ANÁLISE DE UM PROBLEMA GENÉRICO DA MECÂNICA DOS

SÓLIDOS

z

y

xzz

zy

xy

yx

yy

yz

xx

xy

xyzx

xx

xz

yy

yzyx

zzzx

yz

z

x

y P

(a) (b)

dv

INCOGNITAS

• Neste problema vamos ter as seguintes incógnitas: 6 tensões, 6 deformações e 3 deslocamentos. No total serão 15 incógnitas.

Campo de deslocamentos

Campo de deformações

Campo de tensões

Equações de Equilíbrio• Três equações de equilíbrio das forças;• Três equações de equilíbrio dos momentos.• Nas equações de equilíbrio dos momentos é possível considerar a condição de simetria do

tensor de tensões. Considerando a simetria do tensor de tensões, o número de incógnitas baixa de 9, para 6.

Equilíbrio na ausência de forças de volume

(3 equações)

Relações entre deslocamentos e deformações (6 equações)

As relações acima citadas, para o caso mais geral de deformações finitas, podem ser expressas como:

Onde xi são as coordenadas da configuração deformada. Se as componentes dos deslocamentos e suas derivadas primeiras são suficientemente pequenas, seus produtos e potências são desprezados fazendo com que a expressão anterior resulte em:

As equações anteriores são válidas quando se tem presente deformações e deslocamentos infinitesimais.

j

k

i

k

i

j

j

iij x

u

x

u

x

u

x

u

2

1

i

j

j

iij x

u

x

u

2

1

Equações Constitutivas (6 equações)

• Teríamos também 6 equações que relacionam as tensões com as deformações, chamadas de relações constitutivas, que em geral podem ser expressadas como:

No caso da Lei Constitutiva ser a Elástica Linear:

klijklik C

)( klij C

• Onde Cijkl é um tensor de quarta ordem formado por constantes elásticas. A partir de considerações energéticas é possível determinar que o mesmo é simétrico e no caso de se estudar um meio isotrópico e homogêneo, determina-se duas constantes independentes que podem ser o Módulo de Elasticidade Longitudinal de Young e o coeficiente de Poisson. Associando isto a um caso uniaxial da relação constitutiva (Cijkl), se está presente a lei

de Hooke:

E

No caso de elasticidade linear e um corpo isotrópico e Homogêneo

Outro conjunto de equações, que até agora não foi mencionado, refere-se às equações de compatibilidade, as quais garantem que as equações diferenciais anteriores possam ser integradas. Elas são utilizadas para controlar o acontecimento de interpenetrações internas no material estudado.

As condições mecânicas de contorno podem ser expressas

Numero de incógnitas total por elemento diferencial é 15, (6 tensões,6 def., 3 deslocamentos)

Número de equações:

3 equações de equilíbrio ( fico com as três de força)

6 equações constitutivas ( tensão deformação)

6 relações def. deslocamentos

-----------------------------(no total 15 equações)

+ 6 equações de compatibilidade +condições de contorno.

RESUMINDO

Algumas Observações

• Se os deslocamentos e deformações são infinitesimais e a relação constitutiva é elástica linear, o sistema de equações visto é linear e sua resolução fica simplificada (Por exemplo: pode-se aplicar o princípio de superposição dos efeitos).

• Se as deformações ou os deslocamentos não são pequenos, deverão ser utilizadas às equações

• Em vez de

• Neste caso o problema é chamado de não linear geométrico.

j

k

i

k

i

j

j

iij x

u

x

u

x

u

x

u

2

1

i

j

j

iij x

u

x

u

2

1

• Muitas vezes o problema analisado é linear, mas não possibilita uma resolução de forma analítica, portanto, deve-se utilizar algum método numérico, como o caso do método dos elementos finitos ou elementos de contorno.

• É importante salientar também que pela natureza do problema a ser estudado, muitas vezes é possível simplificar o conjunto de equações, utilizando teorias aproximadas que permitem reduzir uma ou duas dimensões do problema estudado.

• Como exemplos, pode-se destacar a teoria de vigas, teoria de casca e as teorias de estados planos (estado plano de tensões, estado plano de deformações e estado axissimétrico).

Classificação Estrutural

• Elementos unidimensionais• (uma das dimensões muito maior que as outras duas)

• Modelo de treliça plana e espacial• Modelo de Pórtico plano• Modelo de Grelha Plana• Modelo de Pórtico espacial

Modelos Bidimensionais

Estado Plano de tensões (EPT)

Se diz que uma estrutura a está em estado de tensão plana se uma de suas dimensões (espessura) é muito menor que as outras duas , e sobre ela atuam unicamente cargas contidas em seu plano médio

Por definição fica estabelecido que no estado plano de tensões se tem as tensões fora do plano médio da estrutura com valor igual a zero ( z = xz = zy =0) e que as tensões restantes são independentes da coordenada z,

(x= f1(x,y); y= f2(x,y); xy= f3(x,y)). Se tem também como incógnitas, diferentes de zero, as deformações x, xy, y, z , e os deslocamentos u, v, w.

Problemas de deformação plana

Uma estrutura prismática está em estado plano de deformação se uma de suas dimensões é muito maior do que as outras duas; e sobre ela atuam unicamente cargas uniformemente distribuídas ao longo de seu comprimento - contidas em planos ortogonais ao eixo que une os centros de gravidade de suas distintas seções transversais.

As deformações fora do plano x,y serão nulas, e o deslocamento na direção z também é nulo. ( z= xz= yz=0,w=0)

Os deslocamentos u e v são independentes da ordenada z (u= g1(x,y); v= g2(x,y)) as deformações dentro do plano x,y também não dependerão

da coordenada z (x= f1(x,y); y= f2(x,y); xy= f3(x,y)).,

A partir destes valores é possível encontrar x, y, z, e xy que serão em geral diferentes de zero. Observe-se que apesar do problema ser bidimensional (depende só das coordenadas nas direções x e y) tem-se incógnitas fora do plano como é o caso de z.

Sólidos Axissimétricos

Se consideram sólidos axissimétricos aqueles em que sua geometria e propriedades mecânicas são independentes da coordenada circunferencial . Ainda que o comportamento de tais sólidos é tridimensional, seu estudo matemático é bidimensional já que pode ser efetuado utilizando variáveis que dependem unicamente de duas coordenadas cartesianas.

Se as cargas exteriores são também de revolução, o deslocamento de um ponto da estrutura considerada como um sólido de revolução tem só componentes em direções radiais (u) e axiais (w).

• Modelo de Cascas

Uma das dimensões muito menor que as outras duas

Cargas em sem restrição

Modelos simplificados

-Modelo de placas

-Modelo de membranas

• Modelo tridimensional