Ajuste de Variograma

8/13/2019 Ajuste de Variograma

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VARIOGRAMA


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Vario grafa - Interpretacin - Modelamiento

Como se explic en la formulacin terica, el variograma de una funcin intrnseca aleatoria

esta expresado por:

En donde Z(x+h) y Z(x) son los valores de leyes en el punto x+h y x respectivamente, considerando

que las variables estacionarias e intrnsicas, el promedio de Z(x+h) - Z(x) es cero, el variograma

resulta ser el promedio de las diferencias.

Expresado en trminos numricos para aplicacin prctica, tenemos:

Los puntos x y x+h se debe entender que pueden estar en un espacio de n dimensiones

como n=1, 2 3. En todos los casos es necesario determinar gama(h) en todas las

direcciones posibles para identificar la orientacin del comportamiento de la

mineralizacin.

Si bien la expresin matemtica indica que el variograma es funcin de h, en donde h es

la distancia entre pares de muestras, esto significa que la funcin se crear en base al

valor promedio de la diferencia de pares de muestras que se encuentren distanciados a h

metros.


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VARIOGRAMA A 1 DIMENSIN

Por ejemplo para el caso de clculo del variograma en una direccin se tiene en el

siguiente ejemplo, Fig. 1, leyes distanciadas cada dos metros. En la Fig. 2 se describe elclculo de cada punto del variograma para distancias h=2m, h=4m, h=6m, etc.


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VARIOGRAMA A DOS DIMENSIONES

Para el clculo del variograma a dos dimensiones es necesario precisar la direccin declculo, esta direccin se indica en base a un rango de ngulo que debern formar los

pares de muestras. Cualquier otro par de muestras que no cumplen con el rango deorientacin no formar parte del clculo del variograma. Por ejemplo en el grficosiguiente se presentan muestras en X e Y.

En la Fig. 3 se observa que el clculo del variograma se realizar para la direccinN80E considerando un ngulo de tolerancia de +/- 15, que indica que los pares demuestras que se encuentren que intervienen en el clculo deben una orientacin

entre N65E y N95E.


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Como el variograma es una funcin de "h", se debe indicar su primer valor, en estecaso se fijar en 6 m, el siguiente valor 12 m, el tercer valor 18 m, y as sucesivamente.

La forma de clculo del variograma en esta direccin se presenta como sigue (Fig. 4)

Estos nueve resultados generan el grfico del variograma, que servir parainterpretar su comportamiento en la direccin calculada, para otras direcciones sedebern volver a realizar lo clculos tomando pares de muestras que tengan laorientacin deseada.

Para un clculo a tres dimensiones el rango del ngulo de orientacin de los paresse definir en un cono teniendo como orientacin principal el eje del cono.

Para un depsito a tres dimensiones se recomienda calcular los variogramas entodas las direcciones a fin de encontrar la direccin preferencial de la

mineralizacin y las anisotropas


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ELECCIN DEL MEJOR VARIOGRAMA

Una vez calculado el variograma en todas las direcciones posibles, se seleccionan losmejores que tengan caractersticas que reflejen el mejor comportamiento de

correlacin espacial entre las muestras. Entre las formas que adoptan losvariogramas, se pueden definir las que se indican en la Fig. N 5:


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Los tipos de Variograma 1, 3 y 5 tienen una misma caracterstica, no tienen correlacinespacial entre las muestras, por lo tanto la estimacin de leyes puede ser realizada concualquiera de los mtodos de estimacin tradicionales (icd, triangulacin, poligonacin,etc.). Esto indica que no ser posible medir la precisin de la estimacin. Sin embargo esimportante destacar que la informacin del variograma sobre el nivel de aleatoriedad(alto, medio o baja) permite determinar el nivel de precisin que se obtendra al aplicarlos mtodos tradicionales.

Los tipos de Variograma 2, 4, y 6, definitivamente indican ventaja superior en laestimacin de leyes con kriging, la diferencia entre ellas se encuentra en la diferencia de

precisin de la estimacin. Por ejemplo para baja aleatoriedad indicado con elvariogama 6, la varianza de estimacin o el error relativo de estimacin ser menor queel que se obtenga con los variogramas 2 y 4.Otros aspectos importantes para elegir los variogramas mas representativos delcomportamiento de la mineralizacin son el nmero de pares utilizados paradeterminar cada punto del variograma y la altura o valores de la meseta del variograma.

La meseta es la lnea horizontal mxima que indica el lmite en promedio delvariograma.Por lo general los primeros puntos del variograma deben tener alto nmero de pares, amayor nmero de pares en cada punto del variograma el valor de ste ser masrepresentativo.Una meseta mas baja en un variograma con respecto a otro, indica que la varianza o

error relativo en la estimacin de leyes ser menor, por lo tanto la estimacin ser masprecisa.


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MODELOS AUTORIZADOS PARA EL MODELAMIENTO

Para el modelamiento de un variograma experimental se deben aplicar frmulas omodelos matemticos autorizados, estos modelos matemticos tienen lacaracterstica de ser una funcin siempre positiva para cualquier valor de |h|. Acontinuacin presentamos los modelos autorizados siguientes:

Efecto de Pepita (Co): Corresponde a un fenmeno netamente aleatorio, sin

correlacin entre valores, y sin importar que tan prximos se encuentren ellos. Seaplica por lo general en el origen para h=0. En la prctica se obtiene al inferir ydeterminar en que punto cruza el variograma experimental con el eje vertical.

La interpretacin del trmino "efecto de pepita" se aproxima a imaginar leyes dealto y bajo valor distantes pocos milmetros o centmetros, al aplicar la frmula del

variogram las diferencias entre ellas generan un alto valor del variograma a unadistancia h de casi cero metros.


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Modelo Esfrico: Corresponde a un comportamiento del variograma decrecimiento gradual similar a la figura N xx. La expresin matemtica es:

para valores de h < a

para valores de h >= a

en donde "a" es el alcance, que es la distancia"h" en donde el variograma alcanza lameseta.


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Modelo Exponencial: Corresponde a un comportamiento del variograma decrecimiento muy gradual similar a la figura N yy. La expresin matemtica es:

en donde "a" es el alcance queequivale en este modelo a un terciode la distancia que se alcanza a lameseta.


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Modelo Potencial: Corresponde a la expresin matemtica

en donde el exponente "n" puede adoptar valores entre cero y 2,reproduciendo lo indicado en la figura adjunta. (el signo "^n" se debe

interpretar como potencia "n")

Tambien se tienen definidos los modelos Gausiano, Cbico, funcin Seno. Sinembargo los tres primeros modelos descritos son los mas utilizados para elmodelamiento, ya sean estos en forma independiente o combinados entre si.


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MODELAMIENTO DEL VARIOGRAMA

El modelamiento del variograma se realiza una vez que se eligieron los variogramasrepresentativos del depsito para las direcciones principales.El modelamiento consiste en elegir el variograma experimental mas representativo de acuerdo

a las caractersticas mencionadas en el punto anterior. Una vez elegido, el variogramaexperimental suele presentar algunas formas similares a los tipos N 2, 4, y 6.En el modelamiento corresponde aplicar modelos matemticos "autorizados" para encontrar lafrmula que representen los variogramas experimentales. As por ejemplo en la Fig. N 8 seobserva un variograma experimental superpuesto con el modelo autorizado que mas se leaproxima. El modelo autorizado aplicado es el "exponencial", el modelo final encontrado es el

que indica para Gama(h). En donde el Efecto de Pepita Co = 0.02

Modelo de variograma de dos

componentes

"Dist.Prom" es el promedio de las

distancias de los pares de muestras

utilizados en el clculo del variograma


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Modelo de variograma de trescomponentes

En este variograma experimentalfue necesario aplicar tres

componentes en el modelo

Esta figura presenta un variograma ajustado con tres componentes, el primercomponente "efecto de pepita" Co, el segundo componente esfrico, ytambin el tercer componente esfrico.


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AJUSTE DE UN MODELO DE VARIOGRAMAS.

Proceso de ajuste:

a) El ajuste debe ser lo mejor posible para los primeros puntos del variograma, estos con los ms

conocidos, mayor nmero de pares y los que tienen el peso ms fuerte en la estimacin, Debeser porque los primeros puntos tienen ms influencia que los que estn alejados.

b) No siempre es necesario ajustar todo el variograma, sino ms bien una parte sobre una ciertadistancia de trabajo. Este hecho permite eliminar la tendencia que generalmente se manifiestadespus de una cierta distancia (el alcance que se da en el variograma).

c) Es difcil de determinar la bondad del ajuste, dado que para ello sera preciso utilizar Funcionesde la Funcin aleatoria que es imposible estimar prcticamente.

d) Si se ajusta al efecto de pepita por prolongamiento de los primeros puntos del variogramaexperimental (los primeros 2 3 puntos con los que van a decidir el valor del efecto pepita).

e) El alcance se puede estimar al ojo y un estimador de muestra es la varianza experimental de lamuestra, luego se procede por aproximaciones Sucesivas. Pero el mtodo ms adecuado, mstcnico es el mtodo de REGRESIN

f) No hay una solucin nica al problema del ajuste, y para los problemas de estimacin es tehecho no tiene mucha importancia, los Variogramas calculados con varios modelos no difierenmucho.


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Ejemplo:

Considere un depsito mineral calculado en forma bidimensional, los Variogramasexperimentales en direccin EW, se tratar de ajustar a un modelo de variograma

conveniente. En la siguiente tabla se muestra un variograma experimental que fuecalculado en valores Ag pertenecientes a muestras tomadas en campo.

Distancia (h)* Distancia (h)* Distancia (h)*

1 0.42 34 9.54 67 11.75

2 0.72 35 10.98 68 9.91

3 0.92 36 10.82 69 10.12

4 1.36 37 10.58 70 9.56

5 1.69 38 10.21 71 10.91

6 2.03 39 10.08 72 11.98

7 1.95 42 8.28 73 12.13

8 2.75 41 8.08 74 11.45

9 3.65 42 9.34 75 12.14

10 4.05 43 9.55 76 12.26

11 3.44 44 9.87 77 11.69

12 4.55 45 10.45 78 12.30

13 3.24 46 10.23 79 11.63

14 3.07 47 8.87 80 12.98

15 4.52 48 9.19 81 15.78

16 5.23 49 10.19 82 17.42

17 6.53 50 10.73 83 16.72

18 6.41 51 10.22 84 17.20

19 5.98 52 9.96 85 17.16

20 5.72 53 11.64 86 14.67

21 5.26 54 11.93 87 14.1222 6.46 55 12.62 88 14.56

23 7.02 56 11.35 89 16.04

24 7.55 57 10.18 90 17.81

25 8.06 58 10.69 91 20.96

26 8.94 59 10.03 92 22.70

27 8.48 60 9.81 93 23.20

28 7.65 61 10.23 94 24.37

29 7.04 62 11.85 95 23.67

30 6.49 63 11.27 96 21.66

31 7.26 64 13.01 97 21.44

32 7.47 65 13.61 98 22.94

33 7.66 66 14.17 99 22.29

10022.16

2 a = 373

a = 37(3)2

a = 55


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Ajuste para el variograma

*(h=4) = C o + C 32

1

2

3

= 0.2 + 10.3 32 455 1

2 4553

= 0.2 + 10.3 (0.1091

= 1.322

*(h=8) = 0.2 + 10.3 32 855 1

2 8553

= 2.43

* (h=12) = 0.2 + 10.3 3

2 12

55 1

2 12

553

= 3.56

* (h=16) = 0.2 + 10.3 321655 1

216553

= 4.56


17/18

* (h=20) = 0.2 + 10.3 322055 1

220553

= 5.57

* (h=24) = 0.2 + 10.3

3

2 24

55 1

2 24

55

3

= 6.51

* (h=28) = 0.2 + 10.3 322855 1

228553

= 7.39

* (h=32) = 0.2 + 10.3 323255 1

232553

= 8.17


18/18

* (h=36) = 0.2 + 10.3

3

2

36

55

1

2

36

55

3

= 8.37

* (h=40) = 0.2 + 10.3 324055 1

240553

= 9.46

* (h=44) = 0.2 + 10.3 32 4455 12 44553

= 9.92

* (h=48) = 0.2 + 10.3 324855 1

248553

= 10.26

* (h=52) = 0.2 + 10.3 325255 1

252553

= 10.45

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