatrio dos desvios quadrticos S:

S=

i =1

n

i2 =

(yi yi )2i =1

n

(1)

A condio de minimizao da funo S satisfeita fazendo-se dS = 0, ou seja, necessitamos calcular a derivada da funo S em relao aos parmetros de ajuste da funo y = f(x) para que possamos encontrar o sistema de equaes denominado equaes normais que conduz ao melhor ajuste dos pontos (x,y) pela funo y = f(x) escolhida. Para cada tipo de funo de ajuste existe um sistema de equaes normais que minimiza a soma dos desvios quadrticos S. Em seguida, faremos a deduo das equaes normais para alguns tipos de funes mais comumente empregados no ajuste de curvas pelo mtodo dos mnimos quadrados.

Ajuste LinearSe a funo de ajuste for a funo linear na forma: y = a 0 + a1x (2)

onde a0 e a1 so os coeficientes a serem determinados pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados. A condio de minimizao do somatrio dos desvios quadrticos dada pelas equaes: S =0 a 0 e S =0 a 1 (3)

(4)

Clculo Numrico e Computacional

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5-2

Substituindo-se (1) na equao (3), resulta:n n S 2 (y i y i )2 = i = a 0 a 0 a 0 i =1 i =1

Substituindo (2) na equao acima, resulta:n n S 2 = (y i a 0 a1x i ) = 2 (y i a 0 a1x i )(1) = 0 a 0 a 0 i =1 i =1

de onde vem que:n n na 0 + x i a1 = yi i =1 i =1

(5)

Analogamente, substituindo-se (1) e (2) em (4), resulta: n n n 2 xi a0 + x i a1 = x i yi i =1 i =1 i =1

(6)

As equaes (5) e (6) constituem-se no sistema de equaes normais, contendo duas incgnitas (a0 e a1) e duas equaes. Podemos re-arranj-las de modo a obter as seguintes expresses para o seu clculo:

a 0 = i =1

x y x xy2 i =1 i =1

n

n

n

n

n

x2 x i =1 i =1 n

n

n i =1

i =1 2

(7)

n a1 =

xy x yi =1 n i =1

n

n

n

x2 x i =1 i =1

n

2

(8)


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5-3

Exemplo: Ajustar uma funo linear pelo mtodo dos mnimos quadrados aos seguintes valores numricos:x y 0 0,134 1,2 0,275 2,5 0,339 3,7 0,401

Resoluo: Para resolvermos o problema, vamos calcular os coeficientes das equaes normais (5) e (6), atravs do clculo na tabela seguinte dos valores de x, x2, y e xy:x 0 1,2 2,5 3,7 7,4 y 0,134 0,275 0,339 0,401 1,149 x2

xy 0 0,33 0,8475 1,4837 2,6612

SOMA = Resumindo:

0 1,44 6,25 13,69 21,38

n=4

xi = 7,4 yi = 1,149i =1 i =1

4

4

i =1

4

2 x i = 21,38

x i yi = 2,6612i =1

4

Substituindo nas equaes (7) e (8): a0 = (21,38)(1,149) (7, 4)(2,6612) (4)(21,38) (7,4) 2 (4)(2,6612) (7,4)(1,149) (4)(21,38) (7,4)2

=

4,8727 = 0,1584 30,76

a1 =

=

2,1422 = 0,0696 30,76

A funo linear que melhor ajusta os pontos dados pelo mtodo dos mnimos quadrados descrita pela equao: y = 0,1584 + 0,0696 x

Ajuste PolinomialSeja uma funo polinomial de grau m da forma:

Substituindo (9) na equao para a o somatrio do desvio quadrtico (1):


y = a 0 + a1x + a 2 x 2 +

+ amxm

(9)

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5-4

i =1

i =1

As equaes normais para o clculo dos coeficientes da funo polinomial so obtidas a partir das condies para a minimizao da soma do desvio quadrtico:

Substituindo S em (10) e derivando, resulta: S = a 0 S = a 1 S = a 2

=

= n

=

=

Rearranjando as equaes acima, resulta o seguinte sistema de equaes, denominado de equaes normais: n n 2 na 0 + x i a1 + xi a2 + i =1 i =1


n n n 2 3 xi a0 + x i a1 + xi a2 + i =1 i =1 i =1

n n m xi am = yi + i =1 i =1

S = a n

2 (yi a 0 a1x i a 2 x i2 i 1n

2 (yi a 0 a1xi a 2 x i2 i 1

2 (yi a 0 a1x i a 2 x i2 i 1n

n n m +1 xi am = x i yi + i =1 i =1

2 (yi a 0 a1x i a 2 x i2 i 1n

S S S = = = a 0 a 1 a 2

=

S =0 a m

m a m x i (1) = 0

m a m x i (x i ) = 0

m a m x i x i2 = 0

m m a m x i x i = 0

S=

(yi yi ) = (yi a 0 a1x a 2 x 2 n n 2

a mx m

)2

(10)

)

)

)( )

)( )

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5-5

Na forma matricial, o sistema de equaes normais para o ajuste polinomial toma a forma: [A][x] = [b] que podem ser escritos omitindo os ndices dos somatrios na forma:

m x i yi

Observar que a matriz de coeficientes [A] simtrica, isto , aij = aji. Deste modo, podemos determinar o sistema de equaes normais para qualquer ajuste polinomial como um subconjunto do sistema acima.

Ajuste ParablicoO ajuste parablico ou de 2a ordem um caso particular do ajuste polinomial para m = 2: y = a 0 + a1x + a 2 x 2 de modo que o sistema de equaes normais pode ser escrito como: (12)


a0 a 1 [x ] = a 2 , a m

[b] =

yi x2i yi x i yi

xi x i2 x im

[ A] =

n

xi x i2 x3 i xim +1

xi2 x3 i xi4 xim +2

n n n m +2 m +3 m xi a0 + xi xi a1 + a2 + i =1 i =1 i =1

n n n 2 3 4 xi a0 + x i a1 + xi a 2 + i =1 i =1 i =1

n n m +2 2 + xi x i yi am = i =1 i =1

n n 2m m + xi a m = x i yi i =1 i =1

xmim+1 xm +2 i x i , 2m xi (11)

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5-6

[A] =

x2i xi

n

x2i x i2 x i3 x 3 , i x i x i4

a 0 a , [b ] = [x ] = 1 a 2

yi x2i yi xi yi

(13)

Exemplo: A tabela seguinte apresenta os valores de calor especfico a presso constante para o ouro na faixa de temperatura entre 10 e 100K. Ajustar pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados uma curva parablica do tipo C p = a 0 + a1T + a 2 T 2 , onde Cp o calor especfico e T a temperatura absoluta.T(K) Cp (J/kg.K) 10 2 15 7 20 16 25 26 30 37 40 57 50 73 60 84 70 92 80 99 90 104 100 108

Resoluo: Para o clculo dos coeficientes da matriz [A], por uma questo de compatibilidade com a notao de (13), definiremos y = Cp e x = T. TABELA 1 Coeficientes do sistema de equaesx 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 590 y 2 7 16 26 37 57 73 84 92 99 104 108 705 x2 100 225 400 625 900 1600 2500 3600 4900 6400 8100 10000 39350 x3 1000 3375 8000 15625 27000 64000 125000 216000 343000 512000 729000 1000000 3044000 x4 10000 50625 160000 390625 810000 2560000 6250000 12960000 24010000 40960000 65610000 100000000 253771250 xy 20 105 320 650 1110 2280 3650 5040 6440 7920 9360 10800 47695 x2y 200 1575 6400 16250 33300 91200 182500 302400 450800 633600 842400 1080000 3640625

SOMA:

Substituindo-se os valores calculados na tabela nas matrizes do sistema [A][x] = [b], obtm-se: 590 39350 12 590 39350 3044000 [ A] = 39350 3044000 253771250 705 [b] = 47695 3640625

A soluo deste sistema de equaes obtida por inverso da matriz [A] :


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5-7

a0 = -27,1891 e a equao ajustada expressa como:

a1 = 2,54971

a2 = -0,01202

C p = 27,1891 + 2,54971T 0,01202T 2 A Fig. 1 mostra os dados experimentais juntamente com a curva parablica ajustada pelos coeficientes calculados acima, na qual observa-se uma excelente concordncia entre a curva ajustada e os pontos experimentais.120

100

80 Cp (J/kg.K)

60

40

20

0 0 20 40 60 80 100 Te mpe ratura (K)

Fig. 1 Dados experimentais do calor especfico a presso constante para o ouro (smbolos) e a curva parablica ajustada (linha).

Ajuste MultivarivelO ajuste por funo polinomial visto anteriormente um caso particular de um ajuste multivarivel, no qual cada um das variveis x, x2, x3, ..., xm podem ser descritas como variveis distintas e independentes entre si: x1, x2, x3, ... , xm. A funo dessas mltiplas variveis pode ser escrita como:

Substituindo a funo (14) na equao para a soma dos desvios quadrticos resulta:


y = a 0 + a 1x 1 + a 2 x 2 +

+ a mxm

(14)

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5-8

i

i =1

i =1

As equaes normais para o clculo dos coeficientes da funo polinomial so obtidas a partir das condies para a minimizao da soma do desvio quadrtico:

Calculando as derivadas: S n = 2(y i a 0 a 1x1 a 2 x 2 a 0 i =1 S n = 2(y i a 0 a 1x1 a 2 x 2 a 1 i =1 S = 2(y i a 0 a1x1 a 2 x 2 a 2 i =1n n S = 2(y i a 0 a 1x1 a 2 x 2 a m i =1

Resulta no sistema de equaes normais: n n na 0 + x1 a1 + x2 a 2 + i=1 i =1


n n n 2 x2 a 0 + x 2 x1 a 1 + x2 a2 + i=1 i =1 i=1

n n n 2 x1 a 0 + x1 a 1 + x1x 2 a 2 + i=1 i=1 i=1

n n + xm a m = yi i =1 i =1

S S S = = = a 0 a 1 a 2

=

S =0 a m

a m x m )(1) = 0

a m x m )( x1 ) = 0 (16) a m x m )(x 2 ) = 0

a m x m )(x m ) = 0

n n + x1 x m a m = x1y i i =1 i =1

n n + x2xm a m = x2yi i =1 i =1

S=

(y

n

i yi

)

2

=

(y a

n

0 a 1 x1 a 2 x 2

a mx m )

2

(15)

(17)

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5-9

Na forma matricial, o sistema de equaes normais para o ajuste polinomial toma a forma: [A][x] = [b] que podem ser escritos omitindo os ndices dos somatrios na forma: (18)

Observar que a matriz de coeficientes [A] simtrica, isto , aij = aji. Deste modo, podemos determinar o sistema de equaes normais para qualquer ajuste multivarivel como um subconjunto do sistema acima.

Exemplo: Considere os seguintes valores de temperatura (T), presso (p) e volume (v) especfico para o ar. Ajustar uma funo multivarivel do tipo T = apbvc, na qual a, b e c so constantes a serem determinados pelo mtodo dos mnimos quadrados.Temperatura (K) 90 100 110 120 130 Presso (bar) 2,397 5,599 11,22 20,14 33,32 Volume especfico (dm /kg) 100,2 44,67 22,15 11,45 5,4253

Resoluo: Primeiramente, necessrio linearizar a funo de ajuste de modo que as constantes estejam desacopladas das variveis T, p e v. Para isso, vamos aplicar o logaritmo sobre a funo T = T(p,v) para obter: n T = n a + b. n p + c. n v

Fazendo a seguinte troca de variveis, y = n T, x1 = n p, x2 = n v, a0 = n a, a1 = b e a2 = c, a equao acima pode ser re-escrita como: y = a 0 + a 1x1 + a 2 x 2


x m x1 x m x 2

x2 m

n x1 [ A] = x 2 x m

x1 x2 2 x1 x1x 2 x 2 x1 x 2 2

a0 xm a x1x m 1 , [x ] = a , x2xm 2 am

n n n xm a0 + x m x1 a 1 + xmx2 a2 + i=1 i=1 i =1

n n 2 + xm am = xmyi i=1 i =1

y x 1y [ b] = x 2 y x y m

(19)

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5 - 10

As equaes normais para esta funo de ajuste de duas variveis (x1 e x2) um subsistema da equao (17) com trs incgnitas (a0, a1 e a2) e trs equaes:n n n na 0 + x1 a 1 + x 2 a 2 = yi i =1 i =1 i =1

n n n n a + a = 2 x1 0 x1 a 1 + x1x 2 2 x1 y i i =1 i =1 i =1 i =1

(20)

n n n n a + a + 2 x2 0 x 2 x1 1 x 2 a 2 = x 2 yi i =1 i =1 i =1 i =1

Vamos calcular na tabela seguinte os coeficientes do sistema de equaes normais.

y= nT 4,49981 4,60517 4,70048 4,787492 4,867534 SOMA = 23,46049

x1 = n p 0,874218 1,722588 2,417698 3,002708 3,506158 11,52337

x2 = n v 4,607168 3,799302 3,097837 2,43799 1,691018 15,63332

x1 0,764257 2,967309 5,845263 9,016255 12,29314 30,88623

2

x2 21,226 14,4347 9,596597 5,943794 2,859542 54,06063

2

x1x2 4,027669 6,544632 7,489635 7,320571 5,928976 31,31148

x1y 3,933814 7,932811 11,36434 14,37544 17,06634 54,67275

x2y 20,73138 17,49643 14,56132 11,67186 8,231088 72,69208

Substituindo os valores dos somatrios em (20), obtemos o seguinte sistema de equaes: 5a 0 + 11,52337a 1 + 15,63332a 2 = 23, 46049 11,52337a 0 + 30,8863332a 1 + 31,31148a 2 = 54,67275 15,63332a 0 + 31,31148a 1 + 54,06063a 2 = 72,69208 cuja soluo ser: a0 = 4,762418, a1 = 0,063776 e a2 = -0,0695. A partir destas constantes, podemos obter a soluo para o ajuste multivarivel fazendo: a 0 = n a a = e a 0 = e 4,762418 = 117,0285 b = a1 = 0,063776 de modo que T = 117,0285 p 0,063776 v 0,0695 a funo de ajuste do problema.

c = a 2 = 0,0695


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5 - 11

Linearizao de FunesAs funes transcendentes de duas constantes devem ser linearizadas antes de aplicarmos o Mtodo dos Mnimos Quadrados, a fim de obtermos o sistema de equaes normais lineares. O procedimento varia, dependendo do tipo de funo. Ilustraremos o procedimento de linearizao para as funes exponencial, logaritmica, potencial e hiperblica.

Ajuste ExponencialUm ajuste exponencial geralmente emprega uma funo do tipo: y = a.e bx (21)

onde a e b so as constantes da funo de ajuste exponencial. Este tipo de funo no-linear, de modo que precisamos lineariz-lo antes de aplicar o Mtodo dos Mnimos Quadrados. A linearizao consiste em transformarmos a equao (21) numa equivalente equao (2): y aj = a 0 +a1x Para tanto, aplicamos o logaritmo em ambos os lados de (21): n y = na + bx

(22)

(23) (24) (25) (26)

Se fizermos:

a 0 = na a1 = b A equao (21) poder ser re-escrita como: y = a 0 + a1x aj

Observe que esta equao idntica equao (2), exceto pelo fato de que a varivel y' calculada pelo logaritmo de base natural da varivel y original. Aplicando-se as transformaes (25) e (26), obtemos as constantes de ajuste exponencial a e b empregando as equaes (7) e (8) do Mtodo dos Mnimos Quadrados para a funo linear.

Ajuste LogaritmicoUm ajuste logartmico geralmente emprega uma funo do tipo:


y = n y

(27)

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5 - 12

y = a + b. n x

(28)

onde a e b so as constantes da funo de ajuste. Linearizando (21), obtemos as seguintes relaes de transformao:

y' = y A relao linearizada toma a forma:

x' = n x

a0 = a

a1 = b

(29)

y aj = a 0 + a1x

(30)

Ajuste PotencialUm ajuste potencial geralmente emprega uma funo do tipo: y = a.x b (31)

onde a e b so as constantes da funo de ajuste. Linearizando (22), obtemos as seguintes relaes de transformao:

y = n y

x' = n x

a0 = n a

a1 = b

(32)

A relao linearizada toma a forma: y = a 0 + a1x aj (33)

Ajuste HiperblicoUm ajuste hiperblico geralmente emprega uma funo do tipo: y=a+ b x (34)

onde a e b so as constantes da funo de ajuste. Linearizando (23), obtemos as seguintes relaes de transformao: y = y x' = 1 x a0 = a a1 = b (35)

Como sempre, a relao linearizada tem a forma:


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5 - 13

y = a 0 + a1x aj

(36)

Avaliao da Qualidade do AjusteAlm das funes de ajuste apresentadas neste texto, existem inmeras outras funes com as quais podemos ajustar um conjunto de dados pelo mtodo dos mnimos quadrados. A questo fundamental : qual a funo que representa o melhor ajuste entre todas as outras funes. Um mtodo pelo qual podemos avaliar a qualidade de um ajuste atravs do coeficiente de correlao de Pearson. O coeficiente de correlao de Pearson r2 pode ser calculado na forma mais geral como:

n r2 = 1 n

(yi y aj )2i =1

n

n 2 n yi yi i =1 i =1

2

(37)

O coeficiente de correlao limitado aos seguintes valores: 0 r 2 1 . Quanto mais prximo de 1 for o valor de r2, melhor ser o ajuste. Quando r2 0 para um ajuste a dois coeficientes, significa que o coeficiente angular desprezvel. Como um critrio neste curso, vamos considerar que um bom ajuste representado por valores de r2 > 0,99. Uma outra forma do coeficiente de correlao, vlido para ajuste de funo do tipo linear y = a0 + a1x, expressa como:

r=

[(x i x m )(yaj y m )]i =1

n

(x i x m )2 (y aj ym )2i =1 i =1

n

n

= i =1

x i y aj nx m y m(n 1)S x S y(38)

n

para a qual x m = i =1 n

xi

n

e y m = i =1 n

yajso os valores mdios de x e yaj, respectivamente.

n

As expresses:

Sx =

(x i x m )i =1

n

2

n 1

e Sy =

(y aj ym )2i =1

n

n 1


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5 - 14

representam a covarincia x e covarincia y, respectivamente. A equao (37) tem a vantagem de poder ser usada na avaliao da qualidade do ajuste de funes polinomiais e multivariveis. J a equao (38) somente pode ser utilizada para avaliar a qualidade do ajuste de funes lineares ou linearizadas, como visto com as funes exponencial, logaritmo, potencial e hiperblica, vistas anteriormente neste texto. Outras funes linearizveis tambm podem empregar a equao (38) para o clculo do coeficiente de correlao, devendo observar que os valores de Exemplo Ajuste empregando diferentes tipos de funes:x y 1,0 0,525 1,2 0,8448 1,4 1,2807 1,6 1,8 1,8634 2,6326 2,0 3,6386 2,2 2,4 4,944 6,6258 2,6 8,7768 2,8 3,0 11,5076 14,9484

Vamos ajustar aos pontos tabelados as seguintes funes: (a) linear y = a0 + a1x, (b) exponencial, do tipo y = aebx, (c) logaritmico, do tipo y = a + b ln x, (d) potencial, do tipo y = axb e (e) hiperblico, do tipo y = a + b/x. Vamos determinar atravs do coeficiente de correlao de Pearson qual destas funes representa o melhor ajuste e comparar graficamente os ajustes realizados. Resoluo: (a) Ajuste linear (regresso linear) y = a 0 + a 1xx 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 22,0 y 0,52500 0,84478 1,28068 1,86340 2,63260 3,63856 4,94400 6,62580 8,77679 11,50759 14,94844 57,58764 x2

xy 0,52500 1,01374 1,79295 2,98144 4,73868 7,27712 10,87680 15,90192 22,81965 32,22125 44,84532 144,99387

Soma =

1,000 1,440 1,960 2,560 3,240 4,000 4,840 5,760 6,760 7,840 9,000 48,400

x 2 y x xy = (48,40)(57,58764) (22)(144,99387) = 8,3187 a0 = 2 (11)(48,40) (22) 2 n x 2 ( x)a1 = n xy x y n x 2

( x)

2

=

(11)(144,99387) (22)(57,58764) (11)(48,40) (22) 2

= 6,7770


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5 - 15

Clculo do coeficiente de correlao: Sendo a funo de ajuste y aj = 8,3187 + 6,7770 x , o coeficiente de correlao: n r2 = 1 n

(yi yaj )2i =1

n

n 2 n yi yi i =1 i =1

2

requer o clculo das seguintes quantidades: (y - yaj)2, y2 e (y)2 que esto apresentadas na tabela seguinte:yaj -1,54171 -0,18632 1,16907 2,52446 3,87985 5,23524 6,59063 7,94602 9,30141 10,65680 12,01219 57,58764 (y - yaj) 4,27130 1,06317 0,01246 0,43700 1,55563 2,54939 2,71139 1,74298 0,27523 0,72384 8,62155 23,963942

Soma =

y 0,27563 0,71365 1,64014 3,47226 6,93058 13,23912 24,44314 43,90123 77,03204 132,42463 223,45586 527,52827

2

Substituindo em r2: r2 = 1 11 23,96394 11 527,52827 (57,58764) 2 = 0,894

Para verificao, vamos calcular o coeficiente de correlao pelo segundo mtodo: sx =

(x x m ) 2n1 =

=

4 ,40 = 0,66332 10

sy = r = a1

(y y m ) 2n 1

226,04314 = 4,75440 10

sx 0,66332 = ( 6,7770) = 0,95 r2 = 0,89 sy 4,75440


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Ajuste de curvas

5 - 16

Assim, o ajuste linear y = 8,3187 + 6,7770 x no representa um bom ajuste porque o valor de r2 < 0,99.

(b) Ajuste exponencial y = ae bx Relaes para linearizao da funo exponencial:

y = n y

a0 = n a y = a 0 + a 1x

a1 = b

Soma =

x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 22,0

y' = ln y -0,64436 -0,16868 0,24739 0,62240 0,96797 1,29159 1,59817 1,89097 2,17211 2,44301 2,70461 13,12519

x 1,000 1,440 1,960 2,560 3,240 4,000 4,840 5,760 6,760 7,840 9,000 48,400

2

xy' -0,64436 -0,20241 0,34635 0,99584 1,74235 2,58318 3,51598 4,53833 5,64749 6,84042 8,11382 33,47699

yaj -0,44921 -0,12073 0,20775 0,53623 0,86472 1,19320 1,52168 1,85016 2,17865 2,50713 2,83561 13,12519

(y yaj) 0,03808 0,00230 0,00157 0,00743 0,01066 0,00968 0,00585 0,00167 0,00004 0,00411 0,01716 0,09855

2

y 0,41520 0,02845 0,06120 0,38739 0,93697 1,66820 2,55416 3,57577 4,71807 5,96828 7,31490 27,62859

2

x 2 y x xy = (48,4)(13,12519) (22)(33,47699) = 2,0916 a0 = 2 (11)(48, 40) (22) 2 n x 2 ( x )a1 = n

xy x y = (11)(33,47699) (22)(13,12519) = 1,6424 2 (11)(48, 40) (22) 2 n x 2 ( x )a = e a 0 = e 2,2867 = 0,12349 b = a1 = 1,6424

Assim,

de modo que a funo de ajuste exponencial tem a forma: y = 0,12349 e1,6424x


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Ajuste de curvas

5 - 17

Na tabela acima, esto calculados os valores de (y - yaj)2 = 0,09855 e y2 = 27,62859, que substituindo na equao (37) do coeficiente de correlao, resulta: r2 = 1 11 0,09855 11 27,62859 (13,12519) 2 = 0,992

Este coeficiente de correlao indica que a funo de ajuste exponencial representa um bom ajuste para os dados (x,y).

(c) Ajuste logaritmicoy = a + b. n x Relaes para linearizao da funo logaritmica: x = n x

a0 = a y = a 0 + a 1x

a1 = b

Soma =

x' = ln x 0,000 0,182 0,336 0,470 0,588 0,693 0,788 0,875 0,956 1,030 1,099 7,017

y 0,52500 0,84478 1,28068 1,86340 2,63260 3,63856 4,94400 6,62580 8,77679 11,50759 14,94844 57,58764

x' 0,000 0,033 0,113 0,221 0,345 0,480 0,622 0,766 0,913 1,060 1,207 5,761

2

x'y 0,00000 0,15402 0,43091 0,87580 1,54741 2,52206 3,89813 5,80068 8,38632 11,84844 16,42254 51,88632

yaj -2,28673 -0,13699 1,68059 3,25505 4,64382 5,88612 7,00991 8,03586 8,97964 9,85344 10,66693 57,58764

(y - yaj) 7,90581 0,96387 0,15993 1,93669 4,04501 5,05152 4,26800 1,98827 0,04115 2,73622 18,33135 47,42781

2

y 0,27563 0,71365 1,64014 3,47226 6,93058 13,23912 24,44314 43,90123 77,03204 132,42463 223,45586 527,52827

2

x 2 y x xy = (5,761)(57,58764) (7,017)(51,88632) = 2,2867 a0 = 2 (11)(5,761) (7,017) 2 n x 2 ( x )a1 = n

xy x y = (11)(51,88632) (7,017)(57,58764) = 11,7909 2 (11)(5,761) (7,017) 2 n x 2 ( x )a = a 0 = 2,2867 b = a1 = 11,7909


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Ajuste de curvas

5 - 18

A funo de ajuste logaritmo tem a forma: y = 2,2866 + 11,7909 n x Coeficiente de correlao: r 2 = 1 11 47,42781 11 527,52827 (57,58764) 2

= 0,790

(d) Ajuste potencialy = ax b Relaes para linearizao da funo potencial:

x = n x

y = n y

a0 = n a

a1 = b

y = a 0 + a 1x x' = ln x 0,000 0,182 0,336 0,470 0,588 0,693 0,788 0,875 0,956 1,030 1,099 7,017 y' = ln y -0,64436 -0,16868 0,24739 0,62240 0,96797 1,29159 1,59817 1,89097 2,17211 2,44301 2,70461 13,12519 x' 0,000 0,033 0,113 0,221 0,345 0,480 0,622 0,766 0,913 1,060 1,207 5,7612

Soma =

x'y' 0,00000 -0,03075 0,08324 0,29253 0,56896 0,89526 1,26009 1,65549 2,07548 2,51537 2,97131 12,28698

yaj -0,75020 -0,19479 0,27481 0,68159 1,04040 1,36136 1,65171 1,91677 2,16061 2,38637 2,59655 13,12519

(y - yaj) 0,01120 0,00068 0,00075 0,00350 0,00525 0,00487 0,00287 0,00067 0,00013 0,00321 0,01168 0,04480

2

y 0,41520 0,02845 0,06120 0,38739 0,93697 1,66820 2,55416 3,57577 4,71807 5,96828 7,31490 27,62859

2

x2 y x xy = (5,761)(13,12519) (7,017)(12,28698) = 0,7502 a0 = 2 (11)(5,761) (7,017) 2 n x 2 ( x )a1 = n

xy x y = (11)(12,28698) (7,017)(13,12519) = 3,0463 2 (11)(5,761) (7,017) 2 n x 2 ( x )a = e a 0 = e 0,7502 = 0,47227 b = a1 = 3,0463


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Ajuste de curvas

5 - 19

y = 0, 47227 x 3,0463 r2 = 1 11 0,04480 11 27,62859 (13,12519) 2 = 0,996

O coeficiente de correlao do ajuste potencial o maior dentre todos os ajustes realizados at aqui, indicando ser esta a melhor funo de ajuste.

(e) Ajuste hiperblicoy=a+ b x

Relaes para linearizao da funo logaritmica: x = 1 x a0 = a y = a 0 + a 1x x' = 1/x 1,000 0,833 0,714 0,625 0,556 0,500 0,455 0,417 0,385 0,357 0,333 6,174 y 0,52500 0,84478 1,28068 1,86340 2,63260 3,63856 4,94400 6,62580 8,77679 11,50759 14,94844 57,58764 x' 1,000 0,694 0,510 0,391 0,309 0,250 0,207 0,174 0,148 0,128 0,111 3,9212

a1 = b

Soma =

x'y 0,52500 0,70398 0,91477 1,16463 1,46256 1,81928 2,24727 2,76075 3,37569 4,10985 4,98281 24,06659

yaj (y - yaj) -2,72875 10,58687 0,29697 0,30010 2,45819 1,38653 4,07911 4,90936 5,33982 7,32904 6,34839 7,34319 7,17359 4,97105 7,86125 1,52633 8,44312 0,11134 8,94186 6,58297 9,37410 31,07322 57,58764 76,12000

2

y 0,27563 0,71365 1,64014 3,47226 6,93058 13,23912 24,44314 43,90123 77,03204 132,42463 223,45586 527,52827

2

x 2 y x xy = (3,921)(57,58764) (6,174)(24,06659) = 15,4255 a0 = 2 (11)(3,921) (6,174) 2 n x 2 ( x )a1 = n

xy x y = (11)(24,06659) (6,174)(57,58764) = 18,1543 2 (11)(3,921) (6,174) 2 n x 2 ( x )C.Y. Shigue


Ajuste de curvas

5 - 20

a = a 0 = 15,4255 b = a1 = 18,1543 y = 15,4255 r2 = 1 18,1543 x = 0,663

11 76,12 11 527,52827 (57,58764) 2

(f) Comparao entre os valores fornecidos e os valores ajustadosPelo clculo do coeficiente de correlao de Pearson, os melhores ajustes foram os obtidos pelas funes exponencial (r2 = 0,992) e potencial (r2 = 0,996). Atravs do clculo dos valores (x,y) usando as expresses obtidas pelas funes de ajuste, podemos comparar graficamente cada uma das funes de ajuste e verificar que os melhores ajustes calculados pelo coeficiente de correlao de Pearson correspondem s curvas que melhor representam o comportamento dos valores (x,y) do problema.

Tabela Comparao entre os valores de y fornecido e ajustados,Dados fornecidos x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 y 0,52500 0,84478 1,28068 1,86340 2,63260 3,63856 4,94400 6,62580 8,77679 11,50759 14,94844 Linear -1,54171 -0,18632 1,16907 2,52446 3,87985 5,23524 6,59063 7,94602 9,30141 10,65680 12,01219 Exponencial 0,63813 0,88627 1,23091 1,70956 2,37433 3,29761 4,57992 6,36086 8,83434 12,26965 17,04081 Dados ajustados Logaritmo -2,28673 -0,13699 1,68059 3,25505 4,64382 5,88612 7,00991 8,03586 8,97964 9,85344 10,66693 Potencial 0,47227 0,82301 1,31628 1,97702 2,83034 3,90150 5,21589 6,79900 8,67645 10,87395 13,41731 Hiperblico -2,72875 0,29697 2,45819 4,07911 5,33982 6,34839 7,17359 7,86125 8,44312 8,94186 9,37410


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Ajuste de curvas

5 - 21

(g) Grfico dos pontos fornecidos e das curvas ajustadasGrfico comparativo dos ajustes

18y Linear Exponencial Logaritmo Potencial Hiperblico

14 10 y 6 2 -2 1.0

1.5

2.0 x

2.5

3.0

Exerccios1. Considere a seguinte tabela de dados:x y 1,0 0,340 1,4 2,25 2,0 5,89

Ajustar uma funo linear do tipo y = a0 + a1x e uma funo exponencial do tipo y = aebx aos dados acima. Determinar qual delas representa o melhor ajuste atravs do clculo do coeficiente de correlao de Pearson. Verificar graficamente os ajustes calculados. 2. Desenvolver as equaes normais para a funo f(x) = a.x + b.cos x (a e b so os coeficientes de ajuste), empregando o Mtodo dos Quadrados Mnimos, ajust-la aos seguintes valores numricos e calcular o coeficiente de correlao:x y 1,0 1,683 1,2 2,046 2,0 2,512


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5 - 22

3. Considere os seguintes valores numricos:x y 0 3,8 0,5 2,8 0,8 2,5 1,2 1,3 1,8 0,4 2,0 -0,2 3,0 1,0

Traar o grfico dos pontos tabelados e ajustar uma funo linear a eles. Traar a reta ajustada ao grfico dos pontos tabelados. Verificar grfica e numericamente pelo coeficiente de correlao de Pearson que o ajuste de m qualidade. Corrigir o problema que est prejudicando o ajuste linear e verificar novamente pelo grfico e pelo coeficiente de correlao de Pearson a qualidade do ajuste. 4. Linerizar as seguintes funes: b (a) y = a . x + 2 (b) y = a.ln bx x (d) y = a. e bx2

(c) y = a.sen x + b.cos x (f) y = a + bx

(e) y = ax + bx 3

5. A tabela seguinte fornece a populao do Brasil (em milhes de habitantes) desde 1872:ANO Pop. 1872 9,9 1890 14,3 1900 17,4 1920 30,6 1940 41,2 1950 51,9 1960 70,9 1970 93,1 1980 130 1990 150

Obtenha uma estimativa para a populao brasileira no ano 2000 empregando diferentes tipos de ajustes de curvas.


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