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31.

Atividade integrada de Matemática e Tópicos Especiais III – SEMANA 11 Olá meus queridos! Preciso de algum retorno de vocês sobre essas atividades para poder elaborar as próximas. DEVOLUÇÃO:

Envie: a) seus resultados e comentários sobre cada questão (desta semana 11) (tipo: fácil,

difícil, tive tais dificuldades, etc); b) sua opinião sobre essas atividades. Pouco exercício? Muito exercício? Tá muito fácil?

Tá muito difícil? c) sua opinião sobre as dicas/comentários enviados sobre cada questão. Desnecessários?

Muito detalhados? Precisa de mais explicações?

d) sua opinião sobre as resoluções enviadas das atividades anteriores. Estão sendo úteis? Estão muito extensas? Precisa de mais detalhes? São desnecessárias? e) sugestões para as próximas atividades. f) tem muitas páginas? Querem que eu reduza a letra? Reduza as explicações? g) você prefere que Tópicos Especiais III e Matemática continuem integrados ou prefere que se as Atividades de Tópicos sejam desvinculadas das de Matemática? h) se está legal continuar com as revisões, qual assunto você sugere que seja o próximo? Também estou insegura quanto ao número de páginas que estou enviando, não acho

legal mandar links, dificulta a vida de muitos de vocês. Não é necessário imprimir, na minha opinião, dá para olhar pelo celular ou computador.

Enquanto isso, seguiremos com vestibular da UFRGS e no ENEM, mesmo esquema anterior. Nessa semana iremos revisar Função Exponencial (com a pandemia e crescimento exponencial ou não da curva, esse conteúdo certamente será abordado!) Na próxima,

dependendo das sugestões, Logaritmos e Função Logarítmica). Observação: nos comentários/dicas têm uma pequena revisão do conteúdo que precisa em cada questão. ENEM – 2019 (prova amarela) UFRGS - 2019

Aluno(a): Professora: Simone Dias Cruz Componente curricular: MATEMÁTICA Turma: Data: E-mail da professora: simone.cruz@ufrgs.br

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UFRGS – 2018 UFRGS - 2017

Na próxima atividade envio o gabarito e a resolução explicada de cada questão.

Comentários/dicas sobre cada questão (Atividade 11): ENEM – 2019 (prova amarela) Questão 155: Apenas calcular a função nos valores indicados. Já se sabe que iniciou com 𝑁0, triplicar, significa que ficou com 3𝑁0, com esses dados se consegue descobrir o valor de 𝑘, teríamos que usar logaritmo, mas tenha paciência por que não será preciso, deixe reservado e

siga o exercício. UFRGS - 2019 Questão 33: Analisando a função exponencial 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1. Lembra de como é o gráfico de uma

função exponencial? Seu crescimento ou decrescimento depende da base, observe os dois gráficos a seguir, quando a base é maior que 1 (a função é crescente) e quando a base está entre 0 e 1 (a função é decrescente).

Note que os gráficos nunca tocam o eixo dos x, portanto, a função nunca assume o valor 0. A função dada 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1, tem o deslocamento de 1 unidade para a DIREITA.

Com essas informações, fica fácil analisar as letras A, B e C. Nas letras D e E, quando se coloca o conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 / 𝑥 ≥ 0 }, estamos selecionando uma sequência, basta lembrar agora

de P.A e P.G e decidir.

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UFRGS – 2018 Questão 33: Nessa questão nem precisa saber do gráfico e sim de regras da potenciação e, depois, de soma de P.G. finita e mais regras de potenciação. Lembrando:

Fórmula da Soma Finita de uma P.G.: 𝑆𝑛 =𝑎1(𝑞𝑛−1)

𝑞−1.

Não esqueçam de usar os parênteses e tenham muita atenção nas continhas. UFRGS - 2017 Questão 35: Parecida com a do ENEM. Para calcular o valor inicial, basta fazer 𝑡 = 0, duplicar esse valor, é só multiplicar por 2, daí teremos o valor de 𝑁(𝑡), e precisamos descobrir 𝑡.

Substituindo esses dados na função e fazendo as contas (não vamos precisar usar logaritmo), acharemos 𝑡 em HORAS (se transformar tudo em fração as contas ficam muito fáceis), a resposta está em minutos (é só trocar h=60min) e, se usou frações, simplificar e pronto! Vai precisar resolver uma equação exponencial, lembra disso? Aí vai um exemplo:

lembre-se que, se não tiver ninguém no expoente é porque

ele vale 1: 𝟐 = 𝟐𝟏

CORREÇÃO DAS QUESTÕES ENVIADAS NA TAREFA 9 Atenção: Confiram TODA a resolução de cada questão para ter certeza que acertaram, às vezes a gente comete um erro e acha o resultado certo por sorte. ENEM – 2019 – prova amarela Questão 150: gráfico de funções, 1º ano EM. Nesse caso é só comparar as imagens das funções, ou seja, a altura dos gráficos. Para f(x) ser menor que as outras, deve estar abaixo delas. Identifica onde ela está abaixo das 2 ao mesmo tempo e depois pega quem são os x´s “donos” desse pedaço de gráfico.

Já estava meio que resolvida nesse comentário, note que: 𝑓(𝑥) é menor que 𝑔(𝑥) (ou seja, está abaixo) a partir de B 𝑓(𝑥) é menor que ℎ(𝑥) a partir de C Como 𝑓(𝑥) tem que ser menor que as duas ao mesmo tempo, tem que ser a partir de C (que

vem depois de B) e vai até E, ou seja no intervalo (𝐶, 𝐸) Letra E

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Vestibular UFRGS – 2020 Questão 37: módulo, função modular, 1º ano EM (mas nunca dá tempo). Tu lembras do que significa módulo? É assim ó: |2| = 2; | − 2| = 2, |0| = 0, isto é, módulo de qualquer número é o valor absoluto desse número, nunca pode ser negativo, é como se fosse o número “sem o sinal”, fica positivo (sem pensar no 0). Vimos um pouco de módulo de uma função quando estudamos

função seno e cosseno, lembra? “tudo que estava para baixo ia para cima”. Essa questão pergunta quando a f(x) é maior que a g(x). Na verdade, nesse caso, não vai nem precisar dos gráficos, usa só essa definição que eu te dei de módulo e pensa um pouco, faz meio que um caso genérico. A resolução usando gráficos é bem bonita, usa o que estudamos nas transformações dos gráficos de seno e cosseno, te envio na próxima semana.

Resolução sem usar gráficos, só analisando a questão: 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1|, significa que os valores de 𝑓(𝑥) nunca podem ser negativos porque tudo está dentro

do módulo! Até pode ser zero, mas nunca negativo! 𝑔(𝑥) = −|𝑥| − 1, |𝑥| nunca é negativo, mas com um menos na frete, −|𝑥| nunca será positivo! Pode

até ser zero, mas nunca positivo! E agora, acrescentando o −1, −|𝑥| − 𝟏 certamente será negativo! Ou seja, sempre abaixo do zero e nunca zero. Bom, agora, se a 𝑓(𝑥) nunca é negativa e a 𝑔(𝑥) é sempre negativa, a 𝑓(𝑥) vai ser sempre maior

que 𝑔(𝑥), em símbolos: 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) SEMPRE!, (−∞, +∞). Letra E

Resolução usando gráficos (mais útil para questões que estarão por vir) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1|: primeiro vamos fazer o gráfico da função linear 𝑦 = 𝑥 + 1, lembra? É uma reta que

passa pelos pontos: Fazendo 𝑥 = 0 e substituindo 𝑦 = 0 + 1 = 1, obtemos o ponto (0,1). Fazendo 𝑦 = 0 e substituindo 0 = 𝑥 + 1 → 𝑥 = −1, obtemos o ponto (−1,0). Podemos fazer um esboço do gráfico (1ª figura). Agora, com o gráfico de 𝑦 = 𝑥 + 1 podemos traçar o do módulo disso, 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1|, o que está

“em baixo” vai para cima, lembram? Rebate como uma dobradiça no eixo do x. (2ª figura, em azul) 𝑔(𝑥) = −|𝑥| − 1: vamos por partes.

1º) 𝑦 = 𝑥, função identidade. Para 𝑥 = 0 obtemos 𝑦 = 0, passa pela origem (0,0). Agora teremos que chutar outro número tipo x= 1, obtemos 𝑦 = 1, passa pelo ponto (1,1). Por isso se chama

função identidade! 𝑦 = 𝑥 sempre! (3ª figura) 2º) Colocando o módulo: 𝑦 = |𝑥|, o que está em baixo vai para cima! (4ª figura, em vermelho) 3º) Multiplicar a função anterior por −1: 𝑦 = −|𝑥|, rebater, o que está em cima vai para baixo e o que em baixo vai para cima. (5ª figura, em verde) 4º) Finalmente a 𝑔(𝑥), desconta 1 unidade, isto é, desce o gráfico de 1 unidade: 𝑔(𝑥) = −|𝑥| − 1.

(6ª figura, em vermelho) Agora podemos comparar as duas funções, 𝑓(𝑥) fica sempre acima da 𝑔(𝑥), ou seja, é sempre

maior que 𝑔(𝑥), em toda a extensão do eixo x: (−∞, +∞). (7ª figura) Letra E.

𝑦 = 𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1| 𝑦 = 𝑥 𝑦 = |𝑥|

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𝑦 = −|𝑥| 𝑔(𝑥) = −|𝑥| − 1 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1| e 𝑔(𝑥) = −|𝑥| − 1

Questão 43: função seno e cosseno, 2º ano EM. Quer saber o valor máximo. Lembra que o valor

máximo do seno é 1 e do cosseno é 1, mas nunca ao mesmo tempo, quando o seno vale 1 o cosseno vale 0 e vice-versa (e essa resposta tem para marcar). Resolver essa questão formalmente é muito complicado, por isso vou dar as dicas. a) Lembra do 2º ano, Lista 13? Tinha isso ó:

SENO, COSSENO E TANGENTE DA SOMA DE ARCOS: sen(𝑎 + 𝑏) = sen 𝑎 ∙ cos 𝑏 + sen 𝑏 ∙ cos 𝑎 sen(𝑎 − 𝑏) = sen 𝑎 ∙ cos 𝑏 − sen 𝑏 ∙ cos 𝑎

cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 ∙ cos 𝑏 − sen 𝑎 ∙ sen 𝑏 𝐜𝐨𝐬(𝒂 − 𝒃) = 𝐜𝐨𝐬 𝒂 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒃 + 𝐬𝐞𝐧 𝒂 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝒃

tg(𝑎 + 𝑏) =tg 𝑎+tg 𝑏

1−tg 𝑎∙tg 𝑏 tg(𝑎 + 𝑏) =

tg 𝑎−tg 𝑏

1+tg 𝑎∙tg 𝑏

b) Lembra que: sen 45° =√2

2 e cos 45° =

√2

2, isola o √2 de cada equação.

c) Na função dada, 𝑓(𝑥), substitui os √2 pelos valores achados, para deixar seno com seno e

cosseno com cosseno. d) Coloca o 2 em evidência e usa a fórmula roxa.

e) Agora é só seguir o 1º comentário que eu fiz da questão! Ficamos só com o cosseno! Observação: Espero ter ajudado com as dicas. Sempre dá para fazer meio que no achômetro, fazer algumas tentativas, tentar visualizar no gráfico, vale tudo, menos deixar em branco. Essa questão é bem intrincada, não desanima, coloquei ela aqui para dar uma sacudida e lembrar do 2º ano. Então... vamos começar, vou explicar a resolução formal, dada na dica.

Olhando para a função dada: 𝑓(𝑥) = √2 sen 𝑥 + √2 cos 𝑥, aparece sen 𝑥 e cos 𝑥, se os 2 estivessem

ao quadrado seria barbada! Usaríamos sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1, só que não! Então, temos que recorrer a tudo que sabemos que envolve seno e cosseno “misturados”, daí temos aquelas fórmulas de soma de arcos (fazia muito tempo que não precisava delas no vestibular). Eu coloquei todas elas na dica. Nessas fórmulas aparecem seno X cosseno, seno X seno e cosseno X cosseno. Temos que “forçar

a barra” pra transformar a função numa coisa parecida com as fórmulas.

Daí entra aqueles √2 ali, a gente tem que trocar ele por seno ou cosseno de algum arco que a

gente conheça e que possa facilitar a nossa vida (tem que ser o mesmo arco para os dois √2).

Nesse caso, o arco mais legar é o 45°, serve tanto pra seno quanto pra cosseno: sen 45° =√2

2 e

cos 45° =√2

2. Como a gente quer trocar só o √2 (na verdade, é o que dá pra fazer), vamos isolar

ele nas duas equações:

√𝟐 = 𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝟒𝟓° e √𝟐 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° Agora podemos escolher qual fórmula queremos usar! Na nossa transformação, só teremos sinais positivos, o que vai restringir o uso de 2 fórmulas, restando só estas duas: sen(𝑎 + 𝑏) = sen 𝑎 ∙ cos 𝑏 + sen 𝑏 ∙ cos 𝑎 𝐜𝐨𝐬(𝒂 − 𝒃) = 𝐜𝐨𝐬 𝒂 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒃 + 𝐬𝐞𝐧 𝒂 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝒃

Podemos usar qualquer uma das duas

𝑓(𝑥) = √𝟐 sen 𝑥 + √𝟐 cos 𝑥

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Para usar a azul, basta trocar: √𝟐 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° e √𝟐 = 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° Daí fica 𝑓(𝑥) = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° sen 𝑥 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° cos 𝑥, arrumando: 𝑓(𝑥) = 𝟐 sen 𝑥 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° cos 𝑥 Esse 2, podemos colocar em evidência: 𝑓(𝑥) = 𝟐(sen 𝑥 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° cos 𝑥) e agora, usar a fórmula do seno da soma, ficando: 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 45°).

Para usar a roxa, basta trocar: √𝟐 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° e √𝟐 = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° Daí fica 𝑓(𝑥) = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° sen 𝑥 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° cos 𝑥, arrumando: 𝑓(𝑥) = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° cos 𝑥 + 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° sen 𝑥 Esse 2, podemos colocar em evidência: 𝑓(𝑥) = 2(𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° cos 𝑥 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° sen 𝑥) e agora, usar a

fórmula do cosseno da diferença, ficando: 𝑓(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠(45° − 𝑥). Em qualquer dos dois casos (azul ou roxo), temos 2 multiplicando uma função seno ou cosseno: 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 45°) ou 𝑓(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠(45° − 𝑥), sabemos que o valor máximo que a função seno e a função cosseno podem assumir é +𝟏, portanto, o valor máximo da função 𝑓(𝑥) será 𝟐. 𝟏 = 𝟐.

Letra B Vestibular UFRGS – 2019

Questão 38: função seno, 2º ano EM. Esse tipo de questão foi muito trabalhada no 2º ano. Valores máximos e mínimos: basta calcular o conjunto imagem, lembra como faz? Substitui +1 e, depois, -1 no lugar do 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 + 4), isto é, tira todo o 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 + 4) dali e coloca 1 no lugar e faz

a conta (não esquece, 1º a multiplicação), depois faz o mesmo com -1. Período, daí sim, pegamos a parte de dentro do seno: (2𝑥 + 4), lembra que só importa quem está

junto do x, ou seja, 2𝑥! Iguala esse carinha com o período do seno e isola o x! Pronto!

Observação: Repara que está pedindo, nessa ordem: 1º) o valor máximo, 2º) valor mínimo, 3º) período. Analisando só as alternativas, sem fazer conta, olhando só para os 2 primeiros valores, já dá para eliminar alguma coisa, não? O 1º valor tem que ser maior que o 2º! Pensando no período, sem fazer conta, como não aparece nenhum 𝜋 junto do “x”, tem que aparecer 𝜋 no

período, certo? Feito! Pode marcar! Temos essa função: 𝑓(𝑥) = 3 − 5 sen(2𝑥 + 4), sabemos que o conjunto imagem da função seno é

o intervalo [−1,1], não importando as alterações (translações, contrações ou expansões) realizadas no eixo do x, logo, a imagem de sen(2𝑥 + 4) também é [−1,1]. Quais as alterações que o 3 e o -5 podem fazer na imagem? Substituindo -1 (valor mínimo de sen(2𝑥 + 4)) no lugar de sen(2𝑥 + 4), teremos: 3 − 5. (−1) = 3 +5 = 8

Substituindo +1 (valor máximo de sen(2𝑥 + 4)) no lugar de sen(2𝑥 + 4), teremos: 3 − 5. (1) = 3 −5 = −2

Significa que o conjunto imagem de 𝑓(𝑥) = 3 − 5 sen(2𝑥 + 4) está entre -2 e 8 (incluindo os extremos), isto é, é o intervalo [−2,8] e, portanto, seu valor máximo é 8 e o mínimo é -2.

Só com isso já daria para marcar a letra B, mas vamos resolver a 3ª parte também. Para descobrir o período da função, só o que importa é o que altera no eixo dos x, isto é, (2𝑥 + 4). O 4 só translada para esquerda, não altera o período, o 2 vai alterar a “velocidade” do x, mexendo no período. Sabemos que o período da função seno é 2𝜋, para descobrir o período de 𝑓(𝑥) basta igualar 2x

a 2𝜋 e isolar o x: 2𝑥 = 2𝜋 → 𝑥 =2𝜋

2 → 𝑥 = 𝜋, portanto, o período de 𝑓(𝑥) é 𝜋.

Letra B

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Questão 50: interpretação de gráficos, 1º ano EM e noção de porcentagem 8º ou 9º ano, acho. Tem que validar ou não cada um dos 3 itens. I- Reduzir 55% é diminuir mais da metade; II - a taxa de redução dá para ver pela inclinação da reta; III- vê se o gráfico não cresceu em nenhum momento. I- A taxa reduziu mais da metade? De 14,5 (em 2001) para 9 (em 2015) não reduziu nem a

metade. Para ter reduzido a metade teria que ser menor que 14,5 ÷ 2 = 7 𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑐𝑜 e está em 9. FALSO II – Comparando entre 2009 (11 e pouquinho) e 2011 (9 e muito) e entre 2012 (quase 10) e 2015 (9 e bem pouquinho). A redução da taxa do 1º período foi maior que do 2º? No 1º período a diferença foi de 1 e um pouquinho e no 2º a diferença não deu 1. Então a do 1º intervalo foi maior!

Dá para avaliar isso pela inclinação da reta que une os extremos de cada período. VERDADEIRO III- Entre 2011 e 2012 teve um crescimento na taxa, foi o único período de decrescimento, invalidando a afirmação. FALSO Letra B

Questão 35: esse tipo de alteração na função foi bastante estudado no 2º ano EM, com as funções seno e cosseno. O -3 translada a função no eixo dos x (o “do contra”, lembra?). Ainda tem o módulo junto! Lembra? “O que está na parte de baixo do eixo x vai para cima. E o +2 dá o translado no eixo dos y. Vai analisando cada uma dessas alterações e eliminando as alternativas.

Temos o gráfico da 𝑓(𝑥) e queremos saber como fica depois dessas alterações: |𝑓(𝑥 − 3)| + 2.

Vamos por partes. 1º) vamos analisar as alterações no eixo dos x, feitas por (𝑥 − 3), lembram que x é “do contra”,

então... ele vai arrastar o gráfico 3 unidades para direita. Você também pode pensar assim ó, quando a parte de “dentro” da função vai dar zero? (𝑥 − 3) = 0? Quando 𝑥 = 3, então desloca todo o gráfico (pelo ponto 𝑥 = 0) para o ponto 𝑥 = 3. (figura 1, em azul).

2º) alterações no eixo dos y, módulo, o que está para baixo vai para cima. (figura 2, em vermelho) 3º) O +2 faz o gráfico subir 2 unidades. (figura 3, em roxo) Letra B Observação: só analisando as alternativas, podemos excluir as letras C e E pois certamente o gráfico sofrerá alterações pelo módulo, as letras A, C e D também podem ser eliminadas já que teremos algum translado no eixo dos x. Sobra só a letra B.

𝑓(𝑥 − 3) |𝑓(𝑥 − 3)| |𝑓(𝑥 − 3)| + 2

Se ficou alguma dúvida, pergunte, por favor. Se cuide!