Análise Multivariada - trabalho

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN

Programa de Ps-Graduao em Mtodos Numricos em Engenharia

Trabalho de Anlise Multivariada Aplicada Pesquisa

Prof. D. Jair Mendes Marques

Aluna Marina Vargas R. P. G. Ferreira

Curitiba - PR 2010

Sumrio1 Lista 1 - lgebra matricial, vetores aleatrios e amostras aleatrias 2 Lista 2 - Distribuio Normal Multivariada 3 Lista 3 - Inferncia sobre o vetor de mdias e MANOVA 4 Lista 4: Anlise de Componentes Principais 5 Lista 5: Anlise Fatorial 6 Lista 6: Anlise Discriminante 7 Lista 7: Regresso Logstica 8 Lista 8: Anlise de Agrupamento 9 Lista 9: Anlise de Correlao Cannica 3 33 48 75 99 121 135 146 169

2

1

Lista 1 - lgebra matricial, vetores aleatrios e amostras aleatrias

Resolver os problemas 1 at 16, com uso do MATLAB 1. Dadas as matrizes

e

calcular: (a) ; >> A+B ans = 1 2 6 3 (b) ; >> C-B ans = -13 3 3 -1 (c) ; >> (-5)*B ans = -40 5 5 -5 -25 15 -15 -5 -35 15 10 -15 -25 5 -25 -30 3 0 0 0 3 -7 5 1 -2 -10 3 -4 -9 5 -6 8 3 12 -5 2 10 9 2 6 3

(d) >> A+3*B-5*C ans = 42 -10 -6 5 (e) ; >> B*A ans = 18 -25 12 29 (f) ; >> (C*A)*B ans = 425 -106 -62 164 (g) 75 15 20 51 ; >> A*(B-C) ans = -102 57 65 -4 (h) ; >> inv(A) ans = -12 -9 -3 9 30 -8 -9 24 -10 3 -1 -15

;

26 -21 3 11

44 -10 11 30

93 -18 16 57

39 -13 -12 -8

525 -195 -9 246

-65 112 75 85

-46 44 22 -9

-14 58 80 15

4

-0.0507 0.0097 0.0526 0.0955 (i) >> inv(B*C) ans = -0.0568 0.0181 0.0487 0.0393 (j) tr ;

0.0941 -0.2008 0.0658 0.0824

0.0404 0.1365 -0.0132 0.0872

0.0400 -0.1423 0.1316 -0.0945

0.0389 -0.0776 -0.1005 -0.1723

0.0019 -0.0252 0.0613 -0.0316

0.1170 -0.0256 -0.1177 -0.1184

>> trace(A) ans = -9 (k) tr ;

>> trace(B+C) ans = -3 (l) ; >> B^2 ans = 57 -3 -4 10 (m) ; >> C^3 ans = -285 114 570 -257 -75 52 -440 180 5 51 -6 -15 17 42 5 3 16 100 -23 12 55

50 -84 (n) tr

-44 197 ;

-12 -28

66 -142

>> trace(inv(A+B)) ans = -0.4004 (o) ; >> A ans = -7 0 5 4 (p) 3 -3 -2 3 ; >> (B+A-C) ans = 6 3 10 9 (q) ; >> det(B) ans = 613 (r) . >> det(A-B) ans = -152 2. Dados os vetores: , e , calcular: -3 -3 -8 -2 6 6 3 5 8 1 9 6 7 5 4 1 2 2 7 -3

6

(a)

;

(b)

;

(c)

;

(d)

.

3. Dados os vetores:

,

,

e

, verique se so L.D. ou L.I.: (a) e Como ;

e (b) e Como ;

, ento os vetores

e

so Linearmente Independentes.

e (c) , e ;

, ento os vetores

e

so Linearmente Dependentes.

7

Como

e (d) , Como e ;

, ento os vetores

,

e

so Linearmente Dependentes.

e (e) , Como , e .

, ento os vetores

,

e

so Linearmente Dependentes.

e

, ento os vetores

,

,

e

so Linearmente Dependentes.

4. Calcular a norma ou comprimento de cada um dos vetores do item 2. 5. Determinar os autovalores e autovetores normalizados das matrizes:

Matriz de autovetores

8

Matriz de autovalores

Assim Autovalores = 3.51739 = 6.31158 = 11.171 e Autovetores = [0.441225 0.687013 -0.57735] = [0.374359 -0.725619 -0.57735] = [0.815583 -0.0386051 0.57735]

Matriz de autovetores

Matriz de autovalores

Assim

9

Autovalores = -8.2218 = -3.7146 = 4.0000 = 10.9364 6. Determine as matrizes e

Autovetores = [0.627122 -0.76064 0.0667588 0.153909] = [ -0.598371 -0.340226 0.469299 0.553133] = [0.408248 0.408248 0.816497 1.69362 ]

= [ 0.286361 0.372836 -0.329599 0.818752 ] , se existirem, para as matrizes do item 5.

>> A=[9 -1 3; -1 5 1; 3 1 7] A = 9 -1 3 -1 5 1 3 1 7

>> [e,L]=eig(A) e = 0.4412 0.6870 -0.5774 L = 3.5174 0 0 0 6.3116 0 0 0 11.1710 0.3744 -0.7256 -0.5774 0.8156 -0.0386 0.5774

>> AR=e*(sqrt(L))*e AR = 2.9404 -0.2192 0.5531 ou >> AR=sqrtm(A) AR = 2.9404 -0.2192 0.5531 -0.2192 2.2130 0.2341 0.5531 0.2341 2.5767 -0.2192 2.2130 0.2341 0.5531 0.2341 2.5767

10

>> B=[-3 5 1 3;5 -3 1 5;1 1 3 -4;3 5 -4 6] B = -3 5 1 3 5 -3 1 5 1 1 3 -4 3 5 -4 6

>> [e,L]=eig(B) e = 0.6271 -0.7606 0.0668 0.1539 L = -8.2218 0 0 0 No existe, pois onde dois deles so negativos. 7. Para a matriz B do item 6 verique se possvel: Temos que possvel encontrar . . 0 -3.7146 0 0 0 0 4.0000 0 0 0 0 10.9364 , dependendo assim dos autovalores, -0.5984 -0.3402 0.4693 0.5531 0.4082 0.4082 0.8165 0.0000 0.2864 0.3728 -0.3296 0.8188

, como existem autovalores negativos, no

8. Vericar se existe alguma matriz positiva denida entre as matrizes A e B do item 6. (a) Do item 6, temos

11

Autovalores

A 3.5174 6.3116 11.1710

B -8.2218 -3.7146 4.0000 10.9364

A matriz

positiva denida, pois seus autovalores so positivos, j a matriz

no

positiva denida. 9. Calcular o comprimento ou norma de cada vetor coluna das matrizes A e B do item 6. Matriz A >> A=[9 -1 3; -1 5 1; 3 1 7]; >> u1=[9 -1 -3] u1 = 9 -1 -3

>> u2=[-1 5 1] u2 = -1 5 1

>> u3=[3 1 7] u3 = 3 1 7

>> norm(u1) ans = 9.5394 >> norm(u2) ans = 5.1962 >> norm(u3) ans = 7.6811 >> B=[-3 5 1 3;5 -3 1 5;1 1 3 -4;3 5 -4 6]; >> u1=[-3 5 1 3] u1 = 12

-3

5

1

3

>> u2=[5 -3 1 5] u2 = 5 -3 1 5

>> u3=[1 1 3 -4] u3 = 1 1 3 -4

>> u4=[3 5 -4 6] u4 = 3 5 -4 6

>> norm(u1) ans = 6.6332 >> norm(u2) ans = 7.7460 >> norm(u3) ans = 5.1962 >> norm(u4) ans = 9.2736 Vetores Coluna A 9.5394 5.1962 7.6811 B 6.6332 7.7460 5.1962 9.2736 10. Considere a matriz de covarincia

13

determine: (a) ; >> sigma=[9 0 0 0;0 16 0 0;0 0 20 0;0 0 0 25] sigma = 9 0 0 0 0 16 0 0 0 0 20 0 0 0 0 25

>> InvSigma=inv(sigma) InvSigma = 0.1111 0 0 0 0 0.0625 0 0 0 0 0.0500 0 0 0 0 0.0400 ;

(b) Os autovalores e autovetores normalizados de >> [e,L]=eig(sigma) e = 1 0 0 0 L = 9 0 0 0 0 16 0 0 0 0 20 0 0 0 0 25 Autovalores =9 = 16 = 20 = 25 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Autovetores = [1 0 0 0] = [0 1 0 0] = [0 0 1 0] = [0 0 0 1 ]

14

(c) os autovalores e autovetores normalizados de >> [einv,Linv]=eig(InvSigma) einv = 0 0 0 1 Linv = 0.0400 0 0 0 0 0.0500 0 0 0 0 0.0625 0 Autovalores = 0.0400 = 0.0500 = 0.0625 = 0.1111 11. Dada a matriz covarincia 0 0 0 0.1111 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

.

Autovetores = [0 0 0 1] = [0 0 1 0] = [0 1 0 0] = [1 0 0 0 ]

determine: (a) A matriz de correlao ; >> Sigma=[4 -1 3 4;-1 5 2 1;3 2 4 5;4 1 5 5] >> V=diag(diag(Sigma)) V = 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5

>> Vraiz=sqrtm(V) 15

Vraiz = 2.0000 0 0 0 0 2.2361 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.2361

>> IVraiz=inv(Vraiz) IVraiz = 0.5000 0 0 0 0 0.4472 0 0 0 0 0.5000 0 0 0 0 0.4472

>> Corre=IVraiz*Sigma*IVraiz Matriz de Correlao = 1.0000 -0.2236 0.7500 0.8944 -0.2236 1.0000 0.4472 0.2000 0.7500 0.4472 1.0000 1.1180 ; 0.8944 0.2000 1.1180 1.0000

(b) Verique a relao >> Corre=IVraiz*Sigma*IVraiz Corre = 1.0000 -0.2236 0.7500 0.8944 -0.2236 1.0000 0.4472 0.2000

0.7500 0.4472 1.0000 1.1180

0.8944 0.2000 1.1180 1.0000

>> Sigma=Vraiz*Corre*Vraiz Sigma = 4.0000 -1.0000 3.0000 4.0000 -1.0000 5.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 4.0000 5.0000 4.0000 1.0000 5.0000 5.0000

(c) Efetue a decomposio espectral de Sigma = 4.0000 -1.0000 3.0000 16 4.0000

-1.0000 3.0000 4.0000

5.0000 2.0000 1.0000

2.0000 4.0000 5.0000

1.0000 5.0000 5.0000

>> [e,L]=eig(Sigma) e = 0.0997 -0.1147 0.7156 -0.6817 L = -0.6656 0 0 0 >> Auto=e*L*e Auto = 4.0000 -1.0000 3.0000 4.0000 -1.0000 5.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 4.0000 5.0000 4.0000 1.0000 5.0000 5.0000 0 0.2695 0 0 0 0 5.7140 0 0 0 0 12.6821 -0.7697 -0.3916 0.3704 0.3421 0.4143 -0.8967 -0.1434 0.0609 0.4754 0.1715 0.5745 0.6438

Ento, v-se que Autovetores de sigma

. A= matriz dos Autovalores de sigma P= matriz dos

12. Uma amostra multivariada aleatria

(com 12 observaes e 6 variveis) dada a seguir:

17

(a) o vetor de mdias; >> X=[39 51 53 42 55 48;47 51 53 48 53 57; 43 45 46 44 44 51; 49 X = 39 47 43 49 51 52 57 48 53 54 55 43 51 51 45 46 55 49 52 50 47 47 52 43 53 53 46 49 44 39 55 47 52 51 50 45 42 48 44 45 57 50 44 50 44 43 49 56 55 53 44 48 49 44 43 55 50 47 54 52 48 57 51 57 56 47 44 50 48 46 52 56 46 49 45 48 57;51

5

>> mean(X) ans = 49.2500 49.0000 48.6667 47.6667 49.5000 51.0000

(b) a matriz covarincia estimada ;S=cov(X)

18

ans = 30.0227 6.4545 3.0000 -0.7273 -9.3182 -9.0909 6.4545 12.0000 2.8182 2.7273 2.7273 -1.3636 3.0000 2.8182 21.3333 -14.4848 4.6364 -4.6364 -0.7273 2.7273 -14.4848 24.6061 4.5455 12.8182 -9.3182 2.7273 4.6364 4.5455 19.1818 7.5455 -9.0909 -1.3636 -4.6364 12.8182 7.5455 21.0909

(c) a matriz de correlao>> M=diag(diag(S)) M = 30.0227 0 0 0 0 0 >> raizM=sqrtm(M) raizM = 5.4793 0 0 0 0 0 >> invRM=inv(raizM) invRM = 0.1825 0 0 0 0 0 >> R=invRM*S*invRM R = 1.0000 0.3401 0.1185 -0.0268 -0.3883 -0.3613 0.3401 1.0000 0.1761 0.1587 0.1798 -0.0857 0 0.2887 0 0 0 0 0 3.4641 0 0 0 0 0 12.0000 0 0 0 0

;

0 0 21.3333 0 0 0

0 0 0 24.6061 0 0

0 0 0 0 19.1818 0

0 0 0 0 0 21.0909

0 0 4.6188 0 0 0

0 0 0 4.9604 0 0

0 0 0 0 4.3797 0

0 0 0 0 0 4.5925

0 0 0.2165 0 0 0

0 0 0 0.2016 0 0