ALGEBRA LINEAR – II

Prof. Amit Bhaya

Lista de Exercıcios –III

junho de 2005

Ortogonalidade, espacos fundamentais

1. Se Ax = b possui solucao e ATy = 0, entao y e perpendicular a ——.

2. Se Ax = b nao possui solucao e ATy = 0, explique porque y nao e perpendicular a ——.

3. Se Ax ∈ Nul(AT ), entao Ax = 0. Porque?

4. Seja A simetrica. V ou F: Col(A) ⊥ Nul(A).

5. Seja S = EG{(1, 1, 1)}. Calcule S⊥ (complemento ortogonal de S).

6. Seja S = EG{(2, 0, 0), (0, 0, 3)}. Calcule S⊥ (complemento ortogonal de S).

7. Seja P o hiperplano em R4 cujos vetores satisfazem x1 + x2 + x3 + x4 = 0. De uma base

para P⊥. Construa uma matriz cujo espaco nulo e P.

8. Seja A ∈ Rn×n inversıvel, i.e., AA−1 = I. Entao a primeira coluna de A e ortogonal ao

espaco gerado por ——.

9. Ache uma matriz A tal que v = (1, 2, 3) pertence ao espaco Col(A) e, ao mesmo tempo,

ao espaco Col(AT ). Ache outra matriz B tal que v ∈ Nul(B) e v ∈ Col(B). (NOTE A

CORRECAO DO ERRO DA LISTA MANUSCRITA).

Projecoes

10. Desenhe a projecao de b sobre a e calcule esta projecao pela formula p = xa, ondex = (bTa)/(aTa), para:

(a) b = (cos θ, sin θ), a = (1, 0);

(b) b = (1, 1) e a = (1,−1).

11. Calcule as matrizes de projecao (aiaT

i)/(aT

iai) sobre as retas definidas por: (i) a1 =

(−1, 2, 2); (ii) a2 = (2, 2 − 1). Calcule o produto destas matrizes de projecao e expliqueseu resultado.

12. Projete b = (1, 0, 0) sobre as retas definidas por a1, a2 no problema anterior, e tambemsobre a reta definida por a3 = (2,−1, 2). Faca a soma das tres projecoes calculadas(p1 + p2 + p3). Denotando as respectivas matrizes de projecao de P1, P2, P3, verifiqueque P1 + P2 + P3 = I.

13. Projete b sobre o espaco coluna de A atraves da solucao da equacao normal ATAx = ATb

e p = Ax para:

(a) A =

1 10 10 0

e b = (2, 3, 4);

(b) A =

1 11 10 1

e b = (4, 4, 6)

14. Seja A ∈ R4×3 com as primeiras tres colunas iguais as primeiras tres colunas da matriz

identidade I ∈ R4×4. Projete b = (1, 2, 3, 4) sobre o espaco coluna de A. Calcule a matriz

de projecao P.

15. Qual combinacao linear dos vetores (1, 2,−1) e (1, 0, 1) fica mais proximo ao vetor b =(2, 1, 1)?

16. Para achar a matriz de projecao P sobre o plano x1 − x2 − 2x3 = 0, ache um vetor n

perpendicular ao plano. Compute a projecao Q = nnT /nTn e, em seguida, P = I − Q.Explique porque estes passos, de fato, produzem a matriz de projecao desejada.

Mınimos quadrados

17. Seja y = 0, 8, 8, 20 para os quatro valores x = 0, 1, 3, 4. Escreva a equacao linear quecorresponde ao ajuste de uma reta que passaria por estes quatro pontos. Ela admitesolucao? Caso afirmativo, de a solucao; caso contrario, resolva no sentido de mınimosquadrados (Obs.: Equacao da reta desejada y = mx + c).

18. Repita o problema anterior, com o mesmo y, porem x = 1, 5, 13, 17.

19. Ache a parabola de melhor ajuste (y = c0+c1x+c2x2) para os mesmos dados do problema

17, apenas montando as equacoes normais (NAO HA NECESSIDADE DE REALIZAROS CALCULOS).

20. De exemplos (um para cada item):

(a) uma matriz Q que possui coluna ortonormais, porem QQT 6= I.

(b) dois vetors ortogonais que nao sao l.i.

(c) uma base ortogonal para R4 na qual cada vetor possui elementos (1/2) ou −(1/2).

21. Ache vetores ortonormais q1, q2, q3 tais que q1 e q2 geram o espaco coluna de A =

1 12 1

−2 −4

. Qual dos quatro subsespacos fundamentais contem q3? Resolva Ax =

(1, 2, 7) por mınimos quadrados.

Decomposicao QR

22. Ache a decomposicao QR da matriz

A =

1 2 40 0 50 3 6

Determinantes

Quais permutacoes das matrizes J3 e J4 abaixo mostram que detJ3 = −1 e detJ4 = 1?

J3 =

0 0 10 1 01 0 0

; J4 =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

.

23. Prove que uma matriz ortogonal possui determinante 1 ou −1. (Sugestao: utilize apropriedade detAB = detA detB)

24. Ache os determinantes de uma rotacao R =

[

cos θ −senθsenθ cos θ

]

e de uma reflexao F =[

1 − 2 cos2 θ −2 cos θ senθ−2 cos θ senθ 1 − 2sen2θ

]

.

25. Seja CD = −DC. Ache o erro no seguinte raciocınio: Tomando determinantes, tem-sedetC detD = − detD detC. Logo, detC = 0, ou detD = 0, isto e, uma ou ambas asmatrizes C, e D e singular.

26. Utilize operacoes elementares por linha para mostrar que a matriz de Vandermondedefinida abaixo possui o determinante indicado:

det

1 a a2

1 b b2

1 c c2

= (b − a)(c − a)(c − b).

27. Ache os determinantes de uma matriz de posto um e uma “anti-simetrica” definidasabaixo:

A =

123

[1 − 4 5] ← (posto um); K =

0 1 3−1 0 4−3 −4 0

← (anti-simetrica)

28. Utilize operacoes elementares por linha para simplificar e computar os seguintes determi-nantes:

det

101 201 301102 202 302103 203 303

; det

1 t t2

t 1 tt2 t 1

.

29. Se duas operacoes elementares sao realizadas simultaneamente, e.g.,

A =

[

a bc d

]

→ B =

[

a − αc b − αdc − βa d − βb

]

.

detA = detB? Justifique sua resposta.

30. Para o exemplo especıfico da fatoracao A = LU abaixo:

A =

3 3 46 8 7

−3 5 −9

=

1 0 02 1 0

−1 4 1

3 3 40 2 −10 0 −1

= LU.

Calcule os determinantes de L,U,A,U−1L−1,U−1L−1A.

31. A matriz Cn ∈ Rn×n possui 1s na sub- e na superdiagonal, e.g.:

C1 = 0, C2 =

[

0 11 0

]

, C3 =

0 1 01 0 10 1 0

, C4 =

0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0

.

Calcule detCi, i = 2, 3, 4. Utilizando cofatores, ache a relacao entre detCn, detCn−1,detCn−2 e utilize esta recorrencia para achar detC10.

32. Introduzindo zeros via operacoes elementares por linhas calcule o determinante de

G4 =

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

.

Ache tambem detG2 e detG3 que possuem zeros na diagonal principal e 1s nos demaiselementos. Consegue prever o valor de detGn?

Regra de Cramer

33. Resolva as seguintes equacoes utilizando a regra de Cramer:

(a)2x1 + 3x2 = 1x1 + 4x2 = −2

(b)2x1 + x2 = 1

x1 + 2x2 + x3 = 0x2 + 2x3 = 0.

Autovalores e autovetores

34. Considere a matriz A =

[

8 32 7

]

. Mostre, utilizando esta matriz, que uma operacao

elementar por linha poderia modificar os autovalores de A.

35. Considere a matriz A =

[

3 61 2

]

. V ou F: Todos os autovalores de A sao modificados

quando operacoes elementares sao realizados na matriz A. Explique sua resposta.

36. Ache os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:

A =

[

1 42 3

]

; A + I =

[

2 42 4

]

.

Em funcao das respostas obtidas, complete a seguinte frase: A matriz A + I possui ——autovetores de A. Os autovalores sao —— por 1.

37. Ache os autovalores de A, B, e A + B:

A =

[

1 01 1

]

, B =

[

1 10 1

]

, A + B =

[

2 11 2

]

.

Qual a frase correta: Autovalores de A + B (sao)(nao sao) iguais aos autovalores de A

somados aos autovalores de B?

38. Para as mesmas matrizes A e B da questao anterior, calcule os autovalores de AB eBA. Qual a frase correta: Autovalores de AB (sao)(nao sao) iguais aos produtos dosautovalores de A e B. Autovalores de AB (sao)(nao sao) iguais aos autovalores de BA?

39. Prove que, se Ax = λx

(a) λ2 e autovalor de A2.

(b) λ−1 e autovalor de A−1.

(c) λ + 1 e autovalor de A + I.

40. Ache os autovalores e autovetores para as matrizes de projecao P e P100, onde:

P =

0.2 0.4 00.4 0.8 0

0 0 1

.

41. Cada matriz de permutacao deixa o vetor x = (1, 1, . . . , 1) invariante. Isto significa que—— e autovalor de qualquer matriz de permutacao. Ache os outros dois autovalores paraas seguintes matrizes:

P1 =

0 1 00 0 11 0 0

; P2 =

0 0 10 1 01 0 0

42. Preencha a segunda linha de A =

[

0 12 2

]

de modo que A tenha autovalores 4 e 7.

43. A matriz B possui autovalores 1, 2, C possui autovalores 3, 4, e D possui autovalores 5, 7.Ache os autovalores de A, onde

A =

[

B C

0 D

]

=

0 1 3 0−2 3 0 4

0 0 6 10 0 1 6

.

44. Ache a fatoracao A = XΛX−1 para as seguintes matrizes:

A1 =

[

1 20 3

]

; A2 =

[

1 12 2

]

.

45. Escreva uma matriz (a mais geral possıvel) que tenha autovetores

[

11

]

e

[

1−1

]

.

46. Seja Gn uma sequencia de numeros gerados seguindo a regra Gk+2 = 1

2(Gk+1 + Gk) (i.e.,

cada numero na sequencia e a media dos dois anteriores). Dado G0 = 0, G1 = 1, ache olimite da sequencia (limn→∞ Gn).

47. Diagonalize B =

[

3 10 2

]

e compute XΛX−1 para verificar a formula

Bk =

[

3k 3k − 2k

0 2k

]

.

48. Para A =

[

a bc d

]

e B =

[

q rs t

]

, prove que traco(AB) = traco(BA).

49. Utilizando o resultado do item anterior, mostre que a equacao AB−BA = I nunca podeser satisfeita.

50. Ache uma matriz ortogonal que diagonaliza A =

[

−2 66 7

]

.

51. Mostre que a matriz A =

[

2√−1 11 0

]

nao e diagonalizavel.

52. Para quais numeros b e c as seguintes matrizes sao positivas definidas:

B =

[

1 bb 9

]

; C =

[

2 44 c

]

.

Fatore cada matriz em LDLT .

53. Teste para ver se a matriz ATA e positiva definida, para

A =

[

1 20 3

]

; A =

1 11 22 1

; A =

[

1 1 21 2 1

]

.

54. Mostre, quando possıvel, que A e B sao similares, achando a matriz T tal que B = TAT−1

ou explicando porque ela nao poderia existir:

A =

[

1 01 0

]

B =

[

0 10 1

]

A =

[

1 00 1

]

B =

[

0 11 0

]

Observacao: Seja bem claro na apresentacao formal da resolucao dos problemas; a apre-sentacao da solucao tao somente, nao e o objetivo desta lista de exercıcios.