Algoritmos para Geração de Variáveis Aleatórias

1Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE

Algoritmos para Geração de Variáveis Aleatórias

Distribuições Teóricas de Probabilidade


Geração de Variáveis Aleatórias

Métodos e procedimentos computacionais para a geração de variáveis aleatórias com características específicas de alguma das diversas distribuições teóricas de probabilidades.

A necessidade de tais variáveis: tempos entre chegadas;

tempos de serviço;

demandas por produtos, etc.


Métodos de Geração

Os métodos baseiam-se na prévia geração de um número aleatório R, uniformemente distribuído sobre o intervalo (0, 1).

x expresso como uma função explícita de R..

Métodos básicos: Transformação Inversa;

Transformação Direta;

Convolução;

Aceitação/Rejeição;

Propriedades Especiais


Distribuição Geométrica

Uma variável com distribuição geométrica representa o número de falhas observadas em uma seqüência de provas do tipo Bernoulli, sua função densidade é:

p(x) = p(1 - p)x , x = 1, 2, ...

Pelo método da transformação inversa, obtém-se a seguinte relação:

ln( )

ln( )

ln( )

ln( )

1

1

1

1

R

px

R

p


Distribuição Geométrica

Para a obtenção de uma variável com distribuição geométrica, necessitamos do parâmetro (probabilidade de um sucesso) p.

Obtido tal elemento, os seguintes passos devem ser considerados:

Gerar R;

Calcular x =

A função (arredondamento para o maior inteiro) atribui a x o maior inteiro que satisfaz a relação anterior.

ln( )

ln( )

1

1

R

p .

.


Exemplo

Gerar três valores de uma distribuição geométrica com p = 1/2. Usando uma tabela de valores aleatórios, obtemos R1 = 0,932; R2 = 0,105 e R3 = 0,687.

Primeiramente calculamos o valor da constante 1/ln (1-p) = 1/ln (1-0,5) = -1,443. Na seqüência, obtemos os valores dos xi’s a partir dos Ri’s .


Exemplo

P a s s o V a l o r d e R i e d e x i 1 R 1 = 0 , 9 3 2 2 x 1 = - 1 , 4 4 3 l n ( 1 - 0 , 9 3 2 ) 3 8 7 8, = 4 1 R 2 = 0 , 1 0 5 2 x 2 = - 1 , 4 4 3 l n ( 1 - 0 , 1 0 5 ) = 1 1 R 3 = 0 , 6 8 7 2 x 3 = - 1 , 4 4 3 l n ( 1 - 0 , 6 8 7 ) = 2


Distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson se caracteriza pela seguinte função densidade de probabilidade:

a qual representa a probabilidade de ocorrência de x sucessos, num dado intervalo de tempo. Onde , é o valor esperado do número de ocorrências por unidade de tempo.

p x P X x ex

xx

( ) ( )!

0,1,2, ..., 0


Distribuição de Poisson

Geração de uma variável aleatória Poisson, considerando o método da Aceitação/Rejeição:

Fazer n = 0, e P =1;

Gerar um número aleatório Rn+1 e substituir P por P.Rn+1;

Se, , aceitar X = n, caso contrário, rejeitar n atual, fazer n = n +1, e retornar aos procedimentos no passo 2.

A idéia básica por traz do método da Aceitação/Rejeição, é gerar um número aleatório e testar uma determinada condição de “aceitação”. Caso esta condição seja satisfeita, o valor gerado é aceito, caso contrário os passos são repetidos.

P e


Exemplo

Gerar três números, segundo uma distribuição de Poisson, com = 0,2.

Primeiramente, computamos o valor de .

Na seqüência, obtemos um conjunto de números aleatórios e iniciamos os procedimentos estabelecidos nos passos de 1 a 3 anteriormente firmados

e e 0 2 0 8187, ,


Exemplo

Passo Geração de P, n e X1 n = 0, P = 12 R1 = 0,4357; P = 1.R1 = 0,43573 como P = 0,4357 < e-0,2 < 0,8187; aceitamos X = 01 - 3 R1 = 0,4146 nos leva a X = 01 n = 0, P = 12 R1 = 0,8353; P = 1.R1 = 0,83533 como P e ; rejeitamos n = 0 e retornamos ao

passo 2 com n = 12 R2 = 0,9952; P = P.R2 = 0,8353.0,9952 = 0,83133 como P e ; rejeitamos n = 1 e retornamos ao

passo 2 com n = 22 R3 = 0,8004; P = P.R3 = 0,8313. 0,8004 = 0,66543 como P = 0,6654< e-0,2 < 0,8187; aceitamos X = 2


Distribuição Empírica Discreta

Para gerar uma variável aleatória que tenha um comportamento semelhante ao determinado por distribuição empírica discreta conhecida, é necessário, inicialmente, determinarmos as freqüências relativas acumuladas da distribuição. Por exemplo:

Uma vez que tais informações estejam disponíveis, aplicamos o método da transformação inversa que, neste caso, torna-se um processo de pesquisa em uma tabela de valores, num procedimento muito semelhante ao que realizamos no capítulo 1, quando tratamos do método de Monte Carlo.

x p(x) F(x)0 0,50 0,501 0,30 0,802 0,20 1,00


Procedimentos

Os procedimentos de busca são facilitados pela construção de uma tabela para a geração dos valores de x:

Esquematizando os procedimentos:

1. Gerar R;

2. Descobrir i, tal que ri-1 < R ri;

3 Fazer X = xi.

i Entrada ri Saída xi

1 0,50 02 0,80 13 1,00 2


Exemplo

Suponha uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidades:

x p(x) F(x)2 0,45 0,453 0,35 0,805 0,20 1,00

Dados R1= 0,43; R2=0,61 e R3=0,83; gerar três valores para a variável X, que pertençam a esta distribuição.

R1= 0,43 < F(x=2) = 0,45; logo X=2;

F(x=2) = 0,45 < R2= 0,61 F(x=3) = 0,80 ; logo X=3;

F(x=3) = 0,80 < R3= 0,83 F(x=5) = 1,00 ; logo X=5;


Distribuição Uniforme

Uma variável aleatória x tem distribuição uniforme sobre um intervalo [a, b], se sua função densidade de probabilidade (fdp) é dada por:

A técnica mais utilizada para a obtenção de uma variável aleatória uniformemente distribuída é a da transformação inversa. A fórmula é a seguinte:

Os parâmetros necessários para a obtenção de uma variável com distribuição uniforme são apenas os valores extremos do intervalo [a, b]. Uma vez definidos, os seguintes passos devem ser considerados: Gerar R; Calcular

f xb a

a x b( )

1

x a b a R ( )

x a b a R ( )


Exemplo

Gerar três valores de uma distribuição uniforme no intervalo [10, 50]. Usando os seguintes valores aleatórios R1 = 0,932; R2 = 0,105 e R3 = 0,687. Aplicando o método proposto teremos:

Passo Valor de Ri e de xi

1 R1 = 0,9322 x1 = 10 + (40)0,932 = 47,281 R2 = 0,1052 x2 =10 + (40)0,105= 14,21 R3 = 0,6872 x3 = 10 + (40)0,687= 37,48


Distribuição Triangular

Uma variável aleatória x tem uma distribuição triangular se sua fdp é dada por:

f x

x a

b a c ac x

c b c ab x c

( )

( )

( )( ),

( )

( )( ),

2

2

a x b

onde a b c . A moda b = 3 E (x) - (a + c).

Pelo método da transformação inversa obtém-se a fórmula para gerar amostras com distribuição triangular. A variável x com esta distribuição é obtida por:

xa R b a c a R

b a

c a

c R c b c ab a

c aR

( )( ) ,

( )( )( )

se

, se

0

1 1


Exemplo Gerar três valores de uma distribuição triangular com parâmetros (0, 1,

2). Obtidos R1 = 0,544; R2 = 0,747 e R3 = 0,449.

xR R

R R

2 01

2

2 2 11

21( )

P asso V alo r de R i e de x i

1 R 1 = 0 ,5442

x 1 = 2 - 2 1 0 5 44( , ) = 1 ,0451 R 2 = 0 ,7472

x 2 = 2 - 2 1 0 74 7( , ) = 1 ,2881 R 3 = 0 ,4492

x 3 = 2 0 449( , ) = 0 ,947


Distribuição Exponencial

Uma variável aleatória x tem uma distribuição exponencial se sua fdp é dada por:

O parâmetro é interpretado como sendo o número médio de ocorrências por unidade de tempo, enquanto a razão representa o tempo médio entre as ocorrências.

Aplicando-se o método da transformação inversa para a obtenção de uma variável aleatória x com distribuição exponencial resulta na seguinte relação:

Uma vez que (1-Ri), da mesma forma que Ri, possui distribuição uniforme no intervalo [0, 1], podemos substituir (1-Ri) por Ri na expressão acima.

f x e xx( ) , 0

xR

ii

ln( )1


Exemplo

Gerar valores de uma distribuição exponencial com parâmetro =1.

i 1 2 3 4 5Ri 0,1306 0,0422 0,6597 0,7965 0,7696xi 2,0356 3,1653 0,4159 0,2275 0,2618


Distribuição Normal

Uma variável aleatória x tem uma distribuição normal se sua fdp é dada por:

f x e xx

( ) ,( )

1

2

2

22

Método de Box-MullerZ1=B cos Z2=B sen

Z R R

Z R R

1 1 2

2 1 2

2 2

2 2

ln cos( )

ln sen( )


Exemplo

Considerando as equações anteriores, gerar dois valores com distribuição normal padronizada a partir de R1 = 0,1758 e R2 = 0,1489.

Z1 = [-2 ln (0,1758)]½ cos ( 0,1489) = 1,11

Z2 = [-2 ln (0,1758)]½ sen ( 0,1489) = 1,50

x1 = 10 + 2.(1,11) = 12,22

x2 = 10 + 2.(1,50) = 13,00

Para a obtenção de uma variável aleatória normal com média e desvio padrão , deve-se aplicar a transformação xi = + .Zi aos valores da normal padronizada. Por exemplo, para transformar os valores obtidos de Z1 e Z2 em uma Normal (10; 2), calcula-se:

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