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ANÁLISE DE UM SISTEMA DE VIBRAÇÃO COM TRÊS GRAUS DE
LIBERDADE: COMPARAÇÃO ENTRE TRÊS MÉTODOS DE SOLUÇÃO
Vitor Massao Nishi Ueta
Projeto de Graduação apresentado ao curso de
Engenharia Naval e Oceânica da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Engenheiro Naval e
Oceânico.
Orientador: Ulisses Admar Barbosa Vicente
Monteiro
Rio de Janeiro
MARÇO DE 2015
iii
Ueta, Vitor Massao Nishi
Explorar três soluções analíticas (Problema de
Autovalor, Função de Transferência (Laplace) e FRF
(Função de Resposta em Frequência) para o problema
de vibração com três Graus de liberdade/ Vitor Massao
Nishi Ueta. – Rio de Janeiro: UFRJ, 2015.
XII, 48 p.: il.; 29, 7 cm.
Orientador: Ulisses A. Monteiro
Projeto de Graduação – UFRJ/ Departamento de
Engenharia Naval e Oceânica, 2015.
Referências Bibliográficas: p. 47.
1.Função de Transferência. 2. FRF. 3. Análise
Modal. I. A. Monteiro, Ulisses . II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica,
Departamento de Engenharia Naval e Oceânica. III.
Título.
iv
Resumo do Projeto de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia
Naval e Oceânica da Escola Politécnica, UFRJ, como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Bacharel em Engenharia Naval e Oceânica.
ANÁLISE DE UM SISTEMA DE VIBRAÇÃO COM TRÊS GRAUS DE
LIBERDADE: COMPARAÇÃO ENTRE TRÊS MÉTODOS DE SOLUÇÃO
Vitor Massao Nishi Ueta
Março/2015
Orientador: Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro
Curso: Engenharia Naval e Oceânica
O presente projeto de conclusão de curso propõe explorar três soluções analíticas para o
problema de vibração de sistemas com três graus de liberdade: Análise Modal, Função de
Transferência (Laplace) e FRF (Função de Resposta em Frequência). A seleção do tipo
do modelo para o amortecimento e a influência deste na análise do sistema dinâmico
foram estudados. Os métodos explorados mostraram particularidades com relação a como
trabalhar com amortecimento. Foi utilizada a ferramenta computacional MATLAB para
se obter as respostas dinâmicas para os casos de estudo.
v
Abstract of the Undergraduate Project presented to the Department of Naval and
Oceanic Engineering of the Polytechnic School as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Bachelor in Naval and Oceanic Engineering (B.Sc.)
ANALYSIS OF A THREE DEGREES OF FREEDOM VIBRATION SYSTEM:
COMPARISON OF THREE SOLUTION METHODS
Vitor Massao Nishi Ueta
March/2015
Advisor: Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro
Department: Naval and Ocean Engineering
This project explores three analytical solutions (Modal Analysis, Transfer Function
(Laplace) and FRF (Frequency Response Function) for the vibration problem with three
degrees of freedom. The damping is not simple to define and the influence in the system
motion is subject of much study. The used methods showed particularities with respect to
the damping approach. It was used the computational tool MATLAB to obtain solutions.
vi
Sumário
1 Introdução.................................................................................................................. 1
2 Sistema de Vibração com Um Grau de Liberdade .................................................... 4
2.1 Função de Transferência .................................................................................... 4
2.2 Função Resposta em Frequência (FRF) ............................................................. 6
3 Sistema de Vibração com Três graus de Liberdade ................................................ 13
3.1 Função de Transferência .................................................................................. 13
3.1.1 Pólos ......................................................................................................... 17
3.1.2 Zeros ......................................................................................................... 18
3.1.3 Modelo Considerando-se Amortecimento ................................................ 19
3.2 Função Resposta em Frequência ...................................................................... 25
4 Sistema de Vibração com Três Graus de Liberdade: Solução Utilizando-se Análise
Modal .............................................................................................................................. 33
4.1 Introdução à Análise Modal ............................................................................. 33
4.2 Desacoplamento do Sistema Físico ................................................................. 34
4.2.1 Autovalores ............................................................................................... 35
4.2.2 Autovetores ............................................................................................... 36
4.2.3 Matriz Modal ............................................................................................ 38
4.3 Relação Entre Coordenadas ............................................................................. 42
4.3.1 Coordenadas Físicas ................................................................................. 42
4.3.2 Coordenadas Principais ............................................................................ 43
4.4 Amortecimento em Sistemas com Modos Principais ...................................... 44
4.4.1 Condições Necessárias para a Existência de Modos Principais de Vibração
no Sistema com Amortecimento ............................................................................. 44
5 Conclusões e Recomendações ................................................................................. 46
6 Bibliografia.............................................................................................................. 48
vii
Sumário de Figuras
Figura 1.1- Diagrama da metodologia .............................................................................. 2
Figura 2.1 - Sistema de um grau de liberdade .................................................................. 4
Figura 2.2 – Domínio de Laplace ..................................................................................... 6
Figura 2.3 - Domínio da frequência.................................................................................. 7
Figura 2.4 - Resposta em frequência para diferentes valores de amortecimento ........... 10
Figura 2.5 - Fase da resposta para diferentes valores de amortecimento ....................... 11
Figura 2.6 – Resposta em frequência do teste realizado no laboratório LEDAV .......... 12
Figura 2.7 - Fase de resposta .......................................................................................... 12
Figura 3.1 - Sistema com três graus de liberdade ........................................................... 13
Figura 3.2 - Funções de transferência ............................................................................. 14
Figura 3.3 - Matriz de função de transferência ............................................................... 15
Figura 3.4 - Sistema com três graus de liberdade sem amortecimento .......................... 16
Figura 3.5 - Matriz de Pólos e Zeros .............................................................................. 18
Figura 3.6 - Pólos e Zeros ............................................................................................... 19
Figura 3.7 - Pólos e Zeros para sistema com amortecimento ......................................... 21
Figura 3.8 - Pólos e Zeros para vários valores de amortecimento .................................. 22
Figura 3.9 - Significado físico da variação do amortecimento ....................................... 23
Figura 3.10 - Pólos para um sistema .............................................................................. 24
Figura 3.11 - Frequência de ressonância para cada pólo ................................................ 24
Figura 3.12 - Z11 e Z33 .................................................................................................. 28
Figura 3.13 - Z21, Z12, Z23 e Z32 ................................................................................. 29
Figura 3.14 - Z31 e Z13 .................................................................................................. 30
Figura 3.15 - Z22 ............................................................................................................ 31
Figura 3.16 - Resposta em Frequência ........................................................................... 32
Figura 4.1 - Sistema com três graus de liberdade sem amortecimento .......................... 34
Figura 4.2 - Primeiro Modo ............................................................................................ 37
Figura 4.3 - Segundo Modo ............................................................................................ 37
Figura 4.4 - Terceiro Modo ............................................................................................ 38
Figura 4.5 - Diagrama de Análise Modal ....................................................................... 39
Figura 4.6 - Resumo das coordenadas ............................................................................ 43
1
1 Introdução
O presente projeto de graduação visa fornecer o entendimento de sistemas dinâmicos com
três graus de liberdade utilizando-se três métodos de análise para o sistema definido. A
influência do amortecimento será intensivamente discutida ao longo do texto e a
conveniência de cada método de análise será comentada.
A resposta de vibração de um sistema com n graus de liberdade pode parecer algo muito
complexo de ser analisado devido à natureza acoplada do sistema, que será discutida
posteriormente, mas, conhecendo bem a resposta de vibração e os conceitos teóricos para
um sistema massa mola amortecedor, os métodos de análise para o caso do sistema com
n graus de liberdade caminham no sentido de desacoplar o problema e fazer a análise para
cada grau de liberdade individualmente. Será demonstrada a solução para sistemas com
três graus de liberdade para simplificação do entendimento, porém vale lembrar que a
metodologia apresentada vale igualmente para um sistema com n graus de liberdade.
As propriedades de um sistema consistem nas propriedades de massa e inércia, rigidez e
amortecimento. As propriedades de massa, inércia e rigidez podem ser facilmente
determinadas pelo tipo de material e geometria do sistema. O amortecimento é uma
grandeza que só pode ser quantificada.
A seguir foi feito um resumo da metodologia baseada na referência [1].
O sistema acoplado pode ser resolvido utilizando-se a transformada de Laplace para uma
nova coordenada e analisado diretamente o domínio da frequência.
A Figura 1.1 mostra o diagrama da metodologia para a análise usando-se os modos
normais de vibração para estruturas pouco amortecidas. Inicialmente são montadas as
equações acopladas de movimento e resolvidas para o problema de autovalor (frequências
naturais do sistema) e autovetores (modos de vibração).
2
Figura 1.1- Diagrama da metodologia
Para resolver as respostas no domínio da frequência e do tempo, é necessário transformar
o sistema de coordenadas do modelo para um novo sistema de coordenadas, o sistema
modal ou de coordenadas principais, operando nas equações originais com a matriz de
autovetores. As equações acopladas não amortecidas originais de movimento são
transformadas em equações desacopladas não amortecidas para o sistema de coordenadas
modais. Cada equação desacoplada representa o movimento de um sistema com apenas
um grau de liberdade, cuja solução é de relativa facilidade de obtenção.
É neste passo que o amortecimento proporcional é aplicado. É trivial encontrar as
respostas dos modos de vibração para as equações desacopladas considerando-se as
condições de excitação, porque cada equação é a equação de movimento de um sistema
com um único grau de liberdade. As respostas desejadas são então transformadas
novamente para o sistema de coordenadas físicas, de novo utilizando-se a matriz de
autovetores para a conversão, obtendo-se a solução nas coordenadas físicas originais.
3
A sequência a análise modal de um sistema complicado é: (1) a transformação para um
sistema de coordenadas mais simples, (2) a resolução de equações neste sistema de
coordenadas, (3) retorno ao sistema de coordenadas original. É análoga à utilização de
transformadas de Laplace para resolver equações diferenciais. Em Laplace a equação
diferencial original (1) é transformada para o domínio "s", (2) a solução algébrica é então
obtida e (3) transformada para o sistema de coordenadas original, usando-se uma
transformada inversa de Laplace.
A vantagem da solução modal é o entendimento dos modos de vibração e como cada
modo contribui para a solução total.
4
2 Sistema de Vibração com Um Grau de
Liberdade
O presente capítulo foi escrito baseado em um resumo feito a partir da referência [1],
complementado com experimentos e análises de resultados.
O sistema ilustrado representa o caso mais simples de movimento com um grau de
liberdade (z), considerando-se uma massa m conectada a uma mola com rigidez k e
amortecimento c.
Figura 2.1 - Sistema de um grau de liberdade
A equação do movimento é representada como sendo:
2.1 Função de Transferência
"O método da transformada de Laplace pode ser usado para determinar a resposta de um
sistema a qualquer tipo de excitação, incluindo os tipos harmônicos e periódicos. Esse
método pode ser usado para a solução eficiente de equações diferenciais lineares, em
particular as que têm coeficientes constantes. Ele permite a conversão de equações
diferenciais em equações algébricas, que são mais fáceis de manipular. As principais
vantagens do método são que ele pode tratar funções descontínuas sem qualquer
dificuldade particular levando automaticamente em conta as condições iniciais." [2].
5
Usando-se a transformada de Laplace para a equação de aceleração da massa, obtemos:
Onde Z(0) e �̇�(0) são as condições iniciais de deslocamento e velocidade do sistema.
Visto que as condições iniciais somente influenciam a resposta por um período curto de
tempo, o foco é dado para a solução particular do sistema, que considera nulos esses
valore. Temos então:
Tem-se então que a equação do movimento se torna:
A transformada de Laplace é uma mudança de base do sistema físico para um outro
domínio, s. O valor de s pode ser representado pelo número imaginário:
Onde:
=c/ccr é o fator de amortecimento dado pela relação entre o amortecimento crítico, ccr,
em que ccr = 2√𝑘𝑚.
𝑛 = √𝑘
𝑚, é a frequência natural do sistema.
j é √−1.
6
Figura 2.2 – Domínio de Laplace
A função de transferência é definida como a magnitude da resposta a uma força
excitadora, ambas no domínio de Laplace, s.
A função de transferência é:
que equivale a:
2.2 Função Resposta em Frequência (FRF)
A resposta em frequência (FRF) é um caso particular da transformada de Laplace onde é
considerada apenas a parte imaginária do domínio s. Substituindo-se jω por s para calcular
a resposta em frequência.
7
Figura 2.3 - Domínio da frequência
A equação de resposta em frequência mostra como a razão (z/F) varia em função da
frequência, ω. A razão é um número complexo que tem algumas propriedades importantes
em relação à frequência excitante (ω) e à frequência natural do sistema (ω𝑛).
8
Para frequências muito baixas em relação à frequência de ressonância, ω<<ω𝑛, temos:
Visto que o valor da resposta para qualquer frequência é um número complexo, podemos
tomar a magnitude (ganho) e fase como:
Dessa forma, o ganho em baixa frequência é uma constante (1/k) e a fase é 0°, ou seja, a
resposta está em fase com a força excitadora.
Para altas frequências, ω>>ω𝑛, a transformação é dada por:
Com magnitude e fase igual a:
Em ressonância, ω=ω𝑛, a função de tranferência é dada por:
9
Com ganho, ou magnitude, e fase dadas por:
O ganho em ressonância equivale ao ganho em baixa frequência, 1/k, dividido por 2.
Visto que é tipicamente um número pequeno, aproximadamente 1,5% a 2% para
estruturas navais, a magnitude é máxima próxima da frequência natural, ω𝑛, com fase de
-90°.
Vale ressaltar que o ganho, ou resposta à força, é máximo na frequência de ressonância,
ω𝑑 , que leva em consideração o amortecimento do sistema. Ao longo do texto a
frequência natural é tratada como a frequência de ressonância do sistema, ao menos que
seja explicitado o contrário, visto que os exemplos utilizam amortecimento zero ou tratam
de amortecimentos muito baixos, resultando em ω𝑛 ω𝑑 . A frequência de maior
resposta, frequência natural amortecida, é dada por:
Para efeitos didáticos são mostrados os resultados de magnitude de resposta, ambos em
função da frequência para o caso mais simples em que m=k=1. Dessa forma tem-se que
ω𝑛=1 rad/s.
Utilizando o software MATLAB e o código sdofxfer.m fornecido pela referência [1],
obtêm-se os gráficos:
10
Figura 2.4 - Resposta em frequência para diferentes valores de amortecimento
Observa-se claramente na Figura 2.4 que o pico de ressonância ocorre quando a
frequência da força excitadora é igual à frequência de ressonância do sistema. Em baixa
frequência, a magnitude plotada é igual a 1/k=1/1=1. As curvas para os demais valores
de amortecimentos plotados, de a possuem magnitudeem baixa frequência,
e as amplitudes em altas frequências tendem a zero visto que a magnitude é 1/(mω2).
Essas observações mostram que o amortecimento influencia consideravelmente apenas
nas frequências próximas à frequência natural do sistema.
11
Figura 2.5 - Fase da resposta para diferentes valores de amortecimento
Da figura 2.5, observamos que na ressonância a fase para qualquer valor de
amortecimento é de 90°. Em baixas frequências a fase se aproxima de 0° e em altas
frequências se aproxima a 180°.
Um teste de vibração unidimensional foi realizado no laboratório LEDAV da
Universidade Federal do Rio de Janeiro e foram obtidos os seguintes dados:
m=0,990kg
k=26420,5 N/m
ω𝑛 =163,36 rad/s
=1,34%
Modificando o código para os dados citados, executou-se o programa para se obter a
resposta em frequência do sistema.
12
Figura 2.6 – Resposta em frequência do teste realizado no laboratório LEDAV
Figura 2.7 - Fase de resposta
Pode-se observar que a magnitude máxima de resposta à força excitadora ocorre na
frequência natural do sistema. Antes da frequência natural a resposta está em fase com a
força, na frequência natural a resposta está atrasada de 90° e depois tem fase de -180°.
13
3 Sistema de Vibração com Três graus de
Liberdade
O presente capítulo foi escrito baseado em um resumo feito a partir da referência [1],
complementado com experimentos e análises de resultados.
3.1 Função de Transferência
Figura 3.1 - Sistema com três graus de liberdade
A Figura 3.1 mostra um sistema com três graus de liberdade (Z1, Z2 e Z3), três massas
(m1, m2 e m3), duas molas (K1 e K2) e dois amortecedores (C1 e C2).
Modelando o problema na forma matricial, temos o sistema:
Usando a transformada de Laplace para cada termo, obtém-se:
14
Rearranjando-se o sistema, obtém-se:
Que permite resolver as nove possíveis funções de transferência para todas as
combinações de graus de liberdade, onde a força é aplicada e onde os deslocamentos são
tomados. A solução para as funções de transferência de um sistema com mais de dois
graus de liberdade não é uma tarefa simples, por isso, programas de álgebra simbólica,
como Mathematica, Maple ou MATLAB, podem ser usados.
Figura 3.2 - Funções de transferência
Os seguintes resultados são apresentados após utilização do MATLAB.
15
onde:
Note-se que todas as funções de transferência têm esse mesmo denominador comum,
Den, chamado de Equação característica.
Um método conveniente de organizar as funções de transferência é organizá-las na forma
matricial chamada de matriz de função de transferência:
Figura 3.3 - Matriz de função de transferência
16
Onde:
Para facilitar a compreensão, considera-se um sistema sem amortecimento com massas
iguais e molas iguais.
Figura 3.4 - Sistema com três graus de liberdade sem amortecimento
O sistema fica montado na forma de matriz de função de transferência da seguinte forma:
Aborda-se somente sistemas do caso de Single Input Single Output (SISO). Isso significa
que será aplicada apenas uma força, F1, F2 ou F3, e será analisado o deslocamento de cada
grau de liberdade separadamente.
Pode-se observar que há apenas quatro funções de transferência distintas.
17
3.1.1 Pólos
Os pólos, autovalores, ou frequências de ressonância, são as raízes da equação
característica, o denominador comum das funções de transferência. Pólos mostram as
frequências onde o sistema irá amplificar a magnitude da resposta, e é uma característica
básica do sistema. Os pólos de um sistema dependem apenas da distribuição de massa,
rigidez, e de amortecimento em todo o sistema, e não onde as forças são aplicadas ou
onde são medidos os deslocamentos. Fazendo a equação característica igual a zero, temos:
Temos a solução trivial s²=0:
S1,2 =0
Fazendo o termo entre parênteses igual a zero:
Observação: Os resultados finais consideram m=1, k=1.
18
3.1.2 Zeros
Os zeros de cada função de transferência SISO são definidos pelas raízes de seu
numerador. Zeros mostram as frequências onde o sistema vai atenuar as respostas.
Ao contrário dos pólos, os quais são uma característica do sistema e são os mesmos para
cada função de transferência, os zeros podem ser diferentes para cada função de
transferência e algumas funções de transferência podem não ter zeros.
Por exemplo, para os zeros da função de transferência Z1 / F1:
O mesmo raciocínio é feito para as demais funções de transferência.
A matriz de Pólos e Zeros para o sistema não amortecido e m=k=1 é mostrada a seguir:
Figura 3.5 - Matriz de Pólos e Zeros
Observe que os pólos estão no denominador comum a todas as funções de transferência
e os zeros estão mostrados no numerador.
Usando o código tdofpz3x3.m da referência [1] obtemos os valores dos pólos e zeros nos
eixos real e imaginário, sendo os pólos representados por asterisco e os zeros por círculos.
19
Figura 3.6 - Pólos e Zeros
A primeira coisa a se notar é que todos eles têm os mesmos pólos. O modo de corpo rígido
(frequência de ressonância = 0 Hz) é evidente pelo par de zeros na origem, ± 0j. Note
que com zero amortecimento, todos os pólos e zeros estão no eixo imaginário, indicando
que as partes reais dos seus valores complexos são zero e que não há amortecimento.
3.1.3 Modelo Considerando-se Amortecimento
Para efeito de comparação, consideram-se C1 = C2 = 0,1 para mostrar a característica dos
polos e zeros.
Pólos =
0.0000 + 0.0000j
0.0000 + 0.0000j
-0.1500 + 1.7255j
20
-0.1500 - 1.7255j
-0.0500 + 0.9987j
-0.0500 - 0.9987j
z11 =
-0.1309 + 1.6127j
-0.1309 - 1.6127j
-0.0191 + 0.6177j
-0.0191 - 0.6177j
z21 =
-10.0000 + 0.0000j
-0.0500 + 0.9987j
-0.0500 - 0.9987j
z31 =
-10.0000 + 0.0000j
-10.0000 - 0.0000j
z22 =
-0.0500 + 0.9987j
-0.0500 - 0.9987j
-0.0500 + 0.9987j
-0.0500 - 0.9987j
21
Figura 3.7 - Pólos e Zeros para sistema com amortecimento
Várias observações podem ser feitas sobre os pólos e zeros acima. Em primeiro lugar,
todos os pólos, com exceção de dois pólos de corpo rígido que estão na origem, estão para
a esquerda do eixo imaginário, o que indica que o sistema tem amortecimento. Note que
há vários novos zeros. A função de transferência Z21 agora tem um zero real em -10.0
para além dos dois zeros complexos. A função de transferência Z31 tem dois zeros reais a
-10, enquanto que para o caso sem amortecimento não tinha zeros. Estes zeros extras não
aparecem na Figura 3.7 por causa da escala.
Usando a função tdofpz3x3_rlocus.m, também fornecido pela referência [1], plotamos
polos e zeros para uma ampla faixa de valores de amortecimento para C1 e C2 para a
função de transferência Z11.
22
Figura 3.8 - Pólos e Zeros para vários valores de amortecimento
O gráfico mostra como a mudança de um dos parâmetros do sistema pode modificar as
raízes da equação característica do sistema (frequências de ressonância). O método de
Locus é um método poderoso de análise e concepção de estabilidade e resposta transitória
de um sistema. Para um sistema de vibração, o lugar geométrico das raízes pode ser usado
para descrever qualitativamente o desempenho do sistema alterando vários parâmetros,
tais como a massa, constante de amortecimento, ou constante de mola. Estuda-se o
comportamento do sistema através da variação de um parâmetro de cada vez, entre a
relação de amortecimento, constante de mola e massa, em termos da localização das suas
raízes características no plano s.
Com o amortecimento aumentando a partir de zero, os pólos e zeros (exceto os dois pólos
na origem) começam a mover-se para a esquerda, para fora do eixo imaginário. Os pólos
e zeros movem-se a diferentes taxas quando o amortecimento é aumentado.
23
Pode-se observar que, mantendo-se valores fixos de rigidez e massa os pólos se movem
como um vetor de módulo fixo equivalente a uma das frequências naturais do sistema,
𝑛 . A frequência de ressonância, 𝑑 , representa a frequência de maior resposta à força
excitadora e é representado como a projeção do pólo no eixo imaginário. Quando o
sistema é não amortecido, temos o caso em que a frequência de ressonância é a própria
frequência natural.
Figura 3.9 - Significado físico da variação do amortecimento
Pode-se observar que o amortecimento para cada pólo pode ser obtido pelo seno do
ângulo formado pelo vetor do pólo e o eixo imaginário.
24
Para um sistema com n graus de liberdade, sabe-se que existem n frequências naturais ou
pólos, como mostrado nas figuras abaixo [2].
Figura 3.10 - Pólos para um sistema
Figura 3.11 - Frequência de ressonância para cada pólo
Reescrevendo os pólos com valores do eixo imaginário para o exemplo apresentado de
C1 = C2 = 0,1, tem-se:
Pólo 1: 0.0000 + 0.0000j
Pólo 2: -0.1500 + 1.7255j
Pólo 3: -0.0500 + 0.9987j
25
Observa-se que, para um mesmo sistema massa-mola-amortecedor, obtêm-se valores
diferentes de amortecimento relativo, , para cada pólo. Essa é uma observação muito
importante visto que, na prática de engenharia naval, o amortecimento é obtido
experimentalmente, pois as constantes de amortecimento não são conhecidas. Porém,
visto o pequeno valor do amortecimento em estruturas típicas navais, uma análise
considerando-se o sistema não amortecido pode ser feita com razoável precisão.
A análise por função de transferência requer que cada componente de amortecimento,
tenham suas magnitudes definidas.
3.2 Função Resposta em Frequência
Como já foi mencionado no capítulo dois, a função de resposta em frequência é o caso
particular da função de transferência em que é analisado apenas o eixo imaginário do
domínio s, que possuí, tanto um valor real, quanto imaginário da função de transferência.
Como estamos interessados na resposta em frequência, transformamos a matriz de função
de transferência fazendo s=j.
A seguir, analisa-se a função da resposta em frequência para baixas e altas frequências,
substituindo 𝑛2
=k/m. Considera-se o sistema não amortecido com massas e molas iguais.
Fazendo-se s =j
26
27
Considerando-se apenas os valores positivos do eixo imaginário temos abaixo os pólos
comuns a todas as funções de resposta em frequência:
0.0000 + 0.0000j
0.0000 + 1.7321j
0.0000 + 1.000j
Obtêm-se as frequências naturais do sistema a partir dos valores imaginários:
1 =0 rad/s
2 =1 rad/s
3 =1.7321 rad/s
Tendo em vista o comportamento das funções de resposta em frequência, os gráficos das
respostas são plotados usando o código tdofxfer.m [1], e as análises da resposta em
frequência podem ser feitas individualmente para cada grau de liberdade, simplificando
o problema, dado o conhecimento do movimento para um grau de liberdade.
A magnitude é dada em escala logarítmica para melhor visualização dos picos. Os picos
de máximo e mínimo não vão a +∞ e -∞ por arredondamento numérico.
28
Para Z11 e Z33, os zeros são dados por:
-0.0000 + 1.6180j
-0.0000 - 1.6180j
-0.0000 + 0.6180j
-0.0000 - 0.6180j
Figura 3.12 - Z11 e Z33
Observa-se que ω1 =0 rad/s já é uma frequência natural, por isso a resposta começa
defasada de 180°. Quando a ω=0,618 rad/s a magnitude é mínima e a resposta volta a
ficar em fase com a força. Quando ω = ω2 =1 rad/s o sistema amplifica a resposta por
ser a segunda frequência natural e a fase é de 90°. Logo após a segunda frequência natural
o sistema volta à fase de 180° até encontrar um novo zero, ω=1,618 rad/s, voltando a ter
resposta mínima e a resposta volta a ficar em fase com a força. Quando a frequência de
excitação atinge a terceira frequência natural, ω3 =1.7321 rad/s, a resposta atinge
novamente o pico máximo e volta a ter fase de 180° após o pico.
29
Para Z21, Z12, Z23 e Z32 os zeros são dados por:
0.0000 + 1.0000j
0.0000 - 1.0000j
Figura 3.13 - Z21, Z12, Z23 e Z32
Pode-se observar que o único zero possui o mesmo valor da segunda frequência natural,
ω2 =1 rad/s, anulando os efeitos de picos máximos e mínimos respectivamente ao
pólo e zero.
30
Para Z31 e Z13, não há zeros.
Figura 3.14 - Z31 e Z13
Observa-se que a resposta não apresenta picos mínimos. Há apenas picos máximos
referentes às frequências naturais.
31
Para Z22 possui os zeros:
0.0000 + 1.0000j
0.0000 - 1.0000j
-0.0000 + 1.0000j
-0.0000 - 1.0000j
Figura 3.15 - Z22
O caso é parecido com as funções de resposta em frequência Z21, Z12, Z23 e Z32. Porém,
observando-se o problema de zero dividido por zero, por L'Hôpital, tem-se que o
denominador zera antes do denominador, o que configura um pico de mínimo em ω2 =1
rad/s, ainda que sendo uma frequência natural.
32
Os resultados anteriores são mostrados juntos em magnitude logarítmica:
Figura 3.16 - Resposta em Frequência
33
4 Sistema de Vibração com Três Graus de
Liberdade: Solução Utilizando-se Análise
Modal
O presente capítulo foi escrito baseado em um resumo feito da referência [1].
4.1 Introdução à Análise Modal
Estruturas levemente amortecidas são tipicamente analisados com o método dos "modos
normais", que é o assunto deste capítulo. A chave para a análise no modo normal é
desenvolver ferramentas que permitam reconstruir a resposta global do sistema como uma
sobreposição das respostas dos diferentes modos do sistema. Na análise, o método modal
permite substituir as n equações diferenciais acopladas por n equações desacopladas, onde
cada equação desacoplada representa o movimento de sistema com um grau de liberdade.
Se as frequências naturais e os modos estiverem disponíveis para o sistema, então fica
fácil visualizar o movimento do sistema em cada um dos modos, o que representa o
primeiro passo para se compreender como modificar o sistema para alterar as suas
características.
Resumindo-se o método de análise modal de análise de sistemas mecânicos lineares e
seus benefícios, tem-se:
1) Resolver o problema de autovalores sem amortecimento, que identifica as frequências
de naturais e os correspondentes modos de vibração (autovalores e autovetores).
2) Uso dos autovetores para desacoplar ou diagonalizar o conjunto original de equações
acopladas, permitindo a resolução dos n sistemas desacoplados com um grau de liberdade.
3) Cálculo da a contribuição de cada um dos modos para a resposta global. Isto também
permite que se reduza o tamanho do problema, eliminando modos que não podem ser
excitados e / ou modos que não têm respostas no grau de liberdade em questão. Além
disso, os modos de altas frequências que têm pequena contribuição para o sistema em
frequências mais baixas podem ser eliminados ou apenas considerados de forma
aproximada, reduzindo-se ainda mais o tamanho do sistema a ser analisado.
4) Montagem da equação matricial do sistema, A. Montagem das matrizes de entrada e
saída, B e C, usando-se autovetores adequados. Problemas no domínio da frequência e de
34
resposta transiente forçadas podem ser resolvidos neste momento. Se autovetores
completos estão disponíveis, os problemas iniciais de condição transiente também podem
ser resolvidos. Para sistemas levemente amortecidos, o amortecimento proporcional pode
ser utilizado, permitindo ainda que as equações possam ser desacopladas.
4.2 Desacoplamento do Sistema Físico
Pode-se começar por escrever as equações homogêneas (não-forçadas) e não amortecidas
do movimento para o modelo na Figura 4.1. Então, vamos definir e resolver o problema
de autovalores.
Figura 4.1 - Sistema com três graus de liberdade sem amortecimento
Definição de modo principal (normal):
Uma vez que o sistema é conservativo (sem amortecimento), os modos normais de
vibração vão existir. Ter modos normais significa que em determinadas frequências todos
os pontos do sistema vão vibrar na mesma frequência e em fase, ou seja, todos os pontos
do sistema irão atingir os seus deslocamentos mínimos e máximos no mesmo tempo.
Modos normais podem ser expressos como:
onde:
Zi = vetor deslocamento para todos os graus de liberdade na frequência i
35
Zmi = o i-ésimo autovetor
i = frequência modal i
i = ângulo de fase arbitrário
4.2.1 Autovalores
Os autovalores são os valores não triviais que validam a equação, no caso são os pólos ou
frequências de ressonância (modais) ou naturais do sistema.
Diferenciando-se duas vezes no tempo para se encontrar o vetor aceleração, tem-se:
Da equação do movimento obtém-se:
Cancelando-se os senos:
Para a solução não trivial o determinante do termo entre parênteses deve ser zero.
O que leva ao determinante
36
Cujas raízes fornecem os seguintes autovalores:
Para cada um dos três autovalores, existe uma vetor Zi, que dá a forma (autovetor) do
modo para a frequência de vibração i.
4.2.2 Autovetores
Um autovetor representa a proporção entre os deslocamentos dos graus de liberdade para
cada frequência de ressonância ou autovalor i.
Para se obter os autovetores do sistema, qualquer um dos graus de liberdade, digamos Z1,
é selecionado como uma referência.
Multiplicando-se a primeira e segunda linha da matriz, tem-se:
Rearranjando-se para Z2/Z1 e Z3/Z1 :
37
Tomando-se sempre Z1 = 1, e assumindo-se m1=m2=m=1 e k1=k2=k=1 para
simplificação de cálculos, tem-se:
Para o primeiro modo:
Define-se então, o autovetor para o primeiro modo como:
Figura 4.2 - Primeiro Modo
De forma análoga são definidos os autovetores para o segundo e terceiro modo:
Figura 4.3 - Segundo Modo
38
Figura 4.4 - Terceiro Modo
4.2.3 Matriz Modal
A matriz modal é uma matriz (n x n) com colunas correspondentes aos autovetores,
começando com o primeiro modo na primeira coluna e assim por diante:
Para o exemplo em questão tem-se:
A fim de facilitar a solução para as respostas transientes ou de frequência, é útil
transformar as n equações diferenciais de segunda ordem acopladas em n equações
diferenciais de segunda ordem desacopladas através da transformação física do sistema
de coordenadas em um outro sistema de coordenadas denominado “coordenadas
principais”. Em termos de álgebra linear, a transformação das coordenadas físicas em
coordenadas principais é conhecida como uma mudança de base. Há muitas opções para
a mudança de base, mas pode-se mostrar que, quando autovetores são utilizados, a
39
transformação do sistema para coordenadas principais tem um significado físico; cada um
dos sistemas desacoplados, com um grau de liberdade, representa o movimento de
sistemas com um grau de liberdade. As n equações desacopladas do sistema principal de
coordenadas podem ser resolvidas para se obterem as respostas do sistema de
coordenadas principais, utilizando-se soluções conhecidas para um único grau de
liberdade. As n-respostas no sistema principal de coordenadas podem então ser
transformadas novamente para o sistema físico de coordenadas para fornecer a resposta
real em coordenadas físicas. Este procedimento é mostrado esquematicamente na Figura
4.5.
Figura 4.5 - Diagrama de Análise Modal
Já foi demonstrado como obter os autovalores e autovetores. Reescrevendo-se o problema
do sistema a partir da equação:
e rearranjando e reescrevendo a equação para os modos "i" e "j":
(1)
(2)
40
e pré-multiplicando-se (1) pela transposta ZmjT , tem-se:
(3)
Tomsndo-se a transposta de (2) e usando-se a manipulação algébrica:
Obtem-se:
Como o sistema foi modelado de forma que:
Tem-se que:
Multiplicando-se ambos lados da equação por Zmi
(4)
41
Subtraindo-se (4) de (3):
Sabendo-se que as frequências são distintas para dois modos diferentes, i≠j, obtem-se os
resultados:
(5)
Observando-se o tamanho das matrizes:
Pode-se reescrever a equação (5) como:
O que significa que todos os termos não diagonais da matriz de massa na coordenada
principal são nulos. Para i=j:
E assim, obtém-se a matriz diagonal de massa na coordenada principal.
A matriz de rigidez, K, é normalizada de maneira análoga.
Nesse sentido, as matrizes de massa e rigidez são diagonalizadas para as coordenadas
principais.
42
O sistema pode ser apresentado da seguinte forma:
Os autovetores só são conhecidos como as razões de deslocamentos, e não em magnitudes
absolutas, podendo-se escolher a forma de normalizá-los. Até agora, ao calcular
autovetores, tem-se arbitrariamente definida a amplitude do primeiro grau de liberdade
como 1.
4.3 Relação Entre Coordenadas
4.3.1 Coordenadas Físicas
Autovalores ou frequências naturais:
43
Os autovetores podem ser normalizados com respeito à massa, (método não demonstrado
mas pode ser encontrado na referência [1]), como:
4.3.2 Coordenadas Principais
Equações do movimento
Figura 4.6 - Resumo das coordenadas
44
As variáveis em coordenadas físicas são as posições, acelerações e velocidades das
massas. As variáveis em coordenadas principais são os deslocamentos e velocidades e
acelerações de cada modo de vibração.
4.4 Amortecimento em Sistemas com Modos
Principais
Discute-se nesta seção as condições que determinam se uma matriz de amortecimento
pode ser diagonalizada, e os critérios que permitem diagonalizar as equações amortecidas.
Em geral, uma matriz de amortecimento arbitrária não pode ser diagonalizada pelos
autovetores não amortecidos, como as matrizes de massa e rigidez podem. Isto leva à
utilização do chamado "amortecimento proporcional", na maioria das simulações
utilizadas em elementos finitos.
Se um sistema mecânico é montado com um elemento específico de amortecimento
viscoso, por exemplo, um amortecedor hidráulico, então esse elemento pode ser
adicionado ao sistema como um amortecedor viscoso. O sistema resultante é linear, mas
provavelmente não apresentam modos normais como discutido. Em geral, isso leva à
incapacidade de diagonalizar e desacoplar as equações de movimento, exigindo uma
solução utilizando-se equações de estado.
Ignorando amortecedores específicos viscoso, coulomb, e elementos de amortecimento
visco elástico, amortecimento em estruturas típicas surge de perdas por histerese em
conexões de chapas. A não ser que um equipamento específico de amortecimento seja
usado em uma concepção estrutural, a maioria das estruturas tem amortecimento, que
varia de um modo para outro, no intervalo de 0,05% a 2% do amortecimento crítico.
Os modos neste capítulo são todos os "reais" ou modos "normais", como definido
anteriormente. Uma vez mais, tendo os modos normais significa que em determinadas
frequências todos os pontos do sistema vão vibrar na mesma frequência e em fase, ou
seja, todos os pontos do sistema irão atingir os seus mínimos e máximos deslocamentos
ao mesmo tempo.
4.4.1 Condições Necessárias para a Existência de Modos
Principais de Vibração no Sistema com Amortecimento
Em um sistema sem amortecimento, modos normais de vibração vão existir. A fim de ter
modos normais em um sistema amortecido, os modos de vibração devem ser os mesmos
45
do caso não amortecido, e os vários graus de liberdade do sistema devem passar nas suas
posições de mínimos e máximos no mesmo instante de tempo.
Uma condição suficiente para a existência de modos normais amortecidos é que a matriz
de amortecimento seja uma combinação linear das matrizes de massa e rigidez. Sabemos
que m e k são diagonalizadas com operações envolvendo a matriz modal. Quando c é
uma combinação linear de m e k, a matriz de amortecimento c também é desacoplada
(diagonalizada) pelas mesmas operações de pré e pós multiplicação pela matriz modal
como com as matrizes de m e k, ou seja:
i é a percentagem do amortecimento crítico para o i-ésimo modo de vibração. Medindo
experimentalmente o valor de i para dois modos diferentes, pode-se estimar os
valores de "a" e "b" por:
Este tipo de amortecimento é conhecido como “amortecimento proporcional”, em que o
amortecimento para cada modo (eles podem ser diferentes entre modos) é proporcional
ao amortecimento crítico para esse modo. Uma vez que o amortecimento também é
proporcional à velocidade, é de uma natureza viscosa. Se o mesmo valor de
amortecimento é usado para todos os modos, este é referido como amortecimento
"uniforme". Amortecimento em que o valor de amortecimento para cada modo pode ser
definido individualmente é referido como amortecimento "não uniforme".
46
5 Conclusões e Recomendações
Muitos dos desafios de engenharia associados à vibração mecânica, em especial as
vibrações de estruturas oceânicas, estão ligados à determinação do amortecimento,
quantificar a influência do amortecimento, evitar frequências de ressonância, e identificar
falhas.
Conhecendo-se a geometria do sistema e as propriedades dos materiais compostos, é fácil
determinarem-se os componentes de massa e rigidez do sistema.
O método da função de transferência usa a transformada de Laplace que muda as
coordenadas físicas para a coordenada de Laplace “s”. Os pólos ou frequências naturais
são comuns a todas as funções de transferência. O método é muito prático, permitindo
análise com significante facilidade da variação da frequência de ressonância, projetando-
se o pólo no eixo imaginário, e a influência do amortecedor para o sistema, projetando-se
o pólo no eixo real.
Pode-se variar termo a termo do sistema, como massa, rigidez, amortecimento, um de
cada vez e verificar as características do sistema no plano s. O método é capaz de indicar
a resposta à força excitadora mesmo não sendo uma força periódica, desde que se tenha
domínio sobre as técnicas das transformadas de Laplace.
Para a análise de um sistema já definido, a função de transferência parte do princípio de
que já se tem conhecimento dos elementos de amortecimento, o que é de
desconhecimento em muitos dos problemas de engenharia.
Para estruturas que possuem características de pouco amortecimento, uma análise
considerando amortecimento nulo pode fornecer informações satisfatórias pelo método
da função de transferência. Podem-se determinar os pólos ou frequências de ressonância
do sistema a serem evitadas.
A análise da função de resposta à frequência (FRF) pode ser feita para o caso particular
da função de transferência em que se analisa a magnitude de resposta a uma força
excitadora no domínio da frequência. Para o caso particular em que se considera o sistema
sem amortecimento, a resposta em frequência de ressonância vai a infinito, o que não
acontece em estruturas reais que possuem pequena, porém, uma quantidade de
amortecimento que dissipe energia.
47
A análise modal tem a característica de permitir estimar uma matriz de amortecimento
como uma combinação linear da matriz de massa e de rigidez do sistema, baseado em
medições de amortecimento obtidos experimentalmente. Nesse sentido é uma ferramenta
muito importante para calibrar modelos de elementos finitos, por exemplo, e verificar o
comportamento real da estrutura. Vale ressaltar que essa técnica só é válida para
estruturas com baixo amortecimento relativo, visto que o modelo calibrado terá as
mesmas frequências modais ou de ressonância. A análise modal não é razoável para
sistemas com valores consideráveis de amortecimento em que a frequência natural difere
significantemente da frequência natural amortecida. Essas estruturas não possuem modos
normais de vibração.
Voltando-se ao caso da análise modal de baixo amortecimento, uma análise de FRF pelo
método de análise modal pode ser feita já considerando-se o efeito do amortecimento
tendo feito o ajuste dos dados obtidos da matriz de amortecimento do modelo em estudo.
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6 Bibliografia
[1] M. R. Hatch, Vibration simulation using MATLAB and ANSYS, Boca Raton,
Florida: Chapman & Hall/CRC, 2001.
[2] S. S. Rao, Vibrações mecânicas - quarta edição, São Paulo: Pearson, 2009.
